双曲线2

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双曲线的定义公式

双曲线的定义公式
双曲线是一类二次曲线，又被称为抛物线。

它由一组数学公式描述，是椭圆与双曲线的孪生，也是偏微分方程在空间建模时常用的类
型之一。

双曲线按不同的参数定义可以被分成七个类型，定义公式分
别为：
右凹双曲线：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
左凹双曲线：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $
右开双曲线：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 $
左开双曲线：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = -1 $
右半双曲线：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
左半双曲线：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1 $
双曲线：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = k (k≠1, -1) $ 双曲线的最大特点是它的两个焦点相等，这样就给开发者带来了
更多的可能性，可以将其应用到空间轨迹、结构计算及科学测量等领域。

这里讨论的双曲线中，两个参数a和b可改变双曲线的形状，a
除决定双曲线的宽度外，还决定其长短；b决定双曲线的圆滑程度，a > b时双曲线显得高耸；a < b时双曲线以柔和的弧形起伏。

双曲线的定
义需要用到最小二乘法，主要应用于材料失效、动力学模型等领域。

总之，双曲线是一种二次曲线，可通过定义公式表示，参数a和
b可改变它的形状。

经过最小二乘法来定义，可以应用于各类轨迹、结构计算及科学测量。

双曲线二级结论大全

双曲线1.2.标准方程3.122PF PF a -=22221x y a b-=111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为,，与y 轴平行的直线22221x y a b-=1(,0)A a -2(,0)A a 交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是.22221x y a b+=10．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）上，则过的双曲线的切线方程是000(,)P x y 22221x y a b-=0P . 00221x x y ya b-=11．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切000(,)P x y 22221x y a b-=点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是.00221x x y ya b-=12．AB 是双曲线（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的22221x y a b -=中点，则.22OM AB b k k a⋅=13．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是000(,)P x y 22221x y a b-=. 2200002222x x y y x y a b a b-=-14．若在双曲线（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是000(,)P x y 22221x y a b-=. 22002222x x y y x y a b a b-=-15．若PQ 是双曲线（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则22221x y a b-=. 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==16．若双曲线（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为22221x y a b-=1Ax By+=,则(1) ;(2) . (0)AB ≠222211A B a b -=+L =17．给定双曲线：（a ＞b ＞0）, ：,1C 222222b x a y a b -=2C 222222222()a b b x a y ab a b+-=-则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M1C 00(,)P x y 2C . 2222002222(,)a b a b x y a b a b++---(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点. 2C '''00(,)P x y 1C 'M 'M 'P 18．设为双曲线（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦00(,)P x y 22221x y a b-=PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点的充要条件是00(,)M mx my -(1)m ≠.212211m b k k m a+⋅=⋅-19．过双曲线（a ＞0,b ＞o ）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交22221x y a b-=00(,)A x y 双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且（常数）.2020BC b x k a y =-20．双曲线（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点22221x y a b-=，则双曲线的焦点角形的面积为，12F PF γ∠=122cot2F PF S b γ∆=. 2(cot 2b Pc γ±21．若P 为双曲线（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦22221x y a b-=点, , ，则（或）. 12PF F α∠=21PF F β∠=tan t 22c a co c a αβ-=+tan t 22c a co c a βα-=+22．双曲线（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式： ,22221x y a b-=1(,0)F c -2(,0)F c 当在右支上时，,.00(,)M x y 10||MF ex a =+20||MF ex a =-当在左支上时，,.00(,)M x y 10||MF ex a =--20||MF ex a =-+23．若双曲线（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜22221x y a b-=时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.124．P 为双曲线（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定22221x y a b-=点，则,当且仅当三点共线且在左支时，等号成立. 21||2||||AF a PA PF -≤+2,,A F P P 25．双曲线（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条22221x y a b -=l 0()y k x x =-件是.22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩条件是. 2211tan e ϕ=-29．设A,B 为双曲线（a ＞0,b ＞0，）上两点，其直线AB 与双曲2222x y k a b-=0,1k k >≠线相交于,则. 22221x y a b-=,P Q AP BQ =30．在双曲线中，定长为2m （）的弦中点轨迹方程为22221x y a b-=0m >()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右22221x y a b-=支上移动，记|AB|=，是AB 中点，则当时，有l 00(,)M x y l S ≥Φ20min ()2a l x c e=+,);当时，有. 222(c a b =+c e a =l S <Φ0min ()x =32．双曲线（a ＞0,b ＞0）与直线有公共点的充要条件是22221x y a b-=0Ax By C ++=.22222A a B b C -≤33．双曲线（a ＞0,b ＞0）与直线有公共点的充220022()()1x x y y a b ---=0Ax By C ++=要条件是.2222200()A a B b Ax By C -≤++34．设双曲线（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线22221x y a b-=上任意一点，在△PF 1F 2中，记, ,，则有12F PF α∠=12PF F β∠=12F F P γ∠=.sin (sin sin )ce aαγβ==±-35．经过双曲线（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任22221x y a b-=一点的切线相交于P 1和P 2，则. 21122||||P A P A b ⋅=36．已知双曲线（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且22221x y a b-=.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）OP OQ ⊥22221111||||OP OQ a b +=-22224a b b a -的最小值是. OPQ S ∆2222a b b a-37．MN 是经过双曲线（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过22221x y a b-=双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则.2||2||AB a MN =38．MN 是经过双曲线（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O22221x y a b-=的半弦，则. OP MN ⊥2222111||||a MN OP b a -=-39．设双曲线（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，22221x y a b-=过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N在直线：上.l 2a x m=40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭22221x y a b-=l y kx =直线上,而且.'y k x =2'2b kk a=43．设A 、B 、C 、D 为双曲线（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜22221x y a b-=角分别为，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则,αβ. 22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-44．已知双曲线（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，22221x y a b-=12F PF ∠的内（外）角平分线为，作F 1、F 2分别垂直于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形l l 成的轨迹方程是(). 222x y a +=()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±45．设△ABC 三顶点分别在双曲线上，且AB 为的直径，为AB 的共轭直径所在的直ΓΓl 线，分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为上一点，则CD 与双曲线相切的充要条件l l Γ是D 为EF 的中点.46．过双曲线（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，22221x y a b-=弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则. ||||2PF eMN =47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为22221x y a b -=2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 分别是A 到双曲线两焦点的距离，则12,r r.ab =48．已知双曲线（a ＞0,b ＞0）和（），一条直线顺次与22221x y a b -=2222x y a bλ-=01λ<<它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分22221x y a b-=线与x 轴相交于点, 则或.0(,0)P x 220a b x a +≥220a b x a+≤-50．设P 点是双曲线（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记22221x y a b-=，则(1).(2) . 12F PF θ∠=2122||||1cos b PF PF θ=-122cot 2PF F S b θ∆=51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：于M ，N 两点,则x n =. 90MBN ∠=()2222()a n m a m a m b n a --⇔=-++52．L 是经过双曲线（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲22221x y a b-=线的两个顶点，e 是离心率,点，若，则是锐角且或P L ∈APB α∠=α1sin eα≤（当且仅当时取等号）.1sin arc eα≤||PF b =53．L 是经过双曲线（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F22221x y a b-=是双曲线的准线与x 轴交点,点，e 是离心率，，H 是L 与X 轴的交点cP L ∈EPF α∠=是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.α1sin e α≤1sin arc e α≤||abPA c=54．L 是双曲线（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准22221x y a b-=线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点，,离心率为e ，半焦距为c ，则P L ∈EPF α∠=为锐角且或（当且仅当时取等号）.α21sin e α≤21sin arc e α≤1||PF =55．已知双曲线（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于22221x y a b-=A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则（当且仅222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，22221x y a b-=, ,，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)PAB α∠=PBA β∠=BPA γ∠=.(2) .(3) . 22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-2tan tan 1e αβ=-22222cot PAB a b S b aγ∆=+57．设A 、B 是双曲线（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的22221x y a b-=区域）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A 点引直线与双曲线这一A x B x 2A B x x a ⋅=支相交于P 、Q 两点，则；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、QPBA QBA ∠=∠两点，则.180PBA QBA ∠+∠=58．设A 、B 是双曲线（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的22221x y a b-=区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且，则点A 、B 的横坐标PBA QBA ∠=∠、满足；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且A x B x 2A B x x a ⋅=,则点A 、B 的横坐标满足.180PBA QBA ∠+∠= 2A B x x a ⋅=59．设是双曲线的实轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线',A A 22221x y a b-='QQ 'AA AQ与的交点P 的轨迹是双曲线.''AQ 22221x y a b+=60．过双曲线（a ＞0,b ＞0）的右焦点作互相垂直的两条弦AB 、CD,则22221x y a b -=F ；()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-()22||||4c AB CD a a b a +≥==61．到双曲线（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于（c 为半焦距）的动点22221x y a b -=c ab-M 的轨迹是姊妹圆.222()()x ec y eb ±+=62．到双曲线（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于（c 为半焦距）22221x y a b -=c ab-的动点M 的轨迹是姊妹圆.222()x c y b ±+=63．到双曲线（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为（c 为半22221x y a b -=c ab-焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e 为离心率）.222()()b x a y e±+=64．已知P 是双曲线（a ＞0,b ＞0）上一个动点，是它实轴的两个端点,且22221x y a b-=',A A ,，则Q 点的轨迹方程是.AQ AP ⊥''AQ A P ⊥222241x b y a a-=65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为,是双曲线上的点过P22221x y a b -=',A A 11(,)P x y 作斜率为的直线，过分别作垂直于实轴的直线交于,则（1）2121b x a y l ',A A l ',M M.（2）四边形面积趋近于.''2||||AM A M b =''AMA M 2ab 67．已知双曲线（a ＞0,b ＞0）的右准线与x 轴相交于点，过双曲线右焦点22221x y a b-=l E F的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点在右准线上，且轴，则直线AC 经过线段C l BC x ⊥EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线（a ＞0,b ＞0,且）的两条互相垂直的弦，O 为2222()1x a y a b--=a b ≠坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的2222(,0)ab b a-另一个交点Q 的轨迹方程是（除原点）。

2020高考数学10.2 双曲线及其性质

PA与PB的斜率之积为 b2 . a2
(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法:
a.与双曲线 ax22 - by22 =1共渐近线的方程可设为 ax22 - by22 =λ(λ≠0); b.若双曲线的渐近线方程为y=± ba x,则双曲线的方程可设为 ax22 - by22 =λ(λ≠
0);
c.若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为 x2 + y2 =1(mn<0)或mx2 mn
等关系;④利用解析式的结构特点,如a2,|a|, a 等的非负性来完成范围的
求解.
例 (1)(2018浙江镇海中学期中,8)已知O,F分别为双曲线E: ax22 - by22 =1(a>
0,b>0)的中心和右焦点,点G,M分别在E的渐近线和右支上,FG⊥OG,GM
∥x轴,且|OM|=|OF|,则E的离心率为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 2
2
2
2
(2)(2017课标全国Ⅱ文,5,5分)若a>1,则双曲线 x2 -y2=1的离心率的取值 a2
范围是 ( )
A.( 2 ,+∞) B.( 2 ,2)
C.(1, 2 ) D.(1,2)
解析 (1)不妨设点G在渐近线y= b x上,则直线GF的方程为y=- a (x-c).由
(3)P在双曲线外⇔⑦ a2 - b2 <1 . 【知识拓展】 1.过焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ ABF2的周长为4a+2|AB|.
2.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦叫做通径,其长度是 2b2 . a
3.焦点到渐近线的距离为b. 4.(1)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,则直线

双曲线及其标准方程-数学选修

双曲线及其标准方程-数学选修
contents
目录
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的图像与性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
01 双曲线的定义与性质
双曲线的定义
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线。双曲面是一种三维几何体，它有两个对称的曲面，称为双曲抛物面。
在平面直角坐标系中，双曲线通常表示为两个分支的曲线，这两个分支在两个不同的象限内。
双曲线反射镜常用于反射望远镜的主反射镜，能够将光线反射并聚焦在副镜上，再通过目镜观察。
物理中的应用
波动理论
在物理中，双曲线常被用于描述波动现象，如声波、电磁波等。通过双曲线方程可以描述波的传播规律和性质。
运动轨迹
在某些物理问题中，双曲线可以用来描述物体的运动轨迹，例如行星绕太阳的椭圆轨道可以用双曲线的一段来表示。
02 双曲线的标准方程
焦点在x轴上的双曲线标准方程
方程形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$
焦点位置
$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$
参数含义
$a$为半主轴长，$b$为半副轴长，$c=sqrt{a^2+b^2}$为焦距。
焦点在y轴上的双曲线标准方程
方程形式
01
$frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$
焦点位置
02
$F_1(0,c)$，$F_2(0,-c)$
参数含义

03
与焦点在x轴上的双曲线相同。
双曲线标准方程的推导
基于平面几何的性质
推导过程
通过平面几何中点与点的距离公式，推导出双曲线的标准方程。

双曲线相关知识点总结

双曲线相关知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点的距离之差等于一个常数的性质。

具体来说，设F1(-c,0)和F2(c,0)是平面上的两个定点，c是正实数，点P(x,y)在双曲线上当且仅当PF1-PF2=2a(a>0)。

双曲线分为左右两支，由F1和F2确定的两支双曲线分别称为向左开口和向右开口的双曲线，分别称为左双曲线和右双曲线。

二、双曲线的基本性质1. 定义域和值域：双曲线的定义域是实数集R，值域是实数集R。

2. 对称性：关于坐标轴和原点对称。

3. 渐近线：y=±a/x(斜渐近线)。

4. 渐近线性质：双曲线与其渐近线的交点趋于无穷，且渐近线是双曲线的渐近线。

5. 单调性：双曲线在x轴的两侧都是单调递增或单调递减。

6. 拐点：双曲线的两支在原点都有拐点，拐点的坐标为(0,±a)。

7. 渐近线与曲线的位置关系：当a为正数时，双曲线的两支位于渐近线的两侧；当a为负数时，双曲线的两支位于渐近线的同一侧。

三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分别为x^2/a^2-y^2/b^2=1(右双曲线)和y^2/b^2-x^2/a^2=1（左双曲线），其中a和b分别为双曲线两支离心率的绝对值。

2. 中心点、顶点和焦点：双曲线的中心点为坐标原点，顶点为(±a,0)，焦点为(±c,0)。

3. 离心率：双曲线的离心率为e=c/a。

4. 参数方程：双曲线的参数方程分别为x=acosh(t)，y=bsinh(t)（右双曲线）和x=asinh(t)，y=bcosh(t)（左双曲线），其中t为参数。

四、双曲线的图像1. 双曲线的图像具有对称性，关于x轴和y轴对称，同时关于原点对称。

2. 双曲线与其渐近线之间的位置关系决定了双曲线的图像形状。

3. 当a和b的取值变化时，双曲线的形状也随之变化。

五、双曲线的应用1. 物理学中，双曲线常用于描述波的传播和衰减，尤其是在光学和声学中有着广泛的应用。

【高中数学】双曲线

则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] 由双曲线的方程得 a＝1，c＝ 2，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2. 在△PF1F2 中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，即(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2| ＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4. [答案] B
5，＋∞ D. 3
[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝2a，由双曲 3
线上的点到焦点的最短距离为 c－a，可得2a≥c－a，解得c≤5，即 e≤5，又双曲线的离心
3
a3
3
1，5 率 e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为 3 ，故选 B.
[答案] B
[解题技法]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
高中数学学科
(1)求 a，b，c 的值，由ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22直接求 e. (2)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解． 2．求离心率的口诀归纳离心率，不用愁，寻找等式消 b 求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．
＝0，则轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)．

双曲线

定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
1.a、b、c不都是零.
2.b2 - 4ac > 0.
注：第2条可以推出第1条。
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x2/a2 - y2/b2 = 1.
上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
标准方程为：
1、焦点在X轴上时为：
x2/a2 - y2/b2 = 1 （a>0，b>0）
2、焦点在Y 轴上时为：
y2/a2 - x2/b2 = 1 （a>0，b>0）
2特征介绍
编辑
以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。
现证明双曲线x2/a2-y2/b2=1 上的点在渐近线中
设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则
y=(b/a）√（x2-a2） (x>a)
因为x2-a2<x2，所以y=(b/a）√（x2-a2）<b/a√x2=bx/a
即 y<bx/a
所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方。
左焦半径：r=│ex+a│
右焦半径：r=│ex-a│
等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b 且 e=√2
这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）
共轭双曲线
双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。

双曲线2a等于什么

双曲线2a等于什么
“双曲线2a”是一种数学里的图形，也叫双曲线，它是一种参数方程图形，
由x和y的二次方程式组成，可以用x的二次多项式直接表示。

字母“a”表示双曲线的重要参数，它可以用来控制双曲线的形状，它可以改
变双曲线的椭圆长轴和短轴长度、椭圆长轴和短轴位置。

实际上，双曲线可以被应用在很多地方，如日常生活中计算距离和位置，又或
者在物理中指用双曲线来表示粒子的位置。

更重要的是，双曲线2a可以用来建模，它具有非常强大的表现力，可以用来模拟现实中的现象，比如气象学中的风暴和海浪场景。

但是，如何正确应用双曲线来模拟现实中的情况，这需要科学家们有深入的认识，以及掌握所有参数变量。

总而言之，双曲线2a是一种非常重要的数学概念，它给专业数学研究以及科
学工作者带来了很多帮助，它以一种极具表现力的形式揭示了现实中许多情况。

双曲线的定义及其基本性质

双曲线的定义及其基本性质
一、双曲线的定义：
（1）到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜
2
1F F ）的点的轨迹。

两定点叫双曲线的焦点。

a PF PF 221=-＜2
1F F
（2）动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的方程：
双曲线标准方程的两种形式：
，焦
（3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ，通径长EF ＝
a
b 2
2
（4）有两条准线，c a x l 21:-=c
a x l 2
2:=
四、双曲线的渐近线：
（1）若双曲线为12222=-b y a x ⇒渐近线方程为x a
b
y ±=，
（2）若已知某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则可设此双曲线为λ=-22
22b
y a x ，
（3）特别地当a=b 时⇔2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y =±x ，此时双曲线为等轴双曲线
五、共轭双曲线：
双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴，双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴，即11
122=+B
A e e 。

双曲线标准方程的推导

双曲线标准方程的推导把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=分析：当│M F 1│>│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│=2a (M 在双曲线右支上)当│M F 1│<│M F 2│时，│M F 1│-│M F 2│= -2a (M 在双曲线左支上)设动点M 的坐标为（x,y ）双曲线标准方程的推导：当│M F 1│-│M F 2│=2a 时，有：√(x +c)2+y 2-√(x −c)2+y 2=2a (移项)⇒√(x +c)2+y 2=2a+√(x −c)2+y 2 （两边平方）⇒(x+c)2+y2=4a2+4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2(展开)⇒x2+2cx+c2+y2=4a2+4a√(x−c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项) ⇒x2−x2+2cx+2cx +c2−c2+y2-y2=4a2+4a√(x−c)2+y2（合并同类项）⇒4cx=4a2+4a√(x−c)2+y2（两边除以4）⇒cx=a2+a√(x−c)2+y2（移项）⇒cx-a2=a√(x−c)2+y2（两边平方）⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[(x−c)2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）⇒-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）⇒c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）⇒（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）⇒b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）⇒x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)当│M F1│-│M F2│=-2a时，有：√(x+c)2+y2-√(x−c)2+y2=-2a (移项)⇒√(x+c)2+y2=-2a+√(x−c)2+y2（两边平方）⇒(x+c)2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2(展开)⇒x2+2cx+c2+y2=4a2-4a√(x−c)2+y2+x2-2cx+c2+y2(移项)⇒x2−x2+2cx+2cx +c2−c2+y2-y2=4a2-4a√(x−c)2+y2（合并同类项）⇒4cx=4a2-4a√(x−c)2+y2（两边除以4）⇒cx=a2-a√(x−c)2+y2（移项）⇒cx-a2=−a√(x−c)2+y2（两边平方）⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[(x−c)2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2[x2-2 cx+c2+y2](展开)⇒c2x2-2a2cx+a4=a2x2-2a2 cx+a2c2+a2y2（移项）⇒-2a2cx+2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（合并同类项）⇒c2x2-a2x2-a2y2=a2c2-a4（按x,y顺序提取公因式）⇒（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)（c2=a2+b2，等量代替）⇒b2x2-a2y2=a2b2（两边除以a2b2）⇒x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)通过以上推导可知，一个方程x2a-y2b=1(a>0,b>0)涵盖了动点M左右两支运动轨迹，而不是一支运动轨迹。

双曲线的知识点总结

双曲线的知识点总结双曲线作为数学中的一种重要曲线，具有独特的特点和性质。

在解决各种实际问题中，双曲线有着广泛的应用，如电磁场的分布、天体运动和经济学中的供求关系等。

本文将就双曲线的定义、公式、性质和应用等方面进行探讨，帮助读者更全面地了解双曲线。

一、双曲线的定义和基本公式双曲线通常由两个分离的曲线枝组成，其特点是离心率大于1。

在直角坐标系中，双曲线可表达为以下形式：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 （当双曲线方程为横轴的方程时）或(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = -1 （当双曲线方程为纵轴的方程时）其中，a和b分别是双曲线的半轴长度。

双曲线的中心为原点O(0,0)。

二、双曲线的性质和特点1. 焦点和离心率：双曲线的焦点是与两条曲线枝的交点，用F1和F2表示。

焦点到曲线上任意一点的距离之和等于常数2a。

双曲线的离心率表示焦点到曲线枝的距离与焦点与中心的距离之比。

双曲线的离心率大于1，可以通过焦点和离心率的关系来判断双曲线。

2. 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们分别与曲线枝趋于无穷远。

这两条渐近线的斜率分别为±b/a，即y=(b/a)x和y=-(b/a)x。

在这两条渐近线的范围内，双曲线的形状与直线逐渐靠近。

3. 对称轴：双曲线的对称轴是连接两条曲线枝的直线，过中心且垂直于渐近线。

对称轴的方程可以由双曲线的方程中x和y的系数的交换得到；若双曲线方程为横轴类型，则对称轴方程为y=0；若双曲线方程为纵轴类型，则对称轴方程为x=0。

三、双曲线的应用1. 电磁场分布在电场和磁场的研究中，双曲线常被用来描述特定范围内的电荷分布或者磁场强度。

利用双曲线的性质，可以确定特定区域内的电场强度或磁场强度的分布规律，为电磁场的研究提供重要的工具和理论支持。

2. 天体运动在天文学中，双曲线在描述天体运动时也有着广泛的应用。

例如，彗星的轨迹往往是双曲线状的，通过对双曲线性质的研究，可以了解到彗星的运动轨迹、速度和轨道参数等信息。

双曲线的定义,距离之间的绝对值解读

(2)渐近线方程为 y＝±12x，焦距为 10； (3)以椭圆2x52＋y92＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点． (4)经过两点 P(－3,2 7)和 Q(－6 2，－7)．
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高中数学（新课标版·理）
【答案】 (1)y32－1x22 ＝1 (2)2x02 －y52＝1 或y52－2x02 ＝1 (3)1x62 －y92＝1 (4)2y52 －7x52 ＝1
∴1－－613m－3kmk232>＋k02 1>0
④
③
由②、③、④得 m＞4.
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高中数学（新课标版·理）
思考题 4 过点(0,2)的直线 l 与双曲线 x2－y2＝2 相交于不同两点 E、F，若△OEF 的面积不小于 2 2，求直线 l 的斜率的取值范围．
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高中数学（新课标版·理）
集合 P＝{M||MF1|－|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a、 c 为常数且 a>0，c>0；
①当 a<c 时，P 点的轨迹是双曲线； ②当 a＝c 时，P 点的轨迹是两条射线； ③当 a>c 时，P 点不存在．
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2．双曲线的两个标准方程 ax22－by22＝1；ay22－bx22＝1. (1)a>0，b>0；(2)c2＝a2＋b2 .
(0,0) (0，a)，(0，－a) |y|≥a (0，c)，(0，－c) y＝abx，y＝－abx
e＝ac>1
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题型一双曲线的定义及应用
例 1 根据下列条件，求曲线的轨迹方程． (1)已知动圆 M 与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 C2： (x－4)2＋y2＝2 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． (2)在△ABC 中，B(4,0)，C(－4,0)，动点 A 满足条件 sinB －sinC＝12sinA 时，求点 A 的轨迹方程．

双曲线二级结论大全及证明过程

双曲线二级结论大全及证明过程一、双曲线的基本性质（1）双曲线的定义：双曲线是一类椭圆或双曲线的生成过程，例如x2/a2-y2/b2=1。

（3）双曲线的直线斜率是椭圆上反对称点的斜率。

（4）双曲线首要呈双曲线，因此其另一轴基本方向是和反对称点一致的，所以其在另一轴上拖动也就是双曲线。

二、双曲线的一级结论（1）双曲线的极点的坐标满足式(b2coshφ/acoshθ=1)，其中φ为极角；（2）双曲线的另一轴向定义的方向与反对称相同；（3）双曲线的另一轴和椭圆的两个轴长的比等于1:1。

（1）双曲线两轴间的距离满足关系式，即双曲线长轴与短轴比等于常数a/b；（2）给定双曲线的两个极点，可以求出这两个极点之间的距离等于a×b/cosh(distance between two poles/a)；（3）给定双曲线上任意点A（x，y)，可以求出到双曲线两极点之间的距离等于a×b/cosh[x×x+y×y/2a]；（4）双曲线的椭圆状线的斜率和椭圆的常数a/b有关。

四、双曲线的证明过程（1）证明第一个结论：推导双曲线上极点的坐标如下：为了计算极点，观察双曲线：双曲线上x2/a2-y2/b2=1，在双曲线函数的开口处取导等于0，得到x分量的坐标为a×coshφ，y分量的坐标为b×sinhφ，两者的乘积即为双曲线抛物线的极点a×b×sinhφ×coshφ也就是a×b/coshφ，即所求。

（2）证明第二个结论：推导双曲线的另一轴的方向的定义如下：设双曲线的另一轴的方向为α，求出双曲线的另一轴的反对称点的坐标（X0，Y0）根据双曲线的反对称，可以得出坐标为(-X0，Y0)，令X0=a×coshφ，Y0=b×sinhφ，可以求出α=φ，即所求。

（3）证明第三个结论：推导双曲线的另一轴和椭圆的两个轴长的比等于1:1。

双曲线二级结论

双曲线二级结论双曲线二级结论有：1. 已知双曲线的离心率 e，半轴长 a 和 b，则双曲线的渐近线方程为 y = ±(b/a)x。

2. 已知双曲线的一个焦点和与其对应的准线方程，则可以确定双曲线的标准方程。

3. 已知双曲线的一个焦点和与其对应的顶点，则可以确定双曲线的标准方程。

4. 已知双曲线的一个顶点和与其对应的准线方程，则可以确定双曲线的标准方程。

5. 已知双曲线的一个顶点和与其对应的焦点，则可以确定双曲线的标准方程。

6. 已知双曲线的一个焦点和与其对应的渐近线方程，则可以确定双曲线的标准方程。

7. 已知双曲线的一个顶点和与其对应的渐近线方程，则可以确定双曲线的标准方程。

8. 双曲线过焦点的直线交双曲线于AB两点，并分别交准线于CD两点，那么有：|AB| * |CD| = |PF1| * |PF2| = 2b² / a。

9. 过点（m，0）作x轴的垂线，垂足为M，若直线y = kx + b与直线OM的斜率的乘积为-1，则：y = kx + b与双曲线只有一个交点；y = kx + b与双曲线相交于A、B两点，且点P是弦AB的中点，当PA与x轴垂直时，直线PA的斜率为k或-k。

10. 若以原点为中心，实轴在x轴上（2a＜2c），右焦点为F（c，0），左焦点为F'（-c，0），过F作直线交双曲线于A、B两点，过F'作直线交双曲线于C、D 两点。

那么有：①当AB是垂直于x轴的直线时，CD是垂直于x轴的直线；当AB 不是垂直于x轴的直线时，CD不是垂直于x轴的直线。

②若直线AB和CD的斜率都存在且不为0，则有：若直线AB的斜率与CD的斜率互为相反数，则直线AB 与CD平行。

③若直线AB和CD的斜率都存在且不为0，则有：若直线AB的斜率与CD的斜率互为倒数，则直线AB与CD重合。

④若直线AB与CD相交于点Q，则有：点Q必在圆x² + y² = c²上。

双曲线知识点讲解

双曲线知识点讲解双曲线在数学中是一个非常重要的曲线形状。

它具有许多有趣的特性和应用。

在本文中，我们将逐步介绍双曲线的定义、基本性质和一些常见的应用。

1. 双曲线的定义双曲线定义为平面上的点P到两个给定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a。

也就是说，对于平面上的任意点P，有|PF1 - PF2| = 2a。

这两个给定点称为焦点，常数2a称为双曲线的离心率。

双曲线可以用参数方程表示为x = a * cosh(t)和y = b * sinh(t)，其中a和b分别表示双曲线的半轴长度，cosh(t)和sinh(t)分别是双曲函数的余弦和正弦函数。

2. 双曲线的基本性质双曲线具有许多有趣的性质，以下是其中一些重要的性质：•双曲线是对称的：双曲线关于x轴和y轴都是对称的，即当(x, y)在双曲线上时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也在双曲线上。

•双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别是x = a和x = -a。

当x 趋近于正无穷大或负无穷大时，双曲线趋近于这两条直线。

•双曲线的焦点和直线关系：双曲线上的任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即|PF1 + PF2| = 2a。

•双曲线的离心率：离心率e是双曲线的一个重要参数，它等于焦点与顶点之间的距离与顶点到中心的距离的比值，即e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。

3. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：•光学抛物面：双曲线是抛物面的一种特殊情况。

抛物面经常用于天文望远镜和抛物面反射器等光学设备中。

双曲线的抛物面形状可以将平行光线聚焦到一个点上。

•交通流动：交通工程中的交叉口设计通常使用双曲线形状来保证车辆在转弯时平稳过渡。

双曲线的曲率变化较为平缓，能够减小车辆转弯时的离心力。

•经济学中的边际效用曲线：在经济学中，边际效用曲线描述了消费者对不同数量商品的边际效用变化。

双曲线知识点总结

双曲线① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上；当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上；② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。

若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.4. 形如)0(122 AB By Ax =+的方程可化为11122=+By A x 当01,01 B A ，双曲线的焦点在y 轴上；当01,01 BA ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.6. 离心率与渐近线之间的关系222222221ab a b a ac e +=+==1）21⎪⎭⎫⎝⎛+=a b e 2） 12-=e a b7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.(4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ(5)与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x (6)当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；8. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.9. 直线与双曲线的位置关系直线l ：)0(≠+=m m kx y 双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12222b yax mkx y ⇒ 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 当0222=-k a b ，即abk ±=时，直线l 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C 相交于一点；2) 当b 2-a 2k 2≠0，即abk ±≠时，△=(-2a 2mk)2-4(b 2-a 2k 2)(-a 2k 2)(-a 2m 2-a 2b 2) ① 0 ∆时，直线l 与双曲线相交，有两个公共点② 0=∆时，直线l 与双曲线相切，有且仅有一个公共点 ③ 0 ∆时，直线l 与双曲线相离，无公共点3) 直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法直线l ：)0(≠+=m m kx y 双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）① 联立方程法：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12222b yax mkx y ⇒ 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出mx x k m kx m kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入双曲线方程，得1221221=-b y a x 1222222=-by a x 将两式相减，可得2212122121))(())((by y y y a x x x x -+=-+ )()(2122122121y y a x x b x x y y ++=-- a. 在涉及斜率问题时，)()(212212y y a x x b k AB++= b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，2020202212122y a x b y a x b x x y y =••=--，即0202y a x b k AB=， 11. 焦点三角形面积公式：)(,2tan21221PF F b S PF F ∠==∆θθ。