平面向量与解析几何的“缘”

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平面向量的解析几何应用

平面向量的解析几何应用平面向量是解析几何中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。

本文将介绍平面向量的基本概念及其在解析几何中的应用。

一、平面向量的基本概念平面向量是指在平面内用有向线段表示的量。

它具有大小和方向两个重要的特征。

平面向量常用字母加上箭头进行表示，例如向量a用符号→a表示。

平面向量有一系列常用的运算，包括加法、减法、数乘和点乘等。

其中，向量的加法和减法可以通过平行四边形法则进行计算，数乘则是将向量与一个标量相乘，点乘则是两个向量相乘并求和的运算。

二、平面向量的坐标表示平面向量也可以用坐标进行表示。

通常情况下，我们将平面上的一个点的坐标表示为(x, y)，那么该点对应的平面向量可以表示为(→a) = (x, y)。

在平面直角坐标系中，平面向量还可以用分量表示。

例如，向量→a可以表示为(→a) = a1i + a2j，其中a1和a2分别是向量在x轴和y 轴上的分量，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。

三、1. 向量的位移平面向量的位移是指描述一个点从一个位置移动到另一个位置的向量。

我们可以利用平面向量的减法来计算两个点之间的位移向量。

2. 向量的共线与共面如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；如果三个向量在同一平面上，则它们是共面的。

通过判断向量的共线关系和共面关系，我们可以解决许多几何问题，例如判断三点是否共线等。

3. 向量的垂直关系两个向量垂直的条件是它们的点积等于零。

通过应用向量的点乘运算，我们可以判断两个向量是否垂直。

4. 向量的投影平面向量的投影指的是将一个向量投影到另一个向量上的过程。

通过计算向量的投影，我们可以解决直角三角形的问题，例如计算角度、长度等。

5. 三角形的面积三角形的面积可以通过平面向量的叉乘运算来计算。

通过计算三个顶点所对应的向量的叉乘，我们可以得到三角形的面积。

6. 直线和平面的关系平面向量可以用来描述直线和平面的关系。

例如，我们可以用平面向量表示直线的方向，利用向量运算来判断两个直线是否平行或垂直，以及直线和平面的交点等。

平面向量与解析几何

平面向量与解析几何平面向量与解析几何是高中数学的重要内容之一，它们是研究平面上点和向量的位置关系以及相关性质的有效工具。

平面向量通过模和方向来表示，通常用有序对(a, b)来表示。

解析几何则通过坐标系和代数方法研究几何问题。

本文将介绍平面向量和解析几何的基本概念、运算、重要定理和应用。

一、平面向量的基本概念平面向量是指位于同一平面内的具有大小和方向的有序对。

平面向量的表示通常用直角坐标系，其中向量的起点作为坐标原点，向量的终点与原点坐标进行表示。

平面向量AB用向量→AB表示，其中→AB= (x2 - x1, y2 - y1)表示。

平面向量的模记作|→AB|，表示向量的长度或大小。

平面向量的方向用角度α或方向角θ表示，通常在x轴正方向逆时针旋转所得。

平面向量还可以通过分解为x轴和y轴上的分量来表示。

二、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和数量除法。

1. 平面向量的加法：向量→AC = →AB + →BC，其中→AC(x3 - x1, y3 - y1) = (x2 - x1, y2 - y1) + (x3 - x2, y3 - y2) = (x3 - x1, y3 - y1)。

2. 平面向量的减法：向量→AB - →CD = →AB + (-→CD)，其中→AB - →CD = (x2 - x1, y2 - y1) - (x4 - x3, y4 - y3) = (x2 - x1 - x4 + x3, y2 - y1 - y4 + y3)。

3. 数量乘法：数乘一个实数k，→AC = k→AB，其中→AC(kx2 -kx1, ky2 - ky1) = k(x2 - x1, y2 - y1)。

4. 数量除法：→AB/ k = (1/k)→AB，其中→AB/ k = (1/k)(x2 - x1, y2 - y1)。

三、平面向量的重要定理平面向量的重要定理包括共线定理、共点定理和位移定理。

1. 共线定理：若向量→AB和→CD共线，则存在实数k，使得→AB= k→CD。

平面向量在解析几何中的应用

平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中有什么应用？向量法的概念是一个数学家发现的，发现过程很有趣。

向量法可以说是比较好地把向量与三角形、四边形、多边形结合起来的方法。

也就是说，在平面上进行立体几何中的平面图形的分析时，不能够再像做三角形或四边形那样，要用向量的知识来分析问题了。

我们还必须要在向量法的基础上再进行讨论。

在向量法中，分析立体几何中的一些特殊的向量时，它们的值是比较容易确定的，并且只需要写出向量的方向和大小，然后用向量法计算。

我们还经常利用向量法来判断一些曲线上点的坐标，如果知道了向量的方向，也就找到了点的坐标。

向量法在立体几何和解析几何中也广泛存在，如果我们没有掌握这种方法，那么对一些公式或结论的理解将会出错。

在立体几何中，如果立体几何中的所有向量都已经知道了其方向和大小，并且知道其他所有向量之间的关系，那么这个立体几何中的所有结论就都可以推导出来了。

又如，在平面几何中，如果一个向量和另外两个向量在平面内不相交，那么它们的关系就只是垂直于平面的平行线，但当知道这个向量的方向和大小时，我们就可以进行讨论了。

第二种说法：因为向量是表示物体位置的重要工具。

它在立体几何中显得尤为重要。

因为这个几何中的向量可以用三维空间中的点的坐标来表示。

而在解析几何中也广泛存在，如果没有这种方法，就没有办法准确地解决一些与向量有关的问题。

在解析几何中，一般情况下，一条直线可以有无数条方向。

比如有，在解析几何中一条直线可以有无数条方向。

比如有x、 y两个方向，它们的夹角为0。

在解析几何中，我们还可以对向量法进行总结，如果是三维空间的立体几何，那么在这个立体几何中的所有向量都是共面的，并且一组向量的方向是唯一的。

如果是二维的平面几何，则一组向量的方向是唯一的，并且一组向量的方向是共面的。

我们还可以通过坐标和向量来求解一些问题，通过观察三个点a、 b、 c之间的关系，可以得到向量a、 b、c的长度，并且通过坐标来表示。

平面向量与解析几何

平面向量与解析几何平面向量是解析几何中的重要概念，它们在研究平面几何问题时具有广泛而深入的应用。

本文将介绍平面向量的定义、运算规则以及与解析几何的关系。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的有向线段，用符号表示。

设向量A的起点为点P，终点为点Q，记作A=→PQ。

平面向量还可以用坐标表示。

设A的坐标为(x1, y1)，起点在原点O，则A=→OP=(x1, y1)。

二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则。

设有向量A=→PQ，向量B=→RS，则A+B=→QS。

2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的长度放大或缩小。

设有向量A=→PQ，k为实数，则kA=→P'Q'，其中P'为向量A的起点，Q'为向量A的终点，且P'Q'的长度为k倍于PQ的长度。

3. 内积运算内积也称点积，表示两个向量的数量积。

设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A·B=x1x2+y1y2。

4. 外积运算外积也称叉积，表示两个向量的向量积。

设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A×B=(0,0, x1y2-x2y1)。

三、平面向量与解析几何的关系通过平面向量的运算，我们可以研究解析几何中的一些常见问题。

1. 直线的方程设有点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，则点A和点B构成的直线的方程可以表示为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。

2. 两条直线的关系设直线L1的方程为(a1x+b1y+c1=0)，直线L2的方程为(a2x+b2y+c2=0)，则L1与L2平行的条件是a1/a2=b1/b2，L1与L2垂直的条件是a1a2+b1b2=0。

3. 两个向量的夹角设有向量A=→PQ，向量B=→RS，夹角θ的余弦可以由它们的内积表示为：cosθ=(A·B)/(|A||B|)。

问题平面向量在解析几何中的应用高三数学跨越一本线

2017届高三数学跨越一本线精品问题三平面向量在解析几何中的应用向量具有代数与几何形式的双重身份,平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势，平面向量在解析几何的应用非常广泛,通常涉及长度、角度、垂直、平行、共线、三点共线等问题的处理，其目标就是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算,本文从以下几个方面加以阐述．一、利用向量相等的关系,把几何问题代数化两向量相等当且仅当两个向量的长度相等、方向相同,由于向量坐标的唯一性，故两个向量相等的充要条件是坐标对应相等．【例1】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ,作直线l 交椭圆于P Q ，两点,M 为线段PQ 的中点,O 为坐标原点，设直线l 的斜率为1k ,直线OM 的斜率为2k ,3221-=k k ．（1)求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与x 轴交于点)0,3(-D ,且满足QD DP 2=，当OPQ ∆的面积最大时,求椭圆C 的方程．【分析】（1)设),(11y x P ，),(22y x Q ,并分别代入椭圆方程中，然后两式相减，利用直线斜率公式求得b a，从而求得离心率；（2）设椭圆C 的方程为：222632c y x =+,直线l 的方程为：3-=my x ,然后联立椭圆与直线的方程得到关于y 的二次方程,然后由0∆>，及利用韦达定理得出OPQS ∆的表达式，从而利用基本不等式求得椭圆C 的方程．【解析】（1）设),(11y x P ，),(22y x Q ,代入椭圆C 的方程有1,1221221222222=+=+b y a x b y a x , 两式相减：02212222122=-+-b y y a x x ，即0))(())((2121221212=+-++-b y y y y a x x x x ，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--=1212212121x x y y k x x y y k ,联立两个方程有322221-=-=a b k k , 解得：33==a c e ．又QD DP 2=，所以212y y -=，代入上述两式有：329666222+-=-m m c , 所以32)66)(32(448232321222221+-+-=∆=-=∆m c m m a y y OD S OPQ2633211832182≤+=+=mm m m ，当且仅当232=m 时，等号成立,此时52=c ,代入∆,有0>∆成立，所以所求椭圆C 的方程为：1101522=+y x ．【点评】利用向量相等法解题,要注意以下两点：1、已知向量起点坐标和终点坐标，则向量坐标为终点坐标减去起点坐标；2、向量相等的充要条件．【小试牛刀】【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测】已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过,F A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若(21)FA AB =-，则此双曲线的离心率是（）AB C D ．【答案】A【解析】FA 的方程为1x yc b +=-，即0bx cy bc -+=,联立00bx cy bc bx ay -+=⎧⎨-=⎩得(,),(21)ca bc B FA ABc a c a =---，所以1)cac c a =⋅-，解得e = A.二、利用向量垂直的充要条件，巧妙化解解析几何中的垂直问题两个非零向量,a b 垂直的充要条件是0a b ⋅=,如11(,)a x y =，22(,)b x y =,则12120a b x x y y ⊥⇔+=．【例2】设F 1，F 2分别是椭圆24x ＋y 2＝1的左、右焦点,P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2,则点P 的横坐标为( ）A ．1B 。

平面向量与解析几何的“缘”

平面向量与解析几何的“缘”向量具有“数”与“形”的双重功能，而解析几何的本质是利用“数”去研究几何问题。

“几何”是把两者有机地联系在一起，若把向量点缀于解析几何问题之中，能有效地考查学生运用数学知识的能力。

而新课标高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。

应充分挖掘课本素材，在学习中从推导有关公式、定理，例题入手，去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在学习中还应注重善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，逐步树立运用向量知识解题的意识。

一、向量的定比分点的坐标形式例1．（2009陕西卷文）已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，离心率2e =近线的距离为5。

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；(II)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1,[,2]3AP PB λλ=∈ ，求AOB ∆面积的取值范围。

解析：（Ⅰ）由题意知，双曲线C 的顶点（0，a ）到渐近线05ax by -=的距离为=5ab c =由222212ab c a cb ac c a b ⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=+⎪⎪⎩得，所以曲线C 的方程是2y 421x -= （Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C 的两条渐近线方程为2y x =±设(,2),,2),0,0A m m Bn n m n ->>（，由,),AP PB P λλλλλ=uu u r uu r m-n 2(m+n)得点的坐标为（1+1+ 将P 点的坐标代入222(1)1,44y x λλ+-=化简得mn= 因为2,AOB θ∠=14tan()2,tan ,sin 2225πθθθ-===，又,OA OB == 所以111sin 22()122AOB S OA OB mn θλλ∆=∙∙==++记111()()1,[,2]23S λλλλ=++∈，则211()(1)2S λλ'=-，由()01S λλ'==得又S （1）=2，189(),(2)334S S == 当1λ=时，AOB ∆面积取到最小值2，当当13λ=时，AOB ∆面积取到最大值83所以AOB ∆面积范围是8[2,3]评析：有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。

平面向量与空间解析几何

平面向量与空间解析几何平面向量和空间解析几何是数学中重要的概念，它们在几何学和物理学中扮演着重要的角色。

平面向量是一个有大小和方向的量，可以表示为有序对(x, y)。

在二维空间中，平面向量通常用于描述平面内的位置关系、运动方向等。

空间解析几何则是研究三维空间中点、直线、平面等几何对象的性质和关系的数学分支。

平面向量定义平面向量可以用有向线段表示，其大小为线段的长度，方向为线段的方向。

平面向量的加法、减法和数乘等运算可以通过坐标运算来实现。

两个平面向量(x1, y1)和(x2, y2)的加法为(x1+x2, y1+y2)，减法为(x1-x2, y1-y2)，数乘为k * (x, y) = (k*x, k*y)。

运算性质•交换律：a + b = b + a•结合律：a + (b + c) = (a + b) + c•分配律：k * (a + b) = k * a + k * b空间解析几何点和坐标在空间解析几何中，三维空间中的一个点可以用有序三元组(x, y, z)表示，其中x, y, z分别是点在三个坐标轴上的投影。

两点之间的距离可以通过距离公式计算得到。

直线和平面一条空间直线可以通过一个点和一个方向向量来唯一确定，方向向量可以是直线上任意两点的向量差。

空间平面可以通过一个点和两个不共线的方向向量来唯一确定。

方向余弦方向余弦是描述向量在空间中的方向性质的参数。

一个向量(a, b, c)的方向余弦分别为cosα = a/sqrt(a^2+b^2+c^2)，cosβ = b/sqrt(a^2+b^2+c^2)，cosγ = c/sqrt(a^2+b^2+c^2)。

应用平面向量和空间解析几何在现实生活中有着广泛的应用。

在工程学中，它们可以用于描述力的合成、速度的方向等；在计算机图形学中，可以用于图形的变换和计算；在物理学中，可以描述空间中的物体运动等。

总的来说，平面向量和空间解析几何不仅是数学中的重要概念，也是现实生活中不可或缺的工具，它们帮助我们更好地理解和描述空间中的种种现象和规律。

平面向量在解析几何中的应用

平面向量在解析几何中的应用
解析几何是学习数学中非常重要的一个领域，它用图形来操作几何问题。

在解析几何中，一方面涉及表达几何图形中形状和大小的变化，另一方面也涉及有关平面两物体的关系或者克服已知信息，求出未知信息的方法。

在解析几何的应用中，平面向量是运用的非常普遍的概念。

平面向量是指在三维空间中，只由两个分量构成的空间向量，其分量向量都从端点指向一个空间点，是从端点指向空间点的有序偏移量。

向量的加法是平面向量能够运用的基本技巧，向量的加法可以从矢量图中看出来，矢量图是在平面上用线按照指定的规则连接两个点所绘制出来的图形。

比如在两个向量的加法运算中，指向同一点的两个向量，如果是正向量，对其进行相加，则可以得到指向该点的向量的方向和大小的改变；如果是反向量，对其进行相加，则可以得到相反的方向和大小的改变。

平面向量也可以用来解决一些更加复杂的几何问题，比如传统的莱布尼茨公式可以用来解决求取直线与平面的交点问题。

该公式利用向量与数值乘法相加，把求解交点问题转化为求解方程组的问题。

另外，平面向量也可以应用于求解解析几何中一些可能涉及标准坐标的问题，如果两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则它们之间的连线就是一个向量，其方向可以由向量的偏移量来描述，如（x2-x1，y2-y1）。

这时，我们就可以使用平面向量对连线进行描述，也可以使用向量进行旋转、缩放和投影等变换。

总之，平面向量在解析几何中有着普遍的应用，要想正确的使用平面向量，除了掌握平面向量的基本概念，还应该深入了解向量的性质和用途，以达到最佳的效果。

高中数学中的平面向量与几何关系

高中数学中的平面向量与几何关系在高中数学学习中，平面向量是一个非常重要的概念，它在解决几何问题和向量运算中发挥了重要作用。

平面向量不仅可以用于描述物体的位移和方向，还可以用来分析几何图形之间的关系。

本文将从平面向量的定义开始，讨论它与几何关系的相关内容。

一、平面向量的定义与表示平面向量是具有大小和方向的，可以沿任意方向平移的几何量。

在平面坐标系中，平面向量通常用一个有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

平面向量可以表示为AB，或者用坐标表示为(a, b)。

二、平面向量的加法与减法平面向量的加法定义如下：设有向线段AB和CD（CD的起点与AB的终点重合），则将CD平移，使CD的起点与AB的终点重合，此时连接AB的起点与CD的终点，得到一条新的有向线段AD。

AD 表示了向量AB加上向量CD的结果，记作AD = AB + CD。

平面向量的减法定义如下：设有向线段AB和CD（CD的起点与AB的终点重合），则将CD平移，使CD的起点与AB的终点重合，此时连接CD的起点与AB的终点，得到一条新的有向线段BD。

BD 表示了向量AB减去向量CD的结果，记作BD = AB - CD。

三、平面向量的数量积与几何应用平面向量的数量积又称为点积，表示了两个向量之间的相似程度。

设有向线段AB和CD夹角为θ，则它们的数量积定义为AB·CD = |AB| * |CD| * cosθ。

其中，|AB|和|CD|分别表示AB和CD的模长。

在几何应用中，平面向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，夹角的余弦值可以用于判断两个向量之间的关系。

例如，当夹角为直角时，两个向量垂直；当夹角大于90度小于180度时，两个向量锐角；当夹角大于180度小于270度时，两个向量钝角。

四、平面向量的向量积与几何应用平面向量的向量积又称为叉积，表示了两个向量之间的垂直关系。

设有向线段AB和CD夹角为θ，则它们的向量积定义为AB × CD =|AB| * |CD| * sinθ。

平面向量在解析几何中的应用

平面向量在解析几何中的应用利用平面向量解决解析几何问题主要体现在以下两个方面： (1)用向量的数量积解决有关角的问题； (2)用向量的坐标表示解决共线问题．[典例] 椭圆x 23c 2＋y 22c 2＝1的两个焦点分别为F 1(－c,0)和F 2(c,0)，过点E (3c,0)的直线与椭圆交于A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求直线AB 的斜率．[方法演示]解：法一：如图所示，设A (x1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，所以F 1A ―→＝2F 2B ―→，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋c ＝2(x 2－c )，y 1＝2y 2，又由⎩⎨⎧y 21＝2c 2－23x 21，y 22＝2c 2－23x 22，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋c ＝2(x 2－c )，2c 2－23x 21＝4⎝⎛⎭⎫2c 2－23x 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝32c .从而得到A (0，±2c )，因此k AB＝±23，故直线AB 的斜率是±23.法二：由椭圆的对称性，延长AF 1交椭圆于C ，则F 2B ―→＝CF 1―→，设l AC ：x ＝ty －c ，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －c ，2x 2＋3y 2＝6c 2，整理得(3＋2t 2)y 2－4tcy －4c 2＝0，则y 1＋y 2＝4tc 3＋2t 2，y 1y 2＝－4c 23＋2t 2.因为F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，所以F 1A ―→＝2F 2B ―→，即F 1A ―→＝2CF 1―→，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋c ＝2(－c －x 2)，y 1＝－2y 2，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－y 2，y 1y 2＝－2y 22，即(y1＋y2)2y1y2＝－12＝－4t23＋2t2，解得t＝±22.若t＝22，联立后的方程为2y2－2cy－2c2＝0，得A(0, 2c)，故k AB＝－2 3；若t＝－22，同理可得A(0，－2c)，此时k AB＝23，故直线AB的斜率是±2 3.[解题师说](1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，再用向量数量积的坐标公式cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求角．(2)当a，b不共线时，有〈a，b〉为：直角⇔a·b＝0；钝角⇔a·b<0(且a，b不反向)；锐角⇔a·b>0(且a，b不同向)．(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键．[应用体验]1.如图所示，已知A，B是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，P，Q是该椭圆上不同于顶点的两点，且直线AP与QB，PB与AQ分别交于点M，N.(1)求证：MN⊥AB；(2)若弦PQ过椭圆的右焦点F2，求直线MN的方程．解：(1)证明：设P(a cos α，b sin α)，Q(a cos β，b sin β)，由A(－a,0)，B(a,0)得，l AP：a(1＋cos α)y＝b sin α(x＋a)，①l QB：a(cos β－1)y＝b sin β(x－a)，②联立①②消去y得sin α(cos β－1)(x＋a)＝sin β(1＋cos α)(x－a)⇔[sin α(cos β－1)－sin β(1＋cos α)]x＝a[sin α(1－cos β)－sin β(1＋cos α)]⇔[sin(α－β)－sin α－sin β]x＝a[sin α－sin β－sin(β＋α)]⇔cos α－β2⎝⎛⎭⎫sin α－β2－sin α＋β2x ＝a cos α＋β2⎝⎛⎭⎫sin α－β2－sin α＋β2 ⇔x M ＝a cosα＋β2cosα－β2(因P ，Q 不同于顶点)．同理，x N ＝a cosα＋β2cosα－β2，故x M ＝x N ，所以MN ⊥AB .(2) F 2P ―→＝(a cos α－c ，b sin α)，F 2Q ―→＝(a cos β－c ，b sin β)．由P ，F 2，Q 三点共线⇒F 2P ―→与F 2Q ―→共线 ⇒sin β(a cos α－c )＝sin α(a cos β－c ) ⇒a sin(α－β)＝c (sin α－sin β) ⇒a sin α－β2cos α－β2＝c cos α＋β2sin α－β2⇒a cos α－β2＝c cos α＋β2⇒x M ＝x N ＝a cosα＋β2cosα－β2＝a 2c ，所以直线MN 的方程为x ＝a 2c .[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，如图所示，设左顶点为A ，上顶点为B ，且OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，试确定FM ―→·FN ―→的取值范围． [思路演示]解：(1)由已知，A (－a,0)，B (0，b )，F (1,0)，则由OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→，得b 2－a －1＝0. ∵b 2＝a 2－1，∴a 2－a －2＝0，解得a ＝2. ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若直线l 斜率不存在，则l ：x ＝1，此时M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32，FM ―→·FN ―→＝－94. ②若直线l 斜率存在，设l ：y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y23＝1消去y ，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.∴FM ―→·FN ―→＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－94－11＋k 2. ∵k 2≥0，∴0<11＋k 2≤1，∴3≤4－11＋k 2<4， ∴－3≤FM ―→·FN ―→<－94.综上所述，FM ―→·FN ―→的取值范围为⎣⎡⎦⎤－3，－94. [解题师说]当题目条件中含有向量关系式或所求的结论中含有向量代数式时，常将此向量关系式或代数式利用坐标表示，然后利用函数方程思想求解．[应用体验]2．(2018·张掖一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点为F ，右顶点为E ，P 为直线x ＝54a 上的任意一点，且(PF ―→＋PE ―→)·EF ―→＝2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 且垂直于x 轴的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，动直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且M ，N 位于直线AB 的两侧，若始终保持∠MAB ＝∠NAB ，求证：直线MN 的斜率为定值．解：(1)设P ⎝⎛⎭⎫54a ，m ，F (c,0)，E (a,0)，则PF ―→＝⎝⎛⎭⎫c －54a ，－m ，PE ―→＝⎝⎛⎭⎫－a 4，－m ， EF ―→＝(c －a,0)，所以(2c －3a )(c －a )＝4. 又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，从而椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)知A ⎝⎛⎭⎫1，32，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则⎩⎨⎧Δ>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.又M ，N 是椭圆上位于直线AB 两侧的动点，若始终保持∠MAB ＝∠NAB ，则k AM ＋k AN ＝0，即y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝0， ⎝⎛⎭⎫kx 1＋m －32(x 2－1)＋kx 2＋m －32(x 1－1)＝0，即(2k －1)(2m ＋2k －3)＝0，得k ＝12.故直线MN 的斜率为定值12.1．(2018·成都模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋2(0＜k ＜2)与y 轴相交于点P ，与曲线E 相交于不同的两点Q ，R (点R 在点P 和点Q 之间)，且PQ ―→＝λPR ―→，求实数λ的取值范围．解：(1)设C (x ，y )．由题意，可得y x －1·yx ＋1＝－2(x ≠±1)，∴曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．(2)设R (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋y 22＝1消去y ，得(2＋k 2)x 2＋4kx ＋2＝0，∴Δ＝8k 2－16＞0，∴k 2＞2. 又0＜k ＜2，∴2＜k ＜2. 则x 1＋x 2＝－4k2＋k 2，① x 1x 2＝22＋k 2.② ∵PQ ―→＝λPR ―→，点R 在点P 和点Q 之间， ∴x 2＝λx 1(λ＞1)．③联立①②③，可得(1＋λ)2λ＝8k 22＋k 2.∵2＜k ＜2，∴8k 22＋k 2＝82k 2＋1∈⎝⎛⎭⎫4，163， ∴4＜(1＋λ)2λ＜163，解得1＜λ＜3，∴实数λ的取值范围为(1,3)．2．(2018·石家庄质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围．解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)，设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝y x ＋4，k 2＝y x －4. 由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3. 从而OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)·(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. 因为k 2≥0，所以0<84k 2＋3≤83，所以－20<OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的值为－20. 综上，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围为－20，－523.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，① 又点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1，② 由①②可解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝16(12k 2－3)>0，所以k 2>14，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3. 因为∠AOB 为锐角，所以OA ―→·OB ―→>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0，即(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，解得k 2<43.又k 2>14，所以14<k 2<43，解得－233<k <－12或12<k <233. 所以直线l 的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－233，－12∪⎝⎛⎭⎫12，233.4．(2018·广东五校协作体一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，若椭圆C 上存在点P 满足OS ―→＋OT ―→＝t OP ―→(其中O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝c ＋12＝a .(*) ∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴b ＝c ，a ＝2c ，代入(*)式得b ＝c ＝1，∴a ＝2b ＝2，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，设P (x 0，y 0)，将直线l 的方程代入椭圆方程得 (1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， ∴Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0，解得k 2<12.设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋2k 2. 由OS ―→＋OT ―→＝t OP ―→，得tx 0＝x 1＋x 2，ty 0＝y 1＋y 2，当t ＝0时，直线l 为x 轴，则椭圆上任意一点P 满足OS ―→＋OT ―→＝t OP ―→，符合题意；当t ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝8k 21＋2k 2，ty 0＝－4k1＋2k 2，∴x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2.将上式代入椭圆方程得32k 4t 2(1＋2k 2)2＋16k 2t 2(1＋2k 2)2＝1，整理得t 2＝16k 21＋2k2＝161k 2＋2，由k 2<12知，0<t 2<4，所以t ∈(－2,0)∪(0,2)，综上可得，实数t 的取值范围是(－2,2)．。

平面向量与几何关系解析

平面向量与几何关系解析在数学中，平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

它们在几何关系解析中起到了至关重要的作用。

本文将详细介绍平面向量的概念、运算法则以及与几何关系的应用。

一、平面向量概念平面向量是用有序数对表示的，具体可以表示为：AB = (x, y)其中，A和B是平面上的两个点，x和y分别代表平面向量在x轴和y轴上的分量。

平面向量还可以表示为加粗的字母，如a、b等。

二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的对应分量相加，得到新的向量。

AB + BC = AC2. 向量的减法：将两个向量的对应分量相减，得到新的向量。

AB - BC = AC3. 向量的数乘：将向量的每个分量都乘以一个数，得到新的向量。

k · AB = kx, ky其中，k为实数。

三、平面向量的几何关系1. 平行关系：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行的。

AB || CD 或 AB || -CD2. 垂直关系：若两个向量的内积为0，则它们是垂直的。

AB · CD = 03. 共线关系：若一个向量是另一个向量的倍数，则它们共线。

AB = k · CD其中，k为实数。

四、平面向量的应用平面向量在几何关系解析中有广泛的应用，下面将介绍几种常见的应用情况。

1. 平面点的位置关系：通过平面向量的加法运算，可以判断平面上的点的位置关系，如共线、共点、三角形的顶点等。

2. 线段的中点：通过平面向量的数乘运算，可以求得线段的中点坐标。

3. 向量的投影：通过向量的内积运算，可以求得向量在另一个向量上的投影。

4. 平面向量的夹角：通过向量的内积运算和余弦定理，可以求得平面向量之间的夹角。

5. 平面向量的面积：通过向量的叉积运算，可以求得平面上向量所围成图形的面积。

总结：平面向量与几何关系解析密切相关。

通过理解平面向量的概念、运算法则及其在几何关系中的应用，我们可以更好地理解平面几何中的问题，解决和证明相关的数学题目。

平面向量与平面解析几何的联系知识点总结

平面向量与平面解析几何的联系知识点总结平面向量和平面解析几何是高中数学中重要的概念和工具。

它们在几何图形的描述、方程的求解和数学推理中有着广泛的应用。

本文将总结平面向量与平面解析几何的联系知识点，并探讨它们之间的重要关系。

一、平面向量的基本概念和表示方法平面向量是空间中的有向线段，具有大小和方向。

它可以用一个具有大小和方向的箭头表示。

常用的表示方法有坐标表示和分量表示。

1. 坐标表示：假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则以A 为起点，B为终点的向量AB可以用坐标表示为向量(a, b)，其中a = x2 - x1， b = y2 - y1。

其中，x1、y1为向量的起点坐标，x2、y2为向量的终点坐标。

2. 分量表示：向量AB的分量表示为(ABx, ABy)，其中ABx为向量AB在x轴上的投影，ABy为向量AB在y轴上的投影。

分量表示形式方便进行向量的运算和推导。

二、平面解析几何的基本概念和表示方法平面解析几何是用代数方法研究平面上的几何问题。

它通过线性方程和坐标表示来研究几何图形的性质和关系。

1. 直线的解析方程：设直线L的解析方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x、y为变量。

通过解析方程可以确定直线L在平面上的位置和方向。

2. 圆的解析方程：设圆C的解析方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径长度。

解析方程确定了圆C在平面上的位置和半径。

三、平面向量与平面解析几何的关系平面向量和平面解析几何有着密切的联系，它们可以相互转化、相互补充，共同应用于几何问题的研究。

1. 平移变换：平移变换是平面向量的一种基本运算，也是几何图形的一种基本变换。

平移变换可以通过平面向量的加法来表示。

设向量u 表示平移的位移，则点P(x, y)经过平移变换得到的新点P'(x', y')的坐标可以表示为(x', y') = (x, y) + u。

平面向量与解析几何的关系

平面向量与解析几何的关系从数学的角度来看，平面向量是向量代数和解析几何两个分支中的重要概念。

平面向量不仅可以用于解释运动、力和速度等物理现象，还可以应用于解析几何中的线性方程组、平面的交点和几何形状的变换等问题。

本文将探讨平面向量与解析几何之间的密切关系。

一、平面向量的定义与性质在解析几何中，平面向量常常表示为带有箭头的有向线段，通常用一个字母加上箭头来表示，如向量a。

平面向量具有长度（模）和方向两个属性，可以通过两点之间的坐标差来表示。

设A(x1, y1)和B(x2,y2)是平面上的两点，则向量AB可以表示为向量a = (x2 - x1, y2 - y1)。

平面向量有很多重要的性质。

例如，向量的模可以通过勾股定理得到，即|AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

此外，向量还满足位移定律、加法和数乘等运算规律，这些性质为后续的解析几何问题奠定了基础。

二、平面向量在解析几何中的应用1. 向量的加法和减法平面向量的加法和减法是解析几何中常见的运算。

对于向量a =(x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的加法可以表示为a + b = (x1 + x2, y1+ y2)，减法可以表示为a - b = (x1 - x2, y1 - y2)。

这些运算可以简化解析几何中线段的延长、平行线的判定以及图形的相似性等问题的计算过程。

2. 向量积在解析几何中，平面向量的向量积常常被用来判断两个向量之间的关系和求解相关的几何问题。

向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于已知向量所在的平面。

设向量a = (x1, y1)和向量b = (x2, y2)，它们的向量积的计算公式为a × b = x1y2 - x2y1。

通过向量积，我们可以判断两个向量是否共线、垂直，进而应用于解析几何中直线的平行和垂直关系的判定、求解交点等问题。

3. 向量的数量积数量积是平面向量中另一个重要的运算。

初中数学的平面向量与解析几何知识梳理

初中数学的平面向量与解析几何知识梳理平面向量与解析几何知识梳理平面向量是数学中的重要概念之一，它在初中数学的学习中占有重要地位。

解析几何是基于代数方法研究几何图形的一门学科，同样也是初中数学中的重要内容。

本文将梳理初中数学中的平面向量与解析几何知识，帮助读者更好地理解和掌握这些概念和方法。

一、平面向量1. 向量的定义与表示向量可以被定义为具有大小和方向的量。

它可以用有序的实数组来表示，通常用“a”或“⃗a”表示，其中，a为向量的大小，⃗a为向量的方向。

例如，向量a = (a1, a2)表示一个二维向量，a1和a2分别为向量在x轴和y轴上的分量。

2. 向量的运算向量的运算包括加法、减法、数乘和数量积。

- 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

即，对于向量a和b，有a +b = b + a和(a + b) +c = a + (b + c)。

- 向量的减法：向量的减法可以通过向量加法和数乘来表示。

即，a - b = a + (-b)。

- 向量的数乘：向量的数乘指将一个向量乘以一个实数。

即，对于向量a和实数k，有ka = (ka1, ka2)。

- 向量的数量积：向量的数量积又称内积，记作a · b，表示两个向量的数量之积。

数量积有性质：a · b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示两个向量之间的夹角。

3. 向量的性质和运算法则向量具有一些重要的性质和运算法则，包括平移法则、共线法则、平行法则、垂直法则、三角形法则等。

这些法则和性质在解决向量的几何问题中具有重要的应用。

二、解析几何1. 直角坐标系解析几何的基础是直角坐标系，也称笛卡尔坐标系。

直角坐标系通过一组坐标轴将平面分为四个象限。

在直角坐标系中，点的位置可以用有序实数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。

2. 点、直线、平行和垂直在解析几何中，点可以用坐标表示，直线可以用方程表示。

数学期末平面向量与解析几何

数学期末平面向量与解析几何在数学学科中，平面向量与解析几何是高中数学中非常重要的内容。

平面向量用来描述平面上的物理量，解析几何则是用坐标表示几何图形，二者有着密切的联系。

本文将围绕着这两个主题展开论述，以帮助读者更好地理解与掌握平面向量与解析几何。

一、平面向量的定义与性质平面向量是指在平面内有大小和方向的量。

它由一个有向线段表示，长度表示大小，箭头方向表示方向。

平面向量的定义涉及到向量的加法、减法和数量乘法运算。

其中，向量的加法满足交换律和结合律，向量与标量的乘法满足分配律。

在平面向量的运算中，有一些重要的性质需要掌握。

首先是数量积与向量积的定义及性质。

数量积（又称点积）定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

向量积（又称叉积）的模为两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，方向垂直于所组成的平面。

其次是平面向量的共线与垂直判定方法。

如果两个向量的数量积为零，则它们共线；如果两个向量的向量积为零，则它们垂直。

二、平面向量的应用平面向量在几何图形的研究中有许多应用。

其中，向量的模可用来计算线段的长度。

向量的加法可用来求解平面中的平移问题。

向量的减法可用来求解线段的连接问题。

向量的数量积可用来判定两条线段的夹角及线段的垂直关系。

向量的向量积可用来计算平行四边形的面积、判定三角形的形状及方向等。

除了几何图形外，平面向量还在力学问题中有广泛应用。

例如，平面向量可以表示物体的位移、速度和加速度等物理量。

利用平面向量的运算性质，可以进行简化的计算，提高问题求解的效率。

三、解析几何的基本概念解析几何是利用代数方法研究几何问题的一个分支学科。

它的基本思想是利用坐标系将几何图形的问题转化为代数方程的问题。

在解析几何中，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

在直角坐标系中，通过选取两个相互垂直的坐标轴，可以表示平面上的任意一点。

解析几何通过坐标表示点、直线、曲线等几何图形，并利用代数方程来研究它们之间的关系。

数学中的平面向量与解析几何

数学中的平面向量与解析几何数学中的平面向量是解析几何的重要内容之一。

在解析几何中，平面向量被广泛应用于描述和研究空间中的各种几何问题。

本文将重点介绍平面向量的定义、性质以及与解析几何的关系。

一、平面向量的定义与性质平面向量是指在平面内的一个有大小和方向的矢量。

平面向量通常用有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，线段的方向表示向量的方向。

平面向量常用于表示平面上的位移、速度、加速度等物理量。

平面向量有以下几个重要性质：1. 平面向量的相等性：两个平面向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。

2. 平面向量的加法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点连接起来，以它们的和作为连线的对角线，那么这个对角线的起点就是两个向量的起点的和。

3. 平面向量的数乘：平面向量与一个实数相乘，等于将这个实数乘以向量的大小，同时保持向量的方向不变。

二、平面向量的坐标表示与解析几何的关系在解析几何中，平面向量可以用坐标表示。

通常选取平面直角坐标系的两个单位向量i和j为基底，平面上的任意向量A可以表示为A = x * i + y * j，其中x和y分别为向量在i和j方向上的投影长度。

平面向量的坐标表示使得解析几何可以通过代数方法进行计算和推导。

例如，通过平面向量的坐标表示，可以方便地计算向量的模长、夹角、共线关系等几何性质。

三、平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中有广泛的应用，以下列举几个常见的例子：1. 平面向量的数量积：平面向量的数量积是定义在平面向量上的二元运算，通过数量积可以计算向量的夹角、判断向量的垂直、平行关系等。

2. 平面向量的向量积：平面向量的向量积是定义在平面向量上的二元运算，通过向量积可以计算向量的面积、判断向量的共面关系等。

3. 平面向量的投影：平面向量的投影是指将一个向量在另一个向量上的投影长度，通过投影可以计算向量的分解、分解系数等。

通过平面向量的应用，解析几何可以解决许多几何问题，例如直线与曲线的位置关系、平面与平面的交线方程、曲线的切线与法线等。

平面向量的解析几何平面向量的解析几何表达与计算

平面向量的解析几何平面向量的解析几何表达与计算平面向量是解析几何中的重要概念，它在数学和物理等领域中得到广泛应用。

本文将介绍平面向量的解析几何表达与计算方法。

一、平面向量的定义平面向量是一个有大小和方向的箭头，可以用有序实数对表示。

设P、Q为平面上两点，以P为起点，连接P和Q的线段所对应的向量叫做平面向量，记作→PQ。

二、平面向量的表示平面向量可以通过坐标表示或矩阵表示。

1. 坐标表示设向量→AB的起点A的坐标为(x1, y1)，终点B的坐标为(x2, y2)，则向量→AB的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。

2. 矩阵表示将向量→AB表示为一个2行1列的矩阵，记作[Δx, Δy]T。

三、平面向量的计算平面向量的计算包括加法、减法、数量乘法和点乘。

1. 加法设平面向量→AB的坐标为(Δx1, Δy1)，平面向量→CD的坐标为(Δx2, Δy2)，则两个向量的和为(Δx1 + Δx2, Δy1 + Δy2)。

2. 减法设平面向量→AB的坐标为(Δx1, Δy1)，平面向量→CD的坐标为(Δx2,Δy2)，则两个向量的差为(Δx1 - Δx2, Δy1 - Δy2)。

3. 数量乘法设平面向量→AB的坐标为(Δx, Δy)，实数k，则k乘以向量→AB的结果为(kΔx, kΔy)。

4. 点乘设平面向量→AB的坐标为(Δx1, Δy1)，平面向量→CD的坐标为(Δx2, Δy2)，两个向量的点乘为Δx1Δx2 + Δy1Δy2。

四、平面向量的模设平面向量→AB的坐标为(Δx, Δy)，平面向量→CD的坐标为(Δx',Δy')，则向量→AB的模为√(Δx² + Δy²)，向量→CD的模为√(Δx'² + Δy'²)。

五、平面向量的单位向量平面向量的单位向量是具有相同方向但长度为1的向量。

设平面向量→AB的坐标为(Δx, Δy)，则向量→AB的单位向量为(Δx / √(Δx² +Δy²), Δy / √(Δx² + Δy²))。

平面向量与解析几何的“缘”

平面向量与解析几何的“缘”发布时间：2021-06-10T16:38:09.427Z 来源：《时代教育》2021年第5期作者：张艳[导读] 平面向量与解析几何都是数学教学的重点，其中含有大量抽象内容，两者也存在很多联系，挖掘两者的共同点，运用平面向量解决解析几何问题可以提高教学的深入度。

张艳福建省福州第八中学 350000摘要：平面向量与解析几何都是数学教学的重点，其中含有大量抽象内容，两者也存在很多联系，挖掘两者的共同点，运用平面向量解决解析几何问题可以提高教学的深入度。

本文将结合平面向量在解析结合应用中的几个例题，讲解如何利用平面向量解决一些复杂的数学问题，希望对数学教学提供帮助。

关键词：平面向量；解析几何；三角形平面向量是高中数学的重要内容,也是高考考查的重要内容之一。

高考对这部分的考查常以选择,填空的形式出现,也常与解析几何交汇,题型较稳定。

在高中数学中，很多学生遇到平面向量问题时会感觉难以下手，尤其是解决一些几何问题时，这说明学生对该部分知识的掌握还不是很牢固。

平面向量既有代数形式又有几何形式,作为工具的应用,它给平面解析几何奠定了必要的基础。

向量具有“数”与“形”的双重功能，而解析几何的本质是利用“数”去研究几何问题。

“几何”是把两者有机地联系在一起，若把向量点缀于解析几何问题之中，能有效地考查学生运用数学知识的能力。

本文将借助平面向量在解析几何中的几个例题，对平面向量的应用进行探讨。

一、平面向量与三角形的几个“心”应用∴O是的垂心．选D．点评：平面几何中有关三角形几个“心”的判断与向量联系的题目平时要多总结．二、应用平面向量判断三角形形状点评：本题是判断三角形的形状，首先利用向量减法进行转化，然后利用数量积及模的性质进行运算．三、应用平面向量求面积点评：用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．四、应用平面向量求两条直线的垂直例4：如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.五、求向量数量积的最值六、平面向量坐标法的应用点评：运用向量坐标法解题的一般步骤是：（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系；（2）设出或求出相应点的坐标；（3）利用两点间的向量坐标公式求出相应向量的坐标；（4）利用向量加法、减法、数乘向量、数量积、模等运算的坐标公式和向量共线、共面、垂直的坐标式条件进行相关计算，使问题获解.参考文献[1]周鹏.高中数学复习之微专题的研发与应用——高中数学解析几何复习与平面向量的融合策略[J].中学生数理化(自主招生),2019(10):18-19.[2]卢燕霞.学习平面向量时学生存在的问题分析及解决问题的对策[J].福建中学数学,2019(004):17-18.。