几何与代数历年真题版
代数与几何难题(含解析)
代数与几何难题一、选择题1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于( )．A .B .C .D .二、解答题2、如图1，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．3、已知抛物线y＝a+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
4、已知抛物线．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若A（n-3，n2+2）、B（-n+1，n2+2）是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和n的值；，且（3）若反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x满足2＜x＜3，求k的取值范围．5、如图，抛物线y=a+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由。
6、如图，第一角限内的点A在反比例函数y=的图象上，第四象限内的点B 在反比例函数y=图象上，且OA⊥OB，∠OAB＝60度，则K值为__________7、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一点，其坐标为（，-），B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）经过A、B、D三点的圆交AC于F，交直线y=x+3于点E．试判断△BEF的形状，并加以证明．代数与几何难题的答案和解析一、选择题1、答案：C试题分析：先过点A向BC引垂线，构造出直角三角形，再利用三角函数的定义解答即可。
高中数学练习题代数与几何
高中数学练习题代数与几何高中数学练习题：代数与几何一、代数题1. 已知多项式函数 f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7，求 f(x) 在 x = 2 处的函数值。
解析：将 x = 2 代入 f(x) 中即可得到函数值。
2. 若 a + b = 8，ab = 15，求 a^2 + b^2 的值。
解析：根据二次方程的求根公式，我们可以得到 a 和 b 的值，然后再计算 a^2 + b^2。
3. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4}，集合 B = {3, 4, 5, 6}，求 A 与 B 的交集、并集以及差集。
解析：根据集合的定义和运算规则，可以求得 A 与 B 的交集、并集以及差集。
二、几何题1. 在平面直角坐标系中，过点 A(2, 6) 和点 B(-4, -3) 的直线 k 的方程是什么？解析：使用两点式求得直线 k 的方程。
2. 已知等边三角形 ABC 的边长为 6cm，求三角形的高、面积以及内切圆半径。
解析：根据等边三角形的性质，可以求得三角形的高、面积以及内切圆半径。
3. 已知平面图形 ABCD 是一个正方形，AB 的边长为 5cm。
点 E、F、G 分别是 AB、BC、CD 上的点，且 AE = BF = CG。
求三角形 EFG 的面积。
解析：根据正方形的性质，可以求得三角形 EFG 的面积。
三、综合题已知函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 2，考察其在数轴上的特征点。
解析：通过求导、求值等方式，可以确定函数 f(x) 的驻点、拐点以及零点等特征点。
综上所述，本篇文章涵盖了高中数学代数与几何方面的练习题，包括代数题和几何题。
通过解析各题目，我们可以了解到问题的解法和相关概念。
这些题目旨在帮助高中生巩固数学知识，提高解题能力。
代数与几何期末测试题代答案
2000年代数与几何期末测试卷带答案试卷（一）一、填空题（每小题3分）增广矩阵为 A = （A ：b ）= 2由已知 r(A) < r(A),故 r(A) < 3, «2-2tz-3 = 0 ,即 Q = —1 或 1 = 3.当.=一1 时，r( A) < r( A) = 3 , 当 tz = 3时，r(A) = r(A).舍去. 综上，a = —\.二、选择题（每小题3分）（4）设〃维列向量组〃）线性无关，贝U 〃维列向量组川,..•,/?,〃线 性无关的充分必要条件为：（A ） 向量组％,…叫可由向量组旗,••璀皿线性表示； （B ） 向量组/?],.. .，患可由向量组线性表示；（C ） 向量组％,…叫与向量组“],•••,，〃等价；（D ） 矩阵 A = 与矩阵 B =（■，...,—）等价.解：（D ）正确（A ）、（B ）、（C ）说的都是两个向量组的线性表示，仅由旗,・・,队的线性无关，推不出线性表示，即必要条件不成立，现举反例如下：令％ =当，仪 2=。
3”2 =。
4 ,'1 2 1、（4）己知方程组 2 3 a + 2 工2 — 3J a ~2>解：一1.I无解，则。
=<1 21 • O<1 2 1:1 )10 -1 a 1 110 -1a1• 11[0 Q — 2 -3[0 0 cr — 2。
— 3| Q -3/1 a-2 ! 0,其中弓,°2，。
3，。
4为（〃阶单位阵，«>4 ）的前4列向量.显然e”2线性无关，。
3，。
4线性无关，而（A）、（B）、（C）都不成立.设.，队线性无关，因为mv〃，所以B矩阵列满秩，r（B）= m ,由线性无关，则A也是列满秩，r（A）= m,所以r（A）= r（B）,又因为4,8 都是nxm阵，故4,8等价.反之4,8等价，故残4）=,（8）,又因％,…叫线性无关，故A为列满秩阵,p = A% — (2, + /? + l)<z 9 + (2Z? +1)仪3 .解法2设有一组数k[ *盘3使得k x a x + k 2a 2 + k 3a 3 = p.对方程组的增广矩阵可作行的初等变换，有（a -2 -1（2 1 1 b 、 A = 2 1 1 b — 0 -2-色a ab 1 15 4 c)2 0 2 -1 2 c-5b7（1）当-2-旦壬0,即IA T 时，秩（A ）=秩（A ） = 3 ,方程组有唯一解，p 可由％,仪2，%线性表出，且表示唯一.2（2）当—2-— = 0,即。
几何与代数历年真题
也线性无关； 1 2, k2 3,3 1
1 1 1 1
4．
矩阵
A
0
0
1 0
1 1
1 1
的伴随矩阵
A*
=
0 0 0 1
；
5．
设矩阵
A
及
A
E
均可逆，则 G
E
(A
，且 E)1
G 1
时，
6． 与向量 (1,0,1) ， (1,1,1) 均正交的单位向量为
；
7． 四 点 共 A(1,1,1), B(1,1, x),C(2,1,1), D(2, y,3) 面 的 充 要 条 件
12．．
求求参一数正交k,l的阵值
；
Q, 使得QT
AQ
B.
八（6%）已知n 阶方阵 A 相似于对角阵，并且， A 的特征
向量均是矩阵 B 的特征向量。证明： AB BA。
-3-
02-03 学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一． 填空题、单选题（每小题３分，共３６分）
1
1． 025
1
2002
3
-1-
所截有界部分在 x y 平面上的投影区域的草图（应标
明区域边界与坐标轴的交点）。
三（8%）求经过直线
x x
2y y
z 2z
2且与 x y 平面垂直的
1
平面方程.
四（12%）求矩阵方程 XA 2X B 的解，其中，
. 3
A
0 0
1 1 0
1 0 3
,
B
1 3
0 2
1 1
6．若４阶方阵 A 的秩为２，则伴随矩阵 A的秩为 ；
7．若可逆矩阵
空间解析几何与向量代数测试题
空间解析几何与向量代数测试题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题六一、 填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________.2．轴的正向的夹与轴的正向的夹角为与的模为已知向量y x OM ,45.100→=→OM 则向量角为,600_________________.3. 过()3,1,2-点且平行于向量{}3,2,2-=和{}5,3,1--=的平面方程为__________.{}{}=-=-=→→λλλ则互相垂直和若两向量,,2,12,3,b a .5. ()向量决定的平面垂直的单位与三点)3,1,3(),1,3,3(,2,1,1321M M M - =→a ________________{}{}上的投影等于在向量向量1,2,24,1,1-==→→a b .的模等于则向量已知→→→→→→→-==⎪⎭⎫ ⎝⎛==n m a n m n m 3260,,2,50.垂直的平面方程是且与平面过点⎩⎨⎧=+-+=-+--012530742)3,0,2(z y x z y x .9. 设a b c →→→,,两两互相垂直,且a b c →→→===121,,,则向量s a b c →→→→=+-的模等于_____________.10． 过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________.1 =⎩⎨⎧=-+-=+-+D x z y x D z y x 则轴有交点与若直线,06222032.二、 选择题1． 表示方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x ;1)(;)(平面上的椭圆椭球面=y B A():.0)(;)(答上的投影曲线椭圆柱面在椭圆柱面=y D C2． :,轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量oy a k j i a →→→→→++=⎪⎭⎫⎝⎛+-±⎪⎭⎫⎝⎛++±→→→→→→k j i B k j i A 33)(33)(():22)(22)答⎪⎭⎫ ⎝⎛+±⎪⎭⎫⎝⎛-±→→→→k i D k i C3.=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→→→→→b a b a b a 则且已知,4,,2,1π ():.5)(;2)(;21)(;1)(答D C B A +4. 平面3x-3y-6=0的位置是(A)平行xoy 平面 (B)平行z 轴,但不通过z 轴; (C)垂直于z 轴; (D)通过z 轴. 答:( ) 5．则有且但方向相反互相平行设向量,0,,,>>→→→→b a b a→→→→→→→→->+-=+b a b a B b a b a A )(;)(():)()(答→→→→→→→→+=+-<+ba b a A b a b a C6．是旋转曲面1222=--z y x 轴旋转所得平面上的双曲线绕x xoy A )( 轴旋转所得平面上的双曲线绕z xoz B )( 轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoy C )( ():)(答轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoz D7. :,0,0结论指出以下结论中的正确设向量→→→→≠≠b a ;0)(垂直的充要条件与是→→→→=⨯b a b a A ;0)(平行的充要条件与是→→→→=⋅b a b a B ;)(平行的充要条件与的对应分量成比例是与→→→→b a b a C():.0),()(答则是数若=⋅=→→→→b a b a D λλ8. =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→→→c b a c b a 则为三个任意向量设,,,→→→→→→→→⨯+⨯⨯+⨯b c a c B bc c a A )()( ():)()(答→→→→→→→→⨯+⨯⨯+⨯cb ac D cb c a C9.方程x y y 224912+==⎧⎨⎪⎩⎪在空间解析几何中表示 (A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 答:( ) 10. 对于向量,,，有（A ） 若0=⋅b a ，则,中至少有一个零向量（B ） ()())(c a c b c b a ⋅+⋅=⋅+（C ） ()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ （D ） ()()0=⋅⋅1 1. 方程y z x 22480+-+=表示(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )12.双曲抛物面(马鞍面)()x p y qz p q 22200-=>>,与xoy 平面交线是 (A) 双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( )三、 计算题（本题共6小题，每小题8分，满分48分。
几何与代数习题参考答案_全部2014
由于上式中 (α − β ), ( β − γ ), (γ − α ) 的系数都是 1， 所以根据共面的充要条件得 α − β , β − γ , γ − α 共面。 ---------想清楚共面与上面等式的关系 四、判断题
1
1． （ 错 ） 2． （ 对 ） 3． （ 错 ） 4． （ 对 ） 五、填空题
8 −3
四、解：因为 (α × β ) ⋅ γ = 0
2 −1 = 63 ≠ 0, 3
1
2 2
所以 α , β , γ 不共面，
以这三个向量为棱所作的平行六面体体积 V = (α × β ) ⋅ γ = 63 。 ----------直接用混合积计算体积,判断共面性.
五、解：由于 α , β 不共线，向量 α , β , γ 共面，则可设 γ = xα + y β , 而
习题一 几何向量及其运算
一、填空题 1. 1）
α, β =
π
2
；
2）
α , β = 0 ； 3 ） α , β = π , 且 α ≥ β ； 4 ） α ，β = 0 ；
5） 0 ≤
α, β <
π
2
且α，β为非零向量 。 或 α ⋅ β > 0 ，
---------以上题目还可以把长度用内积表示,然后得到内积满足的条件.如.
T
⎛ a 2b 3c ⎞ ⎛ a 2a 3a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 b 2c ⎟ . ； ⎜ 0 b 2b ⎟ . ⎜ a 3b c ⎟ ⎜ c 3c c ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
T
⎛ 2 4 6⎞ ⎜ ⎟ 二、解： αβ = 13, βα = 1 2 3 。 ⎜ ⎟ ⎜3 6 9⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2 4 6⎞ ⎜ ⎟ ⎟ A = α β = ⎜ 1 ⎟ (1 2 3) = ⎜ ⎜ 1 2 3⎟; ⎜ 3⎟ ⎜ 3 6 9⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
历年代数高考题及答案
历年代数高考题及答案高考代数题目及答案年份：2015题目：1. 已知函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$，则 $f(2)$ 的值为多少？答案：1. 将 $x$ 替换为 $2$，得到 $f(2) = 3(2)^2 + 2(2) + 1 = 15$。
年份：2016题目：1. 已知不等式 $2x - 3 < 5$，求解 $x$ 的范围。
答案：1. 将不等式移项，得到 $2x < 5 + 3$。
2. 化简不等式，得到 $2x < 8$。
3. 除以 $2$，得到 $x < 4$。
年份：2017题目：1. 某公司员工工资为 $x$ 元，每个月涨幅为 $5\%$，则过$n$ 个月后，员工工资为多少？答案：1. 每个月的涨幅为 $5\%$，表示为 $1 + 0.05$。
2. 过 $n$ 个月后的工资为 $x \cdot (1 + 0.05)^n$。
年份：2018题目：1. 分解因式：$x^2 + 5x + 6$。
答案：1. 将式子分解为 $(x + 2)(x + 3)$。
年份：2019题目：1. 已知 $a + b = 10$，$a - b = 2$，求解 $a$ 和 $b$。
答案：1. 将两个方程相加，得到 $(a + b) + (a - b) = 10 + 2$。
2. 化简方程，得到 $2a = 12$。
3. 除以 $2$，得到 $a = 6$。
4. 将 $a$ 替换回第一个方程，得到 $6 + b = 10$。
5. 化简方程，得到 $b = 4$。
高考代数题目及答案汇总年份：20151. 已知函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$，则 $f(2)$ 的值为多少？答案：1. $f(2) = 15$年份：20161. 已知不等式 $2x - 3 < 5$，求解 $x$ 的范围。
答案：1. $x < 4$年份：20171. 某公司员工工资为 $x$ 元，每个月涨幅为 $5\%$，则过$n$ 个月后，员工工资为多少？答案：1. 过 $n$ 个月后的工资为 $x \cdot (1 + 0.05)^n$年份：20181. 分解因式：$x^2 + 5x + 6$。
代数考试题目及答案高中
代数考试题目及答案高中一、选择题（每题2分，共20分）1. 若a，b，c是实数，且满足a + b + c = 6，a^2 + b^2 + c^2 = 12，a^3 + b^3 + c^3 = 21，求a + b^2 + c^3的值。
A. 7B. 8C. 9D. 102. 已知x^2 - 5x + 6 = 0，求x^2 + 1/x^2的值。
A. 13B. 14C. 15D. 163. 若方程x^2 - 4x + k = 0有两个实根，求k的取值范围。
A. k > 0B. k ≥ 4C. k ≤ 4D. k < 44. 已知f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(2 - x)的表达式。
A. (2 - x)^2 - 6(2 - x) + 8B. x^2 - 6x + 8C. (x - 2)^2 - 6(x - 2) + 8D. x^2 + 12x + 205. 计算下列表达式的值：(2x - 3)^2。
A. 4x^2 - 12x + 9B. 4x^2 - 6x + 9C. 4x^2 + 12x + 9D. 4x^2 + 6x + 96. 若a，b是方程x^2 + 2x - 8 = 0的根，则a + b的值为：A. -2B. -4C. 2D. 47. 已知a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，求证a +b + c是一个偶数。
A. 正确B. 错误8. 计算下列表达式的值：(3x + 2)(2x - 3)。
A. 6x^2 - 5x - 6B. 6x^2 - 9x + 4C. 4x^2 - 13x + 6D. 5x^2 - 13x + 69. 若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。
A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 2xD. x^2 - 6x10. 已知a，b，c是实数，且满足a^2 + b^2 + c^2 = 1，求(a + b +c)^2的最大值。
数学代数与几何复习题集及答案
数学代数与几何复习题集及答案<数学代数与几何复习题集及答案>一、代数复习题1. 解方程：求解以下方程组(1) 2x + y = 5x - y = 1(2) 3x + 2y = 84x - y = 2(3) x^2 + 4y^2 = 92x + 3y = 6(答案略)2. 因式分解：将下列多项式进行因式分解(1) x^2 + 5x + 6(2) 2x^2 + 3x - 2(3) x^3 - 8(答案略)3. 等比数列：求解等比数列问题(1) 若一个等比数列的首项为2，公比为3，则第6项为多少？(2) 一个等比数列的首项为3，前5项的和为242。
求该等比数列的公比。
(3) 若一个等比数列的前n项和为S_n，其中首项为a，公比为r。
证明：S_n = a * (1 - r^n)/(1 - r)(答案略)二、几何复习题1. 三角函数：计算下列问题(1) 计算 sin(45°) - cos(30°)(2) 已知直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的正弦值为3/5，求该锐角的余弦值。
(3) 已知直角三角形的一条直角边长为6，斜边长为10。
求另一条直角边的长。
(答案略)2. 平面向量：解决平面向量问题(1) 已知平面向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，计算 a + b 和 a - b。
(2) 若平面向量a = (x, y)满足 a · (3, 1) = 4，求a的坐标。
(3) 已知平面向量a = (2, 1)，b = (3, 4)。
计算 a · b 和 |a × b|。
(答案略)3. 三角形：解决三角形问题(1) 在三角形ABC中，∠A = 70°，∠B = 40°，则∠C = ?(2) 若在三角形ABC中，a = 5，b = 7，∠C = 30°，则c = ? （使用余弦定理）(3) 若在三角形ABC中，a = 3，b = 4，c = 5，是否为直角三角形？(答案略)综上所述，本篇文章为数学代数与几何的复习题集及答案，旨在提供读者复习相关知识点，加深对代数与几何的理解。
中考数学 专题20 几何与代数综合性及易错问题(原卷版)
专题20 几何与代数综合性及易错问题题型一：几何与代数综合性问题尺规作图、利用代数方法解决图形存在性（最值、性质）问题等题型二：易错题型基于分类讨论的题型.【例1】(2019·洛阳二模)如图，直线y =-x +4与 x 轴、y 轴的交点为A ，B ．按以下步骤作图：43①以点 A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 AB ，x 轴于点 C ，D ；②分别以点 C ，D 为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧在∠OAB 内交于点M ；③作射线AM ，12交 y 轴于点E ．则点 E 的坐标为【变式1-1】(2019·偃师一模)如图，点A (0，2)，在 x 轴上取一点 B ，连接 AB ，以 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，AB 于点 M ，N ，再以 M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交12于点D ，连接 AD 并延长交 x 轴于点P ．若△OPA 与△OAB 相似，则点 P 的坐标为【变式1-2】（2018·河南第一次大联考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =kx （k >0）分别交反比例函数和在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交的图1y x =9y x =1y x =象于点C ，连接AC ．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是__________．【例2】（2019·偃师一模）当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为【变式2-1】(2019·洛阳二模)四张背面相同的扑克牌，分别为红桃1，2，3，4，背面朝上，先从中抽取一张把抽到的点数记为a，再在剩余的扑克中抽取一张点数记为b，则点(a，b)在直线y=x+1 上方的概率是【变式2-2】（2018·信阳一模）如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为P1，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为P2，则（）A．P1＞P2B．P1＜P2C．P1=P2D．以上都有可能1.（2018·焦作一模）如图，在直角坐标系中，正方形ABCO的点B坐标（3，3），点A、C分别在y 轴、x轴上，对角线AC上一动点E，连接BE，过E作DE⊥BE交OC于点D．若点D坐标为（2，0），则点E坐标为．2.（2018·焦作一模）如图1，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接BE ，CD ，点M 、N 、P 分别是BE 、CD 、BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，△PMN 的形状是；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN 的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =1，AB =3，请直接写出△PMN 的周长的最大值．图1 图23.（2019·三门峡二模）如图，正方形ABCD 的对称中心在坐标原点，AB ∥x 轴，AD ，BC 分别与x 轴交于E ，F ，连接BE ，DF ，若正方形ABCD 的顶点B ，D 在双曲线y ＝上，实数a 满足＝1，则四边形ax1a a DEBF 的面积是（）A ．B ．C ．1D ．212324.（2019·省实验一模）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B ，C 为圆心，以大于BC 12的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．如果CD ＝AC ，∠ACB ＝105°，那么∠B 的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°5.（2019·省实验一模）如图，点A （m ，5），B （n ，2）是抛物线C 1：y ＝x 2﹣2x +3上的两点，将抛12物线C 1向左平移，得到抛物线C 2，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C 2的解析式是（）A ．y ＝（x ﹣5）2+1B ．y ＝（x ﹣2）2+41212C ．y ＝（x +1）2+1D ．y ＝（x +2）2﹣212126.（2019·省实验一模）如图，网格线的交点称为格点．双曲线y ＝与直线y ＝k 2x 在第二象限交于格1k x点A ．（1）填空：k 1＝，k 2＝；（2）双曲线与直线的另一个交点B 的坐标为；（3）在图中仅用直尺、2B 铅笔画△ABC ，使其面积为2|k 1|，其中点C 为格点．7.（2019·叶县一模）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF （如图1），连接BD ，MF ，若BD ＝16cm ，∠ADB ＝30°．（1）如图1，试探究线段BD 与线段MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，边AD 1交FM 于点K （如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求β的度数；（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A 2F 2M 2（如图3），F 2M 2与AD 交于点P ，A 2M 2与BD 交于点N ，当NP ∥AB 时，求平移的距离．图1 图2 图38.（2019·濮阳二模）若函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x +m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为32（）A ．﹣2或3B ．﹣2或﹣3C ．1或﹣2或3D ．1或﹣2或﹣39.（2019·濮阳二模）如图，点A 在双曲线y =（x ＞0）上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，分别以kx点O 和点A 为圆心，大于OA 的长为半径作弧，两弧相交于D ，E 两点，作直线DE 交x 轴于点C ，交y 12轴于点F （0，2），连接AC ．若AC ＝1，则k 的值为（ ）A ．2B ．C D 322510.（2019·商丘二模）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转30°后得到矩形OA ′B ′C ′，A ′B ′与BC 交于点M ，延长BC 交B ′C ′于N ，若A 0），C （0，1），则点N 的坐标为（）A ．1）B ．（2，1）C ．－2，1）D ．（1，1）11.（2019·开封模拟）如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为．12.(2019·新乡一模) 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：①分别以点A 、D 为圆心，以大于AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ；②连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ；12③连接DE 、DF ．若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是（）A ．2B ．4C ．6D ．813.（2017·西华县一模）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，且BC =2，则AB = ．14.（2019·省实验一模）如图，点A （m ，5），B （n ，2）是抛物线C 1：y ＝x 2﹣2x +3上的两点，将12抛物线C 1向左平移，得到抛物线C 2，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C 2的解析式是（ ）A ．y ＝（x ﹣5）2+1B ．y ＝（x ﹣2）2+41212C ．y ＝（x +1）2+1D ．y ＝（x +2）2﹣2121215.（2019·郑州联考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点C 为圆心，以大于AC 12的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．若∠B ＝34°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．68°B ．112°C ．124°D ．146°16.（2019·郑州联考）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝16cm 2，S △BQC ＝25cm 2，则图中阴影部分的面积为cm 2．17.（2019·安阳二模）如图，在△ABC 中，∠C ＝50°，∠B ＝35°，分别以点A ，B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，直线MN 交BC 于点D ，连接AD ．则∠DAC 的度数为（）A ．85°B ．70°C ．60°D ．25°18.（2019·枫杨外国语三模）如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O (0，0)，A (0，3)， B (4，0)，按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交 OC ，OB 于点 D ，E ；②分别以点 D ，E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点F ；③作射线OF ，交边BC 12于点G ，则点G 的坐标为()A ．(4，)B ．(，4)C ．(，4)D ．(4，)4343535319.（2019·中原名校大联考）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步作图：①分别以点A ，D 为圆心，以大于AD 的长为半径在AD 两侧作弧，两弧交于两点M ，N ；②作直线MN 分别交AB ，AC 12于点E ，F ；③连接DE ，DF ，若BD ＝6，AE ＝4，CD ＝3，则CF 的长是（）A ．1B ．1.5C ．2D ．320.（2019·许昌月考）任意一条线段EF ，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH 、HF 、FG ，GE ，则下列结论中，不一定正确的是（）A ．△EGH 为等腰三角形B ．△EGF 为等边三角形C ．四边形EGFH 为菱形D ．△EHF 为等腰三角形。
代数几何综合题（含答案）
代数⼏何综合题（含答案）代数⼏何综合题代数⼏何综合题是初中数学中覆盖⾯最⼴、综合笥最强的题型，近⼏年的中考试题很多以代数⼏何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是⽅程与⼏何、函数与⼏何等，解代数⼏何综合题最常⽤的数学⽅法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平⾯直⾓坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ）（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最⼤整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥,∴∠+∠=?∠+∠∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90,A （2，0），C （2，y ）在直线a 上∴∠=∠=?B O P P AC 90 ∴??B O PP A C ~ ∴=P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x的最⼤整数值为-1 , 当x =-1时，y =-32，∴=CA 32B O a B O QC A Q O Q A Q B OC A //~,，∴∴=??设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m=-2 ∴-=∴=m m m 223287，∴Q 点坐标为()870，说明:利⽤数形结合起来的思想，考查了相似三⾓形的判定及应⽤。
关键是搞清楚⽤坐标表⽰的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O 外⼀点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出⾃变量x 的取值范围；（3分）(3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
几何与线性代数习题集册
习题一 几何向量及其运算姓名 学号 班级一、填空题1． 下列等式何时成立：1）βαβα-=+， 当 ；2）βαβα+=+，当 ；3）αβαβ+=-， 当 ；4）ββαα=，（,αβ为非零向量），当 ； 5）βαβα->+， 当 。
2．指出下列向量组是线性相关还是线性无关：1）},{αθ是 ； 2）βα,不平行，},{βα是 ；3）γβα,,共面，},,{γβα是 ；4）γβα,,不共面，},,{γβα是 。
3．在空间直角坐标系中，点(2,3,5)M -关于关于yoz 平面的对称点是 ；关于原点的对称点是 ；关于z 轴的对称点是 ；在xoy 平面上的投影点坐标是 ；在y 轴上的投影点是 ；到yoz 平面的距离是 ；到原点的距离是 ；到x 轴的距离是 。
二、设,,OA OB P αβ==u u u r u u u r 为线段AB 上任一点，证明存在数λ，使得λβαλ+-=)1(OP 。
三、已知向量313221,,e e e e e e +=+=+=γβα，证明αγγββα---,,共面。
四、判断题1．若γαβα⋅=⋅，且αθ≠，则βγ=。
（ ）2．γβα,,共面的充分必要条件是0)(=⨯⋅γβα。
（ ）3．><⋅=⨯βαβαβα,sin 。
（ ） 4．βαβα⋅≤⋅ 。
（ ）五、填空题1．已知向量4,3,32===βαπϕβα的夹角和，则 1）βα⋅= ；2） 2βα+= ；3）(32)(2)αβαβ-⋅+= 。
2．已知βαβα3,2-=-=AD AB ，其中6,,3,5πβαβα>=<==，则三角形ABD 的面积S = 。
六、已知 21,2,,,,3παβαβωλαβγαβ==<>==+=-。
问 1）λ为何值时，ω与γ平行； 2）λ为何值时，ω与γ垂直。
七、已知α与β垂直，且3,4αβ==，计算：(提示: ,.αβααββ⨯⊥⨯⊥)1）αβα⨯⨯)(； 2）)()(βαβα-⨯⨯； 3）)2()3(βαβα-⨯-。
理学院几何与代数B第一学期期末考试试卷2及答案
交 通 大 学2008-2009学年第一学期《几何与代数（B ）I 》期末考试试卷(A)一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中．1 已知向量,αβ满足||2,||3,==和αβαβ的夹角为3π，则以向量 34,2A B =-=+αβαβ为邻边的平行四边形的面积是2 当13141234020020x ax x x ax x x x +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩有非零解，则a= 1/4 .3 若平面经过点(1,2,1)A -和z 轴,则此平面方程为 20x y -=.4 由曲线22140x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩围绕x 轴旋转一周所成曲面的方程是222()14x y z -+=. 5 已知3阶矩阵1231223123,,,3,32,22A B ==----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦αααααααααα 且||16B =，则||A = 4 .6设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A 且1||2A =.则1*123A A -⎛⎫-= ⎪⎝⎭n+127 已知向量β可由向量组()()()1231,2,3,0,2,5,1,0,2ααα=-=-=-线性表示,则向量组123,,,αααβ的秩为 2 .8 设A 为3阶方阵且行列式|||2||3|0E A E A E A -=-=-=，（其中E 为3阶单位阵）。
则*A = 36 .（其中E 为3阶方阵）。
9 已知四阶行列式1171318021435125D -=-. 设ij A 为行列式D 中第i 行第j 元素ij a 的代数余子式，则14243444325A A A A +-+= 010 一个动点与(1,0,0)A 的距离是此动点到平面4x =距离的一半，则此动点的轨迹方程为：22234412x y z ++=.二. (10分)计算n 阶行列式解 （1）如果0x =，任意两列对应成比例，故0n D = ----------2分 (2) 如果0x ≠, 第i 行分别减去第一行，（i=2,3,…,n+1）得xxx x a a a x D n021--+=（箭形行列式）-----------3分-----------3分三．（12分） 当a 为何值时，线性方程组123123123322ax x x ax ax x x x ax +++=⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩ 121121121121n n n n n n n n nx a a a a a x a a a a a a a a a a x a D ----++=+112111000000(1)00000000j j na xn nj na nx j a a a a x x x x -==+==+∑∑无解，有惟一解，有无穷多解？在有无穷多解的情况下，求出它的通解。
理学院几何与代数B第一学期期末考试试卷6及答案
交 通 大 学2012-2013学年第一学期《几何与代数》期末考试试卷（A ）一．简答题（需写出计算过程，本题共九小题，满分50分）1. （4分）已知向量,,αβγ中任两个的夹角都是3π，且,,αβγ的长度分别是4,6,2。
求向量αβγ++的长度。
解 2222()222100αβγαβγαβαγβγ++=+++⋅+⋅+⋅=所以10αβγ++==2. （4分）若矩阵111a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的伴随矩阵的秩为1，求a 的值。
解 若矩阵111a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的伴随矩阵的秩为1，则矩阵111a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩为2。
由211(12)(1)01a aa a a a a a =+-=，知1a =或12a =-，经验证12a =-3． （5分）求过四点(1,0,1),(2,1,4),(1,3,3),(2,1,3)A B C D -----的空间四面体AB CD 的体积。
解 由立体几何知，四面体AB CD 的体积V 等于以,,AB AC AD 为棱的平行六面体体积的1/6。
即1()6V AB AC AD =⨯⋅ 而(1,1,3),(2,34),(1,1,2)AB AC AD =-=-=--，所以113()2341112AB AC AD -⨯⋅=-=--，16V =。
4. （5分）设A 是4阶正交矩阵，0A <，B 是4阶矩阵满足4B A -=-。
I是4阶单位矩阵，求行列式TI AB -的值。
解 4(1)(4)TT T I ABA AB A A B A -=⋅-=⋅-=--又TAA I =，所以21A I ==，而0A <，故1A =-。
这样4T I AB -=。
5． （6分）已知矩阵1111011100110001A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭和向量组123(1,4,10,2),(1,2,4,6),(1,3,7,4)ααα=-=-=-。
资料：线性代数几何代数历年试题_周建华
《几何与代数》、《线性代数》教学大纲与历年题库南京东南大学数学系2007年９月目录1.几何与代数教学大纲 (1)2.线性代数教学大纲 (8)3.几何与代数教学大纲（64学时） (13)4.01-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (21)5.02-03学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (25)6.03-04学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (30)7.04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (34)8.05-06学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (39)9.06-07学年第二学期几何与代数期终考试试卷 (43)10.01-02学年第三学期线性代数期终考试试卷 (47)11.03-04学年第三学期线性代数期终考试试卷 (52)12.04-05学年第三学期线性代数期终考试试卷 (56)13.05-06学年第三学期线性代数期终考试试卷 (61)14.06-07学年第三学期线性代数期终考试试卷 (65)15.05-06学年第二学期几何与代数补考试卷 (69)16.05-06学年第二学期线性代数补考试卷 (73)17.07-08学年第一学期线性代数转系考试试卷 (77)《几何与代数》教学大纲48学时本课程是本科阶段几何及离散量数学最重要的课程。
本课程的目的是使学生熟悉线性代数与空间解析的基本概念，掌握用坐标及向量的方法讨论几何图形的方法，熟悉空间中简单的几何图形的方程及其特点，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其空间想象能力、抽象思维和逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础，并为后继课程的学习做好准备。
教学内容和基本要求一．向量代数平面与直线1．理解几何向量的概念及其加法、数乘运算，熟悉运算规律，了解两个向量共线和三个向量共面的充分必要条件；2．理解空间直角坐标系的概念，了解仿射坐标系的概念，掌握向量的坐标表示；3．理解向量的数量积、向量积和混合积的概念，理解它们的几何意义，了解相关的运算性质，掌握利用坐标进行计算的方法；4．理解平面的法向量的概念，熟练掌握平面的方程的确定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式；5．理解直线的方向向量的概念，熟练掌握直线的对称方程、一般方程及参数方程的确定方法；6．了解直线、平面间的夹角的定义，了解点与直线、平面间的距离的定义，并掌握相关的计算；7．了解平面束的概念，并会用平面束处理相关几何问题。
北京交通大学几何与代数历年试题
北 京 交 通 大 学2007-2008学年第一学期《几何与代数（B ）I 》期末考试试卷(A)答案及评分标准一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中．1、已知(1,3,1α=-，(1,2,2)β=-，αγ⊥， βγ⊥且1γ=，则=γ,1). 2、若123123123000ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则a= 1，-2 ..3．若点(1,2,3)P ，(2,,1)Q a ，(,1,4)R b 共线，则,a b 的值分别是14,2a b ==. 4. 由曲线22221y z b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩围绕y 轴旋转一周所成曲面的方程是 222221.y x z b c ++= 5．已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--的秩为2，则t =3 .6． 设A 为(2)n n ≤阶方阵，A 的行列式*2,A A =为A 的伴随矩阵，则*A 的伴随矩阵**()A = 22n A -7. 向量组()()()1231,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,14ααα=-==的一个极大线性无关组是 12,αα ,8. 通过点(1,2,3)且与直线x y z ==垂直的平面方程是60x y z ++-= .9. 设A 是3阶方阵，1，2，3是A 的3个特征值。
则E A += 24 .10. 已知三阶方阵()121113A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭。
则11116222333n n A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ .二. (10分)计算n 阶行列式21...1113 (1)1.........11...111...1n+1n解 21...1111 (1113)...1102...11..................11...n 101...n 111 (1)n +101 (1)n +1=11...1111 0.........10...10-10...0nn -=-- ....8分11111 (11120)1...111(2)!.........2300 (100)0...nnn n n +++⋅⋅⋅+==+++⋅⋅⋅+-....10分三．（12分） 当a,b 为何值时，线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ 无解，有惟一解，有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，写出它的所有解（用导出组基础解系表示）。
代数与几何期末测试卷有答案
2002年代数与几何期末测试卷带答案试卷（一）一、填空题（每小题3分）（4）已知实二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换=x Py 可化成标准形216f y =，则a =__________. 解：a = 2 .二次型f 的矩阵为222222a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A222||22(4)(2)22a E A a a a a----=---=---+---λλλλλλ 故A 的特征值为4a =+λ及2a =-λ的二重根经正交变换22221122331,6f y y y y ==++=x Py λλλ 所以有12360===λλλ，由此 4620a a +=⎧⎨-=⎩ 推出 2a =二、选择题（每小题3分）（4）设有三张不同平面的方程123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（A ） （B ） （C ） （D ） 解：（B ）正确.由于线性方程组123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==， ()()23r A r A ==<，所以方程组有解，并且无穷多解.（A）表示三个平面有唯一的交点，说明线性方程组有唯一解，此时()()3r A r A ==，故（A ）不对.（C ）表示三个平面两两相交，但三个平面无公共点，说明线方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（C ）不对.（D ）表示三个平面中有两个平行平面，与第三个平面相交，但三个平面无公共点，说明线性方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（D ）不对. （B ）中三个平面相交于同一直线，说明方程组有解，且无穷多解，因此必有()()3r A r A =≠，又三平面既不是重合平面，又不是平行平面，故()2r =A ，即（B ）正确.九、（本题满分6分）已知4阶方阵12341234(,,,),,,,=A αααααααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232=-ααα，如果1234=+++βαααα，求线性方程组=Ax β的通解.解法1 令1234x x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭x ，则由12123434(,,,)x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Ax ααααβ得112233441234x x x x +++=+++αααααααα， 将1232=-ααα代入上式，整理后得12213344(23)()(1)x x x x x +-+-++-=ααα0. 由234,,ααα线性无关，知12134230,0,10.x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解此方程组得01320110k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，其中k 为任意常数.解法2 由234,,ααα线性无关和123420=-+αααα，故A 的秩为3，因此=Ax 0的基础解系中只包含一个向量.由 12342-++=αααα0知1210⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为齐次线性方程组=Ax 0的一个解，所以其通解为12,10k k ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数.再由 123412341111(,,,)1111⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭βααααααααA知1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为非齐次线性方程组=Ax β的一个特解，于是=Ax β的通解为11121110x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数.十、（本题满分8分） 设,A B 为同阶方阵，（1）如果,A B 相似，试证,A B 的特征多项式相等（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立. （3）当,A B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立. 证：（1）若,A B 相似，那么存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，故 111|||||λλλ----=-=-=E B E P AP P EP P AP B ，故11|()|||||||λλ--=-=-P E A P P E A P 1||||||||.λλ-=-=-P P E A E A（2）令0100,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，那么2||||λλλ-==-E A E B ，但,A B 不相似. 否则，存在可逆矩阵P ，使 1-==P AP B 0，从而1-==A PBP 0，矛盾.（3）由,A B 均为实对称矩阵知，,A B 均相似于对角阵.若,A B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为1,,n λλ，则有A 相似于1n λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭， B 也相似于1n λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭， 即存在可逆矩阵,P Q 使111n λλ--⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭P AP Q BQ . 于是111()()---=PQ A PQ B .由1-PQ 为可逆矩阵知，A 与B 相似.试卷（二）一、填空题（每小题3分）（5）矩阵022222222--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是__________.解： 4 .设 022222222--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A232222||2220222222r r +-=--===--λλλI A λλλλλ3222000(4)224c c -====--λλλλλ故非零特征值为4.二、选择题（每小题3分）（5）设向量组123,,ααα线性无关，1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有 （A ）12312,,,k +αααββ线性无关 （B ）12312,,,k +αααββ线性相关 （C ）12312,,,k +αααββ线性无关 （D ）12312,,,k +αααββ线性无关解：（A ）正确因为123,,ααα线性无关，1β可由123,,ααα线性表示，所以1231,,,αααβ线性相关；2β不能由123,,ααα线性表示，所以1232,,,αααβ线性无关.取0k =，说明（B ）、（C ）不对，而仅当0k =时，（D ）才成立，故（D ）不对，现证（A ）正确.易见12k +ββ不能表成123,,ααα的线性组合，如若不然，存在常数123,,l l l 使 12112233k l l l ++++ββααα则 21122331l l l k =++-βαααβ （1） 而1β可由123,,ααα线性表示，即存在常数123,,k k k ，使1112233k k k =++βααα （2） （2）代入（1）2111222333()()()l kk l kk l kk =-+-+-βααα 这与2β不能由123,,ααα线性表示矛盾. 可见12312,,,k +αααββ线性无关，当然也可以用线性无关的定义来证明该结论.十一、（本题满分6分）已知,A B 为3阶矩阵，且满足124-=-A B B E ，其中E 是3阶单位矩阵. （1）证明：矩阵2-A E 可逆；（2）若120120002-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，求矩阵A .解 （1）由124-=-A B B E 知24--=AB B A 0， 从而 (2)(4)8--=A E B E E ，或 1(2)(4)8-⋅-=A E B E E .故2-A E 可逆，且11(2)(4)8--=-A E B E .（2）由（1）知128(4)-=+-A E B E ，而 111104432013(4)1200,880021002--⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎪⎪⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭B E 故 020110002⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A .十二、（本题满分6分） 同试卷（一）九.试卷（三）一、填空题（每小题3分）（3）设三阶矩阵122212304-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，三维列向量T (,1,1)a =α，已知A α与α线性相关，则a =__________.解：1a =-.122212123304134a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α由A α与α线性相关，故k =A αα，即2334a ka a k a k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故1a =-二、选择题（每小题3分）（3）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0 （A ）当n m >时仅有零解. （B ）当n m >时必有非零解. （C ）当m n >时仅有零解. （D ）当m n >时必有非零解. 解：（D ）正确因为A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，所以AB 是m m ⨯方阵，故x 为1m ⨯列向量线性方程组()=AB x 0可写成()=A B x 0，这说明=Bx 0的解一定是()=AB x 0的解.当m n >时，=Bx 0必有非零解，所以()=AB x 0必有非零解，故（D ）正确，而（C ）错误.当n m >时，取B 为零阵时，x 为任意m 维向量=Bx 0，()=AB x 0故（A ）不正确.当n m >时，取10100,0101011⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 时，2,()==AB E AB x 0仅有零解，故（B ）错误.事实上只要选择,A B 使AB 满秩阵即知（B ）不对. （4）设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵1T ()-P AP 属于特征值λ的特征向量是 （A ）1-P α. （B ）T P α. （C ）P α. （D ）1T ()-P α. 解：（B ）正确.由已知条件=A αλα因A 是对称阵，故1T T T 1T T T 1()()()---==P AP P A P P A P . 因此有T T 1T T T T ()()()-⋅===P A P P αP AαP λαλP α这说明T P α是1T ()-P AP 属于特征值λ的特征向量，故（B ）正确. 本题的关键是与向量α左乘的矩阵是T P 才能与T 1()-P 消掉，（A ）、（C ）、（D ）不具备此形式. 九、（本题满分8分） 设齐次线性方程组1231231230,0,0.n nn ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩其中0,0,2a b n ≠≠≥. 试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解. 解：方程组的系数行列式1||[(1)]()n a b b b b a b ba nb a b b b ab b b ba-==+--A .（1）当a b ≠且(1)a n b ≠-时，方程组仅有零解. （2）当a b =时，对系数矩阵A 作行初等变换，有111100000000a a a a a a aa a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . 原方程组的同解方程组为120,n x x x +++=其基础解系为T T T 121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ααα.方程组的全部解是112211n n c c c --=+++x ααα （121,,,n c c c -为任意常数）.（3）当(1)a n b =-时，对系数矩阵A 作行初等变换，有(1)(1)(1)(1)n bb b b b b n b b b b bb n b b b b b b b n b -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A 100011111101001111110010111111000111111100000n n n n -⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭原方程组的同解方程组为121,,.n nn n x x x x x x -=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 其基础解系为T (1,1,,1)=β.方程组的全部解是c =x β(c 为任意常数).十、（本题满分8分）设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件22+=A A 0，已知A 的秩()2r =A . （1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵k +A E 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 解法1 （1）设λ为A 的一个特征值，对应的特征向量为α，则 ()λ=≠A ααα0 22λ=A αα. 于是22(2)(2)λλ+=+A A αα. 由条件2(2)+=A A α0推知 2(2)λλ+=α0.又由于≠α0，故有220λλ+=， 解得2,0λλ=-=.因为实对称矩阵A 必可对角化，且()2r =A ，所以2~20-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A Λ. 因此，矩阵A 的全部特征值为1232,0λλλ==-=.（2）矩阵k +A E 仍为实对称矩阵. 由（1）知，k +A E 的全部特征值为 2,2,k k k -+-+.于是，当2k >时矩阵k +A E 的全部特征值大于零. 因此，矩阵k +A E 为正定矩阵.解法2 （1）同解法1.（2）实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得 1-=P AP Λ， 1-=A P ΛP . 于是11k k --+=+A E P ΛP PP 1()k -=+P ΛE P ， 所以~k k ++A E ΛE .而22k k k k -⎛⎫ ⎪+=- ⎪ ⎪⎝⎭ΛE .k +ΛE 为正定矩阵，只需其顺序主式式均大于0，即k 需满足 2220,(2)0,(2)0k k k k ->->->.因此，当2k >时，矩阵k +A E 为正定矩阵.试卷（四）一、填空题（每小题3分）（3）设矩阵211,3223-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭A B A A E ，则1-=B __________解：1-=B 10211⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭.(2)()=--B A E A E110121212220-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以||2=B*110101222||211-⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭B B B . （4）设向量组123(,0,),(,,0),(0,,)a c b c a b ===ααα线性无关，则,,a b c 必满足关系式__________. 解：0abc ≠因为123,,ααα线性无关，故123|,,|0≠ααα00200a cb c abc a b=≠. 即0abc ≠.二、选择题（每小题3分）（3）设,A B 为n 阶矩阵，**,A B 分别为,A B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎛⎫= ⎪⎝⎭A CB 00，则C 的伴随矩阵*=C （A ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭A A B B 00. （B ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭B B A A 00. （C ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭A B B A 00. （D ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭B A A B 00. 解：（D ）正确*||=AA A I*||=BB B I||||||⎛⎫== ⎪⎝⎭A C A B B 00，设*,⎛⎫= ⎪⎝⎭G C G H 00、H 是n 阶方阵 *⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A G AG CCB H BH 000000 2|||||||||||n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭A B I A B I A B I 00 因此有 ||||||||n n=⎧⎨=⎩AG A B I BH A B I 所以应有*||=G B A*||=H A B于是***||||⎛⎫= ⎪⎝⎭B A C A B 00，恰为（D ） 故（D ）正确当然此题通过直接计算选择正确答案也是一种行之有效的作法.九、（本题满分8分）设四元齐次线性方程组（I ）为123123230,20.x x x x x x +-=⎧⎨++=⎩ 由已知另一四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为T T 12(2,1,2,1),(1,2,4,8)a a =-+=-+αα.（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.解法1 （1）对方程组（I ）的系数矩阵作行初等变换，有2310105312110132--⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A . 得方程组（I ）的同解方程组13423453,32.x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩ 由此可得方程组（I ）的一个基础解系为T T 12(5,3,1,0),(3,2,0,1).=-=-ββ（2）由题设条件，方程组（II ）的全部解为112212112231212422(2)4(8)x k k x k k k k x a k k k a k x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭αα ① （12,k k 为任意常数）.将上式代入方程组（I ），得112(1)0,(1)(1)0.a k a k a k +=⎧⎨+-+=⎩ ② 要使方程组（I ）与（II ）有非零公共解，只需关于12,k k 的方程组②有非零解. 因为210(1)1(1)a a a a +=-++-+， 所以，当1a ≠-时，方程组（I ）与（II ）无非零公共解. 当1a =-时，方程组②有非零解，且12,k k 为不全为零的任意常数. 此时，由①可得方程组（I ）与（II ）的全部非零公共解为12123421121417x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k 为不全为零的任意常数）.解法2 （1）对方程组（I ）的系数矩阵作行初等变换，有23102310.12113501---⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A 得方程组（I ）的同解方程组31241223,35.x x x x x x =+⎧⎨=+⎩ 由此可得方程组（I ）的一个基础解系为 T T 12(1,0,2,3),(0,1,3,5)==ββ.（2）设方程组（I ）与（II ）的公共解为η，则有数1234,,,k k k k ，使得 11223142k k k k =+=+ηββαα.由此得线性方程组（III ）1342341234123420,20,23(2)40,35(8)0.k k k k k k k k a k k k k k a k -+==⎧⎪--+=⎪⎨--+++=⎪⎪--+++=⎩ 对方程组（III ）的系数矩阵作行初等变换，有10211021011201122324001035180001a a a a ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭由此可知，当1a ≠-时，方程组（III ）仅有零解，故方程组（I ）与（II ）无非零公共解.当1a =-时，方程组（III ）的同解方程组为1342342,2,k k k k k k =-⎧⎨=-+⎩ 令3142,k c k c ==，得方程组（I ）与（II ）的非零公共解为1221121417c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭η （12,c c 为不全为零的任意常数）.十、（本题满分8分）设实对称矩阵 111111a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角形矩阵，并计算行列式||-A E 的值. 解：矩阵A 的特征多项式211||11(1)(2)11aa a a aλλλλλλ----=--=---+--E A . 由此得矩阵A 的特征值1231,2a a λλλ==+=-. 对于特征值121a λλ==+，可得对应的两个线性无关的特征向量 T T12(1,1,0),(1,0,1)==αα.对于特征值32a λ=-，可得对应的特征向量 T1(1,1,1)=-α.令矩阵1231111(,,)101,10112a a a -+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪===+ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P αααΛ， 则1112a a a -+⎛⎫⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.11||||---=-A E P ΛP PP 1||||||-=⋅-⋅P ΛE P0000003a a a =-2(3).a a =-。
几何与线性代数习题及答案
证明：用反证法。若 ξ 1 + ξ 2 是 A 的属于某特征值 λ 的特征向量，则
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A(ξ1 + ξ 2 ) = λ (ξ1 + ξ 2 ) ， （1）
由于 ξ 1 , ξ 2 分别是 A 的属于 λ1 , λ 2 的特征向量，所以
Aξ1 = λ1ξ1 , Aξ 2 = λ 2ξ 2 ，
由（1） 、 （2）可得：
= E−
1
λ
BA λE = ( E −
1
λ
BA)λE
= λE − BA 。 当 λ = 0 时，
0 E − AB = (−1) n AB = (−1) n BA = 0 E − BA 。
所以， AB 与 BA 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。 七、证明： 1）如果 A 可逆，则 AB 与 BA 相似。 2）如果 A 可逆， A ~ B ，则 A ~ B 。 3）如果 A 与 B 相似， C 与 D 相似，则 ⎢
λi (i = 1,2,", n) 两 两 互 异 ， 所 以 A 可 对 角 化 ， 设
α i (i = 1,2,", n) A 的分别属于 λi (i = 1,2,", n) 的特征向量（它们是线性无关的） ，令
P = (α 1 , α 2 , ", α n ), M = diag (λ1 , λ 2 ,", λ n ), 则P −1 AP = M，AP = PM ，
6 ，(
1 * −1 A ) = 2
0 。
2/9
。
3．设 A 为 n 阶方阵， Ax = 0 有非零解，则 A 必有一特征值为
4．假设 n 阶矩阵 A 的任意一行中 n 个元素之和都为 a ，则 A 有一特征值为 a ，对应于此特 征值的一个特征向量是 (1,1, " ,1) 。
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01-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷一（30%）填空题：1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则Tαβ= ；Tαβ== ； 100()Tαβ= ；2． 设矩阵120031130A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式1AB -= ；3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关；4． 矩阵1111011100110001A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的伴随矩阵*A =⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1()G E A E -=-+，且1G-= ；6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ；7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ；8． 设实二次型22212312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。
二（8%）记1π为由曲线23z y x ⎧=-⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。
试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。
三（8%）求经过直线2221x y z x y z +-=⎧⎨-+-=⎩且与x y -平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中，311101010,321003A B ⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭.五（12%）设线性方程组12341234234123403552232(3)1x x x x x x x x x px x q x x x p x +++=⎧⎪+++=⎪⎨-+-=⎪⎪++++=-⎩1． 问：当参数,p q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。
六（12%）设矩阵11113120132A k ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，已知()2A =秩。
1． 求参数k 的值；2． 求一42,,()2;B AB O B ⨯==矩阵使得且秩3． 问：是否存在秩大于2的矩阵M 使得O AM =？为什么？ 七（12%）设实对称矩阵001100.1001A k B l ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与相似1． 求参数,k l 的值；2． 求一正交阵,.TQ Q AQ B =使得八（6%）已知n 阶方阵A 相似于对角阵，并且，A 的特征向量均是矩阵B 的特征向量。
证明：AB BA =。
02-03学年第二学期几何与代数期终考试试卷一． 填空题、单选题（每小题３分，共３６分）1．[]2002105132⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥-=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 2．1230110002-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 3．若A 是正交矩阵，则行列式3T A A = ；4．空间四点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(1,2,)C k ，(1,4,9)D -共面的充要条件是k = ； 5．点(2,1,1)P -到直线11:221x y z l -+==- 的距离为 ；6．若４阶方阵A 的秩为２，则伴随矩阵A *的秩为 ；7．若可逆矩阵P 使AP PB =，1203B -⎛⎫=⎪⎝⎭，则方阵A 的特征多项式为 ；8．若３阶方阵A 使,2,3I A I A A I --+都不可逆，则A 与对角阵 相似（其中，I 是３阶单位阵）；9．若0111120A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭与对角阵相合，则(,)x y = ； 10．设()1234,,,A A A A A =，其中列向量124,,AA A 线性无关，31242A A A A =-+，则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系是 ；11．设,A B 都是３阶方阵，AB O =，()()2r A r B -=，则()()r A r B +=（ ） （Ａ）5； （Ｂ）4； （Ｃ）3； （Ｄ）212．设n 阶矩阵A 满足22A A =，则以下结论中未必成立的是（ ）（Ａ）A I -可逆，且1()A I A I --=-；（Ｂ）A O =或2A I =；（Ｃ）若2不是A 的特征值，则A O =；（Ｄ）0A =或2A I =。
二． 计算题（每小题8分，共24分）13．2015110112313012-14．求直线211:212x y z l --+==在平面:210x y z π+-+= 上的垂直投影直线方程． 15．设XA AB X =+，其中102020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，101B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求99X ．三． 计算题、解答题（三小题共３２分） 16．设向量组12311222115,,,101302a b αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123(,,)V L ααα=是123,,ααα生成的空间．已知()2V =维，V β∈．（１） 求,a b ；（２） 求V 的一个基，并求β在此基下的坐标； （３） 求V 的一个标准正交基． 17．用正交变换化简二次曲面方程22121213234221x x x x x x x x +---=求出正交变换和标准形）并指出曲面类型．18．设D 为由yoz 平面中的直线0z =，直线,(0)z y y =≥及抛物线22y z +=围成的平面区域．将D绕y 轴旋转一周得旋转体Ω．（１）画出平面区域D 的图形；（２）分别写出围成Ω的两块曲面12,S S 的方程；（３）求12,S S 的交线l 在zox 平面上的投影曲线C 的方程；（４）画出12,S S 和l ，C 的图形．四． 证明题、解答题（每小题４分，共８分）19．设η是线性方程组Ax b =的一个解，0b ≠，12,ξξ是导出组0Ax =的基础解系．证明：12,,ηξηξη++线性无关．20．设α是３维非零实列向量，α=T=．（１）求A的秩；（２）求A的全部特征值；Aαα（３）问A是否与对角阵相似？（４）求3-．I A0３-0４学年第二学期几何与代数期终考试试卷一． （24%）填空题1．若向量i a j k α=+-u rr r r ，bi j k β=++u r r r r，k =γ共面，则参数b a ,满足 .2．过点)1,2,1(P 且包含x 轴的平面方程为 .3．已知矩阵A 满足O I A A =-+322，则A 的逆矩阵1-A = .4．设矩阵120031130A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式=-12B A .5．设向量组1231312,2,311k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当k 时，123,,ααα线性相关.6．向量空间2R 中向量)3,2(=η在2R 的基)1,1(=α，)1,0(=β下的坐标为 .7．满足下述三个条件的一个向量组为 ，这三个条件是：①它是线性无关的；②其中的每个向量均与向量()121=α正交；③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.8．已知22⨯矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d b c a A ，若对任意2维列向量η有0=ηηA T ，则d c b a ,,,满足条件 . 二．（12%）假设矩阵B A ,满足AB B A =-，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021021020A .求B .三．（15%）设向量()Ta1021=α，()T 5122-=α，()T 4213-=α，()T c b 1=β. 问：当参数c b a ,,满足什么条件时1．β能用321,,ααα唯一线性表示？ 2．β不能用321,,ααα线性表示？3．β能用321,,ααα线性表示，但表示法不唯一？求这时β用321,,ααα线性表示的一般表达式. 四．（8%）设实二次型ayz axy z y x z y x f 22),,(222++++=问：实数a 满足什么条件时，方程1),,(=z y x f 表示直角坐标系中的椭球面？五．（12%）设3阶方阵A 的特征值为2，2-，1，矩阵I aA aA B +-=43。
1． 求参数a 的值，使得矩阵B 不可逆；2． 问：矩阵B 是否相似于对角阵？请说明你的理由. 六．（12%）已知二次曲面1S 的方程为：223y x z +=，2S 的方程为：21x z -=。
1． 问：1S ，2S 分别是哪种类型的二次曲面？ 2． 求1S 与2S 的交线在xOy 平面上的投影曲线方程； 3． 画出由1S 及2S 所围成的立体的草图.七．（10%）假设33⨯实对称矩阵A 的秩为2，并且C AB =，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110011C 。
求A 的所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵A 及9999A .八．（7%）证明题：1． 设t ηηη,,,21Λ是齐次线性方程组θ=Ax 的线性无关的解向量，β不是其解向量。
证明：t ηβηβηββ+++,,,,21Λ也线性无关.2． 设A 是n 阶正定矩阵，证明：1>+A I .04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷一、 (24%)填空题1． 以(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为 ；2． 设3阶矩阵123(,,)A ααα=，23131(,2,)B ααααα=+-。
若A 的行列式3A =，则B 的行列式B = ；3． 若向量(1,0,1)α=，(2,1,1)β=-，(1,1,)k γ=-共面，则参数k = ；4． 若A 为n 阶方阵，则方阵2I O B A I ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵1B -= ；5． 已知向量111η⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭是矩阵11201122a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等于 ；6． 假设矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1300F ⎛⎫= ⎪⎝⎭中，与A 相抵的有 ；与A 相似的有 ；与A 相合的有 ．二、 （8%）计算行列式121111x x x x x x xx xx ．三、 （10%）假设200110102A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121210B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵方程3XB XA =+的解．四、 （14%）假设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，000θ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．1． 已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数λ的值，并求这时Ax θ=的一个基础解系．2． 若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数λ及a 的值，并求Ax b =的通解．五、 （10%）已知直线l 过点(1,1,1)P ，与平面:1x y z π+-=平行，且与直线1121xy z λ- ==： 相交。