不等关系与基本不等式同步练习题
不等关系与基本不等式同步练习题（一）
（时间：120分钟 满分：150分）
A.基础卷
一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(2
1
>-+
=x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ）
A ．)31,(-∞
B ． )31,0()0,( -∞
C ． ),31(+∞
D ．)3
1,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( )
A ．b a b a ->+
B ．b a b a +<+
C ．b a ab +≤2
D ． 2≥+b
a
a b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ．
8
6
64a a a a ≤
Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-
,,ab ab a 的大小关系是（ ）
Ａ．2
ab ab a >> Ｂ．a ab ab >>2
Ｃ．2
ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2
６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1
2
-y x 的取值范围是（ ）
Ａ．??? ??--
92,43 Ｂ．??? ??-0,43 Ｃ．??? ??-0,21 Ｄ．???
??-0,43 ７．若
,11
<++b
a a
b 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,d
c b a >>则（ ） Ａ．
d b c a ->- Ｂ．
c
b
d a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac >
二、填空题（5×4=20分）
9．若d c b a 、、、均为实数，使不等式
bc ad d
c
b a <>>和0都成立的一组值),,,(d
c b a 是 ．（只要写出适合条件的一组值即可）
10．若不等式t x x >++-35恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 11．当0>x 时，2
4
x x y +
=的最小值为 ． 12．不等式721≤- 1 1 +x 与x -1的大小． 14．设21 ,72<<<<-b a ，求b a b a b a , ,-+的范围． 15．设1)(2 +-=x x x f ，实数a 满足1<-a x ． 求证：)1(2)()(+<-a a f x f B.提高卷 一、选择题（5×4=20分） 1．若不等式R x a x x ∈>--+在21上有解，则实数a 的取值范围是（ ） Ａ．()3,3- Ｂ．()3,∞- Ｃ．(]3,-∞- Ｄ．()3,-∞- 2．若0< b a 11> Ｂ．2 2b a > Ｃ．b a > Ｄ． a b a 11>- 3．设b a 、为正实数，且b a ≠，* ∈N n ，则11 ++--+n n n n b a b a ab 的值的符号（ ） Ａ．恒为正 Ｂ．与b a 、大小有关 Ｃ．恒为负 Ｄ．与n 是奇数或偶数有关 ４．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,其中一条侧棱长为1,另两条侧棱长的和为4,则此三棱锥体积的最大值为( ) A. 32 B. 31 C. 21 D. 6 1 二、填空题（5×2=10分） ５．若,0,0,0>>>c b a 且1=++c b a ，则 c b a -+ -+-11 1111的最小值是 ． ６．不等式1325<+--x x 的解集是 ． 三、解答题（14+16=30分） ７．设bx ax x f +=2 )(，且4)1(2 ,2)1(1≤≤≤-≤f f ，求)2(-f 的取值范围． ８．某单位建造一间地面面积为122 m 的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为每平方米1200元，房屋侧面的造价为每平方米800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 同步练习题答案详解 A.基础卷 一、选择题： 1.Ｃ 2.Ｂ 3.Ｂ 4.Ａ 5.D 6.Ｂ 7.Ａ 8.C 答案提示： １．因为02>-x ,所以42222 1 221=+≥+-+-=-+=x x x x y , 当且仅当3=x 时,等号成立. ２．不等式0)31(>-x x 等价于?? ?>>-00)31(x x x 或???<<-00 )31(x x x ， 解得不等式的解集为 )3 1,0()0,( -∞. ３．由于0>ab ，对于A, b a b a b a ->+=+，则A 正确；对于B, b a b a +=+,则B 不正确. ４．因为数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，所以 842 842 6)2 ( a a a a a ≥+=（当且仅当公差为０时取等号），所以 8 6 64a a a a ≤ ． ５．因为a ab b b >>? 2 0101且0>ab ，所以a ab ab >>2 ． ６．因为12118 ,902 -≤-<-<≤y x ， 12 1)1(1181 ,18)1(12≤--<<--≤y y ， ,43)1(02<--≤y x 所以01 432 ≤-<-y x ． ７．两边平方，整理得,0)1)(1(2 2 <--b a 所以b a 与中必有一个大于１，一个小于１． ８．因为b a >所以a b ->-．又因为d c >，所以a d b c ->-． 二、填空题： 9. )2,3,1,2(-- 10. )8,(-∞ 11. ３ 12. {} 1593<≤-≤ ９． 只需保证d c b a ,,,的值满足b a ,同号，d c ,同号且满足其他条件即可． 10．由绝对值的几何意义可知35++-=x x y 的最小值为８，所以实数t 的取值范围是 )8,(-∞． 11．342234224322 2=???≥++=+=x x x x x x x x y ， 当且仅当 24 2x x =即2=x 时取“＝”号，所以，当2=x 时，3min =y ． 12．由已知有721≤- 13.解：因为x x x x +=--+1)1(112 ，所以， 当0=x 时，012=+x x ，所以x x -=+11 1 ； 当01<+x 即1- 012<+x x ，所以x x -<+111 ； 当01>+x 即1->x 时， 012>+x x ，所以x x ->+11 1 ． 14.解：由同向不等式相加得：91<+<-b a ． 因为21 < 由21 < 11 21< ， 当;7b 0 , 70<≤<≤a a 时 当02<<-a 时，20<- a ， 所以02<<-b a ． 综上，72<<-b a ． 15.证明：因为 1)(2+-=x x x f 所以 1)()(22-+-=+--=-a x a x a a x x a f x f 1-+ 1212)(-+-≤-+-=a a x a a x )1(2121+=++ B. 提高卷 一、选择题： 1.B 2.Ｄ 3.Ｃ 4.A 答案提示： 1. 由绝对值的几何意义可知R x ∈时，21)(--+=x x x f 的取值范围为[]3,3-，故a 要小于)(x f 的最大值３． 2. 因为0<ab ，由倒数法则有b a 1 1>，Ａ正确；因为0<和2 2 b a >均成立．对于Ｄ，因为 )(11b a a b a b a -=--，又0< (<-b a a b ，即 a b a 1 1<-，所以Ｄ不成立． ３．11 ++--+n n n n b a b a ab ＝))(()()(n n n n b a b a a b a b a b ---=-+-． 因为b a 、为正实数，且b a ≠，所以由乘方原理知n n b a b a --与同号， 所以11 ++--+n n n n b a b a ab 的值的符号恒为负． 4．设其中一条侧棱长为x ,则另一条侧棱长为x -4, ,3 2)24(611)4(21312=-+≤?-???=x x x x V 当且仅当2=x 时, V 有最大值32． 二、填空题： 5. 2 9 6. ???? ??>-<317x x x 或 答案提示： 5. 因为,0,0,0>>>c b a 且1=++c b a ， 所以 c b a -+ -+-11 11112 9)111(3 131111113333=-+-+-≥-?-?-?≥c b a c b a ， 当且仅当,111c b a -=-=-即3 1 ===c b a 时，上式取“＝”号． 6. 原不等式等价于下列不等式组 ①?? ?<+-->1 )32()5(5 x x x 或 ②?????<+---≤≤-1)32()5(523 x x x 或 ③?????<++---<1 )32()5(23x x x 分别解①，②，③，再求并集得不等式的解集为? ?? ???>-<317x x x 或 三、解答题： 7.解：设)1()1()2(nf mf f +-=-，则 )()(24b a n b a m b a ++-=-， 即b n m a n m b a )()(24--+=-，于是，得? ??=-=+24n m n m ，解得???==13 n m ， 所以)1()1(3)2(f f f +-=-． 因为4)1(2 ,2)1(1≤≤≤-≤f f ，所以10)1()1(35≤+-≤f f ， 故10)2(5≤-≤f ． 8.解：设房屋正面长为xm ，则房屋侧面的长为m x 12 ；设房屋的总造价为y 元，根据题意得 5800280012312003+??? +?=x x y 5800576003600++=x x 580016236005800)16(3600+??≥++ =x x x x 元）(34600580028800=+= 当且仅当x x 16 = ，即4=x 时，等号成立． 因此，当房屋正面的长为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元． 备选题： １．不等式)(R b a b a b a ∈+<+、中等号成立的充要条件是（ ） A ．b a 、中至少有一个为0 B ．0≥ab Ｃ．0≤ab Ｄ．b a 、中仅有一个为0 2．下列命题中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是（ ） A ．Ｍ：?? ?>>2121x x Ｎ：???>>+232121x x x x Ｂ．Ｍ：???>>2121x x Ｎ：???>-->+0 )2)(1(3 2121x x x x Ｃ．Ｍ：,,d c b a >> Ｎ：bd ac > Ｄ．Ｍ：b a b a +=-，Ｎ：0=ab 3．在区间?? ????2,21上,函数),()(2 R c b c bx x x f ∈++=与x x x x g 1)(2++=在同一点取得相 同的最小值,那么)(x f 在区间?? ????2,21上的最大值为( ) A. 413 B.4 C.8 D. 4 5 ４．当点),(y x 在直线023=-+y x 上移动时，1273++y x 的最小值是( ) A.5 B.1+22 C.6 D.7 ５．设0,0>>b a ,且不等式 011≥+++b a k b a 恒成立,则实数k 的最小值等于( ) A. 0 B. 4 C. 4- D. 2- ６．已知0>>b a ,则) (16 2b a b a -+ 的最小值是 . ７．一批救灾物资随17列火车以每小时V 千米的速度匀速直达400千米外的灾区为了安全起见,两辆火车的间距不得小于2 )20 ( V 千米,问这批物资全部运达灾区最少需 小时. ８．已知函数)1,0(,1)2(log ≠>+-=a a x y a 的图象恒过定点A,若点A 在直线 1-=+ny mx 上,其中0>mn ,则 n m 1 3+的最大值为 . ９．规定记号“?”表示一种运算，即b a b a ab b a ,(--=?为正实数），若正数y x ,满足 3=?y x ，则xy 的取值范围是 . 备选题答案： 1．B ２.B ３．Ｂ ４．Ｄ ５．Ｃ 6．16 7.８ 8．16- ９．9≥xy 答案提示： １．0222222≥?=?++=++?+=+ab ab ab b ab a b ab a b a b a ． 2．由于? ???>->-??? ?>>020 1212121x x x x ?? ?>-->+0 )2)(1(3 2121x x x x ，所以Ｂ正确． ３．?? ? ???∈++=++= 2,21 ,111)(2x x x x x x x g ,当1=x 时, )(x g 取最小值3, 所以,3)1()(2 +-=x x f 故当2=x 时, )(x f 的最大值为4. ４． 因为023=-+y x ,所以71321332127333=+=+?≥+++y x y x y x , 当且仅当13==y x 时,等号成立. ５．由011≥+++b a k b a 得ab b a k 2)(+- ≥，而42)(2≥++=+b a a b ab b a ，所以 4)(2-≤+-ab b a ，因此只需4-≥k ，即实数k 的最小值等于4-. 6．因为)(2)(b a b b a b -≥-+,所以224 1)(41)(a b a b b a b =-+≤-. 所以1664 4116)(1622222≥+=+≥-+ a a a a b a b a . 7.因为,8400 16400240016400)20(164002 =?≥+=?+= V V V V V V t 当且仅当400 16400V V = 即100=V 时等号成立. ８．函数图象恒过定点)1,3(,所以013=++n m . 因为0>mn ,所以0,0< 166103310)3)(13(13-=--≤---=--+=+m n n m n m n m n m , 所以n m 1 3+最大值为16-. ９． 由题意,得3=--y x xy ,所以323+≥++=xy y x xy ,即 ,032≥--xy xy 则1,3-≤≥xy xy (舍),所以9≥xy . 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120分钟 满分：150分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ） A ．)31,(-∞ B ． )31,0()0,( -∞ C ． ),31(+∞ D ．)3 1,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( ) A ．b a b a ->+ B ．b a b a +<+ C ．b a ab +≤2 D ． 2≥+b a a b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． 8 6 64a a a a ≤ Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-> Ｂ．a ab ab >>2 Ｃ．2 ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2 ６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是（ ） Ａ．??? ??-- 92,43 Ｂ．??? ??-0,43 Ｃ．??? ??-0,21 Ｄ．??? ??-0,43 ７．若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,d c b a >>则（ ） Ａ． d b c a ->- Ｂ． c b d a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac > 基本不等式练习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 1．若xy＞0，则对x y＋ y x说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定 答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4 x有最小值____． 答案：2 4 4．已知f(x)＝12 x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值． 解：(1)∵x＞0，∴12 x，4x＞0. ∴12 x＋4x≥2 12 x·4x＝8 3. 当且仅当12 x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12 －x ＋(－4x)≥2 12 －x ·?－4x?＝83， 当且仅当12 －x ＝－4x时，即x＝－3时取等号． ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋1 2x B．x 2－1＋ 1 x2－1 C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋ 6 x2＋1 的最小值是() A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3 解析：选D.y＝3(x2＋ 2 x2＋1 )＝3(x2＋1＋ 2 x2＋1 －1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a＋ a b≥2 b a· a b＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4 a＋a≥2 4 a·a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x y＋ y x＝－[(－ x y)＋(－ y x)]≤－2?－ x y??－ y x?＝－2. 其中正确的推导过程为() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a， a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导 过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴ ②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4 a＋a≥24 a·a＝4是错误的； ④由xy＜0得x y， y x均为负数，但在推导过程中将全体 x y＋ y x提出负号后，(－ x y)均 变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 解析：选 C.∵1 a＋ 1 b＋2ab≥ 2 ab ＋2ab≥22×2＝4.当且仅当 ?? ? ??a＝b ab＝1 时， 等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有() 第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系； 2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容； 3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程. 二、教学重点： 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点： 使用不等式（组）正确表示出不等关系. 四、教学过程： （一）导入课题 现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系. 提问： 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于). 2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述） 引入知识点： 1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者a >b ，或者a =b ”，等价于“a 不小于b ，即若a >b 或a =b 之中有一个正确，则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. （1）如果a b -是正数，那么a b >；如果a b -等于零，那么a b =；如果a b -是负数，那么a b <.反之也成立，就是（a b ->0?a >b ；a b -=0?a =b ；a b -<0?a 不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左 边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质： 如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 不等式练习题 一、 基本题型 1、若0x >，求31y x x =--的最大值。 2、若22l g l g 2o x o y +=，求14x y +的最大值。 3、若lg 2lg 42x y +=，且0,0x y >>，求lg lg x y +的最大值。 4、若0,0a b >>，且142a b +=，求ab 的最小值。 5、若1x >，求11 y x x =+-的最小值。 6、若302 x <<，求()32y x x =-的最大值。 7、若52x <，求1225 y x x =+-的最大值。 8、求2 y = 9、求4sin sin y x x =+在()0,x π∈上的最小值。 10、若0,0x y >>，且3xy x y =++，求xy 的范围。 11、求()2801 x y x x +=≥+的最值。 12、0,0x y >>，且21x y +=，求41x y +的最小值。 13、0t >，求241t t y t -+=的最小值。 二、选择题 1、,a b R ∈且0ab >，则下列不等式不正确的是（ ） .||A a b a b +>- .||||||B a b a b +<+ .||C a b ≤+ .2b a D a b +≥ 2、(),0,,1,22a b a b a b M ∈+∞+==+，则M 的整数部分是（ ） .1A .2B .3C .4D 3、(),0,x y ∈+∞且()19a x y x y ??++≥ ???恒成立，则正实数a 的最小值为() .2A .4B .6C .8D 4、 0,0a b >>则11a b ++() .2A B .4C .5D 5、 ,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b ==+=11x y +的最大值为() .2A 3.2B .1C 1.2D 6、 ()()1210f x x x x =+-<，则()f x 有() .A 最大值 .B 最小值 .C 增函数 .D 减函数 7、函数()21log 511y x x x ??=++> ?-??的最小值为() .3A - .3B .4C .4D - 8、 0,0a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值为() .8A .4B .1C 1.4D 9、0,0,2a b a b ≥≥+=则() 1.2A a b ≤ 1.2B ab ≥ 2 2.2C a b +≥ 22.3D a b +≤ 10、若0,0x y >>且23x y +=则24x y +的最小值为() .A B C .4D 11、下列结论正确的是() 1 .01,l g 2 lg A x x x x >≠+≥当且 .2B x >≥ 1.22C x x ≥当时，+x 的最小值为 1.02,D x x x <<-无最大值 §7.1不等关系与不等式 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0?a d >b c .( √ ) (5)若ab >0，则a >b ?1a <1 b .( √ ) 题组二 教材改编 2．若01且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2????a －122＋12<12. 即a <2ab <1 2 ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝1 2 ， 即a 2＋b 2>1 2 ， a 2＋ b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2b >0，c 不等关系与不等式（第一课时） 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。 设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。 学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。 设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。 师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若……。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。 师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式： 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝ 80 n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测 D ．(2，＋∞) 答案 C 2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2.答案 A 第4讲基本不等式一、选择题 1．若x＞0，则x＋4 x 的最小值为( )． A．2 B．3 C．2 2 D．4 解析∵x＞0，∴x＋4 x ≥4. 答案 D 2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1 a ＋ 4 b 的最小值是( )． A.7 2 B．4 C. 9 2 D．5 解析依题意得1 a ＋ 4 b ＝ 1 2? ? ? ? ? 1 a ＋ 4 b( a＋b)＝ 1 2? ? ? ? ? ? 5＋ ? ? ? ? ? b a ＋ 4a b≥ 1 2? ? ? ? ? 5＋2 b a × 4a b ＝9 2 ，当且仅当 ?? ? ?? a＋b＝2 b a ＝ 4a b a＞0，b＞0 ，即a＝ 2 3 ， b＝4 3 时取等号，即 1 a ＋ 4 b 的最小值是 9 2 . 答案 C 3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a 又v －a ＝2ab a ＋ b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a . 答案 A 4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值 22 解析 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 2 2 ＝ a ＋b 2 －2ab 2 ，所以ab ≤1 4 ，故B 错； 1 a ＋1 b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2 ≤ a ＋b 2 ＝ 1 2 ，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝1 2， 故D 错． 答案 C 5．已知x >0，y >0，且2x ＋1 y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2) 解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1 y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )? ???? 2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ， 即x ＝4，y ＝2时取等号， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4 a 6 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（ ） Ａ． -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ? ??Ａ． a - c > b - d Ｂ． a 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120 分钟 满分：150 分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40 分） 1．函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 3 2 2．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（ ） 1 1 1 1 A ． (-∞, ) B ． (-∞,0) (0, ) C ． ( ,+∞) D ． (0, ) 3 3 3 3 3．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( ) A ． a + b > a - b B ． a + b < a + b C ． 2 ab ≤ a + b D ． b a + ≥ 2 a b 4．已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． a 4 ≤ a 6 a a ５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（ ） Ａ． a > ab > ab 2 Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2 Ｄ． ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? ７．若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知 a > b , c > d , 则（ ） b > Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bd d c 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 . §3.4 基本不等式：ab ≤ a ＋ b 2 材拓展 1．一个常用的基本不等式链 设a >0，b >0，则有： min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }， 当且仅当a ＝b 时，所有等号成立． 若a >b >0，则有： b <21a ＋1b 不等关系与不等式 课题：不等关系与不等式（二） 课型：新授课 1．知识与技能 （1）使学生掌握常用不等式的基本性质； （2）会将一些基本性质结合起来应用. （3）学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系； 教学目标 2．过程与方法 以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等 式的有关基本性质研究不等关系； 3.情感、态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情 境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学 生学习方式，提高学习质量。 教学重点理解不等式的性质及其证明 教学难点利用不等式的基本性质证明不等式 批注教学过程： 一、复习提问 1．比较两实数大小的理论依据是什么？ 2．“作差法”比较两实数的大小的一般步骤. 3．初中我们学过的不等式的基本性质是什么? 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 其数学含义： （1）若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c； （2）若a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ， c a ＞c b ；（3）若a ＞b ， c ＜0，则ac ＜bc ，c a ＜c b ..二、新授 常用的不等式的基本性质 （1）a b b a , （对称性） （2）c a c b b a >?>>, （传递性） （3）c b c a b a +>+?>, （可加性） （4）,0a b c ac bc >>?>；,0a b c ac bc >?>>>>0,0（同向不等式的可乘性） （6）n n n n b a b a n N n b a >>?>∈>>,1,,0 （可乘方性、可开方性）例1：已知0,0,a b c >><求证：c c a b >例2：如果30＜x ＜42，1６＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y 及 y x 的取值范围.∵30＜x ＜42，1６＜y ＜24 ∴－4８＜－2y ＜－32， ∴30＋1６＜x ＋y ＜42＋24 即4６＜x ＋y ＜６６； ∴30－4８＜x －2y ＜42－32 即－1８＜x －2y ＜10； .8 2145,16 422430<<< 《不等关系与不等式》教案 【教学目标】 1．掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法，理解不等关系的传递性，能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小 2．通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力 3．通过问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度 【重点难点】 重点：比较实数大小的方法． 难点：1.比较实数大小方法中的代数变形； 2.比较实数大小方法的实际应用 【教学方法】体验法、合作讨论法 【教学过程】 (一)创设情境 泰山旺季门票原价为180元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案) 优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠； 优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元. 为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？ 教师：5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。 合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸） （学生思考演算并请学生回答结果） 由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题，这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题）继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？ 若设人数为n，记采用方案A的费用为) f，采用方案B的费用 (n 为) n g150 (= n ) f，n g，则36 =n 144 (n ) (+ 接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考） 对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系： g n n >n ? n - f g n f ) ( ) > 6 ( ? ) ) (< ( n g n =n ? g - f n n f ( ( ) = ) 6 ) (= ? ( ) g n 不等关系与基本不等式同步练习题
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