数列专题之二：求数列的通项公式(学生版) 3

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构造等差或者等比数列求解数列的通项公式-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题02构造等差或者等比数列求解数列的通项公式【典例1】数列{}n a 中，112a =，112(()2n n n a a n N *+=-∈,数列{}n b 满足*2n n n b a n =⋅∈N ．（I ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2log n n nc a =，求数列22n n c c +⎛⎫ ⎪⎝⎭的前n 项n T ．【思路点拨】（I ）将1122nn n a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭配凑成11221n n n n a a ++=-.由此证得数列{}n b 是等差数列.求得n b 的表达式，进而求得数列{}n a 的通项公式.（II ）先求得n c 的表达式，然后利用裂项求和法求得n T .【典例2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N.(1)设3n n b a =+，证明数列{}n b 为等比数列，并求出通项公式n a ；(2)求2462n a a a a ++++L .【思路点拨】（1）由题可得()11231n n S a n ++=-+,与条件作差可得123n n a a +=+,则()1323n n a a ++=+,即可证明数列{}n b 为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列{}n b 的通项公式,进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得22323nn a =⋅-,进而利用等比数列的前n 项和公式求解即可【典例3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N .(1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式;(2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．【典例4】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和.【思路点拨】（1）根据已知条件求出2a ，3a 即可求出等比数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得11221n n n n b b ++=+，即数列{}2n n b 是公差为1的等差数列，求出n b 的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n 项和.【典例5】已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N.（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .【思路点拨】（1）将题干中的等式因式分解后得出()()111222n n n n n n a a a a a a ++++=+-，由此得出121n n a a +=+，再利用定义证明出数列{}1n a +为等比数列；（2）求出21nn a =-，利用放缩法得出()2111232n n n a -≤⋅≥，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.【典例6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【思路点拨】(1)由2n n S a n =-，可得()1121n n S a n ++=-+，两式相减，可化为()1121n n a a ++=+,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴1111111112121n n n n n n n n n a b a a a a a +++++=+==---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和n T .1.已知数列{}n a 满足112a =-，()1212n n a a n -=-≥．（1）求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和．2.已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）求n a .3.已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-.(1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+.（1）证明：{}1n a -为等比数列；（2）设1n n b a =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值.5.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a n ++=，*n N ∈.（1）求证：数列12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设212n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()221,n n S a n n N +=--∈.（Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列(){}2n n a ⋅+的前n 项和.7.已知数列{}n a 满足113a =，且*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列．（1）求证：数列2{}3n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．8.已知数列{}n a 满足11232,2n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.（1）求证：数列{}2nn a -是等比数列.（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，记n T 为数列1{}n na S +的前n 项和，若*,n n N T m ∀∈<，*m N ∈，求m 的最小值.9.在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+，(1)设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和.参考答案【典例1】解：（I ）由1122nn n a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即11221n n n n a a ++=-．而2nn n b a =，∴11n n b b +=-，即11n n b b +-=．又1121b a ==，∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列．于是1(1)1=2nn n b n n a =+-⨯=，∴2n n n a =．（II ）∵22log log 2n n n n c n a ===，∴22211(2)2n n c c n n n n +==-++．∴1111111111111132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭311212n n =--++．【典例2】【2020届湖南省长沙市第一中学高三月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N.(1)设3n n b a =+，证明数列{}n b 为等比数列，并求出通项公式n a ；(2)求2462n a a a a ++++L .【思路点拨】（1）由题可得()11231n n S a n ++=-+,与条件作差可得123n n a a +=+,则()1323n n a a ++=+,即可证明数列{}n b 为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列{}n b 的通项公式,进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得22323nn a =⋅-,进而利用等比数列的前n 项和公式求解即可解：(1)由23n n S a n =-,得()11231n n S a n ++=-+,两式相减,得123n n a a +=+,所以()1323n n a a ++=+,即()12n n b b n *+=∈N,当1n =时,11123a S a ==-,所以13a =,则1136b a =+=,所以数列{}n b 是以6为首项,2为公比的等比数列,所以162n n b -=⋅,所以()13623321n n n n a b -=-=⋅-=-(2)由(1)知22323nn a =⋅-,则24224623232323nn a a a a n++++=⋅+⋅++⋅-L L ()14143343414n n n n +-=⋅-=---【典例3】【2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N .(1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式;(2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．解：(1)∵121n n S S +-=∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈因为111a S ==，所以可推出10n S +>．故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列．∵112S +=，公比为2∴12n n S +=，即21nn S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；(2)因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n n n n T -+=++⋅⋅⋅+-=-即1242n n n T -+=-，代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．令()226x f x x =--(1x ≥)，()2ln 210xf x '=->在[)1,x ∈+∞成立，∴()226xf x x =--，()1,x ∈+∞为增函数，而()()540f f ⋅<，所以不存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．【典例4】【广东省佛山市2019-2020学年高三教学质量检测（一)】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和.【思路点拨】（1）根据已知条件求出2a ，3a 即可求出等比数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得11221n n n n b b ++=+，即数列{}2n n b 是公差为1的等差数列，求出n b 的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n 项和.解：（1）由1121nn n n a b b ++=+，取1n =，得22121a b b =+，解得24a =.取2n =，得33241a b b =+，解得38a =.∵{}n a 是等比数列，则322a q a ==，212aa q==.∴{}n a 的通项公式为112n n n a a q -==.（2）∵11221n n n n b b ++=+，∴数列{}2n n b 是公差为1的等差数列.()12211n n b b n n =+-⨯=，则2n nnb =.设{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n n n S =+++⋅⋅⋅+，234112322222n n S n+=++++ .则2311111222222n n n S n +=+++⋅⋅⋅+-11111222112212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-=--.∴222n n n S +=-.【典例5】【2020届浙江省杭州市第二中学高三12月月考数学试题】已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N .（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .【思路点拨】（1）将题干中的等式因式分解后得出()()111222n n n n n n a a a a a a ++++=+-，由此得出121n n a a +=+，再利用定义证明出数列{}1n a +为等比数列；（2）求出21nn a =-，利用放缩法得出()2111232n n n a -≤⋅≥，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.解：（1）221142n n n n a a a a +++=- ，()()2211112422n n n n n n n n a a a a a a a a ++++∴+=-=+-.0n a > ，120n n a a +∴+>，121n n a a +∴-=，即121n n a a +=+，则有1122211n n n n a a a a +++==++且112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）得12nn a +=，即21nn a =-，得()22111112212232n n n n n n a --=≤=⋅≥--，2123411111111111121232111322232312n n n n a a a a -+⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴++++≤++++==-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- .【典例6】【天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【思路点拨】(1)由2n n S a n =-，可得()1121n n S a n ++=-+，两式相减，可化为()1121n n a a ++=+,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴1111111112121n n n n n n n n n a b a a a a a +++++=+==---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和n T .解：（1）令1n =，得1121a a =-，由此得11a =,由于2n n S a n =-，则()1121n n S a n ++=-+，两式相减得()11212n n n n S S a n a n ++-=-+-+，即121n n a a +=+，所以()1121121n n n a a a ++=++=+，即1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是等比数列，其首项为112a +=，11222n nn a -+=⋅=，故数列{}n a 的通项公式是21nn a =-.（2）1111n n n n b a a a ++=+11n n n a a a ++=()()122121nn n +=--()()()()1121212121n n nn ++---=--，1112121n n +=---，12n nT b b b =+++12231111111212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12231111111212121212121n n +=-+-++-------11121n +=--.1.【思路点拨】（1）由已知构造等比数列，可得111122n n a -⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，化简即为{}n a 的通项.（2）由已知得32n n a b n +=-，代入112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()1=312nn b n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和分别利用等差数列和等比数列求和公式即可求得.解：（1）由()1212n n a a n -=-≥，得()1211n n a a -+=+，即()11112n n a a -+=+，又11102a +=≠，∴{}1n a +是以1112a +=为首项，公比为12的等比数列．∴111122n n a -⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由已知得()11332n n a b n n +=+-⨯=-，∵112n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()()()11323213122n nn n b n a n n ⎛⎫⎛⎫=--=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以数列{}n b 的前n 项和为：()2121112531222nn b b b n ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-- ⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L L ()21112531222nn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++--+++⎡⎤⎢⎥⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L()211122231311122212nn n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+-⎡⎤⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=-=-+ ⎪⎝⎭-．2.【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）求n a .【思路点拨】（1）根据所给通项公式及12a =,24a =,310a =,可求得123,,b b b ,即可利用等比中项定义判断{}n b 是否为等比数列.（2）根据{2}n b +为等比数列,即可由（1）中所得首项与公比求得n b .根据1,n n n a a b +-=结合递推公式与累加法,即可求得n a .解：（1）数列{}n b 不是等比数列.理由如下：由1n n n a a b +-=,且1232,4,10a a a ===得：所以1212b a a =-=,2326b a a =-=,又因为数列{2}n b +为等比数列,所以可知其首项为4,公比为2.所以2324216b +=⨯=,314b =∴,显然22133628b b b =≠=故数列{}n b 不是等比数列.（2）结合（1）知,等比数列{2}n b +的首项为4,公比为2,故112422n n n b -++=⋅=,所以122n n b +=-,因为1n n n a a b +-=,122(2)nn n a a n --=-≥∴令2,,(1)n n =- 累加得()2322222(1)nn a n -=+++-- ,()23222222nn a n ∴=++++-+ ()1221222221n n n n +-=-+=--,又12a =满足上式,+122n n a n=-∴3.【2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12月)月考】已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-.(1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【思路点拨】（1）先求出数列{}nb n的通项公式，再得n b ,直接作差可得单调性；（2）用裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和．解：（1）∵12(2)1n n b b n n n --=≥-，∴数列{}n b n 是等差数列，公差为2，又141b =，∴42(1)22nb n n n=+-=+，∴2(1)n b n n =+．2n ≥时，12(1)2(1)40n n b b n n n n n --=+--⋅=>，所以1n n b b ->，所以数列{}n b 是递增数列．（2）11111(2(1)21n b n n n n ==-++，∴111111[(1()()]222312(1)n n S n n n =-+-++-=++ ．4.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+.（1）证明：{}1n a -为等比数列；（2）设1n n b a =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值.【思路点拨】(1)利用1nn n a S S -=-得到1,n n a a -的递推公式再构造数列证明即可.(2)根据(1)可求得12nn a =-,进而求得2n b n =,再用裂项求和求解12231111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+进而求得t 的最小值解：（1）11221n n n n n a S S a a --=-=--()1121(2)n n a a n -⇒-=-≥,故{}1n a -为等比数列.（2）令1n =,则有111211S a a =+⇒=-,所以()111122n n n a a --=-⋅=-,所以12n n a =-,令122nn n b a n =-==,令1111141n n n c b b n n +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭,所以122311*********...412231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪+⎝⎭()111111414414n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.所以14t ≥.故t 的最小值为14.5.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a n ++=，*n N ∈.（1）求证：数列12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设212n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路点拨】（1）12n n c a n =-+，则12n n a c n =+-代入已知式可证得结论；（2）由（1）求得n a ，从而得n b ，用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）设12n n c a n =-+，由题111(1)22n n a n a n +⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，即1n n c c +=-，又11111022c a =-+=≠，∴{}n c 为等比数列，即12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）由（1）知11(1)2n n c -=⋅-，即111(1)22n n a n -=⋅-+-，2121n a n -∴=-，212n n n b -∴=，231135232122222n n n n n S ---=+++⋅⋅⋅++，234+111352*********n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，两式相减得23111111121323222222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎭，2332n nn S +∴=-.6.【2020届陕西省咸阳市高三上学期期末考试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()221,n n S a n n N +=--∈.（Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列(){}2n n a ⋅+的前n 项和.【思路点拨】（I ）令1n =，利用11a S =可求得13a =；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-整理可得()1222n n a a -+=+，从而证得结论；（II ）由（I ）可得{}2n a +的通项公式，从而求得()1252n n n a n -+=⋅，利用错位相减法求得结果.解：（I ）令1n =，11123a S a ==-，解得：13a =当2n ≥且n *∈N 时，221n n S a n =--，11221n n S a n --=-+11222n n n n n a S S a a --∴=-=--，即122n n a a -=+()1222n n a a -∴+=+{}2n a ∴+是以125a +=为首项，2为公比的等比数列（II ）由（I ）知：1252n n a -+=⋅()1252n n n a n -∴+=⋅设数列(){}2n n a +的前n 项和为nT 则()012215210215251252n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅()123125210215251252n nn T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式作差得：()()11212125525222552512n n n n n T n n ----=-⋅+⨯++⋅⋅⋅+=-⋅+⨯-()55252105525n n n n n =-⋅+⋅-=-⋅-()5525n n T n ∴=-⋅+7.【2020届四川省达州市普通高中高三第一次诊断性测】已知数列{}n a 满足113a =，且*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列．（1）求证：数列2{}3n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【思路点拨】（1）利用等差中项的知识列出算式，然后整理算式，对算式进行变形可发现数列2{}3n a +为等比数列；（2）先根据（1）的结论得出数列{}n a 的通项公式，然后根据通项公式的特点分组求和即可得到前n 项和n S ．解：（1）证明：由题意，当*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列，则1223n n a a +-=，即1223n n a a +=+，1222222()3333n n n a a a +∴+=++=+，又12121333a +=+= ，∴数列2{}3n a +是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1），知1223n n a -+=，即1223n n a -=-，*n N ∈．12n nS a a a ∴=++⋯+1212222(1(2(2)(2)3333n -=-+-+-+⋯+-1212(1222)3n n-=+++⋯+-122123n n -=--2213n n =--．8.【2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试】已知数列{}n a 满足11232,2n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.（1）求证：数列{}2nn a -是等比数列.（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，记n T 为数列1{}n na S +的前n 项和，若*,n n N T m ∀∈<，*m N ∈，求m 的最小值.【思路点拨】（1）首先令2n =，解得13a =，将11232n n n a a ---=⋅化简为112122n n n n a a ---=-，得到数列{}2nna -是以1为首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）可知1122n n n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，利用分组求和可算出1112()2n n n S +-=-，从而得到11132nn n a S ⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭，再计算n T 即可找到m 的最小值.解：（1）当2n =时，2126a a -=，因为1232a a =，所以13a =.由11232,2n n n a a n ---=⋅≥，得()11222nn n n a a---=-，所以112122n n n n a a ---=-，则数列{}2nn a -是以1为首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）知1122n nn a -⎛⎫= ⎪⎝⎭-，1122n nn a -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=.111(1)2(12)122()112212nn n n n S +---=+=---.所以111111111132322()2()22nn n n n n n n a S -+-⎛⎫===⋅ ⎪+⎝⎭++- ，11(1)11162(1)132312n n n T -==-<-所以m 的最小值为1.9.在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+，(1)设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和.试题分析：（1）题中条件12nn n a b -=，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式122nn n a a +=+转化为的递推公式：11122n n n n a a +-=+，从而11n n b b +=+，，进而得证；（2）由（1）可得，12n n a n -=，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，②-①得.解：（1）∵122nn n a a +=+，11122n n n n a a +-=+，又∵12nn n a b -=，∴11n n b b +=+，，∴则{}n b 是为首项为公差的等差数列；由（1）得1(1)1n b n n =+-⋅=，∴12n n a n -=，∴①，①得：②，②-①得.。

(完整版)求数列的通项公式方法总结

题型四：求数列的通项公式一.公式法：当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。

二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法：一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++Λ的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。

即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥；【例1】已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式。

解：（1）由题知：121111(1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++……1111111()()()121122n n n n =-+-++-+---…… 312n=- 2、叠乘法：一般地对于形如“已知a 1，且n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。

即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥；【例2】在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n n a a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a =n n n 11433221=-⋅⋅Λ 所以n a n 1= 3、构造法：当数列前一项和后一项即n a 和a n-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。

高三寒假数学：数列专题：特征根法与不动点法(学生版)

高考培优数学讲义数列专题：基本通项求法学生姓名授课日期教师姓名授课时长数列中有两类比较特殊的求通项方法：特征根法和不动点法。

这在上海高考中并不做要求，但学生若能掌握，对许多数列题会有更深刻的认识，求通项的手段也更加多样化。

值得注意的是，特征根解法能用考纲范围内的方法来替代，这会在本讲中体现出来，学生可针对不同的题目按照最适合自己的解法来解题。

1、特征根法对于形如21n n n a pa qa ++=+的关系式，有如下的通项求法：该关系式对应于一元二次方程220x px q x px q =+⇔--=。

若该方程有两个根,αβ，则数列{}n a 的通项可表示为：（I ）若αβ≠，则12n nn a c c αβ=⋅+⋅，其中12,c c 为待定常数（II ）若αβ=，则()12nn a c c n α=+⋅，其中12,c c 为待定常数2、不动点法对于形如()10n n n pa qa r ra s++=≠+的关系式，有如下的通项求法：该关系式对应于分式方程()0px qx r rx s+=≠+，化简为一元二次方程20x px q ++=。

若该方程有两个根,αβ，则数列{}n a 的通项可表示为：（I ）若αβ≠，则n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列，将1n n n pa q a ra s ++=+代入11n n a a αβ++--即可化简为11n n n n a a k a a ααββ++--=--的形式，其中k 即为数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的公比。

（II ）若αβ=，则1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，将1n n n pa q a ra s ++=+代入11n a α+-即可化简为111n n d a a αα+=+--的形式，其中d 即为数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公差。

【试题来源】【题目】已知数列{}n a 的首项*1122,,31n n n a a a n N a +==∈+ (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【难度系数】3【试题来源】【题目】已知数列{}n a 中，()1212121,2,333n n n a a a a a n --===+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知数列{}n a 满足()*12211741,,3933n n n a a a a a n N ++===-∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵求数列{}n na 的前n 项和n S . 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知数列{}n a 的首项11a =，且()*141nn n a a n N a +=∈+ ①设1n nb a =，求证：数列{}n b 为等差数列； ②设2nn n c b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .【难度系数】2【试题来源】【题目】已知数列{}n a 满足125a a ==，()2161n n n a a a n ++=+≥，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：当k 为奇数时，111143k k k a a +++<；（Ⅲ）求证：()*1211112n n N a a a +++<∈. 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知数列{}n a 满足()1321,2,3,,n na n a +=+= ()31,2,3,n n c a n =-= .（I ）若12a =，求{}n a 的通项公式；（II ）若157,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明数列{}||n c 的前n 项和n S 满足1n S < . 【难度系数】2【试题来源】【题目】设数列{}()*,n a n N ∈满足010,2a a ==，且对一切n N ∈，有2122n n n a a a ++=-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12111342n nT a a n a =++++，求n T 的取值范围．【难度系数】3【试题来源】【题目】已知数列{}n a ，满足*2112712,,1,5n n n a a a n N a a ++=-∈==.（I ）求证：数列{}13n n a a +-和{}14n n a a +-均为等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅲ）求证：1169ni ii a =<∑．【难度系数】3【试题来源】【题目】已知()222ax x f x x b +=+ （,a b 为常数）为奇函数，且过点11,3⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）定义正数数列{}()()2*111,,22n n n n a a a a f a n N +==∈，证明：数列212n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（Ⅲ）令212n n b a =-，n S 为{}nb 的前n 项和，求使318n S >成立的最小的n 的值. 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知数列{}n a 满足()11141,221n n n a a a n a --==≥+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明不等式：123162n n a a a -+++>. 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知数列{}n a 满足：121,4a a ==，且对任意的*3,n n N ≥∈有12440n n n a a a ---+=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）是否存在等差数列{}n b ，使得对任意的*n N ∈有1212nn n n n n a b C b C b C =+++成立？证明你的结论【难度系数】4【试题来源】【题目】已知数列{}n a中)()112,12,1,2,3,n n a a a n +==+=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中11342,,1,2,3,23n n n b b b n b ++===+，证明：43,1,2,3,n n b a n -≤=.【难度系数】3【试题来源】【题目】已知数列{}n a 满足()*1221,,3520n n n a a a b a a a n N ++==-+=∈，求数列{}na 的通项公式。

数列通项公式

数列通向公式的求解1、公式法：2、累加法：3、累乘法：4、a n与S n的关系：5、构造法：（1）、待定系数法：（2）、同除+待定系数：（3）、取倒数+待定系数：（4）、取对数+待定系数：（5）、连续三项：6、无穷递推关系式：（减去前n-1项剩下最后一项）7、连续两项：8、不动点法：→不动点：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。

数列通项公式典例分析:1、已知数列{a n}满足_________________2、已知数列{a n}满足_________________3、已知数列{a n}满足___________;___________4、已知数列{a n}满足__________________5、已知数列{a n}满足_________________6、已知数列{a n}满足_____________7、已知数列{a n}满足________________8、已知数列{a n}满足______________9、已知数列{a n}满足_________________10、已知数列{a n}满足__________11、已知数列{a n}满足__________________12、已知数列{a n}满足_________________13、已知数列{a n}满足__________________14、已知数列{a n}满足__________________15、已知数列{a n}满足_____________________16、已知数列满足，，则=________17、设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则=________18、在数列中，，，．则=______________19、数列中，，（n≥2）,则=______________20、已知数列的首项，，则=__________________21、设数列｛an｝满足,则=_______________22、已知数列满足且,则=___________23、设数列满足,则=______________。

高三数学第二轮复习专题数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关：数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案：数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -．所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-．点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

数列的递推公式与通项公式前n项和公式

二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。

在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。

一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

专题二数列通项公式的求法

就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．
例1、求数列3，5，9，17，33，……的通项公式
解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，……
∴通项公式为： an 2n 1
可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4， 8同，的…数…列。（可如归a4纳便成不a同n=）2n或者an=n2-n+2 ，这是两个不
累乘法
an1 pan q
待定系数构造法
取倒数
an与sn的关系
a1

3, an

3an1 3 an1
(n

2)
2. 设an是首项为1的正数项数列,且
(n 1)an12 nan2 an1an 0(n 1, 2, 3, )
求an的通项公式.
由(n 1)an12 nan2 an1an 0 累乘法
∴a2－a1=4×1－2 a3－a2=4×2－2 a4－a3=4×3－2
……
an－an-1=4×(n－1)－2
两边分别相加得：
an－a1=4[1+2+3+……+(n－1)]－2(n-1)
∴ an=2n2－4n+3
小结、已知数列递推公式求通项公式：
an1 an f (n) 累加法
an1 f (n) an
∴an=2n－1
解法 2：∵an＋1＝2an＋3，∴n≥2 时，有 an＝2an－1＋3， ∴an＋1－an＝2(an－an－1)．令 bn＝an＋1－an，∴bn＝2bn－1， ∴{bn}是公比为 2 的等比数列，首项 b1＝a2－a1＝6， ∴bn＝6×2n-1，

专题2 求数列的前n项和 -(人教A版2019选择性必修第二、三册)(学生版)

求数列的前n 项和求数列的前n 项和S n 是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结.【方法一】公式法若已知数列是等差或等比数列，求其前n 项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下 (1) 等差数列求和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n−1)2d(2) 等比数列求和公式S n ={na 1 ,q =1a 1(1−q n )1−q,q ≠1(3) 12+22+32+⋯+n 2=n (n+1)(2 n+1)6(4) 13+23+33+⋯+n 3=[n (n+1)2]2.【典题1】求和式3+6+12+⋯+3∙2n−2，先思考它是几项之和再求和.(n∈N∗)．【典题2】已知等比数列{a n}前n项和为S n，且S n=a n+1−132(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=log2a n，求数列{|b n|}的前n项和T n．巩固练习1 (★★) 求和式1+4+7+⋯+(3n+1).2 (★★) 已知{a n}是等差数列，公差d≠0，a1=1，且a1 ,a3 ,a9成等比数列，求数列{2a n}的前n项和S n．3 (★★) 已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为15，(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若公差d>0，求数列{|a n|}的前n项和T n．4 (★★★) 设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．(1)求数列{a n}的等差数列．(2)令b n=lna3n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【方法二】倒序相加(乘)法1 对于某个数列{a n }，若满足a 1+a n =a 2+a n−1=⋯=a k +a n−k+1，则求前n 项和S n 可使用倒序相加法. 具体解法：设S n =a 1+a 2+⋯+a n−1+a n ① 把①反序可得S n =a n +a n−1+⋯+a 2+a 1 ②由①+②得2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n−1)+⋯+(a n−1+a 2)+(a n +a 1)⇒S n =(a 1+a n )n2.2 对于某个数列{a n }，若满足a 1a n =a 2a n−1=⋯=a k a n−k+1，则求前n 项积T n 可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法.【典题1】设f(x)=14x +2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f(－3)+f(－2)+⋯+f(0)+⋯+f(3)+f(4)的值为．【典题2】求sin 21∘+sin 22∘+sin 23∘+⋯+sin 288∘+sin 289∘的值【典题3】设函数f (x )=x2x +√2的图象上两点P 1(x 1 ,y 1)、P 2(x 2 ,y 2)，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，且点P 的横坐标为12．(1)求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值； (2)求S n =f (1n )+f (2n )+⋯+f(n−1n)+f(nn).巩固练习1 (★★) 设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=(a1+a n)n2.2(★★) 设f(x)=(x−1)3+1，求f(－4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6)的值为.3(★★) 设函数f(x)=x21+x2，求f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)的值．【方法三】分组求和法1 若数列{c n}中通项公式c n=a n+b n，可分成两个数列{a n}，{b n}之和，则数列{c n}的前n项和等于两个数列{a n}，{b n}的前n项和的和.2 常见的是c n=等差+等比形式3 等比数列的通项公式形如a n=kn+b，等差数列的通项公式形如a n=A∙B n.【典题1】求数列{3n+2n−1}的前n项和S n.【典题2】已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5a1，S3−a2=8．(2)若数列{b n }满足(n ×2n +S n )b n =a n ，求数列{1b n }的前n 项和T n ．【典题3】设数列{a n }满足a 1=1，a n+1a n=2n (n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a n ，求数列b 2+b 3+⋯+b 100的值．巩固练习1 (★★) 已知数列{a n }的通项a n =2n +n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8= ．2 (★★) 数列112，214，318，…，n +12n 的前n 项和为S n = ．3 (★★★) 已知数列{a n }是等比数列，公比为q ，数列{b n }是等差数列，公差为d ，且满足：a 1=b 1=1，b 2+b 3=4a 2，a 3－3b 2=－5． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．4(★★★) 已知公差不为0的等差数列{a n }的前9项和S 9=45，且第2项、第4项、第8项成等比数列．(2)若数列{b n }满足b n =a n +(12)n−1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【方法四】错位相减法当数列{a n } 的通项公式a n =b n ⋅ c n ,其中{b n } 为等差数列, {c n } 为等比数列.【典题1】已知递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2 ,a 4的等差中项． ( 1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n =a n ⋅log 12a n ，S n ＝b 1+b 2+⋯+b n ，求S n ．【典题2】已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n 2+a n −2S n =0(n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{b n}的前n项和为T n，若b n=(2a n−7)2n，求T n；(3)求数列{T n}的最小项．巩固练习1 (★★★) 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=2(a n−1)，求数列{b n}的前n项和R n．4n2 (★★★) 正项数列{a n}的前n项和为S n，且8S n=(a n+2)2(n∈N∗)．(1)求a1，a2的值及数列{a n}的通项公式；(2)记c n=a n，数列{c n}前n的和为T n，求证：T n<2．3n3 (★★★) 已知等比数列{a n}满足a1=2，a2=4(a3−a4)，正项数列{b n}前n项和为S n，且2√S n=b n+1．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)令c n=b n，求数列{c n}的前n项和T n；a n(3)若λ>0，求对所有的正整数n都有2λ2−kλ+2>a2n b n成立的k的取值范围．4(★★★) 已知数列{a n}满足：(n+1)a n+1−(n+2)a n=(n+1)(n+2)(n∈N∗)且a1=4，数列{b n}的前n 项和S n满足：S n=2b n−1(n∈N∗)．(1)证明数列{a nn+1}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若c n=(√a n−1)b n+1，数列{c n}的前n项和为T n，对任意的n∈N∗，T n≤nS n+1−m−2恒成立，求实数m的取值范围．【方法五】裂项相消法常见裂项公式(1)1n(n+1)=1n−1n+1，1n(n+k)=1k(1n−1n+k)；(2)√n+1+√n =√n+1−√n，√n+k+√n=1k(√n+k−√n).【典题1】设等差数列{a n}满足a2=5，a6+a8=30，则数列{1a n2−1}的前n项的和等于．【典题2】数列{a n}的通项公式a n=√n+2+√n+3，则该数列的前n项和S n等于.【典题3】等比数列{a n}中，a1=2，q=2，数列b n=a n+1(a n+1−1)(a n−1)，{b n}的前n项和为T n，则T10的值为．【典题4】已知数列{a n}满足a n≠0，a1=13，a n−1−a n＝2a n a n−1(n≥2 ,n∈N∗)．(1)求证：{1a n }是等差数列；(2)证明：a12+a22+⋯+a n2<14．巩固练习1 (★★) 数列{a n}满足a n=1(2n+1)(2n+3),n∈N∗，其前n项和为S n．若S n<M恒成立，则M的最小值为．2 (★★★) 已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对∀n∈N∗有2S n=a n2+a n，令b n=a√a+a√a，设{b n}的前n项和为T n，则在T1 ,T2 ,T3 ,… ,T100中有理数的个数为．3 (★★★) 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S n=a n+1−2n+2+2 ,n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2na n ，记数列{b n b n+1}的前n项和为T n，证明：12≤T n<1．4(★★★) 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a na n+1．(1)证明：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a nn+2，求数列{b n}前n项和S n．5 (★★★) 设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n>0，a n2+2a n=4S n+3．(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=2n+1n2(a n+1−1)2，求{b n}的前n项和T n．6 (★★★★) 设S n为数列{a n}的前n项和，且S n+1=3S n+4n(n∈N∗)，a1=0．(1)求证：数列{a n+2}是等比数列；(2)若对任意T n 为数列{a n +2(a n +4)(a n+1+4)}的前n 项和，求证：T n <12．7(★★★★) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2，6S n =3na n+1−2n(n +1)(n +2)，n ∈N ∗． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<56．。

(完整版)数列求通项专题(总复习专题-方法全面-有答案)全

求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。

解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。

)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。

高考数学冲刺专题复习之——求数列通项公式(学生版)

高考数学（文）冲刺复习之——求数列的通项公式一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法.这种方法适用于已知数列类型的题目，此题目是必须掌握的基本运算，一般有“知二求一”的方程思想.例题等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.训练【2017新课标1文】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．二、利用n S 和n a 的关系求{}n a 的通项公式解法：巧用1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，.使用是根据具体条件和结论，正用、逆用或同时使用，对等式退（进）一步作差. 1、形如f(S n ,n)=0型可利用公式：⎩⎨⎧-=-11S S S a n n n )1()2(=≥n n 直接求出通项n a ；（讨论1a 能否被吸收）例题1 已知数列{a n }的前n 项和为（1）S n =2n 2-n ；（2）S n =n 2+n+1，分别求数列{a n }的通项公式；例题2 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1), 1.n n n S a n =+-≥求数列{}n a 的通项公式；变式1 数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n a S n n 32-=（n ∈N +），求数列}{n a 的通项公式n α；变式2 已知数列{}n a 的前n 项和为11,4n S a =且1112n n n S S a --=++，数列{}n b 满足11194b =-且13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且．（１）求{}n a 的通项公式；（２）求证：数列{}n n b a -为等比数列；变式3 若前n 项和为S n 且满足a n =)2(1222≥-n S S n n ,且a 1=1，求数列的通项公式；2、形如f(S n ,S n+1)=0型方法（i ）.看成{S n }的递推公式，求S n 的通项公式，再由n S 求出n α.（ii ）.（逆用）利用a n =S n -S n-1转化成关于a n 和a n-1的关系式再求。

(完整版)求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)

2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义（学生版）典例分析【例1】等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【例2】数列的前项和，求它的通项公式．【例3】数列的前项和，，则数列的前项和_______.【例4】数列的前项和，则_______.【例5】设等差数列的前项的和为，且，，求.【例6】设等差数列的前项的和为，且，，求.【例7】有两个等差数列，，其前项和分别为，，若对有成立，求．【例8】在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.【例9】等差数列的前项和为，前项和为，则它的前项和为_______．【例10】等差数列中，，，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．【例11】已知二次函数()()222103961100f x x n x n n =+-+-+，其中．⑴ 设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列；⑵ 设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．【例12】等差数列前项的和为，其中，项数为奇数的各项的和为，求其第项及公差．【例13】设等差数列的公差为,，且，求当取得最大值时的值．【例14】已知等差数列中，，，，则（）A ．B ．C ．D ．【例15】已知是等差数列，且，，求数列的通项公式及的前项和．【例16】在各项均不为0的等差数列中，若，则等于（）A．B．C．D．【例17】设数列满足，，，且数列是等差数列，求数列的通项公式．【例18】已知22=-+++-，f x x n x n n()2(1)57⑴设的图象的顶点的纵坐标构成数列，求证为等差数列．⑵设的图象的顶点到轴的距离构成，求的前项和．【例19】已知数列是等差数列，其前项和为，．⑴求数列的通项公式；⑵设是正整数，且，证明．【例20】在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.【例21】有固定项的数列的前项和，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是．⑴求数列的通项；⑵求这个数列的项数，抽取的是第几项．【例22】已知23123()n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，成等差数列(为正偶数)．又，，⑴求数列的通项；⑵试比较与的大小，并说明理由．【例23】设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足则的取值范围是．【例24】设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（）A ．B ．C ．D ．【例25】在等比数列中，若公比，且前项之和等于，则该数列的通项公式．【例26】已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．⑴求数列的通项；⑵求数列的前项和．【例27】已知数列满足，，且对任意，都有22121122()m n m n a a a m n +-+-+=+-⑴求，；⑵设证明：是等差数列；⑶设，求数列的前项和．【例28】设等差数列的前项和为，，则等于（）A．10 B．12 C．15 D．30【例29】已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（）A． B． C． D．【例30】若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（）A．B．C．D．【例31】已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（）A．或 B．或 C． D．【例32】已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（）A． B． C． D．【例33】等差数列中，，，此数列的通项公式为，设是数列的前项和，则等于．【例34】设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数，使．（为正整数）⑴在只有项的有限数列，中，其中，，，，，，，，，；试判断数列，是否为集合的元素；⑵设是等差数列，是其前项和，，证明数列；并写出的取值范围；⑶设数列，且对满足条件的常数，存在正整数，使．求证：．【例35】已知数列满足：，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，．⑴求的值；⑵设，，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；⑶对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由．2019-2020年高中数学数列的概念与简单表示”课堂实录一、教学目标：知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

构造法求数列通项的八种技巧(三)(学生版+解析版)

构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如a n+1=ca n k,a n=ca n-1k或者a n+b=c(a n-1+b)k,b为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列a n中, a1=2,a n+1=a n2,求数列a n的通项公式.【经典例题2】数列a n中,a1=1,a n+1=2a n2,求数列a n的通项公式.【经典例题3】已知a1=2,点a n,a n+1在函数f x =x2+2x的图像上,其中n∈N*,求数列a n的通项公式.【经典例题4】在数列a n中, a1=1,当n≥2时,有a n+1=a n2+4a n+2,求数列a n的通项公式.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于a n+1=Aa n+Ba n-1的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为a n+1-a n=(A-1)a n-a n-1,利用a n+1-a n成等比数列,以及叠加法求出a n.还有一小部分题型可转化为a n+1+a n=(A+1)a n+a n-1,利用a n+1+a n成等比数列求出a n.【经典例题1】已知数列a n满足a1=1,a2=3,a n+2=3a n+1-2a n n∈N*,求数列a n的通项公式.【经典例题2】已知数列a n中,a1=1,a2=2,a n+2=23a n+1+13a n,求数列a n的通项公式。

【经典例题3】数列a n中,a1=1,a2=53,a n+2=53a n+1-23a n,求数列a n的通项公式。

此方法可以解决大多数的a n+1=Aa n+Ba n-1,A+B=1模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造a n+1-a n成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.【经典例题4】已知数列a n满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n n∈N*,求数列a n的通项公式.【经典例题5】已知数列a n满足a1=1,a2=43,a n+2=73a n+1-23a n n∈N*,求a n的通项公式.秒杀求法:a n+2=pa n+1+qa n(p,q≠0)类通项公式暴力秒杀求法a n+2=pa n+1+qa n(p,q≠0)对应的特征方程为:x2=px+q,设其两根为x1,x2当x1≠x2时, a n=Ax1n-2+Bx2n-2当x1=x2时, a n=(An+B)x1n-2其中A,B的值的求法,用a1,a2的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可【秒杀例题1】已知数列a n满足a1=1,a2=43,a n+2=73a n+1-23a n n∈N*,求a n的通项公式.【秒杀例题2】已知数列a n满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n n∈N*,求数列a n的通项公式.【练习1】在数列a n中,a1=1,a2=2,a n+1=3a n-2a n-1(n≥2),则a n=_______.【练习2】设数列a n的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=32,a3=54,且当n≥2时, 4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1.(1)求a4的值；(2)证明：a n+1-12a n为等比数列;(3)求数列a n的通项公式.【练习3】数列a n满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明b n是等差数列;(2)求a n的通项公式.◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)针对x n+1=ax n+bcx n+d这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.对于函数f(x),若存在实数x0,使得f x0=x0,则称x=x0是函数f(x)的不动点.在几何上，曲线y=f(x)与曲线y=x的交点的横坐标即为函数f(x)的不动点.一般地,数列x n的递推式可以由公式x n+1=f x n给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列x n,若其递推式为x n+1=f x n,且存在实数x0,使得f x0=x0,则称x0是数列x n的不动点。

数列通项公式的九种求法

数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

笔者总结出九种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项公式解：设数列}a {n 公差为)0d (d >∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12=∵0d ≠，∴d a 1=……………………①∵255S a =∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d =∴n5353)1n (53a n =⨯-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、累加法求形如1()n n a a f n --=（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。

例2．已知数列{a n}中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+ =1121n -+，3121n a n ∴=-+ 点评：累加法是反复利用递推关系得到n —1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的和，要注意求和的技巧．三、迭代法求形如1n n a qa d +=+(其中,q d 为常数) 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。

2023高考数学----数列的通项公式规律方法与典型例题讲解

2023高考数学----数列的通项公式规律方法与典型例题讲解【规律方法】常见求解数列通项公式的方法有如下六种：（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．（2）累加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式．（3）累乘法：形如()()*1()02,?n n n a f n a a n n −=⋅≠∈N … （4）公式法（5）取倒数法：形如11n n n p ta a ma −−=+的关系式（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式．【典型例题】例1．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）在数列{}*(N )n a n ∈中.12a =，n S 是其前n 项和，当2n ≥时，恒有n a 、n S 、2n S −成等比数列，则n a =___________ 【答案】22122n n n n=⎧⎪⎨≥⎪−⎩，，【解析】当2n ≥时，由题可得()22n n n S a S =−，即()()212n n n n S S S S −=−−，化简得1122n n n n S S S S −−+=，得1122n n n S S S −−=+，两边取倒数得11111211222n n n n n S S S S S −−−−=+=+， 11112n n S S −∴−=，所以，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111112S a ==为首项，以12为公差的等差数列，()1111222n nn S ∴=+−⋅=，2n S n∴=，当2n ≥时，()12222211n n n a S S n n n n n n−=−=−=−=−−−−，所以，22122n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪−⎩，，.故答案为：22122n n n n =⎧⎪⎨≥⎪−⎩，，.例2．（2022·黑龙江·肇州县第二中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()21(21)2,N n n n S n S n a n n *−−−=≥∈，则数列n S =_____________．【答案】2(1)n n +【解析】由题意可得2*11(21)(),(2,N )n n n n S n S n S S n n −−−−=−≥∈，所以221(1)(1)n n n S n S −−=−，所以21(1)1(1)(1)1n n S n n S n n n −−−==+−+，所以32121121(1)!2(1)!341(1)2n n S S S n n n S S S n n n −−−⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==+++，又因为111S a ==，所以2(1)n S n n =+，故答案为：2(1)n n +例3．（2022·福建·高三阶段练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若226n n S n a =+−，则n a =______. 【答案】23n +【解析】当1n =时，11126a a =+−，则15a =；当2n ≥时，()211126n n S n a −−=−+−，两式相减，整理得1212n n a a n −=−+，设公差为d ，则1121n n n a a d a n −−−==−+，即()5221n d n d +−=+−，所以2d =，所以23n a n =+. 故答案为：23n +.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =，且+1=3+1n n n a a a ，则数列{}n a 的通项公式为=n a ______．【答案】131n − 【解析】由+1=3+1n n n a a a 两边取倒数可得+111=3n n a a +，即+1113n na a −=．所以数列是首项为2，公差为3等差数列. 所以()123131n n n a =+−=−，所以131n a n =−．故答案为：131n −. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，12a =，3211223nn a a a a a n+++++=−，则n a =__________．【答案】2n 【解析】因为3211223n n a a a a a n +++++=−，当2n ≥时，31212231n n a a a a a n −++++=−−，则1n n n a a a n +=−，即有11n n a a n n +=+，当1n =时，122a a =−，得24a =，2121a a=满足上式， N n *∈，11n n a a n n +=+，因此数列{}n a n是常数列，即121n a an ==，所以2n a n =. 故答案为：2n例6．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =______．【答案】3223n n− 【解析】因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++=⨯+，整理得()11223233n n n n a a ++−=−，所以数列{}23n n a −是以14233a −=−为首项， 23为公比的等比数列，所以1422333n n n a −⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，解得3223n n na =−．故答案为：3223nn −. 例7.（2022·全国·高三专题练习）设{}n a 是首项为1的正项数列且22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++−+=∈，且1+≠n n a a ，求数列{}n a 的通项公式_________ 【答案】n a n =【解析】依题意11a =，22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++−+=∈，所以()()1110n n n n a a na n a ++−−+=⎡⎤⎣⎦，又因为1+≠n n a a ，所以10n n a a +−≠，所以()101n n na n a +−+=，()111,21n n n n a a n nn a n a n +−+==≥−，所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a −−−=⋅⋅⋅⋅⋅13211221n n n n n −=⋅⋅⋅⋅⋅=−−，经检验，11a =也符合上式. 所以()*N n a n n =∈.综上所述， n a n =. 故答案为： n a n =.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*N n ∈），则n S =___________ 【答案】2n n ⋅【解析】因为12n n n a S n ++=，则12n n na S n +=+，当2n ≥时，1(1)1n n n a S n −−=+，因此1(1)21n n n na n a a n n +−=−++，化简整理得1221n n a a n n +=⋅++，而211336a S a ===，有21232a a=⋅，即有*N n ∈，1221n n a a n n +=⋅++，因此，数列{}1n a n +是以112a=为首项，2为公比的等比数列，则121n n a n −=+，即1(1)2n n a n −=+⋅，所以1(2)2222n n n n n n S a n n n n +==⋅+⋅=⋅++. 故答案为：2n n ⋅例9．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足：123a =，()()()21*12122N n n n n a a n +++−=−∈，则{}n a 的通项公式为_____________.【答案】()()122121nn nn a +=−− 【解析】由()()2112122n n n n a a +++−=−得，1122222122121n n n n n n a a ++++−−==⋅−−，则1231122113123121212121222221212121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−−+−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−−−−()()11322121n n n −+⋅−−，即()()111322121n n n n a a −+⋅=−−，又123a =，所以()()122121n n nn a +=−−. 故答案为：()()122121n n nn a +=−−.例10．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n 次由甲掷的概率n P =______（用含n 的式子表示）．【答案】1111223n −⎛⎫+− ⎪⎝⎭【解析】易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为121363=．“第1n +次由甲掷”这一事件，包含事件“第n 次由甲掷，第1n +次继续由甲掷”和事件“第n 次由乙掷，第1n +次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为13n P ，()1113n P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，故()11112113333n n n n P P P P +⎛⎫=+−−=−+ ⎪⎝⎭（其中11P =），所以1111232n n P P +⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，所以数列12n P ⎧−⎫⎨⎬⎩⎭是以112P −为首项，13−为公比的等比数列，于是11111223n n P P −⎛⎫⎛⎫−=−⋅− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1111223n n P −⎛⎫=+− ⎪⎝⎭．故答案为：1111223n −⎛⎫+− ⎪⎝⎭。

专题二递推公式求数列的通项

专题二数列的通项递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决（即构造等差、等比的辅助数列），因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。

常见的求法有：1、公式法：由等差，等比定义，写出通项公式（一般求m a d q 、、，再用通项或变形公式）2、累加法：)(1n f a a n n =-+型；累乘法：)(1n f a a nn =+型；迭代法 3、待定系数法：1()n n a pa f n +=+型；q pa a n n +=+1型（p q 、为常数，且1,0p p ≠≠）特别提醒：一阶递推q pa a n n +=+1,我们通常将其化为111n n q q a p a p p +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭{b n }的等比数列（常考查）4、不动点法：1n a +与n a 的递推公式中，不含()f n 。

5、特征根的方法：n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

6、对数变换法：rn n pa a =+1)0,0(>>n a p7、换元法：对含a n 与S n 的题，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 消去n S ，转换为n a 的推公式，再用前面的方法特别提醒：对含a n 与S n 的题，在求和的问题时，也可以用这样的方法消去n a ，得到关于n S 的递推公式，同样采用上述求通项地方法求出n S8、周期数列：n T n a a +=9、数学归纳法：（以后学）说明：① 仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

② 其中方法3、4、5、6、7都属于构造辅助数列：构造{}()n f a 为等差（等比）数列，求出()n f a ，然后就可以求出n a 了。

4.3.3数列求通项(第二课时)课件(人教版)

得an＝an－1＋1，即an－an－1＝1，
2n 2n－1
2n 2n－1
an
所以
2n
1 是以为首项，以
1
为公差的等差数列，
2
1
即an ＝1＋( n－1) ×1，所以 2n 2
an＝
n－ 2
×2n.
构造法
例 9：数列{an}满足 an＝2an－1＋2n+1(n≥2)，且 a1＝1，求数列{an}的通项公式.
.
6n－1
RART 05
课堂总结
课堂总结
1.公式法； 2.累加法； 3.累乘法； 4.构造法。
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我们必须知道，我们必将知道 --希尔伯特
以上各式相加得，
1
1
1
1 11
11
an－a1＝
＋
＋… ＋
＝(1－ )＋( － )＋… ＋(
－ ),
1×2 2×3
（n－1）n
2 23
n－1 n
1
1
所以 an＋1＝1－n ，所以 an＝－n (n≥2).
又因为 n＝1 时，a1＝－1，符合上式，
1 所以 an＝－
( n∈N*) .
n
累加法
例 3：设数列{an}满足 a1＝1，且 an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 an＝________．
解:由题意，等式两边同乘 2n，得2n＝2n－1＋1， an an－1
2n 2n－1 即－＝1，
an an－1
2n
所以 an 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，
2n
2n
所以 an
＝2＋(
n－1)
×1，即

数学高二(上)沪教版(求数列的通项公式----构造等差(比)数列求数列的通项)学生版

例2、已知数列｛a n ｝中，前n 项和s n = 2a n -3n , 求数列的通项公式a n.分析：已知等式中不是递推关系式，利用1--=n n n s s a 可转化为：a n -2a n-1=213-⋅n ,考虑3n-1是变量，引入待定常数x 时，可设a n - x n 3⋅=2(a n-1- x 13-⋅n ),从而可构造等比数列。

变式练习1：已知数列{}n a 中，1a =92，113232+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .变式练习2：设数列11132(*)n n n n x x x x n N +==+∈.｛｝满足：，求数列n x ｛｝的通项公式．2 、利用配方法有些递推关系式经“配方”后，可体现等差（比）的规律性。

例3、设a n0，a 1=5，当n 2时，a n +a n-1=17--n n a a +6, 求数列的通项公式a n 。

3、利用因式分解有些递推关系式经因式分解后，可体现等差（比）的规律性。

例4、已知数列｛an ｝是首项为1的正项数列，且a2n+1+ 3an+1- 2a2n+ 3an- an a n+1=0求数列的通项公式an。

4 、利用对数有些数列的递推关系式看起来比较复杂，但通过取对数变行后，往往能构造出简单数列（如等差、等比数列），揭示规律。

例5、设a0,如图，已知直线L:y=a x与曲线C:y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0a1a),从C上的点Qn (n1)作直线平行X轴，交直线L于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行Y轴,交曲线C于点Qn+1 ；点 Qn（n=1,2,3,…）的横坐标构成数列{an},(I) 试求an+1与an的关系，并求数列{an}的通项公式。

（II）、（III）两题略（2003年江苏高考第22题）变式练习：正项数列{an }中，a1=1，a2=10，当n3时，an2an-1-3an-2=1，求数列的通项公式an。