第一章 第二讲 矩阵及矩阵初等变换2
第一节 矩阵的初等变换与初等矩阵3-1,2
台阶数即是非零行的行数， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元， 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元． 零元．
行 梯 矩 B5还 为 最 形 阵 即 阶 形 阵 称 行 简 矩 ， 非 零 的 一 非 元 1， 这 非 元 在 列 行 第 个 零 为 且 些 零 所 的 的 他 素 为 . 其 元 都 零
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 因为在上述变换过程中， 的系数和常数进行运算， 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算． 若记 1 2 2 −1 −1 1 −2 1 4 1 B = ( Ab) = 4 −6 2 − 2 4 3 6 −9 7 9 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 方 程组（ ）的增广矩阵）的变换． 程组（1）的增广矩阵）的变换．
（1） 反身性 A ⇔ A；
（2）对称性 若 A ⇔ B , 则 B ⇔ A;
（3）传递性 若 A ⇔ B, B ⇔ C, 则 A ⇔ C.
具有上述三条性质的关系称为等价． 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解， 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
解方程组（ ）： 用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：
对于任何矩阵Am×n ,总可经过有限次初等行 变换把他变为行阶梯形 和行最简形.
第2节矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
1
O
1
Ri
(k
)
Ci
(k
)
k
1
O
1
(3)以数乘以E中的第i行加到第j行上去，得到的 矩阵记为Rij()；以数乘以E中的第j列加到第i列 上去，得到的矩阵记为Cij()。
初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一 类型的初等矩阵，容易验证：
Rij-1=Rij （Ri()）-1=Ri(1/) （Rij()）-1= Rij(－)
有可逆性知b22,…,bn2中至少有一个不为零。（如果不是这样，则将B的第一列乘以 （-b12）加到第二列中，则第二列全为零，这与逆矩阵的性质相矛盾。）。这样就 可以通过初等变换将第二行第二列的元素变为不等于零。再对第二行第二列乘以适
当的系数，可以把第二行第二列的元素变为1。再将第二行乘以适当的数加到下面 各行。得到矩阵：
定理1.5 方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限 个初等矩阵的乘积
。
1.2.4 用初等行变换求逆矩阵
由定理1.5可知，可逆矩阵A可以分解成若干初等矩阵 的乘积。设
A=P1P2…Pt 则有 Pt-1…P2-1P1-1A=E 且 Pt-1…P2-1P1-1 E = A-1 上面两个式子表明，对矩阵A与E施行同样的行变换， 在把A化成单位阵时，E同时就化成A-1。 即得
定理1.4 可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵。
第一章矩阵的运算与初等变换(第二讲)
a12 a 22
a13 a 23
a 32
a12 a 22
a 33
a13 a 23
a14 a 24 A1 1 A21 a 34
a14 a 24 A1 1 A21 a 34
A1 2 A22
2
A1 2 A22
A1 3 A23
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结束
第一章
2.4 矩阵的转置
1. 定义 定义2.4 设矩阵 A ,不改变每行元素的相互顺序, 把A 的行依此换成同序数的列所排成的矩阵, 称为 A 的转置矩 阵,记作 AT. 例如
1 A 4
2 5
3 , 6
A
T
1 2 3
4 5 . 6
a1 1 0 A 0 a1 2 a 22 0 a1 n a2n , a nn
b1 1 b2 1 B bn1
0 b2 2 bn 2
0 0 , bn n
请大家自行验证:上(下)三角形矩阵对矩阵的线性运 算和乘法运算的封闭性.
2
0
设n阶对角矩阵
a2 b2
按矩阵的运算法则,有
a1 b1 AB a1 A a 2 b2 , a n bn
第二章 矩阵和矩阵的初等变换
第二章 矩阵和矩阵的初等变换
矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学和其他自然科学、工程技术和经济领域中都有着广泛的应用. 本章的中心议题为矩阵，围绕这个议题，先给出矩阵的定义、矩阵的运算和求方阵的逆、初等变换以及求矩阵的秩，最后介绍矩阵的分块运算.
§2.1 矩阵的定义
一、 矩阵的基本概念
定义1 由n m ⨯个数ij a (1,2,,;1,2,,)i m j n ==排成的m 行n 列的数表（常
用括弧将数表括起）
1112
1
2122212
n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
称为m 行n 列矩阵，简称m n ⨯阶矩阵，其中ij a 叫做矩阵A 的元素，i 为行标，j 为列标，表明ij a 位于矩阵A 的第i 行第j 列. 为简单起见，记m n ⨯阶矩阵A 为
()ij m n a ⨯或m n A ⨯.
特别地，当m n =时，则称矩阵A 为n 阶矩阵或n 阶方阵，记为n A . 对于m n ⨯矩阵A ，当1m =时，有12
()n A a a a =.称矩阵A 为行矩阵，或行向
量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也可写为12(,,,)n A a a a =.
当1n =时，有12m a a A a ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.称矩阵A 为列矩阵，或列向量.
当1m n ==时，有11()A a a ==.这里把矩阵A 看成是数.
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.所有元素均为零的矩阵，称为零矩阵，记作O . 注意不同型的零矩阵是不同的.
2第一章 矩阵的初等变换
第一章 矩阵的初等变换与方程组的消元法
一、内容提要
1. 基本概念
（1）矩阵的定义：由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成的m 行n 列的数表
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211A
称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵．
（2）方阵：行数与列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶方阵，n 阶矩阵A 也记作n A .
（3）对角矩阵：主对角线元素不为零，其余元素全为零的方阵称为对角矩阵，简称对角阵．如：
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛=n λλλ
00000
2
1
Λ
也记为),,,(21n diag λλλ =Λ.
（4）单位矩阵：主对角线上的所有元素全为1的对角阵，称为单位阵，记作E ． （5）矩阵的初等变换：矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
(ⅰ)交换矩阵的两行（列）（j i r r ↔；（j i c c ↔))；
(ⅱ)以一个非零实数k 乘矩阵的某一行（列）（i i k r ⨯；)(k c i ⨯）；
(ⅲ) 把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）（j i kr r +；)j i kc c + . 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
（6）矩阵等价：若矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B , 则称矩阵A 与B 等价，记为：B A →.
（7）行阶梯形矩阵：从矩阵每一行的第一个非零元（称为主元）开始，可画一条阶梯线，线下方全为0，上方不全为零．每个台阶只一行，台阶数即非零行的行数.如：
第二次课：第一章第二节 矩阵的初等变换
0 0 A= L 0
0 0 L 0
L L L L
0 0 L 0
称为零矩阵
同型矩阵：若两个矩阵A，B的行数相同， 列数也相同，则称A，B为同型矩阵。 矩阵相等：如果 A = aij , B = bij 是同型矩阵， 矩阵相等 并且它们对应的元素相等，即
( )
( )
aij = bij (i =1,2,Lm; j =1,2,Ln) 那么就称矩阵 A与矩阵 B相等，记作 A = B
例如：
1 2 3 4 A = 3 1 2 0 4 5 1 2
4 5 1 2 3 1 2 0 = B 1 2 3 4
1 2 3 4 A = 3 1 2 0×2 4 5 1 2
1 2 3 4×(-4) A = 3 1 2 0 4 5 1 2 源自文库
A→B
等 变 初 行 换 初等变换 等 变 初 列 换
初等变换将一个矩阵变为另一个矩阵
A→B A→B
若A →L→ B ，此时称A与B是等价的
行阶梯形矩阵：如果一个矩阵具有如下特征， 行阶梯形矩阵：如果一个矩阵具有如下特征，则称之为阶
矩阵的初等变换和初等矩阵
例如
设
A 103
0 1 1
112
则有
~ ~ A103
01A 1
我们知道，决定方程组AX=b解的因素只有：方程组的 系数矩阵A及常数项b. 因此我们令
B(A b) 称为方程组AX=b的增广矩阵。
Henan Agricultural University
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
Henan Agricultural University
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①2②
①2②
3x2 3x3 x4 6
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7x4
4 4 9
增广矩阵的比较
B
4231
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
9442
0 3 3 1 6
B3
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
944
显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3
线性代数课件 矩阵的初等变换
一般记法：
E i , j A表示A的第i行与第j行对换, AE i , j 表示A的第i列与第j列对换. E i k A表示A的第i行乘k , AE i k 表示A的第i列乘k . E ij k A表示A的第j行乘k加到第i行上, AE ij k 表示A的第i列乘k加到第j列上.
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
1 3 0 2 0 0 0 0
1 4 0 0
0 0 3 0
0 1 3 0
1 0 0 0
定理1 每一个矩阵都可以经过单纯的初等行变换
化为行阶梯形矩阵.
6
行最简形矩阵：
特点： 行阶梯形矩阵B5还称为行最简形矩阵，即非
零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列 的其他元素都为零. 1 1 0 4 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0
10
(1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri rj )，得初等方阵
1 1 0 1 第 i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1
第一次课矩阵的初等变换
x1 x2 2 x3 1 ( 1) (2) 2 x1 x2 2 x3 4
4x1 x2 4x3 2
4 x1 x2 4 x3 2
x1 x2 2 x3 1
( 2)2 (1) 4 x 1 3xx 22 2 4 xx 33 2 2 ( 3)4 (1)
x1 x2 2 x3 1 3x2 2 x3 2 3x24x3 2
0
3
2
2
4 1 4 2
1 1 2 1
r 34r 1 0 3 2
2
0 3 4 2
1 1 2 1
r 3r2
0
3
2
2
0 0 2 4
【注2】初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
逆变换
ri rj
ri rj
kr i ri krj
逆变换 逆变换
1 k
ri
ri krj
初等列变换也有类似的结果…
定义 行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最简
形就是所谓的最简单的“代表”) 书P9 定义1.4 行阶梯形矩阵
1 1 2 0
0
2
1
2
0 0 0 1
0 0 0 0
0 3 2 0 1
0
0
0
1
2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
（1）台阶左下方元素全为零； 行阶梯形矩阵：（2）每个台阶上只有一行；
第一章 矩阵及其初等变换
第一章 矩阵及其初等变换
一、填空题：
1．设111111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，123124B ⎛⎫
= ⎪--⎝⎭
，则2A B +=（ ）．
2．()312321⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，
，（ ）． 3．与1101⎛⎫ ⎪⎝⎭
可交换的所有矩阵是（ ）．
4．1011n
⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ）．
5．设A 与B 都是n 阶方阵，则AB 为对称矩阵的充要条件是（ ）． 6．设A 与B 都是n 阶方阵，A 为反对称矩阵，B 为对称矩阵，则AB BA -为 （ ）矩阵．
7. 设A 为n 阶方阵且满足2
A A I O --=，则1
A -=（ ）．
8.设A 为n 阶方阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是（ ）．
9. T
A B C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ）．
10. 设52002
10000120
01
1A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则1
A -=（ ）． 二、选择填空：
1．若A 为（ ），则A 必为方阵．
A ．转置矩阵
B ．系数矩阵
C ．可逆矩阵
D ．分块矩阵 2．设A B C 、、都是n 阶方阵，下列说法正确的是（ ）．
A ．2
A O =，则A O =
B ．AB BA =
C ．ABA ACA =且A 可逆，则B C =
D ．AB CA =且A 可逆，则B C =
3．设()()12=102=11T T
αα-，
，，0，，都是0AX =的解，则A =（ ）． A ．()211-，， B ．201011-⎛⎫ ⎪
⎝⎭ C ．102011-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D ．011422011-⎛⎫
⎪
-- ⎪ ⎪⎝⎭
4．设A 是n 阶方阵，2
微课：矩阵的初等变换与初等矩阵
0 1 2 1
0 0 0 0
1 0 1 r1 r2 0 1 2
0 0 0
021的 还形 原式 为方程组x2x12xx33
2 1
11
矩阵的初等变换及矩阵的秩（1）——第八学习单元补充资料
一. 矩阵的初等变换
2. 用矩阵记述线性方程组的消元法（r表示行，c表示列）
解：从化简得到的同解方程组
二. 初等矩阵——用矩阵的乘法表示初等变换
2. 矩阵的乘法表示矩阵的初等变换：
例题3.
设 2 A 1
4 3
2 5
3 6
,E(2,3)是三阶初等矩阵E(13(4))
3 7 2 1
是四阶初等矩阵。计算：E2,3A和AE134
28
矩阵的初等变换及矩阵的秩（1）——第八学习单元补充资料
二. 初等矩阵——用矩阵的乘法表示初等变换
二. 初等矩阵——用矩阵的乘法表示初等变换
1. 初等矩阵：
（3）Eij(c): 第j行元素乘以常数c后加到第i行——或者将第i
列元素乘以常数c后加到第j列之上所得：
Eij(c) 行变换定义：
1
1
...
...
1
0
第i行
1
c
第i行
E
1
...
0
1
将第j行元素乘以
第j行常数c加到第i行上
线性代数及其应用第2节矩阵的初等变换
(1rmim n,n())
的矩阵都是标准形矩阵．
定义5 如果矩阵 A 经过有限次初等变换后化 为矩阵 B ，则称 A 等价于矩阵 B，简记为
A~ B.
矩阵等价的一些简单性质：
(1)反身性 A~ A；
(2)对称性 若 A ~ B, 则 B~ A；
(3)传递性 若 A~B且 B~C，则 A ~ C .
条件，则称之为矩阵的行最简形． (1) 每个非零行第一个非零元素为1； (2) 每个非零行第一个非零元素所在列的其他
元素都为0．
如
1 0
0 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
源自文库
第 2 节 矩阵的初等变换
定义
性质
一、定义
由上节知，一个线性方程组与其增广矩阵 是一一对应的，研究方程组的解可以转化为研究 其增广矩阵． 对方程组进行初等变换相当于对其 增广矩阵的相应的行作变换（称为矩阵的初等行 变换）． 在本节我们主要介绍矩阵的初等变换的 概念及其性质．
定义2 行阶梯形矩阵是指满足下列两个条件的
矩阵 A(aij)mn都可以经过初等变换化为标准形，
即任何矩阵
A(aij)mn
都与标准形
Er 0
线性代数—矩阵的初等变换
证明 (1)我们仅对第三种初等行变换进行证明. 把矩阵A=(aij) m×n和m阶单位阵E按行分块为 ×
A1 A2 A= M A m ε1 ε2 E= M ε m
其中
Ai = (a i 1 , a i 2 ,L , a in )
14 1 −1 0 5 −2 7 2 1 3 6 0
对其施以如下初等行变换：
4 −1 A= 0 1 6 0 14 r1 ↔ r4 1 −1 0 5 −2 7 2 1 3
1 −1 0 4
2 1 3 1 −1 0 5 −2 7 6 0 14
(2)用非零数k乘以单位矩阵E的第i行(列)所得到 的矩阵，记作E[i(k)], 即
1 O 1 E ( i ( k )) = k ← 第 i 1 O 1
行
(3)将单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行(或第j列的 k倍加到第i列)所得到的矩阵，记作E[i,j(k)]，即
于是 充分性
− A = P1−1 P2−1 L Ps−1Qt−1 L Q2 1Q1−1
若A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。 。
P1 , P2 , L , Ps 为初等矩阵
设 A = P1 P2 L Ps
因初等矩阵可逆，则可得A可逆。 。
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
例
设
A
3 1
0 1
1 0
,
且AX
A
2X ,求矩阵X .
0 1 4
解 AX A 2X , ( A 2E)X A, 若A 2E可逆， 则X ( A 2E )1 A
又
1 0 1 A 2E 1 1 0,
0 1 2
29
1 0 1 1 0 0 (A 2E E) 1 1 0 0 1 0
ain
第
j
行
am1 am2 amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换：
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 (ri rj ).
6
类似地，
以 n 阶初等矩阵 En(i, j) 右乘矩阵 A，
a11
AEn
(i
,
j)
a21
a1 j
a2 j
a1i
a2i
a1n a2n
am1 amj ami amn
0 0
2 0
5 1
2 1
1 1
0 1
r2 5r3
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r2
（
1 2
）
1 0
0 1
0 0
1 3
3 3
2 5
r3 (1)
0 0 1
第一章 矩阵2
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
a11 a12 b1 a12 a11 b1 记D = , D1 = b a , D 2 = a b , a21 a22 2 22 21 2
则当D = a11a22a12a21 0时, a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2
1 s 2 1P 1) 1
两边同时左乘(P …P 0 0 … 1 A = Ps1…P21P11 为初等矩阵的乘积.
… …
…
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
定理1.5. A可逆A可写成初等矩阵的乘积.
3. 矩阵的标准分解 (回忆定理1.3) 定理1.6. 设A是mn矩阵, 则存在m阶可逆 矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得 (r ) A = P EmnQ. 三. 用初等变换求逆矩阵
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
注: 二阶行列式和三阶行列式的对角线法则: a11 a12 a21 a22 = a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .
线性代数2chapter2(1-4)矩阵的初等变换与标准形,矩阵的秩
教学要求： 教学要求：
1. 掌握矩阵的初等变换 掌握矩阵的初等变换; 2. 了解矩阵等价的概念，了解初等矩阵的性质 了解矩阵等价的概念，了解初等矩阵的性质; 3. 掌握用初等变换求逆矩阵的方法 掌握用初等变换求逆矩阵的方法; 4. 了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩 了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩.
一. 矩阵的初等变换 二. 矩阵的标准形 三. 初等矩阵
四. 可逆矩阵与初等矩阵的 关系
五. 求逆矩阵的方法 六. 矩阵的秩
一. 矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换
(1) 对调两行（对调 i , j 两行, 记作ri ↔ rj）； 对调两行（ (2 ) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 ;
a11 ⋮ = kai1 ⋮ a m1
a12 ⋮ kai 2 ⋮ am 2
a1n 以En(i(k)) 右乘 ⋮ 矩阵 A，其结果 ⋯ kain ←第i 行 相当于以数k 乘 ⋮ A的第i 列(ci × k). ⋯ amn ⋯
3、以数k ≠ 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
定义4. 定义
0
0 ⋯ 0
1 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ 1 0 ⋯ 0
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第二讲 矩阵及初等变换（4节）
在上一讲中，我们简单介绍了n 元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的思想，这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表，我们称之为矩阵。 矩阵是线性代数中重要的概念之一，它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较广泛的应用。著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。因此掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。
本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质，为下一步更好地利用矩阵理论与方法讨论线性方程组提供有力的理论支撑。
1.2.1矩阵的概念
定义2.1 由m n ⨯个数i j a （=1,2,,i m ；=1,2,j n ）排成了m 行n 列的矩形数表
11121212221
2
n n m m m n
a a a a a a a a a
称其为m 行n 列矩阵，记作
11121212221
2
n n
m m m n m n
a a a a a a a a a ⨯⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
。 其中称ij a 是矩阵的第i 行第j 列元素。矩阵常用大写字母m n A ⨯，m n B ⨯… ...表示，或简记m n A ⨯=()ij m n a ⨯，m n B ⨯=()ij m n b ⨯… … 等.
注意：矩阵的行数m 与列数n 可以不相等，行列相同的矩阵称为方阵. 例如 2行3列矩阵 23231
0-2=2
5
-3A ⨯⨯⎛⎫
⎪⎝⎭ ， 2行2列矩阵 2222
2
1=1
6B ⨯⨯⎛⎫
⎪-⎝⎭。 例2.1例：给个具体的矩阵表示实例
1.2.2矩阵的运算
矩阵也有加、减、数乘、乘法等基本运算法则，以及转置运算等.由于矩阵是个数表，所以它的运算法则与数之间的运算法则有本质上的区别。下面我们先给出矩阵的基本的运算.
定义2.2 若两个行列相同的矩阵()
()
,ij ij m n
m n
A a
B b ⨯⨯==其对应元素相等，即
()
ij
m n
a ⨯=()
ij m n
b ⨯
则称矩阵A 与B 相等，记作A B =。
每个元素都是0的矩阵叫做零矩阵，用m n O ⨯表示，要注意的是行列不同的零矩阵不相等。如 ()1322
000
00
0⨯⨯⎛⎫
≠
⎪⎝⎭
定义2.3 设()
()
,ij ij m n
m n
A a
B b ⨯⨯==，令()ij m n
C c ⨯==()ij ij m n a b ⨯+，称C 为矩阵A 与
矩阵B 的和. 记作C A B =+. 记()
ij m n
A a ⨯-=-，称（－A ）是矩阵A 的负矩阵. 则有
A B -=A B +-（）=()ij ij m n a b ⨯-
注：定义2.2和定义2.3的条件是要求两矩阵的行和列要相同。我们把2个同行同列的
矩阵叫作同型矩阵。 例2.2 设121
03
50
1X -⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求X . 解 由题意X 是2行2列矩阵，可令X =a
b c
d ⎛⎫
⎪⎝⎭，则 a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭=10120135-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=023
4⎛⎫ ⎪--⎝⎭
. 称100
1⎛⎫
⎪⎝⎭为二阶单位矩阵，记2E .相应有三阶单位阵31
000100
1E ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
以及n 阶单位矩阵1
000
100
1n E ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
等。 定义2.4 非零数k 与矩阵()ij m n
A a ⨯=的乘积记作kA ，规定kA ＝()
ij m n
ka ⨯.
即，非零常数k 与矩阵A 乘积等于用k 乘以A 的每一个元素。换句话说，当A 中每一个元素都有相同公因子k 时，才能把k 提出A 外。
例如24126
02308241--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝
⎭
定义2.5 设()
()
,i j i j m s
s n
A a
B b ⨯⨯==，那么A 与B 的乘积为记()i j m n
C c ⨯=，即
C AB ==()i j m n c ⨯
其中11221
...s
ij i j i j is sj ik
kj k c a b a b a b a
b ==+++=
∑(1,2...;1,2...)i m j n ==
即，用左边矩阵A 的第i 行元素与右边矩阵B 的第j 列元素对应相乘再相加后，得C 中元素i j c .
例2.3 设某家电公司两分厂2012年第四季度空调、电视机、冰箱的产量矩阵已表示为11121321
22
23a a a a a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，现设空调、电视机、冰箱每台的销售价分别为112131,,d d d ；每台的利润分别为122232,,d d d .若记单位售价和单位利润的矩阵为B ，则11
1221
2231
32d d B d d d d ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
.
如设两厂的该季度的总销售价分别为1121,m m ；总利润分别为1222,m m .若记总销售价和总利润的矩阵为M ，则11
1221
22m m M m m ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，其中 11111112211331m a d a d a d =++； 21211122212331m a d a d a d =++； 12111212221332m a d a d a d =++； 22211222222332m a d a d a d =++.
按产量、单价、总价间的关系，称M 为A 、B 的乘积也是自然的.
例2.4 设33321100
12
11,1210
110A B ⨯⨯-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝
⎭.求A B . 解: 由定义2.5 ，1
10012
111210
11
0AB -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
= = 1011011112201111211210100211110210⨯+-⨯-+⨯⨯+-⨯⎛⎫ ⎪⨯+⨯-+-⨯⨯+⨯+-⨯ ⎪ ⎪-⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯⎝⎭（）（）（）（）（）（）（）（）=1
1241
1-⎛⎫
⎪-
⎪ ⎪-⎝⎭
显然不是任意2个矩阵都能相乘。只有m s A ⨯的列数等于s n B ⨯的行数AB 才有意义.本例中B 有2列，A 有3行，所以B A 无意义.