第七章狭义相对论原理和相对论电动力学

x'
x vt v2 1 2 c
y' y z' z v t 2 x c t' v2 1 2 c
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§7-2 Lorentz transform
反变换，相同形式，速度由v变为-v: 相对’以速度 -v沿x轴运动 (‘ 相对以速度v 运动)
x
x ' vt '
2
v 1 2 c y y' z z' v t ' 2 x ' c t 2 v 1 2 c
2 2 2
（0,0,0,0)
(x,y,z,t)
（0,0,0,0)
(x’,y’,z’,t’)
x y z c t
2 2 2 2 2
2 2
x' y ' z ' c t '
2 2 2
2 2
x y z c t 0
x'2 y'2 z '2 c 2t '2 0
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两事件以光速传播信号联系。
1 2
Δt 0, Δx 2c, Δs 2 c 2 Δt 2 Δx 2 4c 2 Σ': P (c / 3,0,0,1 / 3), P2 (3c,0,0,3) 1 Δt ' 8 / 3, Δx' 10c / 3, Δs'2 c 2 Δt '2 Δx'2 4c 2
x
x
y' y z' z ct ' a21 x a22ct 间隔不变性、线性
惯性系等价: 变换是线性
x、x’轴正向同，取a11>0; t、t’正向同,取a22>0 代入间隔不变性：
(a11x a12ct ) 2 y 2 z 2 (a21x a22ct ) 2 x 2 y 2 z 2 c 2t 2
坐标中， 事件的间隔： ‘坐标中， 事件的间隔： 间隔的不变性：
s c t (x y z )
2 2 2 2 2 2
s'2 c 2t '2 ( x'2 y'2 z'2 )
x y z c t x' y' z ' c t '
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 2 y 2 z 2 c 2t 2 A( x'2 y'2 z '2 c 2t '2 )
A2 1
由变换连续性：取A=1
x 2 y 2 z 2 c 2t 2 x'2 y'2 z '2 c 2t '2
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§7-1.4 间隔不变性
事件的间隔S2: 第一事件(0,0,0,0), 第二事件(x,y,z,t)
x' a11x a12ct
得
0 a11vt a12ct
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解得：
a12 v a11 c
§7-2 Lorentz transform
a11 a22 1 v 1 2 c
2
,
a12 a21
v/c v2 1 2 c
相对论时空坐标变换： ‘ 相对以速度v 沿x轴运动
A T=a ji
逆矩阵：AA-1=I I单位矩阵
正交矩阵满足 ： A T=A-1 正交矩阵之乘积仍为正交矩阵
正交矩阵可逆，逆矩阵仍正交矩阵
正交矩阵A之det(A)=±1
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§7-3 物理量的协变性
物理量按空间变换性质的分类
标量 ( tensor of rank zero)当坐标转动时不变
矢量(tensors of rank one)当坐标转动时，具有矢
x' x vt y' y z' z t' t
特点：时空分离。时间 均匀流逝。低速现象。
3
§7-1.1伽利略变换和麦克斯韦方程的矛盾
伽利略变换和麦克斯韦方程的矛盾 达朗贝尔方程：
1 2 2 2 0 2 c t
应用伽利略变换后为
2 1 2 2 1 ' 2 2 2 v ' 2 v 'v ' 0 t ' c c t ' c
2
一般情况：第一事件(x1 ,y1 ,z1 ,t1 )，第二事件(x2 ,y2 ,z2 ,t2 ) 事件的间隔S2：
s c (t 2 t1 )
2 2
2
( x
2
x1 ) ( y 2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2

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间隔是时空统一的概念。
§7-1.4 间隔不变性 例： ‘ 相对 沿x轴以速度v运动。在‘ 上有静止光源S和 反射镜M, 相距z0’。从S发出沿z’轴的闪光， 经M回到S。求两 参考系上观察的闪光发出、接收时间和间隔。


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间隔相等，时间不同。
§7-2 Lorentz transform
15
§7-2 Lorentz transform
相对论时空坐标变换：由变换的线性，间隔不变性 简单情况，x轴、x’轴沿‘ 相对 运动方向。y, z不变, 有：
y y k' v k
பைடு நூலகம்
x' a11x a12ct
o o
其他实验: 横向多普勒效应实验,证实运动始终延缓 携带时钟环球飞行试验,证实运动始终延缓(1970)
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§7-1.3爱因斯坦（Einstein ）相对论基本假设
（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。物理 规律对所有惯性系都可表为相同形式。
（2）光速不变性原理：真空中光速对任何参考系 沿任一方向都为c, 与光源速度无关。
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§7-2 Lorentz transform
比较系数：
2 2 a11 a21 1
a11a12 a21a22 0
2 2 a12 a22 1
2 2 a11 1 a21 , a22 1 a12 , a12 a21
以‘ 相对 运动速度表示系数：O’ 点 ：在中观察，坐标x=vt ; 在‘中观察，坐标x’=0 因
v v t 2 x 1 c c 1 t' 2 v v2 3 1 2 1 2 c c
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§7-2 Lorentz transform P2受到讯号时，在的时空坐标为(-c, 0, 0, 1)，
可得，在’ 的时空坐标为(-3c, 0, 0, 3). 在’ 上测得沿x’上的光速x’/t’=c。 在和‘上观察P1, P2接收到讯号两事件，时间差别、空间距离、 间隔： Σ : P (c,0,0,1), P (c,0,0,1)
M Z0’ S ‘ S1 vt M S2
解： 在‘ 上观察：发出到接收 的时间
Δt ' 2 z0 ' / c
发出、接收同地点：
Δx' Δy' Δz ' 0
间隔：
s'2 c 2 (t ' ) 2 (x' ) 2 (y' ) 2 (z ' ) 2 4 z0 ' 2
xi ' aij x j , i 1,2,3
3
x ' a x .
i ij j
j 1
正交条件
x ' x ' x x 不变量
i i i i
aij x j aik xk xi xi
引入
aij aik jk
可推
~a I a
即A T=A-1
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转置矩阵：A = aij
先看二维空间的转动
x' x cos y sin , y ' x sin y cos .
2 2 2 2
o
2

x
op x y x' y' 不变量
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平面上坐标架的转动ＯＰ具有不变性
§7-3 物理量的协变性
三维空间的定点转动
转动是正交变换
正交变换: 为显性变换,其为正交 变换的充要条件: 的长度不变,即 对任意向量 E E ; 在任意 正交基下的矩阵为正交矩阵.
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§7-2 Lorentz transform 例：闪光从O点发出。在上观察，1 秒后同时被P1, P2接收。 ‘相对于运动速度0.8c。求， P1, P2接收到讯号时在‘的时 刻和位置。 ’ 解：P1受到讯号时，在的时空坐标为 v (c, 0, 0, 1) x vt cv c P x' 2 2 3 v v 1 2 1 2 P2 O O’ P1 c c y ' 0, z ' 0 P1受到讯号时，在’ 的 时空坐标为(c/3, 0, 0, 1/3). 在’ 上测得沿x’上的光 速x’/t’=c。
相对论的时间、距离是相对的，同时性是相对的， 两事件的间隔是绝对的
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§3 物理量的协变性
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§7-3 物理量的协变性
一、四维空间及四维空间的张量
四维空间
正交变换
x1 x, x2 y, x3 z, x4 ict
空间是各向同性的，物理规律的数学形式应与空 y x’ 间坐标轴取向无关。坐标转动情况： P y’
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§7-1.2迈克尔孙-莫来（Michelson-morley) 实验
旧电磁波理论（机械论）：电磁波在弹性‘以太’ 中传播。 电磁波沿任何方向传播速度为c, 只在特定参考系中（‘以 太’）。 如果光速沿各个方向 存在差异，可确定地球相对‘以太’的运 动。 迈克尔孙-莫来（Michelson-morley) 实验：测量光速沿各个方 向的差异 地球绕太阳速度约30Km/s, 地球相对 M2 ‘以太’相同数量级运动。 (v/c)2≈10-8 M 设地球相对于‘以太’，绝对运动速度v , 沿MM1方向。
第七章 狭义相对论的 原理和 相对论电动力学
Chapter 7 narrow sense relativity
1
第七章 狭义相对论的 原理和相对论电动力学
§1 电磁学和相对论原理
2
§7-1.1伽利略变换和麦克斯韦方程的矛盾
伽利略的相对性原理 一切惯性系是等价的。
力学规律在动系和静系中是等价的，即力学规 律的协变性。 惯性坐标系的伽利略变换：
7
光速不依赖于光源相对观察者的运动: 高速粒子运动。 0介子：高能质子与质子碰撞产生的不稳定粒子。质量为 电子的264.12 倍，寿命0.87×10-16s, 衰变为两个光子：
0
高速0介子（0.9975c），沿其运动方向发出的光子的光速 测为（2.9977±0.0004）×108m/s, 同于静止光源的光速。
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§7-1.4 间隔不变性 物质运动可看为一连串的事件的发展过程：一个事件用坐标 （x,y,z,t) 表示。 惯性系是线性系(惯性系本身要求)：从一个惯性系到另一个 惯性系的坐标变换是线性的。 光速不变对时空变换的限制： 例子：事件一： 零时刻O点发射光，事件二：某时刻P点接收
坐标 ’坐标 光速不变: 即：
可得出，麦克斯韦方程只在某个惯性系成立， 在其他惯性系不成立。
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§7-1.1伽利略变换和麦克斯韦方程的矛盾
麦氏方程，可得到波动方程，得到电磁波在真空以c 速度传播。
旧时空观：物质相对某一参考系速度为c，对另一参考系， 其速度不可能沿各个方向都为c. →电磁波只在某特定参考系中传播速度为c. 即麦氏方程只在某特殊的参考系成立 实验结论：真空中的光速对任何惯性系都等于c.
T M1 →两支路有光程差，目镜中将出现干涉效应。
S
装置转90°观察条纹移动个数 否定了特殊参考系的存在，即光速不依赖于观察者所在的参考系 6
§7-1.3相对论的实验基础
1。否定绝对参照系
麦克尔逊-莫雷实验
以太漂移实验1963（利用穆斯堡尔效应1958， 即射线的无反冲发射、吸收）
2。运动光源光速的测定 介子衰变产生的光子速率的测定1964


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§7-1.4 间隔不变性 在 上观察：在发出到接收的时间t内, 光源移动x=v t 光传播路程：
因而：
1 2 2 2 z v Δt cΔt 4 2 z0 Δt Δx vΔt c2 v2
2 0
2vz0 c2 v2
Δy Δz 0
间隔：
s 2 c 2 (t ) 2 (x) 2 (y ) 2 (z ) 2 4 z 0 2 4 z0 ' 2
§7-1.4 间隔不变性 两事件不以光速传播信号联系，前两式不一定为零。 因线性变换， 可把上式x’,y’,z’,t’ 式划为x,y,z,t 式，加入因子A：
x'2 y'2 z '2 c 2t '2 A( x 2 y 2 z 2 c 2t 2 )
A 只决定于两参照系的相对运动速度的绝对值（因空间中无 特定方向）。两参照系等价，因而也有：