6.6--1二元一次方程与一次函数
二元一次方程组与一次函数
二元一次方程组与一次函数一、定义和性质：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，且a和d不同时为0。
在二元一次方程组中，有以下性质：1.若方程组中的两个方程的系数比例相同，则这个方程组无解或有无数多个解。
2.三个线性方程的组合也仍然是满足二元一次方程组性质的。
二、解法：1.消元法：通过将一个方程的任意倍数加到另一个方程上，消去一个未知数的项，从而得到一个关于另一个未知数的一次方程。
根据得到的方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。
2.代入法：将一个方程的一个未知数表达式代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
根据这个方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。
3.矩阵法：将方程组的系数和常数项构成矩阵，然后通过矩阵的运算方法（如行列式、逆矩阵等）求解未知数。
解方程组的关键是找到合适的方法和技巧。
对于一些特殊的方程组，还可以利用几何方法进行解答。
三、二元一次方程组与一次函数的关系：从形式上看，二元一次方程组和一次函数都是关于未知数的一次方程。
一次函数是变量的对应关系，而二元一次方程组是未知数之间的关系。
将二元一次方程组写成矩阵形式为：..[ab][x]=[c][de][y][f]可以将这个方程组解释为从二维平面上的两条直线的交点。
其中x和y分别是直线的横坐标和纵坐标，a、b、c、d、e、f是直线的特征系数。
而一次函数可以看作是二维平面上一条直线，其斜率m和常数项c与二元一次方程组的系数有关。
对于方程组中的第一个方程ax + by = c，其可以表示为 y = (-a/b)x + c/b，其中(-a/b)表达了直线的斜率m，c/b表达了直线的截距c。
因此，一次函数和二元一次方程组在形式上和几何意义上都有相似之处，但是在概念上有明显的区别。
总结：本文从定义、性质、解法以及与一次函数的关系等几个方面进行了对二元一次方程组的介绍。
二元一次方程组和一次函数的关系
二元一次方程组和一次函数的关系一次函数和二元一次方程组都是数学中常见的概念，它们之间存在着紧密的联系。
在本文中，我们将探讨二元一次方程组和一次函数之间的关系，并了解它们在数学中的应用。
首先，让我们回顾一下一次函数的定义。
一次函数也被称为线性函数，它的一般形式可以表示为y=mx+b，其中m和b分别代表斜率和截距。
一次函数的图像是一条直线，它具有恒定的斜率和截距。
与一次函数相似，二元一次方程组也是由线性关系构成的。
二元一次方程组由两个方程组成，每个方程都包含两个变量，并且变量的最高次数为1。
一般形式可以表示为：a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2在这里，a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
解二元一次方程组的目标是找到一对解(x,y)，满足方程组中的两个方程。
现在让我们来看一下一次函数和二元一次方程组之间的关系。
事实上，一次函数可以看作是只有一个方程的二元一次方程组。
回想一下一次函数的一般形式y=mx+b，我们可以将它重写为：mx+(-1)y=b这里，我们可以看到a=m，b=-1，c=b。
因此，可以将一次函数转化为二元一次方程组的形式。
同样地，我们可以将二元一次方程组转化为一次函数的形式。
假设我们已经解得方程组的解(x,y)，那么我们可以将其中一个方程重写为y=mx+b的形式，其中斜率m为a1/b1，截距b为c1/b1。
这种转化的过程为我们提供了一种方法来理解和解决二元一次方程组和一次函数之间的问题。
通过将方程组转化为一次函数，我们可以更直观地看到方程组的解代表了什么，以及如何将其表示在坐标系中的直线上。
除了上述关系，二元一次方程组和一次函数在数学中还有许多应用。
它们可以用于建模现实世界的问题，如经济学、物理学和工程学等领域。
通过将实际问题转化为方程组或一次函数，我们可以利用数学工具和技巧来解决这些问题，从而得出有关变量之间关系的重要信息。
综上所述，二元一次方程组和一次函数之间存在着密切的联系。
初二-第16讲-二元一次方程组与一次函数的关系
二元一次方程与一次函数的关系1.掌握二元一次方程组与一次函数的关系。
2.利用二元一次方程组确定一次函数的解析式。
教学建议：教师演变如何将一次函数变为二元一次方程。
分析二元一次方程组与一次函数的关系。
知识概述1、二元一次方程与一次函数的关系任何一个二元一次方程都可化成一次函数表达式的形式.一个二元一次方程的解有无数个，以一个二元一次方程的所有的解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同，是一条直线，如二元一次方程x－y＝2有无数个解，以这无数个解为坐标的点组成的图象就是一次函数y＝x－2的图象．一般地，以二元一次方程ax＋by＝c的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同.2、二元一次方程组与一次函数的关系一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标．即二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数的图象的交点；反之两个一次函数的图象的交点坐标可以当作二元一次方程组的解.3、利用二元一次方程组确定一次函数的表达式（1）待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法．（2）利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下：①设出函数表达式：y＝kx＋b；②把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；③解方程组，求出k，b的值；④写出其表达式．注意：待定系数法的步骤可总结为“设、代、解、写”．二、典型例题讲解例1、已知直线y＝x与y＝－2x＋1相交，则其交点坐标为__________．解析：由题意可知两条直线的交点坐标是方程组的解，解此方程组，得所以两条直线的交点坐标为．答案：规律总结：（1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．（2）如果方程组无解，那么两图象无交点，反之，如果两图象无交点，那么方程组无解．例2、如图所示，一次函数的图象经过A（2，4）和B（0，2）两点，且与x轴交于C点．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求三角形AOC的面积．分析：设定表达式，将A，B两点的坐标代入得方程组可求解．在直角坐标系中求三角形的面积，一般选择比较特殊的线段作为底，如x轴、y轴上的线段或平行于x轴、y轴的线段．解：（1）设一次函数表达式为y＝kx＋b，因为函数图象经过点A（2，4），B（0，2），则有解得所以该一次函数的表达式为y＝x＋2．（2）令y＝0，则由y＝x＋2，得x＝－2，则点C的坐标为（－2，0），所以OC＝|－2|＝2．过点A作AD⊥x轴于点D，则AD＝4，所以三角形AOC的面积为．方法归纳：确定一次函数y＝kx＋b（k≠0）的表达式，只要确定k，b的值即可．一般需要两个点的坐标，把两个点的坐标分别代入y＝kx＋b中，列出关于k，b的二元一次方程组，使问题得到解决．此法对于正比例函数y＝kx（k≠0）仍适用，不同的是确定正比例函数表达式只需一个点的坐标就可以解决．例3、用作图象的方法解方程组分析：用图象法解二元一次方程组的关键是要作出两个二元一次方程表示的函数的图象，找出它们的交点.解：由2x－3y＋3＝0得由5x－3y－6＝0得.在同一直角坐标系中作出直线和的图象，如图所示，得交点（3，3）所以方程组例4、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解析式为____________.分析：本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x＝6时，y＝－2，把它们代入y＝kx＋b中可得∴∴函数解析式为y＝x－4．②当k<O时则随x的增大而减小，则有：当x＝－3时，y＝－2；当x＝6时，y＝－5，把它们代入y ＝kx＋b中可得∴∴函数解析式为y＝－x－3.∴函数解析式为y＝x－4，或y＝－x－3.答案：y＝x－4或y＝－x－3.说明：本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.1、直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x＋b＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝4C．x＝8 D．x＝102、如图，过点Q（0，3.5）的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）A．3x－2y＋3.5＝0 B．3x－2y－3.5＝0C．3x－2y＋7＝0 D．3x＋2y－7＝03、已知一次函数的图象都经过A（－2，0），且与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是（）A．2 B．3C．4 D．64、小艳用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1，l2，如图所示，她解的这个方程组是（）A．B．C． D．5、如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象，下列说法：①买2件时，甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家合算；③买3件时，买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为2元，其中正确的说法是（）A．①②B．②③④C．②③D．①②③6、已知方程组没有解，则一次函数y＝2－x与的图象必定（）A．重合B．平行C．相交D．无法判断7、如图，若点P（m，n）的坐标可以通过解关于x、y的方程组求得，则m和n的值最可能为（）A．m＝－，n＝0 B．m＝－3，n＝－2C．m＝－3，n＝4 D．m＝－，n＝28、在同一直角坐标系中，直线l1：y＝（k－2）x＋k和l2：y＝kx的位置可能是（）A．B．C．D．答案：ADCAD BCB9、如图，在同一直角坐标系内作出的一次函数y1，y2的图象l1，l2，则两条直线l1，l2的交点坐标可以看做方程组_________的解．答案：解：由图可知：直线l1过（2，3），（0，－1），因此直线l1的函数解析式为：y＝2x－1；直线l2过（2，3），（0，1），因此直线l2的函数解析式为：y＝x＋1；因此所求的二元一次方程组为．10、已知y是x的一次函数，下表给出了部分对应值，则m的值是_____________.x －1 2 5y 5 －1 m答案：－7解：设该一次函数的解析式为y＝kx＋b．由题意得解得故m的值是－7．【巩固练习】1、已知一次函数y＝3x－2k与y＝x＋k交点的纵坐标为6，求这两个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．解：根据题意可列方程组解得所以其中一个一次函数表达式为，当x ＝0时，，所以与y轴的交点坐标为；当y＝0时，，所以与x轴的交点坐标为．另一个一次函数表达式为，所以与y轴交点坐标为；当y＝0时，，所以与x轴交点坐标为．所以一次函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．一次函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．2、如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解；（3）直线l2：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．解：（1）∵P（1，b）在直线y＝x＋1上，∴当x＝1时，b＝1＋1＝2．（2）（3）直线y＝nx＋m也经过点P．理由：因为点P（1，2）在直线y＝mx＋n上，所以m＋n＝2，即2＝n×1＋m，这说明直线y＝nx＋m也经过点P．3、请你根据图中图象所提供的信息解答下面问题：（1）分别写出a1、a2中变量y随x变化而变化的情况：（2）求出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．解：（1）a1：y随x的增大而增大，a2：y随x的增大而减小；（2）直线a1经过点（0，－1）与（1，1），设它的解析式为：y＝kx＋b；得：解得：k＝2，b＝－1即它的解析式是：y＝2x－1．同理可求直线a2的解析式是，则所求的方程组是4、（南通）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A、B、C、D、分析：由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．解：设经过图象上的点的坐标（0，－1）和（1，1）的解析式为y＝kx＋b，将（0，－1）和（1，1）坐标代入得方程组解得所以经过（0，－1）和（1，1）的直线的解析式为y＝2x－1，同理求得另一条直线的解析式是y＝－x＋2，因此所解的二元一次方程组是．故选D．点评：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．5、（上海中考节选并改编）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系如图所示．求y关于x的函数表达式，并写出它的自变量的取值范围．解：设y与x的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），由图象过点（10，10），（50，6），得所以y关于x的函数表达式为．6、通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成.以前我市通过“黄冈热线”上“因特网”的费用为电话费0.18元/3min，上网费为7.2元/小时.后根据信息产业部调整“因特网”资费的要求，自1999年3月1日起，我市上“因特网”的费用调整为电话费0.22元/3min，上网费为每月不超过60h，按4元/小时计算，超过60h部分，按8元/小时计算.（1）根据调整后的规定，将每月上“因特网”的费用y（元）表示为上网时间x(h)的函数；（2）资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔70h的上网费用支出，“因特网”资费调整后，晓刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？（3）从资费调整前后的角度分析，比较我市网民上网费用的支出情况.解：（1）当0≤x≤60时，当x＞60时，y＝60×4＋4.4x＋(x－60)×8＝12.4x－240.即调整后，每月上“因特网”的费用y与上网时间t的函数关系是：（2）资费调整前，上网70h所需费用为(3.6＋7.2)×70＝756(元).资费调整后，若上网60h，则所需费用为8.4×60＝504(元).因为756>504元，所以晓刚现在上网时间超过60h.由12.4x－240≤756，解得x≤80.32所以现在晓刚每月至多可上网约80.32h.（3）设调整前所需费用为y1(元)，调整后所需费用为y2(元).则y1＝10.8x，当0≤x≤60时，y2＝8.4x，10.8x＞8.4x，故y1＞y2；当x＞60时，y2＝12.4x－240，当y1＝y2时，11/ 11。
二元一次方程组和一次函数的关系
在数学中，二元一次方程组和一次函数有着密切的关系。它们都是描述线性 关系的工具，而方程组是由多个方程组成的系统。
什么是二元一次方程组？
二元一次方程组是由两个方程组成的系统，其中每个方程都是二元变量的一 次函数，例如： 2x + 3y = 7 4x - y = -2
什么是一次函数？
方程组的解的意义
方程组的解表示了使得所有方程都成立ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数值对。它可以用来解决实际问题，如找到两个变量之间的关系或计 算未知变量的值。
方程组和函数的图像
方程组和一次函数都可以用图像来表示。方程组的图像是表示所有方程成立 的点的集合，而一次函数的图像是表示线性关系的线。
实际问题的应用举例
二元一次方程组和一次函数在各个领域中都有广泛的应用。例如，它们可以 用于解决经济学中的供求关系、物理学中的运动问题以及工程学中的优化问 题。
一次函数是一种线性函数，其表达式为y = mx + b，其中m和b是常数，x是自变量，y是因变量。
二元一次方程组和一次函数的 关系
二元一次方程组可以看作是由两个一次函数组成的系统，通过求解方程组， 可以得到使得两个函数的交点坐标成立的值。
方程组求解的方法
有多种方法可以求解二元一次方程组，例如代入法、消元法和图像法。每种 方法都有其特定的应用场景和适用性。
二元一次方程与一次函数的关系
5、6二元一次方程与一次函数银川市第八中学彭志斌教材分析本节课通过二元一次方程、二元一次方程组与一次函数关系的讨论，建立方程与函数的联系，引导学生从“形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组。
教科书首先通过对二元一次方程与一次函数的对比分析，让学生认识到：从“数”的角度看，方程与函数描述的是同样的关系；从“形”的角度看，它们对应解“点”组成的图像相同，得到二元一次方程组图像的特征。
然后以此为基础，探讨二元一次方程组的解与确定相应两条直线交点坐标之间的关系。
教学目标知识与技能1、初步理解二元一次方程和一次函数的关系；2、掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；3、掌握二元一次方程组的图像解法．过程与方法（1）教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法；（2）通过“做一做”引入例1，进一步发展学生数形结合的意识和能力．情感与态度（1）在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神．（2）在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力．教学重点（1）二元一次方程和一次函数的关系；（2）二元一次方程组和对应的两条直线的关系．教学难点数形结合和数学转化的思想意识．教学准备教具：多媒体课件、三角板．学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸．教学过程 第一环节: 问题情境，启发引导（2分钟，学生回答问题回顾知识）第二环节:活动探究、获取新知（5分钟，学生回答问题，回顾知识）活动一：二人小组合作交流，探索二元一次方程的解与相应的直线之间的关系归纳总结：二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：（1） 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；（2） 一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线。
《二元一次方程与一次函数》教学设计
5.6二元一次方程与一次函数教学设计深圳市龙岗中学姚颖妍一、教材分析《二元一次方程与一次函数》是北师大版教科书八年级（上）第五章第六节内容。
该节内容是二元一次方程（组）与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像（直线））之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力。
本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的。
二、学情分析在八年级上册第四章第3节学生已经学习了如何根据已知条件准确画出一次函数的图象，初步掌握了一次函数及其图象的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触。
同时，在本章中的第二节“求解二元一次方程组”中学生已经能够正确解方程（组），能够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换。
在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验。
三、教学目标1、知识目标：（1）初步理解二元一次方程和一次函数的关系。
（2）掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系。
（3）掌握二元一次方程组的图象解法。
2、能力目标：（1）教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法。
（2）通过自主探究，进一步发展学生数形结合的意识和能力。
3、情感态度和价值观目标;（1）让学生积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程。
（2）在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力。
四、教学重难点1、教学重点：（1）二元一次方程和一次函数的关系。
1 二元一次方程与一次函数(1)
点(0.5,0)，(0,-1)．
３．方程组的解和 这两个函数图象的 交点坐标有什么关 系
5y 4 3 2 1
y = 2x 1
(2,3)
0 1 2 3 4 5x
-1
-2
y = x5
方程组
2xxyy==5，1的解
x y
= =
2， 是
3
对应两直线的交点坐标(2,3).
１．方程组的解是对应的两条直线的 交点坐标.
1.正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限， 则m的取值范围是（ B ）
A.m=1 B.m＞1
C.m＜1
D.m≥1
2.若y=5x3m-2 是正比例函数，则m= 1 .
y
一次函数关系式
y=kx+b(k, b是常数， k≠0)中，图象经过哪个
2 ·· o··1
x
特殊点？k，b的正负对 y=x+1
ABC的面积为 C.
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
３．求两条直线y=3x-2与y=-2x+4和ｘ轴所围 成的三角形的面积.
16 答案：15
４．如图，两条直线 l1与l2的交点坐标可以看 作哪个方程组的解？
y
答案：
l2
y
1
x
=
1,
３
y =3x3 2
3
y
3 2
x
=
3.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l1
y
y = 2 x 3 55
y
y
= =
2x 4 2 x4 3
x=3
y
=
2
（3,-2）
（-2,0）
x = 2
《二元一次方程与一次函数》教学设计
《二元一次方程与一次函数》教学设计一、学情分析：学生能够正确解方程（组），掌握了一次函数及其图像的基础知识，能够根据已知条件准确画出一次函数图象，已经具备了函数的初步思想，在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验．二、学习目标：本节课通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习二元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力．因此确定本节课的教学目标为：1.初步理解二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系；2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系，通过对两种模型关系的理解解决问题；教学重点二元一次方程和一次函数的关系，二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系；教学难点通过对数学模型关系的探究发展学生数形结合和数学转化的思想意识．四、教法学法1．教法学法启发引导与自主探索相结合．2．课前准备教具：多媒体课件、三角板．学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸．五、教学过程第一环节: 探究二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系1. 水箱有5吨水,若用水管向外排水,每小时排水1吨,则X小时后还剩余Y吨水.（1）请找出自变量和因变量（2）你能列出X,Y的关系式吗?（3） X,Y的取值范围是什么?（4）在平面直角坐标系中画出这个函数的图形.（注意XY的取值范围）. 2．（1）方程x+y=5的解有多少个？你能写出这个方程的几个解吗？（2）．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数Y=5-X的图象上吗？（3）．在一次函数y=?x?5的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？（4）．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=?x?5的图像相同吗？x+y=5与 y=?x?5表示的关系相同一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．目的：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=?x?5相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系．前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系．顺其自然进入下一环节．第二环节自主探索方程组与一次函数两种数学模型之间的关系探究方程与函数的相互转化1．两个一次函数图象的交点坐标是相应的二元一次方程组的解（1）一次函数y=5-x图象上点的坐标适合方程x+y=5，那么一次函数y=2x-1图象上点的坐标适合哪个方程？（2）两个函数的交点坐标适合哪个方程？xy5（3）．解方程组?验证一下你的发现。
初中数学_二元一次方程与一次函数(1)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二元一次方程与一次函数》《二元一次方程和一次函数》学情分析本节课是在学生学习了一次函数的相关内容和二元一次方程（组）的相关知识后的基础上展开研究学习。
学生已有了解方程（组）的基本能力和一次函数及其图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理解二元一次方程和一次函数之间的内在联系，体会“数”和“形”间的相互转化，从中使学生进一步感受到“数”的问题可以通过“形”来解决，“形”的问题也可以通过“数”来解决。
《二元一次方程和一次函数》效果分析本节课，学生在学习中是依托教师的问题引领，参与探究活动的，教师从简单的问题复习引入，然后再顺势研究本节学习内容，学生接受较容易。
在探究中，采取教师引导思考，学生动手合作，教师课件演示等手段，让课堂学习不断深入，使得学生探究既有方向又有方法。
教师采用课件点拨，使得问题解决更直观，学生理解更到位。
学生利用方格本来做图像，不仅降低了难度，还提高了探究精度，效率也提升了。
整节课，学生在探究活动中，不仅体验了合作的快乐，增强了学习能力，还顺利实现了本节目标，效果较好。
《二元一次方程和一次函数》教材分析《二元一次方程与一次函数》是山东教育出版社教科书七年级（下）第七章第4节内容。
本节内容共安排2个课时完成，本节课为第1课时．该节内容在是学习二元一次方程（组）定义、解等相关知识以及一次函数及其图像、性质等内容之后展开学习的，旨在研究二元一次方程（组）与一次函数内在联系，通过探索“方程”与“函数图像”的关系，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像（直线））之间的对应关系，培养学生数学转化思想，进一步培养学生数形结合的意识和能力。
本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的。
一次函数与二元一次方程课件
人口增长
通过一次函数模型，分析经济元一次方程，
增长规律及其影响因素。
在直线上的运动。
研究人口增长趋势和规律。
解一次函数与解二元一次方程的方法比较
1
一次函数解法
2
二元一次方程解法
一次函数的解法较简单，只需根据斜率和
二元一次方程的解法相对复杂，需通过消
截距求出变量的值。
可以表示平面上的直线。
解，得到直线与坐标轴的交点。
一次函数与二元一次方程的联系
1
平行关系
一次函数和二元一次方程在平行时，
垂直关系
2
具有相同的斜率。
一次函数和二元一次方程在垂直时，
斜率相乘为-1。
3
求解关系
通过一次函数的解，可以找到二元一
次方程的解，反之亦然。
一次函数与二元一次方程的应用
经济增长
运动方程
一次函数与二元一次方程
ppt课件
本课件介绍了一次函数和二元一次方程的基本概念及其特点，以及它们之间
的联系和应用。通过精美的图片和清晰的解说，让你轻松理解和掌握这些概
念。
一次函数的定义和特点
1
定义
一次函数是指函数表达式中最高次数为1的多项式函数。
2
特点
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距两个关键特征。
元等方法求得变量的值。
结论和要点
结论
要点 ✨
一次函数和二元一次方程是数学中常见的重
掌握一次函数的性质和图像特点，理解二元
要概念，具有广泛应用。
一次方程的定义和解法。
一次函数的图像和性质
直线图像
斜率
截距
一次函数的图像是一条直线，
斜率代表了函数图像的倾斜程
二元一次方程和一次函数的区别
二元一次方程和一次函数的区别二元一次方程和一次函数的区别一、二元一次方程和一次函数的定义1. 二元一次方程二元一次方程是指形式为Ax + By = C的方程，其中A、B、C是已知数，x和y是未知数，且A和B不全为零。
2. 一次函数一次函数是指形式为y = kx + b的函数，其中k和b是已知数，x 和y分别表示自变量和因变量。
二、二元一次方程和一次函数的关系1. 形式上的相似从形式上看，二元一次方程和一次函数都含有未知数x和y，并且都是以一次幂的方式出现，所以在外表上二者有相似之处。
2. 直观上的区别二元一次方程更强调两个未知数之间的关系，通常用来描述平面直角坐标系中的直线关系；而一次函数更侧重于自变量和因变量之间的函数关系，以直线图像呈现。
三、深入探讨二元一次方程和一次函数的区别1. 解的不同二元一次方程求解的目的是求出使方程成立的未知数的值，即确定直线在坐标系中的位置；而一次函数求解的目的是得出自变量和因变量的关系，从而描绘出整个函数的图像和特性。
2. 表达方式不同二元一次方程是用等式的形式来表达，描述了两个变量之间的线性关系；一次函数是用函数的显式表达式来描述自变量和因变量之间的函数规律，通常以图像的形式展现。
3. 应用领域不同二元一次方程主要用于解决平面几何中的交点问题、物理问题中的速度、加速度等关系问题；一次函数则广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域，用来描述实际问题中的线性关系。
四、总结与回顾二元一次方程和一次函数在形式上有相似之处，但在实际应用和解释上有着明显的区别。
通过学习和理解二者的差别，我们能更清晰地应用于实际问题，并且能更深入地理解数学和函数的内涵。
个人观点对于学习者来说，理解二元一次方程和一次函数的区别有助于拓展数学思维，更好地理解函数的本质和意义。
在教学中，也应该注重强调二者之间的联系和区别，帮助学生建立正确的数学观念。
以上就是关于二元一次方程和一次函数的深度和广度兼具的描述和解释，希望能帮助您更好地理解这两个重要的数学概念。
二元一次方程与一次函数PPT
因式分解法：将方程组中的方程进行因式分 解，然后求解
换元法：引入新的未知数，将原方程组转化 为新的方程组，然后求解
实际应用
01
02
03
04
求解线性方程组： 通过解二元一次 方程，可以求解 线性方程组。
求解最优化问题： 二元一次方程可 以用于求解最优 化问题，如线性 规划、二次规划 等。
求解几何问题： 二元一次方程可 以求解几何问题， 如直线与直线、 直线与圆、圆与 圆的位置关系等。
方程与函数的关 系：方程的解就 是函数的零点， 函数图像与x轴 的交点就是方程 的解
方程与函数的转化
二元一次方程与一次函 数的关系：二元一次方 程可以转化为一次函数，
反之亦然。
转化方法：通过代入法、 消元法等方法，可以将 二元一次方程转化为一
次函数。
转化意义：方程与函数 的转化可以帮助我们更 好地理解和解决实际问
题。
实际应用：在解决实际 问题时，我们可以根据 需要选择使用方程或函
数进行表达和求解。
实际应用案例
01
线性规划：求解线性方程组，确定最 优解
02
工程问题：求解工程问题中的二元一 次方程，如桥梁设计、建筑结构等
03
经济问题：求解经济问题中的二元一 次方程，如生产成本、利润最大化等
04
数学建模：利用二元一次方程和一次 函数建立数学模型，解决实际问题
c=0
应用：求解实际问题中 04
的二元一次方程，如行 程问题、利润问题等
求解方法
01
代入消元法：将方程组中的一个方程的未知 数用另一个方程的未知数表示，然后代入另 一个方程求解
03
02
加减消元法：将方程组中的两个方程相加或 相减，消去一个未知数，然后解另一个未知 数
《二元一次方程与一次函数》 讲义
《二元一次方程与一次函数》讲义一、二元一次方程的基本概念首先，咱们来聊聊二元一次方程。
二元一次方程呢，指的是含有两个未知数，并且未知数的最高次数都是 1 的整式方程。
一般形式可以写成 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 （其中 A、B 不同时为 0）。
比如说，2x ＋ 3y ＝ 7 就是一个二元一次方程。
这里的 x 和 y 就是我们所说的两个未知数。
那怎么求解二元一次方程呢？通常情况下，一个二元一次方程有无数个解。
因为给定一个 x 的值，就能通过方程算出对应的 y 值；反过来，给定一个 y 的值，也能算出对应的 x 值。
二、一次函数的基本概念接下来，咱们再看看一次函数。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b （其中 k、b 为常数，k ≠ 0）。
这里的 k 叫做斜率，表示函数图像的倾斜程度。
k 的绝对值越大，图像就越陡峭；k 的正负决定了函数图像是上升还是下降。
当 k ＞ 0 时，函数图像是上升的；当 k ＜ 0 时，函数图像是下降的。
b 呢，叫做截距，就是函数图像与 y 轴的交点的纵坐标。
比如说，y ＝ 2x ＋ 1 就是一个一次函数。
其中 2 是斜率，1 是截距。
三、二元一次方程与一次函数的关系那二元一次方程和一次函数之间到底有啥关系呢？其实，把二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 （A、B 不同时为 0）变形，就可以得到 y ＝（A/B)x （C/B) 。
这个式子是不是和一次函数的形式很像？所以，二元一次方程的解就对应着一次函数图像上的点。
以方程 2x ＋ 3y ＝ 6 为例，我们把它变形为 y ＝（2/3)x ＋ 2 。
然后画出这个一次函数的图像，图像上的每个点的坐标（x，y）都是方程 2x ＋ 3y ＝ 6 的解。
反过来，一次函数图像上的每个点的坐标也都是对应的二元一次方程的解。
四、通过一次函数求解二元一次方程组既然二元一次方程和一次函数有这样紧密的联系，那咱们就可以利用一次函数来求解二元一次方程组啦。
初中数学知识点精讲精析 二元一次方程与一次函数
5.6 二元一次方程与一次函数学习目标1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系。
2.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
知识详解1. 二元一次方程与一次函数的关系（1）从两者的定义看，一般地，形如ax + by = c (其中a、b、c是常数，且ab≠0)的方程称为二元一次方程，它反映两个未知数x、y的取值所要满足的条件（即方程的解的意义）；形如y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0）的函数称为一次函数，它反映自变量x 与函数y的一种对应关系．（2）从两者的关系看，二元一次方程ax + by = c与一次函数y=kx+b的表达式可以相互转化，从“形”的角度看，二元一次方程的解就是相应直线上点的坐标．事实上，二元一次方程对应的图形是一条直线，二元一次方程的所有解恰与直线上所有点形成一一对应的关系。
2.方程组和对应的两条直线的关系：（1）方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；（2）两条直线的交点坐标是对应的方程组的解。
3. 二元一次方程组的解与一次函数图象的关系（1）求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标；（2）求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解．（3）解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种．注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组．【典型例题】例1. 二元一次方程的图象如图所示，则这个二元一次方程为（）A．x-3y=3B．x+3y=3C．3x-y=1D．3x+y=1【答案】A【解析】两点确定一条直线，找到直线上的任意两点代入函数关系式y=kx+b，解出k，b，就是直线的方程．例2. 以二元一次方程3x-4y=8的解为坐标的所有点组成的图象也是一次函数y= 的图象．【答案】y= 34x-2【解析】3x-4y=8，4y=3x-8，y= 34x-2例3. 一次函数y=3x+7的图象与y轴的交点在二元一次方程-2x+by=18上，则b=【答案】18 7【解析】一次函数y=3x+7中，令x=0，则y=7，即一次函数与y轴的交点是（0，7）；把x=0，y=7代入-2x+by=18，得：7b=18，即b=18 7【误区警示】易错点1：运用交点坐标解题1.已知关系x，y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图象的交点坐标为（1，-1），则a= ，b=【答案】a=2，b=3．【解析】本题可将交点坐标分别代入两个二元一次方程中，然后联立两式，可得出关于a、b的二元一次方程组．通过解方程组可求出a、b的值。
一次函数与二元一次方程的关系
二元一次方程组与一次函数 1 （导学案 ）超化二初中 崔松敏学习目标：1、知道二元一次方程（组）与一次函数关系.2、能根据一次函数图像求二元一次方程组近似解.3、经历探索新知过程，体会数形结合思想，提高归纳概括能力.学习重点：1、二元一次方程和一次函数的关系.2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.学习难点：方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力.学习过程：复习引入新课解下列二元一次方程组：（1） ⎩⎨⎧=-=+123242y x y x （2）⎩⎨⎧=+=-732123y x y x 探究新知：学生看课本P 238----239 的内容，5分钟后，1.自主解决：（若不能独立解决，可以俩人商量解决）（1）你们能否将方程转化为一次函数的形式呢？如果能，请你在平面直角坐标系中画出它的图象。
（2）直线上任意一点的坐标一定是方程的解吗？是否任意的二元一次方程都可以转化为一次函数的形式呢？是否所有直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解呢？（3）在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x 和y=2x －1的图像，这两个图像有交点吗？交点的坐标与方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解有什么关系？你能说明理由吗？2.小组合作解决：（1）二元一次方程与一次函数有什么关系？（2）二元一次方程方程组与一次函数有什么关系？解二元一次方程组的方法有哪几种？（3）有图像法解二元一次方程组的解题步骤是什么？(4）有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？一次函数y=2－x ，y=5－x 的图像之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？ 学生展示后教师点拨：(1)以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图像与一次函数y=-bc x b a +的图像相同。
(2)二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可看做两个二元一次函数y=-1111b c x b a +和y=-2222b c x b a +的图像的交点。
二元一次方程(组)与一次函数(基础)知识讲解
二元一次方程（组）与一次函数（基础）【学习目标】1.理解二元一次方程与一次函数的关系；2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【要点梳理】【高清课堂：391660 一次函数与一次方程（组），知识要点】要点一、二元一次方程与一次函数的关系1.任何一个二元一次方程(0,)ax by c a b c +=≠、为常数都可以变形为-(0,)a c y x a b c b b=+≠、为常数即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程5x y +=我们列举出它的几组整数解有0,5;x y =⎧⎨=⎩5,0;x y =⎧⎨=⎩2,3x y =⎧⎨=⎩，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y ＝5+-x 的图像上，反过来，在一次函数x y -=5的图像上任取一点，它的坐标也适合方程5x y +=.要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.要点二、二元一次方程组与一次函数1. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数5y x =-与21y x =-图象的交点为(2，3)，则23x y =⎧⎨=⎩就是二元一次方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解. 2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.2. 图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（）A．x﹣3y=3 B．x+3y=3 C．3x﹣y=1 D．3x+y=1【答案】A【解析】直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到．∴一次函数解析式为，移向，并将系数化为1得到所对应的二元一次方程x﹣3y=3．【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.举一反三：【变式】已知3=x ，2-=y 和0=x ，1=y 是二元一次方程03=++by ax 的两个解，则一次函数b ax y +=的解析式为（ ）A.、32--=x y B 、x y = C.、3+-=x y D 、 33--=x y【答案】D类型二、二元一次方程组与一次函数2、（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax +b 和y=kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组的解是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【答案】C.【解析】解：函数y=ax +b 和y=kx 的图象交于点P （﹣3，1），即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x ，y 的方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】（2015春•昌乐）在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y=ax ﹣6过点P （﹣4，﹣2），则关于x 、y 的方程组的解是 ．【答案与解析】解：∵x=﹣4时，y=x=﹣2，∴点P（﹣4，﹣2）在直线y=x上，∴方程组的解为．故答案为．3、（2014•东莞模拟）在同一坐标系中画出函数y=2x+1和y=﹣2x+1的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．【思路点拨】利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．【答案与解析】解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），所以，方程组的解是．【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域．【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b求出即可．【答案与解析】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h），（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，解得：k=189，b=﹣2079，即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm 40.0 37.0桌子高度ycm 75.0 70.2（1）请确定y与x的函数关系式？（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】解：（1）设y=kx+b．根据题意得．解得．∴y=1.6x+11；（2）椅子和课桌不配套．∵当x=39时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，∴椅子和课桌不配套．。
二元一次方程与一次函数的关系
方程和函数是两个不同的数学概念：
方程是从人类实际活动和生产过程中,人们根据实际情况,在假设未知量已知的基础之上列出的计算算式,通过该算式人们可以求解出未知量.而函数的概念则不同,函数是数集A到数集B的一种映射（即：对应关系）,其中A称为该函数的定义域,B称为该函数的值域.
但我们在初中刚接触函数和二元一次方程时,的确会被二者相似的“外形”给迷惑.其实两者是有本质区别的,就像方程的产生一样,方程必须满足我们的现实意义,比如在方程-x+1=y中,如果实际生产中要求x,y必须大于1,那么这个方程就无解,而我们将其看作一个一次函数时,很明显这个函数的定义域和值域都不是空集,如果我们把这个函数定义域限制在大于1时,那么此时的值域为空集,所以说,函数是数学问题的一种抽象,是一种模型,在我们运用时直接将其赋予实际意义就可以使用,而方程是来源于实际生产中的.
另外,方程也可以看作是一种特殊的函数,就像二元一次方程x+y=45,如果在实际生产中,x,y分别表示一个班级男生、女生的人数,那么,我们在男生人数允许的范围内（0到45）,x取定一个数,y就相应有一个数与x对应（比如x=25,那么y=20）,继而这就成为了一个函数.
所以,方程和函数有着区别和联系.。
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一次函数与二元一次方程 形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0） 的函数， 叫做一次函数
方程 3x + 5y =8 2x - y 究乐趣 问题
问题 ① 方程x+y=5是一个什么方程？ ②二元一次方程x+y=5有多少个解？
x=10 有无数个解，如 y=-5 x=2 y=3 x=3 y=2
这节课我们就来研究二元一次方程（数）与一次函数 （形）的关系。
x+y=5？
二元一 次方程
一次 函数
这是怎么 回事？
方程x+y=5可以转化为函数
y=-x +5
思考：是不是任意的二元一次方程
都能进行这样的转换呢？
归纳:
任意一个二元一次方程都可以转化 成y=kx+b的形式，所以每个二元一 次方程都对应一个一次函数.
x
y
0
5
1
4
2
3
3
2
…
…
（2）在直角坐标系中分别描出以这些解为坐 标的点,它们都在函数y=5-x上吗?
（3）在一次函数y=5-x的图象上任取一个 点,它的坐标适合方程x+y=5吗? 如(0，5)，它的坐标适合方程x+y=5
（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有的 点所组成的图象与一次函数y=5-x的图象 相同吗 ?
X
（2）每一个一次函数解析式就是一个二 元一次方程 （ ）
√
（3）每一个二元一次方程都可以化成一 次函数的形式。 （ ）
√
等等
-x+5 ③二元一次方程x+y=5可以转化成y=____
学生： ④点（10，-5）、（2，3）、（3，2）在
二元一次方程
一次函数
密切联系 完全独立
直线y=-x+5 上吗？ ⑤点（10，-5）、（2，3）、（3，2）的坐 标与二元一次方程x+y=5的解有什么关系？
（1）方程x+y=5的解有 无数多个解
二元一次方程
与
一次函数
十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见 屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的 “表演”猛的灵机一动。他想，可以把蜘蛛看成一个点， 它可以上、下、左、右运动，能不能知道蜘蛛的位置用 一组数确定下来呢？ 在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直 角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁。在 坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系。笛 卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图 形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程。
过(0,5) 、(5,0) 两点的直线图象与一次函 数y=5-x的图象相同.
结论：1、每个二元一次方程都可转化为 一次函数。 一次 2、对应关系： 函数 一条 二元一次 直线 方程
每个二元一次方程都可转化为一次函数
方程 ax+by=c 的解
x=m y=n
点( m，n )
从形 到数
在一次函数 y=kx+b图象上
知识源于悟
益智的“机会”
通过以上结论,你能分析研究出二元一次方程与一次函 数图象的关系吗?
二元一次方程的解就是一次函数图象的点 的坐标；一次函数图象上的点的坐标就是 二元一次方程的解.
二元一次方程与一次 函数的基本关系
每个二元一次方程都对应一个一次函数， 于是也对应一条直线。 判断题：（在括号内打√或X） （1）每一个二元一次方程就是一个一次 函数的解析式。 （ ）