22.1.1一元二次方程解法(1)—直接开平方法学案

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用直接开平方法解一元二次方程教学设计

（1）（1+x）2－2=0
（2）（2x+3）2+3=0
（3）4x2－4x+1=0
（4）9（x－1）2－4=0
教师最好书写一个完整的解题过程，给学生以示范作用．在直接开平方时注意符号，这答给以总结．
在活动中教师应当重点关注：
（1）学生能否独立完成；
（2）学生中存在的问题，
用直接开平方法解一元二次方程
一、教学任务分析
教
学
目
标
知识技能
（1）会用开平方法解形如的一元二次方程．
（2）能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍．
数学思考
通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”的数学思想方法。
解决问题
能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。
学生尝试独立完成,教师参与指导．
教师应重点关注：
（1）学生所列方程的正确性；
（2）学生能否有意识地去使用开平方的方式求解．
（3）学生对结果的选择是否恰当．
这里要强调方程的特点．
教学时要引导学生一起分析式子，指出式子的特点：一边是未知数的平方，另一边是常数的方程．
老师点评：
1、同学们在交流中体会利用平方根的意义来解一元二次方程的方法．
课本36页练习．
课本45页习题2、3．
学生自己总结，教师完善．
教师关注不同层次学生对本节问题的理解、掌握程度．
学生独立完成，教师批改．
教师重点关注：
学生作业中存在的问题，要有针对性进行分析．
学生通过小结，巩固本节知识，养成反思习惯．
教师了解教学效果，及时调整教学．
（3）学生的交流中是否有理论的支撑，对方法理解的是否深刻．

22.2.1_一元二次方程的解法---直接开平方法--

22.2 一元二次方程的解法
方法一：
22.2.1直接开平方法
(1).χ2=4 (2).χ2－1=0
对于方程(1),可以这样想: ∵ χ2=4
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的
作业：
1. x²=49 ;
（6）42x 32 7
2. (2x+3)²=5 ;
3. 2x²=128 ;
4. (x + 1)2 – 4 = 0
5. 12(2 - x) ²- 9 = 0
解的方法叫直接开平方法。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
1、利用直接开平方法解下列方程:
(1). χ2=25
解：（1） χ2=25
开平方，得χ=±5
∴ χ1=5，χ2=5
(2). χ2－900=0
以变形为：（χ+1）2=4 现在再运用直接开平方的方法可求得χ的值。
解：
(1) 移项，得（χ+1）2=4 ∴ χ+1=±2 ∴ χ1=1，χ2=－3.
练习、解下列方程:
(1）、4x2=3；
(2)2x2 18 0
(3)42x 32 7
1.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或（χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
（2）移项，得 χ2=900 开平方，得 χ=±30
∴χ1=30 ，χ2=－30

4.2(1)一元二次方程的解法---直接开平方法教案

4．2一元二次方程的解法（1）---直接开平方法教学案教学目标：会用直接开平方法解形如()()20x m nn += 的一元二次方程。

教学重点：会用直接开平方法解一元二次方程。

教学难点：对不能直接用直接开平方法的方程能转化成用直接开平方法求解。

教学过程：一．自学质疑1.工人师傅为了修屋顶，把一梯子搁在墙上,梯子与屋檐的接触处到底端的长AB=5米,墙高AC=2米,问梯子底端点离墙的距离是多少?解：设梯子底端点离墙的距离是x 米。

列方程得：2.如果x 2=a,那么x 叫做a 的______,记作________;（复习平方根的定义）一般地,对于形如x 2=a(a ≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得 12,x x == 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.二．交流展示：(1)方程2x =0.25的根是；(2)方程2x 2=18的根是；(3)方程0.81-x 2=0的根是；三．互动探究：例1．（见教材P83）练习：P84练习1例2.（见教材P84）练习：P84练习2四．精讲点拨：解下列方程:(1) (x-2)2=9 (2) 0.5－(x+1)2=0231056x -=小结：若一个一元二次方程具有的形式，则可用直接开平方法求解。

五．矫正反馈：用开平方法解下列方程:(1) 2410x -= (2)()2314x +=(3)()22370x --=（4）()(511x x -+= ()()()226163921x x -=+ 教学反思：本节内容学生掌握较好。

求方程2(23)5x +=的两根学生错误率较高。

231056x -=4．2一元二次方程的解法（1）---直接开平方法学案学习目标：会用直接开平方法解形如()()20x m nn += 的一元二次方程预习导学：1.若()20x a a = ,那么x 叫做a 的___ ___,记作__ ______;一般地,对于形如()20x a a = 的方程,根据平方根的定义,可解得 1x = ，2x =2. (1)方程20.25x =的根是 (2)方程2218x =的根是；(3)方程20.810x -=的根是问题探究：1.什么样的方程适宜采用直接开平方法求解？2.对于含未知数x 的方程()2a x b c += ，其中实数a c 、同号，该如何进行求解呢？检测反馈：用开平方法解下列方程:(1) 2410x -= (2)()2314x += (3)()22370x --=（4） ()(511x x -+= （6）()()22163921x x -=+4．2一元二次方程的解法（1）---直接开平方法巩固案命题人：审核人：班级姓名1.方程2536x =的两根是1x = ，2x =2．若方程20x m -=有整数根，则m 的值可以是_________（只填一个）。

直接开平方法解一元二次方程教案

直接开平方法解一元二次方程教案教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程"降次"，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程"降次"──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B 点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2则PB=x，BQ=2x依题意，得：x·2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=±2即x1=2，x2=-2可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2即2t+1=2，2t+1=-2方程的两根为t1=-，t2=--例1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程"降次"，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为"降次转化思想"．三、巩固练习教材P36 练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p （p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．六、布置作业教材P45 复习巩固1、2．。

一元二次方程的解法(一)直接开平方法

2 2
1997x 1998 0的根，求
2
1997m 1997）(n
1997n 1997)
【探究二】直接开平方法
观察下列各式，探究其规律：
2 （ 1）（ 2） 4， 2 4 2 （2）（ 3） 9， 3 9 2 （3）（ 5） 25 ， 5 25 2 （4）（ 7） 49， 7 49
2 2
（3）（ 3 x 3） 20 （4）（ 4 x 2） 32 0
2
2
三、归纳总结
今天主要探究了哪些知识点？哪一个还有疑惑？
（1）一元二次方程的解或根是如何灵活运用的？
（2）利用直接开平方法解一元二次方程的条件是什么？其步骤是什么？
【例如】用直接开平方法解方程 (注意规范解题格式) （1）（x 1） 5 （2） 4(x 3) 25 0
2 2
2 （3）（2 x 3） 0
【尝试性练习】用直接开平方法解下列方程（1）x 25 0 （2）（x 1） 4
一元二次方程的解法（一）
——直接开平方法
【学习目标】
1、理解掌握一元二次方程的根的定义
2、理解掌握一元二次方程的解法-直接开平方法
【知识回顾】
1、一元二次方程的定义 2、一元二次方程的一般形式及各部分的名称 3、解一元一次方程的步骤 4、平方根的意义 5、开平方的意义
【探究一】一元二次方程的解或根
（1）猜想中的每个一元二次方程主要利用__________ _，
(2)用直接开平方法解一元二次方程的实质是“____”，即化“_______”为“___________”.
总结：

(八年级数学教案)一元二次方程-----直接开平方法

一元二次方程-----直接开平方法
八年级数学教案
教学目标
1. 理解直接开平方法与平方根运算的联系，学会用直接开平方法解特殊的一元二次方程；培养基本的运算能力；
2.知道形如（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的一元二次方程都可以用直接开平方法解．培养观察、比较、分析、综合等能力，会应用学过的知识去解决新的问题；
3. 鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，体会解方程过程中所蕴涵的化归思想、整体思想和降次策略.
教学重点及难点
1、用直接开平方法解一元二次方程；
2、理解直接开平方法中的整体思想，懂得（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的一元二次方程都可以用直接开平方法解
教学过程设计
一、情景引入，理解方法
看一看：特殊奥林匹克运动会的会标
想一想：
在XX年的特殊奥林匹克运动会的筹备过程中制玩具节举办的更加隆重，xx 学校将在运动场搭建一个舞台，其中一个方案是：在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么请问这个舞台的各边边长将会是多少米呢？
解：由题意得：x2=144
根据平方根的意义得：x=± 12
∴原方程的解是：x1=12 , x2=-12
∵边长不能为负数
∴x＝12
了解方法：。

解一元二次方程直接开平方法教案

解一元二次方程直接开平方法教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN21.2 解一元二次方程-直接开平方法（一）复习导入1．什么叫做平方根平方根有哪些性质？平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根．记作x=，即x=或x= ．（二）新授1. 解一元二次方程（1）x2=25解∵ x2=25根据平方根的定义可知： x是25的平方根∴ x= ±5即x1=5， x2=-5定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。

方法与概括：一般地，对于方程x2= P （I)(1)当P ＞0时，根据平方根的意义，方程（I）有两个不等的实数根 x1= ,x2= ;(2)当P=0时，方程（I）有两个相等的根 x1=x2 ；(3)当P <0时，因为对任意实数 x ，都有，所以方程（I）无实根.2.想一想：对照上面解方程(I)的过程，你认为应怎样解方程（1）解：直接开平方得：，即，或于是该方程的两个根，法则： (1)运用整体思想，会把被开方数看成整体．（2）要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（3）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解，也就是通过开方实现降次转化（三）练习巩固1．解方程：3x2+27=0得（）.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2 （四）小结1.直接开平方法的理论根据是平方根的定义识。

解一元二次方程（1）——直接开平方法1.平方根2.解一元二次方程（1）（2）3.直接开平方法4.练习答案 C ,B.5 .降次。

解一元二次方程——直接开平方法教学设计

教学设计2017.6.27 李裕忠21.2 解一元二次方程配方法（一）第1课时直接开平方法一、内容和内容解析（1）内容：会用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程（2）内容解析：一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，而一元二次方程的解法更是本章的重点内容。

本节课中，首先通过知识回顾环节的3个小题为本节课的学习做一铺垫。

然后再通过“探究新知”环节中“问题串”建立一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p的形式,通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基，并自然地引出“降次”的策略，归纳出形如(x+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程的解的情况，不仅为后面用配方法解比较复杂的一元二次方程的学习做好铺垫，而且也为我们后续学习二次函数等知识打下坚实的基础。

同时，这节课的内容还突出体现了化归、类比、分类讨论等数学思想方法。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，领会降次——转化的数学思想。

二、目标和目标解析1.目标：(1)理解一元二次方程降次的转化思想(2)会利用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程．2.目标解析达成目标的标志是：如果方程能够转化符合为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程时，那么就能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。

三、教学问题诊断分析在以前的学习中，学生不仅了解了平方根的意义、掌握了完全平方式的结构特征，而且还具备了一些方程的转化能力。

本节课首先复习平方根的相关知识，再从具体的实际问题中列出一元二次方程，并根据平方根的意义直接开平方求解方程，对于方程的解是否符合实际问题，进行探讨。

然后，对需要合理变形转化为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）形式可以直接开平方的方程，学生在以前的学习中没有类似的经验，可能会出现思维障碍。

一元二次方程的解法1(直接开平方法)导学案

(11) (3x 2) 7 0 (12) ( 2x 2) 2 6 2、用直接开平方法解下列方程：（1）、x 2 − 16＝0 （2）、2x 2 ＝16
(13) ( x 2 ) 2 (1 2 ) 2
（3）、3y 2 =
4 3
(4)、2x 2 − ＝0
2
1
（5）、x − x 2 = 5x 2 + x （10）、4x 2 = 0
a b
3 x _____ ( x _____) 2 ； 2
2
(5) x bx ______ ( x _____)
2
= x+
2
（7）、x2+px+ =(x+ )2 归纳总结：通过练习，使学生探讨配方的关键是：当二次项系数为 1 时，练习：用配方法解方程：（1）、 x ＋8x－2＝0
心有多大，天地就有多大；梦想有多远，路就能走多远。
思考:能否经过适当变形，将它们转化为：

2
= a
的形式，应用直接开方法求解？
归
纳：
2
上面，我们把方程 x 2 －4x＋3＝0 变形为 x 2 ＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？试一试：对下列各式进行配方：
1
（12）、2(3x-1)2－8=0
(13)、2(3x－2)2＝0
（14）、3（x＋3）2=4
(16)、（x+1）2-12=0

一元二次方程全章导学案(不分版本,通用)

1 反思：【学习目标】1、体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；2、理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项. 【学习重点】由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念. 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）（1) 多项式2321x y x --是次项式,其中最高次项是 ,二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .（2）叫方程,我们学过的方程类型有 . 【活动二】自主交流探究新知（25分钟）1.自学教材P17——19，回答以下问题.（1）一元二次方程的定义：只含有个求知数（一元），并且求知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程. （2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： (a ≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项.【注意】①方程20ax bx c ++=只有当a ≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b ≠0时就是方程了.所以在一般形式中，必须包含a ≠0这个条件.②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.2. 一元二次方程的解：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边值相等的_______________的值. 【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.）1.下列方程是一元二次方程的是有：（1）3239x x +=，（2）(1)(1)0x x +-=，（3）220y =，（4）01122=-+xx ，（5）232m =，（6）05322=-+y x .2.把方程()()11212=+-y y 化为一般形式为：；其二次项系数是；一次项系数是；常数项是 .3.若033)3(2=++--nx x m n 是关于x 的一元二次方程，则m= ，n= .4.下面哪些数是方程260x x --=的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4.5. 已知m 是方程260x x --=的一个根，则代数式2m m -=________.6.已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k . （1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.【活动五】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟）1.当a______时，关于x 的方程22()(1)a x x x +=-+是一元二次方程.2.若关于x 的方程27(3)(5)50m m x m x -++-+=是一元二次方程，试求m 的值，•并指出这个方程的各项系数．3．关于x 的方程21()36m m m x x +-+=可能是一元二次方程吗？为什么？2 反思：§22.2.1《一元二次方程的解法——直接开平方法》导学案【学习目标】1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．【学习重点】运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟） 1.我们知道x 2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x= ，如果x 换元为2x-1，即2(21)5x -=，也用直接开平方的方法可以这样求解. 2.(1) 解：由方程 2(21)5x -=，得21x -=_______即 21x -=____，21x -=_____∴ 1x =_______, 2x =_____(2) 解：由方程 2692x x ++=，得(_________)2=2∴ ______________=_______ 即 ____________, ____________ ∴ 1x =_______, 2x =_____ 【活动二】自主交流探究新知（15分钟）仿照知识链接中的方法解下列方程：(1) 28x = (2) 22(1)4x -=(3) 2694x x++=(4)2490m -= （5）291241x x ++=【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）1、形如2x p =(0)p ≥或2()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法.2、如果方程能化成2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥的形式，那么可得x =mx n +=【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.） 1．若224()x x p x q-+=+，那么p 、q 的值分别是（）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-2 2．方程2390x +=的根为（）．A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．无实数根 3．解方程：（1）28160x -=（2）22(3)72x -=【活动五】拓展延伸（独立完成8分钟，班级展示2分钟） 1．如果a 、b 21236b b -+=0，求ab 的值.2．用直接开平方法解方程：22(1)180x --=3．解关于x 的方程2()(0)x m n n +=≥．4. 已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值.3 反思：§22.2.2《一元二次方程的解法——因式分解法》导学案【学习目标】1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．【学习重点】用因式分解法解一元二次方程. 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）1.分解因式：（1）2832x - （2）244x x -+ （3）228x x --2.填空：填上适当的数，使下列等式成立：(1) 25____(____x x x ++=+2) (2) 21____(____2x x x ++=+2) (3) 2____(____x x +=-2) (4) 2____(____bx x x a++=+2) 【活动二】自主交流探究新知（20分钟）仿照知识链接中的方法解下列方程：（1）2410x -= （2）22150x x --=【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）总结因式分解的步骤： ①通过___________把一元二次方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次因式的______;③令每个因式分别为______，得到两个一元一次方程; ④解，它们的解就是原方程的解。

清大《直接开平方法解一元二次方程》教案

=m( m≥0)的解法；
1
2
( ) ⑧( )
是一元二次方程，则
=_______
，(m+8)。

=m(m
1 .下列方程中，不能用直接开平方法的是（）
A. B. C. D.
2. 下列说法中正确的是（）A. 方程两边开平方，得原方程的解为 B. 是方程
的根，所以得根是 C. 方程的根是 D. 方程有两个相等的根
3.已知，方程的1解是( )
A. B. C. D.
4. 方程的根( )
A. B. C. D.
5. 若，则得值等于( )
A. B. C. 0或2 D. 0或-2
6、用直接开平方法解方程，方程必须满足的条件是（）
A． k≥o B．h≥o C．hk＞o D．k＜o
7、方程的根是（）
A. -1、3
B.1、-3
C.1- 、1+
D. -1、+1
8、下列解方程的过程中，正确的是（）
(A),解方程，得x=±(B) ,解方程，得x-2=2,x=4(C),解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ;x2= (D) ,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
9. 当________时，分式无意义；当________时，分式的值为零。

10. 若，则=_________11.一元二次方程的解是
___________12.方程的解是______________。

13.用直接开平方法解下列一元二次方程:
（1）（2）（3）（4）
14. 请你用直接开平方法解下列方程:。

21.2.1.1解一元二次方程配方法直接开平方法课堂(教案)

在接下来的教学中，我计划采取以下措施以提高学生的学习效果：
1.对于配方技巧，我将设计更多的练习题，让学生在实践中逐步掌握。
2.加强课堂互动，鼓励学生提问，及时发现并解决他们在学习中遇到的问题。
3.组织课堂小结，让学生总结所学知识点，加深记忆。
4.注重培养学生的表达能力，提高他们在小组讨论和成果分享环节的表现。
2.教学难点
-配方的技巧：学生在配方时常常难以找到合适的m和n，这是教学的难点。需要通过具体例题和反复练，帮助学生掌握配方技巧。
-平方根的理解：直接开平方法要求学生对平方根有深刻的理解，包括正数、零和负数的平方根。难点在于如何让学生理解负数的平方根是虚数，并在实际应用中正确处理。
-方程解的多样性：一元二次方程可能有两个实数解、一个重根或无实数解。难点在于让学生理解这些情况的发生条件，并能够准确判断。
举例：对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，难点在于配方时如何选择m和n，以及如何处理解为x = 3或x = 2的情况，同时也要让学生理解为何x^2 + 1 = 0无实数解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如购物时计算折扣后的价格）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解一元二次方程的奥秘。
其次，学生在小组讨论环节提出了很多有创意的想法，这充分体现了他们的思考能力。但在分享讨论成果时，我发现有些学生表达不够清晰，逻辑性有待提高。在今后的教学中，我需要多关注学生的表达能力，鼓励他们用简洁明了的语言阐述自己的观点。

第1课一元二次方程的解法——直接开平方法

第1课一元二次方程及其解法（1）班别：姓名：学号：一、问题引领1、理解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成一般形式；2、会用直接开平方法解一元二次方程。

二、交流启发请同学们观察下列方程，看看它们具有哪些特点？0122=++x x ， 032=+x x ， 012=-x请思考：它们是一元一次方程吗？答：以上所列的方程有____个未知数，并且未知数的最高次数是_____；上述两个整式方程中都只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_____，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)其中a 、b 、c 分别叫做___ ___系数、__ ____系数和___ ____三、自主探究例1：解下列方程：（1）x 2=25 （2） x 2-9=0 （3）16y 2-49=0解：（1）x = (2) x 2= (3) 16y 2=∴x 1= ,x 2= x = y 2= ∴x 1= ,x 2= y =∴ y 1= ,y 2=例2：解下列方程：（1）1)32=+x （（2） 02)12=--x （解：(1) x + =±1 (2)=-2)1x （ x = =2±∴x 1=-2 , x 2= ∴x 1= +1 , x 2= +1方程 x 2＝4，意味着x 是4的平方根，所以x =____,即 x =____.这种方法叫做直接开平方法.思考：直接开平方法能解怎样类型的一元二次方程？答：形如 =a (a ≥0)的一元二次方程。

四、基础训练1、关于x 的方程032)1(2=---mx x m 是一元二次方程的条件是_______2、方程x x 21342-=化为一般形式是_____________，它的二次项系数是______，一次项系数是_____，常数项是_______3、一元二次方程x (2x －1)－3x (x －2)=0的一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

第2课时一元二次方程的解法(1) -- 直接开平方法

一元二次方程的解法（1） -- 直接开平方法
学习目标
• 1.理解解一元二次方程“降次” -- 转化的数学思想. • 2.会用直接开平方法解形如x2 = p或（x+n）2 = p或（mx+n）2
= p的一元二次方程.
形如x2 = p（p为已知数）的一元二次方程的解法
• （1）当p ห้องสมุดไป่ตู้ 0时，x= _________ x= _________ ； • （2）当p = 0时，x =_________x =_________ ； • （3）当p < 0时，方程无实数根.
• 【练习】 • 解方程:（1）x2 = 9；（2）4x2 = 8.
形如（x+n）2 = p（n，p为已知数）的一元二次方程的解法
• （1）当p > 0时，x + n = _________ ；则有x= _________，x= _________ ；
• （2）当p = 0时，x _________ ， x _________ ；
• （3）当p < 0时，方程无实数根.
• （直接开平方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解）
• 【练习】解方程:
• （1）（x+1）2 = 16； 25 = 0.
（2）（x-2）2 = 3；
（3）（x-1）2 -
形如（mx + n）2 = p（m，n，p为已知数，其中m≠0）的一元二次方程的解法
• [例4]解方程: • （1）（2x-3）2 - 9 = 0；（2）（2x-1）2 = （x-3）2.
• 【练习】解方程: • （1）2（2x-1）2 - 50 = 0:（2）（x-2）2 = （3-2x）2.

八年级数学上册学案一元二次方程---直接开平方法

课题：一元二次方程的解法(1)－－直接开平方法(初二上数学055)教学流程：一、创设情境：1、复述平方根的意义，完成下列填空：4 的平方根是，81的平方根是，100的算术平方根是 .2、一个正方体的表面积是150cm2,设这个正方体的棱长为xcm，可得方程 .3、某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年的14400台提高到16900台，设平均每年增长的百分率为x，可得方程二、探究活动一：思考1:如何解方程x2＝4呢？根据平方根的意义，是的平方根，所以，x＝即此一元二次方程的两个根为思考2:如果关于x的一元二次方程x2－k＝0有解，那么常数k需要满足什么条件？如何解形如x2－k＝0 (x≥0)的方程呢？三、例题精讲解下列方程：(1)x2＝169； (2)45－x2＝0； (3)12y2－25＝0； (4)4x2+16＝0思维拓展：已知一元二次方程mx2+n＝0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是( )A.反思：写出两根互为相反数的一元二次方程____________。

四、探究活动二思考：怎样解方程：(x+1)2＝2呢？你是怎样想的？例2：解下列方程(1)(x＋1)2－4＝0； (2)4(2－x)2－9＝0； (3)(2x－1)2＝(3x+2)2板演练习：解下列方程：(1)(x＋2)2－16＝0 (2)2(x－1)2－18＝0 (3)(1－3x)2＝1 (4)(2x－1)2＝(3－x)2、例3：已知直角三角形两边长是方程9－(x－8)2＝0的两根，求直角三角形第三边长.课后自助：用直接开平方法解下列方程：(1)x2＝8 (2)(2x－1)2＝5 (3)x2+6x+9＝2 (4)4m2－9＝0 (5)x2+4x+4＝1 (6)3(x－1)2－9＝108 (7)(3x+1)2＝7 (8)y2+2y+1＝24 (9)9n2－24n+16＝11 (10)3(x－1)2－6＝0 (11)x2－4x+4＝5 (12)9x2+6x+1＝4 (13)(2－x)2－81＝0 (14)2(1－x)2－18＝0 (15)(2－x)2＝4。