黑龙江省鹤岗一中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年黑龙江省鹤岗一中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分．每题只有一个正确答案）1．直线的倾斜角α=（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（）A．πB．3πC．2πD．4π3．点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A．2 B．C．1 D．4．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．α内所有的直线都与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内所有的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点5．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．6．过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=07．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°8．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β9．点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A．（﹣5，﹣2）B．（﹣4，﹣1）C．（﹣6，﹣3）D．（﹣4，﹣2）10．在三棱椎P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列正确的是（）A．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为B．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为C．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为D．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为11．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．或k≤﹣4 B．或C．D．12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD．给出下面四个：①A′D⊥BC；②三棱锥A′﹣BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正确的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④二、填空题：（每题5分，共4题，计20分.）13．已知正四棱锥的底面边长是3，高为，这个正四棱锥的侧面积是．14．过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为．15．圆台的体积为52cm3，上、下底面面积之比为1：9，则截该圆台的圆锥体积为cm3．16．已知A、B、C是半径为1的球面上三个定点，且AB=AC=BC=1，高为的三棱锥P﹣ABC的顶点P位于同一球面上，则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是．三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点P．（Ⅰ）若直线l平行于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程；（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，这个几何体的体积为．（1）求棱A1A的长；（2）求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．19．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，其前n项和为S n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前8项和．20．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，证明EF∥平面PAC；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．21．在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．22．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°．平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）试问当AM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．（Ⅲ）求三棱锥A﹣BFD的体积．2015-2016学年黑龙江省鹤岗一中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分．每题只有一个正确答案）1．直线的倾斜角α=（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．【解答】解：可得直线的斜率为k==，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故选A2．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（）A．πB．3πC．2πD．4π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】将已知中圆柱的底面半径为1，高即母线为1，代入圆锥的表面积公式，可得答案．【解答】解：∵圆柱的底面半径r=1，高即母线l=1，故圆柱的表面积S=2πr（r+l）=4π，故选：D．3．点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A．2 B．C．1 D．【考点】点到直线的距离公式．【分析】点P（x0，y0）到直线ax+by+c=0的距离：d=，由此能求出点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离．【解答】解：点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离：d==，故选B．4．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．α内所有的直线都与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内所有的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面关系，直线a与平面α不平行，包含两种位置关系；一是直线a在平面内，另一个是直线a与α相交；由此解答．【解答】解：因为直线a与平面α不平行，所以直线a在平面内，或者直线a于α相交，所以直线a与平面α至少有一个交点；故选D．5．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．【考点】平面图形的直观图．【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果．【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2=2故选D．6．过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的性质．【分析】过点A（1，2）且与原点距离最大的直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：B7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OP与AM所成的角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，A1P=t（0≤t≤1），A（2，0，0），M（0，0，1）O（1，1，0），P（2，t，2），=（﹣2，0，1），=（1，t﹣1，2），∴=﹣2+0+2=0，∴异面直线OP与AM所成的角的大小为90°．故选：C．8．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．9．点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A．（﹣5，﹣2）B．（﹣4，﹣1）C．（﹣6，﹣3）D．（﹣4，﹣2）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点Q的坐标为（m，n），利用垂直及中点在轴上这两个条件求出m、n的值，可得结论．【解答】解：设点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点Q的坐标为（m，n），则由题意可得，且+=1，求得，故选：B．10．在三棱椎P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列正确的是（）A．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为B．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为C．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为D．BD⊥平面PAC且三棱椎D﹣ABC的体积为【考点】直线与平面垂直的判定；的真假判断与应用；简单空间图形的三视图．【分析】通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可证明直线与平面垂直，求出几何体的体积即可．【解答】解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AD，又由三视图可得在△PAC中，PA=AC=4，D为PC的中点，∴AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC．又BC=4，∠ADC=90°，BC⊥平面PAC．故．故选：C．11．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．或k≤﹣4 B．或C．D．【考点】直线的斜率．【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，用直线的斜率公式求出k PB和k PA的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即k≥或k≤4故选：A．12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD．给出下面四个：①A′D⊥BC；②三棱锥A′﹣BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正确的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意证出BD⊥DC，然后结合平面PBD⊥平面BCD利用线面垂直的性质定理得CD⊥平面PBD，从而可判断①③；三棱锥A′﹣BCD的体积为=，可判断②；利用折叠前四边形ABCD中的性质与数量关系，可证BD⊥CD，再利用折叠后BCD平面PBD⊥平面，可证CD⊥平面PBD，从而证明CD⊥PB，再证明PB⊥平面PDC，然后利用线面垂直证明面面垂直．【解答】解：①∵∠BAD=90°，AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=45°，∵AD∥BC，∠BCD=45°，∴BD⊥DC，∵平面A′BD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∵A′D⊂平面A′BD，∴CD⊥A′D，故A′D⊥BC不成立；故①错误；②三棱锥A′﹣BCD的体积为=，故②不成立；③由①知CD⊥平面A′BD，故③成立；④折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BAD=90°，∴△ABD为等腰直角三角形．又∵∠BCD=45°，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°．折叠后，∵平面BCD⊥平面A′BD，CD⊥BD，∴CD⊥平面A′BD．又∵A′B⊂平面A′BD，∴CD⊥A′B．又A′B⊥A′D，A′D∩CD=D，∴A′B⊥平面A′DC．又A′B⊂平面A′BC，∴平面A′BC⊥平面A′DC．故④正确．故选：B．二、填空题：（每题5分，共4题，计20分.）13．已知正四棱锥的底面边长是3，高为，这个正四棱锥的侧面积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知正四棱锥的底面边长是3，高为，可以求出棱锥的侧高，代入棱锥侧面积公式，可得答案．【解答】解：∵正四棱锥的底面边长是3，高为，∴正四棱锥的侧高为=．∴正四棱锥的侧面积是4××3×=．故答案为：．14．过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为4x﹣y﹣13=0或x=3．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】根据题意，求出经过点P且与AB平行的直线方程和经过P与AB中点C的直线方程，即可得到满足条件的直线方程．【解答】解：由题意，所求直线有两条，其中一条是经过点P且与AB平行的直线；另一条是经过P与AB中点C的直线．∵A（2，﹣3），B（4，5），∴AB的斜率k==4，可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4（x﹣3），化简得4x﹣y﹣13=0，又∵AB中点为C（3，1）∴经过PC的直线方程为x=3，故答案为：4x﹣y﹣13=0或x=3．15．圆台的体积为52cm3，上、下底面面积之比为1：9，则截该圆台的圆锥体积为54cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】将圆台补成如图所示的圆锥，可得上面的小圆锥与大圆锥是相似的几何体，由底面积之比为1：9算出它们的相似比等于1：3，再由锥体体积公式加以计算，可得小圆锥体积是大圆锥体积的1：27，由此可得大圆锥的体积和圆台体积之比，即可得出答案．【解答】解：如图所示，将圆台补成圆锥，则图中小圆锥与大圆锥是相似的几何体．设大、小圆锥的底面半径分别为r、R，高分别为h、H∵圆台上、下底面的面积之比为1：9，∴小圆锥与大圆锥的相似比为1：3，即半径之比=且高之比=因此，小圆锥与大圆锥的体积之比==，可得=1﹣=，因此，截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比27：26，又圆台的体积为52cm3，则截该圆台的圆锥体积为=54cm3故答案为：54．16．已知A、B、C是半径为1的球面上三个定点，且AB=AC=BC=1，高为的三棱锥P﹣ABC的顶点P位于同一球面上，则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是．【考点】球内接多面体．【分析】求出球心到平面ABC的距离，利用三棱锥P﹣ABC的高为，可得球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离，即可求出圆的半径，从而可得动点P的轨迹所围成的平面区域的面积．【解答】解：∵AB=AC=BC=1，∴△ABC的外接圆的半径为，∵球的半径为1，∴球心到平面ABC的距离为=∵三棱锥P﹣ABC的高为，∴球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离为，∴动点P的轨迹所围成的平面区域的圆的半径为=，∴动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是=．故答案为：．三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点P．（Ⅰ）若直线l平行于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程；（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】联立，解得交点P．（Ⅰ）设直线l：4x﹣y+m=0，把（2，1）代入可得m，即可得出；（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，把点P（2，1）代入上述方程n，即可得出．【解答】解：联立，解得P（2，1）．（Ⅰ）设直线l：4x﹣y+m=0，把（2，1）代入可得：4×2﹣1+m=0，m=﹣7．∴l的方程为：4x﹣y﹣7=0；（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，把点P（2，1）代入上述方程可得：2+4+n=0，解得n=﹣6．∴x+4y﹣6=0．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，这个几何体的体积为．（1）求棱A1A的长；（2）求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．【考点】球内接多面体．【分析】（1）设A1A=h，已知几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，利用等体积法V ABCD﹣A1C1D1=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1，进行求解．=4π×（OD1）2，（2）连接D1B，设D1B的中点为O，连OA1，OC1，OD，利用公式S球进行求解．【解答】解：（1）设A1A=h，∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，∴VABCD﹣A1C1D1=V ABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1=，即S ABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=，即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A1A的长为4．（2）如图，连接D1B，设D1B的中点为O，连OA1，OC1，OD．∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴A1D1⊥平面A1AB．∵A1B⊂平面A1AB，∴A1D1⊥A1B．∴OA1=D1B．同理OD=OC1=D1B．∴OA1=OD=OC1=OB．∴经过A1，C1，B，D四点的球的球心为点O．∵D1B2=A1D12+A1A2+AB2=22+42+22=24．=4π×（OD1）2=4π×（）2=π×D1B2=24π．∴S球故经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为24π．19．已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，其前n项和为S n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前8项和．【考点】数列的求和．【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a5+a7=26，得a6=13，又a6﹣a3=3d=6，解得d=2．∴a n=a3+（n﹣3）d=7+2（n﹣3）=2n+1．∴以．（Ⅱ）由，得．设{b n}的前n 项和为T n，则．故数列{b n}的前8项和为．20．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，证明EF∥平面PAC；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）连结EF，推导出EF∥PC，由此能证明EF∥平面PAC．（2）推导出BC⊥PA，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB，进而BC⊥AF，再求出AF⊥PB，从而AF⊥平面PBC，由此能证明无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．【解答】证明：（1）连结EF，∵点F是PB的中点，点E为BC的中点，∴EF∥PC，∵EF⊄平面PAC，PC⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC．证明：（2）∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，∴BC⊥PA，BC⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AF⊂平面PAB，∴BC⊥AF，∵PA=AB，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，∵PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，∵点E在边BC上移动，∴PE⊂平面PBC，∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．21．在△ABC中，三个内角的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得cosC的值，进而求得C，进而求得sinA和sinC，利用余弦的两角和公式求得答案．（2）根据正弦定理求得c，进而利用面积公式求得答案．【解答】解：（1）∵，∴．∴．又∵A、B、C是△ABC的内角，∴．∵，又∵A、B、C是△ABC的内角，∴0＜A+C＜π，∴．∴．（2）∵，∴．∴△ABC的面积．22．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°．平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，AF=a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）试问当AM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．（Ⅲ）求三棱锥A﹣BFD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）首先根据相关的线段长证得BC⊥AC，进一步利用平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，EC⊥BC证得BC⊥平面ACEF，即可证明BC⊥AM；（Ⅱ）以AM∥平面BDE为出发点，利用线线平行，证得结论；（Ⅲ）利用等体积转换，即可求三棱锥A﹣BFD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由题意知，梯形ABCD为等腰梯形，且AB=2a，，由AB2+BC2=AC2，可知AC⊥BC．又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACEF．又AM⊂平面ACEF，所以BC⊥AM．…5分（Ⅱ）解：当时，平面BDE．证明如下：当，可得，故在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连结EN，由已知可得CN：NA=1：2，所以．所以EM=AN．又EM∥AN，所以四边形ANEM为平行四边形．所以AM∥NE．又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以平面BDE．当时，平面BDE．…11分（Ⅲ）解：由已知可得△ABD 的面积，故．…14分2016年8月19日。