高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

数系的扩充和复数的概念教学设计

【学习目标】

1．知识与技能：

了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．

2过程与方法：

通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识．

3．情感、态度与价值观：

通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数学扩充过程中的作用，以及书与现实世界的联系。

【教学目的】

（1）了解引进复数的必要性，理解并掌握复数的有关概念；

（2）教学同时传授学生转化的数学思想；

（3）教会学生提出问题、解决问题，学会学习。

【教学重点】

复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。

【教学难点】

虚数单位i的引进及复数的概念。

【教学方法】

采用了预习准备；引导探索，多媒体演示，练习多种手法相结合的教学方法

【授课形式】新授课（1课时）

【教学过程】

引入新课

请同学们回答以下问题：

(1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？

(2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？

(3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗？

活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结．

活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数；

问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数；

问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数．

数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．

提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？

活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结．

活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．

设计意图

回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．

探究新知

提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？

活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成．

学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述．

类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

设计意图

面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的条件．

提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？

活动设计：学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘法的运算，然后教师引导，更正不正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫．

活动成果：a＋i，bi，a＋bi.

根据条件(2)，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法和加法的交换律，从而都可以把结果写成a＋bi(a，b∈R)的形式．

提出问题：形如a＋bi(a，b∈R)的数包括所有实数吗？包括你原来没遇到过的新数吗？

写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合C.

活动设计：学生思考，可以讨论，师生共同总结，得出复数的概念．

活动成果：形如a＋bi(a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数bi和a＋bi，实数a和新数i可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i.

实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋bi|a，b∈R}．

我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C 叫做复数集，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．

注意：今后不做特殊说明，a，b∈R，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．

设计意图

让学生自己添加上这些新数，感受实数系的扩充过程，认识扩充后新数的特点，知道复数的代数形式及有关概念．

理解新知

提出问题：对于复数z＝a＋bi，当且仅当a，b满足什么条件时，z为实数，为0，为虚数，为纯虚数？

活动设计：学生思考、讨论，师生总结．

活动结果：当且仅当b＝0时，复数z＝a＋bi是实数；当且仅当a＝b＝0时，复数z＝a＋bi为0；当且仅当b≠0时，复数z＝a＋bi是虚数；当且仅当a＝0且b≠0时，复数z＝a ＋bi为纯虚数．

设计意图

让学生进一步理解复数的代数形式，明确复数z＝a＋bi为实数、虚数和纯虚数的充要条件．

提出问题：实数系扩充到复数系后，实数集R与复数集C有怎样的关系？你能类比实数的分类，对复数进行合理的分类吗？试用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系．