高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用达标训练新人教A版必修4
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用习题
三角函数模型的简单应用【知识梳理】1．三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．【常考题型】题型一、函数解析式与图像对应问题【例1】函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图像是()[解析]由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中图像表示的函数为奇函数，B中图像表示的函数为偶函数，C中图像表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．[答案] C【类题通法】解决函数图像与解析式对应问题的策略(1)解决此类问题的一般方法是根据图像所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图像的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．(2)利用图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A ，ω，φ.其中A 由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图像上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.【对点训练】函数f (x )＝cos x ·|tan x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2上的大致图像为( )解析：选C f (x )＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫π2<x <3π2＝ ⎩⎨⎧－sin x ，π2<x <π，sin x ，π≤x <3π2.题型二、三角函数在物理中的应用【例2】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (1)作出函数的图像；(2)当单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？ [解] (1)利用“五点法”可作出其图像．(2)因为当t ＝0时， s ＝6sin π6＝3，所以此时离开平衡位置3 cm. (3)离开平衡位置6 cm. (4)因为T ＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. 【类题通法】三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．【对点训练】交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求： (1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)， 即开始时的电压为110 3 V .(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值.题型三、三角函数在实际生活中的应用【例3】 心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2π|ω|，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数p (t )的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝1T＝80(次)．(3)列表：描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.【类题通法】解三角函数应用问题的基本步骤【对点训练】如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解：(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6，所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60.5米， 由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或8，所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．【练习反馈】1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．x 轴上B ．最低点C ．最高点D ．不确定解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点． 2．如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为－5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零解析：选D 该质点的振动周期为T ＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，所以C 是错误的，D 正确.3．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中，f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数是________．解析：∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T＝80.答案：804.如图，电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数I ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图像，则当t ＝150秒时，电流强度是________安．解析：由图像可知，A ＝10，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫4300－1300＝150，所以ω＝2πT＝100π，所以I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6. 当t ＝150秒时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＝5(安)． 答案：55.如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量． 解：(1)设种群数量y 关于t 的解析式为 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋800. 又当t ＝6时，y ＝900， ∴900＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日种群数量约是750.。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用达标训练 新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用更上一层楼基础•巩固1.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x ，都有f(x+4π)=f(4π-x)，则f(4π)等于( ) A.0 B.3 C.-3 D.3或-3 思路分析：由f(x+4π)=f(4π-x)，可知函数f(x)关于直线x=4π对称，所以f(4π)=±3. 答案：D2.设函数y=sin(ωx+φ)+1(ω＞0)的一段图象如图1-611所示，则周期T 、初相φ的值依次为( )A.π，127π-B.2π，67πC.π，67π-D.2π，127π-图1-6-11思路分析：T=2(65π-3π)=π，所以.222===πππωT 此时y=sin(2x+φ)+1，因为(3π，0)是使函数f(x)=sin(2x+φ)取最小值的点，所以2x+φ=2π- +2kπ，φ=-2×3π-2π+2kπ=67π- +2kπ，k∈Z ，可取φ=67π-.答案：C3.已知函数y=f(x)的图象如图1-6-12，则函数y=f(2π-x)sinx 在［0，π］上的大致图象是( )图1-6-12图1-6-13思路分析：当0＜x ＜2π时，0＜2π-x ＜2π，显然y=f(2π-x)sinx ＞0，排除C 、D ； 当2π＜x ＜π时，022<<-ππ，显然y=f(2π-x)sinx ＜0，排除B.所以只有A 符合题意.答案：A4.已知函数f(x)=kxπsin3的图象上相邻的一个最大值与一个最小值点恰好在圆x 2+y 2=k2上，则f(x)的最小正周期是( )A.1B.2C.3D.4 思路分析：由三角函数的周期性可知点(3,2k)在圆x 2+y 2=k 2上，所以222)3()2(k k =+.解得k=±2.此时，函数的最小正周期是4||2||2===k k T ππ.答案：D5.函数y=21sin(2x+6π)与y 轴最近的对称轴方程是K__________. 思路分析：函数y=21sin(2x+6π)的对称轴方程是2x+6π=kπ+2π，即x=21kπ+6π，k∈Z ，显然k=0时，x=6π，它离y 轴最近.答案：x=6π6.函数y=31sin(kx+3π)的周期为T ，且T∈(1，3)，则最大正整数k=___________.思路分析：由题意可知1＜kπ2＜3，因为k∈N ，所以k=3，4，5，6.此时k=6.答案：6综合•应用7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0+3π，-2). (1)求f(x)的解析式；(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)，然后再将所得图象向x 轴正方向平移3π个单位，得到函数y=g(x)的图象.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解：(1)由题意可知A=2，T=2［(x 0+3π)-x 0］=6π.又由ω＞0，ωπ2=6π，得ω=31，此时f(x)=2sin(31x+φ).又因为该函数经过点(0，1)，所以2sinφ=1，即sinφ=21因为|φ|＜2π，所以φ=6π.所以f(x)=2sin(31x+6π).(2)由题意知g(x)=2sin(x-6π)，该函数的周期T=2π，我们先画出它在长度为一个周期的闭区间上的简图. x6π-3π 65π 34π 611πx-6π 0 2π π 23π 2π 2sin(x-6π)2-2图1-6-148.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(22πϕπ<<-)，ω＞0，给出以下四个论断：①它的图象关于直线x=12π对称；②它的图象关于点(3π，0)对称； ③它的周期是π；④它在区间［6π-，0］上是增函数.以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中一个命题加以证明.解：由题可知：若①③成立，则②④成立；若②③成立，则①④成立.现在我们以①③为条件求出函数解析式，证明②④成立.因为该函数的周期是π，所以ω=ππ2=2.又因为该函数关于直线x=12π对称，所以当x=12π时，y 取最值. 由sin(2×12π+φ)=1或sin(2×12π+φ)=-1，22πϕπ<<-，得φ=3π.所以f(x)=sin(2x+3π).当x=3π时，因为f(3π)=sin(2×3π+3π)=sinπ=0，所以②成立；当x∈［-6π，0］时，因为(2x+3π)∈［0，3π］，所以f(x)=sin(2x+3π)是增函数，即④成立，即若①③成立，则②④成立.回顾•展望9.(2006海南统考) 设关于x 的方程sin(2x+6π)=21+k 在［0，2π］内有两个不同根α、β，求α+β的值及k 的取值范围.思路分析：可在同一坐标系中画出函数y=sin(2x+6π)及21+=k y 的图象，借助于图象的直观性求解.解：设C ：y=sin(2x+6π)，l ：21+=k y ，在同一坐标系中作出它们的图象如下图.由图易见当12121<+≤k 时，即0≤k＜1时，直线l 与曲线C 有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可看出α、β关于x=3π对称，故α+β=32π.综上,可知0≤k＜1，且α+β=32π.。
新人教版高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课时训练含解析新人教A版必修4(1)
专题一坐标图像题识图、读图及用图表示化学变化规律的能力是近几年中考化学考查的主要能力之一，对这种能力的考查通常借助坐标图像题来完成。
解决此类问题必须注意以下两点：一是明确题目所描述的化学情景；二是看懂图像所描述的化学意义。
首先要搞清横、纵坐标表示的意义，然后分析相关变化过程，对图像涉及的量之间的关系进行分析，最后再判断各量之间的曲线变化关系与图像是否符合。
重点要抓住关键的三点(起点、折点、终点)、曲线的变化趋势及横、纵坐标的比例关系。
注：与溶解度曲线相关的坐标图像题分析详见P59。
类型一质量变化图像1．物质溶解时溶液中溶质质量的变化曲线(1)化学反应中反应物和生成物的质量变化图像酸、碱、盐溶液混合相互反应时，酸与碱的反应一般优先于该酸与盐的反应。
如：①向Na2CO3和NaOH的混合溶液中滴加稀HCl时，NaOH先和HCl发生中和反应，等NaOH被反应完后，Na2CO3才能和HCl反应放出CO2气体，生成气体的坐标曲线如图像⑤所示。
②向一定量的NaOH和Ba(NO3)2的混合溶液中逐滴加入稀硫酸时，稀硫酸能和氢氧化钠反应生成硫酸钠和水，硫酸钠能和硝酸钡反应生成硫酸钡沉淀，硫酸钡不溶于稀硝酸，因此能马上产生沉淀，当硝酸钡完全反应后，沉淀质量不再增大，生成沉淀的坐标曲线如图像③所示。
③向稀盐酸和FeCl3的混合溶液中滴加氢氧化钠溶液时，NaOH先和稀盐酸发生中和反应，当稀盐酸完全反应后，NaOH才能与FeCl3溶液反应生成沉淀，生成沉淀的坐标曲线如图像⑤所示。
同理，若溶液中有酸时，酸要完全反应后，才会出现CaCO3、BaCO3、Cu(OH)2等沉4(或Ag＋和Cl－)，则反应物一开始混合即有沉淀产淀；但是若反应物中分别含有Ba2＋和SO2－生。
(2)化学反应前后物质质量的变化曲线从反应曲线判断是酸加入碱还是碱加入酸：首先要根据图像起点pH的大小来判断起始溶液的酸碱性，然后根据曲线的走势和pH的变化确定加入溶液的酸碱性。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用练习 新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I ＝5sin(100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s时，电流强度为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A2．弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s ＝2sin(t ＋π4)．给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方 2 cm 处；②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm 处；③经过2π s 小球重复振动一次．其中正确的说法是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③3．某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上按月以f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π2，x 为月份)为模型波动，已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，根据以上条件可以确定f(x)的解析式是( )A ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋5(1≤x≤12，x ∈N *)B ．f(x)＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋5(1≤x≤12，x ∈N *)C ．f(x)＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋5(1≤x≤12，x ∈N *)D ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋5(1≤x≤12，x ∈N *)4．如图L161所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图L161A ．5B ．6C ．8D ．105．如图L162所示，质点P 在半径为2的圆周上按逆时针方向运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )图L162图L1636．曲线y ＝Asin ωx ＋a(A>0，ω>0)在区间[0，2πω]上截直线y ＝2及y ＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A ，a 的描述正确的是( )A ．a ＝12，A>32B ．a ＝12，A≤32C ．a ＝1，A≥1 D．a ＝1，A≤17．如图L164所示，一个半径为10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d(单位：m ，在水面下则d 为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足图L164关系式d ＝Asin(ωt ＋φ)＋k(A>0，ω>0，－π2<φ<π2)，且当P 点从水面上浮现时开始计算时间．给出以下四个结论：①A ＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k ＝5.其中正确结论的序号是________．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．图L165为某简谐运动的图像，这个简谐运动需要________s 往返一次．图L1659.如图L166所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2 cm 处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm ，每经过π s 小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y 与振动时间x 的关系式可以是________________．图L16610．一弹簧振子的位移y 与时间t 的函数关系为y ＝Asin(ωt ＋φ)(A>0，ω>0)，若已知此振子的振幅为3，周期为2π7，初相为π6，则这个函数的解析式为__________________． 11．一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：则可近似地描述该物体的位移y 和时间t 之间关系的一个三角函数为____________________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)如图L167所示，弹簧挂着的小球做上下运动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h ＝2sin(2t ＋π4)，t ∈[0，＋∞)．(1)以t 为横坐标，h 为纵坐标，画出函数在一个周期上的简图． (2)小球开始振动时的位置在哪里？(3)小球最高点、最低点的位置在哪里？它们距平衡位置的距离分别是多少？图L16713．(13分)已知某地一天4时～16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4，16]．(1)求该地区这一段时间内的最大温差．(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？1．B [解析] 将t ＝1200代入I ＝5sin(100πt ＋π3)，得I ＝2.5(A)．2．D [解析] 当t ＝0时，s ＝2sin(0＋π4)＝2，故①正确；s min ＝－2，故②正确；函数的最小正周期T ＝2π，故③正确．3．D [解析] 根据题意，T ＝ 2×(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，由⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝7，－A ＋B ＝3， 得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝5， ∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋5，当x ＝3时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×3＋φ＋5＝7，得φ＝－π4.∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋5.故选D.4．C [解析] 由图知－3＋k ＝2，k ＝5，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，y max ＝3＋5＝8.故选C.5．C [解析] 根据点P 0的坐标可得∠xOP 0＝－π4，故∠xOP ＝t －π4.设点P(x ，y)，则由三角函数的定义，可得sin ∠xOP ＝y 2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4＝y 2，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，因此点P到x 轴的距离d ＝|y|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4，据解析式可得C 选项图像符合条件，故选C.6．A [解析] 易知曲线关于直线y ＝2＋（－1）2＝12对称，∴a ＝12，又2A>3，∴A>32.7．①②④ [解析] 由题意知A ＝10，k ＝5，T ＝604＝15，ω＝2πT ＝2π15，所以d ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π15t ＋φ＋5.又当t ＝0时，d ＝0，所以10sin φ＋5＝0，所以sin φ＝－12，又－π2＜φ＜π2，所以φ＝－π6. 8．0.8 [解析] 由图像知最小正周期T ＝0.8 s.9．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 [解析] 不妨设y ＝Asin(ωx ＋φ)．由题知A ＝4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.当x ＝0时，y ＝2，且小球开始向上运动，所以有φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，不妨取φ＝π6，故所求关系式可以为y ＝4sin(2x ＋π6)．10．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫7t ＋π6，t ∈[0，＋∞) [解析] 由题意得A ＝3，T ＝2π7，φ＝π6，则ω＝2πT＝7.11．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t －π2，t ∈[0，＋∞) [解析] 设y ＝Asin(ωt ＋φ)＋b ，则A ＝y max －y min 2＝4.0＋4.02＝4.0，b ＝y max ＋y min 2＝0，ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2，所以y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t ＋φ，将(0.4，4.0)代入上式，得φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，取φ＝－π2，从而可知y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2t －π2，t ∈[0，＋∞)．12．解：(1)①按五个关键点列表：②描点并将它们用光滑的曲线连接起来即得h ＝2sin(2t ＋π4)的简图，如图所示．(2)当t ＝0时，h ＝2sin(2×0＋π4)＝2，即小球开始振动时的位置在平衡位置上方的2 cm 处．(3)由题意易知，最高点的位置在平衡位置上方的2 cm 处，最低点的位置在平衡位置下方的2 cm 处，最高点、最低点到平衡位置的距离均为2 cm.13．解：(1)由函数解析式易知，当x ＝14时，函数取得最大值30，即最高温度为30 ℃，当x ＝6时，函数取得最小值10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为20℃.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4，16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4，16]，所以x ＝343.故该细菌能存活的最长时间为343－263＝83(h)．。
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用练习(含解析)新人教A版必修4
第15课时 三角函数模型的简单应用1．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图象如图所示，则当t ＝150秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安 答案 B解析 由图象可知A ＝10，T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫4300－1300＝150，∴2πω＝150，∴ω＝100π．∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6． 当t ＝150秒时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×150＋π6＝5(安)．2．弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t (s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)由下面的函数关系式表示：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4．(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒钟内小球能往返振动多少次？解 (1)令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以小球开始振动的位置为离开平衡位置向上322cm 处．(2)由题意知，t ∈[0，2π)，当h ＝3时，t ＝π8，即最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3；当h ＝－3时，t ＝5π8，即最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－3．(3)T ＝2π2＝π≈3．14，即每经过约3．14秒小球往返振动一次．(4)f ＝1T≈0．318，即每秒内小球往返振动约0．318次．3．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )答案 C解析 ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4．按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4．当t ＝0时，d ＝2，排除A ，D两项；当t ＝π4时，d ＝0，排除B 项，故选C ．4．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________，x ∈[0，24]．答案 y ＝－6sin π6x解析 将其看成函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，由图象知，A ＝6，T ＝12，∴ω＝2πT＝π6．将(6，0)看成函数图象的第一个特殊点，则π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π．∴函数关系式为y ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x －π＝－6sin π6x ．5．以一年为一个周期，调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦型函数y 1波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦型函数y 2波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请分别求出y 1，y 2关于第x 月份的函数解析式．解 设y 1＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知B ＝6．∵3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元， ∴A ＝2，T ＝2×(7－3)＝8＝2πω，∴ω＝π4． 则y 1＝2sin π4x ＋φ＋6，将点(3，8)代入得φ＝－π4，故y 1＝2sin π4x －π4＋6(1≤x ≤12)．同理可得y 2＝2sin π4x －3π4＋8(1≤x ≤12)．之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数解析式(其中t 以年初以来经过的月份数为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量． 解 (1)设动物种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800．又周期T ＝2×(6－0)＝12，所以ω＝2πT ＝π6，所以y ＝100sin π6t ＋φ＋800．又当t ＝6时，y ＝900，所以900＝100sin π6×6＋φ＋800，所以sin(π＋φ)＝1， 所以sin φ＝－1， 所以取φ＝－π2．所以y ＝100sin π6t －π2＋800．(2)当t ＝2时，y ＝100sin π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750．7．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)，赛道的后一部分为折线段MNP ．为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°．求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解 依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6．∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0，4]．∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3．∴M (4，3)．又P (8，0)， ∴MP ＝－2＋－2＝42＋32＝5(km)．即M ，P 两点间的距离为5 km ．一、选择题1．电流强度I (A)随时间t (s)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则当t ＝1100s 时，电流强度是( ) A ．－5 A B ．5 A C ．5 3 A D ．10 A 答案 A解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴T ＝150，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．又1300，10在图象上，∴100π×1300＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ．又0<φ<π2，∴φ＝π6．∴I ＝10sin100πt ＋π6，当t ＝1100s 时，I ＝－5 A ，故选A ．2．如图为甲地某天中6 h 至14 h 的温度变化曲线，其近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋bA >0，ω>0，π2<φ<π的半个周期的图象，则该天8 h 的温度大约为( )A ．16 ℃ B．15 ℃ C．14 ℃ D．13 ℃ 答案 D解析 由题意得A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，∵2×(14－6)＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝10sin (π8x ＋φ )＋20，将x ＝6，y ＝10代入，得 10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×6＋φ＋20＝10，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，由于π2<φ<π，可得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6，14]．当x ＝8时，y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×8＋3π4＋20＝20－52≈13，即该天8 h 的温度大约为13 ℃，故选D ．3．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l ) 的图象大致是( )答案 C解析 如图，过点O 作OD ⊥AP 于D ，由题意知，∠AOD ＝l 2，OA ＝1，AD ＝d 2，∴sin l 2＝d2，即d ＝2sin l2．结合图象知选C ．4．已知x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)是函数f (x )＝cos x 与函数g (x )＝m 的图象在区间π2，3π内的三个不同交点的横坐标，且满足x 22＝x 1·x 3，则实数m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22答案 A解析 在同一直角坐标系中作出函数f (x )＝cos x 与函数g (x )＝m 的图象，如图所示．则由图象可知x 1＋x 2＝2π，且x 2＋x 3＝4π．结合x 22＝x 1·x 3(x 1<x 2<x 3)，可得x 1＝2π3，x 2＝4π3，x 3＝8π3，则m ＝f 2π3＝f 4π3＝f 8π3＝－12，故选A ． 5．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示．则此楼群在第3季度的平均单价大约是( ) A ．10000元 B ．9500元 C ．9000元 D ．8500元 答案 C解析 因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＋φ＝0，ω＋φ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝m π，m ∈Z ，ω＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z ，易得3ω＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ．又当x ＝3时，y ＝500sin(3ω＋φ)＋9500，所以y ＝9000． 二、填空题6．一树干被台风吹断，折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为________米．答案 20 3解析 如图所示，在Rt △ABC 中，AC ＝20米，∠B ＝60°，∴sin B ＝AC BC ，∴BC ＝ACsin B ＝20sin60°＝4033．又AB ＝12BC ＝2033，∴树干高为AB ＋BC ＝203(米)．7．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0，60]．答案 10sin π60t解析 解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin π60t ．8．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin π6x ＋φ＋k ．据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m ．答案 8解析 由题图可知－3＋k ＝2，得k ＝5， ∴y ＝3sin π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8．三、解答题9．下表是某地某年月平均气温(单位：．以月份为x 轴，x ＝月份－1，以平均气温为y 轴． (1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是________．①y A ＝cos π6x ；②y －46A ＝cos π6x ；③y －46－A ＝cos π6x ；④y －26A ＝sin π6x ． 解 (1)(2)如图所示：(3)1月份的气温最低，为21．4 7月份气温最高，为73．0据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12．(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73．0－21．4＝51．6，∴A ＝25．8． (5)∵x ＝月份－1，∴不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26．0，代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，∴①错误；代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，∴②错误；同理④错误．∴本题应选③．10．如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40．5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系； (2)当你第4次距离地面60．5米时，用了多长时间？ 解 (1)由已知可设y ＝40．5－40cos ωt (t ≥0)，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝π6．所以y ＝40．5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60．5米． 由60．5＝40．5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8．所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60．5米，故第4次距离地面60．5米时，用了12＋8＝20(分钟)．。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应
1.6 三角函数模型的简单应用（一）一、选择题：1. 如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )A ．该质点的运动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时运动速度为零【答案】 B【解析】 由题图可知，该质点的振幅为5 cm.故选B 。
2．与图中曲线对应的函数解析式是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x | 【答案】 C【解析】 注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D ．当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C ．3. (2016·烟台高一检测)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t 2(0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20] 【答案】 C【解析】 当10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<52π，此时F (t )＝50＋4sin t 2是增函数，即车流量在增加．故应选C ．4．(2016·杭州二中期末)一种波的波形为函数y ＝－sin π2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】 C【解析】 函数y ＝－sin π2x 的周期T ＝4且x ＝3时y ＝1取得最大值，因此t ≥7.故选C ． 二、填空题：5.如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.【答案】 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4 【解析】 由题图可设y ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝2， 又T ＝2(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝2π0.8＝52π，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52πt ＋φ， 将点(0.1，2)代入y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t ＋φ中，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝1， 所以φ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4，k ∈Z ， 令k ＝0，得φ＝π4，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4. 6. 电流()A I 随时间()s t 变化的关系是[)3sin100π,0,I t t =∈+∞，则电流I 变化的周期是___________.【答案】1s 50【解析】由题意知，()2π2π1=s 100π50T ω==. 三、解答题 7.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)．(1)求函数p (t )的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．【答案】(1) 180 (2) 80 (3) 收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg ，比正常值稍高【解析】 (1)函数p (t )的最小正周期为T ＝2π|ω|＝2π160π＝180 min.(2)此人每分钟心跳的次数即频率为：f ＝1T ＝80.(3)p (t )max ＝115＋25＝140 mmHg ，p (t )min ＝115－25＝90 mmHg.即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg ，比正常值稍高．。
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用分层训练含解析新人教A版必修4
三角函数模型的简单应用分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是( A )A. B.50 C. D.1002.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,劳动节某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( C )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]3.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是( C )A.5B.6C.7D.84.函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是( C )5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为( A )A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)B.f(x)=9sin (1≤x≤12,x∈N+)C.f(x)=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N+)D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N+)6.如图所示,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( C )7.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为y=-6sinx.8.某摩天轮建筑,其旋转半径50米,最高点距地面110米,运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第7分钟时他距地面大约为85米.9.一根长a cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s=3cos,t∈[0,+∞),则小球摆动的周期为.10. (2018·福州高一检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,质点M,N间隔3分钟先后从点P 出发,绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圈周运动,则M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,N运动的时间为37.5分钟.11.已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ).(1)如图是I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象,根据图中数据求解析式.(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=Asin(ωT+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?【解析】(1)由图知,A=300,=-=,所以T=,所以ω=,由·+φ=0,得φ=.所以I=300sin;(2)因为t在任意一段秒内I都能取到最大值和最小值,所以T≤,ω≥300π>942,所以ω最小取值为943.12.已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16].(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差.(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间?【解析】(1)由函数易知,当x=14时函数取最大值,此时最高温度为30 ℃,当x=6时函数取最小值,此时最低温度为10 ℃,所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃.(2)令10sin+20=15,得sin=-,而x∈[4,16],所以x=.令10sin+20=25,得sin=,而x∈[4,16],所以x=.故该细菌能存活的最长时间为-= (小时).B组提升练(建议用时20分钟)13.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( C )A.10 000元B.9 500元C.9 000元D.8 500元14.(2018·沈阳高一检测)有一块半径为R(R是正常数)的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形的游泳池ABCD和其附属设施,附属设施占地形状是等腰△CDE,其中O为圆心,A,B在圆的直径上,C,D,E在半圆周上,如图.设∠BOC=θ,征地面积为f(θ),当θ满足g(θ)=f(θ)+R2sin θ取得最大值时,开发效果最佳,开发效果最佳的角θ和g(θ)的最大值分别为( B ) A.,R2 B.,R2C.,R2(1+)D.,R2(1+)15.如图所示是一弹簧振子作简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振动的函数解析式是y=2sin.16.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,若将A,B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数,则d=10sin ,其中t∈[0,60].17.如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.求A,ω的值和M,P两点间的距离.【解析】依题意,有A=2,=3,即T=12.又T=,所以ω=.所以y=2sinx,x∈[0,4].所以当x=4时,y=2sin=3.所以M(4,3).又P(8,0),所以MP===5(km).即M,P两点间的距离为5 km.18.如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示建立直角坐标系,设角φ是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为=.OP在时间t(s)内所转过的角为t=t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin+2.当t=0时,z=0,得sin φ=-,即φ=-.故所求的函数关系式为z=4sin+2.(2)令z=4sin+2=6,得sin=1,令t-=,得t=4,故点P第一次到达最高点大约需要4 s.C组培优练(建议用时15分钟)19.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为y=-4cost.20.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入,为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系.(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得, =12,故ω=,且解得根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,故sin=-1,且sin=1.又因为0<|φ|<π,故φ=-.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.(2)由条件可知,200sin+300≥400,化简,得sin≥⇒2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.因为x∈N*,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.。
新人教版高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课堂达标新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的周期是( )A. B.100 C. D.50【解析】选C.由题意知,T===.2.函数y=sin x与y=tan x的图象在(-,)上的交点有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选D.当x=0时,sin x=0,tan x=0,(0,0)为两函数图象的交点,当x∈(0,)时,tan x>sin x,两函数图象无交点.当x∈(-,0)时,tan x<sin x,两函数图象无交点,所以所求交点只有1个.3.设y=f(t)是某港口水的深度关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.根据上述数据,函数y=f(t)的解析式为( )A.y=12+3sin,t∈[0,24]B.y=12+3sin(+π),t∈[0,24]C.y=12+3sin,t∈[0,24]D.y=12+3sin(+),t∈[0,24]【解析】选A.由表中数据可得k=12,A=3,T=12,则ω==,将点(0,12)代入解析式可得φ=0,故函数解析式为y=12+3sin,t∈[0,24].4.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和,则它的相位是.【解析】T==,所以ω==3π,所以相位ωx+φ=3πx-π.答案:3πx-π5.一根为L cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,组成一个单摆,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=3sin(t+),t∈[0,+∞),(1)求小球摆动的周期和频率.(2)已知g=980 cm/s2,要使小球摆动的周期恰好是1 s,线的长度l应当是多少?【解析】(1)因为ω=,所以T==2π,f=.(2)若T=1,即l=≈24.8 cm.。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课时训练(含解析)新人教A版必修4
§1.6 三角函数模型的简单应用课时目标 1.会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝________，y min ＝________.(2)A ＝________________，k ＝________________________________. (3)ω可由________________确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝________，ωx 2＋φ＝________，ωx 3＋φ＝______，ωx 4＋φ＝____________，ωx 5＋φ＝________中的一个确定φ的值． 3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )5．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt ＋π，t ∈[0,24]题 号 1 2 3 4 5 答 案 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是________．7．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．8．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．三、解答题9. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？10．某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝A sin ωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)能力提升11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )12．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60].1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期 作业设计 1．A 2.A3．D [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝±3.因此选D.] 4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.] 5．A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中，我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.] 6．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 7．80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T＝80(次/分)．8.g4π2解析 T ＝2πg l＝1.∴g l ＝2π.∴l ＝g 4π2. 9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝ ⎛⎭⎪⎫5×2π60t ＝π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10. ∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1，∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．11．C [∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin(t －π4)，∴d ＝2|sin(t －π4)|.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.]12．10sin πt60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案 新人教A版必修4(2021年整理)
高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
6三角函数模型的简单应用课前预习学案一、预习目标预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用二、预习内容1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型。
2、|sin|y x=是以____________为周期的波浪型曲线.课内探究学案一、学习目标1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断.学习重难点：重点：精确模型的应用-—由图象求解析式,由解析式研究图象及性质难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型二、学习过程自主探究；问题一、如图，某地一天从6～14bxA++)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差;(2）写出这段曲线的函数解析式问题二、画出函数xy sin=问题三、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少?三、当堂检测1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大?并说明理由.课后练习与提高1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t （时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系。
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用优化练习新人教A版必修4(2021年整理)
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1.6 三角函数模型的简单应用[课时作业］［A组基础巩固]1．已知某人的血压满足函数解析式f(t）＝24sin 160πt＋115，其中f（t）为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A．60 B．70C．80 D．90解析：由题意可得f＝错误!＝错误!＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80.答案：C2．y＝cos x|tan x|(－错误!<x<错误!)的大致图象是（）解析:x∈[0，错误!)时，y＝sin x;又y＝cos x|tan x|是偶函数，故选C.答案：C3．设y＝f（t)是某港口水的深度y(米）关于时间t（时)的函数，其中0≤t≤24。
下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215。
112。
19。
111.914。
911。
98。
912.1,下面函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A．y＝12＋3sin π6t，t∈［0,24］B．y＝12＋3sin 错误!，t∈[0,24]C．y＝12＋3sin 错误!t,t∈[0,24]D．y＝12＋3sin 错误!,t∈［0，24］解析：将t＝0及t＝3分别代入给定的四个选项A，B，C,D中，可以看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.答案：A4.如图，设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l）的图象大致是（)解析：由l＝αR可知α＝错误!，结合圆的几何性质可知错误!＝R·sin 错误!,∴d＝2R sin 错误!＝2R sin 错误!.又R＝1，∴d＝2sin 错误!，故结合正弦函数的图象可知选C.答案：C5．电流强度I（安培）随时间t（秒）变化的函数I＝A sin（ωt＋φ）的图象如图所示，则t为错误!（秒）时的电流强度为（）A．0 B．－5错误!C．10错误!D．－10错误!解析：由图知，A＝10，函数的周期T＝2错误!＝错误!，所以ω＝错误!＝错误!＝100π，将点错误!代入I＝10sin（100πt＋φ)得φ＝错误!，故函数解析式为I＝10sin错误!,再将t＝错误!代入函数解析式得I＝0。
2020高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案 新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用A 级 基础巩固一、选择题1．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析：因为T ＝2π160π＝180，所以f ＝1T ＝80.答案：C2．与图中曲线对应的函数解析式是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |解析：注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin|x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B.答案：C3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t2(0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：因为10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<52π此时F (t )＝50＋4sin t2是增函数，即车流量在增加．答案：C4．一种波的波形为函数y ＝－sin π2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：函数y ＝－sin π2x 的周期T ＝4且x ＝3时y ＝1取得最大值，因此t ≥7.答案：C5．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，所以T ＝2π|ω|＝2π2π＝1 s ，即单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.答案：D 二、填空题6．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (小时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215.112.19.111.914.911.98.912.1中数据间对应关系的函数是________．解析：由表格知最大值为15，最小值为9，最小正周期为12，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋A ＝15，k －A ＝9，解得A ＝3，k ＝12，ω＝π6.又t ＝0时，y ＝12，所以φ＝0.答案：y ＝12＋3sin π6t7．已知某种交变电流I (A)随时间t (s)的变化规律可以拟合为函数I ＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5 s 内往复运动的次数是________________．解析：周期T ＝150 s ，所以频率为每秒50次，所以0.5秒内往复运动的次数为25.答案：258．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(A ＞0，x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5答案：20.5 三、解答题9．在波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数D (t )的表达式是D (t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365（t －79）＋12，其中t表示某天的序号，t ＝0表示1月1日，以此类推．(1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？解：(1)白昼时间最长的一天，即D (t )取得最大值的一天，此时t ＝170对应的6月20日(闰年除外)，类似地，t ＝353时，D (t )取得最小值，即12月20日白昼最短．(2)D (t )＞10.5，即3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365（t －79）＋12＞10.5，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365（t －79）＞－12，t ∈[0，365]， 所以49＜t ＜292，292－49＝243.所以约有243天的白昼时间超过10.5小时．10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解：(1)因为f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．B 级 能力提升1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为点(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是点(6，0)，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4B ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4C ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4D ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4 解析：由题意知A ＝3，14T ＝6－2＝4，所以T ＝16，故T ＝2πω＝16，所以ω＝π8，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ， 因为最高点为(2，3)，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，又0＜φ＜π.所以φ＝π4，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.答案：C2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f (x )＝________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2×(7－3)＝8，所以ω＝2πT ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4＋φ＋6.又当x ＝3时，y ＝8，所以8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，结合|φ|＜π2可得φ＝－π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6.答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6 3.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O 距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解：(1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8. 所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．。
2019_2020学年高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用限时规范训练新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用【基础练习】1．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将处于图中的( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D2．电流强度I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200s 时，电流强度I 为( ) A ．5A B ．2.5A C ．2A D ．－5A【答案】B 【解析】将t ＝1200代入I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，得I ＝2.5 A ． 3．如图，一个半径为10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮中心为点O 且O 到水面的距离为5 m ，水轮上的点P 到水面的距离为d (单位：m)(P 在水面下则d 为负数)，如果d (单位：m)与时间t (单位：s)之间满足关系式：d ＝A sin(ω t ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2 且当点P 从水面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中错误的是( )A ．A ＝10B ．ω＝2π15C ．φ＝π6D ．k ＝5【答案】C 【解析】由图可知d的最大值为15，最小值为－5，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＋k ＝15，－A ＋k ＝－5，解得A ＝10，k＝5.∵每分钟转4圈，∴函数的周期为15 s ，故ω＝2π15.依题意，可知当t ＝0时，d ＝0，即10 sin φ＝－5，可得φ＝－π6.故选C ．4．(2018年河南一模)据市场调查，某种商品一年内每年出厂价在7万元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2 的模型波动(x 为月份)，已知3月和11月达到最高价9万元，7月份价格最低为5万元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)【答案】A【解析】由题意，得A ＝9－52＝2，b ＝7.周期2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.当x ＝3时，y ＝9，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7＝9，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，3π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)．5．心脏跳动时，血压在增加或减小，心脏每完成一次跳动，血压就完成一次改变，已知某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳次数为________．【答案】80【解析】∵f (t )＝24sin 160πt ＋110，∴T ＝2π160π＝180，∴此人每分钟心跳次数为f ＝1T ＝80.6．(2018年陕西延安黄陵中学期末)某地一天的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .其中6时达到最低温度，14时达到最高温度，函数的部分曲线如图．(1)求这一天的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．【解析】(1)由图象可知，最大温差为30－10＝20(℃)．(2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20.∵12×2πω＝14－6，∴ω＝π8. 将x ＝6，y ＝10代入上式，解得φ＝3π4.综上，所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．7．如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y (单位：m)关于t (单位：min)的解析式； (2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米？【解析】(1)由题意，A ＝50，b ＝60，T ＝3， 故ω＝2π3，故y ＝50sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60.由50sin φ＋60＝10及φ∈[－π，π]，得φ＝－π2， 故y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋60.(2)在一个周期内求即可，令50sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋60＞85，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＞12，故π6＜2π3t－π2＜5π6，解得1＜t＜2.故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．【能力提升】8．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式是s＝3cos⎝⎛⎭⎪⎫glt＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )A．gπB．g2πC．gπ2D．g4π2【答案】D【解析】因为周期T＝2πgl，所以gl＝2πT＝2π，则l＝g4π2.9．电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝A sin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为7120(单位：s)时的电流强度为( )A．0 A B．－5 2 AC．10 2 A D．－10 2 A【答案】A【解析】由图知，A＝10，函数的周期T＝2⎝⎛⎭⎪⎫4300－1300＝150，所以ω＝2πT＝2π150＝100π，将点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10代入I＝10sin(100πt＋φ)，得φ＝π6，故函数解析式为I＝10sin⎝⎛⎭⎪⎫100πt＋π6，再将t＝7120代入函数解析式得I＝0.10．如图，某大风车的半径为2 m，每12 s逆时针旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(单位：s)后与地面的距离为f(t)．(1)求函数f(t)的关系式；(2)经过多长时间点A离地面的距离为1.5 m.【解析】(1)设f (t )＝A cos ωt ＋b ，则A ＝－2，b ＝2.5. 又T ＝12，∴ω＝π6.∴f (t )＝2.5－2cos π6t ，t ≥0.(2)令2.5－2cos π6t ＝1.5，可得cos π6t ＝0.5，∴π6t ＝π3＋2k π或5π3＋2k π(k ∈N )， ∴t ＝2＋12k 或10＋12k (k ∈N )．。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用课时提升作业1 新人教A版必修4
三角函数模型的简单应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )A.f(x)=x+sinxB.f(x)=C.f(x)=xcosxD.f(x)=x··【解析】选C.观察图象知函数为奇函数，排除D，又在x=0时函数有意义，排除B，取x=，由图象知f=0，排除A.【补偿训练】现有四个函数：①y=xsinx；②y=xcosx；③y=x|cosx|；④y=x2x的图象(部分)如下：则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是( )A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①【解析】选A.①y=xsinx为偶函数，对应左数第1图；②y=xcosx为奇函数，但当x>0时，y不恒大于等于0，对应左数第3图；③y=x|cosx|为奇函数，当x>0时y恒大于等于0，对应左数第4图.④y=x·2x对应左数第2图，综上知，A正确.2.(2015·陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10【解析】选C.不妨设水深的最大值为M，由题意结合函数图象可得3+k=M ①k-3=2 ②解之得M=8.【补偿训练】(2014·武汉高一检测)夏季来临，人们注意避暑，如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是( )A.25℃B.26℃C.27℃D.28℃【解析】选C.由题意及函数图象可知，A+B=30，-A+B=10，所以A=10，B=20.因为=14-6，所以T=16.因为T=，所以ω=.所以y=10sin+20.因为图象经过点(14，30)，所以30=10sin+20，所以sin=1，所以可取φ=.所以y=10sin+20，当x=12时，y=10sin+20=10×+20≈27.07≈27.3.(2015·武汉高一检测)如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( )A.mB.mC.mD.4m【解析】选A.CD=ADtan30°=5×=，DE=1.5，所以树高是CD+DE=m.4.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示，则当t=秒时，电流强度是( )A.-5安B.5安C.5安D.10安【解析】选A.由图象知A=10，=-=，所以ω==100π.所以I=10sin(100πt+φ).为五点中的第二个点，所以100π×+φ=.所以φ=.所以I=10sin，当t=秒时，I=-5安.5.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(-x)sinx的大致图象是( )【解析】选A.当x∈时，f∈(0，1)，sinx>0，所以y=f sinx>0，排除C、D；当x∈时f<0，sinx>0，所以y=f sinx<0，排除B，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.【解析】依题意知，a==23，A==5，所以y=23+5cos，当x=10时，y=23+5cos=20.5.答案：20.5【补偿训练】某城市一天的温度θ(℃)波动近似按照θ=20-5sin的规律变化，其中t(h)是从该日0：00开始计时，且t≤24，则这一天的最高气温是________，最低气温是________.【解析】由0≤t≤24知t+∈，当t+=，即t=2时，气温最低θ=20-5=15(℃)，当t+=，即t=14时，气温最高θ=20+5=25(℃).答案：25℃15℃7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0，60]. 【解析】当t=0时，d=0，当0<t<30时，∠AOB=×t=，d=2×5sin∠AOB=10sin，当t=30时，d=10，当30<t<60时，∠AOB=2π-×t=2π-，d=2×5sin∠AOB=10sin=10sin，当t=60时，d=0，综上知d=10sin.答案：10sin8.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为__________.【解析】由最高油价为80美元知A=20.由t=150(天)时达到最低油价知sin=-1，所以ωπ·150+=2kπ+(k∈Z).ω=+(k∈Z)，又ω>0，所以ω的最小值为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)=10-cos t-sin t，t∈[0，24).(1)求实验室这一天上午8时的温度.(2)求实验室这一天的最大温差.【解析】(1)f(8)=10-cos-sin=10-cos-sin=10-×-=10.故实验室这一天上午8时的温度为10℃.(2)因为f(t)=10-2=10-2sin，又0≤t<24，所以≤t+<，-1≤sin≤1.当t=2时，sin=1；当t=14时，sin=-1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.10.如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位，如t=1表示2月1日).(2)估计当年3月1日动物种群数量.【解析】(1)设动物种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0)，则解得A=100，b=800.又周期T=2×(6-0)=12，所以ω==，所以y=100sin+800.又当t=6时，y=900，所以900=100sin+800，所以sin(π+φ)=1，所以sinφ=-1，所以可取φ=-，所以y=100sin+800.(2)当t=2时，y=100sin+800=750，即当年3月1日动物种群数量约是750.【补偿训练】如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°，求A，ω的值和M，P两点间的距离.【解析】依题意，有A=2，=3，又T=，所以ω=，所以y=2sin x，x∈[0，4].所以当x=4时，y=2sin=3.所以M(4，3)，又P(8，0)，所以MP===5(km).即M，P两点间的距离为5km.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·唐山高一检测)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)，若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t=0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解析】选C.因为函数的周期T=60，所以ω==，设函数解析式为y=sin，因为初始位置为P0，所以t=0时y=，所以sinφ=，所以φ可取，所以y=sin.2.(2015·都江堰高一检测)如图，半径为1的圆M切直线AB于O点，射线OC从OA 出发绕着O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交☉M于点P，记∠PMO为x，弓形ONP的面积S=f(x)，那么f(x)的大致图象是( )【解析】选A.由题意得S=f(x)=x-sinx=(x-sinx)，因为f(x)-=-sinx，所以x∈(0，π)时f(x)-<0，f(x)<，f(x)的图象在直线y=下方，x∈(π，2π)时，f(x)->0，f(x)>，f(x)的图象在直线y=上方，所以A图满足题意.【补偿训练】如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则d=f(l)的图象大致是( )【解析】选C.设AP 中点为C ，则d=2AC ， ∠AOC=∠AOP=2l ，所以d=2sin 2l . 二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·成都高一检测)海水受日月的引力作用，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是港口在某季节每天的时间与水深关系的表格： 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深5.07.55.02.55.07.55.02.55.0选用函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)来模拟港口的水深与时间的关系，如果一条货船的吃水深度是4米，安全条例规定至少有2.25米的安全间隙(船底与海洋底的距离)，则该船一天之内在港口内呆的时间总和为________小时.【解析】由题意可得y=2.5sin t+5，则2.5sin t+5≥6.25，sin t ≥，≤t ≤，即1≤t ≤5，该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，在港口内呆的时间总和为4+4=8(小时). 答案：84.一种波的波形为函数y=-sin x 的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________.【解析】函数y=-sin x 的周期T=4.且x=3时y=1取得最大值，因此t ≥7. 所以正整数t 的最小值是7. 答案：7三、解答题(每小题10分，共20分)5.某城市白昼时间的小时数D(t)的表达式为D(t)=3sin+12，其中t表示某天的序号，0≤t≤364，t∈N，t=0表示1月1日，t=1表示1月2日，以此类推.(1)该城市哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？(2)估计该城市一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？【解析】(1)令(t-79)=，得t=170.25，又t∈N，故当t=170时，D(t)取得最大值.又t=170对应的是6月20日(闰年除外).所以该城市6月20日这一天白昼时间最长.令(t-79)=，得t=352.75.又t∈N，故当t=353时，D(t)取得最小值.又t=353对应的是12月20日(闰年除外)，这一天白昼时间最短.(2)令D(t)>10.5，即3sin+12>10.5，所以sin>-，所以-<(t-79)<.所以48.6<t<291.9.又t∈N，所以49≤t≤291，t=49，50，51，…，291，共243天.所以该城市一年中约有243天的白昼时间超过10.5小时.6.(2015·扬州高一检测)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增，下表是今年前四个月的统计情况：月份1月2月3月4月收购价格(元/斤) 6 7 6 5养殖成本(元/斤) 3 4 4.6 5现打算从以下两个函数模型：①y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，-π<φ<π)，②y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系.(1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数解析式.(2)按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损？【解析】(1)①选择函数模型y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，-π<φ<π)拟合收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系，由题得A=1，B=6，T=4，因为T=，所以ω=，所以y=sin+6，y=sin+6的图象过点(1，6)，所以+φ=0，所以φ=-，所以y=sin+6=6-cos x.②选择函数模型y=log2(x+a)+b拟合养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系由题意：y=log2(x+a)+b图象过点(1，3)，(2，4)，所以解得：所以y=log2x+3，(2)由(1)知：当x=5时，y=6-cos x=6-cos=6，y=log2x+3=log25+3<log28+3=3+3=6；当x=6时，y=6-cos x=6-cos3π=6+1=7，y=log26+3<log28+3=3+3=6<7；当x=7时，y=6-cos x=6-cos=6，y=log2x+3=log27+3<log28+3=3+3=6；当x=8时，y=6-cos x=6-cos4π=6-1=5，y=log2x+3=log28+3=3+3=6>5；当x=9时，y=6-cos x=6-cos=6，y=log2x+3=log29+3>log28+3=3+3=6；当x=10时，y=6-cos x=6-cos5π=7，y=log2x+3=log210+3<log216+3=4+3=7；当x=11时，y=6-cos x=6-cos=6，y=log2x+3=log211+3>log28+3=3+3=6；当x=12时，y=6-cos x=6-cos6π=5，y=log2x+3=log212+3>log28+3=3+3=6>5；这说明第8、9、11、12这四个月收购价格低于养殖成本，生猪养殖户出现亏损. 答：今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有可能亏损.。
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用自我检测新人教A版必修4(2021学年)
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1。
6 三角函数模型的简单应用自我小测１.某人的血压满足函数式ｆ(t ）=2４ｓin （１６0πt ）+110，其中f (t )为血压，ｔ为时间，则此人每分钟心跳的次数为( ).A ．60B ．7０ Ｃ．80 D ．902．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后,乙的位置将移至( ).A.甲 B ．乙 C.丙 Ｄ.丁3.若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内,且均为正圆，又知这两种转动同向,如图所示,月相变化的周期为29.5天(如图是相继两次满月时,月、地、日相对位置的示意图).则月球绕地球一周所用的时间T 为( )．A.24．5天B.２9。
5天C.２8．５天 D ．２4天4.(2011山东高考，理6)若函数ｆ（x )=sin ωφ(ω>0）在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω＝( ）． A.3 B ．2 C 。
32 D 。
235．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h （ｍ)在某天２４ h内的变化情况，则水面高度ｈ关于从夜间０时开始的时间t的函数关系式为_＿__＿__＿__．６．一物体相对于某一固定位置的位移y(ｃm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移ｙ和时间t之间的关系的一个三角函数式为__＿_＿_＿___.7.交流电的电压E（单位:伏)与时间ｔ(单位：秒）的关系可用ππ)6E t=+来表示，求:(1）开始时的电压；（2)电压值重复出现一次的时间间隔;(3）电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．８.已知某海滨浴场的海浪高度ｙ(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y＝f(ｔ),下表是某日各时的浪高数据。
高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用教案 新人教A版必修4(1)(2021年
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1。
6 三角函数模型的简单应用1。
知识与技能(1)能根据图象建立解析式.(2）能根据解析式作出图象。
（3）能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。
（4)能利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型。
2.过程与方法通过学习三角函数模型的实际应用，使学生学会把实际问题抽象为数学问题,即建立数学模型的思想方法.3.情感、态度与价值观本节引导学生通过解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力;培养他们的探索精神和应用意识。
重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型。
1.如图为弹簧振子的振动图象。
（1）振动的振幅是 cm，频率是;(2)如果从A点计算起，那么到点止,质点做了一次全振动.解析：∵振动距离最大为2 cm,∴振幅为2 cm,周期T=0.8 s。
∴频率为.∵点A到E点为一个周期.∴A到E，质点做了一次全振动.答案：（1）2(2)E2.如图所示,设单摆小球偏离铅锤方向的角为α(rad),并规定小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t(s）的函数，近似满足关系α=A sin，其中ω>0。
「精品」高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用同步优化训练新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.函数y=sin ｜x ｜的图象( )A.关于x 轴对称B.关于原点对称C.关于y 轴对称D.不具有对称性解析：∵sin｜-x ｜=sin ｜x ｜，∴y=sin｜x ｜为偶函数，故y=sin ｜x ｜的图象关于y 轴对称. 答案：C2.初速度为v 0，发射角为θ，则炮弹水平移动的距离s 与v 0之间的关系式(t 是飞行时间)为( ) A.s=|v 0t| B.s=|v 0|·sin θ·t C.s=|v 0|·sin θ·t 21-|g|·t 2D.s=|v 0|·cos θ·t 解析：由速度的分解可知炮弹水平移动的速度为v 0·cos θ，如图,故炮弹水平移动的距离为|v 0|·cos θ·t.答案：D3.在200米高山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.3400米 B.33400米 C.33200米 D.3200米 解析：如图，设塔高为h 米，则200tan30°=(200-h)tan 60°，∴h=3400米.答案：A10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.图1-6-1中哪一个图象准确描述了某物体沿粗糙斜面滑下时的加速度a 和斜面倾斜角θ之间的关系(摩擦因数不变)( )图1-6-1解析：由物理知识可知，当斜面倾斜角θ比较小时，物体处于静止状态，加速度为0.故排除选项A 、B.根据受力分析，受到的合外力F=mgsin θ-μmgcos θ.∴a=g(sin θ-μcos θ)=21μ+g sin(θ-φ)(其中tan φ=μ).故选D 项. 答案：D2.如图1-6-2所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为β=1°，若θ很小时，可取sin θ≈θ，试估算BC 的值约为( )图1-6-2A.70 cmB.86 cmC.102 cmD.118 cm解析：1°=180π.在Rt△ACD 中，AC=BCD sin . 在Rt△ABC 中，AC=BACBC∠sin .∴B CD sin =BACBC ∠sin . ∴BC=180sin 30sin 3sin sin π︒=∠∙B BAC CD =3×21×180π≈86.答案：B3.图1-6-3是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是____________________.图1-6-3解析：设函数解析式为y=Asin(ωx+φ)，则A=2，由图象可知T=2×(0.5-0.1)=54，∴ω=Tπ2=25π,∴25π×0.1+φ=2π.∴φ=4π.∴函数的解析式为y=2sin(25πx+4π).答案：y=2sin(25πx+4π)4.甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________________________. 解析：如图，甲楼的高度AC=AB=60米，在Rt△CDE 中，DE=CE·tan30°=60×32033=. ∴乙楼的高度为BD=BE-DE=32060-米. 答案：32060-5.一树干被台风折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为_______. 解析：如图，BC=20tan30°=3320， AB=334060sin =︒AC ，所以树干原来的高度为AB+BC=320(米). 答案：320米6.如图1-6-4，某人身高a=1.77米，在黄浦江边测得对岸的东方明珠塔尖的仰角α=75.5°，测得在黄浦江中塔尖倒影的俯角β=75.6°，求东方明珠的塔高h.图1-6-4解：设黄浦江的宽为b 米，则b·tan α=h-a,b·tan β=h+a. 消去b 得h=αβαβtan tan tan tan -+·a=)sin()sin(αβαβ-+·a.当α=75.5°，β=75.6°，a=1.77米时，h=490.1米.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.一剪刀剪出一条正弦曲线.把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈.用剪刀斜着将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线.你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！请你来证明这一事实.证明：如图(1)，设纸筒底面半径为1单位长，截面(椭圆面)与底面所成的二面角为θ(定值)，截口的中心为O′.(1)过O′作圆柱的直截面，交截口曲线于两点.取其中一点为O，在过点O且与圆柱侧面相切的平面内，以点O为坐标原点建立直角坐标系，使得Oy轴是圆柱的一条母线.设点P是截口曲线上任意一点，点Q是点P在⊙O′所在平面内的射影，过Q作QH⊥O′O，垂足为H，连结PH，则∠PHQ是截面与底面所成二面角的平面角，所以∠PHQ=θ.又设∠QO′O=α(变量).在图(2)中，设P点坐标为(x，y)，以下分别计算P点的横坐标和纵坐标.(2)x=OQ′==α，y=Q′P=QP=QH·tanθ，而在Rt△QHQ′中，QH=sinα，所以y=tanθ·sinα.令A=tanθ(定值)，则有y=Asinα.这就证明了截口曲线是一条正弦曲线.2.水车问题.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，图1-6-5是一个水车的示意图，它的直径为3 m，其中心(即圆心)O距水面1.2 m.如果水车每4 min逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h(m)是一个变量，显然，它是时间t(s)的函数.我们知道，h与t的函数关系反映了这个周期现象的规律.为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始记时(t=0).首先，设法用解析式表示出这个函数关系，并用“五点法”作出这个函数在一个周期内的简图.图1-6-5其次，我们讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？解：不妨设水面的高度为0，当P点旋转到水面以下时，P点距水面的高度为负值.如图，设水车的半径为R，R=1.5 m,水车中心到水面的距离为b，b=1.2 m；∠QOP为α；水车旋转一圈所需的时间为T ；单位时间(s)旋转的角度(rad)为Tπ2. 过P 点向水面作垂线，交水面于M 点，PM 的长度为P 点的高度h. 过水车中心O 作PM 的垂线，交PM 于N 点，∠QON 为φ.从图中不难看出：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b. ①用ω表示单位时间(s)内水车转动的角度(rad)，这样，在t 时刻水车转动的角度为：α=ωt. 因为单位时间内水车转动的角度是ω，所以转一圈所用的时间T=ωπ2.又由于水车轮每4 min 转3圈，水车旋转一圈所需时间为T=80 s ，可求出ω=40πrad/s.从图中可以看出：sin φ=5.12.1， 所以φ≈53.1°≈0.295π rad.把这些参数代入①，我们就可以得到h=1.5 sin(40πt-0.295π)+1.2(m)， ②这就是P 点距水面的高度h 关于时间t 的函数关系式.因为当P 点旋转到53.1°时，P 点到水面的距离恰好是1.2(m)，此时t=360801.53⨯≈11.8(s).故可列表、描点，画出函数在区间［11.8，918.］上的简图：如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O 与水面之间的距离发生改变，而使函数解析式中所加参数b 发生变化.水面上涨时，参数b 减小；水面回落时，参数b 增大.如果水车轮转速加快，将使周期T 减小；转速减慢，则使周期T 增大. 3.三角函数的叠加问题. 在交流电、简谐振动及各种“波”等问题的研究中，三角函数发挥了重要的作用.在这些实际问题中，经常会涉及“波”的叠加，在数学上常常可以归结为三角函数的叠加问题.设y 1=3sin(2t+2π)，y 2=4sin2t 表示两个不同的正弦“波”，试求它们叠加后的振幅、周期. 解：它们叠加后的函数是：y=y 1+y 2=3sin(2t+2π)+4sin2t=3cos2t+4sin2t=2243+(53cos2t+54sin2t)=5sin(2t+φ)(其中tan φ=43).所以，叠加后的函数的振幅为5，周期仍为π， 即叠加后的“波”的振幅为5，周期仍为π.4.电流I 随时间t 变化的关系式是I=Asin ω t ，t∈［0，+∞).设ω=10π rad/s ，A=5. (1)求电流I 变化的周期；(2)当t=0，2001，501,2003,1001(单位s)时，求电流I. 解：(1)周期为ωπ2=ππ102=51.(2)把t 、A 值分别代入，求出I 值.当t=0时，I=0；当t=2001时，I=5sin 20π；当t=1001时，I=5sin 10π；当t=2003时，I=5sin 203π；当t=501时，I=5sin 5π.5.弹簧振子的振动是简谐运动,下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s 之间的对应数据,根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式.由散点图的形状可知：弹簧振子的位移与时间的关系可用s=Asin(ω t+φ)来刻画.由图知A=20.2T=6t 0. ∴T=12t 0.∴ω=06122t t ππ=.于是s=20sin(6t tπ+φ). 又图象过(6t 0,20)点， ∴0066t t ⨯π+φ=2π.∴φ=-2π. ∴s=20sin(06t t π-2π).t ∈［0,+∞). 6.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化. (1)画出种群数量关于时间变化的图象；(2)求出种群数量关于时间t 的函数表达式(其中t 以年初以来的月为计量单位). 解：(1)种群数量关于时间变化的图象如图所示：(2)设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+k ，由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月， 所以振幅A=2200=100，即ω=122π=6π,k=800. 又7月1日种群数量达到最高， ∴6π×6+φ=2π.∴φ=-2π. ∴种群数量关于时间t 的函数表达式为y=100sin 6π(t-3)+800. 快乐时光聪明的乡下人一个城里人与一个乡下人同坐火车．城里人说：“咱们打赌吧！谁问一样东西，对方不知道，就付一块钱．”乡下人说：“你们城里人比我们乡下人聪明，这样赌我要吃亏．这样吧，要是我问，你不知道，你输给我一块钱；你问，我不知道，我输给你半块钱．”城里人自恃见多识广，觉着吃不了亏，就答应了．乡下人问：“什么东西三条腿在天上飞？”城里人答不上来，输了一块钱．之后，城里人向乡下人问了同样的问题．“我也不知道．”乡下人老实地承认，“这半块钱给你．”。
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1.6 三角函数模型的简单应用
更上一层楼
基础•巩固
1.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x ，都有f(x+
4π)=f(4π-x)，则f(4
π
)等于( ) A.0 B.3 C.-3 D.3或-3 思路分析：由f(x+
4π)=f(4π-x)，可知函数f(x)关于直线x=4π对称，所以f(4
π
)=±3. 答案：D
2.设函数y=sin(ωx+φ)+1(ω＞0)的一段图象如图1-611所示，则周期T 、初相φ的值依次为( )
A.π，12
7π-
B.2π，67π
C.π，67π-
D.2π，12
7π
-
图1-6-11
思路分析：T=2(
65π-3π)=π，所以.222===
π
π
πωT 此时y=sin(2x+φ)+1，因为(3
π
，0)是使函数f(x)=sin(2x+φ)取最小值的点，所以2x+φ=2π- +2k π，φ=-2×3π-2
π+2k π=67π- +2k π，k∈Z ，可取φ=67π
-.
答案：C
3.已知函数y=f(x)的图象如图1-6-12，则函数y=f(2
π
-x)sinx 在［0，π］上的大致图象是( )
图1-6-12
图1-6-13
思路分析：当0＜x ＜2π时，0＜2π-x ＜2π，显然y=f(2
π
-x)sinx ＞0，排除C 、D ； 当2π＜x ＜π时，022<<-ππ，显然y=f(2
π
-x)sinx ＜0，排除B. 所以只有A 符合题意.
答案：A
4.已知函数f(x)=k
x
πsin
3的图象上相邻的一个最大值与一个最小值点恰好在圆x 2+y 2=k
2
上，则f(x)的最小正周期是( )
A.1
B.2
C.3
D.4 思路分析：由三角函数的周期性可知点(
3,2
k )在圆x 2+y 2=k 2上，所以222)3()2(k k
=+.
解得k=±2.此时，函数的最小正周期是4||2|
|2===
k k T π
π
.
答案：D
5.函数y=21sin(2x+6
π
)与y 轴最近的对称轴方程是K__________. 思路分析：函数y=21sin(2x+6π)的对称轴方程是2x+6π=k π+2π，即x=21k π+6
π
，k∈Z ，
显然k=0时，x=6
π
，它离y 轴最近. 答案：x=
6π 6.函数y=31sin(kx+3
π
)的周期为T ，且T∈(1，3)，则最大正整数k=___________.
思路分析：由题意可知1＜k
π
2＜3，因为k∈N ，所以k=3，4，5，6.此时k=6.
答案：6
综合•应用
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π
)的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0+3π，-2). (1)求f(x)的解析式；
(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的3
1
倍(纵坐标不变)，然后再将所得图象向x 轴正方向平移
3
π
个单位，得到函数y=g(x)的图象.写出函数y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解：(1)由题意可知A=2，T=2［(x 0+3π)-x 0］=6π.
又由ω＞0，
ωπ2=6π，得ω=31，此时f(x)=2sin(3
1
x+φ). 又因为该函数经过点(0，1)，所以2sin φ=1，即sin φ=2
1
因为|φ|＜2π，所以φ=6
π. 所以f(x)=2sin(31x+6
π
).
(2)由题意知g(x)=2sin(x-6
π
)，该函数的周期T=2π，我们先画出它在长度为一个周期的
闭区间上的简图.
图1-6-14
8.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(2
2
π
ϕπ
<
<-)，ω＞0，给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x=
12π对称；②它的图象关于点(3
π
，0)对称； ③它的周期是π；④它在区间［6
π
-，0］上是增函数.
以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对
其中一个命题加以证明.
解：由题可知：若①③成立，则②④成立；若②③成立，则①④成立.
现在我们以①③为条件求出函数解析式，证明②④成立.因为该函数的周期是π，所以ω=
π
π
2=2. 又因为该函数关于直线x=12π对称，所以当x=12
π时，y 取最值. 由sin(2×12π+φ)=1或sin(2×12π+φ)=-1，22πϕπ<<-，得φ=3
π
.
所以f(x)=sin(2x+3
π
).
当x=3π时，因为f(3π)=sin(2×3π+3
π
)=sin π=0，所以②成立；
当x∈［-6π，0］时，因为(2x+3π)∈［0，3π］，所以f(x)=sin(2x+3
π
)是增函数，即④成
立，即若①③成立，则②④成立.
回顾•展望
9.(2006海南统考) 设关于x 的方程sin(2x+6π)=21+k 在［0，2
π
］内有两个不同根α、
β，求α+β的值及k 的取值范围.
思路分析：可在同一坐标系中画出函数y=sin(2x+6
π)及21+=k y 的图象，借助于图象的直
观性求解.
解：设C ：y=sin(2x+
6
π)，l ：21
+=k y ，在同一坐标系中作出它们的图象如下图.
由图易见当
12
1
21<+≤k 时，即0≤k＜1时，直线l 与曲线C 有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可看出α、β关于x=3
π对称，故α+β=32π
.
综上,可知0≤k＜1，且α+β=3
2π
.。