黑龙江省大庆中学2020届高三数学上学期开学验收考试试题文

大庆中学2019-2020学年度上学期开学验收考试高三年级数学试题（文科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分) 1．已知集合{}{}21,2,4,8,|log ,A B y y x x A ===∈，则AB =（ ）A ．{}12， B ．{}0123，，， C ．{}123，， D ．{}03，2．已知复数z 满足1i1i 2z +=--，则z =( ) ABCD ．53．已知||1,||1a b ==，a 与b 夹角为3π，则a b -与b 的夹角为（ ） A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．150︒4．若函数{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且2436a a =-，则9S = （ ） A ．54B ．50C ．27D ．255．已知双曲线2221y x b-=，则该双曲线的离心率为（ ）AB ．2C ．3D ．46．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ）A ．9B ．11C ．13D ．157．若x y ，满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数3z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1C ．7-D ．3-8．如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的18a =，42b =，则输出的a =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．89．设0a >，0b >，若3a 与3b 的等比中项，则14a b+的最小值为（ ）A ．2B ．83C ．3D ．10．函数()cos 2f x x =的周期是T ，将()f x 的图像向右平移4T个单位长度后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ）.A ．最大值为1，图像关于直线2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图像关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．设F 为抛物线的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若，则 A ．6 B ．9 C ．3 D ．412．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x ¢，且有()()23xf x x f x >+'，则不等式()()()382014201420f x x f +++->的解集为（ ） A ．(),2016-∞-B ．()2018,2016--C ．()2018,0-D ．(),2018-∞-二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分)13．中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为_______.14．已知圆C ：221x y +=，直线l ：(2)y k x =+，在[1,1]-上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为____.15．已知各项均为正数的数列满足：，则________________．16．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点．下列结论中，正确结论的序号是______．①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②B 1D 1∥平面EFG ； ③BD 1⊥平面ACB 1；④异面直线EF 与BD 1所成角的正切值为2； ⑤四面体ACB 1D 1的体积等于12a 3三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18---22题每题12分，共70分)17．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD⊥平面ABCD ，AB=2，BC=1，PC PD ==E 为PB 中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE ； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC ； （Ⅲ）求三棱锥E-ABC 的体积．19．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如下：（1）网箱产量不低于40kg 为“理想网箱”，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关：（2）已知旧养殖法100个网箱需要成本50000元，新养殖法100个网箱需要增加成本15750元，该水产品的市场价格为x 元/()15kg x ≥，根据箱产量的频率分布直方图（说明：同一组中的数据用该组区间的中间值作代表），采用哪种养殖法，请给养殖户一个较好的建议，并说明理由． 附参考公式及参考数据：()()()()()20n ad bc k a b c d a c b d -=++++20．已知12F F 、是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆E 的离心率为12，过原点O的直线交椭圆于C D 、两点，若四边形12CF DF 的面积最大值为 （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 与椭圆E 交于,A B 且OA OB ⊥，求证：原点O 到直线l 的距离为定值．21．已知函数()()21222xf x x e x x =--++. （1）求函数()f x 的单调区间和极值； （2）证明：当1x ≥时，()31162f x x x >-.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的普通方程为y =，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求直线l 的参数方程和极坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||OA OB +大庆中学2018----2019学年度下学期期末考试 高二年级 文科数学答案1 A2 C3 C4 C5 B6 B7 C8 C9 C 10 B 11 A 12 A 1314315 16 ①③④ 17．（1）5BC =（2）2450-解：（1）因为cos 10B =，0B π<<，所以sin 10B ===. 在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )1021025B C B C ⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭， 于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭24172425225250-⎛⎫=⨯+-=⎪⎝⎭. 18．（I ）见解析；（II ）见解析；（III ）16解：（I ）连结BD 交AC 于F ，连结EF ．因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点．又因为E 为PB 中点，所以//PD EF ．因为PD ⊄平面ACE ，EF ⊂平面ACE ，所以//PD 平面ACE ．（II ） 因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥．又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD CD =， 所以BC ⊥平面PCD ．因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥．因为2PC PD CD AB ====，所以222PC PD CD +=，即PD PC ⊥．因为BC PC C =，BC ，PC ⊂平面PBC ， 所以PD ⊥平面PBC ．（III ））取CD 的中点M ，连结PM ，因为2PC PD CD AB ====，M 是CD 的中点，所以PM CD ⊥，且1PM =，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PM ⊂平面PCD ，平面PCD ∩平面ABCD CD =， 所以PM ⊥平面ABCD ，因为E 为PB 中点， 所以1111121122326E ABC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=． 所以三棱锥E ABC -C 的体积为16．19．（1）列联表见解析；有99.9%的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关；（2）当市场价格大于30元/kg 时，采用新养殖法；等于30元/kg 时，两种方法均可；小于30元/kg 时，采用旧养殖法.解：（1）由频率分布直方图可知：箱产量40kg <的数量：旧养殖法：()0.0120.0140.024510025++⨯⨯=；新养殖法：0.00451002⨯⨯=箱产量40kg ≥的数量：旧养殖法：1002575-=；新养殖法：100298-= 可填写列联表如下：则：()2200982575222.65010.82827173100100k ⨯-⨯==⨯⨯⨯＞∴有99.9%的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关（2）由频率分布直方图可得： 旧养殖法100个网箱产量的平均数：(127.50.01232.50.01437.50.02442.50.03447.50.0452.50.032x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+)57.50.0262.50.01267.50.012547.1⨯+⨯+⨯⨯=新养殖法100个网箱产量的平均数：(237.50.00442.50.0247.50.04452.50.06857.50.04662.50.01x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+)67.50.008552.35⨯⨯=设新养殖法100个网箱获利为()f x()()52.351006575052356575015f x x x x ∴=⨯-=-≥设旧养殖法100个网箱获利为()g x()()47.11005000047105000015g x x x x ∴=⨯-=-≥令()()f x g x =，解得：30x =即当30x >时，()()f x g x >；当30x =时，()()f x g x =；当30x <时，()()f x g x <∴当市场价格大于30元/kg 时，采用新养殖法；等于30元/kg 时，两种方法均可；小于30元/kg 时，采用旧养殖法.20．（1）22143x y +=（2）见解析 解：（1）由椭圆的离心率为12知， 1,22c a c a ==， ∴22223b a c c =-=，∴b =， 又四边形12CF DF面积最大值为2bc =，∴2=1,2,c a b ===所以椭圆E 的方程为22143x y +=； （2）当直线l 的斜率k 存在时，设()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+， 由22{3412y kx mx y =++=得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k --+==++，因为OA OB ⊥，所以·0OAOB=，即()()22121212121x x y y k x x km x x m +=++++ ()22222222224128712121?0343434m k m m k k m k k k---=+-+==+++， 所以()221217m k =+，原点O 到直线l的距离7d ==； 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x m =，则,,A m B m ⎛⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由OA OB ⊥得()223404m m--=，解得7m =，所以此时原点O 到直线l 的距离为7． 综上可知，原点O 到直线l 的距离为定值7． 21．（1）见解析（2）见解析解：（1）由题意，函数()()21222xf x x e x x =--++，可得定义域(),-∞+∞， ()()()11x f x x e '=--，令()0f x '=得0x =或1x =，可得()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以函数的单调递增区间是()(),0,1,-∞+∞；单调递减区间是()0,1， 当()0,x f x =有极大值()00f =，当()1,x f x =有极小值()512f e =-． （2）令()()31162g x f x x x =-+，则()()13122x g x x e x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭， 设()1322xh x e x =--，则()12x h x e '=-， 当1x ≥时，()102xh x e '=->恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上是增函数， 所以()()120h x h e ≥=->，又因为1,10x x ≥-≥，所以()()131022xg x x e x ⎛⎫'=---≥ ⎪⎝⎭， 所以()()31162g x f x x x =-+在[)1,+∞上是增函数， 所以()()17106g x g e ≥=->，也就是()311062f x x x =+>， 即当1x ≥时，()31162f x x x >-． 22．(Ⅰ) 直线l 的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) 极坐标方程为π3θ=(R ρ∈) (Ⅱ)5公众号！ 解:(Ⅰ)直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) 极坐标方程为π3θ=(R ρ∈) (Ⅱ)曲线C 的普通方程为22(2)9x y -+=将直线l 的参数方程代入曲线22:(2)9C x y -+=中，得2250t t --=， 设点,A B 对应的参数分别是12,t t ，则122t t +=，125t t =-12121212121111||||t t t t OA OB t t t t t t +-∴+=+====⋅。