2010中考反比例函数解答题

2010中考反比例函数

（河北省22）如图13，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ．

（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标；

（2）若反比例函数x

m

y =

（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上；

（3）若反比例函数x

m

y =

（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围．

22．解：（1）设直线DE 的解析式为b kx y +=，

∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ⎩⎨⎧+==.60,

3b k b

解得 ⎪⎩⎪⎨⎧

=-=.

3,

21b k ∴ 321+-=x y ．

∵ 点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形， ∴ 点M 的纵坐标为2．

又 ∵ 点M 在直线32

1

+-=x y 上，

∴ 2 = 32

1

+-x ．∴ x = 2．∴ M （2，2）

． （2）∵x

m y =

（x ＞0）经过点M （2，2），∴ 4=m ．∴x y 4=.

又 ∵ 点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4． ∵ 点N 在直线32

1

+-=x y 上， ∴ 1=y ．∴ N （4，1）．

∵ 当4=x 时，y =

4x = 1，∴点N 在函数 x

y 4

= 的图象上．

（3）4≤ m ≤8．

(福建省泉州市)25．（12分）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你

可以利用这一结论解决问题.

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x 轴所在的直线绕着原点O 逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数x

y 3

=

的图象分别交于第一、三象限的点B 、D ，已知点)0,(m A -、)0,(m C .

（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD 的形状一定是 ;

（2）①当点B 为)1,(p 时，四边形ABCD 是矩形，试求p 、α、和m 有值；

②观察猜想：对①中的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有几个？(不必

说理)

（3）试探究：四边形ABCD 能不能是菱形？若能, 直接写出B 点的坐标, 若不能, 说明理由.

25.（本小题12分） 解：（1）平行四边形

…………（3分）

（2）①∵点)1,(p B 在x

y 3

=

的图象上，∴p

31=

∴3=p ………………………………（4分） 过B 作E x BE 轴于⊥，则13==，BE OE

在BOE Rt ∆中，33

3

1tan =

==

OE BE α α=30° ……………………………………………………………（5分）

∴2=OB

又∵点B 、D 是正比例函数与反比例函数图象的交点，

∴点B 、D 关于原点O 成中心对称 ………………………………………（6分）

∴OB=OD=2

∵四边形ABCD 为矩形，且)0,(m A - )0,(m C

∴2====OD OC OB OA ………………………………………………………（7分） ∴2=m ； ……………………………………………………………（8分） ②能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有2个； ………………………………（9分） （3）四边形ABCD 不能是菱形. ……………………………………………（10分） 法一：∵点A 、C 的坐标分别为)0,(m -、)0,(m

∴四边形ABCD 的对角线AC 在x 轴上.

又∵点B 、D 分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点. ∴对角线AC 与BD 不可能垂直. ∴四边形ABCD 不能是菱形

法二：若四边形ABCD 为菱形，则对角线AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相平分， 因为点A 、C 的坐标分别为（-m ，0）、（m ，0）

所以点A 、C 关于原点O 对称，且AC 在x 轴上. ……………………………………（11分）

所以BD 应在y 轴上，这与“点B 、D 分别在第一、三象限”矛盾，

所以四边形ABCD 不可能为菱形. ……………………………………………………（12分）

（2010北京市）23. 已知反比例函数y =

x

k

的图像经过点A (-3，1)。 (1) 试确定此反比例函数的解析式；

(2) 点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30︒得到线段OB 。判断点B 是否在此反比例函数的图像上，并说明理由；

(3) 已知点P (m ，3m +6)也在此反比例函数的图像上(其中m <0)，过P 点作x 轴的垂线，交 x 轴于点M 。若线段PM 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是2

1

，设Q 点的纵坐标为n ， 求n 2-23n +9的值。 23. 解：(1) 由题意得1=

3

-k ，解得k = -3，∴反比例函数的解析式为y = -

x

3； (2) 过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，在Rt △AOC 中，OC =3， AC =1，可得OA =22AC OC +=2，∠AOC =30︒，由题意，∠AOB =30

OB =OA =2，∴∠BOC =60︒，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点D 。 在Rt △BOD 中，可得BD =3，OD =1，∴B 点坐标为(-1，3)， 将x = -1代入y = -x

3

中，得y =3，∴点B (-1，3)在反比例函 数y = -

x 3

的图像上。 (3) 由y = -x 3得xy = -3，∵点P (m ，3m +6)在反比例函数y = -x

3

的图像上，其中

m <0，

∴m (3m +6)= -3，∴m 2+23m +1=0，∵PQ ⊥x 轴，∴Q 点的坐标为(m ，n )。