2018届福建省师大附中高三上学期期中考试理科数学试卷及答案 精品
福建师大附中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
![福建师大附中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/e7c6017c804d2b160a4ec017.png)
福建师大附中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是则几何体的体积为( )34意在考查学生空间想象能力和计算能R ∈,均有210x ->” ,n αβ⊂,m n ⊥则αβ⊥=t ,若∠ACD=60°,则t 的值为( )A 的取值范围是( )1111]A .(0,]6 B .[,)6π C. (0,]3π D .[,)3ππ 5. 函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数,且在02[,]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x ì-#ï=íp <?ïî,则1741()()46f f +=( ) A .716 B .916 C .1116 D .1316【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识,意在考查转化和化归思想和基本运算能力.6. 正方体1111D ABC A B C D - 中,,E F 分别为1,AB B C 的中点,则EF 与平面ABCD 所成角的正 切值为( )A .B .2 C.12 D .227. 函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为( ) A .2sin(2)3y x π=+B .22sin(2)3y x π=+C .2sin()23x y π=-D .2sin(2)3y x π=-8. 设a ,b 为正实数,1122a b+≤,23()4()a b ab -=,则log a b =( )A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识,意在考查代数变形能与运算求解能力. 9. 下列正方体或四面体中,P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图形是 ( )10.一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M 是边AB 上的动点,记四面体FMC E -的体积为1V ,多面体BCE ADF -的体积为2V ,则=21V V ( )1111] A .41 B .31 C .21D .不是定值,随点M 的变化而变化11.已知圆M 过定点)1,0(且圆心M 在抛物线y x 22=上运动,若x 轴截圆M 所得的弦为||PQ ,则弦长||PQ 等于( )A .2B .3C .4D .与点位置有关的值【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质,对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高,难度较大. 12.复数121ii-+在复平面内所对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在横线上)13.已知x ,y 为实数,代数式2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识,意在考查构造的数学思想与运算求解能力.14.已知函数21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩,()21x g x =-,则((2))f g = ,[()]f g x 的值域为 .【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识,意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.15.在极坐标系中,O 是极点,设点A ,B 的极坐标分别是(2,),(3,),则O 点到直线AB的距离是 . 16.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边,若C a A c cos sin -=,则3s i n c o s ()4A B π-+的取值范围是___________. 【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质,意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想.三、解答题(本大共6小题,共70分。
福建省师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
![福建省师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/b34737162f60ddccda38a04e.png)
福建省师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(平行班)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.若a<b<0,则()A. B. C. D.2.从编号为001,002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应该为()A. 480B. 481C. 482D. 4833.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”;事件Q表示“取出的都是白球”;事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”.则下列结论正确的是()A. P与R是互斥事件B. P与Q是对立事件C. Q和R是对立事件D. Q和R是互斥事件,但不是对立事件4.A,B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示,若A,B两人的平均成绩分别是x A,x B,观察茎叶图,下列结论正确的是()A. ,B比A成绩稳定B. ,B比A成绩稳定C. ,A比B成绩稳定D. ,A比B成绩稳定5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为()A. 24里B. 12里C. 6里D. 3里6.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若a3+a9=27-a6,则S11=()A. 18B. 99C. 198D. 2977.已知正实数x,y满足,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图,若输出的S=88,则判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.9.若关于x的不等式x2+mx+2>0在区间[1,2]上有解,则实数m的取值范围为()A. B. C. D.10.已知x,y满足约束条件,若的最大值为2,则m的值为()A. 4B. 5C. 8D. 911.某个泊位仅供甲乙两艘轮船停靠,甲乙两艘轮船都要在此泊位停靠6小时.若他们在一昼夜的时间段中随机地到达,则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率()A. B. C. D.12.在△ABC中,D是边BC上一点,AB=AD=AC,cos∠BAD=,则sin C=()A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.设x,y满足约束条件,则z=2x-y的最大值为______.14.下列说法错误的是______.①.如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题.②.命题p:∃x0∈R,x02-2x0+4<0,则¬p:x2-2x+4≥0③.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是:“若a≠0,则ab≠0”④.特称命题“∃x∈R,使-2x2+x-4=0”是真命题.15.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=,a=2,则b+c的最大值是______16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且a=2,A=60°,若三角形有两解,则b的取值范围为______三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.设p:≤1,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)<0,若¬q是¬p的必要不充分条件,求实数a的取值范围.18.一次测试中,为了了解学生的学习情况,从中抽取了n个学生的成绩(满分为100分)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图(图1),并作出样本分数的茎叶图(图2)(图中仅列出得分在[50,60),[90,100]的数据).(1)求样本容量n和频率分布直方图中x,y的值;(2)现从在[80,90)和[90,100]的两组的成绩中随机抽取2个,求它们属于同一组的概率.19.在△ABC中,∠B=,AB=4,点D在BC上,且CD=3,cos∠ADC=.(I)求sin∠BAD;(Ⅱ)求BD,AC的长.20.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=1-(n∈N*).(1)设b n=,求证:数列{b n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式;(2)设c n=,求数列{c n c n+1}的前n项和T n.21.新能源汽车的春天来了!2018年3月5日上午,李克强总理做政府工作报告时表示,将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年,自2018年1月1日至2020年12月31日,对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车,他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如表:(1)经分析,可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y(万辆)与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程,并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量;(2)2018年6月12日,中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大,某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:差s2及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替;估计值精确到0.1);(ii)将频率视为概率,现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人,记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).参考公式及数据:①回归方程,其中,;②.。
福建省师大附中届高三上学期期中考试word版(数学理).pdf
![福建省师大附中届高三上学期期中考试word版(数学理).pdf](https://img.taocdn.com/s3/m/f00c620b7e21af45b307a8ab.png)
福建省师大附中 2012届高三期中考试 数学试题(理) (满分:150分,时间:120分钟) 说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.选择题:(每小题5分,共0分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求),集合,,那么集合( ) A. B. C.D.的共轭复数为 ( ) A.IB. C.D.、的前13项之和为,则等于( ) . . . . 4、,则“”是 “”的( ) A. B.C. D.、为的重心,设,则=( ) A. C. D.、:,,则( ) .是假命题,: .是假命题,: .是真命题,:, .是真命题,: 7、曲线处的切线的斜率为( ) A. B. C. D.、函数(其中)的图象如图所示,为了得到的图像,则只将的图像 A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位是单位圆上的一定点,动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点所旋转过的弧的长为,弦的长为,则函数的图象大致是( ) 10、在中..则A的取值范围是( ) A.0,] B.(0,] C.[,) D.[) 11、如下图所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有个点,每个图形总的点数记为,则( ) A. C. D.,若存在区间(其中),使得则称区间M为函数的一个“稳定区间”。
给出下列4个函数:①②③④其中存在“稳定区间”的函数有( ) A.①③ B.①②③④ C.②④ D.①②③ 二、填空题:(本大题小题,每小题分,共分,答案填在答卷上)已知单位向量,的夹角为,那么的值域是. 15、已知 的一个内角为,并且三边长构成公差为4的等差数列,则的面积为_______________.的部分图像如图所示,若图中阴影部分的面积为,则的值是 . 17、若函数最多有两个零点,则实数m的取值范围是 . 18、 已知数列的各项都是为整数,其前项和。
若点在函数或的图象上,且当为偶数时,,则=。
福建省师大附中高三数学上学期期中试题 理
![福建省师大附中高三数学上学期期中试题 理](https://img.taocdn.com/s3/m/60b645f669dc5022aaea0097.png)
福建师大附中2014-2015学年第一学期期中考试卷高三数学 (理科)本试卷共4页. 满分150分,考试时间120分钟.注意事项:试卷分第I 卷和第II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分 一、选择题:本大题有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设集合{}23,log P a =,{}Q ,a b =,若{}Q=0P I ,则Q=P U ( ****** ) A .{}3,0 B . {}3,0,1 C .{}3,0,2 D .{}3,0,1,2 2.已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ******** ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>3.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===r r r,且(23)a b c -⊥r r r ,则实数k =( *******)9.2A -.0B .C 3 D.1524.直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( *******) A. 2 B. 4 C. 22 D.24 5.下列有关命题的说法正确的是 ( ****** ) A .若p 且q 为假命题,则p ,q 均为假命题 ; B .“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的充分不必要条件;C .命题“x R ∃∈,使得210x x ++<”的否定是:“x R ∀∈, 均有210x x ++<”;D .命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.6.函数)22(cos log )(21ππ<<-=x x x f 的图象大致是( ******* )7.设i r ,j r 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量,且OA u u u r =4i r +2j r ,OB u u u r =3i r +4j r,则△OAB 的面积等于( ******* )A.15B.10C. 7.5D.5 8.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象,只需将函数sin(2)y x =的图象( *******)A .左移12π个单位B .右移12π个单位C .左移512π个单位D .右移512π个单位9.已知函数1cos sin 32sin 2)(2-+=x x x x f 的图象关于点(ϕ,0)对称,则 ϕ的值可以是( ***** ) A. 6π-B. 6πC. 12π D. 12π10.已知函数x x x f cos sin )(-=,若)(x f '是()f x 的导函数,且满足)(2)(x f x f =',则=-+xx x2sin cos sin 122( ******* )A .3-B .3C .519 D .519- 11.定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且在[-3,-2]上是减函数,βα,是钝角三角形的两个锐角,则下列不等式关系中正确的是( ******) A .(sin )(cos )f f αβ< B .(cos )(cos )f f αβ< C .(cos )(cos )f f αβ> D .(sin )(cos )f f αβ>12.已知函数1log )(2-=x x f ,且关于x 的方程0)()]([2=++b x af x f 有6个不同的实数解,若最小实数解为3-,则b a +的值为( ******* ) A .3- B .2- C .0 D .2第Ⅱ卷 共90分二、填空题:本大题有5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答卷的相应位置.13.设20πθ<<,向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==r r ,,,,若b a ρρ//,则=θtan _******______.14.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数,当[1,1)x ∈-时,242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩,则3()2f =_******__. 15.如图在平行四边形ABCD 中,已知8,5AB AD ==,3,2CP PD AP BP =⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v,则AB AD ⋅u u u v u u u v的值是_******__.16.若函数32()3f x x ax x =--在区间[1,)+∞是增函数,则实数a 的取值范是_******__. 17.对于函数()f x 与()g x 和区间D ,如果存在0x D ∈,使00()()1f x g x -≤,则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”.现给出两个函数:①2()f x x =,22)(-=x x g ; ②()f x x =,()2g x x =+;③xx f -=e)(,1()g x x=-; ④()f x ln x =,x x g =)(,则在区间()0,+∞上存在唯一“友好点”的是_******__. (填上所有正确的序号) 三、解答题:本大题有5题,共65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分12分)已知矩阵A =⎪⎭⎫⎝⎛b a 12有一个属于特征值1的特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12α. (Ⅰ) 求矩阵A ;(Ⅱ) 若矩阵B =⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011,求直线10x y ++=先在矩阵A ,再在矩阵B 的对应变换作用下的像的方程. 19.(本小题满分14分)已知向量33(cos ,sin ),(cos(),sin())444343x x x x a b ππ==+-+r r ; 令2()(),f x a b =+r r(1)求()f x 解析式及单调递增区间;(2)若5[,]66x ππ∈-,求函数()f x 的最大值和最小值;(3) 若()f x =52,求sin()6x π-的值。
福建省福建师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期期中考试文数试题 Word版含解析
![福建省福建师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期期中考试文数试题 Word版含解析](https://img.taocdn.com/s3/m/5e33b4eff90f76c660371a07.png)
2017-2018学年 第Ⅰ卷共60分.一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,0,2A =-,{}220B x x x =--=,则AB =( )A .φB .{}2C .{}0D .{}2- 【答案】B 【解析】试题分析:由220x x --=,解得2x =或1x =-,所以{1,2}B =-,所以{2}A B =,故选B .考点:集合的交集运算.2.已知向量(1,2),(,1)a b m =-=,如果向量a 与b 平行,则m 的值为( ) A .12 B .12- C .2 D .2- 【答案】B考点:平面向量平行的充要条件. 3.若i 为虚数单位,则131ii+=-( ) A .12i + B .12i -+ C .12i - D .12i --【答案】B 【解析】 试题分析:13(13)(1)121(1)(1)i i i i i i i +++==-+--+,故选B . 考点:复数的运算. 4.已知1sin()44x π-=,则sin 2x 的值为( ) A .1516 B .916 C .78 D .1516± 【答案】C【解析】试题分析:2217sin 2cos(2)cos 2()12sin ()12()24448x x x x πππ=-=-=--=-⨯=,故选C .【技巧点睛】已知三角函数等式求三角函数的值,解答时通常是首先利用三角恒等变换公式对已知三角函数进行处理,得到相关的结论后,再对所求式进行处理.处理已知三角函数等式时要注意观察结构特征,主要观察:(1)角间关系,适时选用两角和差公式与二倍角公式等;(2)函数的名称,主要是选用同角三角函数基本关系进行名称变换;(3)结构特征,主要是选用二角公式,或进行公式的逆用.考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、二倍角. 5.要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象,只需要将函数sin 4y x =的图象( ) A .向左平移12π个单位 B .向右平移12π个单位 C .向左平移3π个单位 D .向右平移3π个单位 【答案】B考点:三角函数图象的平移变换.【方法点睛】利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少.先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>),再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右平移||ϕω个单位可得到sin()y A x ωϕ=+的图象.6.等比数列{}n a 满足13a =,13521a a a ++=,则24a a =( ) A .6 B .9 C .36 D .81 【答案】C 【解析】试题分析:因为24241351(1)3(1)21a a a a q q q q ++=++=++=,所以2417q q ++=,解得22q =,所以24222413236a a a q ==⨯=,故选C .考点:等比数列的通项公式.7.已知:,23x x p x R ∀∈<;32:,1q x R x x ∃∈=-,则下列中为真的是( ) A .p q ∧ B .p q ⌝∧ C .p q ∧⌝ D .p q ⌝∧⌝ 【答案】B 【解析】试题分析:当0x =时,231x x==,故p 为假,所以p ⌝为真.作出函数3y x =与21y x =-的图像如图所示,由图知q 为真,所以q ⌝为假,所以p q ⌝∧为真,故选B .考点:复合真假的判断.8.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =++-,则()f x 是( )A .奇函数,且在(0,1)上是增函数B .奇函数,且在(0,1)上是减函数C .偶函数,且在(0,1)上是增函数D .偶函数,且在(0,1)上是减函数 【答案】D考点:1、函数的奇偶性;2、函数的单调性.9.若函数()sin (0,)y x ωϕωϕπ=-><在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,的简图如右图所示, 则,ωϕ的值分别是( )A .2,3πωϕ== B . 22,3πωϕ==-C .1,23πωϕ==D . 12,23πωϕ==- 【答案】A考点:三角函数的图象与性质.10.如图,在ABC ∆中,AD AB ⊥,3BC BD =,1AD =,则AC AD ∙=( )ADCBA ..2 C .3D 【答案】D 【解析】试题分析:因为AD AB ⊥,所以0AD AB =,则()AC AD AB BC AD AB AD BC AD =+=+=23()33AD AD AB AD AD =-==D .考点:1、平面向量的加减运算;2、平面向量的数量积;3、平面向量垂直的充条件. 11.函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为( )【答案】C 【解析】试题分析:因为()102f π=>,故排除A ;因为()(1cos )(sin )()f x x x f x -=--=-,所以函数()f x 为奇函数,故排除B ;因为()cos cos 2f x x x '=-,分别作出cos y x =与cos 2y x =的图象,可知极值点在(,)2ππ上,故选C .考点:1、函数的图象;2、函数的奇偶性;3、利用导数研究函数的单调性. 12.数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前44项和为( ) A . 990 B .870 C .640 D .615 【答案】A考点:1、数列求和;2、等差数列的前n 项和.第Ⅱ卷 共90分.二、填空题每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上.13.已知3,2a b ==,a 与b 的夹角为030,则a b -=_ _____. 【答案】1 【解析】试题分析:由题意,得||||cos3023a b a b =︒==,所以2222a b a a b b -=-+=222231-⨯+=.【技巧点睛】平面向量中对模的处理主要是利用公式22||a a a a ==进行转化,即实现平面向量的运算与代数运算的转化,本题已知两个向量,a b 的模与夹角求由两个向量,a b 构成的向量线性关系ma nb +的模,就是主要是利用公式22||a a a a ==进行转化. 考点:1、平面向量的夹角;2、平面向量的模.14.若函数()22xf x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是______________.【答案】02b << 【解析】试题分析:由函数()22x f x b =--有两个零点,得22xb -=有两个不等的根,即函数22x y =-与函数y b =的图象有两个交点,如图,由图可得02b <<.考点:1、函数的零点;2、函数的图象.15.若等差数列{}n a 满足6780a a a ++>,690a a +<,则当n =________时,{}n a 的前n 项和最大. 【答案】7考点:等数列的性质.16.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北030的方向上,行驶600米后到达B 处,测得此山顶在西偏北075的方向上,仰角为030,则此山的高度CD =_____米.【答案】【解析】试题分析:由题意,得30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒.在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒.因为600AB =,由正弦定理,得600sin 45sin 30BC=︒︒,即BC =.在Rt BCD ∆中,tan tan 30CD CBD BC ∠=︒==CD =. 考点:1、三角函数的定义;2、正弦定理.【规律点睛】解斜三角形应用题常有以下几种情形:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形,这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解;(3)实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理. 三、解答题(本大题共6题,满分70分)17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差不为零,125a =,且11113,,a a a 成等比数列. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+.【答案】(Ⅰ)227n a n =-+;(Ⅱ)2328n n -+.考点:1、等差数列的通项公式;2、等差数列与等比数列的性质;3、等差数列的前n 项和. 18.(本小题满分12分)已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos sin 0a C C b c --= (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若2a =,求ABC ∆面积的最大值. 【答案】(Ⅰ)60︒;(Ⅱ【解析】试题分析:(Ⅰ)利用正弦定理,将角转化为边,再用两角和与差的正弦简化等式,从而求得角A ;(Ⅱ)利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的范围,再利用三角形的面积公式1sin 2S bc A =求得面积的最大值. 试题解析:(Ⅰ)由正弦定理得:cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C A C C A A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=(Ⅱ)2222cos ,a b c bc A =+-2242b c bc bc bc bc ∴=+-≥-=,∴1sin 24S bc A ==≤当且仅当b c =时,等号取到.考点:1、正余弦定理;2、两角和与差的正弦;3、三角形面积公式;4、基本不等式. 【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理来研究三角形问题时,正弦定理可以用来将边的比和对应角的正弦值的比互化,而余弦定理则多用来将余弦值转化为边的关系,而涉及解三角形问题,往往把三角恒等变换公式加以交汇与综合,利用公式的变换达到解决问题的目的.19.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2*3,22n n n S n N =-∈. (I)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.【答案】(I )=2n a n -;(II )12nn-.(II )由(I )知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----从而数列21211n n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为1111111)+()++()]2-1113232112nn n n---=---[( 考点:1、数列前n 项和与n a 的关系;2、裂项求和法.【方法点睛】在等差(比)数列中由各项满足的条件求通项公式时,一般将已知条件转化为基本量,用1a 和()d q 表示,通过解方程组得到基本量的值,从而确定通项公式.解决非等差等比数列求和问题,主要有两种思路:(1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差(比)数列,这一思想方法往往通过通项分解(即分组求和)或错位相减来完成;(2)不能转化为等差等比数列的,往往通过裂项相消法,倒序相加法来求和.20.(本小题满分12分)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,1AB =,3BC =,2CD DA ==. (Ⅰ)求角C 的大小和线段BD 的长度;(Ⅱ)求四边形ABCD 的面积.【答案】(Ⅰ)π3C BD ==,;(Ⅱ)考点:1、余弦定理;2、三角形的面积公式.21.(本小题满分12分)设函数b ax x x f ++=2)(,)()(d cx e x g x +=.若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ,且在点P 处有相同的切线24+=x y . (Ⅰ)求a 、b 、c 、d 的值;(Ⅱ)若x ≥-2时,)()(x kg x f ≤,求k 的取值范围.【答案】(Ⅰ)4,2,2,2a b c d ====;(Ⅱ)k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】试题分析:(Ⅰ)先求导,根据题意()()02,02f g ==,由导数的几何意义可知()()'04,'04f g ==,从而(Ⅱ)由(Ⅰ)知,()()()242,21x f x x x g x e x =++=+,设函数()()()()()22142,2x F x kg x f x ke x x x x =-=+---≥-,()()()()'2224221x x F x ke x x x ke =+--=+-.由题设可得()00F ≥,即1k ≥,令()'0F x =得12ln ,2x k x =-=-, (6分)①若21k e ≤<,则120x -<≤,∴当()12,x x ∈-时,()'0F x <,当()1,x x ∈+∞时,()'0F x >,即F (x )在()12,x x ∈-单调递减,在()1,x +∞单调递增,故()F x 在1x x =取最小值()1F x ,而()()2111111224220F x x x x x x =+---=-+≥. ∴当2x ≥-时,()0F x ≥,即()()f x kg x ≤恒成立. (8分)②若2k e =,则()()()22'22x F x e x e e =+-,∴当2x ≥-时,()'0F x ≥,∴()F x 在()2,-+∞单调递增,而()20F -=,∴当2x ≥-时,()0F x ≥,即()()f x kg x ≤恒成立,③若2k e >,则()()22222220F ke e k e ---=-+=--<,∴当2x ≥-时,()()f x kg x ≤不可能恒成立. (10分)综上所述,k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦ . (12分)考点:1、导数的几何意义;2、利用导数求函数单调区间;3、不等式恒成立问题.请从下面所给的22 , 23二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=,以极点为原点,以极轴为x 轴的正半轴,取相同的单位长度,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).(Ⅰ)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换''2x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ,曲线'C 上任一点为00(,)M x y ,求0012y +的取值范围.【答案】(Ⅰ)直线l 10y +-=,曲线C 的直角坐标方程为224x y +=;(Ⅱ)[4,4]-.考点:1、参数方程与普能方程的互化;2、圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化;3、伸缩变换.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知1()33f x x x a a=++- (Ⅰ)若1a =,求()8f x ≥的解集;(Ⅱ)对任意(0,)a ∈+∞,任意x R ∈,()f x m ≥恒成立,求实数m 的最大值.【答案】(Ⅰ)5(,1][,)3x ∈-∞-+∞;(Ⅱ)考点:1、绝对值不等式的解法;2、绝对值不等式的性质;3、不等式恒成立;4、基本不等式.【方法点睛】(1)求含有双绝对值不等式的解集通常用两种方法:①如果两个绝对值中x的系数相同,则可考虑利用绝对值的几何意义较为简便;②如果两个绝对值中x的系数示相同,则可考虑利用零点分段法;(2)处理含有双绝对值不等式的恒成立问题时,通常转化为求含有双绝对值不等式函数的最值问题,而求其最值时主要利用三角形绝对值不等式可解决.。
福建省师大附中高三数学上学期期中试题理
![福建省师大附中高三数学上学期期中试题理](https://img.taocdn.com/s3/m/87a5ddd8551810a6f52486db.png)
福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷数学 (理科)本试卷共4页. 满分150分,考试时间120分钟.注意事项:试卷分第I 卷和第II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分 一、选择题:本大题有12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设集合 A ={x |x 2-3x +2≥0},B ={x |2x <4},则 A ∪B = ( **** ) A. R B. ∅C. {x |x ≤1}D. {x |x >2}2.若复数22i1ia ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在( **** ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题p :“0a ∀>,都有1ae ≥成立”,则命题p ⌝为(**** ) A .0a ∃≤,有1a e <成立 B .0a ∃≤,有1ae ≥成立 C .0a ∃>,有1a e ≥成立 D .0a ∃>,有1ae <成立4.利用数学归纳法证明“(n +1)(n +2) …(n +n )=2n×1×3×…×(2n -1),n ∈N *”时,从“n =k ”变到“n =k +1”时,左边应增乘的因式是(**** ) A .2k +1 B .2(2k +1) C .2k +1k +1D .2k +3k +15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(****) A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏6.设()250.2log 4,log 3a b c ===,则,,a b c 的大小关系为(**** ) A .a b c >> B .b c a >> C.a c b >> D .b a c >>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是( **** )A .0B .1C .2D .48.如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,0120BAD ∠=,1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点,则AE BE 的最小值为(**** )A .2116B .32C .2516D .39.已知函数121)(--=x e x f x (其中e 为自然对数的底数),则)(x f y =的大致图象大致为( **** )A.B.C.D10.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为(**** )11.已知函数()sin (0),f x x x =>ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有 四个实数根,则实数ω的取值范围为( **** ) A. 137(,]62 B. 725(,]26 C. 2511(,]62 D. 1137(,]2612.已知关于x 的方程222log (||2)5xxe e a x a -+-++=有唯一实数解,则实数a 的值为(****)A .1-B .1C .1-或3D .1或3- 第Ⅱ卷 共90分 二:填空题:本大题有4小题,每小题5分.13.已知向量a ,b 的夹角为60︒,2a =,1b =,则2a b +=__****__.14.已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7,则34a b+的最小值为__****__. 15.甲和乙玩一个猜数游戏,规则如下:已知五张纸牌上分别写有112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭(*,5n n ∈≤≤N 1)五个数字,现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张,然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大.甲看了看自己手中的数,想了想说:我不知道谁手中的数更大;乙听了甲的判断后,思索了一下说:我也不知道谁手中的数更大.假设甲、乙所作出的推理都是正确的,那么乙手中的数是_***__.16.在数列{}n a 中,若存在一个确定的正整数T ,对任意*n N ∈满足n T n a a +=,则称{}n a 是周期数列,T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥,21n n n x x x ++=-,若数列{}n x 的周期为3,则{}n x 的前100项的和为 **** . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 如图,在ABC ∆中, 3B π=,2BC =,点D 在边AB 上, AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆,求CD 的长;(Ⅱ)若DE =求A ∠的大小.18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 和为n S ,若0n a >,1n a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若3nn na b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .EDCA19.(本小题满分12分)在直角坐标系中,曲线,曲线为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线的极坐标方程;(Ⅱ)已知射线与曲线分别交于点(异于原点),当时,求的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数()1f x a x x a =-+- (0a > ). (Ⅰ)当2a =时,解不等式()4f x ≤; (Ⅱ)若()1f x ≥,求a 的取值范围.21. (本小题满分12分)函数()()sincos3cos 022xxf x x ωωωω=⋅+>,在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍(纵坐标不变),再向右平移3π个单位得到函数()g x ,若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ,试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<,使得OP OQ ⊥,若存在请求出满足条件的点Q 的个数,若不存在,说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数()()()2e xf x x ax =--.(Ⅰ)当0a >时,讨论()f x 的极值情况; (Ⅱ)若()[]1()0e x f x a --+≥,求a 的值.EDCA福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答数学 (理科)一、选择题:ABDBB ;DCADB,BA二:填空题:本大题有4小题,每小题5分.13. , 14. 7 15.7816.67三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) (Ⅰ)由已知得1sin 2BCD S BC BD B ∆==, 又2BC =,sin B =得23BD =……………3分在BCD ∆中,由余弦定理得CD===所以CD 的长为CD = ……………6分 (Ⅱ)因为sin DE CD AD A ===……………8分 在BCD ∆中,由正弦定理得sin sin BC CDBDC B =∠,又2BDC A ∠=∠, ……………10分得2sin 2A =,……………11分 解得cos A =,所以4A π=即为所求. ……………12分 18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ) 21n a S =, 24(1)n n S a ∴=+.………………………………1分 当1n =时,2114(1)S a =+,得11a =.………………………………2分 当2n ≥时,2114(1)n n S a --=+,22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+,………………………………3分2211422n n n n n a a a a a --∴=+--,即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+, 0,n a > 12n n a a -∴-=.………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列,且首项为11a =,公差为2,………………………………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-.………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,1(21)3n n b n =-⋅,231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅,——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅,——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-,………………………………10分化简得113n nn T +=-.…………………12分 19.(本小题满分12分) 解:(1)因为,所以曲线的普通方程为:,由,得曲线的极坐标方程,对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,,因为,则20.(本小题满分12分)解:(1)f (x)=2|x -1|+|x -2|=⎩⎪⎨⎪⎧-3x +4,x <1,x ,1≤x≤2,3x -4,x >2.所以,f (x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增, 又f (0)=f ( 83)=4,故f (x)≤4的解集为{x|0≤x≤ 83}. ....................................6分(2)①若a >1,f (x)=(a -1)|x -1|+|x -1|+|x -a|≥a-1,当且仅当x =1时,取等号,故只需a -1≥1,得a≥2. .................................7分 ②若a =1,f (x)=2|x -1|,f (1)=0<1,不合题意. ...................…9分③若0<a <1,f (x)=a|x -1|+a|x -a|+(1-a)|x -a|≥a(1-a), 当且仅当x =a 时,取等号,故只需a(1-a)≥1,这与0<a <1矛盾. .............11分综上所述, a 的取值范围是[2,+∞). …...................12分21. (本小题满分12分) 由已知得:()cos 3cos 3cos 223x x f x x x x x ωωπωωωω⎛⎫=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭………2分∵A 为图象的最高点,∴A 的纵坐标为,又∵ABC ∆为正三角形,所以4BC =…………3分 ∴42T =可得8T =, 即28πω= 得4πω=…………4分,∴()sin()43f x x ππ=+…………5分,(Ⅱ)由题意可得()g x x =,2P π⎛ ⎝…………7分法一:作出如右下图象,由图象可知满足条件的点Q 是存在的,而且有两个………8分 注:以上方法虽然能够得到答案,但其理由可信度不高,故无法给满分.法二:由OP OQ ⊥得0OP OQ =,即02πθθ+=,即()24sin 2πθθπθπ=-<<,由此作出函数()2y x x πππ=<<及()24sin 2y x x ππ=-<<图象,由图象可知满足条件的Q 点有两个.………10分(注:数形结合是我们解题中常用的方法,但就其严密性而言,仍有欠缺和不足.)法三:由OP OQ⊥得0OP OQ =,即3s i n 02πθθ+=,即()24s i n 02πθθπθπ+=<<,问题转化为研讨函数()()24sin 2h x x x x πππ=+<<零点个数。
2018届福建省师大附中高三上学期期中考试理科数学试卷及答案
![2018届福建省师大附中高三上学期期中考试理科数学试卷及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/edc9d501aeaad1f347933f0c.png)
福建师大附中2018-2018学年第一学期高三半期考试卷高三数学(理科)(满分:150分,时间:120分钟)说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答模卷.一、选择题:(每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项切合题目要求)1.已知会合A{xx3n2,n N},B{6,8,10,12,14},则会合A B中的元素个数为()A.C.4 D.52.已知12i1i(i为虚数单位),则复数z=()zA.1iB.1iC.1iD.1i3.已知命题p:x R,2x3x;命题q:xR,x31x2,则以下命题中为真命题的是:()A.pq B.pq C.p q D.p q4.已知点的坐标为43,1,将绕坐标原点逆时针旋转3至,则点的纵坐标为()A.33B.53C.13D.11 22222+2115.若f(x)=x f(x)d,则f(x)d x=()x0011A.-1B.-3 C.3D.16.已知a n为等比数列,a4a72,a5a68,则a1a10()A.7 B.5C. D.7.若cos41tan() ,是第三象限的角,则251tan2A.D.-21 B.122.28.若cos22,则cossin的值为()π2sin4A.7B.1C.1D.72222 9.存在函数f(x)知足:对随意xR都有()A.f(sin2x)sinxC.f(x21)x1B.D.f(sin2x) x2xf(x22x) x110.设函数f(x)ln(1 |x|)121 x值范围是(),则使得f(x)f(2x 1)建立的x的取A.1,1B.,11,C.1,1D.,11,333333设为两个非零向量a、b的夹角,已知对随意实数t,|ba t|的最小值为1,()A.若确立,则|a|独一确立B.若确立,则|b|独一确立C.若|a|确立,则独一确立D.若|b|确立,则独一确立12.设函数f(x)=e x(2x1)axa,此中a1,若存在独一的整数x0,使得A.[-f(x0)0,则3,1)a的取值范围是()B.[-错误!未找到引用源。
2018年高三最新 福建师大附中2018年上学期高三数学期
![2018年高三最新 福建师大附中2018年上学期高三数学期](https://img.taocdn.com/s3/m/392559cbc1c708a1284a445a.png)
福建师大附中18-18年上学期高三数学期末考试第Ⅰ卷(选择题,共60分)参考公式:三角函数的积化和差公式sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β=-21[cos(α+β)-cos(α-β)] 正棱台、圆台的侧面积公式:l C C S )(21/+=台侧 其中C /、C 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长球的体积公式:334R V π=球 其中R 表示球的半径一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的1.如果一个复数的平方等于2i ,那么这个复数的模是( )A.1B.2C.0D.22.已知f(x),g(x)是定义在R 上的函数,集合M={x|f(x)≠0},N={x|g(x)≠0},那么,集合{x|f(x)·g(x)≠0}等于( )A.M ∪NB.M ∩NC.N M ⋃D.M ∩N3.设函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是( )A.y=|x|-1B.y=|x -1|C.y=-|x|+1D.y=|x+1|4.命题甲:“a x y =lg ”成立,是命题乙:“a xy 10=”成立的( ) A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件5.在方程 x=cos θ(θ为参数)所表示的曲线上一个点的坐标是( )θA.(﹣1,﹣1)B.()32,31 C.(21,21) D.(1,1) 6.函数)3cos()32sin(x x y -+=ππ的最小正周期是( ) A.2π B.π C.2π D. 4π 7.在一个正四面体容器内,放入一个钢球,钢球与四面体的各个面都接触上,经过正四面体的一条侧棱和高作截面,正确的截面图是( )8.设a<b<c ,则函数y=|a -x|+|b -x|+|c -x|的最小值是( )A.0B. c -aC. a+b -cD. c -a -b9.(1+2a )n 的展开式中,奇数项系数的和为A ,偶数项系数的和为B ,则A 2-B 2的值为( )A.0B.(4a 2-1)nC.(1-4a 2)nD.(-3)n10.已知函数y=f(x)存在反函数y=f -1(x),把y=f(x)的图象在坐标平面内绕原点按顺时针方向旋转90°,得到另一个函数图象,则这个函数是( )A. y=f -1(x)B. y=f -1(-x)C. y=-f -1(x)D. y=-f -1(-x)11.设a>0,b>0,a+b+ab=24,则( )A. a+b 有最大值8B. a+b 有最小值8C. ab 有最大值8D. ab 有最小值812.已知函数f(x)=2ax+4,若在[﹣2,1]上存在x 0,使f(x 0)=0,则实数a 的取值范围是( )A.[4,25-] B.[﹣1,2] C.(]2-∞-,∪[)∞+,1 D.[﹣2,1] 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。
2018年高三最新 福建师大附中2018学年度第一学期高三
![2018年高三最新 福建师大附中2018学年度第一学期高三](https://img.taocdn.com/s3/m/10527d0b5f0e7cd18425365a.png)
福师大附中18—18学年度第一学期高三数学试题(理科)第I 卷一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知命题p : :对任意的,sin 1x R x ∈≤有,则p ⌝是( )A .存在,sin 1x R x ∈≥有B .对任意的,sin 1x R x ∈≥有C .存在,sin 1x R x ∈>有D .对任意的,sin 1x R x ∈>有 2. (2,1),(3,4)a b →→==,则向量a b →→在向量方向上的投影为 ( )A. B . 2C .D .103.已知函数sin ,4()6(1),4x x f x f x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩,则(5)f 的值为 ( ) A .12B .C .D .14.已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,第k 项满足58k a <<,则k 等于 ( )A .9B . 8C . 7D .65.若函数()3cos()f x wx θ=+对任意的,()()66x R f x f x ππ∈+=-有,则()6f π等于( )A .3-B . 0C . 3D .3±6.设1()f x -是函数1()2()3x x f x x =-+的反函数,则1()1f x ->成立的x 的取值范围是( )A .83x >B . 83x <C . 803x << D .0x <7.已知{}n a 为等差数列,{}n b 为正项等比数列,公比1q ≠,若111111,a b a b ==,则( ) A .66a b =B . 66a b >C . 66a b <D .66a b >或66a b <8.设a b →→,是非零向量,若函数()()()f x x a b a x b →→→→=+∙-的图像是一条直线,则必有( ) A .a b →→⊥B . //a b →→C . a b →→= D .a b →→≠9.若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是( )A .正方形B .矩形C .菱形D .直角梯形10.若22)4sin(2cos -=-παα,则ααcos sin +的值为 ( )A. B . 12- C .12D11.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n A B 和,且7413n n A n B n +=+,则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是( )A .2B .3C .4D .512.定义在R 上的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+,当2x >时,()f x 单调递增,如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x +<--<+且则的值( )A .恒小于0B .恒大于0C .可能为0D .可正可负二、填空题(每小题4分,共16分)13.已知等比数列{}n a ,若151,4a a ==,则3a 的值为 。
数学---福建师大二附中2018届高三(上)期中试卷(理)(解析版)
![数学---福建师大二附中2018届高三(上)期中试卷(理)(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/b1133423376baf1ffc4fadfe.png)
福建师大二附中2018届高三(上)期中数学试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)已知集合A={x|x(x﹣e)≤0},B={x|y=ln(1﹣x)},则A∩B=()A.(﹣∞,e] B.(1,e)C.[0,e] D.[0,1)2.(5分)设z=+i,则|z|=()A.B.C.D.23.(5分)下列函数既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为()A.B.y=|log2x| C.y=﹣x3D.4.(5分)“函数f(x)=x2+2ax﹣2在区间(﹣∞,﹣2]内单调递减”是“a=2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6=4a2,a3=3,则a10=()A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.66.(5分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a5=3,S6=28S3,则a3=()A.B.C.3 D.97.(5分)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且c cos A=b,则△ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.斜三角形8.(5分)已知锐角θ满足sin(+)=,则cos(θ+)的值为()A.﹣B.C.﹣D.9.(5分)已知函数f(x)=a sin x+cos x(a为常数,x∈R)的图象关于直线对称,则函数g(x)=sin x+a cos x的图象()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于直线对称10.(5分)已知函数f(x)=x﹣(x>0),g(x)=x+e x,h(x)=x+ln x的零点分别为x1、x2、x3,则()A.x1<x2<x3B.x2<x1<x3C.x2<x3<x1D.x3<x1<x2e x﹣mx0=0,若¬p为真命题,则实数m的取值范围是()11.(5分)已知命题p:∃x0∈R,0A.(﹣∞,0)∪(4,+∞)B.[0,4] C.[0,e)D.(0,e)12.(5分)已知函数y=f(x)的定义域的R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)成立,若数列{a n}满足f(a n+1)f()=1(n∈N*),且a1=f(0),则下列结论成立的是()A.f(a2013)>f(a2016)B.f(a2014)>f(a2017)C.f(a2016)<f(a2015)D.f(a2013)>f(a2015)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)若,,则cosα=.14.(5分)已知向量=(1,2),=(x,﹣1),若∥(﹣),则•=.15.(5分)已知三个向量共面,均为单位向量,=0,则的最大值为.16.(5分)设函数f(x)=x3﹣2e x2+mx﹣ln x,记,若函数g(x)至少存在一个零点,则实数m的取值范围是.三、解答题(共6小题,满分70分)17.已知等差数列{a n}的公差为2,且a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{}的前n项和为S n,求证:S n<6.18.已知函数.(1)若,求函数f(x)的值域;(2)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A为锐角且,求cos(A﹣B)的值.19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,若.(1)求△ABC面积的最大值.(2)若,求△ABC的周长.20.设各项均为正数的数列{a n}的前项和为S n,满足,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)求a1,a2;(2)设数列前项和为T n,求T n;(3)已知数列{b n},b n+1=2b n+a n,是否存在实数λ使得数列{b n+2n+λ}为等比数列?21.已知函数f(x)=ln x+,a∈R且a≠0.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;e x ln x0成立,求实数(2)设函数g(x)=e x﹣x+p,若存在x0∈[1,e],使不等式g(x0)≥0p的取值范围.22.选修4﹣4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ=2a cosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(Ⅱ)若|P A|•|PB|=|AB|2,求a的值.【参考答案】一、选择题1.D【解析】∵集合A={x|x(x﹣e)≤0}={x|0≤x≤e},B={x|y=ln(1﹣x)}={x|x<1},∴A∩B={x|0≤x<1}=[0,1).故选:D.2.B【解析】z=+i=+i=.故|z|==.故选B.3.A【解析】对于A,函数是偶函数,在(0,+∞)递减,符合题意;对于B,函数在(0,+∞)递增,不合题意;对于C,函数是奇函数,不合题意;对于D,y=|x|,在(0,+∞)递增,不合题意;故选:A.4.B【解析】“函数f(x)=x2+2ax﹣2在区间(﹣∞,﹣2]内单调递减”⇔﹣2≤﹣a,解得a≤2.“函数f(x)=x2+2ax﹣2在区间(﹣∞,﹣2]内单调递减”是“a=2”的必要不充分条件.故选:B.5.A【解析】设等差数列{a n}的公差为d,∵S6=4a2,a3=3,∴6a1+d=4(a1+d),a1+2d=3,解得a1=,d=﹣.则a10=﹣×9=﹣3.故选:A.6.B【解析】若q=1时,a5=3,∴a1=3,∴6a1=28a1,显然不成立,∴q≠1,由a5=3,S6=28S3,可得,解得q=3,a1=,∴a3=×9=,故选:B7.C【解析】∵在△ABC中,c cos A=b,∴根据正弦定理,得sin C cos A=sin B,…①∵A+C=π﹣B,∴sin(A+C)=sin B,即sin B=sin C cos A+cos C sin A,将①代入,可得cos C sin A=0,∵A、C∈(0,π),可得sin A>0,∴cos C=0,得C=,即△ABC是直角三角形,故选:C.8.C【解析】∵sin(+)=,∴sin(+)2=[1﹣cos(θ+)]=,则cos(θ+)=,∵0<θ<,∴<θ+<,∴sin(θ+)>0,∴sin(θ+)==∴cos(θ+)=cos(+θ+)=﹣sin(θ+)=﹣,故选:C.9.C【解析】∵函数f(x)=a sin x+cos x(a为常数,x∈R)的图象关于直线对称,∴f(0)=f(),即1=a+,∴a=,∴f(x)=a sin x+cos x=sin x+cos x=sin(x+),故函数g(x)=sin x+a cos x=sin x+cos x=sin(x+),当x=时,g(x)=为最大值,故A错误,故g(x)的图象关于直线对称,即C正确.当x=时,g(x)=≠0,故B错误.当x=时,g(x)=1,不是最值,故g(x)的图象不关于直线x=对称,排除D.故选:C.10.C【解析】∵f(x)=x﹣(x>0)的零点为:1;g(x)=x+e x=0,可知e x>0,方程的解x必须小于0,所以函数的零点必定小于零,h(x)=x+ln x=0,x>1时,x+ln x>0,所以函数的零点必位于(0,1)内,∴x2<x3<x1.故选:C.11.Ce x﹣mx0=0为特称命题其否定为全称命题,【解析】命题p:∃x0∈R,0∴¬p为∀∈R,e x﹣mx≠0,∵¬p为真命题,当x=0时,e x﹣mx≠0,成立,当x≠0时,m≠,设f(x)=,当x<0时,f(x)<0,∴m≥0,当x>0时,∴f′(x)=,令f′(x)=0,解得x=1,当0<x<1时,函数f(x)单调递减,当x>1时,函数f(x)单调递增,∴f(x)min=f(1)=e,∴m<e,综上所述0≤m<e,故选:C12.C【解析】∵对任意的实数x,y∈R,f(x)•f(y)=f(x+y)恒成立,∴令x=﹣1,y=0,则f(﹣1)•f(0)=f(﹣1),∵当x<0时,f(x)>1,∴f(﹣1)≠0,则f(0)=1,∵f(a n+1)f()=1=f(0),∴f(a n+1+)=f(0)=a1,则a n+1+=0,即a n+1=﹣,且a1=1,当n=1时,a2=﹣;当n=2时,a3=﹣2;当n=3时,a4=1,∴数列{a n}是以3为周期的周期数列,∴a2013=a3=﹣2,a2014=a1=1,a2015=a2=﹣,a2016=a3=﹣2,a2017=a1=1,故选:C.二、填空题13.【解析】,∴=,解得tanα=﹣;即=﹣,∴sinα=﹣cosα;∴sin2α+cos2α=cos2α+cos2α=cos2α=1,又α∈(,π),∴cosα=﹣.故答案为:﹣.14.【解析】=(1﹣x,3),∵∥(﹣),∴2(1﹣x)﹣3=0,解得x=﹣.则•=﹣﹣2=﹣.故答案为:﹣.15.+1【解析】三个向量共面,均为单位向量,=0,可设=(1,0),=(0,1),=(cosθ,sinθ),则+﹣=(1﹣cosθ,1﹣sinθ),∴2=(1﹣cosθ)2+(1﹣sinθ)2=2﹣2(sinθ+cosθ)=3﹣2sin(θ+)≤3+2 =(+1)2,∴的最大值为+1,故答案为:+1.16.【解析】∵函数g(x)至少存在一个零点,∴x2﹣2e x+m﹣=0有解,即m=﹣x2+2e x+,∵m'=﹣2x+2e+=﹣2(x﹣e)+,∴当x∈(0,e)时,m'>0,m为关于x的增函数;当x∈(e,+∞)时,m'<0,m为关于x的减函数.因此,画出函数y=﹣x2+2e x+的图象如右图所示,则若函数g(x)至少存在一个零点,则m小于函数y=﹣x2+2e x+的最大值即可,函数y=﹣x2+2e x+的最大值为:即m≤.故答案为.三、解答题17.解:(1)数列{a n}为等差数列,所以:a2=a1+d=a1+2,a4=a1+3d=a1+6a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列.所以:解得:a1=1所以:a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1证明:(2)已知①②①﹣②得:==所以:由于n≥1所以:<618.解:(1)=由得,,∴.∴,即函数f(x)的值域为.(2)由得,又由,∴,∴.在△ABC中,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc cos A=7,得,由正弦定理,得,∵b<a,∴B<A,∴,∴.19.解:(1)∵,∴+=,∴=,∴b=,由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac cos B≥2ac﹣ac=ac,当且仅当a=c时取等号∴ac≤,∴S△ABC=ac sin B≤××=,∴△ABC面积的最大值为,(2),B=,b=,由正弦定理可得====1,∴a=sin A,c=sin C,∴ac=,由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac cos B=(a+c)2﹣2ac﹣2ac cos B=(a+c)2﹣3ac,∴(a+c)2=+=,∴a+c=,∴△ABC的周长为a+b+c=.20.解:(1)4S n=a n+12﹣4n﹣1,①当n≥2时,4S n﹣1=a n2﹣4(n﹣1)﹣1,②,由①﹣②得4a n=a n+12﹣a n2﹣4,∴a n+12=a n2+4a n+4=(a n+2)2,∵a n>0,∴a n+1=a n+2,∴当n≥2时,{a n}是公差d=2的等差数列,∵a2,a5,a14构成等比数列,∴a52=a2a14,∴(a2+8)2=a2(a2+24)解得a2=3,当n=1时,4S1=a22﹣4﹣1=9﹣5=4∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2(2)由(1)可得{a n}是首项a1=1,公差d=2的等差数列.∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1.由(1)可知,==(﹣),∴T n=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=;(3)b n+1=2b n+a n=2b n+2n﹣1,∴b n+1+2(n+1)+3=2(b n+2n+3),∴{b n+2n+3}是以2为公比的等比数列,∴λ=3,故存在实数λ=3使得数列{b n+2n+3}为等比数列.21.解:(1)当a<0时,函数f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数,符合题意;当a>0时,由,得,∵函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,∴,则a≥1.综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞,0)∪[1,+∞).(另由对x∈[1,+∞)恒成立可得,当a<0时,符合;当a>0时,ax﹣1≥0,即,∴a≥1.综上a∈(﹣∞,0)∪[1,+∞))(2)∵存在x0∈[1,e],使不等式成立,∴存在x0∈[1,e],使成立.令h(x)=(ln x﹣1)e x+x,从而p≥h(x)min(x∈[1,e]),.由(1)知当a=1时,在[1,e]上递增,∴f(x)≥f(1)=0.∴在[1,e]上恒成立.∴,∴h(x)=(ln x﹣1)e x+x在[1,e]上单调递增.∴h(x)min=h(1)=1﹣e,∴p≥1﹣e.实数p的取值范围为[1﹣e,+∞).22.解:(I)由ρsin2θ=2a cosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0),∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0),直线l的普通方程为y=x﹣2.(II)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax中,得t2﹣2(4+a)t+8(4+a)=0,设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则有t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a),∵|P A|⋅|PB|=|AB|2,∴|t1t2|=(t1﹣t2)2,即(t1+t2)2=5t1t2,∴[2(4+a)]2=40(4+a),化简得,a2+3a﹣4=0,解之得:a=1或a=﹣4(舍去),∴a的值为1.。
2020年11月高2021届高2018级福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学试题
![2020年11月高2021届高2018级福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学试题](https://img.taocdn.com/s3/m/7235e7fdccbff121dc368369.png)
C.16 2
D.16 3
9.
已知函数
f
(
x)
x
3
,
x,
的取值范围是
x 0 ,若函数 g(x) f (x) kx 2 2x (k R) 恰有 4 个零点,则 k x0
A. , 1 2 2,
2
C. ,0 0,2 2
B. , 1 0,2 2
2
D. ,0 2 2,
期中考试
福建师大附中 2020-2021 学年上学期期中考试
高三数学试卷
时间: 120 分钟 满分: 150 分
命题:
审核:
试卷说明:
(1)本卷共四大题,24 小பைடு நூலகம்,解答写在答卷的指定位置上,考试结束后,只交答卷。 (2)考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷(选择题,共 70 分) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的选项中,只有一 项是符合题目要求的。
A. f x 的一个周期是 2
B. f x 的图象关于直线 x 对称
2
C. f x 的最大值为 2
D.
f
x
是
0,
2
上的增函数
14. 如图,大摆锤是一种大型游乐设备,常见于各大游乐园.设备启动后,座舱旋转的同
时,悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.今年国庆,小明去某游乐园玩“大摆锤”,
他坐在点 A 处,“大摆锤”启动后,主轴 OB 在平面 内绕点 O 左右摆动,平面 与水平
地面垂直,OB 摆动的过程中,点 A 在平面 内绕点 B 作圆周运动,并且始终保持 OB , B .已知 OB 6 AB ,在“大摆锤”启动后,以下结论正确的有
2018年福建省师大附中高三期中数学理科 (5)
![2018年福建省师大附中高三期中数学理科 (5)](https://img.taocdn.com/s3/m/5a98e93a52ea551810a687be.png)
2016-2017学年福建省师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.若集合M={x |﹣2<x <3},N={y |y=x 2+1,x ∈R },则集合M ∩N=( ) A .(﹣2,+∞) B .(﹣2,3) C .[1,3) D .R 2.若复数(α∈R )是纯虚数,则复数2a +2i 在复平面内对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.已知向量=(2,1),=10,|+|=,则||=( )A .B .C .5D .25 4.已知cos ()=,则sin (2)的值为( ) A .B .C .﹣D .﹣5.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus )是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小一份为( ) A .B .C .D .6.等比数列{n a }中,1a >0,则“1a <3a ”是“3a <6a ”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.已知函数f (x )=﹣x 3+ax 2+bx (a ,b ∈R )的图象如图所示,它与x 轴相切于原点,且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为,则a 的值为( )A .0B .1C .﹣1D .﹣28.已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数,且f (x +1)=,若f (x )在[﹣1,0]上是减函数,记a=f (log 0.52),b=f (log 24),c=f (20.5),则( ) A .a >b >c B .a >c >b C .b >c >a D .b >a >c9.将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间[0,]和[2a,]上均单调递增,则实数a的取值范围是()A.[,]B.[,]C.[,]D.[,]10.已知函数f(x)=(其中e为自对数的底数),则y=f(x)的图象大致为()A.B.C.D.11.定义在R上的函数f(x)满足:f'(x)>1﹣f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的导函数,则不等式e x f(x)>e x+5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)∪(3,+∞)C.(﹣∞,0)∪(1,+∞)D.(3,+∞)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,,则tanB=.13.已知x,y满足,且z=2x﹣y的最大值与最小值的比值为﹣2,则a的值是.14.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是海里.15.{a n}满足a n+1=a n+a n﹣1(n∈N*,n≥2),S n是{a n}前n项和,a5=1,则S6=.三、解答题(共5小题,满分60分)16.(12分)如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠CAD=,AC=,cos∠ADB=﹣(1)求sin∠C的值;(2)若△ABD的面积为7,求AB的长.17.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=+1(n≥2).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,证明:T n<.18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,,∠BAC=θ,a=4.(1)求bc的最大值;(2)求函数的值域.19.(12分)已知数列{a n}是公差为正数的等差数列,其前n项和为S n,且a2•a3=15,S4=16.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)数列{b n}满足b1=a1,.①求数列{b n}的通项公式;②是否存在正整数m,n(m≠n),使得b2,b m,b n成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+ax﹣lnx,g(x)=e x.(其中e是自然对数的底数)(Ⅰ)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,设切点为P(x0,y0),求证:x0=1;(Ⅱ)令,若函数F(x)在区间(0,1]上是单调函数,求a的取值范围.选修4-4:坐标系与参数方程21.(10分)在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣3.若以极点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.(Ⅰ)求圆C的参数方程;(Ⅱ)在直角坐标系中,点P(x,y)是圆C上动点,试求x+2y的最大值,并求出此时点P的直角坐标.选修4-5:不等式选讲22.已知m,n都是实数,m≠0,f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|.(Ⅰ)若f(x)>2,求实数x的取值范围;(Ⅱ)若|m+n|+|m﹣n|≥|m|f(x)对满足条件的所有m,n都成立,求实数x的取值范围.2018年福建省师大附中高三(上)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.若集合M={x|﹣2<x<3},N={y|y=x2+1,x∈R},则集合M∩N=()A.(﹣2,+∞)B.(﹣2,3)C.[1,3)D.R【考点】交集及其运算.【专题】计算题.【分析】先将N化简,再求出M∩N.【解答】解:N={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}=[1,+∞),∵M={x|﹣2<x<3}=(﹣2,3),∴M∩N=[1,3)故选C.【点评】本题考查了集合的含义、表示方法,集合的交集的简单运算,属于基础题.本题中N表示的是函数的值域.2.若复数(α∈R)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【专题】转化思想;定义法;数系的扩充和复数.【分析】化简复数,根据纯虚数的定义求出a的值,写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标,即可得出结论.【解答】解:复数==(a+1)+(﹣a+1)i,该复数是纯虚数,∴a+1=0,解得a=﹣1;所以复数2a+2i=﹣2+2i,它在复平面内对应的点是(﹣2,2),它在第二象限.故选:B.【点评】本题考查了复数的化简与代数运算问题,也考查了纯虚数的定义与复平面的应用问题,是基础题.3.已知向量=(2,1),=10,|+|=,则||=()A.B. C.5 D.25【考点】平面向量数量积的运算;向量的模.【专题】平面向量及应用.【分析】根据所给的向量的数量积和模长,对|a+b|=两边平方,变化为有模长和数量积的形式,代入所给的条件,等式变为关于要求向量的模长的方程,解方程即可.【解答】解:∵|+|=,||=∴(+)2=2+2+2=50,得||=5故选C.【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质,根据所给的向量表示出要求模的向量,用求模长的公式写出关于变量的方程,解方程即可,解题过程中注意对于变量的应用.4.已知cos()=,则sin(2)的值为()A.B.C.﹣ D.﹣【考点】两角和与差的正弦函数.【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.【分析】用已知角表示未知角,再结合二倍角公式即可求得sin(2)的值.【解答】解:∵cos()=,则sin(2)=﹣sin(2α+)=﹣sin[2(α+)+]=﹣cos2(α+)=﹣[2cos2(α+)﹣1]=﹣[﹣1]=,故选:B.【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.5.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小一份为()A.B.C.D.【考点】等差数列的通项公式.【专题】等差数列与等比数列.【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d(d>0),根据条件列出方程求出a和d的值,从而得最小一份的值.【解答】解:设五个人所分得的面包为a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d,(其中d>0);∵把100个面包分给5个人,∴(a﹣2d)+(a﹣d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,得a=20,∵使较大的三份之和的是较小的两份之和,∴(a+a+d+a+2d)=a﹣2d+a﹣d,得3a+3d=7(2a﹣3d),化简得24d=11a ,∴d==, 所以最小的1分为a ﹣2d=20﹣2×=,故选:A .【点评】本题考查了等差数列模型的实际应用,解题时应巧设数列的中间项,从而容易得出结果,属于基础题.6.等比数列{n a }中,1a >0,则“1a <3a ”是“3a <6a ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列.【分析】先用等比数列的通项公式,表示出3a <6a ,进而可判断1a <3a 不一定成立;同时根据1a <a 3成立可知1a q 2<1a q 5,进而推断出1a <3a ,判断出必要条件.最后综合可得答案.【解答】解:如果1a <3a ,∴1a <1a q 2∴q 2> 1, 若q <﹣1,则3a =1a q 2>0,6a =1a q 5<0 ∴3a >6a , ∴“1a <3a ”不是“3a <a 6”的充分条件; 如果3a <a 6成立,则1a q 2<1a q 5,又a 1>0, ∴1<q3∴q >1,∴1a <a 2<3a ,故可判断,“1a <3a ”是“3a <6a ”的必要条件. 综合可知,“1a <3a ”是“3a <6a ”必要而不充分条件.故选B .【点评】本题主要考查了等比数列的性质和必要条件,充分条件与充要条件的判断.7.已知函数f (x )=﹣x 3+ax 2+bx (a ,b ∈R )的图象如图所示,它与x 轴相切于原点,且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为,则a 的值为( )A.0 B.1 C.﹣1 D.﹣2【考点】定积分.【专题】数形结合;转化思想;数形结合法;导数的概念及应用.【分析】由x=0是f(x)=0的一个极值点,可得f′(0)=0,求得b的值,确定出f(x)的解析式,由于阴影部分面积为,利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可【解答】解:由f(x)=﹣x3+ax2+bx,得f′(x)=﹣3x2+2ax+b.∵x=0是原函数的一个极值点,∴f′(0)=b=0.∴f(x)=﹣x2(x﹣a),有∫a0(x3﹣ax2)dx=()|a0=0﹣+==,∴a=±1.函数f(x)与x轴的交点横坐标一个为0,另一个a,根据图形可知a<0,得a=﹣1.故选:C【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用,以及定积分的运算法则,同时考查了计算能力和识图能力,属于中档题.8.(2016•红桥区二模)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=,若f(x)在[﹣1,0]上是减函数,记a=f(log0.52),b=f(log24),c=f(20.5),则()A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c【考点】奇偶性与单调性的综合.【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】确定函数是周期为2的周期函数,f(x)在[0,1]上单调递增,并且a=f(log0.52)=f(log22)=f(1),b=f(log24)=f(2)=f(0),c=f(20.5),即可比较出a,b,c的大小.【解答】解:∵f(x+1)=,∴f(x+2)=f(x),∴函数是周期为2的周期函数;∵f(x)为偶函数,f(x)在[﹣1,0]上是减函数,∴f(x)在[0,1]上单调递增,并且a=f(log0.52)=f(log22)=f(1),b=f(log24)=f(2)=f(0),c=f(20.5).∵0<1<20.5,∴b<c<a.故选:B.【点评】考查偶函数的定义,函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,1]上,根据单调性去比较函数值大小.9.将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间[0,]和[2a,]上均单调递增,则实数a的取值范围是()A.[,]B.[,]C.[,]D.[,]【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】综合题;函数思想;综合法;三角函数的图像与性质.【分析】由函数的图象平移求得函数g(x)的解析式,进一步求出函数(x)的单调增区间,结合函数g(x)在区间[0,]和[2a,]上均单调递增列关于a的不等式组求解.【解答】解:将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,得g(x)=2cos2(x﹣)=2cos(2x﹣),由,得.当k=0时,函数的增区间为[],当k=1时,函数的增区间为[].要使函数g(x)在区间[0,]和[2a,]上均单调递增,则,解得a∈[,].故选:A.【点评】本题考查三角函数的图象变换,考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的性质,是中档题.10.(2014•泰安二模)已知函数f(x)=(其中e为自对数的底数),则y=f(x)的图象大致为()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【专题】函数的性质及应用.【分析】构造函数,令分母为g(x),研究函数g(x)的单调性和值域情况,从而得出函数f(x)图象分布情况,判断选项.【解答】解:令g(x)=e x﹣2x﹣1,g′(x)=e x﹣2,∴g(x)在(﹣∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)h 上单调递增,又∵g(ln2)=1﹣2ln2<0,∴g(x)有两个实数解,∵g(0)=0,g(1)=e﹣3<0,g(2)=e2﹣5>0,∴x1=0,x2∈(1,2),且当x<0时,g(x)>0,∴f(x)>0,当x1<x<x2时,g(x)<0,∴f(x)<0,当x>x2时,g(x)>0,∴f(x)>0,∴只有选项C符合.故选:C.【点评】本题考查函数图象的分布情况,即:定义域、单调性,正负性,属于中档题.11.(2015•怀化二模)定义在R上的函数f(x)满足:f'(x)>1﹣f(x),f(0)=6,f′(x)是f(x)的导函数,则不等式e x f(x)>e x+5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(0,+∞)B.(﹣∞,0)∪(3,+∞)C.(﹣∞,0)∪(1,+∞)D.(3,+∞)【考点】导数的运算;其他不等式的解法.【专题】导数的概念及应用.【分析】构造函数g(x)=e x f(x)﹣e x,(x∈R),研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解【解答】解:设g(x)=e x f(x)﹣e x,(x∈R),则g′(x)=e x f(x)+e x f′(x)﹣e x=e x[f(x)+f′(x)﹣1],∵f'(x)>1﹣f(x),∴f(x)+f′(x)﹣1>0,∴g′(x)>0,∴y=g(x)在定义域上单调递增,∵e x f(x)>e x+5,∴g(x)>5,又∵g(0)=e0f(0)﹣e0=6﹣1=5,∴g(x)>g(0),∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞)故选:A.【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)12.(2015•房山区二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.,则tanB=.【考点】正弦定理;同角三角函数间的基本关系.【专题】计算题;解三角形.【分析】根据正弦定理,算出sinB==,由b<a得B是锐角,利用同角三角函数的平方关系算出cosB=,再用商数关系算出tanB=,即可得到本题答案.【解答】解:∵∴由正弦定理,得sinB==∵b<a可得B是锐角,∴cosB==,因此,tanB===故答案为:【点评】本题给出三角形ABC的两边和其中一边的对角,求另一个角的正切之值,着重考查了利用正弦定理解三角形和同角三角函数基本关系等知识,属于基础题.13.已知x,y满足,且z=2x﹣y的最大值与最小值的比值为﹣2,则a的值是.【考点】简单线性规划.【专题】数形结合;转化法;不等式.【分析】由题意可得先作出不等式表示的平面区域,由z=2x﹣y可得y=2x﹣z,则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距,截距越大,z越小,可求Z的最大值与最小值,即可求解a.【解答】解:由题意可得,B(1,1)∴a<1,不等式组表示的平面区域如图所示的△ABC,,由z=2x﹣y可得y=2x﹣z,则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距,截距越大,z越小,作直线L:y=2x,把直线向可行域平移,当直线经过A时z最小,由,可得A(a,2﹣a),此时Z=3a﹣2,当直线经过点B时,z最大,B(1,1),此时z=1,故=﹣2,解得:a=,故答案为:.【点评】线性规划是高考重要内容,也是常考内容.此题考查该知识点增加一点变化,比较好.14.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是海里.【考点】解三角形的实际应用.【专题】计算题.【分析】先根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值,进而可得到∠ACB的值,最后根据正弦定理可得到BC的值.【解答】解:如图,由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,从而∠ACB=45°.在△ABC中,由正弦定理可得.故答案为:10.【点评】本题主要考查正弦定理的应用,考查对基础知识的掌握程度,属于中档题.15.(2016•温岭市模拟){a n}满足a n+1=a n+a n﹣1(n∈N*,n≥2),S n是{a n}前n项和,a5=1,则S6=4.【考点】数列递推式.【专题】计算题;函数思想;待定系数法;点列、递归数列与数学归纳法.【分析】设a4=k,结合数列递推式及a5=1求得其它项,作和求得S6 .【解答】解:设a4=k,由a n+1=a n+a n﹣1,得a3=a5﹣a4=1﹣k,a2=a4﹣a3=k﹣(1﹣k)=2k﹣1,a1=a3﹣a2=(1﹣k)﹣(2k﹣1)=2﹣3k,a6=a5+a4=1+k,∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(2﹣3k)+(2k﹣1)+(1﹣k)+k+1+(1+k)=4.故答案为:4.【点评】本题考查数列递推式,考查了数列的函数特性,设出a4是关键,是中档题.三、解答题(共5小题,满分60分)16.(12分)(2016•安庆校级模拟)如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠CAD=,AC=,cos∠ADB=﹣(1)求sin∠C的值;(2)若△ABD的面积为7,求AB的长.【考点】正弦定理;余弦定理.【专题】数形结合;数形结合法;解三角形.【分析】(1)由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB,由∠C=∠ADB﹣.利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解.(2)先由正弦定理求AD的值,再利用三角形面积公式求得BD,与余弦定理即可得解AB 的长度.【解答】解:(1)在△ABC中,∵cos∠ADB=﹣,则sin∠ADB=,∠CAD=,则∠C=∠ADB﹣,sin∠C=sin(∠ADB﹣)=sin∠ADB•cos﹣sin cos∠ADB=+=,(2)在三角形△ACD中,,AD===2,∴S=AD•BD•sin∠ADB=•2BD=7,∴BD=5,由余弦定理可知:AD2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠ADB,∴AD=.【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值,正弦定理,三角形面积公式等知识的综合应用,考查了数形结合能力和转化思想,考查了计算能力,属于中档题.17.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=+1(n≥2).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,证明:T n<.【考点】数列递推式;数列的求和.【专题】综合题;函数思想;转化法;等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)由数列递推式可得,然后利用累积法求得数列通项公式;(Ⅱ)把数列{a n}的通项公式代入b n=,然后利用裂项相消法求和,放缩得答案.【解答】(Ⅰ)解:当n=2时,2S2=3a2+1,解得a2=2,当n=3时,2S3=4a3+1,解得a3=3.当n≥3时,2S n=(n+1)a n+1,2S n﹣1=na n﹣1+1,以上两式相减,得2a n=(n+1)a n﹣na n﹣1,∴,∴=,∴;(Ⅱ)证明:b n==,当n=1时,,当n≥2时,,∴.∴T n<.【点评】本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了裂项相消法求数列的前n项和,是中档题.18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,,∠BAC=θ,a=4.(1)求bc的最大值;(2)求函数的值域.【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域.【专题】三角函数的图像与性质;解三角形.【分析】(1)由题意可得bc•cosθ=8,代入余弦定理可得b2+c2=32,由基本不等式可得b2+c2≥2bc,进而可得bc的最大值;(2)结合(1)可得cosθ≥,进而可得θ的范围,由三角函数的知识可得所求.【解答】解:(1)∵=bc•cosθ=8,由余弦定理可得16=b2+c2﹣2bc•cosθ=b2+c2﹣16,∴b2+c2=32,又b2+c2≥2bc,∴bc≤16,即bc的最大值为16,当且仅当b=c=4,θ=时取得最大值;(2)结合(1)得,=bc≤16,∴cosθ≥,又0<θ<π,∴0<θ≤,∴=2sin(2θ+)﹣1∵0<θ≤,∴<2θ+≤,∴sin(2θ+)≤1,当2θ+=,即θ=时,f(θ)min=2×,当2θ+=,即θ=时,f(θ)max=2×1﹣1=1,∴函数f(θ)的值域为[0,1]【点评】本题考查余弦定理以及三角函数的值域,涉及平面向量数量积的定义,属中档题.19.(12分)已知数列{a n}是公差为正数的等差数列,其前n项和为S n,且a2•a3=15,S4=16.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)数列{b n}满足b1=a1,.①求数列{b n}的通项公式;②是否存在正整数m,n(m≠n),使得b2,b m,b n成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.【考点】数列递推式.【专题】综合题;函数思想;转化法;等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案;(Ⅱ)①把数列{a n}的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列{b n}的通项公式;②假设存在正整数m、n(m≠n),使得b2,b m,b n成等差数列,则b2+b n=2b m.由此列关于m的方程,求解得答案.【解答】解:(I)设数列{a n}的公差为d,则d>0.由a2•a3=15,S4=16,得,解得或(舍去).a n=2n﹣1;(Ⅱ)①∵b1=a1,,∴b1=a1=1,==(﹣),=(﹣),(n≥2)即b2﹣b1=(1﹣),b3﹣b2=(﹣),…,b n﹣b﹣1累加得:b n﹣b1=(1﹣)=,∴b n=b1+=1+=.b1=1也符合上式.故b n=,n∈N*.②假设存在正整数m、n(m≠n),使得b2,b m,b n成等差数列,则b2+b n=2b m.又b2=,b n==﹣,b m=﹣,∴+(﹣)=2(﹣),即=+,化简得:2m==7﹣.当n+1=3,即n=2时,m=2,(舍去);当n+1=9,即n=8时,m=3,符合题意.∴存在正整数m=3,n=8,使得b2,b m,b n成等差数列.【点评】本题考查数列递推式,考查了等差数列通项公式的求法,训练了裂项相消法及累加法求数列的通项公式,考查存在性问题的求法,是中档题.20.(12分)(2016•南昌校级二模)已知a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+ax﹣lnx,g(x)=e x.(其中e是自然对数的底数)(Ⅰ)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,设切点为P(x0,y0),求证:x0=1;(Ⅱ)令,若函数F(x)在区间(0,1]上是单调函数,求a的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的单调性与导数的关系.【专题】综合题;压轴题.【分析】(I)先对函数求导,,可得切线的斜率=,即,由x0=1是方程的解,且y=x2+lnx﹣1在(0,+∞)上是增函数,可证(Ⅱ)由,,先研究函数,则.由h'(x)在(0,1]上是减函数,可得h'(x)≥h'(1)=2﹣a,通过研究2﹣a的正负可判断h(x)的单调性,进而可得函数F(x)的单调性,可求【解答】解:(I)(x>0).…(2分)过切点P(x0,y0)的切线的斜率=整理得.…(4分)显然,x0=1是这个方程的解,又因为y=x2+lnx﹣1在(0,+∞)上是增函数,所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解.故x0=1.…(6分)(Ⅱ),.…(8分)设,则.易知h'(x)在(0,1]上是减函数,从而h'(x)≥h'(1)=2﹣a.…(10分)(1)当2﹣a≥0,即a≤2时,h'(x)≥0,h(x)在区间(0,1)上是增函数.∵h(1)=0,∴h(x)≤0在(0,1]上恒成立,即F'(x)≤0在(0,1]上恒成立.∴F(x)在区间(0,1]上是减函数.所以,a≤2满足题意.…(12分)(2)当2﹣a<0,即a>2时,设函数h'(x)的唯一零点为x0,则h(x)在(0,x0)上递增,在(x0,1)上递减.又∵h(1)=0,∴h(x0)>0.又∵h(e﹣a)=﹣e﹣2a+(2﹣a)e﹣a+a﹣e a+lne﹣a<0,∴h(x)在(0,1)内有唯一一个零点x',当x∈(0,x')时,h(x)<0,当x∈(x',1)时,h(x)>0.从而F(x)在(0,x')递减,在(x',1)递增,与在区间(0,1]上是单调函数矛盾.∴a>2不合题意.综合(1)(2)得,a≤2.…(15分)【点评】考查学生利用导数研究函数的单调能力,函数单调性的判定,以及导数的运算,试题具有一定的综合性.选修4-4:坐标系与参数方程21.(10分)在极坐标系中,圆C的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣3.若以极点O 为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.(Ⅰ)求圆C的参数方程;(Ⅱ)在直角坐标系中,点P(x,y)是圆C上动点,试求x+2y的最大值,并求出此时点P的直角坐标.【考点】简单曲线的极坐标方程;函数的最值及其几何意义.【专题】方程思想;转化思想;三角函数的求值;坐标系和参数方程.【分析】(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣3.利用互化公式可得直角坐标方程,再利用同角三角函数的平方关系可得圆C的参数方程.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,设点P(2+cosθ,2+sinθ),可得x+2y=6+5,设sinα=,则,可得x+2y=6+5sin(θ+α),再利用三角函数的单调性与值域即可得出最大值.【解答】解:(Ⅰ)∵圆C的极坐标方程为:ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)﹣3.∴直角坐标方程为:x2+y2﹣4x﹣4y+3=0,即(x﹣2)2+(y﹣2)2=5为圆C的普通方程.利用同角三角函数的平方关系可得:圆C的参数方程为(θ为参数).(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,设点P(2+cosθ,2+sinθ),∴x+2y=2+cosθ+2(2+)=6+5设sinα=,则,∴x+2y=6+5sin(θ+α),当sin(θ+α)=1时,(x+2y)max=11,此时,θ+α=,k∈Z.∴sinθ=cosα=,cosθ=sinα=.点P的直角坐标为(3,4)时,x+2y取得最大值11.【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、同角三角函数的基本关系式、圆的参数方程及其应用、三角函数的单调性与值域、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.选修4-5:不等式选讲22.已知m,n都是实数,m≠0,f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|.(Ⅰ)若f(x)>2,求实数x的取值范围;(Ⅱ)若|m+n|+|m﹣n|≥|m|f(x)对满足条件的所有m,n都成立,求实数x的取值范围.【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法.【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用.【分析】(1)利用绝对值的意义,|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标,从而得出结论.(2)转化不等式为2|x﹣1|+|x﹣2|≤,利用函数恒成立以及绝对值的几何意义,求出x的范围即可.【解答】解:(1)由f(x)>2,即|x﹣1|+|x﹣2|>2.而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和,故不等式|x﹣1|+|x﹣2|>2的解集为﹛x|x<或x>﹜,(2)由题知,|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立,故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值.∵|m+n|+|m﹣n|≥|m+n+m﹣m|=2|m|,当且仅当(m+m)(m﹣m)≥0 时取等号,∴的最小值等于2,∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解.由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2,故不等式的解集为[,].【点评】本题考查函数恒成立以及绝对值的意义,绝对值不等式的解法,判断数轴上满足|x ﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和,是解题的关键.考查转化思想的应用.。
福建省师范大学附属中学高三上学期期中考试数学(理)试题
![福建省师范大学附属中学高三上学期期中考试数学(理)试题](https://img.taocdn.com/s3/m/61f17230336c1eb91a375df1.png)
福建师大附中 高三 上学期期中考试数学(理科)试卷试卷说明:(1)本卷共三大题,22小题,解答写在答卷的指定位置上,考试结束后,只交答卷。
(2)考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合{|110}A x x =-<…,集合{|lg 1}B x x =…,则AB =2.若非零向量a ,b 满足||||a b =,向量2a b +与b 垂直,则a 与b 的夹角为3.已知0.21.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系为4. 《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5,前九个节气日影长之和为85.5尺,则芒种日影长为5. 设}{n a 是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“0<q ”是“对任意的正整数n ,0212<+-n n a a ”的A .{|110}x x -≤<B .{|110}x x -≤≤C .{|010}x x <<D .{|010}x x <≤ A .150︒B .120︒C .60︒D .30°A .b a c <<B .c a b <<C .c b a <<D .b c a <<A .1.5尺B .2.5尺C .3.5尺D .4.5尺A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件6. 若1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos 22a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭7.己知某函数图象如图所示,则此函数的解析式可能是A. 1()sin 1x xe f x x e -=⋅+ B. 1()sin 1xxe f x x e -=⋅+ C. 1()cos 1xx e f x x e -=⋅+ D. 1()cos 1xxe f x x e -=⋅+ 8. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金ABC ∆中,BC AC =.根据这些信息,可得sin 234︒=A.14-B. 38+-C.D. 48+-9. 若x ,y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,目标函数z ax y =+仅在点(2,0)处取得最小值,则实数a的取值范围是10. 已知平面向量,PA PB 满足11,2PA PB PA PB ==⋅=-,若1BC =,则AC 的最大值为11.已知函数()21cos (0,R)22xf x x x ωωω=+->∈.若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点,则ω的取值范围是10,2)()B .3-C .21+D .3112.设函数()2e +xf x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点12x x ,(12x x <),则实数a 的取值范围是(非选择题,共90分)二、填空题:每小题5分,共20分. 13.边界在直线,x e y x ==及曲线1y x=上的封闭的图形的面积为 . 14. 16至17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰⋅纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即=ba N ⇔=log ab N .现在已知2=3a, 3=4b ,则ab = .15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.现要测量如图所示的蓝洞的口 径A ,B 两点间的距离,在珊瑚群岛上取两点C ,D , 测得80CD =,135ADB ∠=︒,15BDC DCA ∠∠==︒,120ACB ∠=︒,则A ,B 两点的距离为________.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S (*n N ∈),且满足212n n S S n n ++=+,若对*1,n n n N a a +∀∈<恒成立,则首项1a 的取值范围是_________.三、解答题:共70分。
福建省福建师范大学第二附属中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
![福建省福建师范大学第二附属中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案](https://img.taocdn.com/s3/m/1b1134bb83d049649b66583a.png)
绝密★启用前2017-2018师大二附中高三上数学期中测试卷考试时间:120分钟;命题人:高三数学组第I 卷(选择题)一、选择题1.已知集合(){}0A x x x e =-≤,{}y=ln(1-)B x x =,则A B ⋂=( ) A. (],e -∞ B. 1,e () C. [0,e] D. [0,1) 2.设复数11z i i=++,则z =( ) .A.12B. C. D. 23.下列函数既是偶函数又在区间+∞(0,)上单调递减的函数为( )A. 1lny x= B. 2log y x= C. 3y x =- D. y =4.“函数2()22f x x ax =+-在区间(.2]-∞-内单调递减”是“2a =”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,若624S a =,33a =,则10a =( ) A. 3- B. 3 C. 6- D. 6 6.已知等比数列{}n a 的前项和为n S ,若53a =,6328S S =,则3a =( )A.19 B. 13C. 3D. 9 7.在ABC ∆中,,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边,若cos c A b =, 则ABC ∆形状为( )A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.直角三角形或等腰三角形8.已知锐角满足2sin 263θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭,则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A. 19-B. C. D. 199.已知函数()sin cos f x a x x =+(为常数,x R ∈)的图像关于直线6x π=对称,则函数()sin cos g x x a x =+的图象( )A. 关于点(,0)3π对称 B. 关于点2(,0)3π对称 C. 关于直线3x π=对称 D. 关于直线6x π=对称10.已知函数()()()0),,ln x f x x x g x x e h x x x =>=+=+ 的零点分别为123,,x x x ,则( ) A. 123x x x << B. 213x x x << C. 231x x x << D. 312x x x <<11.已知命题000:,0,xp x R e mx ∃∈-=若p ⌝为真命题,则实数m 的取值范围是( ) A. ()(),04,-∞⋃+∞ B. []0,4 C. [)0,e D. ()0,e12.已知函数()y f x =的定义域为R ,当0x <时,()1f x >,且对任意的实数,x y R ∈,等式()()()f x f y f x y =+成立,若数列{}n a 满足11()()1()1n nf a f n N a ++=∈+,且1(0)a f =,则下列结论成立的是( )A. 20132016()()f a f a >B. 20132016()()f a f a <C. 20132015()()f a f a <D. 20132015()()f a f a >第II 卷(非选择题)二、填空题13.若(,)2απ∈,1tan()47πα+=,则cos α=____________. 14.已知向量()1,2a =, (),1b x =-,若()aa b -,则a b ∙=__________.15.已知三个向量,,a b c 共面,均为单位向量, a b ∙=0,则a b c +-的最大值为______. 16.设函数()322ln f x x ex mx x =-+-,记()()f xg x x=,若函数()g x 至少存在一个零点,则实数m 的取值范围是_____________.三、解答题17.已知等差数列{}n a 的公差为2,且1a , 12a a +, ()142a a +成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n S ,求证: 6n S <. 18.已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)若02x π≤≤,求函数()f x 的值域;(2)设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若A 为锐角且()2,3f A b c ===,求()cos A B -的值.19.在ABC 中,角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,3B π=,若cos cos 3sin B C Ab c C+=.(1) 求ABC 面积的最大值. (2) 若1sin sin 2A C =,求ABC 的周长 .20.设各项均为正数的数列{}n a 的前项和为n S ,满足21441n n S a n +=--,且2514,,a a a 构成等比数列.(1) 求12a a ,; (2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前项和为n T ,求n T ;(3)已知数列{}n b ,12n n n b b a +=+,是否存在实数λ使得数列{}2n b n λ++为等比数列?21.已知函数()11ln f x x ax a=+-, R a ∈且0a ≠. (1)若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增,求实数的取值范围;(2)设函数()e xg x x p =-+,若存在[]01,e x ∈,使不等式()000e ln xg x x ≥成立,求实数p 的取值范围.22.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>,过点(2,4)P --的直线的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数),直线与曲线C 相交于A,B 两点.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线的普通方程; (2)若2PA PB AB ⋅=,求的值.1-12 DBABA BCBCC CD 13.45- 14. 52- 15. 1 16.21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ 17. 解析:(1)数列{}n a 为等差数列,所以: 2112a a d a =+=+, 41136a a d a =+=+, 1a ,因为12a a +, ()142a a +成等比数列,所以: ()()2121142a a a a a +=+,解得: 11a =,所以:12121n a n n =+-=-().(2)已知112122n n n a n ---=, 0111321222n n n S --=++⋯+①12113212222nnn S -=++⋯+②,①-②得: 1111121122222n n n n S --⎛⎫=++⋯+- ⎪⎝⎭ 421322n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ 2332n n +-,所以: 12362n n n S -+=-,由于1n ≥,所以: 12302n n -+>, 12362nn n S -+=-.18. 解析:(1)()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==1sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛⎫=++=++⎪⎝⎭由02x π≤≤得,42333x πππ≤+≤,sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.∴0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭,即函数()f x 的值域为0,1⎡+⎢⎣⎦.(2)由()sin 23f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 又由02A π<<,∴42333A πππ<+<,∴2,33A A πππ+==.在ABC ∆中,由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=,得a =由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin 7b A B a ==,∵b a <,∴B A <,∴cos B =∴()1cos cos cos sin sin 2A B A B A B -=+==19.20.(1)当时,,,当时,是公差的等差数列.构成等比数列,,,解得,当时,,是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为.(2)由(1)可知,21. 解析:(1)当0a <时,函数()f x 是()0,+∞上的单调递增函数,符合题意; 当0a >时,由()210ax f x ax -'=>,得1x a>, ∵函数()f x 在区间[)1,+∞内单调递增,∴11a≤,则1a ≥. 综上所述,实数的取值范围是()[),01,-∞⋃+∞. (另由()210ax f x ax -'=>对[)1,x ∈+∞恒成立可得,当0a <时,符合; 当0a >时, 10ax -≥,即1a x≥,∴1a ≥.综上()[),01,a ∈-∞⋃+∞(2)∵存在[]01,e x ∈,使不等式()000e ln xg x x ≥成立,∴存在[]01,e x ∈,使()00ln 1e xp x x ≥-+成立.令()()ln 1e x h x x x =-+,从而()[]()min 1,e p h x x ≥∈,()1ln 1e 1x h x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭'.由(1)知当1a =时, ()1ln 1f x x x=+-在[]1,e 上递增,∴()()10f x f ≥=. ∴1ln 10x x+-≥在[]1,e 上恒成立. ∴()1ln 1e 1010x h x x x ⎛⎫=+-+≥+>⎪⎭'⎝, ∴()()ln 1e xh x x x =-+在[]1,e 上单调递增. ∴()()min 11e h x h ==-,∴1e p ≥-. 实数p 的取值范围为[)1e,-+∞.22. 解析:(1)由得:,∴曲线的直角坐标方程为:,由消去得:,∴直线的普通方程为:(2)直线的参数方程为(为参数),代入,得到设对应的参数分别为,则是方程的两个解,由韦达定理得:,因为,所以,解得.。
福建师大附中2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
![福建师大附中2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题](https://img.taocdn.com/s3/m/b39860e8da38376bae1fae18.png)
福建师大附中2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 已知1cos()62πα-=,则cos cos()3παα+-=( )A .12B .12± CD.2. 以下四个命题中,真命题的是( ) A .2,2x R x x ∃∈≤-B .“对任意的x R ∈,210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈,20010x x ++<C .R θ∀∈,函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D .已知m ,n 表示两条不同的直线,α,β表示不同的平面,并且m α⊥,n β⊂,则“αβ⊥”是 “//m n ”的必要不充分条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识,意在考查逻辑推理能力.3. 已知,A B 是球O 的球面上两点,60AOB ∠=︒,C 为该球面上的动点,若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为( )A .81πB .128πC .144πD .288π【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力.4. 过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2218-=y x 的一条渐近线平行,并交其抛物线于A 、 B 两点,若>AF BF ,且||3AF =,则抛物线方程为( )A .2y x =B .22y x =C .24y x =D .23y x =【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识,意在考查方程思想和运算能力.5. 已知三个数1a -,1a +,5a +成等比数列,其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项,则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为( ) A .9 B .8 C.7 D .5 6. 已知点A (0,1),B (3,2),C (2,0),若AD →=2DB →,则|CD →|为( )A .1 B.43C.53D .27. 已知集合23111{1,(),,}122i A i i i i -=-+-+(其中为虚数单位),2{1}B x x =<,则A B =( ) A .{1}- B .{1} C .{1,}2- D .{}28. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为棱11A B 中点,点Q 在侧面11DCC D 内运动,若1PBQ PBD ∠=∠,则动点Q 的轨迹所在曲线为( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识,意在考查空间想象能力.9. 数列{}n a 中,11a =,对所有的2n ≥,都有2123n a a a a n =,则35a a +等于( )A .259B .2516C .6116D .311510.已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π,090ABC ∠=,三棱锥S ABC -的三视图如图所示,则其侧视图的面积的最大值为( )A .4B .C .8D .11.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 是侧面11BB C C 内一动点,若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A 1CA B A.直线 B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识,意在考查空间想象能力. 12.已知平面向量(12)=,a ,(32)=-,b ,若k +a b 与a 垂直,则实数k 值为( ) A .15- B .119 C .11 D .19【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识,意在考查基本运算能力.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在横线上)13.已知函数21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩,()21xg x =-,则((2))f g = , [()]f g x 的值域为 .【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识,意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 14.等比数列{a n }的前n 项和S n =k 1+k 2·2n (k 1,k 2为常数),且a 2,a 3,a 4-2成等差数列,则a n =________. 15.将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ,若1C 与2C 关于x 轴对称,则ω的最小值为_________.16.若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增,则实数的取值范围是__________.三、解答题(本大共6小题,共70分。
2010-2023历年福建师大附中高三上学期期中考试理科数学卷
![2010-2023历年福建师大附中高三上学期期中考试理科数学卷](https://img.taocdn.com/s3/m/112c591868eae009581b6bd97f1922791688bed1.png)
2010-2023历年福建师大附中高三上学期期中考试理科数学卷第1卷一.参考题库(共20题)1.由曲线与直线所围成的区域在直线和间的面积为 ;2.(本小题12分)如图,一只船在海上由西向东航行,在处测得某岛的方位角为北偏东角,前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角,已知该岛周围范围内有暗礁,现该船继续东行.(I)若,问该船有无触礁危险?如果没有,请说明理由;如果有,那么该船自处向东航行多少距离会有触礁危险?(II)当与满足什么条件时,该船没有触礁危险?3.若函数的导数的最大值为3,则的图像的一条对称轴的方程是()A.B.C.D.4.(本小题12分)已知函数.(I)若在[1,+∞上是增函数,求实数a的取值范围;(II)若是的极值点,求在[1,a]上的最小值和最大值.5.设函数的定义域为R,若存在与无关的正常数M,使对一切实数均成立,则称为“有界泛函”,给出以下函数:;;;.其中是“有界泛函”的个数为()A.0B.1C.2D.36.设全集,集合,集合为函数的定义域,则等于()A.B.C.D.7.如果角的终边过点,则的值等于()A.B.C.D.8.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的一部分图象如图所示,则ω、φ的值分别是()A.1,B.1,–C.2,D.2,–9.(本小题12分)已知函数(为常数)是实数集上的奇函数,函数是区间[-1,1]上的减函数.(I)求的值;(II)若在及所在的取值范围上恒成立,求的取值范围;(Ⅲ)讨论关于的方程的根的个数.10.把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再把所得函数的图象向右平移个单位,得到图象的解析式为()A.B.C.D.11.已知= 则f( 2011 )等于()A.–1B.0C.1D.212.(本小题12分)设函数,,其中,将的最小值记为.(I)求的表达式;(II)设,讨论在区间内的单调性.13.在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数的图像恰好经过个格点,则称函数为阶格点函数.已知函数:①;②;③;④.其中为一阶格点函数的序号为.14.在锐角中,分别是的对边,若的面积为,则的长度为 ;15.若是常数,则“”是“对任意,有”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.(本小题12分)设函数,(I)求的最小正周期以及单调增区间;(II)当时,求的值域;(Ⅲ)若,求的值.17.在中,分别是的对边,若,则的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形18.函数零点的个数是()A.2B.3C.4D.519.函数的部分图象是()20.(本小题10分)在中,分别是的对边,已知是方程的两个根,且.求的度数和的长度.第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案:42.参考答案:(I)该船自向东航行会有触礁危险.(II)时,该船没有触礁危险.3.参考答案:A4.参考答案:(I)(II)f(x)在,上的最小值是,最大值是.5.参考答案:C6.参考答案:C7.参考答案:C8.参考答案:C9.参考答案:(I)=0(II)(Ⅲ)①当时,方程无解.②当时,方程有一个根.③当时,方程有两个根.10.参考答案:B11.参考答案:D12.参考答案:(I)(II)当时,在区间内单调递增;当时,在区间内单调递减;当时,在区间单调递减,在区间单调递增.13.参考答案:①③14.参考答案:15.参考答案:A16.参考答案:(I)的最小正周期为π.的单调增区间为(II)的值域为.(Ⅲ)17.参考答案:D18.参考答案:B19.参考答案:C20.参考答案:,。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
福建师大附中2018-2018学年第一学期高三半期考试卷高三数学 (理科)(满分:150分,时间:120分钟)说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷. 一、选择题:(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=,则集合A B 中的元素个数为( )A . 2 B. 3 C .4 D. 52.已知()211i i z-=+(i 为虚数单位),则复数z =( ) A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --3.已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是:( )A .p q ∧ B.p q ⌝∧ C .p q ∧⌝ D.p q ⌝∧⌝ 4.已知点A的坐标为(),将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ,则点B 的纵坐标为( )AC .132D .1125.若f (x )=x 2+2⎠⎜⎛01f (x )d x ,则⎠⎜⎛1f (x )d x =( )A . -1B . -13 C. 13 D . 16. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( )A .7 B.5 C .-5 D. -7 7.若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan 21tan2αα+=-( )A . 12- B. 12C . 2D. -2 8.若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭,则cos sin αα+的值为( )A. B.12- C.129.存在函数()f x 满足:对任意x R ∈都有( ) A.(sin 2)sin f x x = B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+10.设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B .()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11.设θ为两个非零向量a 、b 的夹角,已知对任意实数t ,||t a b +的最小值为1,( )A.若θ确定,则 ||a 唯一确定B.若θ确定,则 ||b 唯一确定C.若||a 确定,则 θ唯一确定D.若||b 确定,则θ唯一确定12.设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1,若存在唯一的整数0x ,使得0()f x 0,则a 的取值范围是( ) A .[-32e ,1) B. [-错误!未找到引用源。
,34错误!未找到引用源。
) C .[错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
) D. [错误!未找到引用源。
,1) 二、填空题:(每小题5分,共30分)13.()1cos f x x x=,则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭.14.若非零向量,a b 满足32a b a b==+,则,a b 夹角的余弦值为_______.15.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图象重合,则ϕ= 。
16.如图在平行四边形ABCD中,已知8,5AB AD ==,3,2CP PD AP BP =⋅=,则AB AD ⋅的值是 .17.如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==,,,并在点C测得塔顶A 的仰角为θ,则塔高AB为_______.第16题图 第17题图 18.函数11+=x y 的图像与函数2sin (2y x x π=-≤≤)24(≤≤-x 的图像所有交点的横坐标之和等于 . 三、解答题:(本大题共5题,共60分) 19.(本小题满分11分)已知数列{}n a 的前n 项和232n n n S n N *-=∈,.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:对任意1n >,都有m N *∈,使得1n m a a a ,,成等比数列. 20.(本小题12分)已知向量(2sin ,sin )a x x =,(sin ,)b x x =,函数()f x a b =⋅(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos cos cos a B b C c B =+,若对任意满足条件的A ,不等式()f A m >恒成立,求实数m 的取值范围21.(本题满分12分)ABC ∆中,D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍.(Ⅰ) 求sin sin B C∠∠;(Ⅱ)若1AD =,DC =BD 和AC 的长. 22.(本小题满分12分) 已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当1x >时,()1f x x <-.23.(本小题满分13分) 设函数x a x x f ln )()(+=,xex x g 2)(=.已知曲线错误!未找到引用源。
在点(1,(1))f 处的切线与直线02=-y x 错误!未找到引用源。
平行. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)是否存在自然数k ,使得方程错误!未找到引用源。
在(,1)k k +内存在唯一的根?如果存在,求出k ;如果不存在,请说明理由;(Ⅲ)设函数错误!未找到引用源。
({},min p q表示,,p q中的较小值),求()m x的最大值.福建师大附中2018-2018学年第一学期高三数学(理)半期考试卷 参考答案一、选择题: AD B C B D A C D A B D二、填空题: 13. π3- 14. 31- 15. 56π 16.4417. tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+· 18. -419.(本小题满分11分)解:(1)因为232n n nS -=,所以当2n ≥时132,n n n a S S n -=-=-又1n =时,11312,n a S ===⨯-所以32,n a n =-(2)要使得1n ma a a ,,成等比数列,只需要21n ma a a =,即22(32)1(32),342n m m n n -=⨯-=-+.而此时m N *∈,且,m n >所以对任意1n >,都有m N *∈,使得1n m a a a ,,成等比数列.20.21.【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠,1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠,因为2ABD ADC S S ∆∆=,BAD CAD ∠=∠,所以2AB AC =.由正弦定理可得sin 1sin 2B AC CAB∠==∠.(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=,所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中,由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠,2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠. 222222326AB AC AD BD DC +=++=.由(Ⅰ)知2AB AC =,所以1AC =. 22.【解析】(Ⅰ)()2111x x f x x x x-++'=-+=,()0,x ∈+∞.由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得0x <<故()f x 的单调递增区间是⎛⎝. (Ⅱ)令()()()F 1x f x x =--,()0,x ∈+∞.则有()21F x x x-'=.当()1,x ∈+∞时,()F 0x '<, 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减,故当1x >时,()()F F 10x <=,即当1x >时,()1f x x <-. 23.解:(Ⅰ)由题意知,曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2,所以'(1)2f =, 又'()ln 1,a f x x x=++所以1a =.(Ⅱ)1k =时,方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根.设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-当(0,1]x ∈时,()0h x <. 又2244(2)3ln 2ln 8110,h e e =-=->-= 所以存在0(1,2)x ∈,使0()0h x =.因为1(2)'()ln 1,xx x h x x xe-=+++所以当(1,2)x ∈时,1'()10h x e>->,当(2,)x ∈+∞时,'()0h x >,所以当(1,)x ∈+∞时,()h x 单调递增.所以1k =时,方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ,且0(0,)x x ∈时,()()f xg x <,0(,)x x ∈+∞时,()()f xg x >,所以020(1)ln ,(0,](),(,)x x x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩. 当0(0,)x x ∈时,若(0,1],()0;x m x ∈≤若0(1,),x x ∈由1'()ln 10,m x x x=++>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤当0(,)x x ∈+∞时,由(2)'(),xx x m x e-=可得0(,2)x x ∈时,'()0,()m x m x >单调递增;(2,)x ∈+∞时,'()0,()m x m x <单调递减; 可知24()(2),m x m e ≤=且0()(2)m x m <. 综上可得:函数()m x 的最大值为24e.。