甘肃省兰州四中2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试卷
兰州市高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷(测试)
兰州市高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中真命题是（）①;②命题“”的否定是“”;③“若a>b>0,c<0则”的逆否命题是真命题;④若命题p:。
命题q:。
则命题是真命题。
A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ②③④2. （2分）(2018·河北模拟) 设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若的面积是的三倍，，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）(2012·辽宁理) 在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A . 58B . 88C . 143D . 1764. （2分）若实数x,y满足,则z=x+2y的最小值是（）A . 0B .C . 1D . 25. （2分） (2016高二上·黄石期中) 双曲线 =1和椭圆 =1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 等腰三角形6. （2分） (2018高二下·科尔沁期末) “a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的（）A . 充要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）等差数列中，，则的值为（）A . 50B . 18C . 39D . 368. （2分） (2016高二上·湖北期中) 在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ +μ ，则λ+μ的值为（）A .B .C .D . 19. （2分）(2017·九江模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为，从C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为（）A . ﹣ =1B . ﹣y2=1C . ﹣ =1D . x2﹣ =110. （2分）已知向量=（0，2，1），=（1，﹣1，2 ）的夹角为（）A . 0°B . 45°C . 90°D . 180°11. （2分） (2015高二上·宝安期末) 若动点M（x，y）始终满足关系式 + =8，则动点N的轨迹方程为（）A .B .C .D .12. （2分）如图所示，A,B,C分别为的顶点与焦点，若∠ ABC=90°，则该椭圆的离心率为（）A .B . 1－C . －1D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）在等比数列{an}中，an＞0，（n∈N+）且a3a6a9=8，则log2a2+log2a4+log2a6+log2a8+log2a10=________．14. （1分）(2018·石家庄模拟) 命题：，的否定为________15. （1分）(2017·广西模拟) 椭圆的离心率为________．16. （1分） (2017高二上·南通期中) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为________．三、解答题： (共6题；共31分)17. （5分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，CD=2，AD=4．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若异面直线PQ与CD所成的角为45°，二面角C﹣BM﹣D的大小为θ，求cosθ的值．18. （1分）(2017·延边模拟) 已知抛物线y= x2 ， A，B是该抛物线上两点，且|AB|=24，则线段AB 的中点P离x轴最近时点的纵坐标为________．19. （5分） (2017高二下·临沭开学考) 如图，在△ABC中，AC=10，，BC=6，D是边BC延长线上的一点，∠ADB=30°，求AD的长．20. （5分） (2016高三上·厦门期中) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．21. （10分）设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S2=12，且a1 ， a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an•（n﹣λ），且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．22. （5分） (2018高二上·南阳月考) 曲线，设过焦点且斜率为的直线交曲线于两点，且，求的方程.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共31分)17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
兰州市高二上学期期末数学试卷(理科)(II)卷(考试)
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） 满足 的f(x)（ ）
A . 存在且有无限个
B . 存在且只有有限个
C . 存在且唯一
D . 不存在
2. （2分） 已知圆 在曲线 的内部，则半径r的范围是（ ）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2016高三上·红桥期中) 以下说法正确的有（ ）
（1）y=x+ （x∈R）最小值为2；
（2）a2+b2≥2ab对a，b∈R恒成立；
（3）a＞b＞0且c＞d＞0，则必有ac＞bd；
（4）命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”；
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2016高三上·桓台期中) 设函数f（x）=x3﹣12x+b，则下列结论正确的是（ ）
A . 函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增
B . 函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减
C . 若b=﹣6，则函数f（x）的图象在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y=10
21. （10分） (2016高二上·湖北期中) 已知函数f（x）= 在（﹣1，+∞）是增函数．
（1） 当b=1时，求a的取值范围．
（2） 若g（x）=f（x）﹣1008没有零点，f（1）=0，求f（﹣3）的值．
参考答案
一、 单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
甘肃省兰州市高二上学期期末数学试卷(理科)
甘肃省兰州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·万州期末) 已知为命题，则“ 为假”是“p 为假”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）等差数列的前n项和为Sn ，若，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·河南期末) 已知实数对（x，y）满足，则2x+y取最小值时的最优解是（）A . 6B . 3C . （2，2）D . （1，1）5. （2分） (2016高三上·思南期中) 过抛物线y2=2px焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 不确定D . 钝角三角形6. （2分） (2016高二上·上杭期中) 已知a∈R，“函数y=logax在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3x+a ﹣1有零点”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2016高一下·宜春期中) 一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列，若且前4项和，则此样本的平均数和中位数分别是（）A . 22,23B . 23,22C . 23,23D . 23,248. （2分）(2014·安徽理) 在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，| |=| |=1，• =0，点Q满足 = （ + ），曲线C={P| = cosθ+ sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A . 1＜r＜R＜3B . 1＜r＜3≤RC . r≤1＜R＜3D . 1＜r＜3＜R9. （2分） (2017高三下·漳州开学考) 已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2 ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2 ，则e1e2的取值范围为（）A .B .C . （2，+∞）D .10. （2分）已知A点的坐标是(-1,-2,6)，B点的坐标是(1,2,-6)，O为坐标原点，则向量的夹角是（）A . 0B .C .D .11. （2分） (2016高二上·蕲春期中) 方程 + =1表示曲线C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（）①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4③曲线C不可能是圆④若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则1＜t＜．A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2016高二上·商丘期中) 已知F1、F2是椭圆C： =1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥ ，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·桐乡期中) 若等差数列{an}的公差d≠0且a9 ， a3 ， a1成等比数列，则=________．14. （1分）命题“∃x0∈R，使”的否定为________命题（填“真”或“假”）．15. （1分） (2018高二上·淮北月考) 若点坐标为，是椭圆的下焦点，点是该椭圆上的动点，则的最大值为，最小值为，则 ________．16. （1分） (2015高二上·湛江期末) 已知F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得 =8a，则双曲线的离心率的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共36分)17. （5分）四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，且AB=AD=1，PD=DC=2，E是CD的中点．（Ⅰ）求异面直线AE与PC所成的角；（Ⅱ）线段PB上是否存在一点Q，使得PC⊥平面ADQ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18. （1分） (2017高二下·淄川开学考) 设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为________．19. （5分）为了绘制海底地图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B两点的距离为海里．（1）求△ABD的面积；（2）求C，D之间的距离．20. （10分） (2016高二上·衡水期中) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（1）求证：A1O∥平面AB1C；（2）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．21. （5分） (2017高三上·济宁期末) 数列{an}是公比为q（q＞1）的等比数列，其前n项和为Sn ．已知S3=7，且3a2是a1+3与a3+4的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设bn= ，cn=bn（bn+1﹣bn+2），求数列{cn}的前n项和Tn ．22. （10分） (2018高三上·南阳期末) 平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点、．①求证：；②求面积的最大值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共36分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2017-2018学年甘肃省兰州市兰州一中高二上学期理科数学期末试卷(理科)
2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（理科）注意事项：1.全卷共150分，考试时间120分钟。
2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上。
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。
4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，共150分，考试时间120分钟.一、第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小5题分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2017一中理）（5分）抛物线216y x =的准线方程是（ ） A.4x =B.4x =-C.164y =D.164y =-【分析】根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析其开口方向以及p 的值，由抛物线的准线方程即可得答案．【解答】解：抛物线的方程为216y x =，其标准方程为2116x y =， 其开口向上，且132p =， 则其准线方程为：164y =-； 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意将抛物线的方程变形为标准方程．2．（2017一中理）（5分）若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为（ ）A.B.54C.45D.53【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到,a b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点()3,4-，可得34b a =，即()222916c a a -=，解得53c a =． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．3．（2017一中理）（5分）“13m <<”是“方程22113x y m m+=--表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程22113xy m m+=--表示椭圆， 则满足103013m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即132m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，即13m <<且2m ≠，此时13m <<成立，即必要性成立，当2m =时，满足13m <<，但此时方程22113x y m m +=--等价为22111x y +=为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立 故“13m <<”是“方程22113x y m m+=--表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键． 4．（2017一中理）（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（ ）米．A ．22B ．42C ．43D ．23【分析】先建立直角坐标系，将A 点代入抛物线方程求得m ，得到抛物线方程，再把4y =-代入抛物线方程求得0x 进而得到答案．得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将()2,2A -代入2x my =， 得2m =-∴22x y =-，代入()0,4B x -得022x = 故水面宽为42． 故选：B ．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．5．（2017一中理）（5分）椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ,左、右焦点分别是12,F F ．若1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A ．14B 5C ．12D 52【分析】由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+，由1121,,AF F F F B 成等比数列可得到22215c e a ==，从而得到答案．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c ，由题意可得，1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+， ∵1121,,AF F F F B 成等比数列， ∴()()()22c a c a c =-+，∴2215c a =，即215e =， ∴5e =5． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用,a c 分别表示出1121,,AF F F F B 是关键，属于基础题．6．（2017一中理）（5分）若()(),5,21,1,2,2A x x x b x x --+-，当AB 取最小值时，x 的值等于（ ） A. 19B ．87-C ．87D ．1914【分析】利用向量的坐标公式求出AB 的坐标；利用向量模的坐标公式求出向量的模；通过配方判断出二次函数的最值．【解答】解：()1,23,33AB x x x =---+，()()()22212333AB x x x =-+-+-+2143219x x -+求出被开方数的对称轴为87x =， 当87x =时，AB 取最小值． 故选：C ．【点评】本题考查向量的坐标公式、考查向量模的坐标公式、考查二次函数的最值与其对称轴有关． 7．（2017一中理）（5分）已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题:,1x q x R e ∀∈>，则（ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命()p q ∨⌝是假命题【分析】利用函数的性质先判定命题p q ，的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 【解答】解：对于命题p ：例如当10x =时，81>成立，故命题p 是真命题； 对于命题:,1x q x R e ∀∈>，当0x =时命题不成立，故命题q 是假命题； ∴命题()p q ∧⌝是真命题． 故选：C ．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，属于基础题． 8．（2017一中理）（5分）设12,F F 为曲线221:162x y C +=的焦点,P 是曲线222:13x C y -=与1C 的一个交点，则12cos F PF ∠的值是（ ）A ．12B C ．13D 【分析】先计算两曲线的焦点坐标，发现它们共焦点，再利用椭圆与双曲线定义，计算焦半径12,PF PF ，最后在焦点三角形12PF F 中，利用余弦定理计算即可．【解答】解：依题意，曲线221:162x y C +=的焦点为()()122,0,2,0F F -， 双曲线222:13x C y -=的焦点也为()()122,0,2,0F F -， P 是曲线2C 与1C 的一个交点，设其为第一象限的点 由椭圆与双曲线定义可知1212PF PF PF PF +=-=解得12PF PF = 设12F PF θ∠=则()()()()222636341cos 326363θ++--==+-， 故选：C ．【点评】本题综合考查了椭圆与双曲线的定义，解题时要透过现象看本质，用联系的观点解题．9．（2017一中理）（5分）已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点,2F 是椭圆的右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】利用三角形的周长以及椭圆的定义，求出周长的最小值．【解答】解：椭圆的方程为22194x y +=， 26,24,25a b c ∴===，连接11,AF BF ，则由椭圆的中心对称性可得2ABF ∆的周长22122l AF BF AB AF AF AB a AB =++=++=+， 当AB 位于短轴的端点时，AB 取最小值，最小值为24b =， 266410l a AB AB =+=+≥+=.故选：D ．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义及焦点三角形的性质，考查数形结合思想，属于基础题．10．（2017一中理）（5分）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，O 是底面1111ABC D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ）A ．12B 2C 2D 3【分析】过O 作11AB 的平行线，交11BC 于E ，则O 到平面11ABC D 的距离即为E 到平面11ABC D 的距离．作1EF BC ⊥于F ，进而可知EF ⊥平面11ABC D ，进而根据114EF BC =求得EF ． 【解答】解：过O 作11AB 的平行线，交11BC 于E ， 则O 到平面11ABC D 的距离即为E 到平面11ABC D 的距离． 作1EF BC ⊥于F ，易证EF ⊥平面11ABC D ， 可求得1124EF BC == 故选：B ．【点评】本题主要考查了点到面的距离计算．解题的关键是找到点到面的垂线，即点到面的距离． 11．（2017一中理）（5分）已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线24y x =相交于A B 、两点，F 为抛物线的焦点，3AF FB =，则k =（ ） A ．22B 3C 2D 3【分析】设A 在第一象限，A B 、在准线上的射影分别为,M N ，过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,60,3AF AM m BN BF m BAF k ====∠==，当A 在第四象限时，可得3k =-． 【解答】解：设A 在第一象限，如图，设A B 、在准线上的射影分别为,M N ， 过B 作BE AM ⊥与E ，根据抛物线定义，可得：3,,2AF AM m BN BF m AE m ====∴=， 又4,60,3AB m BAF k =∴∠==， 当A 在第四象限时，可得3k =- 故选：B ．【点评】本题考查了抛物线的性质、定义，属于中档题．12．（2017一中理）（5分）过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，使得4AB b =，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎭B ．)5,+∞C ． 55⎝D ．()55,⎛+∞ ⎝⎭【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB 只与双曲线右支相交，②AB 与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．【解答】解：由题意过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，使得4AB b =，若这样的直线有且仅有两条，可得224b AB b a <=，并且24,1a b e >>，224b AB b a>=，并且24a b >，可得：51e <或5e 综合可得，有2条直线符合条件时，51e <或5e 故选：D ．【点评】本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解；要避免由弦长公式进行计算．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．（2017一中理）（5分）给定下列命题： ①“1x >”是“2x >”的充分不必要条件； ②“若1sin 2α≠，则6πα≠”； ③若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题；④命题“0,x R ∃∈使20010x x -+≤”的否定． 其中真命题的序号是__________．【分析】①直接由充分条件、必要条件的概念加以判断； ②找给出的命题的逆否命题，由其逆否命题的真假加以判断； ③由原命题的真假直接判断其逆否命题的真假；④首先判断给出的特称命题的真假，然后判断其否定的真假． 【解答】解：对于①，由1x >不能得到2x >，由2x >能得到1x >，∴“1x >”是“2x >”的必要不充分条件，命题①为假命题；对于②， “若6πα=，则1sin 2α=”为真命题， ∴其逆否命题“若1sin 2α≠，则6πα≠”为真命题，命题②为真命题； 对于③，由0xy =，可得0x =或0y =，∴“若0xy =，则0x =且0y =”为假命题，则其逆否命题为假命题；对于④，0,x R ∃∈使20010x x -+≤22000131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，∴命题“0,x R ∃∈使20010x x -+≤”为假命题，则其否定为真命题． ∴真命题的序号是②④．故答案为：②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，着重考查原命题与其逆否命题之间的真假关系，考查了命题与命题的否定，是中档题．14．（2017一中理）（5分）已知()()()2,1,3,1,4,2,7,5,a b c λ=-=--=，若,,a b c 三向量共面，则λ=__________．【分析】,,a b c 三向量共面三向量共面，存在,p q ，使得c pa qb =+由此能求出结果． 【解答】解：()()()2,1,3,1,4,2,7,5,a b c λ=-=--=，,,a b c 三向量共面三向量共面，∴存在,p q ，使得c pa qb =+， ()()7,5,2,4,32p q p q p q λ∴=--+-274532p q q p p q λ-=⎧⎪∴-=⎨⎪=-⎩， 解得331765,,32777p q p q λ===-=． 故答案为：657． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共面定理的合理运用．15．（2017一中理）（5分）已知A 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C 于P Q 、两点，若APQ ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围 ． 【分析】利用双曲线的对称性及锐角三角形45PAF ∠<得到AF PF >，求出A 的坐标；求出,AF PF 得到关于,,a b c 的不等式，求出离心率的范围． 【解答】解：APQ ∆是锐角三角形，PAF ∴∠为锐角，双曲线关于x 轴对称，且直线AB 垂直x 轴，45PAF QAF ∴∠=∠<, AF PF ∴>F 为座焦点，设其坐标为(),0c -所以(),0A a所以2,b AF a c PF a =+=2b ac a∴<+即2220c ac a --< 解得12ca-<< 双曲线的离心率的范围是()1,2 故答案为：()1,2【点评】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：222c a b =+考查双曲线的离心率问题就是研究三参数,,a b c 的关系．16．（2017一中理）（5分）如图，已知点C 的坐标是()2,2过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ，设点M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为__________．【分析】由题意可知：点M 既是Rt ABC ∆的斜边AB 的中点，又是Rt OAB ∆的斜边AB 的中点，可得OM CM =，利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：由题意可知：点M 既是Rt ABC ∆的斜边AB 的中点，又是Rt OAB ∆的斜边AB 的中点． OM CM ∴=，设(),M x y ()()222222x y x y +-+-化为20x y +-=． 故答案为20x y +-=.【点评】本题考查了直角三角形的斜边的中线的性质和两点间的距离公式，属于基础题． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.请将解答过程写在答题卡的相应位置）. 17（2017一中理）（一中）．（10分）给出两个命题： 命题甲：关于x 的不等式()2210x a x a +-+≤的解集为∅， 命题乙：函数()22xy a a =-为增函数． 分别求出符合下列条件的实数a 的范围． （1）甲、乙至少有一个是真命题； （2）甲、乙中有且只有一个是真命题．【分析】根据二次函数的图象和性质可以求出命题甲：关于x 的不等式()2210x a x a +-+≤的解集为∅为真命题时，a 的取值范围A ，根据对数函数的单调性与底数的关系，可以求出命题乙：函数()22xy a a =-为增函数为真命题时，a 的取值范围B ．（1）若甲、乙至少有一个是真命题，则A B 即为所求 （2）若甲、乙中有且只有一个是真命题，则()()U U A C B C A B 即为所求．【解答】解：若命题甲：关于x 的不等式()2210x a x a +-+≤的解集为∅为真命题 则()222143210a a a a ∆=--=--+<，即23210a a +->，解得113A a a a ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或若命题乙：函数()22xy a a =-为增函数为真命题 则221a a -> 即2210a a -->解得112B a a a ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或（1）若甲、乙至少有一个是真命题 则1123AB a a a ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或；（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题()()111132U U A C B C AB a a a ⎧⎫=<≤-≤<-⎨⎬⎩⎭或.【点评】本题以复合命题的真假判断为载体考查了函数的性质，其中分析出命题甲乙为真时，a 的取值范围，是解答的关键．18．（2017一中理）（12分）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，3SA =，（1）如图建立空间直角坐标系，写出,SB SC 的坐标； （2）求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值．【分析】（1）以A 为原点建系，则()()()()0,0,3,0,0,0,3,1,00,2,0S A BC ，即可求解．（2）求出面SBC 的法向量 ()3,3,2n =．设AB 与面SBC 所成的角为θ，则3sin 4n AB n ABθ⋅==⋅． 【解答】解：（1）以A 为原点建系如图，则()()()()0,0,3,0,0,0,3,1,00,2,0S A BC ．()()()3,1,0,3,1,3,0,2,3,AB SB SC ∴==-=-…（6分）（2）设面SBC 的法向量为(),,n x y z =． 则330230n SB x y z n SC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令3y =，则()2,3,3,3,2z x n ==∴=.设AB 与面SBC 所成的角为θ，则3sin 4n AB n ABθ⋅==⋅…12分【点评】本题考查了空间向量的应用，属于中档题．19．（2017一中理）（12分）如图，直棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB AB ===． （Ⅰ）证明：1//BC 平面1ACD ; （Ⅱ）求二面角1D AC E --的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过证明1BC 平行平面1ACD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明1//BC 平面1ACD （Ⅱ）证明DE ⊥平面1ACD ，作出二面角1D AC E --的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结1AC 交1AC 于点F ，则F 为1AC 的中点， 又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ， 因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， 所以1//BC 平面1ACD ． （Ⅱ）因为直棱柱111ABC A B C -，所以1AA CD ⊥， 由已知,AC CB D =为AB 的中点，所以CD AB ⊥， 又1AA AB A =，于是，CD ⊥平面11ABB A ，设22AB =，则12AA AC CB ===，得90ACB ∠=， 112,6,3,3CD A D DE A E ====故22211A D DE A E +=，即1DE AD ⊥，所以DE ⊥平面1A DC ， 又122AC =，过D 作1DF AC ⊥于F ，DEF ∠为二面角1D AC E --的平面角， 在1A DC ∆中，116A D DC DF AC ⋅==，2232EF DE DF =+=， 所以二面角1D AC E --的正弦值．6sin DE DEF EF ∠==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．（2017一中理）（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率6e =，,A B 是椭圆C 上两点，()3,1N 是线段AB 的中点．（1）求直线AB 的方程；（2）若以AB 210x y +-=相切，求出该椭圆方程．【分析】（1）根据椭圆的性质，利用离心率公式，得到椭圆()222:30C x y a a +=>，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为()31y k x =-+，联立消元，得到含有参数k 的关于x 的一元二次方程，利用判别式，韦达定理中点坐标公式，求得直线方程． （2）由圆心()3,1N10y +-=的距离d，可得AB =1k =-时方程①即2212424480,x x a AB x -+-=-224a =．【解答】解：（1）离心率e =，设椭圆()222:30C x y a a +=>， 设()()1122,,,A x y B x y 由题意，设直线AB 的方程为()31y k x =-+，代入2223x y a +=， 整理得()()()2222316313310k x k k x k a +--+--=．①()()2224313310a k k ⎡⎤∆=+-->⎣⎦，②且()12263131k k x x k -+=+，由()3,1N 是线段AB 的中点，得1232x x +=． 解得1k =-，代入②得212a >，∴直线AB 的方程为()113y x -=--，即40x y +-=..（6分） （2）圆心()3,1N10y +-=的距离d，AB ∴= 当1k =-时方程①即22424480x x a -+-=． 1221206124x x a x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=-⎪⎩12AB x ∴-224a =．∴椭圆方程为221248x y +=…（12分） 【点评】题主要考查了椭圆的性质以及和椭圆和直线的位置关系，关键设点的坐标，利用方程的思想，属于中档题．21．（2017一中理）（12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点()1,0F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（Ⅱ）首先由于过点(),0M m 的直线与开口向右的抛物线有两个交点,A B ，则设该直线的方程为x ty m =+（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现0FA FB ⋅<的等价转化；最后通过,m t 的不等式求出m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设(),P x y 是曲线C 上任意一点，那么点(),P x y ()10x x =>化简得()240y x x =>．（Ⅱ）设过点()(),00M m m >的直线l 与曲线C 的交点为()()1122,,,A x y B x y ．设l 的方程为x ty m =+，由24x ty m y x =+⎧⎨=⎩得()22440,160y ty m t m --=∆=+>，于是121244y y t y y m+=⎧⎨⋅=-⎩①又()()()()()()112212*********,,1,,01110FA x y FB x y FA FB x x y y x x x x y y =-=-⋅<⇔--+=-+++<② 又24y x =，于是不等式②等价于()()222222121212121212121102104444164y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎡⎤⋅+-++<⇔+-+-+< ⎪⎣⎦⎝⎭③由①式，不等式③等价于22614m m t -+<④对任意实数2,4t t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于2610m m -+<，解得33m -<+由此可知，存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<，且m 的取值范围(3-+．【点评】本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．22．（2017一中理）（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，四点()()12341,1,0,1,,P P P P ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭中恰有三点在椭圆上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A B 、两点，若直线2P A 与2P B 直线的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到234,,P P P 三点在椭圆C 上．把23,P P 代入椭圆C ，求出224,1a b ==，由此能求出椭圆C 的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设():1l y kx b b =+≠，与椭圆方程联立，得()222418440kx kbx b +++-=，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点()2,1-．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，得到234,,P P P 三点在椭圆C 上．把23,P P 代入椭圆C ，得22211,1344b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得出224,1a b ==，由此椭圆C 的方程为2214x y +=． 证明：（2）①当斜率不存在时，设()():,,,,A A l x m A m y B m y =-， ∵直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，22111A A P A P B y y k k m m---+=+=- 解得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设():1l y kx b b =+≠()()1122,,,A x y B x y ，联立2244y kx bx y =+⎧⎨+=⎩，整理，得()222418440k x kbx b +++-=， 12221228144414kb x x k b x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩…① ∴直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-， ∴()()()()2212211212212112121121111P A P B x kx b x kx b kx x b x x y y k k x x x x x x +-++-+-+--+=+===-…②①代入②得：()()()21111k b b b -=--+又1,21b b k ≠∴=--，此时64k ∆=-，存在k ，使得0∆>成立， 直线l 的方程为21y kx k =--， 当2x =时，1y =-，l ∴过定点()2,1-．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．。
甘肃省兰州市数学高二上学期理数期末考试试卷
甘肃省兰州市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·荆门期中) 将集合表示成列举法，正确的是（）A . {2，3}B . {(2，3)}C . {x＝2，y＝3}D . (2，3)2. （2分）已知等比数列{an}的公比为q，则“”是“{an}为递减数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当a<b时，。
则函数有（）（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A . 最大值为，无最小值B . 最大值为，最小值为1C . 无最大值，无最小值D . 无最大值，最小值为14. （2分）已知双曲线x2-4y2=4上一点P到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么P点到另一焦点的距离等于（）A . 10C .D .5. （2分）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A .B .C .D .6. （2分）抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（）A .B . 1C . 2D . 47. （2分）如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填（）A . i≥10?B . i≥11?D . i≥12?8. （2分）(2020·西安模拟) 将函数的图象向右平移个单位长度得函数的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数图象.则（）A . 是偶函数且在单调递增B . 是偶函数且在单调递减C . 是奇函数且在单调递增D . 是奇函数且在单调递减9. （2分）A .B .C .D .10. （2分）若A（－2，3），B（3，－2），C（，ｍ）三点共线则ｍ的值为（）A .B .C . －2D . 211. （2分）(2017·绵阳模拟) 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）A . 50B . 75C . 25.5D . 37.512. （2分） (2019高二下·鹤岗月考) 已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是（）A . 函数在上为单调递增函数B . 是函数的极小值点C . 函数至多有两个零点D . 时，不等式恒成立二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·凌源期末) 已知，且，则的最小值是________．14. （1分） (2015高二下·福州期中) 如图：在底面为平行四边形的棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．则向量可用 = ， = ， = 表示为________．15. （1分） (2017高一下·濮阳期末) 已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=________．16. （1分）若直线f（x）=x+t经过点P（1，0），且f（a）+f（2b）+f（3c）=﹣，则当3a+2b+c=________ 时，a2+2b2+3c2取得最小值．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2019高二上·兴庆期中) 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题： ,不等式恒成立.（1）若“ ”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“ ”为假命题，“ ”为真命题，求实数的取值范围.18. （10分） (2018高二上·通辽月考) 已知数列{an}，且an+1＝3an－2(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式（2）设，求数列的前n项和为Sn19. （5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sinAsinC﹣4cos2=﹣2．求角B的大小20. （5分） (2017高二下·邢台期末) 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（Ⅱ）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；（Ⅲ）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．21. （10分） (2016高二下·六安开学考) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22. （10分）(2018·临川模拟) 如图所示，在四棱锥中，平面是的中点, .（1）证明：平面；（2）若是上的点，且，求二面角的正弦值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
甘肃省兰州高二上学期期末考试数学(理)模拟试卷(含答案)
兰州市上学期期末考试模拟试题高二数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．.）1. 命题p: 对∀ x∈R，x3-x2+1≤0，则⌝p是（）A.不存在x∈R，x3-x2+1≤0B. ∃ x∈R，x3-x2+1≥0C. ∃ x∈R，x3-x2+1>0D.对∀ x∈R，x3-x2+1>02. 抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是（）A.4B.8C.16D.323. 若a、b为实数, 且a+b=2, 则3a+3b的最小值为（）A．6 B． 18 C．23D．2434. 椭圆24x+y2=1的焦点为F1、F2，经过F1作垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为P，则|2PFuuu r|等于（）72D.45．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（）A．－21＜x＜3 B．－21＜x＜0 C．－3＜x＜21D．－1＜x＜66．过双曲线221169x y-=左焦点F1的弦AB长为6，则2ABFD（F2为右焦点）的周长是（）A．28 B．22 C．14 D．127．已知空间四边形ABCD中，OA a OB b OC c===，，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN=（）A．cba213221+- B．212132++-C．cba212121-+ D．cba213232-+8．已知双曲线22221x ya b-= (a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A.2233125100x y-= B.221205x y-= C.221520x y-= D.2233110025x y-=9．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E , F 分别是 BC , AD 的中点，则AE CF ⋅=（ ）A ．0B ．21C ．43-D ．21-10. 椭圆上22221(0)x y a b a b+=>>一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]124ππα∈，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A．B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 11. 已知a ＝(1,2，-y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a -b )，则x +y = ．12. 已知y x ,满足43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z =2x -y 的最小值为 .13. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，直线l 的方程为 ． 14．设双曲线2222by a x -=1（0＜b ＜a ）的半焦距为c ，直线l 经过双曲线的右顶点和虚轴的上端点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 .兰州市2019-2020-1学期期末考试答题卡高二数学（理）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题（每小题4分，共16分）11．； 12．；13．； 14． .三、解答题（本大题共5 小题，共44分）15.（本小题8分）己知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列.求证：a2+b2+c2>(a-b+c)2.已知命题p :函数y =x 2+mx +1在(-1，+∞）上单调递增，命题q ：对函数y =-4x 2+4(2- m )x -1,y ≤0恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．17．（本小题8分）如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1B 1中，AA 1=2AB =2AD =4，点E 在CC 1上且C 1E =3EC ．利用空间向量解决下列问题：（1）证明：A 1C ⊥平面BED ； （2）求锐二面角A 1-DE -B的余弦值．A BC DEA 1B 1C 1D 1已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|.求∆AMN的面积．如图所示，O 为坐标原点， A 、B 、C 是椭圆上的三点，点A (2,0)是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且AC BC ⋅=0，|BC |=2|AC |． (1)求椭圆方程；(2)如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO . 证明：存在实数λ，使PQ AB λ=．A B Cyx兰州市2019-2020-1学期期末考试参考答案高二数学（理）一、选择题（本大题共10 小题，每小题4分，共40分）二、填空题（每小题4分，共16分）11．-72； 12．-125； 13．082=-+y x ； 14三、解答题（本大题共5 小题，共44分） 15.（8分）证明：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac∵a ，b ，c 都是正数，c a ca acb +<+≤=<∴20 ∴a +c >b , ……………………………4分∴a 2+b 2+c 2-(a -b +c )2=2(ab +bc -ca ）=2(ab +bc - b 2）=2b (a +c -b )>0 ∴ a 2+b 2+c 2>(a -b +c )2. ……………………………8分 16．（8分）解：若函数y =x 2+mx ∴m ≥2，即p ：m ≥2 ……………………………2分 若函数y =-4x 2+4（2- m ）x -1≤0恒成立，则△=16（m -2）2-16≤0， 解得1≤m ≤3，即q ：1≤m ≤3 ……………………………4分 ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假当p 真q 假时，由213m m m ≥⎧⎨<>⎩或 解得：m >3 ……………………………6分当p 假q 真时，由213m m <⎧⎨≤≤⎩解得：1≤m <2综上，m 的取值范围是{m |m >3或1≤m <2} …………………………8分 17．（8分）解：（Ⅰ）证明：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． 因为10AC DB =，10AC DE =，故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥．又DBDE D =，所以1A C ⊥平面DBE ．……………………………4分（Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ．……………………………6分4214==．所以二面角1A DE B --．……………………………8分 18．（10分）解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故抛物线方程为y 2＝4x ，准线为x ＝-1. ……………………………3分 (2)设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0. ∴y 1+y 2=-2, y 1y 2=-2t, ……………………………5分∵直线l 与抛物线C 有公共点，∴Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由|MN |得t =4， ……………………………8分 又A 到直线l 的距离为d……………………………9分∴∆AMN 的面积为S =12|MN |﹒d=6. ……………………………10分 19. (10分221y b+=(0)a b >>，则a =2由AC BC ⋅=0， |BC |=2|AC |得∆AOC 为等腰直角三角形，∴C (1，1)，代入得b, 2314y +=. ……………………………4分 （2）证明：设PC 斜率为k ,则QC 斜率为-k ，、∴直线PC 的方程为y =k (x -1)+1, 直线QC 的方程为y=-k (x -1)+1, 由221)13=4y k x x y =-+⎧⎨+⎩( 得（1+3k 2）x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0. ……………………5分又x C =1, 且x C x P =2236131k k k --+，∴x P =2236131k k k --+, 同理x Q =223+6131k k k -+ …………7分2222(31)2()213112331P Q P Q k k k k x x k k k x x k ----+===--+.…………9分, 所以//PQ AB λ，即一定存在实数λ，使PQ AB λ=．……………………10分。
甘肃省兰州市高二上学期期末数学试卷(理科)
甘肃省兰州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（）A . 越大B . 越小C . 可能大也可能小D . 以上均错2. （2分） (2017·襄阳模拟) 下列说法错误的是（）A . 若p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0B . “ ”是“θ=30°或θ=150°”的充分不必要条件C . 命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”D . 已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+2＞0，则“p∧（￢q）”为假命题3. （2分）设投掷1颗骰子的点数为ξ，则（）A . Eξ=3.5，Dξ=3.52B . Eξ=3.5，Dξ=C . Eξ=3.5，Dξ=3.5D . Eξ=3.5，Dξ=4. （2分） (2016高二下·东莞期末) 有3位老师和3 个学生站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的排法总数为（）A . 36B . 72C . 144D . 2885. （2分）经过点A（2，3）和点B（4，7）的直线方程是（）A . 2x+y﹣7=0B . 2x﹣y+1=0C . 2x﹣y﹣1=0D . ﹣2y+4=06. （2分）空间四边形ABCD的各顶点坐标分别是， E,F分别是AB与CD的中点，则EF的长为（）A .B .C .D . 37. （2分） (2018高二上·台州期末) 圆心为，半径长为的圆的方程为（）A .B .C .D .8. （2分）二项式（ax+）6的展开式的第二项的系数为﹣，则x2dx的值为（）A . 3B .C . 3或D . 3或﹣9. （2分） (2019高二下·上饶期中) 已知命题“ ”是假命题，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·辽宁模拟) 某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高三上·宁海月考) 一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·长春月考) 将个座位连成一排，安排个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分）(2019高二下·珠海期末) 正态分布三个特殊区间的概率值, , ,若随机变量满足，则 ________．14. （1分）(2020·哈尔滨模拟) 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报走进社区项目”，则的值为________.15. （1分） (2019高一上·丰台期中) 命题“若，则”，能说明该命题为假命题的一组的值依次为________16. （2分） (2016高一上·珠海期末) x2+y2﹣2x+4y=0的圆心坐标是________，半径是________．三、解答题： (共6题；共55分)17. （15分） (2016高一下·吉林期中) 某成衣批发店为了对一款成衣进行合理定价，将该款成衣按事先拟定的价格进行试销，得到了如下数据：批发单价x（元）808284868890销售量y（件）908483807568（1）求回归直线方程，其中（2）预测批发单价定为85元时，销售量大概是多少件？（3）假设在今后的销售中，销售量与批发单价仍然服从（1）中的关系，且该款成衣的成本价为40元/件，为使该成衣批发店在该款成衣上获得更大利润，该款成衣单价大约定为多少元？18. （5分）(2017·西城模拟) 已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x ，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．19. （10分） (2020高二上·天津月考) 如图，在三棱柱中，，，且，底面，为中点，点为上一点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.20. （10分）(2016·浦城模拟) 某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．21. （10分） (2020高二下·东台期中) 已知（1）求；（2）我们知道二项式的展开式 ,若等式两边对求导得，令得 .利用此方法解答下列问题：①求；②求 .22. （5分）某校高二（22）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3份进行交流，若在交流的试卷中，成绩位于[70，80）分数段的份数为ξ，求ξ的分布列．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共55分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
兰州市数学高二上学期理数期末考试试卷(II)卷
兰州市数学高二上学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二下·金台期中) 若平面α，β的法向量分别为 =（2，﹣3，5）， =（﹣3，1，2），则（）A . α∥βB . α⊥βC . α，β相交但不垂直D . 以上均不正确2. （2分） (2018高二上·云南期中) 设某几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·邢台期末) 若直线l与直线3x+y+8=0垂直，则直线l的斜率为（）A . ﹣3B . ﹣C . 3D .4. （2分） (2015高二上·东莞期末) 双曲线的渐近线方程为（）A . y=±2xB . y=± xC . y= xD . y= x5. （2分） (2018高二上·宁夏期末) 命题：“若，则”的逆否命题是（）A . 若则B . 若，则C . 若，则D . 若，则6. （2分） (2019高二上·辽阳期末) 在三棱柱中，若，，，则A .B .C .D .7. （2分） (2017高三上·济宁期末) 下列说法正确的是（）A . 命题p：“ ”，则¬p是真命题B . 命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C . “x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D . “a＞1”是“f（x）=logax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件8. （2分） (2016高二上·佛山期中) 已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A . 若a⊥b且b∥α，则a⊥αB . 若a⊥b且b⊥α，则a∥αC . 若a⊥α且b∥α，则a⊥bD . 若a⊥α且α⊥β，则a∥β9. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，2AC=AA1=BC=2．若二面角B1﹣DC﹣C1的大小为60°，则AD的长为（）A .B .C . 2D .10. （2分） (2016高三上·虎林期中) 过点（4，0）且斜率为﹣的直线交圆x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则的值为（）A . 6B . 8C .D . 411. （2分） (2019高三上·镇海期中) 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A . 76B . 84C .D .12. （2分）(2017·临川模拟) 已知圆（x﹣1）2+y2= 的一条切线y=kx与双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A . （1，）B . （1，2）C . （，+∞）D . （2，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·盐城期末) 已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为________．14. （1分）已知定点A（3，0），动点M满足||=2||，那么落在圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1上的点M连成的直线方程为________15. （1分） (2019高二下·富阳月考) 已知椭圆的离心率为，则实数 ________．16. （1分）一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为________（只填写序号）.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高三上·汕头模拟) 已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．18. （10分） (2017高二上·驻马店期末) 已知p：方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，q：双曲线=1的离心率e∈（，）．（1）若椭圆=1的焦点和双曲线=1的顶点重合，求实数m的值；（2）若“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．19. （10分） (2017高二下·双流期中) 在如图的平面多边形ACBEF中，四边形ABEF是矩形，点O为AB的中点，△ABC中，AC=BC，现沿着AB将△ABC折起，直至平面ABEF⊥平面ABC，如图，此时OE⊥FC．（1）求证：OF⊥EC；（2）若FC与平面ABC所成角为30°，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．20. （10分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3 =0的距离为5，且椭圆C的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）给出定点Q（，0），对于椭圆C的任意一条过Q的弦AB， + 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21. （10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知，M是SD上任意一点，，且m＞0．（1）求证：平面SAB⊥平面MAC；（2）试确定m的值，使三棱锥S﹣ABC体积为三棱锥S﹣MAC体积的3倍．22. （15分）(2013·山东理) 椭圆C：的左右焦点分别是F1 ， F2 ，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M （m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
2017-2018学年甘肃省兰州四中高二(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣107．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．48．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为．15．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．16．（5分）设双曲线C：分别为双曲线C的左、右焦点．若双曲线C存在点M，满足|（O为原点），则双曲线C的离心率为．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．19．（12分）已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜2x﹣3．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．2017-2018学年甘肃省兰州四中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项【解答】解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，∴a n==，∴=2=，∴n=26，故2是这个数列的第26项，故选：C．2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解答】解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]【解答】解：根据变量x，y满足约束条件画出可行域，由⇒A（3，﹣3），由图得当z=x﹣y过点A（3，﹣3）时，Z最大为6．故所求z=x﹣y的取值范围是（﹣∞，6]故选：D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．【解答】解：方法一：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A、B、D，故选C．方法二：∵a＜b＜0∴a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）＞0即a2＞b2，故选项A不正确；∵a＜b＜0∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0即a2＞ab，故选项B不正确；∵a＜b＜0∴﹣1=＜0即＜1，故选项C正确；∵a＜b＜0∴＞0即，故选项D不正确；故选C6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴﹣=﹣+，=﹣×，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14故选：B7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，其中p=，则抛物线的焦点到准线的距离p=，故选：C．8．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若与共线，则1×2﹣m（m﹣1）=0，即m2﹣m﹣2=0，得m=2或m=﹣1，则“m=2”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A10．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为：“若x2≤1，则x≤1”，故A 错误；“x=﹣1”是“x2﹣2x+3=0”的既不充分又不必要条件，故B错误；命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+x+1≥0”，故C错误；若x=y，则x与y的各三角函数值相等，再由逆否命题与原命题等价，故D正确；故选D．11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，∴，当且仅当x=y=时取等号．故选：D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a．∴．故选：A．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2+2] ．【解答】解：当x＞2时，不等式恒成立，即求解x+的最小值，x+=x﹣2++2=2+2，当且仅当x=2+时，等号成立．所以a的取值范围是：（﹣∞，2+2]．故答案为：（﹣∞，2+2]．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为或．【解答】解：∵，∴cosB×tanB=sinB=∴B=或故选B．15．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，则a=5，由椭圆的定义得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，又由|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8，故答案为：8．16．（5分）设双曲线C：分别为双曲线C的左、右焦点．若双曲线C存在点M，满足|（O为原点），则双曲线C的离心率为．【解答】解：如图，由题意可设M（），代入双曲线方程，可得，∴，由，可得|MF1|=3|MF2|，又|MF1|﹣|MF2|=2a，则|MF2|=a，∴，整理得：c2=2a2，即．故答案为：．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知得解得…（4分）∴a n=3+（n﹣1）×1，即a n=n+2…（6分）（2）由（1）知，b1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210=…（10分）=2046…（12分）18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17，∴b=；（2）∵cosB=，∴sinB==由正弦定理=，即=，解得sinC=19．（12分）已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由条件得：A={x|﹣10＜x＜2}，B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}若A∩B=∅，则必须满足所以，a的取值范围的取值范围为：a≥11；（2）易得：¬p：x≥2或x≤﹣10，∵¬p是q的充分不必要条件，∴{x|x≥2或x≤﹣10}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，则∴a的取值范围的取值范围为：0＜a≤1．20．（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BC⊥平面BDE；（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD．又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD．又∵ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD．又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．∵AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，∴BD=BC==2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵BD∩ED=D，∴BC⊥平面BDE．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，2，0），E（0，0，2），C（0，4，0），=（2，2，﹣2），=（0，4，﹣2），设平面BEC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（1，1，2），平面ADEF的法向量=（0，1，0），设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，则cosθ===．∴平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜2x﹣3．【解答】解：（1）对任意实数x，f（x）＜0恒成立，即有a=0时，﹣1＜0恒成立；a＜0时，判别式小于0，即为a2+4a＜0，解得﹣4＜a＜0；a＞0时，不等式不恒成立．综上可得，a的范围是（﹣4，0]；（2）由题意可得ax2﹣（2+a）x+2＜0，可化为（x﹣1）（ax﹣2）＜0，a＞0，10当0＜a＜2时，∴＞1，其解集为（1，）；20当a=2时，即=1，其解集为∅，30当a＞2，即＜1，其解集为（，1）．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），∴，解得，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）k1+k2是定值．证明如下：设过M的直线：y=k（x﹣1）=kx﹣k或者x=1①x=1时，代入椭圆，y=±，∴令A（1，），B（1，﹣），k1=，k2=，∴k1+k2=2．②y=kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）=0设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=，y1+y2=﹣2k=，y1y2=k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=﹣，k1=，k2=，∴k1+k2==2．。
兰州市高二上学期期末数学试卷(理科)A卷
兰州市高二上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·姚安期中) 若α是第一象限的角，则所在的象限是（）A . 第一象限B . 第一、二象限C . 第一、三象限D . 第一、四象限2. （2分）设点P与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AD、BC、C1D1所在直线的距离相等，则点P的轨迹是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线3. （2分）(2017·合肥模拟) 设x，y满足，若z=2x+y的最大值为，则a的值为（）A .B . 0C . 1D . 或14. （2分） (2016高三上·成都期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 = ，则cosB=（）A . ﹣B .C . ﹣D .5. （2分）在等比数列{an}中，S3=3a3 ，则其公比q的值为（）A . ﹣B .C . 1或﹣D . ﹣1或6. （2分）(2020·宝山模拟) 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（）A .B .C .D .7. （2分）过点P（0，﹣1）且和圆C：x2+y2﹣2x+4y+4=0相切的直线方程为（）A . y+1=0或x=0B . x+1=0或y=0C . y﹣1=0或x=0D . x﹣1=0或y=08. （2分） (2019高二下·富阳月考) 已知双曲线的左、右焦点分别为， .过右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为，连接 .若，则该双曲线的离心率为（）A . 3B .C .D .9. （2分）(2017·广元模拟) 某零件的三视图如图所示，则该零件的体积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高三上·湛江期中) 已知某路段最高限速60km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如下（单位：km/h）．若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·晋中期末) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·德惠期中) 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，若且，则此抛物线的方程为（）A .B .C .D .二、填空题：） (共4题；共4分)13. （1分） (2018·临川模拟) 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则的面积为________．14. （1分）执行如图程序，当输入42，27时，输出的结果是________ ．15. （1分） (2017高一下·珠海期末) 矩形区域 ABCD 中，AB 长为 2 千米，BC 长为 1 千米，在 A 点和 C 点处各有一个通信基站，其覆盖范围均为方圆 1 千米，若在该矩形区域内随意选取一地点，则该地点无信号的概率为________．16. （1分） (2017高一上·湖州期末) 给出下列叙述：①若α，β均为第一象限，且α＞β，则sinα＞sinβ②函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0， ]上是增函数；③函数f（x）=cos（2x+ ）的一个对称中心为（﹣，0）④记min{a，b}= ，若函数f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的值域为[﹣1， ]．其是叙述正确的是________（请填上序号）．三、解答题： (共6题；共50分)17. （10分）(2013·四川理) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的离心率：（2）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．18. （10分） (2017高一下·长春期末) 设数列满足 .（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.19. （10分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量Y的分布列．20. （5分）△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量， =（2sin2（），﹣1），⊥ ．（I）求角B的大小；（II）若，求△ABC的周长的最大值．21. （5分）(2017·张掖模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．22. （10分） (2016高二上·长春期中) 设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|= ，求椭圆C的方程．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题：） (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。
甘肃省兰州新区高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
2016-2017学年甘肃省兰州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上 D．一个圆上2．下列命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，使得1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，使得5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞03．已知=（1，﹣3，λ），=（2，4，﹣5），若⊥，则λ=（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．34．原命题“若x≤﹣3，则x＜0”的逆否命题是（）A．若x＜﹣3，则x≤0 B．若x＞﹣3，则x≥0 C．若x＜0，则x≤﹣3 D．若x≥0，则x＞﹣35．“双曲线渐近线方程为y=±2x”是“双曲线方程为x2﹣=λ（λ为常数且λ≠0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知{a，b，c}是空间一个基底，则下列向量可以与向量=+， =﹣构成空间的另一个基底的是（）A．B．C．D． +27．椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B． C． D．8．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则它的侧棱与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．抛物线y2=4x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A．y2=x﹣1 B．y2=2（x﹣1）C． D．y2=2x﹣110．设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0），A（1，﹣3，2），B（8，﹣1，4）确定的平面上，则a的值为（）A．8 B．16 C．22 D．2411．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．12．若椭圆C1： +=1（a1＞b1＞0）和椭圆C2： +=1（a2＞b2＞0）的焦点相同且a1＞a2．给出如下四个结论：①椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点②＞③a12﹣a22=b12﹣b22④a1﹣a2=b1﹣b2其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.共20分）13．双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于．14．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= ．15．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N 为BC中点，则等于．16．已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为60°，这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为45°，则斜线与平面所成的角为．三．解答题（写出必要的解答过程）17．已知抛物线方程为y2=8x，直线l过点P（2，4）且与抛物线只有一个公共点，求直线l 的方程．18．已知椭圆，一组平行直线的斜率是．（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．19．已知直线y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=4．（1）当它们没有公共点时，求k取值范围；（2）如果直线与双曲线相交弦长为4，求k的值．20．已知命题p：“方程+=m+2表示的曲线是椭圆”，命题q：“方程+=2m+1表示的曲线是双曲线”．且p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．21．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证PA∥平面EDB；（2）求二面角C﹣PB﹣D的大小．22．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．2016-2017学年甘肃省兰州市舟曲中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上 D．一个圆上【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】设动圆P的半径为r，然后根据动圆与圆x2+y2=1及圆x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选B．2．下列命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，使得1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，使得5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，由1＜4x0＜3，得＜x0＜，不存在x0∈Z，使得1＜4x0＜3；B，由5x0+1=0，得，；C由x2﹣1=0，得x=±1，；D，∀x∈R，x2+x+2=（x+1）2+1＞0【解答】解：对于A，由1＜4x0＜3，得＜x0＜，不存在x0∈Z，使得1＜4x0＜3，故错；对于B，由5x0+1=0，得，故错；对于C由x2﹣1=0，得x=±1，故错；对于D，∀x∈R，x2+x+2=（x+1）2+1＞0，故正确；故选：D3．已知=（1，﹣3，λ），=（2，4，﹣5），若⊥，则λ=（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．3【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【分析】由题意可得=（1，﹣3，λ），=（2，4，﹣5），并且⊥，所以结合向量坐标的数量积表达式可得2﹣12﹣5λ=0，进而求出答案．【解答】解：因为=（1，﹣3，λ），=（2，4，﹣5），并且⊥，所以2﹣12﹣5λ=0，解得：λ=﹣2．故选B．4．原命题“若x≤﹣3，则x＜0”的逆否命题是（）A．若x＜﹣3，则x≤0 B．若x＞﹣3，则x≥0 C．若x＜0，则x≤﹣3 D．若x≥0，则x＞﹣3【考点】四种命题．【分析】直接利用四种命题中题设和结论之间的关系求出结果．【解答】解：原命题“若x≤﹣3，则x＜0”则：逆否命题为：若x≥0，则x＞﹣3故选：D5．“双曲线渐近线方程为y=±2x”是“双曲线方程为x2﹣=λ（λ为常数且λ≠0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线渐近线方程求出a，b的关系，得到双曲线的方程即可．【解答】解：双曲线渐近线方程为y=±2x，即b=2a，或a=2b，故双曲线方程为x2﹣=λ（λ为常数且λ≠0），是充要条件，故选：C．6．已知{a，b，c}是空间一个基底，则下列向量可以与向量=+， =﹣构成空间的另一个基底的是（）A．B．C．D． +2【考点】空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合向量+=（+）+（﹣）=2，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，所以与不能与、构成空间的一个基底；又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底．故选：C．7．椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B． C． D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式．【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．【解答】解：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=；故选D．8．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则它的侧棱与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】根据所给的正三棱锥的特点，根据三垂线定理做出二面角的平面角，在直角三角形中做出要用的两条边的长度，根据三角函数的定义得到角的余弦值即可．【解答】解：正三棱锥P﹣ABC的侧棱两两垂直，过P做地面的垂线PO，在面ABC上，做BC的垂线AD，AO为PA在底面的射影，则∠PAO就是PA与底面ABC所成角，设侧棱长是1，在等腰直角三角形PBC中BC=，PD=，AD=，PA与底面ABC所成角的余弦值为： ==．故选：A．9．抛物线y2=4x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A．y2=x﹣1 B．y2=2（x﹣1）C． D．y2=2x﹣1【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2，进而根据直线方程求得y1+y2，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．【解答】解：由题知抛物线焦点为（1，0）设焦点弦方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程得所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0由韦达定理：x1+x2=所以中点横坐标：x==代入直线方程中点纵坐标：y=k（x﹣1）=．即中点为（，）消参数k，得其方程为y2=2x﹣2故选B．10．设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0），A（1，﹣3，2），B（8，﹣1，4）确定的平面上，则a的值为（）A．8 B．16 C．22 D．24【考点】共线向量与共面向量．【分析】与不共线，可设=λ+μ，利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解： =（2a﹣1，a+1，2），=（﹣1，﹣3，2），=（6，﹣1，4），与不共线，设=λ+μ，则，解得a=16，故选：B．11．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【考点】两向量的和或差的模的最值．【分析】求出的坐标，根据向量的模的定义求出的值．【解答】解：∵=（2，t，t）﹣（1﹣t，2t﹣1，0）=（1+t，1﹣t，t ），∴==．故当t=0时，有最小值等于，故选C．12．若椭圆C1： +=1（a1＞b1＞0）和椭圆C2： +=1（a2＞b2＞0）的焦点相同且a1＞a2．给出如下四个结论：①椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点②＞③a12﹣a22=b12﹣b22④a1﹣a2=b1﹣b2其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由a12﹣b12=a22﹣b22，从而③a12﹣a22=b12﹣b22成立，下面从两个方面来看：一方面：a1＞a2，由上得b1＞b2，从而①成立；②不成立；另一方面：a12﹣b12=a22﹣b22⇒（a1+b1）（a1﹣b1）=（a2+b2）（a2﹣b2）⇒a1﹣b1＜a2﹣b2，从而④成立；从而得出正确答案．【解答】解：由a12﹣b12=a22﹣b22，从而③a12﹣a22=b12﹣b22成立，一方面：a1＞a2，由上得b1＞b2，从而①成立；若在a12﹣a22=b12﹣b22中，a1=2，a2=，b1=，b2=1，==， ==，有：＜，故②不成立；另一方面：a12﹣b12=a22﹣b22，（a1+b1）（a1﹣b1）=（a2+b2）（a2﹣b2）由于a1+b1＞a2+b2∴a1﹣b1＜a2﹣b2，从而④成立；∴所有正确结论的序号是①③④．故选B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.共20分）13．双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于17 ．【考点】双曲线的定义．【分析】首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出|PF1﹣PF2|=2a，根据题中的已知数据，可以求出点P到另一个焦点的距离．【解答】解：将双曲线4x2﹣y2+64=0化成标准形式：∴a2=64，b2=16P到它的一个焦点的距离等于1，设PF1=1∵|PF1﹣PF2|=2a=16∴PF2=PF1±16=17（舍负）故答案为：1714．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= 8 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：815．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N 为BC中点，则等于．【考点】向量的三角形法则．【分析】画出图形，用、、表示、，从而求出．【解答】解：画出图形，如图：∵，，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，∴==，=（+）=+，∴=﹣=+﹣；故答案为：．16．已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为60°，这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为45°，则斜线与平面所成的角为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由已知中直线a是平面α的斜线，b⊂α，a与b成60°的角，且b与a在α内的射影成45°的角，利用“三余弦定理”，即求出a与平面α所成的角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：题目转化为：直线a是平面α的斜线，b⊂α，a与b成60°的角，且b与a 在α内的射影成45°的角，求斜线与平面所成的角．设斜线与平面α所成的角为θ，根据三余弦定理可得：cos60°=cos45°×cosθ即=×cosθ则cosθ=则θ=45°故答案为：45°．三．解答题（写出必要的解答过程）17．已知抛物线方程为y2=8x，直线l过点P（2，4）且与抛物线只有一个公共点，求直线l 的方程．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，通过直线的斜率是否为0，利用判别式求解即可得到直线方程．【解答】解：由题意，直线l斜率存在，设l为y﹣4=k（x﹣2）代入抛物线y2=8x，得ky2﹣8y﹣16k+32=0，当k=0时，满足题意，此时l为y=4；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分当k≠0时，由△=（8+16k）2﹣4k×32=0，解得k=1，此时l为：x﹣y+2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分综上l为：y=4或x﹣y+2=0．18．已知椭圆，一组平行直线的斜率是．（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）设出平行直线的方程：y=x+m，代入椭圆方程，消去y，由判别式大于0，可得m的范围；（2）运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论．【解答】解：（1）设一组平行直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程，可得9x2+4（x2+3mx+m2）=36，即为18x2+12mx+4m2﹣36=0，由判别式大于0，可得144m2﹣72（4m2﹣36）＞0，解得﹣3＜m＜3，则这组平行直线的纵截距在（﹣3，3），与椭圆相交；（2）证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得18x2+12mx+4m2﹣36=0，即有x1+x2=﹣m，截得弦的中点为（﹣m， m），由，消去m，可得y=﹣x．则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线y=﹣x上．19．已知直线y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=4．（1）当它们没有公共点时，求k取值范围；（2）如果直线与双曲线相交弦长为4，求k的值．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）由题意令，得x2﹣（kx﹣1）2=4，整理得（1﹣k2）x2+2kx﹣5=0，当1﹣k2=0，k=±1时，显然符合条件；当1﹣k2≠0时，有△≥0．（2）设直线与双曲线相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．利用|AB|==4，基础即可得出．【解答】解：（1）由题意令，得x2﹣（kx﹣1）2=4，整理得（1﹣k2）x2+2kx﹣5=0 当1﹣k2=0，k=±1时，显然符合条件；当1﹣k2≠0时，有△=20﹣16k2≥0，解得﹣≤k≤．综上，k取值范围是k=±1，﹣≤k≤．（2）设直线与双曲线相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1•x2=，则|AB|===4，化为：8k2﹣9k﹣1=0，解得k=±．20．已知命题p：“方程+=m+2表示的曲线是椭圆”，命题q：“方程+=2m+1表示的曲线是双曲线”．且p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：命题p为真命题时，则有，则有；命题q为真命题时，则有（m﹣1）（m﹣3）＜0，则有m∈（1，3），因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假．所以．21．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证PA∥平面EDB；（2）求二面角C﹣PB﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，则OE∥PA，由此能证明PA∥平面EDB．（2）以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵点E是PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面EBD，PA⊄平面EBD，∴PA∥平面EDB．解：（2）以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=1，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），=（0，0，1），=（1，1，0），=（0，1，﹣1），=（1，1，﹣1），设平面PBC的法向量=（x，y，z），平面PBD的法向量=（a，b，c），则，取y=1，得=（0，1，1），，取a=1，得=（1，﹣1，0），设二面角C﹣PB﹣D的大小为θ，则cosθ===，∴θ=60°，∴二面角C﹣PB﹣D的大小为60°．22．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b2+c2=8，由此能求出椭圆G的方程．（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入中，得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b2+c2=8，∴b2=c2=4，故a2=b2+c2=8，∴椭圆G的方程为（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．理由如下设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入中，化简得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，①因为直线l与椭圆G相交于A，B两点，∴△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，解得﹣2，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．③于是AB的中点M（x0，y0）满足=﹣，．已知点P（﹣3，2），若以AB为底的等腰三角形ABP存在，则k PM=﹣1，即=﹣1，④，将M（﹣）代入④式，得m=3∈（﹣2，2）满足②此时直线l的方程为y=x+3．。
兰州市高二上学期期末数学试卷(理科)D卷(考试)
兰州市高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）给定下列两个命题：①“”为真是“”为假的必要不充分条件；②“，使”的否定是“，使”.其中说法正确的是（）A . ①真②假B . ①假②真C . ①和②都为假D . ①和②都为真2. （2分）(2018·绵阳模拟) 已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）已知点P是圆C:x2+y2+4x+ay-5=0上任意一点，P点关于直线2x+y-1=0的对称点在圆上，则实数a等于（）A . 10B . -10C . 204. （2分） (2016高三上·巨野期中) 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A . 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B . 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C . 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D . 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）5. （2分）将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·和平期中) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（1）=1，且对任意x∈R都有f （x+4）=f（x），则f（99）等于（）A . ﹣1B . 0D . 997. （2分）(2017·江西模拟) 美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A . 2.81B . 2.82C . 2.83D . 2.848. （2分）已知，，，则（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . a＞c＞bD . b＞c＞a9. （2分） (2017高一下·怀仁期末) 等比数列{an}中，a3 ， a9是方程3x2—11x+9=0的两个根，则a6=（）A . 3B .C . ±D . 以上皆非10. （2分）(2018·唐山模拟) 已知双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线上，且，则（）A .B .C .D .11. （2分）若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积F（a）取得最大值时a的值为（）A . 1B .C .D .12. （2分） (2016高一上·青海期中) 设函数f（x）= ．若f（a）=4，则实数a=（）A . ﹣4 或﹣2B . ﹣4 或 2C . ﹣2 或 4D . ﹣2 或 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·台州期末) ________.14. （1分）如图，正方形ABCD的边长为3，M为DC的中点，若N为正方形内任意一点（含边界），则•的最大值为________15. （1分）(2017·凉山模拟) 设点M，N是抛物线y=ax2（a＞0）上任意两点，点G（0，﹣1）满足•＞0，则a的取值范围是________．16. （1分）已知偶函数y=f（x）满足条件f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=3x+ ，则f（log 5）的值等于________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲82 81 79 78 95 88 93 84乙92 95 80 75 83 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；若将频率视为概率，对甲学生在培训后参加的一次数学竞赛成绩进行预测，求甲的成绩高于80分的概率；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两中）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18. （10分） (2016高一下·揭阳期中) 如图，在△ABC中，B= ，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若ED= ，求角A的大小．19. （10分） (2016高三上·吉林期中) 已知数列{an}的通项公式为an= ，n∈N*（1）求数列{ }的前n项和Sn（2）设bn=anan+1，求{bn}的前n项和Tn．20. （10分） (2018高三上·沈阳期末) 如图1，在直角梯形ABCD中，，，， M为线段AB的中点. 将沿AC折起，使平面ADC 平面ABC，得到几何体，如图2所示.（1）求证:平面ACD；（2）求二面角的余弦值.21. （10分） (2016高二上·温州期末) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，直线l经过F2且交椭圆C于A，B两点（如图），△ABF1的周长为4 ，原点O到直线l的最大距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2作弦AB的垂线交椭圆C于M，N两点，求四边形AMBN面积最小时直线l的方程．22. （10分）已知函数f（x）=tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求出函数y=f（x）的表达式；（2）对任意的a∈R，求y=f（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2017-2018学年兰州高二上期末数学理科试卷有答案-新课标人教版
2017-2018学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线y=16x2的准线方程是（）A．x=4 B．x=﹣4 C．y=D．y=﹣2．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．A．2B．4C．4D．25．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F 2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A．B． C．D．6．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当||取最小值时，x的值等于（）A．19 B． C．D．7．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题8．（5分）设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：﹣y2=1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（）A．B． C．D．9．（5分）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A．B． C． D．11．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，=3，则|k|=（）A．2B．C． D．12．（5分）过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）给定下列命题：①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；②“若sinα≠，则α≠”；③若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；④命题“∃x0∈R，使x2﹣x+1≤0”的否定．其中真命题的序号是．14．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若，，三向量共面，则λ=．15．（5分）已知A是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围．16．（5分）如图，已知点C的坐标是（2，2）过点C的直线CA与X轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．18．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．19．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆C上两点，N（3，1）是线段AB的中点．（1）求直线AB的方程；（2）若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．2017-2018学年甘肃兰州高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线y=16x2的准线方程是（）A．x=4 B．x=﹣4 C．y=D．y=﹣【解答】解：抛物线的方程为y=16x2，其标准方程为x2=y，其开口向上，且p=，则其准线方程为：y=﹣；故选：D．2．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．3．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立故“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B4．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．A．2B．4C．4D．2【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x=2 ，故水面宽为4m．故选：B5．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F 2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此椭圆的离心率为．故选B．6．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当||取最小值时，x的值等于（）A．19 B． C．D．【解答】解：=（1﹣x，2x﹣3，﹣3x+3），||==求出被开方数的对称轴为x=当时，||取最小值．故选C7．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题【解答】解：对于命题p：例如当x=10时，8＞1成立，故命题p是真命题；对于命题q：∀x∈R，e x＞1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题；∴命题p∧￢q是真命题．故选：C．8．（5分）设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：﹣y2=1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（）A．B． C．D．【解答】解：依题意，曲线C1：+=1的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）双曲线C2：﹣y2=1的焦点也为F1（﹣2，0），F2（2，0）∵P是曲线C2与C1的一个交点，设其为第一象限的点由椭圆与双曲线定义可知PF1+PF2=2，PF1﹣PF2=2解得PF1=+，PF2=﹣设∠F1PF2=θ则cosθ==，故选：C9．（5分）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：椭圆的方程为，∴2a=6，2b=4，c=2，连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性可得△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为2b=4，l=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10．故选：D．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A．B． C． D．【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EF⊥BC1于F，易证EF⊥平面ABC1D1，可求得EF=B1C=．故选B．11．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，=3，则|k|=（）A．2B．C． D．【解答】解：设A在第一象限，如图，设A、B在准线上的射影分别为M，N，过B作BE⊥AM与E，根据抛物线定义，可得：AF=AM=3m，BN=BF=m，∴AE=2m，又AB=4m，∴∠BAF=60°，k=，当A在第四象限时，可得k=﹣．故选：B．12．（5分）过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．【解答】解：由题意过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，可得＜|AB|=4b，并且2a＞4b，e ＞1，可得：e＞或1综合可得，有2条直线符合条件时，：e＞或1．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）给定下列命题：①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；②“若sinα≠，则α≠”；③若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；④命题“∃x0∈R，使x2﹣x+1≤0”的否定．其中真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，由x＞1不能得到x＞2，由x＞2能得到x＞1，∴“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，命题①为假命题；对于②，∵“若，则sin”为真命题，∴其逆否命题“若sinα≠，则α≠”为真命题，命题②为真命题；对于③，由xy=0，可得x=0或y=0，∴“若xy=0，则x=0且y=0”为假命题，则其逆否命题为假命题；对于④，∵x02﹣x+1=，∴命题“∃x0∈R，使x2﹣x+1≤0”为假命题，则其否定为真命题．∴真命题的序号是②④．故答案为：②④．14．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若，，三向量共面，则λ=．【解答】解：∵=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），，，三向量共面三向量共面，∴存在p，q，使得=p+q，∴（7，5，λ）=（2p﹣q，﹣p+4q，3p﹣2q）∴，解得p=，q=，λ=3p﹣2q=．故答案为：．15．（5分）已知A是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围（1，2）．【解答】解：∵△APQ是锐角三角形，∴∠PAF为锐角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠PAF=∠QAF＜45°∴PF＜AF∵F为座焦点，设其坐标为（﹣c，0）所以A（a，0）所以PF=，AF=a+c∴＜a+c即c2﹣ac﹣2a2＜0解得﹣1＜＜2双曲线的离心率的范围是（1，2）故答案为：（1，2）16．（5分）如图，已知点C的坐标是（2，2）过点C的直线CA与X轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为x+y﹣2=0 ．【解答】解：由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB 的中点．∴|OM|=|CM|，设M（x，y），则，化为x+y﹣2=0．故答案为x+y﹣2=0．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．【解答】解：若命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅为真命题则△=（a﹣1）2x﹣4a2=﹣3a2﹣2a+1＜0即3a2+2a﹣1＞0，解得A={a|a＜﹣1，或a＞}若命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数为真命题则2a2﹣a＞1即2a2﹣a﹣1＞0解得B={a|a＜﹣，或a＞1}（1）若甲、乙至少有一个是真命题则A∪B={a|a＜﹣或a＞}；（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题（A∩CU B）∪（CUA∩B）={a|＜a≤1或﹣1≤a＜﹣}．18．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）以A为原点建系如图，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0）．∴=（，1，0），=（，1，﹣3），=（0，2，﹣3）…（6分）（2）设面SBC的法向量为．则令y=3，则z=2，x=，∴．设AB与面SBC所成的角为θ，则sinθ=…12分19．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF ， 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）因为直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，所以AA 1⊥CD ， 由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ， 又AA 1∩AB=A ，于是，CD ⊥平面ABB 1A 1， 设AB=2，则AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A 1D=，DE=，A 1E=3故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE ⊥A 1D ，所以DE ⊥平面A 1DC ， 又A 1C=2，过D 作DF ⊥A 1C 于F ，∠DFE 为二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，在△A 1DC 中，DF==，EF==， 所以二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．sin ∠DFE=．20．（12分）已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率e=，A ，B 是椭圆C 上两点，N （3，1）是线段AB 的中点． （1）求直线AB 的方程； （2）若以AB 为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程．【解答】解：（1）离心率e=，设椭圆C ：x 2+3y 2=a 2（a ＞0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意，设直线AB 的方程为y=k （x ﹣3）+1，代入x 2+3y 2=a 2， 整理得（3k 2+1）x 2﹣6k （3k ﹣1）x+3（3k ﹣1）2﹣a 2=0．①△=4[a2（3k2+1）﹣3（3k﹣1）2]＞0，②且x1+x2=，由N（3，1）是线段AB的中点，得．解得k=﹣1，代入②得a2＞12，∴直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0..（6分）（2）圆心N（3，1）到直线的距离d=，∴|AB|=2．当k=﹣1时方程①即4x2﹣24x+48﹣a2=0．∴|AB|=|x1﹣x2|==2，解得a2=24．∴椭圆方程为…（12分）21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得y2=4x（x＞0）．（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，于是①又．⇔（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又，于是不等式②等价于③由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围．22．（12分）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，得到P2，P3，P4三点在椭圆C上．把P2，P3代入椭圆C，得，得出a2=4，b2=1，由此椭圆C的方程为．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA ），B（m，﹣yA），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，=﹣1解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，…①∵直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，∴==…②①代入②得：又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．。
甘肃兰州高二上册期末数学试题及答案
甘肃兰州高二上册期末数学试题一、单选题(每小题5分，共60分)1．已知复数其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为A ． 1B ．C ．D ．2．若命题p ：∀x ∈，tan x >sin x ，则命题p 为( )A.∃x 0∈，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈，tan x 0>sin x 0 C.∃x 0∈，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈∪，tan x 0>sin x 03．下列说法错误的是（）A ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小B ．在回归直线方程ˆy=0.2x+0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位C ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1D ．回归直线过样本点的中心（x ， y ） 4．已知0,0>>y x ，若m x yxx y 2822+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m≥4或m≤－2 B ．m≥2或m≤－4 C ．－2＜m ＜4 D ．－4＜m ＜25．若变量满足，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．6．“函数在区间上单调递增”是“”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件7.点到双曲线渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且若=⋅C B sin sin A A sin sin ⋅，则的形状是A.等腰三角形B.直角三角形C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 9．=+⨯+⨯+⨯+⨯)2(1751531311n n A)2(1+n n B ．)211(21+-n C ．)211123(21+-+-n n D ．)111(21+-n10．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过F 直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MN 的中点为，则双曲线的方程为A ．B ．C ．D ．11．已知三角形的三边分别为a ，b ，c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R .类比三角形的面积可得四面体的体积为( )A ．B ．C ．D ．12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，共20分） 13．等差数列中，，，则当取最大值时，的值为__________．14．在中，分别是内角的对边，且，，，，若n m⊥，则__________．15．已知点为双曲线的右焦点，直线交于两点，若，，则的虚轴长为________16．函数1223+-=ax x y 只有一个零点，则实数a 的取值范围为______． 三、解答题（共70分.第17题10分，其余每题各12分，写出必要的解答过程） 17．（10分）已知等比数列的前n 项为和，且，，数列中，，．求数列，的通项和；设n n n b a c .=，求数列的前n 项和．18．（12分）的内角所对的边分别为,且满足0232cos cos =++abc A C (Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若外接圆半径为,求的面积.19．（12分）《道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《道路交通安全法》 第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份1 2 3 4 5 违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：能否据此判断有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过1年 22 8 30 驾龄1年以上 8 12 20 合计302050参考公式及数据：.（其中）20．（12分）16．已知抛物线x y =2与直线：l )1-(x k y =相交于A 、B 两点，点O 为坐标原点 .（1）当k=1时,求OB OA ⋅的值； （2）若OAB ∆的面积等于45，求直线l 的方程. 21．（12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间22．（12分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆的左顶点坐标为，离心率为．求椭圆E 的方程； 过点作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使⋅为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案：1__5CCADD6__10BCCCD 11__12BB6【详解】若，则对称轴，所以在上为单调递增，取，则对称轴，在上为单调递增，但，所以“在上为单调递增”是“”的必要不充分条件.11.根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，则的面积为，对应于四面体的体积为，故选B．12.构造函数，当时，，故函数在上单调递减.由于是奇函数，故为偶函数.所以函数在上单调递增，且，即.根据函数的单调性可知，当或时，，当时，.所以当或时，.故选B.13．14．1516．16.，，由得或，在上递增，在上递减，或在上递增，在上递减，函数有两个极值点，因为只有一个零点，所以，解得，故答案为.17．（1）；（2）.（1）设等比数列的公比为，∵，，∴，，解得，，∴数列是等比数列，∴．∵，即数列是以2为公差的等差数列，又，∴；（2）∵∵，∴，两式相减得：，∴．18．（1）（2）（Ⅰ）由及正弦定理得从而即又中, ∴.（Ⅱ）外接圆半径为3,,由正弦定理得再由余弦定理,及得∴的面积.19．（1）；（2）有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．（1）由表中数据知，，∴，∴，∴所求回归直线方程为。
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18． （12 分）在 ． （1）求 的值； （2）求 的值．
中，角
所对的边分别为
，已知
，
，
19． （12 分）已知集合 A 是函数 y lg 20 8x x2 的定义域，集合 B 是不等式
x2 2 x 1 a 2 0 （ a 0 ）的解集， p ： x A ， q ： x B .
4．已知等差数列 an 的公差为 2，若 a1，a3，a4 成等比数列，则 a2 等于( A. -4 5．若 B. -6 C. -8 D. -10 )
下列不等式成立的是(
A.
B.
C.
D.
1 1 6．不等式 ax 2 bx 2 0 的解集是 , ，则 a b 的值是（） 2 3
P ，使得 F1PF2 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
2 0, A. 2
2 ,1 B. 2
1 C. 0, 2
1 D. ,1 2
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题 5 分） 13． 若当 x 2 时， 不等式 a x
x2 y 2 2（12 分）已知椭圆 C : 2 2 1 （ a b 0 ） ，的两个焦点 F1 2, 0 ， a b
F2
2, 0 ，以椭圆的短轴为直径的圆经过点 M (1,0).
（1）求椭圆 C 的方程； （ 2 ）过点 M 1, 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点，设点 N 3, 2 ，记直线
9．已知向量 a 1, m 1 ， b m, 2 ，则“ m 2 ”是“ a 与 b 共线”的（
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件
）
D. 既不充分也不必要条件
10．下列有关命题的说法正确的是（
）
A. 命题“若 x2 1, 则x 1 ”的否命题为“若 x2 1, 则x 1 ” B. “ x 1 ”是“ x 2 2 x 3 0 ”的充要条件 C. 命题“ x R, 使得 x2 x 1 0 ”的否定是“ x R, 均有 x2 x 1 0 ” D. 命题“若 x y ,则 cosx = cosy ”的逆否命题为真命题
AN, BN 的斜率分别为 k1 , k2 ，求证： k1 k2 为定值.
参考答案（理科）
1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．A 10．D 11．D 12．A 13． , 2 2 2 14． 15． 16． 17．(1) an n 2 ;（2) 2046 18． （1） 17 （2）
1 1 11．已知 x, y 0 ，且 2 ，则 x 2 y 的最小值为（ x yBiblioteka ）A. 3 2 2
B.
3 2 2 2
C. 3 2 2
D.
3 2 2 2
12．已知椭圆
x2 y 2 1(a b 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ，若椭圆上不存在点 a 2 b2
（1）若 A B ，求实数 a 的取值范围； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
20 ． （ 12 分 ） 如 图 ， 正 方 形 ADEF 与 梯 形 A B C D所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ，
AD CD, AB / /CD, AB AD 2，
2．在 ABC 中，若 A. 等腰直角三角形 C. 直角三角形
D. 等边三角形
x y 0
3．设变量 x ， y 满足约束条件 {
x 1 0 ，则 z x y 的取值范围为（） x 3 0 3x y 2
C. [2，10] D. （－∞，6] )
A. [2，6]
B. （－∞，10]
16．设双曲线 ： 双曲线 存在点 ，满足 __________．
（
，
） ， ， 分别是双曲线 的左、右焦点．若 （ 为原点） ，则双曲线 的离心率为
三、解答题 17． （10 分）在等差数列 an 中， a2 4, a4 a7 15 . （1）求数列 an 的通项公式； （2）设 bn 2an 2 ，求 b1 b2 b3 b10 的值.
2 恒成立， 则实数 a 的取值范围是__________． x2
n t B a 3 a c
C 的对边分别为 a ， b， B， c2 b2 14． 在 ABC 中， 角A， 若 a2 c，
，
则角 B 的值为__________． 15．已知 ， 是椭圆 若 ，则 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 、 两点， __________．
A. 14
B. 10
C. 14
D. 10
7．抛物线 y 2x2 的焦点到准线的距离为（ ） A.
1 8
B.
1 2
C.
1 4
D. 4 ）
8．设命题 p ： n N ，使得 n 2 2n ，则 p 为（ A. n N ， n 2 2n C. n N , n2 2n B. n N , n2 2n D. n N ， n 2 2n
CD 4，M 为 CE 的中点.
（1）求证： BC 平面 BDE ； （2）求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值.
21． （12 分）已知函数 f x ax2 ax 1 a R . (1)若对任意实数 x ， f x 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)解关于 x 的不等式 f x 2x 3 .
绝密★启用前
2017-2018 学年度第一学期高二(理科)数学期末试题
第 I 卷（选择题） 一、单选题（每小题 5 分） 1．在数列 1，2， 7 ， 10 ， 13 ，„中， 2 19 是这个数列的第（ A. 16 项 B. 24 项 C. 26 项 D. 28 项 则 ABC 的形状一定是（） B. 等腰三角形 ）