2020届山东省青岛市胶州市高三上学期期末考试数学试题(教师版)

2019-2020学年度第一学期期末学业水平检测高三数学本试卷6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2.作答选择题时：选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效；3.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}220A x R x x =∈--<，集合{}xB x R e e =∈≥，则A B =I （ ） A. ()1,2 B. (]1,2C. []1,2D. [)1,2【答案】D 【解析】 【分析】计算{}12A x x =-<<，{}1B x x =≥，再计算交集得到答案.【详解】{}{}22012A x R x x x x =∈--<=-<<，{}{}1xB x R e e x x =∈≥=≥. 故[)1,2A B =I . 故选：D .【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力. 2.已知i 是虚数单位，复数1a ii++（a R ∈）为纯虚数的充要条件是（ ） A. 2a = B. 1a =C. 1a =-D. 2a =-【答案】C 【解析】 【分析】化简得到11 122 a ia aii++-=++，根据复数类型得到答案.【详解】()()()()()11111111222a i i a a ia i a aii i i+-++-++-===+++-，为纯虚数，故1a=-.故选：C.【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力.3.某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，…….如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.则第七组的频数为（）A. 8B. 10C. 12D. 16【答案】A【解析】【分析】直接根据频率和1计算得到答案.【详解】设第七组的频率为p，则()0.0040.0120.0160.030.020.0060.004101p+++++++⨯=，故0.008p=.故第七组的频数为：100100.0088⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查了频率分布直方图，意在考查学生对于频率直方图的理解和掌握.4.设函数()f x的定义域为R，满足()()2 2f x f x+=，且()()[]12,0,1ln(2),1,2x xf xx x+⎧∈⎪=⎨+∈⎪⎩则()f e=（）A. 12e+ B. 2e C. 12e- D. ()ln2e+【答案】B【解析】取2x e =-，代入()()2 2 f x f x +=，计算得到答案. 【详解】()()122222e e f e f e -=-=⋅=.故选：B .【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.5.在直角梯形ABCD 中，4AB =，2CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则()AB AC AE ⋅+=u u u v u u u v u u u v（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】D 【解析】 【分析】由数量积的几何意义可得8AB AC ⋅=u u u v u u u v ，12AB AE ⋅=u u u v u u u v，又由数量积的运算律可得()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，代入可得结果.【详解】∵()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，由数量积的几何意义可得：AB AC u u u v u u u v ⋅的值为AB u u u v 与AC u u u v 在AB u u u v方向投影的乘积， 又AC u u u v 在AB u u u v方向的投影为12AB =2， ∴428AB AC ⋅=⨯=u u u v u u u v ，同理4312AB AE ⋅=⨯=u u u v u u u v，∴()81220AB AC AE ⋅+=+=u u u v u u u v u u u v ， 故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题. 6.已知函数()1xf x x=+，则不等式()()320f x f x -+>的解集为（ ） A. (),3∞-- B. (),1-∞C. ()3,-+∞D. ()1,+?【答案】D【分析】确定函数为奇函数和增函数，化简得到32x x ->-，解得答案. 【详解】()1x f x x =+，()()1xf x f x x--==-+，函数为奇函数， 当0x >时，()1111x f x x x ==-++，函数单调递增，函数连续，故()f x 在R 上单调递增. ()()320f x f x -+>，故()()32f x f x ->-，即32x x ->-，解得1x >.故选：D .【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性和单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 7.三棱锥P ABC -的底面ABC ∆2的球上，则三棱锥P ABC -的体积最大值为（ ）A.34-B.4C.34D.94+ 【答案】C 【解析】【分析】计算1r ==max 2h =，再计算体积得到答案. 【详解】ABC ∆中，22sin ar A==，即1r = 故max 2h =，故max max 113sin 324V bc A h =⨯⨯=. 故选：C .【点睛】本题考查了三棱锥的体积的最值，确定高的最大值是解题的关键.8.已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，满足()()11f x f x -=+，()()f x f x -=-，且()f x 在[]0,1上单调递增，若()2log 3a f =，b f =，()2020c f =，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】计算函数周期为4，()()202000c f f ===，计算0b <，0a >，得到答案. 【详解】()()f x f x =--，()()11f x f x -=+，则()()()2f x f x f x -=+=-， 故()()()42f x f x f x +=-+=，故函数周期为4，()()202000c f f ===，)(440b ff f ===-<，()()22log 32log 30a f f ==->.故b c a <<. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，周期性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知点()1,0F 为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为（ ） A. 24y x =B. 24x y =C. 22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<） D. 22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<） 【答案】AD 【解析】 【分析】依次计算每个曲线方程的焦点判断得到答案.【详解】A. 24y x =，抛物线的焦点为()1,0F ，满足；B. 24x y =，抛物线的焦点为()0,1F ，不满足；C. 22221cos sin x y θθ+=（02πθ<<），焦点为()，或(0,或曲线表示圆不存在焦点，02πθ<<，则22cos sin cos 21θθθ-=≠，均不满足；D. 22221cos sin x y θθ-=（02πθ<<），双曲线的焦点为()1,0F ，满足； 故选：AD .【点睛】本题考查了曲线的焦点，意在考查学生对于圆锥曲线知识的综合应用.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ） A. 直线BM 与平面11ADD A 平行B. 平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C. 异面直线1AD 与11A C 所成的角为3πD. 1MB MD +的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行，异面直线夹角，截面图形，线段最值的计算依次判断每个选项得到答案.【详解】如图所示：易知平面11//BCC B 平面11ADD A ，BM ⊂平面11BCC B ，故直线BM 与平面11ADD A 平行，A 正确；平面1BMD 截正方体所得的截面为1BMD N 为四边形，故B 错误；连接1BC ，1A B ，易知11//AD BC ，故异面直线1AD 与11A C 所成的角为11AC B ∠，1111A B AC BC ==，故113AC B π∠=，故C 正确；延长DC 到'B 使'1CB =，易知'BM B M =，故11'5MB MD D B +≥=， 当M 为1CC 中点时等号成立，故D 正确； 故选：ACD .【点睛】本题考查了异面直线夹角，截面图形，线面平行，最短距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.11.对于函数()13f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（其中0>ω），下列结论正确的是（ ） A. 若2ω=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()y f x =的最小值为12-；B. 若2ω=，则函数21y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()y f x =的图象； C. 若2ω=，则函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； D. 若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则2ω=. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的单调性，周期，最值，平移依次判断每个选项判断得到答案.【详解】2ω=，则()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 故()()min 102f x f ==-，A 正确；21y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()2213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故B 错误； 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数先增后减，故C 错误； 函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则44T π=，故T π=，2ω=，D 正确； 故选：AD .【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，单调性，周期，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.12.如图()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，»CD是以OD 为直径的圆上一段圆弧，»CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，»BA是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W .则下述正确的是（ ）A. 曲线W 与x 轴围成的面积等于2π；B. 曲线W 上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）；C. »CB所在圆的方程为：()2211x y +-=； D. »CB与»BA 的公切线方程为：21x y +=+.【答案】BCD 【解析】 【分析】计算面积2S π=+，故A 错误；曲线W 上有,,,,A B C D M 5个整点，故B 正确；计算圆方程得到C 正确；计算公切线得到D 正确；得到答案.【详解】如图所示：连接BC ，过点C 作CK ⊥x 轴于K ，BL x ⊥轴于L .则面积2S π=+，故A 错误； 曲线W 上有,,,,A B C D M 5个整点，故B 正确；»CB所在圆圆心为()0,1，半径为1，故圆的方程为：()2211x y +-=，C 正确； 设»CB与»BA 的公切线方程为：y kx b =+，根据图像知k 0<，则2211,111k b b kk+-==++，解得1k =-，21b =+，即21x y +=+，D 正确；故选：BCD .【点睛】本题考查了圆的面积，圆方程，公切线，意在考查学生的计算能力.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1a <-； 【解析】 【分析】根据命题为假得到220x x a -->恒成立，计算得到答案.【详解】命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，故220x x a -->恒成立.440a ∆=+<，故1a <-.故答案为：1a <-.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的推断能力. 14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N .若321320S S S -+=，则21a a =______. 【答案】2； 【解析】 【分析】根据等比数列公式化简得到322a a =，3212a a a a =得到答案. 【详解】321320S S S -+=，故()()123121320a a a a a a ++-++=，即322a a =，32122a a a a ==. 故答案为：2.【点睛】本题考查了等比数列公式，意在考查学生的计算能力.15.若二项式()13nx -（n *∈N ）的展开式中所有项的系数和为32-，则： （1）n =______；（2）该二项式展开式中含有3x 项的系数为______. 【答案】 (1). 5 (2). 270-； 【解析】 【分析】（1）取1x =，代入计算到答案. （2）直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】（1）取1x =，则()1332n-=-，故5n =；（2）()()5155133rrr r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，取3r =得到系数为()3353270C ⋅-=-.故答案为：(1)5 ；(2)270-.【点睛】本题查看了二项展开式的计算，意在考查学生的计算能力. 16.黄金分割比0.618ω=≈被誉为“人间最巧的比例”.离心率e =的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点分别为A ，B ，“优美椭圆”C 上动点P （异于椭圆的左右顶点），设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k =______.【答案】12； 【解析】 【分析】设()cos ,sin P a b θθ，,2k k Z πθ≠∈，(),0A a -，(),0B a ，计算2121k k e =-得到答案. 【详解】设()cos ,sin P a b θθ，,2k k Z πθ≠∈，(),0A a -，(),0B a ， 则()222212222sin sin sin 1cos cos cos 1b b b b k k e a a a a a a θθθθθθ=⋅==-=-=+--故答案为：12. 【点睛】本题考查了根据椭圆的离心率求斜率关系，意在考查学生的计算能力.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a ，{}n b 满足：11a =，10b =，1443n n n b a b +=++，1434n n n a a b +=++，*n ∈N . （1）证明：数列{}n n a b +为等差数列，数列{}n n a b -为等比数列； （2）记数列{}n a 的前n 项和为n W ，求n W 及使得9n W >的n 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）21122nn n W ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；5n ≥ 【解析】 【分析】（1）两式相加得到()()112n n n n a b a b +++-+=，两式相减得到1112n n n n a b a b ++-=-，得到证明. （2）计算1122n n a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，21122nn n W ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解不等式得到答案.【详解】（1）由1434n n n a a b +=++和1443n n n b a b +=++相加得：()()11448n n n n a b a b +++=++ 所以()()112n n n n a b a b +++-+=，因此数列{}n n a b +是以2为公差的等差数列 由1434n n n a a b +=++和1443n n n b a b +=++相减得：()()1142n n n n a b a b ++-=-，所以1112n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，因此数列{}n n a b -是以12为公比的等比数列 （2）21n n a b n +=-，112n n n a b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，两式相加得：1122nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以()2111221111222212nn nn n n n W ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+=+- ⎪⎝⎭- 因为11022nn a n ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以1n n W W +>又因为419916W =-<，52719232W =->， 所以使得9n W >的n 的取值范围为5n ≥.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的证明，分组求和法，根据数列的单调性解不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2B Ca Bb +=. （1）求A ；（2）若2b c +=，求a 取最小值时ABC ∆的面积S . 【答案】（1）3A π=（2【解析】 【分析】（1）化简sin cos2Aa Bb =，再利用正弦定理计算得到答案. （2）根据余弦定理得到22()3a bc bc =+-，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）因为sin sin2B C a B b +=，所以sin sin 22A a B b π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin cos 2A a B b =， 由正弦定理得sin sin sin cos2A AB B =， 由于C 为ABC ∆的内角，所以sin 0B ≠，所以sin cos 2A A =，即2sin cos cos 222A A A = 由于B 为ABC ∆的内角，∴cos 02A ≠，所以1sin 22A =，又因为()0,A π∈，所以26A π=，3A π=； （2）在ABC ∆中由余弦定理知：()2222222cos ()332b c a b c bc A b c bc b c +⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪⎝⎭，所以1a ≥，等号当仅当1b c ==时等号成立，此时13sin 24S bc A ==. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.19.如图，在三棱台ABC DEF -中，2BC EF =，G ，H 分别为AC ，BC 上的点，平面//GHF 平面ABED ，CF BC ⊥，AB BC ⊥.（1）证明：平面BCFE ⊥平面EGH ；（2）若AB CF ⊥，22AB BC CF ===，求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）3π【解析】 【分析】（1）证明GH BC ⊥，HE BC ⊥得到BC ⊥平面EGH ，得到答案.（2）分别以HG ，HB ，HE 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，计算平面ABD 的一个法向量为()0,1,1m =u r，平面ADC 的一个法向量为 ()1,1,0n =-r，计算夹角得到答案.【详解】（1）因为平面GHF ∥平面ABED ，平面BCFE ⋂平面ABED BE =， 平面BCFE ⋂平面GHF HF =，所以BE HF ∥.因为BC EF ∥，所以四边形BHFE 为平行四边形，所以BH EF =， 因为2BC EF =，所以2BC BH =，H 为BC 的中点.同理G 为AC 的中点，所以//GH AB ，因为AB BC ⊥，所以GH BC ⊥， 又HC EF ∥且HC EF =，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以CF HE ∥， 又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE GH H =I ，所以BC ⊥平面EGH ， 又BC ⊂平面BCFE ，所以平面BCFE ⊥平面EGH（2）HE HB ⊥，HG HB ⊥，AB CF ⊥，CF HE ∥，//GH AB ，所以HE HG ⊥.分别以HG ，HB ，HE 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则()2,1,0A ，()0,1,0B ，()1,0,1D ，()0,1,0C -.设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =u r ，因为()2,0,0AB =-u u u r ，()1,1,1BD =-u u u r则1111200m AB x m BD x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取11y =，得()0,1,1m =u r . 设平面ADC 的一个法向量为()222,,n x y z =r ，因为()1,1,1AD =--u u u r ，()2,2,0AC =--u u u r则222220220n AD x y z n AC x y ⎧⋅=-=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取21x =，得()1,1,0n =-r . 所以1cos ,2m n m n m n ⋅==⋅u r ru r r u r r ，则二面角B AD C --的大小为3π【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：甲公司乙公司职位 A B C D 职位 A B C D月薪/元6000 7000 8000 9000 月薪/元5000 7000 9000 11000 获得相应职位概率0.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位概率0.4 0.3 0.2 0.1（1）根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：选择意愿人员结构40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司110 120 140 80选择乙公司150 90 200 110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）分别求出两家公司的月薪的期望E（X）、E（Y），经计算E（X）＝E（Y），再求出两家公司的月薪的方差，D（X）＜D（Y），比较这些数据即可作出选择；（2）由k1＝5.5513＞5.024，结合表中对应值，可以得出“选择意愿与年龄有关系”的结论的犯错的概率的上限，由题中数据可以得到选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表，求出对应的K2，可得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率的上限，从而可知选择意愿与性别关联性更大．【详解】（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）＝6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1＝7000，E（Y）＝5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1＝7000，D（X）＝（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1＝10002，D（Y）＝（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1＝20002，则E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（2）因为k1＝5.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：计算K 2＝()210002502003502002000600400450550297⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈6.734， 且K 2＝6.734＞6.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01， 由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．【点睛】本题考查了期望与方差的求法及应用，考查了独立性检验，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属于中档题．21.已知函数()()2sin ln 12x f x x x =+-+.（1）证明：()0f x ≥； （2）数列{}n a 满足：1102a <<，()1n n a f a +=（n *∈N ）. （ⅰ）证明：1102a <<（n *∈N ）； （ⅱ）证明：n *∀∈N ，1n n a a +<.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到()1cos 1f x x x x'=+-+，()f x 在区间()1,0-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增，得到()()00f x f ≥=得到证明. （2）计算318ln02-<，得到当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01f x <<，得到1102a <<；函数()()h x f x x =-，证明()h x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，得到答案.【详解】（1）由题意知，()1cos 1f x x x x'=+-+，()1,x ∈-+∞， 当()1,0x ∈-时，()1101f x x x x'<+-<<+，所以()f x 在区间()1,0-上单调递减， 当()0,x ∈+∞时，()()g x f x '=，因为()()()22111sin 011g x x x x '=+->>++所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增，因此()()00g x g >=，故当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增， 因此当()1,x ∈-+∞时，()()00f x f ≥=，所以()0f x ≥（2）（ⅰ）()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f >=，因为881288311111C C 147122224e ⎛⎫⎛⎫=+=+++>++=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 故83318ln ln ln 022e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，所以()1113131131sin ln sin ln 18ln 22826822822f x f π⎛⎫⎛⎫<=+-<+-=+-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因此当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01f x <<，又因为110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()()()()()12110,2n n n a f a ff a f f f a --⎛⎫====∈ ⎪⎝⎭LL L（ⅱ）函数()()h x f x x =-（102x <<），则()()11cos 11h x f x x x x''=-=+--+， 令()()x h x ϕ='，则()()0x g x ϕ''=>，所以()x ϕ在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；因此()()111217cos 1cos 0222326h x x ϕϕ⎛⎫'=≤=+--=-<⎪⎝⎭， 所以()h x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()()00h x h <=，因此()()10n n n n n a a f a a g a +-=-=<， 所以x *∀∈N ，1n n a a +<【点睛】本题考查了导数与数列的综合应用，难度大综合性强，意在考查学生的综合应用能力.22.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足：122QF QF a +=.已知直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点2F ，且222AF F B =u u u u r u u u u r，求直线l 的方程；（3）若直线l 与曲线ln y x =相切于点(),ln T t t （0t >），且AB 中点的横坐标等于23，证明：符合题意的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标.【答案】（1）2212x y +=（2）22y x =-或22y x =-+（3）证明见解析；其中一个的坐标为()1,0T 【解析】 【分析】（1）根据题意计算得到22222a b c b =+=，221112a b +=，解得答案. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意()21,0F ，则可设直线l 的方程为：()1y k x =-，联立方程，根据韦达定理得到2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+，代入计算得到答案. （3）设()33,A x y ，()44,B x y ，设直线l 的方程为：y kx m =+，联立方程得到342412kmx x k +=-+，根据切线方程得到2ln 1033tt t ++-=，根据对应函数的单调性得到答案. 【详解】（1）设椭圆C 焦距为2c ，因为椭圆C 的短轴长和焦距相等， 所以b c =，22222a b c b =+=①，因为122QF QF a +=，所以点Q 在椭圆C 上，将1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y a b +=得：221112a b +=②， 由①②解得：22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=，（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意()21,0F ，则可设直线l 的方程为：()1y k x =-，由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222124220k x k x k +-+-=， 所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， 又因为222AF F B =u u u u r u u u r，所以()()11221,21,x y x y --=-，1223x x +=，所以()1212223x x x x x +=++=，解得：2222312k x k +=+，2122312k x k -=+， 所以()224212222222323492212121212k k k k x x k k k k +---=⋅==++++， 所以()()422492212k k k-=-+，解得：k = 所以直线l的方程为：22y x =-或22y x =-+. （3）设()33,A x y ，()44,B x y ，由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y kx m =+，由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222124220k x kmx m +++-=，则342412km x x k +=-+， 因为直线l 与曲线ln y x =相切于点(),ln T t t （0t >）， 所以1|x t k y t ='==，ln 1m t =-，所以()34241ln 423t t x x t -+==+， 整理得2ln 1033tt t ++-=， 令()2ln 133t f t t t =++-（0t >），所以()22212132333t t f t t t t +-'=-+=，因为()232g t t t =+-在()0,∞+上单调递增；且11024g ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()120g =>， 所以，存在α（112α<<）使得()0g α=. 因此()f t 在()0,α上单调递减，在(),α+∞上单调递增；所以()()f t f α≥，又因为()10f =，所以()()f t fα≥，()0f α<，又因为()22242222291121291303333e e e e e f e ee e -+-+⎛⎫=+-==> ⎪⎝⎭， 因此()f t 除零点1t =外，1,e α⎛⎫⎪⎝⎭上还有一个零点， 所以，符合题意的点T 有两个，其中一个的坐标为()1,0T .【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系，切线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。