平面与空间直线题型训练5.doc

共面,在ZXABI）和△CBD中■

DF

由E 、G分别是BC和AB的中点及FC

DH 2 1

----- =— // —

HA3可得eg」2ac, 平面与空间直线题型训练

题型1:证明三线共点

例1如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，旦有DF : FC=2 ： 3, DH ： HA=2 : 3.。求证：EF、GH、BD 交于一点。 .

分析：只要证明点E、F、G、H分别所在的直线EG和HF平行，由公理的推论3就可知它们2

〃—

HF= 5 AC,所以EG〃HF,直线EF, GH是梯形的两腰，

所以它们的延长线必相交于一点P,因此，要证三条直

线EF、GH、BD交于一点，只要证点

P在直线AC上即可。

事实上，由于BD是EF和GH分别所在平面ABC

和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理2知PGBD。

证法一：（几何法）连结GE、HF,

・.・E、G 分别为BC、AB 的中点,.・・GE〃AC, XVDF : FC=2 : 3, DH : HA=2 : 3, .-

.HF/Z

AGA

GE ■〃HF。

故G、E、F、H四点共面。又・.・EF与GH不能平行，「.EF与GH相交，设交点为P。则面ABD,

PE面BCD,而平面ABDC平面BCD=BD0「.EF、GH、BD 交于一点。

［反思归纳］证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线。

题型2：证明若干个点共线。

例题1.正方体ABCD-A］B|CiD］中，对角线A】C与平面BDC】交于O, AC、BD交于点M.

求证：点C】、0、M共线.

证明：

A］A〃CG n确定平面A|C）

A】Cu面A|C > =>O《面A］Cn

0"C

面BCiDn直线A1C = O 4oe面BC|D

0在面AiC与平面BC］D的交线GM上

・・・G、0、M共线

［例2］、如图，已知四边形ABCD中，AB〃CD,四条边AB, BC, DC, AD （或其延长线）分别与平面a相交于E, F, G, H四点，求证：四点E, F, G, H共线。

证明：・.・AB〃CD,「.AB, CD确定一个平面易知AB,

BC, DC, AD都在B内，

由平面的性质可知四点E, F, G, H都在（3上，因而，E,

G, G, H必都在平面a与B的交线上, 所以四点E, F, G, H

共线。

［反思归纳］证明“点共线”的方法，一般都是通过证这些点在某两个平面的交线上来解决。题型三。证明点线共面

1已知直线/与三条平行线a、b、c都相交.求证：/与a、b、c共面.

证明：设ani = A bni=B cCH=C

a〃b=> a、b 确定平面a => 1 c p

Ae a, BEb J

b〃cnb、c确定平面［3同理可证lu|3

所以a、(3均过相交直线b、1 => a、(3重合=> cua =>a、b、c、1共面

2：如图，AABC在平面a外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面a于P、Q、

R点.求证：P、Q、R共线. /A

证明：设平面ABCCla = l,由于P=ABAa,即P=平面ABCna=l, 即点P在直线1上.同理可证点Q、R在直线1上.

・.・P、Q、R共线，共线于直线1. P R Q

3.若AABC所在的平面和△AiBiCi所在平面相交，并且直线AA】、BB】、CC］相交于一点O,求证：(1)AB和A|B］、BC和B】Ci分别在同一个平面内；

(2)如果AB和AjB,, BC和BiG分别相交，那么交点在同一条直线上.

A

C

B

A

证明：(1) VAAiABB^O,:.AA\与BB】确定平面a, XVAEa, BEa, A】Ua, B^a,

・.・ABua, AiBiua,」.AB、A】B］在同一个平面内

同理BC、BiG、AC、A】C］分别在同一个平面内

(2)设ABC!A|Bi=X, BCClB］Ci = Y, ACf!A|C| = Z,则只需证明X、Y、Z三点都是平面

AiBiG与ABC的公共点即可.

变式训练3：如图，在正方体ABCD-A.B I C I D J中，E为AB中点，F为AA|中点，

求证：(1)E、C. D|、F四点共面；D! C,

⑵CE、D］F、DA三线共点. Z\ /

证明(1)连结A】B则EF〃A】B A】B〃DiC A\ ~\ ----------- 】

・・・EF〃D|C ..・E、F、Di、C四点共面•'、、、

(2)面D|AD面CA=DA F、•''、、

・・・EF〃D|C 且EF=1D|C / \ /C

・・・D|F与CE相交又D|Fu面D|A, CEu面AC

・・・D|F与CE的交点必在DA上

ACE. D］F、DA三线共点.

AC =

BC AD = BD

例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内.

证明：(1)若a 、b 、c 三线共点P,但点pad,由d 和其外一点可确定一个平面ot 又 aCld= A .••点 AEct

二直线 aua

同理可证：b 、cua 「.a 、b 、c^ d 共面 (2)若a 、b 、c 、d 两两相交但不过同一点 Vanb=Q 「.a 与b 可确定一个平面［3 又 cflb=E AEep 同理 cAa=F

Fe p

・.・直线c 上有两点E 、F 在0上 .・・cu|3 同理可证：du(3故a 、b 、c 、d 共面

由(1)(2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面 题型四：异面直线 题型：异面直线的判定或求异面直线所成的角及距离

例1.如图，在空间四边形ABCD 中，AD = AC = BC = BD = a, AB=CD = b, E 、F 分别是 AB 、CD 的中点.

(1) 求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2) 求AB 和CD 间的距离.

证明：(1)连结CE 、DE

AB1CE

\ zz> AB±而 CDE

AB 1 DE\

AAB1EF 同理 CD1EF

・・・EF 是AB 和CD 的公垂线 (2) A ECD 中，EC="上=ED

2：在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2, E, F 分另ij 为AB 、CD 的中点，

EF=右,求AD 、 BC 所成角的大小.

解：设BD 的中点G,连接FG, EG-在ZSEFG 中 EF=打 FG=EG=1 ZEGF= 120°

「•AD 与 BC 成 60。的角。

3. S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA = SB = SC, 且 /ASB=/BSC= ZCSA=2L, M 、N 分别是 AB 和 SC 的中点.

2

求异面直线SM 与BN 所成的角.

证明：连结CM,设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN 〃SM A ZQNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ,设SC = a,在Z\BQN 中 BN=瓦 NQ=1SM= @a BQ=匝〃

2

2

4

4

・.・COSNQNB=可+昭2一印2=匝

■

2BN ・ NQ

5

•••EF=