最新全国各地2011届高考数学试题汇编：函数、方程及其应用

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2011年高考数学真题分类汇编-4---函数与导数

2011年高考数学真题分类汇编——函数与导数（4）一、选择题1.（全国Ⅱ理8）曲线21xy e -=+在点（0,2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13 (B)12 (C)23 (D)12.（全国Ⅱ理9）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2f -=(A)12-(B)14-(C)14 (D)123.（山东理9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是4.（山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）95.（山东文4）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）156.（陕西理3）设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是（）7.（陕西文4）函数13y x =的图像是（）8.（上海理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）（A ）1ln||y x =. （B ）3y x =. （C ）||2x y =. （D ）cos y x =.9.（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）（A ）2y x -= （B ）1y x -= （C ）2y x = （D ）13y x =10.（四川理7）若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图象大致是11.（四川文4）函数1()12x y =+的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是 12.（天津理2）函数()23x f x x=+的零点所在的一个区间是（）．Ａ．()2,1--Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1Ｄ．()1,2二、填空题13.（陕西文11）设lg ,0()10,0xx x f x x >⎧=⎨⎩…，则((2))f f -=______. 14.（陕西理11）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．15.（陕西理12）设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n = ．16.（山东理16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x xb a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、选做题：17.（广东文19）设0>a ,讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 18.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 17.解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ，当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000．综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．18221212122(1)2(1)1'(),112(1)2(1)1012(1)()310,'()23110,220'()0,()(0,)(,)a a x a x f x xa a a x a x a a a f x x x a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=∆=--<∆>=>=<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)110,'()0,()(0,)311'()0(0),()(0,)1110,0,0,'()22x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x xa x x f x x a a <<<≤<∆≤≥+∞==>>+∞>∆>==+；当时，在(内为减函数当时，在内为增函数；当时，在内为增函数；当时，所以在定义域内有唯一零点②③④11111;0'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；综（其中121122x x a a ==）。

2011年高考数学真题(全国卷)理科(详细解析)

1. 复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --=【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i z z z i i i i =---=+----=- 2. 函数2(0)y x x =≥的反函数为【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选B .在函数2(0)y x x =≥中，0y ≥且反解x 得24yx =，所以2(0)y x x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.3. 下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞（B ）1a b -＞（C ）22a b ＞（D ）33a b >【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a b ＞，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。

4. 解：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = 【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。

思路二：利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】2k k S S +-= 21k k a a +++= 11(21)(11)a k d a k d ++-+++-=12(21)a k d ++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。

5. 设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

2011年高考数学试题分类汇编专题坐标系与参数方程理

2011年高考试题数学（理科）选修系列：坐标系与参数方程一、选择题：1. （2011年高考安徽卷理科5）在极坐标系中，点（，_）到圆2COS 的圆心的距离为(A) 2(B)-,'49 (C)1 9(D) . 3【命题意图】本题考查了极坐标方程与平面直角坐标系中的 -般方程的的互化，属于容易题【答案】D【解析】极坐标系中的点（2, 一）化为直角坐标系中的点为（1,3 ）；极坐标方程2cos3化为直角坐标方程为x2y22x，即（x 1）2y21，其圆心为（1,0 ）,•••所求两点间距离为'（1 1）2 G 3 0）2= 3，故选D.2. （2011年高考安徽卷理科3）在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是A. （1,一）B. （1, ）C. （1,0）D. （1,）2 2【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标系下方程的互化及点互化，是简单题【解析】：2sin x2（y 1）21，圆心直角坐标为（0,-1 ）,极坐标为（1,-）,2选B。

二、填空题：x 8t21. （2011年高考天津卷理科11）已知抛物线C的参数方程为'（t为参数），若斜率y 8t.为1的直践经过拋物线口的的焦点，且与= 相切，则一______ 【答知忑【解析】由题直知W物线的方程为才二匹因为相切所以容易得出结果.金太阳新课标资源网2 （20L1年高考江西卷理科15）（坐赫系与参数方裡选懺题）若曲线的极坐榻方程为尸Zsin4+48喊以极点为原点，极轴为兀轴正半轴建立直肃坐标系，则该曲线的直甫坐标方程为_______________答案：x 2 y 2 4x 2y 0。

解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点:2x 2 y 2即可。

根据已知2sin4 cos =2?— 4 —,化简可得：2 2y 4x x 2 y 2,所以解析式为：x 2 y 2 4x 2y 0x cos ,3. （2011年高考湖南卷理科 9）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为（y 1 sin为参数）在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的方程为 cos sin 1 0，则G 与C ?的交点个数为 ________________________ 。

2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(14统计、统计案例、算法初步、框图、推理与证明)

2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（14统计、统计案例、算法初步、框图、推理与证明）一、选择题：1. (2011北京文)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)51.【答案】C【解析】执行三次循环，12S A =≤=成立，112p =+=，1131122S P =+=+=，322S A =≤=成立，213p =+=，3131112236S P =+=+=，1126S A =≤=成立，314p =+=1111112566412S p =+=+=，25212S A =≤=不成立，输出4p =，故选C2.(2011北京理)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）（A ）-3 （B ）-12（C ）13 （D ）22.【答案】D【解析】：循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D 。

3. (2011福建文)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A. 6B. 8C. 10D.12解析：由30:406:,n =可得8n =，答案应选B 。

4. (2011福建文)阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A.3B.11C.38D.1234.解析：110,12310,a a =<=+=<2321110,11a a =+=>=,答案应选B 。

5. (2011广东理) 设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀,,有S ab ∈,则称S 关于数的乘法是封闭的，若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V=Z, 且T c b a ∈∀,,,有T c ab ∈,;V z y x ∈∀,,,有V xyz ∈,则下列结论恒成立的是（）A. T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. T,V 中每一个关于乘法是封闭的5. 解析：（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C ，若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D 。

2011年高考理科数学(全国卷)(含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷．．．．上作答无效。

．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞（B ）1a b -＞（C ）22a b ＞（D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角α –ι- β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种(8)曲线y=2xe-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1(9)设()f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x=2(1)x x-，则5 ()2f-=(A) -12(B)14- (C)14(D)12(10)已知抛物线C：24y x=的焦点为F，直线24y x=-与C交于A，B两点．则cos AFB∠=(A)45(B)35(C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a，b，c满足a=b =1，a b =12-，,a cb c--=060，则c的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1第Ⅱ卷注意事项：1、答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04导数及其应用)

2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（04导数及其应用）一、选择题：1.(2011安徽文)函数2)1()(x ax x f n -=在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是( ) （A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 41.A 【解析】法一：本题主要考查了函数图像、利用导数求函数最值、均值不等式等知识，属于难题。

解题时根据四个选项中的n 先确定函数解析式，再利用导数求出最值点即可利用排除法找到答案。

由函数图像可知0a >，当1n =时，()232()(1)2f x ax x a x x x =-=-+，()(31)(1)f x a x x '=--，所以函数的最大值点为10.53<，所以A 可能；当2n =时，函数22()(1)f x ax x =-的图像关于直线12x =对称，由图像知B 错误；当3n =时，()32543()(1)2f x ax x a x x x =-=-+，()()()222()583531f x ax x x ax x x '=-+=--，最大值点为30.55>，股C 错误；当4n =时，()42654()(1)2f x ax x a x x x =-=-+，()()()5433()61042321f x a x x x ax x x '=-+=--，函数的最大值点为20.53>，由图像知D 不可能.法二：法三：【技巧点拨】本题利用函数图像提供给学生的重要信息是最值点小于0.5，很多学生解题时不知道先确定函数解析式，然后利用导数工具求出函数的极值点，再用最值点小于0.5这一关键信息对选项进行排除不能把握最值点小于0.5这一关键信息，解题受阻。

同时还有注意题干中函数“可能”，“是否”等这些不确定性词语时，解题常用的技巧是把答案带入进行验证。

2. (2011安徽理)函数nmx ax x f )1()(-=在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（）（A ）1,1m n == (B) 1,2m n ==(C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==2. B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1,2m n ==，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选B.3. (2011福建文)若a>0, b>0, 且函数f(x)=4x 3-ax 2-2bx+2在x=1处有极值，则ab 的最大值等于（） A. 2 B. 3 C. 6 D. 93.解析：2()1222,(1)12220,6f x x ax b f a b a b ''=--=--=+=≥9ab ≤，当且仅当3a b ==时等号成立，答案应选D 。

2011年高考数学试题分类汇编-专题函数与导数-理

2011年高考数学试题分类汇编-专题函数与导数-理2011年高考试题数学（理科）函数与导数一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科5)对于函数(),y f x x R=∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要【答案】B【解析】由奇函数定义,容易得选项B 正确.2. (2011年高考山东卷理科9)函数2sin 2xy x =-的图象大致是【答案】C【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确.3. (2011年高考山东卷理科10)已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x=-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【答案】B【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x xx=-,又因为()f x 是R上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B.4．(2011年高考安徽卷理科3)设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x xx2=2-，则()f 1=（A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１（Ｄ）３（A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１（Ｄ）３【命题意图】本题考查了函数的奇偶性和求值，是容易题.【解析】∵设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0()f x '=23(34)a xx -=234()4ax x --，在[0,34]是增函数，不适合.【解题指导】排除法解决存在问题和不确定问题很有效6．(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（）（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞）（D ）[0，+∞）答案： D解析：不等式等价于11,22xx -≤⎧⎨≤⎩或21,1log 2,x x >⎧⎨-≤⎩解不等式组，可得01x ≤≤或1x >，即0x ≥，故选D.8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若,则实数α=（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2 【答案】 B 【解析】：当2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-，故选B9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（）A 3x y = B 1+=x y C 12+-=xyD xy -=2【答案】B解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,故选B ；点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数x y x y -==和都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在),0(+∞的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定。

2011年高考数学试题分类汇编函数与导数

2011年高考数学试题分类汇编：函数与导数一、选择题1.（安徽理3）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１（Ｄ）3 【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.故选A. 2.(安徽理10) 函数()()m nf x ax x =1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332，知a 存在.故选B.3.（安徽文5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a 10,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.y0.51xO0.54.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1n =时，()()()f x ax x a x x x 232=1-=-2+，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332，知a 存在.故选A.5.（北京理6）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为()x A x f x x A A <=≥（A ，c 为常数）。

2011年全国高考理科数学试题含答案(新课标卷)

2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第 I 卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数2i 的共轭复数是（）1 2i（A ）3 i （B ）3i（C ）i（ D ）i55（2）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的函数是（）（A ） y x 3(B) yx1（C ）yx 21(D) y2 x（3）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（）（A ）120（B ）720（C ）1440（D ）5040（4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）（A ）1 （）1 （ C ）2 （D ）33B 342（5）已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y 2x 上，则 cos 2 =（）（A ）4（B ）3（C ）3（D ）45 555（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（）（7）设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， L 与 C 交于 A ,B 两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（）（A ） 2（B ） 3 （C ）2（D ）3a 2 x 15（8） x的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（）x x（A ）-40（B ）-20（C ）20（D ）40（9）由曲线 yx ，直线yx 2 及 y 轴所围成的图形的面积为（）（A ）10（B ）4（C ）16（D ）633（10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题（）P 1 : a b 10,2P 2 : a b 12,33P 3 : a b 10, P 4 : a b 1,33其中的真命题是（）（A ） P 1,P 4（B ） P 1, P 3（C ） P 2, P 3（D ） P 2 , P 4（ 11）设函数 f ( x)sin( x) cos( x)(0,) 的最小正周期为，且 f ( x) f ( x)，则2（）（A ）f ( x)在0,单调递减（ B ）f (x)在4 ,3单调递减24（C ）f ( x)在0,单调递增（ D ）f ( x)在, 3单调递增244(12)函数y1 的图像与函数 y 2sin x( 2x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于（）1-x（A ）2(B) 4(C) 6(D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

(超级精品)2011届高考数学一轮复习精品题集分类汇编之函数(39页)

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.1 函数的概念和图象重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f （x ）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法；函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；③了解简单的分段函数，并能简单应用；经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：（1）H （x ）=f （x2+1）；（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.当堂练习：1．下列四组函数中,表示同一函数的是（） A．(),()f x x g x ==B．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D．()()f x g x ==2函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（）A ．{}1x x ≠ B ．{}2x x ≠- C ．{}1,2xx ≠-- D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（）A ．5[,)4+∞B ．5(,4-∞C ． 4[,)3+∞D ．4(,]3-∞ 5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述：（）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是()A ．（1），（2），（3）B ．（1），（3），（4）C ．（2），（4）D ．（2），（3）6．在对应法则,,,x y y x b x R y R→=+∈∈中,若25→,则2-→ ， →6．7．函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，已知(8)3f =，则)f = ．8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R+∆=+∈，、. 若13k ∆=，则函数()fx k x =∆的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是．10．函数2522y x x =-+的值域是．11．求下列函数的定义域： (1)()121x f x x =-- (2)(1)()x f x x x+=-12．求函数y x =13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．14．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ．（1）求函数S=的解析式、定义域和值域；（2）求f[f(3)]的值．第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1.2 函数的简单性质重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并了解映射的概念；②会运用函数图像理解和研究函数的性质．经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在［0，＋∞ )上图象与f （x ）的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是 f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ）③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 当堂练习：1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f(1)等于（）A ．-3B ．13C ．7D ．含有m 的变量2．函数()f x =是（）A ．非奇非偶函数B ．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数C ．偶函数D ．奇函数3．已知函数(1)()11f x x x =++-,(2)()f x =2()33f x x x =+(4)0()()1()R x Q f x x C Q ∈=∈⎧⎨⎩,其中是偶函数的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．44．奇函数y=f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为（）5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是a,则集合B 中元素的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．76．函数2()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是．7．已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2(1)f x x ++与()34f 的大小关系是．8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是．9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是22,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则点A 坐标是．13. 已知函数2122()x x f x x++=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．14．已知函数2211()a f x aa x+=-，常数0>a 。

2011年高考数学试题分类汇编函数

2011年高考数学试题分类汇编——函数1．(2011安徽理)设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（）（A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１（Ｄ）３2．（2011安徽文）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（）（A ）（a1，b ） (B ) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b)3．（2011北京理）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为()x A f x c x A <=≥（A ，c 为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是（） A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，164．（2011福建文）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于（）A ．－3B ．－1C ．1D ．35．（2011广东理）设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（） A ．()f x +|g(x)|是偶函数 B ．()f x -|g(x)|是奇函数 C ．|()f x | +g(x)是偶函数 D ．|()f x |- g(x)是奇函数6．（2011广东文）设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f ∙；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =∙．则下列等式恒成立的是（） A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙=∙ B ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙=∙ C ．()()()()()())(x h g h fx h g f =D ．()()()()()())(x h g h fx h g f ∙∙∙=∙∙7．（2011湖北理）已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f ()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2f （） A. 2 B .415 C.417 D. 2a8．（2011江苏）已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________9．（2011辽宁理）设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（）A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞]10．（2011全国Ⅰ理）函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（）（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)811．（2011全国Ⅱ理）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2f -=（）(A)12-(B)14-(C)14(D)1212．（2011山东理文）函数2sin 2x y x =-的图象大致是（）13．（2011山东理）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）914．（2011山东理）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .15．（2011陕西理）设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是16．（2011陕西文）函数13y x =的图像是（）17．（2011陕西文）设lg ,0()10,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…，则((2))f f -=______.18．（2011上海理）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 .19．（2011上海理）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）（A ）1ln||y x =. （B ）3y x =. （C ）||2x y =. （D ）cos y x =.20．（2011四川理）若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图象大致是（）21.(2011年天津理)对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,,1.aa b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =--∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭22．（2011天津理）已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 23．（2011浙江理）若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a =24．（2011重庆文）设,,,则,,的大小关系是(A) (B) (C) (D)25．（2011重庆文）若函数在处取最小值,则（）(A) (B) (C)3 (D)4。

最新全国各地2011届高考数学试题汇编：不等式1

不等式题组一一、选择题1. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 42+-=的最小值是（ ▲ ）A ．15B ．－18C ．26D ．－20答案 B.2．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设,x y 满足约束条件：112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．6B ．－６Ｃ．12 Ｄ．－７答案 B. 3、（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）若0a b >>，则A ．22()a c b c c R >∈B ．1ba > C ．lg()0ab ->D ．11()()22a b<答案 D.4.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式2601x x x ---＞的解集为( ) A.{}2,3x x x -＜或＞ B.{}213x x x -＜，或＜＜C.{}213x x x -＜＜，或＞ D.{}2113x x x -＜＜，或＜＜答案 C.5.（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）设双曲线122=-y x 的两条渐近线与直线22=x 围成的三角形区域（包含边界）为D ， P （y x ,）为D 内的一个动点，则目标函数y x z 2-=的最小值为（A ）2- （B ）22- （C ）0 （D ）223 答案 B.6．（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（）答案 C.7.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式2601x x x ---＞的解集为( ) A.{}2,3x x x -＜或＞ B.{}213x x x -＜，或＜＜C.{}213x x x -＜＜，或＞ D.{}2113x x x -＜＜，或＜＜答案 C.8．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知0<a<b<1，则 A ．3b ＜3a B ．log 3a >log 3b C (lga)2<(lgb)2 D ．(1e )a <(1e)b答案 A.9．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考理）设1100,x zx y z t y t≤≤≤≤≤+则的最小值是（）A ．2B ．12C ．15D ．110答案 C. 二、填空题10．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知二次项系数为正的二次函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)1()1(x f x f +=-成立，设向量= a （si nx ，2），= b （2si nx ，21），= c （cos2x ，1），= d （1，2），当∈x [0，π]时，不等式f （⋅ a b ）＞f （⋅ c d ）的解集为。

2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(12圆锥曲线与方程)

2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（12圆锥曲线与方程）一、选择题：1. (2011安徽文、理)双曲线x y 222-=8的实轴长是（）（A ）2(B) (C) 41.C 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属简单题.双曲线方程可变为x y 22-=148，所以,a a 2=4=2,a 2=4。

【易错提示】把椭圆和双曲线中参数,,a b c 的关系搞混了，是丢分的主要原因。

2. (2011福建文、理)设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于（）A.1322或B.23或2C.12或2 D.2332或2. 解析：当曲线为椭圆时121231422F F e PF PF ===++；当曲线为双曲线时121233422F F e PF PF ===--，答案选A 。

3．(2011广东文)设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆3.解析：（A ）．依题意得，C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等，则C 的圆心轨迹为抛物线4. (2011湖北文、理)将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则（） A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n 【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于 x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为n ，2=n ，所以选C.5．(2011湖南文、理)设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。

2011年全国各地高考理科数学试题汇编汇总2011广东高考数学(文科)试题及详解

试卷类型：B2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)参考公式：锥体体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =-,样本数据12,,,n x x x 的标准差,222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x ,y 表示样本均值.n 是正整数,则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足1iz =,其中i 为虚数单位,则z =A.i -B.iC.1-D.1 1.(A).1()i z i i i i -===-⨯- 2.已知集合{(,)|,A x y x y =为实数,且221}x y +=,{(,)|,B x y x y =为实数,且1}x y +=,则A B ⋂的元素个数为A.4B.3C.2D.12.(C).A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线1x y +=的交点个数,显然有2个交点3.已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c .若λ为实数,()λ+a b ∥c ,则λ= A.14 B.12C.1D.2 3.(B).(1,2)λλ+=+a b ,由()λ+a b ∥c ,得64(1)0λ-+=,解得λ=124.函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A.(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-⋃+∞ D.(,)-∞+∞23正视图图1侧视图图22 俯视图 2图34.(C).10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠,则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-⋃+∞5.不等式2210x x -->的解集是A.1(,1)2-B.(1,)+∞C.(,1)(2,)-∞⋃+∞D.1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 5.(D).21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >,则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定.若(,)M x y 为D 上的动点,点A的坐标为(2,1),则z OM OA =⋅的最大值为A.3B.4C.32D.42 6.(B).2z x y =+,即2y x z =-+,画出不等式组表示的平面区域,易知当直线2y x z =-+经过点(2,2)时,z 取得最大值,max 2224z =⨯+=7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有A.20B.15C.12D.107.(D).正五棱柱中,上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线,所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条8.设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切,与直线0y =相切,则C 的圆心轨迹为 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆8.(A).依题意得,C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等,则C 的圆心轨迹为抛物线 9.如图1 ~ 3,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体的体积为 A.43 B.4 C.23 D.29.(C).该几何体是一个底面为菱形的四棱锥,菱形的面积1223232S =⨯⨯=,四棱锥的高为3, 则该几何体的体积112332333V Sh ==⨯⨯=10.设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数,如下定义两个函数()f g ()x 和()f g ()x ：对任意x ∈R ,()fg ()x =(())f g x ；()f g ()x =()()f x g x ,则下列等式恒成立的是A.(()fg h )()x =(()f h ()g h )()x B.(()f g h )()x =(()f h ()g h )()x C.(()fg h )()x =(()f g ()g h )()x D.(()f g h )()x =(()f g ()g h )()x 10.(B).对A 选项 (()fg h )()x =()f g ()()x h x (())()f g x h x = (()f h ()g h )()x =()f h (()()g h x )=()f h ((()()g x h x ) (()())(()())f g x h x h g x h x =,故排除A对B 选项 (()f g h )()x =()(())f g h x =(())(())f h x g h x(()f h ()g h )()x =()()()()f h x g h x (())(())f h x g h x =,故选B 对C 选项 (()fg h )()x =()(())f g h x ((()))f g h x =(()f g ()g h )()x =()(()())()((()))f g g h x f g g h x = (((())))f g g h x =,故排除C对D 选项 (()f g h )()x =()()()()()()f g x h x f x g x h x = (()f g ()g h )()x =()()()()()()()()f g x g h x f x g x g x h x =,故排除D二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(9 ~ 13题)11.已知{}n a 是递增的等比数列,若22a =,434a a -=,则此数列的公比q = . 11.2.2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列,∴2q =12.设函数3()cos 1f x x x =+.若()11f a =,则()f a -= .12.9-3()cos 111f a a a =+=,即3()cos 10f a a a ==,则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=-13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 . 13.0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =,1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii nii x x y y b x x ==--++++-===-+-+++-∑∑,0.47a y bx =-=∴线性回归方程0.010.47y x =+,则当6x =时,0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53(二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ,它们的交点坐标为___________.25(1,)514.25(1,)5. 5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(5501)x y -<≤≤≤且,254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =图4BAC DEF22221(5501)5450145x y x y x x x y x ⎧+=-<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩且或5x =-(舍去), 又因为01y ≤≤,所以它们的交点坐标为25(1,)515.(几何证明选讲选做题)如图4,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,4AB =,2CD =,,E F 分别为,AD BC 上的点,且3EF =, EF ∥AB ,则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________. 15.75如图,延长,AD BC ,ADBC P =∵23CD EF =,∴49PCD PEF S S ∆∆= ∵24CD AB =,∴416PCD PEF S S ∆∆= ∴75ABEF EFCDS S =梯形梯形三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数1()2sin()36f x x π=-,x ∈R .(1)求(0)f 的值； (2)设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,10(3)213f πα+=,6(32)5f βπ+=,求sin()αβ+的值. 16.解：(1)(0)2sin()16f π=-=-(2)110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==,即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=,即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ∴212cos 1sin 13αα=-=,24sin 1cos 5ββ=-= PBAC DEFBAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O '图5∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯= 17.(本小题满分13分)在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用n x 表示编号为n (1,2,,6)n =的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩n x7076727072(1)求第6位同学的成绩6x ,及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 17.解：(1)61(7076727072)756x +++++=,解得690x = 标准差22222222212611[()()()](5135315)766s x x x x x x =-+-++-=+++++= (2)前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ,,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠则基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种这5位同学中,编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间(68,75)中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学,恰有1位同学成绩在区间(68,75)中”则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种,则42()105P A == 18.(本小题满分13分)图5所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.,,,A A B B ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点,1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点.(1)证明：12,,,O A O B ''四点共面；(2)设G 为AA '中点,延长1A O ''到H ',使得11O H A O ''''=.证明：2BO '⊥平面H B G ''.BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O 'H18.证明：(1)连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心 ∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径 ∵,,A B B ''分别为C D '',DE ,D E ''的中点∴1290A O D B O D ''''''∠=∠= ∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O O ',四边形22O O B B ''是平行四边形 ∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO∴12,,,O A O B ''四点共面(2)延长1A O '到H ,使得11O H AO ''=,连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''//2O B '',四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥,122O O B O ''''⊥,2222O O B O O ''''=∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B '',2BO '⊂面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形,且边长2AA '=∵11tan 2HH HO H O H'''∠=='',1tan 2A G A H G A H '''∠=='' ∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠=∴190HO H A H G ''''∠+∠= ∴1HO H G ''⊥易知12O O ''//HB ,四边形12O O BH ''是平行四边形 ∴2BO '∥1HO ' ∴2BO H G ''⊥,H GH B H ''''=∴2BO '⊥平面H B G ''.19.(本小题满分14分)设0a >,讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性. 19.解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞212(1)2(1)1()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a x x---+'=+---=令2()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+224(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ∆=---=-+=--① 当103a <<时,0∆>,令()0f x '=,解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=- 则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-或1(31)(1)2(1)a a a x a a -+-->-时,()0f x '>当1(31)(1)1(31)(1)2(1)2(1)a a a a a a x a a a a -----+--<<--时,()0f x '<则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----,1(31)(1)(,)2(1)a a a a a -+--+∞-上单调递增,在1(31)(1)1(31)(1)(,)2(1)2(1)a a a a a a a a a a -----+----上单调递减② 当113a ≤≤时,0∆≤,()0f x '≥,则()f x 在(0,)+∞上单调递增 ③ 当1a >时,0∆>,令()0f x '=,解得1(31)(1)2(1)a a a x a a -±--=-∵0x >,∴1(31)(1)2(1)a a a x a a ----=-则当1(31)(1)02(1)a a a x a a ----<<-时,()0f x '>当1(31)(1)2(1)a a a x a a ---->-时,()0f x '<则()f x 在1(31)(1)(0,)2(1)a a a a a -----上单调递增,在1(31)(1)(,)2(1)a a a a a ----+∞-上单调递减20.(本小题满分14分)设0b >,数列{}n a 满足1a b =,111n n n nba a a n --=+-(n ≥2).(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ,2n a ≤11n b ++.20.(1)解：∵111n n n nba a a n --=+-∴111n n n a ba n a n --=+- ∴1111n n n n a b a b--=⋅+ ① 当1b =时,111n n n n a a ---=,则{}nn a 是以1为首项,1为公差的等差数列∴1(1)1nnn n a =+-⨯=,即1n a = ② 当0b >且1b ≠时,11111()11n n n n a b b a b--+=+-- 当1n =时,111(1)n n a b b b +=-- ∴1{}1n n a b+-是以1(1)b b -为首项,1b 为公比的等比数列 ∴111()11n n n a b b b+=⋅-- ∴111(1)1(1)n n nn n b a b b b b b-=-=--- ∴(1)1nn nn b b a b-=- 综上所述(1),01111nn n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且， (2)证明：① 当1b =时,1212n n a b +=+=；② 当0b >且1b ≠时,211(1)(1)n n n b b b b b ---=-++++要证121n n a b +≤+,只需证12(1)11nn nn b b b b+-≤+-, 即证2(1)11n nn b b b b-≤+- 即证21211n n nn b b b b b --≤+++++即证211()(1)2n n n b b b b n b--+++++≥即证21121111()()2n nn n b b b b n b b b b --+++++++++≥∵21121111()()n nn n b b b b b b b b--+++++++++21211111()()()()n n n n b b b b b b b b--=++++++++2121111122222n n n n b b b b n b bb b--≥⋅+⋅++⋅+⋅=,∴原不等式成立xy O2x =-APl MMxy O 2x =-TN l HNH∙H xy OTA 1l1l1l∴对于一切正整数n ,2n a ≤11n b++.21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 上,直线l ：2x =-交x 轴于点A .设P 是l 上一点,M 是线段OP 的垂直平分线上一点,且满足MPO AOP ∠=∠.(1)当点P 在l 上运动时,求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知(1,1)T -,设H 是E 上动点,求HO HT +的最小值,并给出此时点H 的坐标；(3)过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点,求直线1l 的斜率k 的取值范围.21.解：(1)如图所示,连接OM ,则PM OM =∵MPO AOP ∠=∠,∴动点M 满足MP l ⊥或M 在x 的负半轴上,设(,)M x y ① 当MP l ⊥时,2MP x =+,22OM x y =+222x x y +=+,化简得244y x =+(1)x ≥-② 当M 在x 的负半轴上时,0y =(1)x <-综上所述,点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或0y =(1)x <-(2)由(1)知M 的轨迹是顶点为(1,0)-,焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <- ① 若H 是抛物线上的动点,过H 作HN l ⊥于N由于l 是抛物线的准线,根据抛物线的定义有HO HN = 则HO HT HN HT +=+当,,N H T 三点共线时,HN HT +有最小值3TN =求得此时H 的坐标为3(,1)4--② 若H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点显然有3HO HT +>综上所述,HO HT +的最小值为3,此时点H 的坐标为3(,1)4-- (3)如图,设抛物线顶点(1,0)A -,则直线AT 的斜率12ATk =-∵点(1,1)T -在抛物线内部,∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点则直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论： ① 当12k ≤-时,直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 ② 当102k -<<时,直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点 ③ 当0k =时,直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点 ④ 当0k >时,直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点综上所述,直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞。

最新全国各地2011届高考数学试题汇编：函数、方程及其应用1

函数、方程及其应用题组一一、选择题1．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理） a 是x x f x 21log 2)(-=的零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足（）A ．0)(0=x fB ．0)(0<x fC ．0)(0>x fD ．)(0x f 的符号不确定【答案】B【分析】函数2()2log xf x x =+在(0,)+∞上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数是单调递增性，在(0,)a 上这个函数的函数值小于零，即0()0f x <。

【考点】函数的应用。

【点评】在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零。

2．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考文）函数()26f x ax bx =++满足条件()()13f f -=，则()2f 的值为（）A ．5B ．6C ．8D ．与a ，b 值有关答案 B 提示：由()()13f f -=知对称轴12b a -=，故()226f x ax ax =-+，所以()26f =．3．（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考文）函数()22f x x ax a =-+在(),1x ∈-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在()1,x ∉+∞上一定（）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案： D 提示：由函数()22f x x ax a =-+在(),1-∞有最小值，知1a <，又()2a g x x a x=+-，由1x >及1a <知()222'1a x a g x x x -=-=210a x ->>，故()g x 为增函数． 4．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理）已知函数221,1,()[(0)]4,1,x x f x f f a x ax x ⎧+<⎪==⎨+≥⎪⎩若，则实数a 等于（）A ．12B ．45C ．2D ．9答案 C. 5．（安徽省蚌埠二中2011届高三第二次质检文）已知函数)10()3(log )(2≠>+-=a a ax x x f a 且满足：对任意实数x 1、x 2，当221a x x ≤<时，总有0)()(21>-x f x f ，那么实数a 的取值范围是（）A ．（0，3）B ．（1，3）C ．)32,1(D ．)32,0(答案 C.6.（福建省莆田一中2011届高三上学期第三次月考试题文）已知函数)0,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象如图所示，则ω等于( )A ．13 B ． 32C ． 1D ．2 答案 B.7.（福建省莆田一中2011届高三上学期第三次月考试题文）函数)(x f 在定义域R 内可导，若()(2),f x f x =-且(1)'()0x f x -<，若),3(),21(),0(f c f b f a ===则c b a ,,的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．b c a >>答案 B. 二、填空题8．（安徽省合肥八中2011届高三第一轮复习四考试理）已知函数3()2'(2),'(2),f x x f x n f =-+=则二项式()nx x+展开式中常数项是第项。

2011年高考数学试题分类考点8 函数与方程、函数模型及其应用

2011年高考数学试题分类考点考点8 函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1. （2011·福建卷文科·Ｔ6）若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）（A ）(-1,1)（B ）(-2,2)（C ）(-∞，-2) ∪（2，+∞）（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）【思路点拨】方程x 2+mx+1=0若有两个不相等的实数根，需满足其判别式，由此即可解得240m ∆=->m 的取值范围.【精讲精析】选C. 方程有两个不相等的实数根，需判别式，解得Q 210x mx ++=240m ∆=->2m >或.2m <-2.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为()43x f x e x =+-（）（A ）（B ）（C ）（D ） 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【思路点拨】结合函数的单调性，将4个选项中涉及的端点值代入函数的解析式，零点必在使()f x ()f x 得端点函数值异号的区间内.【精讲精析】选C.是上的增函数且图象是连续的，又Q ()f x R ，定在内存在零点. 114411(+432044f e e =⨯-=-<112211()4310,22f e e =+⨯-=->∴()f x 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭3.（2011·山东高考理科·Ｔ10）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）=x 3-x ，则函数y=f （x ）的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【思路点拨】本题可以先求当0≤x ＜2时函数的零点，即函数与x 轴交点的个数，然后根据周期性确定零点的个数.【精讲精析】选B.令f （x ）=x 3-x=0，即x(x+1)(x-1)=0,所以x=0,1,-1，因为0≤x ＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为2，因为f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，所以2≤x ＜4，4≤x ＜6也分别有两个零点，由f （6）= f （4）=f （2）=f （0），所以f （6）也是函数的零点，所以函数y=f （x ）的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7个.4．（2011·陕西高考理科·T6）函数在内（）()cos f x x =-[0,)+∞（A ）没有零点（B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点（D ）有无穷多个零点【思路点拨】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断.【精讲精析】选B.（方法一）数形结合法，令，设函数和()cos f x x =-0=cos x =y =，它们在的图象如图所示，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数cos y x =[0,)+∞在内有且仅有一个零点；()cos f x x =-[0,)+∞（方法二）在，，所以； [,)2x π∈+∞1>cos 1x ≤()cos f x x =-0>在上，，所以函数是增函数，又因为，(0,]2x π∈()sin 0f x x '=+>()cos f x x =(0)1f =-，所以在有且只有一个零点．()02f π=>()cos f x x =[0,)∈+∞内x 5.（2011·浙江高考理科·Ｔ1）设函数若，则实数（）2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩()4f a =a =（A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2【思路点拨】分段函数的给值求解需要逐段来求.【精讲精析】选B.当时，；0a ≤()4,4f a a a =-==-当时，.综上,0a >2()4,2f a a a ===4 2.a =-或6. （2011·陕西高考文科·T6）方程在内（）cos x x =(),-∞+∞(A)没有根 (B)有且仅有一个根(C)有且仅有两个根 (D)有无穷多个根【思路点拨】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，直观判断．【精讲精析】选C.构造两个函数和，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观||y x =cos y x =察图象知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．二、填空题7.（2011·浙江高考文科·Ｔ11）设函数 ,若,则实数=__________. 4()1f x x =-()2f a =a 【思路点拨】代入求解即可.【精讲精析】,解得. 4()21f a a==-1a =-【答案】1-8. （2011·福建卷文科·Ｔ16）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c =a +x （b -a ），这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c -a ）是（b-c ）和（b-a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于_____________.【思路点拨】（c-a ）是（b-c ）和（b-a ）的等比中项，将代2()()()c a b c b a ⇔-=--()c a x b a =+-入上式，化简整理可得关于的方程，解方程即可.x 【精讲精析】由题意得：，，将其代入上式，得2()()()c a b c b a -=--Q ()c a x b a =+-＝[]2()a x b a a +--[]()()b a x b a b a ----，解得222()()(1),,0∴-=-->∴->Q x b a b a x b a b a 221,+x-1=0x x x ∴=-即， 12==x x Q 01x <<x ∴= 9.（2011·山东高考理科·Ｔ16）已知函数=f x （）log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数的零点 .f x （）*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则【思路点拨】由条件易知函数f(x)在（0,+∞）内为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间.【精讲精析】因为函数在（0，上是增函数，()log (23)a f x x x b a =+-<<)+∞， (2)log 22log 230,a a f b a b b =+-<+-=-<(3)log 33log 340a a f b a b b =+->+-=->即.0(2,3)x ∴∈2n =【答案】210.（2011·山东高考文科·Ｔ16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .【思路点拨】由条件易知函数f(x)在（0,+∞）上为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间.【精讲精析】因为函数在（0，上是增函数，()log (23)a f x x x b a =+-<<)+∞， (2)log 22log 230,a a f b a b b =+-<+-=-<(3)log 33log 340a a f b a b b =+->+-=->即.0(2,3)x ∴∈2n =【答案】211.（2011·北京高考理科·T13）已知函数若关于32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩x 的方程有两个不同的实根，则实数k 的取值范围()f x k =是 .【思路点拨】把方程根的问题，转化为函数图象的交点问题.x y【精讲精析】(0,1).方程有两个不同的实根，则y=f(x)与y=k 有两个不同交点.作出y=f(x)的图()f x k =象，可知.(0,1)k ∈【答案】(0,1)。

2011年高考数学真题分类汇编-4---函数与导数

2011年高考数学真题分类汇编——函数与导数（4）一、选择题1.（全国Ⅱ理8）曲线21xy e -=+在点（0,2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13 (B)12 (C)23 (D)12.（全国Ⅱ理9）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2f -=(A)12-(B)14-(C)14 (D)123.（山东理9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是4.（山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）95.（山东文4）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）156.（陕西理3）设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是（）7.（陕西文4）函数13y x =的图像是（）8.（上海理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）（A ）1ln||y x =. （B ）3y x =. （C ）||2x y =. （D ）cos y x =.9.（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）（A ）2y x -= （B ）1y x -= （C ）2y x = （D ）13y x =10.（四川理7）若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图象大致是11.（四川文4）函数1()12x y =+的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是 12.（天津理2）函数()23x f x x=+的零点所在的一个区间是（）．Ａ．()2,1--Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1Ｄ．()1,2二、填空题13.（陕西文11）设lg ,0()10,0xx x f x x >⎧=⎨⎩…，则((2))f f -=______. 14.（陕西理11）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．15.（陕西理12）设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n = ．16.（山东理16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x xb a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、选做题：17.（广东文19）设0>a ,讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 18.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 17.解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ，当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000．综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．18221212122(1)2(1)1'(),112(1)2(1)1012(1)()310,'()23110,220'()0,()(0,)(,)a a x a x f x xa a a x a x a a a f x x x a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=∆=--<∆>=>=<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)110,'()0,()(0,)311'()0(0),()(0,)1110,0,0,'()22x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x xa x x f x x a a <<<≤<∆≤≥+∞==>>+∞>∆>=>=；当时，在(内为减函数当时，在内为增函数；当时，在内为增函数；当时，所以在定义域内有唯一零点②③④11111;0'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；综上所述，f(x)的单调区间如下表：（其中121122x x a a =-=+）。

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