拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法

对于给定二元函数(,)z f x y =和附加条件(,)0x y ϕ=，为寻找(,)z f x y =在附加条件下的最值，先构造拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y f x y x y λϕ=+，其中λ为参数．然后分解为几个不同部分，同时利用不等式求最值，再利用等号成立条件求出参数λ的值回代即可．范例：已知ax by k +=，其中a ，b ，x ，y 均为正数，求

d e x y +最小值．步骤：构造拉格朗日函数()(0)d e L ax by k x y

λλ=+++->，

则()()d e L ax by k k x y

λλλλ=+++-，

当且仅当d ax x

λ=，e by y λ=时即x y =L 取得最小值．例3已知11112

x y z ++=，其中x ，y ，z 均为正数，求222x y z ++得最小值．解答：解法一：1

2224()

2x y z x y z ++=++1114()()x y z x y z

=++++4(3)x x y y z z y z x z x y =+

+++++4(3)x y x z y z y x z x z y

=++++++4(3222)36+++=≥，

当且仅当6x y z ===时等号成立，

所以222x y z ++得最小值为36．解法二：1111222222()2

x y z x y z x y z λ++=+++++-(2(2)(2)

22x y z x y z λλλλλ

=+++++-，

当且仅当6x y z ====时等号成立，

所以222x y z ++得最小值为36．

变式1已知正数a ，b 满足1a b +=，求证：

228127a b

+≥．解答：解法一引入常数λ(0)λ>，

2222

81812(1)a b a b a b λ++++-=2281()()2a a b b a b λλλλλ=+++++-

2λ

-≥当且仅当28a a λ=，21b b

λ=时等号成立，即

a =，

b =又因为1a b +=

1+=，

所以27λ=．所以228127a b +≥．变式2：已知正数a ，b 满足1a b +=，求3

33a b +的最小值．解答：解法一：引入常数λ(0)λ>，则333333(1)()()333

a a a

b b a b a b b λλλλ+=+-+-=-+-+．考虑函数3

()3

t f t t λ=-，2()f t t λ'=-，

当t =()f t 取得最小值．

考虑函数3()g t t t λ=-，2()3g t t λ'=-，

当t =时，()g t 取得最小值．

因为1a b +=，所以1=，所以λ=

所以当

a =

b =，3

3

3a b +=．解法二：构造函数3

3()(1),(0,1)3

x f x x x =+-∈．因为22()3(1)f x x x '=--，

所以()f x 在区间上单调递增，

在区间上单调递减，所以()f x 在332x =

时取得最小值．

3313333()((1)322

f x -=+-333333131(31)(31)(()3228

-=+=22

1)1)

88

+-==

==此外，对于给定二元函数(,)z f x y =和附加条件(,)0x y ϕ=，为寻找(,)z f x y =在附加条件下的极值点，先构造拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y f x y x y λϕ=+，其中λ为参数，求(,)L x y 的对x 和y 的一阶偏导数，令它们等于零,并与附加条件联立，解得(,)x y ，(,)x y 就是函数在附件条件下的可能极值点．