计算球面距离的简便公式
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1999 年第 1 期 中学数学
47
由上述两种生成正三角形的方法和对称
性可知
推论 当 b + c ≥ a 时, 由四条线段 a、b、
c、
2 2
õ
a2 + b2 + c2 + 4
3 △( 或
2 2
õ
a2 + b2 + c 2 - 4
3 △) 中任意三
条线段可生成以另一条线段为边长的正三角
纬 33°的两点 A 、B, 求两点 A 、B 间的球面距
离.
解 设地球半径为 R, 依题设知 A= 65°,
A1 = 65°, B = 27°, B1 = - 33°,
∴ A- A1 = 0°. 根据球面上两点间的距离公式, 有
A B = R õ ar ccos[ s in27°s in( - 33°) +
收稿日期: 1998—07—03
A B = R õ ∠A OB 的弧度数
或
A B = R õarccos [ s inBsinB1 +
cos Bcos B1cos ( A- A1) ] .
证明 如图 1, 已
知点 A 的纬度为
B, 经度为 A, 点 B
的 纬 度为 B1, 经
度为 A1 . 设 O1A = r1,
O2B = r 2, O1O = d1 ,
2+ 16
6.
∴ A 、B 两点间的球面距离为
R õ arccos 5
2+ 16
6.
例 5 已知地球半径为 R , A 、B 两点的纬
度分别是北纬 60°和南纬 20°, 经度差都是西
径 120°, 求 A 、B 两点间的球面距离.
解 依题设知 B = 60°, B1 = - 20°, A= A1 = - 120°,
∴ A- A1 = - 120°- ( - 120°) = 0°.
根据两点间的球面距离公式, 有
A B = R õ ar ccos[ sin60°s in( - 20°) +
cos 60°co s( - 20°) cos 0°]
= R õ ar ccos( - sin60°s in20°+
cos 60°co s20°)
O2O = d2 , O1O2 = d.
球心角 ∠A OC = B,
图1
∠P OC = A, ∠B OD = B1, ∠P OD = A1,
∵ O O1 ⊥ O1A , OO1 ⊥ O2B ,
O O2 ⊥ O2B ,
∴ r 1 = Rco sB, r2 = Rcos B1,
d 1 = R sinB, d2 = Rs inB1,
∴ ûA- A1û = û40°- 100°û = 60°. 根据球面上两点间的距离公式, 有
A B = R õ ar ccos( sin30°s in75°+ cos 30°co s75°co s60°)
=
R õ ar ccos(
1 2
õ
6+ 4
2+
3 2
õ
64
2
õ
1 2
)
= R õ ar ccos 5
d = d 1 - d2 = Rs inB - Rs inB1 ¹ ∵ O1A 和 O2B 为异面直线, ∴ 根 据异面 直线上 两点间 的距离 公
式, 有
A B2 =
r
2 1
+
r
2 2
+
d2 -
2r 1r2cos ( A-
A1)
= 2R 2[ 1 - sinBs inB1 - co sBcosB1 õ
cos ( A- A1) . ∵ O < ∠A OB < P,
∴ ∠A OB = ar cco s[ s inBs inB1 +
cos Bcos B1cos ( A- A1) ]
因球心角 ∠A O B 所对弧A B 的长为 A 、B 两点间的球面距离. 由弧长公式, 得过 A 、B 两 点间的球面距离公式为: A B = R õ ∠A OB 的
( 2) 任意四条线段怎样生成正四面体? ( 3) 任意四条线段怎样在平面内生成正 方形?任意 n 条线段呢?
参考文献
1 邹黎明. 由三 角形的中线 “生 成”的正 三角形. 中 学数学( 湖北) , 1995, 10
2 汪江松, 黄 家礼. 几何 明珠. 武汉: 中国地质 大学 出版社, 1988, 11
形. 文[ 2] 还有如下定理 在空间四边形 A B CD 中, 恒有
A B õ CD + AD õ BC > AC õ BD. 可见在空间中, 当 b + c ≤ a 时, 由 a、b、c
ຫໍສະໝຸດ Baidu不能生成正三角形. 问题 ( 1) 设 a、b、c 能构成三角形, 由 a、
b、c 在空间中能否生成正三角形? 若能, 生成 的正三角形有几个?边长是多少?
=
R õ arccos
3 4
,
∴ 两点 A 、B 间的球面距离为
R
õarcco s
3 4
.
例 4 地球上的点 A 在东经 40°北纬 30°, B 点在东经 100°北纬 75°, 求 A 、B 两点间的球
面距离( 设地球半径为 R ) .
解 依题设 知 B = 30°, B1 = 75°, A = 40°, A1 = 100°,
根据球面上两点间的距离公式, 有
A B = R õ arccos ( sin0°s in0°+ cos0°co s0°õ
cos 120°) ,
=
R õ arccos ( cos
2 3
P)
=
R
õ
2 3
P=
2 3
PR
.
∴ 球面上两点 A 、B
的距离为
2 3
PR .
例 2 东经 65°上有分别为北纬 27°和南
收稿日期: 1998—09—16
课外 计算球面距离的简便公式
园地
63 6251 四川 省开 江普 安中 学 邓光 发
本文先利用异面直线上两点间的距离公 式、余弦定理和弧长公式, 推导出计算两点间 的球面距离公式, 再以实例来说明公式 的应 用, 供读者参考.
定理 设地球面上两点 A 、B 的经度分 别是 A、A1, 纬度分别是 B、B1, 地球球心为 O, 球 心角为 ∠A O B, R 为地球半经. 则过 A 、B 两点 间的球面距离为:
和西经 117°的两点 A 、B , 求两点 A 、B 间的球
面距离( 设地球半径为 R ) .
解 依题意知 B = B1 = 60°, 经度差为
360°- ( 153°+ 117) = 90°, 即 A- A1 = 90°.
根据球面上两点间的距离公式, 有
A B = R õ arccos ( sin260°+ cos260°cos90°)
( 2) 两点的经度差的计算规则是: 当二点 同为东经度或同为西经度时, 经度差为 ûA°A°1û( A°、A°1 分别为二点的经度数) ; 当二 点一 为东经 A°, 一为西经 A°1 时, 若 A°+ A°1 ≤ 180° 时, 即为 A°+ A°1; 若 A°+ A°1 > 180°时, 则为 360°- ( A°+ A°1) .
cos 27°cos ( - 33°) cos 0°]
= R õ ar ccos( - sin27°s in33°+
cos 27°cos 33°)
= R õ ar ccos( cos P3 ) =
1 3
PR .
∴ 地 球 面 上 两 点 A 、B 间 的 距 离 为
1 3
PR .
例 3 北纬 60°圈上有分别为东经 153°
co s( A- A1) ] .
º
连接 A O 、BO 、A B, 在 △A O B 中, 由余弦
定理, 有
co s∠A O B =
A
O2
+ 2A
BO2 O õ BO
A
B
2
.
»
将 ¹ 和 º 代入 » , 经整理得( 注意A O =
OB = R ) ,
co s∠A O B = sinBsinB1 + cosBcos B1 õ
= R õ ar ccos( cos 80°)
=
R õ ar ccos( cos
4 9
P)
=
4 9
PR
.
∴ A
、B
两点间的球面距离为
4 9
PR .
上 述应用公式的解法, 比常 规解法简捷
得多, 既省时又省力.
参考文献
1 黄汉生. 两 条异面 直线 所成角 的余 弦公 式. 中学 数学( 湖北) , 1997, 6
( 3) 两点的纬度差的计算规则是: 同为北 纬或同为南纬时相减; 一为北纬一为南 纬时 相加.
应用球面上两点间的距离公式去计算球
面距离, 就显得非常简便了. 例 1 赤道上有经度差为 120°的两点 A 、
B, 求 A 、B 两点间的球 面距离( 地球半径 为 R) .
解 依题设知 A°- A°1 = 120°, B°= B°1 = 0°.
弧度数或A B = R õ ar ccos[ s inBs inB1 + cos Bco sB1co s( A- A1) ] .
公式应用的注意点是: ( 1) 如果是北纬、南纬、东经、西经, 那么
48
中学数学 1999 年第 1 期
要注意符号. 设北纬为正, 则南纬为负; 东经 为正, 则西经为负. 同样可以用上面的公式.
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由上述两种生成正三角形的方法和对称
性可知
推论 当 b + c ≥ a 时, 由四条线段 a、b、
c、
2 2
õ
a2 + b2 + c2 + 4
3 △( 或
2 2
õ
a2 + b2 + c 2 - 4
3 △) 中任意三
条线段可生成以另一条线段为边长的正三角
纬 33°的两点 A 、B, 求两点 A 、B 间的球面距
离.
解 设地球半径为 R, 依题设知 A= 65°,
A1 = 65°, B = 27°, B1 = - 33°,
∴ A- A1 = 0°. 根据球面上两点间的距离公式, 有
A B = R õ ar ccos[ s in27°s in( - 33°) +
收稿日期: 1998—07—03
A B = R õ ∠A OB 的弧度数
或
A B = R õarccos [ s inBsinB1 +
cos Bcos B1cos ( A- A1) ] .
证明 如图 1, 已
知点 A 的纬度为
B, 经度为 A, 点 B
的 纬 度为 B1, 经
度为 A1 . 设 O1A = r1,
O2B = r 2, O1O = d1 ,
2+ 16
6.
∴ A 、B 两点间的球面距离为
R õ arccos 5
2+ 16
6.
例 5 已知地球半径为 R , A 、B 两点的纬
度分别是北纬 60°和南纬 20°, 经度差都是西
径 120°, 求 A 、B 两点间的球面距离.
解 依题设知 B = 60°, B1 = - 20°, A= A1 = - 120°,
∴ A- A1 = - 120°- ( - 120°) = 0°.
根据两点间的球面距离公式, 有
A B = R õ ar ccos[ sin60°s in( - 20°) +
cos 60°co s( - 20°) cos 0°]
= R õ ar ccos( - sin60°s in20°+
cos 60°co s20°)
O2O = d2 , O1O2 = d.
球心角 ∠A OC = B,
图1
∠P OC = A, ∠B OD = B1, ∠P OD = A1,
∵ O O1 ⊥ O1A , OO1 ⊥ O2B ,
O O2 ⊥ O2B ,
∴ r 1 = Rco sB, r2 = Rcos B1,
d 1 = R sinB, d2 = Rs inB1,
∴ ûA- A1û = û40°- 100°û = 60°. 根据球面上两点间的距离公式, 有
A B = R õ ar ccos( sin30°s in75°+ cos 30°co s75°co s60°)
=
R õ ar ccos(
1 2
õ
6+ 4
2+
3 2
õ
64
2
õ
1 2
)
= R õ ar ccos 5
d = d 1 - d2 = Rs inB - Rs inB1 ¹ ∵ O1A 和 O2B 为异面直线, ∴ 根 据异面 直线上 两点间 的距离 公
式, 有
A B2 =
r
2 1
+
r
2 2
+
d2 -
2r 1r2cos ( A-
A1)
= 2R 2[ 1 - sinBs inB1 - co sBcosB1 õ
cos ( A- A1) . ∵ O < ∠A OB < P,
∴ ∠A OB = ar cco s[ s inBs inB1 +
cos Bcos B1cos ( A- A1) ]
因球心角 ∠A O B 所对弧A B 的长为 A 、B 两点间的球面距离. 由弧长公式, 得过 A 、B 两 点间的球面距离公式为: A B = R õ ∠A OB 的
( 2) 任意四条线段怎样生成正四面体? ( 3) 任意四条线段怎样在平面内生成正 方形?任意 n 条线段呢?
参考文献
1 邹黎明. 由三 角形的中线 “生 成”的正 三角形. 中 学数学( 湖北) , 1995, 10
2 汪江松, 黄 家礼. 几何 明珠. 武汉: 中国地质 大学 出版社, 1988, 11
形. 文[ 2] 还有如下定理 在空间四边形 A B CD 中, 恒有
A B õ CD + AD õ BC > AC õ BD. 可见在空间中, 当 b + c ≤ a 时, 由 a、b、c
ຫໍສະໝຸດ Baidu不能生成正三角形. 问题 ( 1) 设 a、b、c 能构成三角形, 由 a、
b、c 在空间中能否生成正三角形? 若能, 生成 的正三角形有几个?边长是多少?
=
R õ arccos
3 4
,
∴ 两点 A 、B 间的球面距离为
R
õarcco s
3 4
.
例 4 地球上的点 A 在东经 40°北纬 30°, B 点在东经 100°北纬 75°, 求 A 、B 两点间的球
面距离( 设地球半径为 R ) .
解 依题设 知 B = 30°, B1 = 75°, A = 40°, A1 = 100°,
根据球面上两点间的距离公式, 有
A B = R õ arccos ( sin0°s in0°+ cos0°co s0°õ
cos 120°) ,
=
R õ arccos ( cos
2 3
P)
=
R
õ
2 3
P=
2 3
PR
.
∴ 球面上两点 A 、B
的距离为
2 3
PR .
例 2 东经 65°上有分别为北纬 27°和南
收稿日期: 1998—09—16
课外 计算球面距离的简便公式
园地
63 6251 四川 省开 江普 安中 学 邓光 发
本文先利用异面直线上两点间的距离公 式、余弦定理和弧长公式, 推导出计算两点间 的球面距离公式, 再以实例来说明公式 的应 用, 供读者参考.
定理 设地球面上两点 A 、B 的经度分 别是 A、A1, 纬度分别是 B、B1, 地球球心为 O, 球 心角为 ∠A O B, R 为地球半经. 则过 A 、B 两点 间的球面距离为:
和西经 117°的两点 A 、B , 求两点 A 、B 间的球
面距离( 设地球半径为 R ) .
解 依题意知 B = B1 = 60°, 经度差为
360°- ( 153°+ 117) = 90°, 即 A- A1 = 90°.
根据球面上两点间的距离公式, 有
A B = R õ arccos ( sin260°+ cos260°cos90°)
( 2) 两点的经度差的计算规则是: 当二点 同为东经度或同为西经度时, 经度差为 ûA°A°1û( A°、A°1 分别为二点的经度数) ; 当二 点一 为东经 A°, 一为西经 A°1 时, 若 A°+ A°1 ≤ 180° 时, 即为 A°+ A°1; 若 A°+ A°1 > 180°时, 则为 360°- ( A°+ A°1) .
cos 27°cos ( - 33°) cos 0°]
= R õ ar ccos( - sin27°s in33°+
cos 27°cos 33°)
= R õ ar ccos( cos P3 ) =
1 3
PR .
∴ 地 球 面 上 两 点 A 、B 间 的 距 离 为
1 3
PR .
例 3 北纬 60°圈上有分别为东经 153°
co s( A- A1) ] .
º
连接 A O 、BO 、A B, 在 △A O B 中, 由余弦
定理, 有
co s∠A O B =
A
O2
+ 2A
BO2 O õ BO
A
B
2
.
»
将 ¹ 和 º 代入 » , 经整理得( 注意A O =
OB = R ) ,
co s∠A O B = sinBsinB1 + cosBcos B1 õ
= R õ ar ccos( cos 80°)
=
R õ ar ccos( cos
4 9
P)
=
4 9
PR
.
∴ A
、B
两点间的球面距离为
4 9
PR .
上 述应用公式的解法, 比常 规解法简捷
得多, 既省时又省力.
参考文献
1 黄汉生. 两 条异面 直线 所成角 的余 弦公 式. 中学 数学( 湖北) , 1997, 6
( 3) 两点的纬度差的计算规则是: 同为北 纬或同为南纬时相减; 一为北纬一为南 纬时 相加.
应用球面上两点间的距离公式去计算球
面距离, 就显得非常简便了. 例 1 赤道上有经度差为 120°的两点 A 、
B, 求 A 、B 两点间的球 面距离( 地球半径 为 R) .
解 依题设知 A°- A°1 = 120°, B°= B°1 = 0°.
弧度数或A B = R õ ar ccos[ s inBs inB1 + cos Bco sB1co s( A- A1) ] .
公式应用的注意点是: ( 1) 如果是北纬、南纬、东经、西经, 那么
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中学数学 1999 年第 1 期
要注意符号. 设北纬为正, 则南纬为负; 东经 为正, 则西经为负. 同样可以用上面的公式.