华师大附中2011届数学复习教学案：平面向量的数量积及运算律

课 题：平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂直的条件教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律教学过程：一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --= 5．a ∥b (b ≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使 P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7定比分点坐标公式：若点P １(x 1,y 1) ，Ｐ２(x 2,y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比 8点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点9线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得=b a b a λλλλλ+++=++1111 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定C（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ³b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“² ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“³”代替（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0因为其中cos θ有可能为0（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c 但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 判断正误，并简要说明理由①ａ²0＝0；②0²ａ＝０；③0－＝；④｜ａ²ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ²ｂ≠０；⑥ａ²ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ²ｂ）с＝ａ（ｂ²с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0²ａ＝０；对于②：应有０²ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ²ｂ｜＝｜ａ｜²｜ｂ｜²｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ²ｂ｜＝｜ａ｜²｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ²ｂ＝０；对于⑥：由ａ²ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс则ａ²ｂ＝（λс）²ｂ＝λ（с²ｂ）＝λ（ｂ²с），∴（ａ²ｂ）²с＝λ（ｂ²с）с＝（ｂ²с）λс＝（ｂ²с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ²ｂ)с≠（ｂ²с）ａ评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ²ｂ解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ²ｂ＝｜ａ｜²｜ｂ｜cos0°＝3³6³1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ²ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3³6³（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ²ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ²ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3³6³21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：1已知△ABC 中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求BC ²CA对此题，有同学求解如下： 解：如图，∵｜｜＝ａ＝５，｜｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°， ∴BC ²CA ＝｜BC ｜²｜CA ｜cos Ｃ＝5³8cos60°＝20分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C 的补角120°2向量的数量积不满足结合律分析：若有（ａ²ｂ）с＝ａ²（ｂ²с），设ａ、ｂ夹角为α，ｂ、с夹角为β，则(ａ²ｂ)с＝｜ａ｜²｜ｂ｜cos α²с，ａ²(ｂ²с)＝ａ²｜ｂ｜｜с｜cos β∴若ａ＝с，α＝β，则｜ａ｜＝｜с｜，进而有：（ａ²ｂ）с＝ａ²(ｂ²с) 这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例如下：已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝2，ａ与ｂ夹角是60°，ｂ与с夹角是45°，则：(ａ²ｂ)²с＝（｜ａ｜²｜ｂ｜cos60°）с＝21с，ａ²(ｂ²с)＝（｜ｂ｜²｜с｜cos45°）ａ＝ａ 而21с≠ａ，故（ａ²ｂ）²с≠ａ²（ｂ²с）课 题：平面向量的数量积及运算律（2）教学目的：1掌握平面向量数量积运算规律；2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 教学重点：平面向量数量积及运算规律教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为03．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ；2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 7．判断下列各题正确与否：C1︒若a = 0，则对任一向量b ，有a ⋅b = 0 ( √ )2︒若a ≠ 0，则对任一非零向量b ，有a ⋅b ≠ 0 ( ³ )3︒若a ≠ 0，a ⋅b = 0，则b = 0 ( ³ )4︒若a ⋅b = 0，则a 、b 至少有一个为零 ( ³ )5︒若a ≠ 0，a ⋅b = a ⋅c ，则b = c ( ³ )6︒若a ⋅b = a ⋅c ，则b = c 当且仅当a ≠ 0时成立 ( ³ )7︒对任意向量a 、b 、c ，有(a ⋅b )⋅c ≠ a ⋅(b ⋅c ) ( ³ )8︒对任意向量a ，有a 2 = |a |2 ( √ )二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作= a , = b ，= c ，∵a + b （即）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ²ｂ)с≠ａ（ｂ²с）（2）ａ²с＝ｂ²с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ²с＋ａ²ｄ＋ｂ²с＋ｂ²ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ²ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角解：由(a + 3b )(7a - 5b ) = 0 ⇒ 7a 2 + 16a ⋅b -15b 2 = 0 ①(a - 4b )(7a - 2b ) = 0 ⇒ 7a 2 - 30a ⋅b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a ⋅b = b 2代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为θ，则cos θ =21222==⋅||||||b b b a b a ∴θ = 60︒ 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和中，=，=，=+∴||2=⋅++=+2||222 而=-∴|BD |2=⋅-+=-2||222∴|AC |2 + ||2 = 2222+= 2222||||||||+++ 例3 四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，＝с，DA ＝ｄ，且ａ²ｂ＝ｂ²с＝с²ｄ＝ｄ²ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ²ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с²ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ²ｂ＝с²ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ²ｂ＝ｂ²с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ²(2ａ)＝０即ａ²ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC综上所述，四边形ABCD 是矩形评述：(1)在四边形中，，BC ，CD ，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习：1下列叙述不正确的是（ ）A 向量的数量积满足交换律B 向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律D a ²b 是一个实数2已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )²(a -3b )等于（ ）A72 B -72 C36 D-363|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A 平行 B 垂直 C 夹角为3π D 不平行也不垂直 4已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝5已知|a |=2,|b |=5,a ²b =-3,则|a +b |=______,|a -b |=6设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝参考答案：1C 2B 3B 4２ ５－１+23 535 23 6±53 五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题六、课后作业1已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A60° B 30° C135° D ４５°2已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A2 B 23 C6 D123已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A 充分但不必要条件B 必要但不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |²|a -b |= 5已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ²b =6已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______7已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ²b ;(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |； (3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角8设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角 9对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角 参考答案：1D 2B 3C 421 5 –63 6 11 7 (1)- 2 (2)23+(3)45° 8 120° 9 90°七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1常用数量积运算公式在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛即(a ＋b )２＝a ２＋２a ²b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ²b ＋b ２上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用2应用举例［例1］已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ²b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜解：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ²b ＋b ２＝２２＋２³（－３）＋５２＝２３∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ²b ＋b ２＝2２－2³（－3）³５２＝35，∴｜a －b ｜＝35．［例2］已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°)解：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ²b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜²｜b ｜ｃｏｓθ＋｜b ｜２ ∴１６２＝８２＋２³８³１０ｃｏｓθ＋１０２，∴ｃｏｓθ＝4023，∴θ≈５５°。