2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.3第2课时课时作业

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2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.3因式分解法第1课时用因式分解法解一元

2．2.3 因式分解法
第1课时用因式分解法解一元二次方程
知|识|目|标
1．通过回顾因式分解，理解因式分解法解一元二次方程的概念，并识别适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式．
2．通过例题的讲解和练习，能用因式分解法解一元二次方程．
目标一能识别适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式
例1 教材补充例题下列方程：(1)3x2－12＝0；(2)x2＋4x＝0；(3)x(x－5)＝6x；(4)x2＋x－1＝0；(5)(x＋2)2－9＝0.其中适合用因式分解法求解的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【归纳总结】 (1)因式分解法解一元二次方程的实质是降次，通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解；
(2)缺少一次项或常数项(即一次项系数或常数项等于0)的一元二次方程都适合用因式分解法求解．
目标二用因式分解法解一元二次方程
例2 教材例7、例8针对训练用因式分解法解一元二次方程：
(1)6y2－3y＝0；
(2)2x(5x－1)＝3(1－5x)；
(3)9(2a－5)2－16(3a－1)2＝0.
【归纳总结】用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将一元二次方程化成一般形式；(2)将方程的左边因式分解，得到方程a(x－m)(x－n)＝0；(3)将方程转化为x－m＝0和x－n＝0两个一元二次方程；(4)解(3)中的两个方程，即可得到方程的解．
知识点用因式分解法解一元二次方程。

九年级数学上册2.2一元二次方程的解法2.2.2公式法

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类型之二用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：
(1)x2－4 3x＋10＝0； (2)[2018·兰州]3x2－2x－2＝0； (3)x2＋3＝2 2x.
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解：(1)∵a＝1，b＝－4 3，c＝10，
b2－4ac＝(－4 3)2－4×1×10＝8>0，
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9．先阅读，再解题： (1)方程 x2－x－6＝0 的根是 x1＝3，x2＝－2，则 x1＋x2＝1，x1x2＝－6； (2)方程 2x2－7x＋3＝0 的根是 x1＝12，x2＝3，则 x1＋x2＝72，x1x2＝32.
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归类探究
类型之一求根公式
用公式法解方程 3x2＋4＝12x，下列求根公式正确的是( D )
A．x＝12±
122－3×4 2
B．x＝－12±
122－4×3×4 2×3
C．x＝12±
122＋3×4 2
D．x＝－－12±
－122－4×3×4 2×3
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【点悟】应用求根公式时，先应将方程化为一元二次方程的一般形式 ax2＋ bx＋c＝0(a≠0)．
D．a＝3，b＝－2，c＝3
2．一元二次方程 x2＋2 2x－6＝0 的根是( C )
A．x1＝x2＝ 2
B．x1＝0，x2＝－2 2
C．x1＝ 2，x2＝－3 2 12/11/2021
D．x1＝－ 2，x2＝3 2
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3．已知一元二次方程 x2－x－3＝0 的较小根为 x1，则下面对 x1 的值估计正确的是( A )

九年级数学上册2.2一元二次方程的解法2.2.2公式法教案湘教版

2。

2 公式法1．经历推导求根公式的过程，进一步发展逻辑思维能力．2．能熟练运用公式法解一元二次方程．阅读教材P35～37,完成下列问题：（一)知识探究1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)在b2－4ac≥0的条件下，它的根为：x＝______________（b2－4ac≥0）．我们通常把这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式．2．运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法叫作________．(二)自学反馈1．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)，探究求根公式：因为a≠0，方程两边都除以a,得______________．把方程的左边配方，得________________，即（x＋________)2－________＝0。

若b2－4ac≥0,原方程可化为（x＋错误!）2＝（________)2。

由此得出:x＋错误!＝________或x＋错误!＝－________。

x＝________或x＝________。

若b2－4ac＜0，则此方程________．2．用公式法解下列方程：(1）2x2－4x－1＝0;(2)5x＋2＝3x2；(3）（x－2）(3x－5）＝0; （4)4x2－3x＋1＝0.活动1小组讨论例1解方程：3x2＝4x－1.解:将方程化为一般形式，得3x2－4x＋1＝0.a＝3，b＝－4,c＝1，b2－4ac＝(－4）2－4×3×1＝4，∴x＝错误!＝错误!＝错误!．∴x1＝1，x2＝错误!．例2用公式法解方程:x(x－6）＋18＝9.解：将方程化为一般形式，得x2－6x＋9＝0。

因此a＝1，b＝－6，c＝9，b2－4ac＝（－6）2－4×1×9＝0，∴x＝错误!＝错误!＝3.∴x1＝x2＝3。

活动2跟踪训练1．用公式法解x2＋3x＝1时，先求出a，b，c的值，则a，b，c依次为（)A．1,3，－1 B．1，－3，－1C．1，－3，1 D．1，3，12．用公式法解下列方程：（1）x2＋5x－1＝0；(2)x2＋4x－6＝0；(3)x2＋2错误!x－1＝0；（4）2x2－3x＋1＝0。

【推荐精选】2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.1 配方法第3课时用

3．用配方法解下列方程：
(1)3x2－5x＝2；(2) x2－x－4＝0.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知环节中，教师应加强引导和示范．学生接触新知识基础性差，所以教师教授解答过程和方法时，应给予学生必要的板书演示．
②[讲授效果反思]
第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
课题
第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
授课人
教
学
目
标
知识技能
掌握配方法解一元二次方程的步骤，会用配方法解一元二次方程．
数学思考
通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．
问题解决
探讨：方程②应如何求解呢？
设计问题引人入境，激发学生探究的兴趣.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
观察方程3x2＋18x＋24＝0，它与我们上一节课所解的方程有什么不同？你有什么想法？
先让学生回答这个方程与上一节课我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上一节课我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示．
重点问题做到重点讲解：(1)化二次项系数为1；(2)添项：一次项系数一半的平方；(3)牢记解题的步骤．
③[师生互动反思]
从课堂交流和课堂检测来看，学生能够运用配方法解一元二次方程，并且效果很好．
④[习题反思]
好题题号_______________________________________

2018年九年级数学上2.2一元二次方程的解法教案新版湘教版

2018年九年级数学上2.2一元二次方程的解法教案新版湘教版2．2 一元二次方程的解法2．2.1 配方法教学目标【知识与技能】1．知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程．2．学会用直接开平方法解形如(ax＋b)2－k＝0(k≥0)的方程．3．理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法．【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．【教学重点】运用配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x＋n)2＝d(d≥0)的过程．教学过程一、情景导入，初步认知1．根据完全平方公式填空：(1)x2＋6x＋9＝( )2(2)x2－8x＋16＝( )2(3)x2＋10x＋( )2＝( )2(4)x2－3x＋( )2＝( )22．前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)．由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 3．你会解方程x2＋6x－16＝0吗？你会将它变成(x ＋m)2＝n(n为非负数)的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础．二、思考探究，获取新知1．解方程：x2－2500＝0.问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程？把方程写成x2＝2500这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x＝2500或x＝－2500因此，原方程的解为x1＝50，x2＝－50【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根．2．解方程(2x＋1)2＝2解：根据平方根的意义，得2x＋1＝2或2x＋1＝－2因此，原方程的根为x1＝2－12，x2＝－2＋123．通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？【归纳结论】对于形如(x＋n)2＝d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解．直接开平方法的步骤是：把方程变形成(x＋n)2＝d(d≥0)，然后直接开平方得x＋n＝和x＋n＝－，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解．4．解方程x2＋4x＝12我们已知，如果把方程x2＋4x＝12写成(x＋n)2 ＝d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解．那么，如何将左边写成(x＋n)2的形式呢？我们学过完全平方式，你能否将左边x2＋4x添上一项使它成为一个完全平方式．请相互交流．写出解题过程．【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x2＋4x ＝12的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．5．如何用配方法解方程25x2＋50x－11＝0呢？如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流．试着写出解题过程．6．通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为(x＋n)2＝d(d≥0)的形式．三、运用新知，深化理解1．见教材P33例3、P34例4.2．列方程(注：学生练习，教师巡视，适当辅导．)(1)x2－10x＋24＝0；(2)(2x－1)(x＋3)＝5；(3)3x2－6x＋4＝0.解：(1)移项，得x2－10x＝－24配方，得x2－10x＋25＝－24＋25，由此可得(x－5)2＝1，x－5＝±1，∴x1＝6，x2＝4.(2)整理，得2x2＋5x－8＝0.移项，得2x2＋5x＝8二次项系数化为1得x2＋52x＝4，配方，得x2＋52x＋(54)2＝4＋(54)2(x＋54)2＝8916，由此可得x＋54＝±894，x1＝－5＋894，x2＝－5－(3)移项，得3x2－6x＝－4二次项系数化为1，得x2－2x＝－43，配方，得x2－2x＋12＝－43＋12，(x－1)2＝－13因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．3．解方程x2－8x＋1＝0分析：显然这个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式．解：x2－8x＋1＝0移项得：x2－8x＝－1配方得：x2－8x＋16＝－1＋16即(x－4)2＝15两边开平方得：x－4＝±15∴x1＝4＋15，x2＝4－．用配方法将下列各式化为a(x＋h)2＋k的形式．(1)－3x2－6x＋1；(2)23y2＋13y＋2；(3)0.4x2－0.8x－1.解：(1)－3x2－6x＋1＝－3(x2＋2x－13)＝－3(x2＋2x＋12－12－13)＝－3[(x＋1)2－43]＝－3(x＋1)2＋4(2)23y2＋13y－2＝23(y2＋12y－3)＝23[ y2＋12y＋(14)2－(14)2－3]＝23[(y＋14)2－4916]＝23(y＋14)2－4924.(3)0.4x2－0.8x－1＝0.4(x2－2x－2.5)＝0.4[(x2－2x＋12)－12－2.5]＝0.4(x－1)2－【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的认识．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题2.2”中第1、2、3题．教学反思在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动．同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习．2．2.2 公式法教学目标【知识与技能】1．经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练． 2．会用公式法解简单系数的一元二次方程．【过程与方法】通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】理解求根公式的推导过程．教学过程一、情景导入，初步认知1．用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0.2．由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)使用这些步骤，然后求出解x的公式？【教学说明】这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．二、思考探究，获取新知1．用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2＋bx＝－c因为a≠0，所以方程两边同除以a得：x2＋bax＝－ca配方，得：x2＋bax＋(b2a)2＝－ca＋(b2a)2即(x＋b2a)2＝b2－4ac4a2∵a≠0，∴4a20当b2－4ac≥0，b2－4ac4a2≥0∴x＋b2a＝±b2－4ac2a即x＝－b±b2－4ac2a∴x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.当b2－4ac0时，方程无解．【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子 x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)就可求出方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：(1)将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错．(2)式子b2－4ac≥0是公式的一部分．【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)能否用配方法求出它的解？通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．2．展示课本P36例5(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号．3．引导学生完成P37例．你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式求解．三、运用新知，深化理解1．用公式法解下列方程．2x2＋3＝7x分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．解：2x2－7x＋3＝0a＝2，b＝－7，c＝3∵b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝250∴x＝－b±b2－4ac2a＝7±252×2＝7±54即x1＝3，x2＝12.2．某数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题．(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．(2)若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：(1)要使它为一元二次方程，必须满足m2＋1＝2，同时还要满足(m＋1)≠0.(2)要使它为一元一次方程，必须满足∶①m2＋1＝1（m＋1）＋（m－2）≠0或②m2＋1＝0m －2≠0或③m＋1＝0m－2≠0解：(1)存在．根据题意，得：m2＋1＝2m2＝1 m＝±1当m＝1时，m＋1＝1＋1＝2≠0当m＝－1时，m＋1＝－1＋1＝0(不合题意，舍去) ∴当m＝1时，方程为2x2－1－x＝0a＝2，b＝－1，c＝－1b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－1)＝1＋8＝9x＝－（－1）±92×2＝1±34x1＝1，x2＝－12.因此，该方程是一元二次方程时，m＝1，两根x1＝1，x2＝－12.(2)存在．根据题意，得：①m2＋1＝1，m2＝0，m＝0因为当m＝0时，(m＋1)＋(m－2)＝2m－1＝－1≠0 所以m＝0满足题意．②当m2＋1＝0，m不存在．③当m＋1＝0，即m＝－1时，m－2＝－3≠0所以m＝－1也满足题意．当m＝0时，一元一次方程是x－2x －1＝0，解得：x＝－1当m＝－1时，一元一次方程是－3x－1＝0解得x＝－13因此，当m＝0或－1时，该方程是一元一次方程，并且当m＝0时，其根为x＝－1；当m＝－1时，其一元一次方程的根为x＝－13.【教学说明】主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“习题2.2”中第4题．教学反思通过复习配方法使学生会对一元二次方程的定义及解法有一个熟悉的印象．然后让学生用配方法推导一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．使学生的推理能力得到加强．2．2.3 因式分解法教学目标【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法．【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法．【教学重点】用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．教学过程一、情景导入，初步认知复习：将下列各式分解因式(1)5x2－4x(2)x2－4x＋4(3)4x(x－1)－2＋2x(4)x2－4(5)(2x－1)2－x2【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度．二、思考探究，获取新知1．解方程x2－3x＝0可用因式分解法求解方程左边提取公因式x，得x(x－3)＝0由此得x＝0或x－3＝0即x1＝0，x2＝3与公式法相比，哪种更简单？【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．用因式分解法解下列方程；(1)x(x－5)＝3x；(2)2x(5x－1)＝3(5x－1)；(3)(35－2x)2－900＝0.3．你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？【归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．4．说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程．【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程．5．选择合适的方法解下列方程：(1)x2＋3x＝0；(2)5x2－4x－3＝0；(3)x2＋2x－3＝0.按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程． 6．如何选择合适的方法解一元二次方程呢？【归纳结论】公式法适用于所有一元二次方程．因式分解法(有时需要先配方)适用于所有一元二次方程．配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法．总之，解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．三、运用新知，深化理解1．用因式分解法解下列方程：(1)5x2＋3x＝0；(2)7x(3－x)＝4(x－3)．分析：(1)左边＝x(5x＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，7x(3－x)－4(x－3)＝0，找出(3－x )与(x－3)的关系．解：(1)因式分解，得x(5x＋3)＝0，于是得x＝0或5x＋3＝0，x1＝0，x2＝－35；(2)原方程化为7x(3－x)－4(x－3)＝0，因式分解，得(x－3)(－7x－4)＝0，于是得x－3＝0或－7x－4＝0，x1＝3，x2＝－472．选择合适的方法解下列方程：(1)2x2－5x＋2＝0；(2)(1－x)(x＋4)＝(x－1)(1－2x)．分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x)与(x－1)的关系用因式分解法；解：(1)a＝2，b＝－5，c＝2，b2－4ac＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，x＝5±92×2＝5±34，x1＝2，x2＝12(2)原方程化为(1－x)(x＋4)＋(1－x)(1－2x)＝0，因式分解，得(1－x)(5－x)＝0，即(x－1)(x－5)＝0，x－1＝0或x－5＝0，x1＝1，x2＝53．用因式分解法解下列方程：(1)10x2＋3x＝0；(2)7x(3－x)＝6(x－3)；(3)9(x－2)2＝4(x＋1)2.分析：(1)左边＝x(10x＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，7x(3－x)－6(x－3)＝0，找出(3－x)与(x－3)的关系；(3)应用平方差公式．解：(1)因式分解，得x(10x＋3)＝0，于是得x＝0或10x＋3＝0，x1＝0，x2＝－310；(2)原方程化为7x(3－x)－6(x－3)＝0，因式分解，得(x－3)(－7x－6)＝0，于是得x－3＝0或－7x－6＝0，x1＝3，x2＝－67；(3)原方程化为9(x－2)2－4(x＋1)2＝0，因式分解，得[3(x－2)＋2(x＋1)][3(x－2)－2(x＋1)]＝0，即(5x－4)(x－8)＝0，于是得5x－4＝0或x－8＝0，x1＝45，x2＝．已知(a2＋b2)2－(a2＋b2)－6＝0，求a2＋b2的值．分析：若把(a2＋b2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a2＋b2)为未知数的一元二次方程．解：设a2＋b2＝x，则原方程化为x2－x－6＝0. a＝1，b＝－1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×(－6)×1＝25＞0，x＝1±252，∴x1＝3，x2＝－2.即a2＋b2＝3或a2＋b2＝－2，∵a2＋b 2≥0，∴a2＋b2＝－2不合题意应舍去，取a2＋b2＝3.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．课后作业布置作业：教材“练习题2.2”中第5、6、9、10题．教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到这一目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法．。

2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.1 配方法第3课时用配方法解二次

2.2.1 配方法第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程知识点1 二次项系数不为1的一元二次方程的配方1．用配方法解方程2x 2－4x －3＝0时，先把二次项系数化为1，然后在方程的两边都加上( )A ．1B ．2C ．3D ．42．将方程2x 2－4x ＋1＝0化成(x ＋m )2＝n 的形式是( )A ．(x －1)2＝12B ．(2x －1)2＝12C ．(x －1)2＝0 D ．(x －2)2＝3知识点2 运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程3．下面是用配方法解方程2x 2－x －6＝0的步骤，其中，开始出现错误的一步是( ) 2x 2－x ＝6，①x 2－12x ＝3，② x 2－12x ＋14＝3＋14，③⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＝314.④A ．① B．② C．③ D．④4．用配方法解方程4x 2＝12x ＋3，得到( ) A ．x ＝－3±62 B ．x ＝3±62C ．x ＝3±2 32D ．x ＝－3±2 325．用配方法解方程：3x 2－4x ＋1＝0.解：将二次项系数化为1，得______________．配方，得x 2－43x ＋(____)2－(____)2＋13＝0.因此，(x －________)2＝________．由此得x －23＝13或x －23＝－13.解得x 1＝________，x 2＝________．6．用配方法解下列方程：(1)2x 2－8x ＝－1; (2)3x 2＋8x －3＝0；(3)－4x 2＋3x ＋1＝0; (4)6x ＋9＝2x 2；(5)x (2x ＋1)＝5x ＋70.7．用配方法解下列方程时，配方错误的是( )A. x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B. x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C. 2t 2－7t －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742＝8116D. 3y 2－4y －2＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＝1098．慧慧将方程2x 2＋4x －7＝0通过配方转化为(x ＋n )2＝p 的形式，则p 的值为( )A ．7B ．8C ．3.5D ．4.59．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上9的方程是( )A ．3x 2－3x ＝8B ．x 2＋6x ＝－3C ．2x 2－6x ＝10D ．2x 2＋3x ＝3 10．用配方法解下列方程： (1)－23y 2＋13y ＋2＝0；(2)2x2＋2x－30＝0.11．已知A＝2x2－3x－10，当x为何值时，A＝4？当x为何值时，A＝－5?12．数学活动课上，汤老师出了这样一道题：用配方法解方程：3x2－6x－1＝0.小红的解答过程如下：解：化二次项系数为1，得x2－2x－1＝0，移项，得x2－2x＝1，配方，得x2－2x＋12＝1＋12，即(x－1)2＝2，所以x－1＝±2，所以x1＝1＋2，x2＝1－ 2.请判断小红的解答过程是否有错．若有错，说明错因，并帮小红改正过来．13．用配方法说明：不论x为何值，代数式2x2＋5x－1的值总比代数式x2＋7x－4的值大，并求出当x为何值时，两代数式的值的差最小．14．大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都先要把二次项系数化为1，再进行配方．现请你先阅读如下方程的解答过程．解方程：2x2－2 2x－3＝0.解：2x2－2 2x＝3，(2x)2－2 2x＋1＝3＋1，(2x－1)2＝4，2x－1＝±2，x1＝－22，x2＝3 22.请你按照上面的解法解方程5x2－215x＝2.1．A2．A [解析] ∵2x 2－4x ＋1＝0，∴2x 2－4x ＝－1，∴x 2－2x ＝－12，∴x 2－2x ＋1＝－12＋1，∴(x －1)2＝12.3．C [解析] 移项，得2x 2－x ＝6.二次项系数化为1，得x 2－12x ＝3.配方，得x 2－12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＝3116.观察上面的步骤可知，开始出现错误的一步是③.故选C.4．C5．x 2－43x ＋13＝0 23 23 23 19 1 136．解：(1)移项，得2x 2－8x ＋1＝0，将二次项系数化为1，得x 2－4x ＋12＝0.配方，得x 2－4x ＋4－4＋12＝0，(x －2)2－72＝0.根据平方根的意义，得x －2＝±142， ∴x 1＝142＋2，x 2＝－142＋2. (2)将二次项系数化为1，得x 2＋83x －1＝0.配方，得x 2＋83x ＋(43)2－(43)2－1＝0，(x ＋43)2＝259.根据平方根的意义，得x ＋43＝±53，∴x 1＝13，x 2＝－3.(3)将二次项系数化为1，得x 2－34x －14＝0.配方，得x 2－34x ＋(38)2－(38)2－14＝0，(x －38)2＝2564.根据平方根的意义，得x －38＝±58，∴x 1＝－14，x 2＝1.(4)移项，得2x 2－6x －9＝0.将二次项系数化为1，得x 2－3x －92＝0.配方，得x 2－3x ＋(32)2－(32)2－92＝0，(x －32)2＝274.根据平方根的意义，得x －32＝±3 32，∴x 1＝3＋3 32，x 2＝3－3 32.(5)原方程可化为x 2－2x －35＝0.配方，得x 2－2x ＋1－1－35＝0，(x －1)2＝36.根据平方根的意义，得x －1＝±6，∴x 1＝－5，x 2＝7.7．B8．D [解析] ∵2x 2＋4x －7＝0，∴2x 2＋4x ＝7，∴x 2＋2x ＝72，则x 2＋2x ＋1＝72＋1，∴(x ＋1)2＝92，则p ＝92＝4.5.故选D.9．B [解析] 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，应在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，故把方程x 2＋6x ＝－3配方时，方程两边应同时加上⎝ ⎛⎭⎪⎫622，即加上9.故选B.10．解：(1)y 2－y2－3＝0，y 2－y 2＋(14)2－(14)2－3＝0，(y －14)2＝4916，y －14＝±74，∴y 1＝2，y 2＝－32.(2)x 2＋22x －15＝0， x 2＋22x ＋(24)2－(24)2－15＝0， (x ＋24)2＝24216， x ＋24＝±11 24，∴x 1＝5 22，x 2＝－3 2.11．解：当A ＝4时，即2x 2－3x －10＝4，解得x 1＝72，x 2＝－2.∴当x ＝72或x ＝－2时，A ＝4.当A ＝－5时，即2x 2－3x －10＝－5，解得x 1＝－1，x 2＝52，∴当x ＝－1或x ＝52时，A ＝－5.12．解：有错．在化二次项系数为1时，常数项－1漏除以3. 正解：化二次项系数为1，得x 2－2x －13＝0，移项，得x 2－2x ＝13，配方，得x 2－2x ＋(－1)2＝13＋(－1)2，即(x －1)2＝43，所以x －1＝±2 33，所以x 1＝1＋2 33，x 2＝1－2 33.13． [解析] 利用求差法，即“a －b ＞0，则a ＞b ；a －b ＝0，则a ＝b ；a －b ＜0，则a＜b ”比较大小．解：(2x 2＋5x －1)－(x 2＋7x －4)＝2x 2＋5x －1－x 2－7x ＋4＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2.不论x 为何值，(x －1)2≥0，则(x －1)2＋2＞0，因此代数式2x 2＋5x －1的值总比代数式x 2＋7x －4的值大．当x ＝1时，两代数式的值的差最小．14．5x 2－215x ＝2，(5x )2－215x ＋(3)2＝2＋(3)2，(5x －3)2＝5，5x －3＝±5，x 1＝1＋155，x 2＝－1＋155.。

2017-2018学年九年级数学上册第2章一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法教案 (新版)

2.2 一元二次方程的解法
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2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.2公式法同步

222 公式法知识点1对公式法的理解1 .用公式法解方程3x2 — 3x = 2x — 2时，先将方程化为一般形式为 _____ ，其中 a = __________ ,b = __________________ ,c = ____________ , b 2 — 4ac = __ .2. 方程一x 2 + 3x =— 1用公式法求解，则 a , b , c 的值为（）A. a = 1, b = 3, c =— 1B. a =— 1, b = 3, c = 1C. a =— 1, b =— 3, c =— 1D. a = 1, b =— 3, c = 1 3.用公式法解方程 3x 2+ 4 =12x ,下列代入公式正确的是（）—(—12) 土； (— 12) 2— 4X 3X42X3C. 1 D . — 7 或 17 .一元二次方程 x 2+ 5x + 6= 0的根是____________ &解方程x 2 = 4x + 2时，有一名同学的解答如下：解：这里 a = 1, b = 4, c = 2,22因而 b — 4ac = 4 — 4X 1 X 2= 8,A. 12土 12 — 3X42B .—12土 .''122 —3X4C.x =—12±122 + 3X42D. 知识点2 用公式法解一元二次方程 4 .用公式法解方程 2x 2 — 7x + 1 =-■ r0,其中肚 4ac = _, x ,=— 5.用公式法解方程'3x 2— 7x B . x="T=°的正确结果是（1'5） A ，x =^— 7± 37x=r62教材习题2.2第6题变式若代数式x + 5x — 6与—x + 1的值相等，则x 的值为（）C. 6. A . 7+褥关注微信号：全品初中优秀教师canpoint-yxjs 所以x ==—2± 2.因此，原方程的解为X1=— 2 +寸2, X2=—2—豪2请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程.9 •用公式法解下列方程：2 2(1) x + 3x+ 1 = 0; (2)4 x + x —3 = 0;(3) x2+ 4x— 1 = 0; (4)1 —4x =—2x2;(5) y(2y+ 7) = 4.C. a> 1 D . a>111 •若关于x的一元二次方程A. 1 B . 2C. 1 或2 D . 012.用公式法解方程:(1) x2—3x—1= 0; ，贝U m的值等10.用公式法解方程i；x2+ 2x+ a= 0,则a应满足的条件是；（A.a<1B.a OiW°i J 足的条倉(m—1)x2 + 5x + m2—3讨2“ 的常数项为0"(2) y(y —3) = 2+ y(1 —3y).13.若x= 0是关于x的一元二次方程(m- 2) x2+ 3x + n i+ 2m- 8 = 0的一个根，求实数m 的值.14•等腰三角形的底边长和腰长是方程x2— 2 2x+ 1 = 0的两个根，求它的周长.15. 已知a，b, c均为实数，且，a —2 + | b+ 1| + (c+ 3)2= 0，求关于x的方程ax2+ bx + c = 0的根.16. 已知x2+ 3xy —2y2= 0,求：的值._ ________ _______________ _ 217. 已知关于x的一元二次方程为(m- 1)x —2m灶1 = 0.(1) 求出方程的根；(2) m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？至寻Jill I i青关注微信号：全品初中优秀教师canpoint-yxjs21 . 3x - 5x +2 = 03 - 5 2 1 2. B3. D441 7 + 07-回 445. D … 2 2 2［解析］3 x — 7x + 1 = 0, b — 4ac = ( — 7) — 4X 3X 1= 37, x = = — 2X366. D7. X 1=— 2, X 2 = — 3&解：有错误.没有把 x 2 = 4x + 2变成一般形式，b , c 的值是错的. 正确的解题过程如下：移项，得 x 2- 4x — 2 = 0,这里 a = 1, b =— 4, c =— 2, 22因而 b — 4ac = ( — 4) — 4X 1 X ( — 2) = 24>0, 因此，原方程的解为 X 1= 2 + ：：6, X 2= 2—』6.9.解：⑴ a = 1, b = 3, c = 1,(2) a = 4, b = 1, c = — 3,22因而 b — 4ac = 1 — 4X 4X ( — 3) = 49>0,所以 X 1 = 3 , X 2 =— 1. (3) a = 1, b = 4, c =— 1,b 2— 4ac = 42—4X 1X ( — 1) = 16+ 4 = 20>0,—4± 20 — 4± 2 5 x = 2 = n 1 ~ ,即 X 1 = — 2 + 5, X 2= — 2 — ■ 5. (4) 整理，得 2x 2— 4x + 1= 0,2a = 2,b =— 4,c = 1, b — 4ac = 8>0,所以X = 4±^，所以X 1 =专,X 2 =宁.2X2 222(5) 方程整理得2y + 7y — 4 = 0, 这里 a = 2, b = 7, c =— 4, 因而 b 2 — 4ac = 49 + 32= 81 > 0,—7±91所以 y =4 ，解得 y i =2 y 2= — 4.210. B ［解析］2 — 4a >0,解得 a w 1.11. B ［解析］由常数项为0,可得m i — 3mi + 2= 0,解得m = 1, m = 2.又m — 1工0,所以 m =所以x = 4± 242=2± 6. b 2— 4ac = 32—4X 1X 1 = 5>0,所以x =所以x =—1 土 49 _2X—1±7，所以22.12. 解：(1)a = 1, b=—3, c=—4.b 2-4ac = ( - 3)2-4X 1X ( — 4)= 4> o ,—b ± b — 4ac = ,3士，42a = 2X1・X 1= 1 + 乎，X 2=— 1 + 寺. , _________ 2 2(2)原方程可化为 y — 3y = 2 + y — 3y ,2 2y + 3y — 3y — y — 2 = 0,24y — 4y — 2= 0. •/a = 4, b =— 4, c =— 2,.••b 2— 4ac = ( — 4)2 — 4X 4X ( — 2) = 48,4士 2X4 =13 .解：将x = 0代入原方程，得m i + 2 m — 8= 0,解这个方程，得 m = 2, mt =— 4. -m- 2工 0,. rn^ 2,. ir= — 4.•等腰三角形的三边长分别为 .2+ 1,2+ 1, 2— 1,•它的周长为3 .2+ 1.15. •/ a —2 + |b + 1| + (c + 3)2= 0,a —2>0, |b + 1| >0, (c + 3)2>0,a — 2= 0,b + 1 = 0, • a = 2, b =— 1,c =— 3, c + 3= 0,元二次方程为 2x 2— x — 3= 0,解得 X 1 = I , X 2=— 1. 1 x 2 x 16.解：把原方程两边同时乘孑得(y) + 3(?— 2=°, x设-=t ，则上述方程即为t + 3t — 2= 0, y—3±x/i7 x — 3±x/i7解得t = ，所以-= .2 y 2 17•解: (1)根据题意得m^ 1. ■/ a = m — 1, b =— 2m , c = m + 1,2 2• b — 4ac = ( — 2m) — 4(m — 1)(m + 1) = 4>0,• -y 1 =,y 2=士 1,14.解：解方程x X 2=J2 — 1.x 2— 2• • •等腰三角形的底边长和腰长是方程 •等腰三角形的三边长为：眾 + 1，迈+ 1 ,p 2 — 1 或/2+ 1，迈—1,眾—1. ••: 2 + 1> 2 — 1+1 2•••以，2 1,51 = 0的两根, 虞:的根■ 71蘇注微信号;一全翩中优秀勒帀商point-yxjs—1,+ 1 , , 2— 1,. 2 — 1为三边长不能构成三角形,2nn+ 2 nn+1 2 m — 2-------------- --------- X 22 ( m — 1) m — 1'2 ( m — 1)•••方程的两个根都是正整数, 是正整数. m — 1Tm 为整数，••• m- 1的值为1或2, •••m的值为2或3.,” m+1⑵由(1)知X 1=荷=2m —1，1.。

九年级数学上册第二章一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程用配方法解一元二次方程的一般步骤

用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
答案：
用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；(2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．
【举一反三】
典例：用配方法解方程x2-2x-8=0;
思路导引：一般来说，通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程.移项，得x2-2x=8,x2-2x+1=9,配方，得(x-1)2=9.解这个方程，得x-1=±3,即x1=4,x2=-2.
标准答案：x1=4,x2=-2.。

九年级数学上第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法1直接开平方法解方程习题课湘教

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18．对于ax2＋c＝0(a≠0)型的一元二次方程： (1)当a，c满足何条件时，方程有实数解？试写出此时
的解．
解：当 ac≤0 时，方程有实数解，其解为 x1＝－ac，x2＝－－ac.
(2)当a，c满足何条件时，方程无实数解，为什么？
解：当 ac＞0 时，方程无实数解．理由如下：∵x2＝－ac＜0，负数没有平方根， ∴此时方程无实数解．
【答案】C
6 ．【中考 ·徐州】方程 x2 － 4 ＝ 0 的解是 __x_1＝__2_，__x_2_＝__－__2___________．
7．对于方程 x2＝m－1. (1)若方程的根为± m－1，则 m___≥_1____； (2)若方程无实数根，则 m__＜__1____．
x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b＝( A )
A．－2
B．－3
C．－1
D．－6
4．老师出示了小黑板上的题目(如图)，小敏回答：“方
程有一个根为 5.”小聪回答：“方程有一个根为－3.”
则你认为( C )
方程x2－2x－15＝0的根是
.
A．只有小敏回答正确
B．只有小聪回答正确
C．小敏、小聪回答都正确
1．【中考·资阳】a是方程2x2＝x＋4的一个根，则代数式4a2－2a的值是____8____．
2．【中考·天津】方程x2＋x－12＝0的两个根为 ( D)
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
3．【中考·兰州】x＝1是关于x的一元二次方程
第2章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法第1课时直接开平方法解方程

[最新]秋九年级数学上册第2章一元二次方程22一元二次方程的解法2

[最新]秋九年级数学上册第2章一元二次方程22一元二次方程的解法2----074cab5c-6ea5-11ec-bf0b-7cb59b590d7d2.2一元二次方程的解法2.2.1制备方法第1课时直接开平方法在本课程的第一节课中，直接平方法的讲师将使用直接平方法来求解x=a（a）形式的一元二次方程≥ 0）或（NX+H）=K（K≥ 0，n≠ 0). 22.数学思维的教学目标将进一步理解直接平方法和平方根定义之间的关系。

问题解决体验用直接平方法解一元二次方程的过程，体验转化后的数学思想和方法，提高学生的数学应用意识和能力。

情感态度通过直接开平法教学培养学生转化数学思维和积极思维的能力教学将采用直接展平法求解一元二次方程。

注重教学，理解直接展平法与平方根定义之间的关系。

困难教学类型教具教学活动教学步骤复习师生活动。

如果一个数字的平方等于9，那么这个数字就是_;；如果一个数字的平方等于7，那么这个数字就是______;一个正数有多少平方根？他们是什么关系？设计意图是审查方形开口，为引入直接找平法做准备。

1.新授课课时幻灯片活动一：创设一个情境来介绍新课[课堂介绍][复习介绍]如果一个数字的平方等于a，那么这个数字被称为2作为a的平方根。

它由以下公式表示：如果x=a，x称为a的平方根。

它被记录为x=±a，即x=a或x=-a.42。

例如，9的平方根为±3，9的平方根为±。

255.平方根具有以下性质：（1）正数有两个平方根，两个平方根相对；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。

思考：利用平方根的概念，我们可以解方程① x=4；② X-2=0？【探究1】复习时引入直接展平法，可以组织学生进行尝试。

2（1）比较x=4的定义和平方根，我们可以看到x是4的平方根，也就是说，一元二次方程的解（或根）是X1=2，X2=-2.2（2）。

每组试着解方程X-2=0.2，得到X=2。

根据平方根的含义，X是2的平方根，‡X=±2，也就是说，一元二次方程的解（或根）为X1=2，X2=-2.22。