#圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线的几何性质
西安 刘康宁
一、选择题（'
'
6636⨯=）
1.
的椭圆称之为“黄金椭圆”.设22
221(0)x y a b a b
+=>>为
黄金椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠=（ ） A ，60 B ，75 C ，90 D ，
120
2.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右焦点为F ，右准线为l ，一直线交双曲线于P ，Q
两点，交l 于R 点，则（ ）
A ，PFR QFR ∠>∠
B ，PFR QFR ∠=∠
C ，PFR QFR ∠<∠
D ，PFR ∠与QFR ∠的大小不确定 3.已知点A(0,2)和抛物线2
4y x =+上两点B 、C ，使得AB BC ⊥，当点B 在抛物线上移动时，点C 的纵坐标的取值范围是 （ ）
A ，(,0][4,)-∞+∞
B ，(,0]-∞
C ，[4,)+∞
D ，[0,4,]
4.设椭圆方程2
213
x y +=，(0,1)A -为短轴的一个端点，M ，N 为椭圆上相异两点。

若总存在以MN 为底边的等腰AMN ∆，则直线MN 的斜率k 的取值范围是 （ ） A ，(1,1)- B ，[1,1]- C ，(1,0]- D ，[0,1]
5.已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任
意一点，若
2
12
PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）
A ，(1,)+∞
B ，(1,2] C
， D ，(1,3] 6.已知P 为抛物线2
4y x =上一点，记P 到此抛物线的准线的距离为1d ，P 到直线 2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 （ ）
图1
图2
A ，
B
C 1+
D ，不存在 二、填空题（'
'
9654⨯=）
7.设双曲线22
6x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为双曲线右支上一点，且2PA x ∠ =1310PA x ∠+，则1PA x ∠的度数是 。

8.如图1，设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右
焦点分别为12,F F ，左准线为l ，P 为椭圆上一点， PQ l ⊥于点Q 。

若四边形12PQF F 为平行四边形， 则椭圆离心率e 的取值范围是 。

9.圆心在x 轴上，半径为1的动圆与抛物线2
2y x =相交，交点处的切线互相垂直，动圆的圆心坐标是 。

10.已知直线(5)tan (0,2
y x π
θθπθ=-<<≠且与双曲线
22
1169x y -=的两条准线交于 A ，B 两点。

若OA OB ⊥，则sin θ= 。

11.设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，PQ 是过左焦点F 且与x 轴不垂直的弦。

若在左准
线l 上存在点R ，使PQR ∆为正三角形，则椭圆离心率e 的取值范围是 。

12.设点B 、C 分别在第四、第一象限，且点B 、C 都在抛物线2
2(0)y px p =>上，O 为
坐标原点，30,60OBC BOC ∠=∠=，k 为直线OC 的斜率，则3
2k k +的值为 。

三、解答题（''
20360⨯=）
13．如图2，给定椭圆2
2
221x y
a b
+=和圆
2
2
2
2
(0)x y a b a b +=+>>，CD 为圆的任一 条直径，CD 交椭圆于P 点，在CD 的一侧， 以P 为圆心，1PF 为半径画弧交圆于点A ；
在CD 的另一侧，以P 为圆心，2PF 为半径画弧交圆于点B ，求证：A 、P 、B 三点共线.
图3
14.设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，AB 为抛物线的焦点弦，点M 在抛物线上，O 为坐标原点。

求证：
（I ）直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列； （II ）当MA MB ⊥时，MFO BMF AMF ∠=∠-∠.
15.如图3，A 、B 为椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>
和双曲线22
221x y a b
-=的公共顶点.P 、Q 分别
为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满 足()AP BP AQ BQ λ+=+(,1)R λλ∈>. 设直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别是12,k k ，
34,k k .
(I)求证：12340k k k k +++=；
（II ）设12,F F 分别为椭圆和双曲线的右焦点；若21//PF QF ，求2222
1234k k k k +++的值.
参考答案： 一、1.C
由
12
c a =，得220a ac c --=， 而2
2
2
2
2
2
2
2
2
()()2()0AB BF FA a b a a c a ac c +-=++-+=--=，知90ABF ∠= 2.B 设l 为双曲线的右准线，作'
'
,PP l QQ l ⊥⊥，由三角形相似有
''
PP PR RQ
QQ =
.
由双曲线定义得，
'
'
PF QF e PP QQ ==。

所以
PR PF
RQ QF
=
，知FR 平分PFQ ∠。

3.A 设211(4,)B y y -、2
(4,)C y y -，显然2140y -≠。

又121121
,42
AB y k y y -=
=-+且AB BC ⊥，得1(2)BC k y =-+.
由2
1112(2)[(4)]4
y y y x y y x ⎧-=-+--⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得211(2)(21)0y y y y ++++=.
由0∆≥，得0y ≤或4y ≥。

4.A 设MN ：y kx b =+，代入2
213
x y +=，得222(13)6330k x kbx b +++-=. 由0∆>，得22
13b k <+.又由AM AN =，得121212()()(2)x x x x y y +-+++
12()0y y -=.因为1212()y y k x x -=-，12122()22y y k x x b ++=+++，
所以2
12(1)()2(1)0k x x k b ++++=，将122
613kb
x x k
+=-
+代入， 得2213b k =+，代入2213b k <+，得2
1k <，于是11k -<<. 5.D
2
2
21222
2
2(2)44448PF a PF a PF a a a a PF PF PF +=
=++≥+=，当且仅当222
4a PF PF = 即22PF a =时取等号。

这时14PF a =.由1212PF PF F F +≥，得62a c ≥， 即3c
e a
=
≤，得(1,3]e ∈. 6.B 设2
(,2)P t t
，则2
121d d t +=++
(1)当6t ≤-或2t ≥时，2
12(11d d t +=++-.所以当2t =时， 12min ()5d d +=.
(2)当62t -<<时，2
12(1d d t +=+，所以当t =时，
12min ()d d +=
.
由（1），（2）知，12min ()5
d d +=。

二、7.20. 设00(,)P x y ，则22
006x y -=.
由
1tan PA x ∠=2tan PA x ∠=，得2
01220
tan tan 6y PA x PA x x ∠⋅∠=-=1
于是2190PA x PA x ∠=-∠，由1231090PA x PA x ∠+=-∠，得120PA x ∠=.
8.1
(,1)2. 设00(,)P x y ，则由12PQ F F =，得202a x c c +=，即202a x c c =-. 由0a x a -<<，得22a a c a c -<-<。

解得112c a <<，即1
(,1)2
e ∈.
9. 设圆心为(,0)a ，则圆的方程为：22()1x a y -+=.设圆与抛物线的交点为 2(2,2)P t t ，则22(2)41t a t -+=。

抛物线在点P 处的切线方程为222ty x t =+。

又上述直线与圆在点P 处的切线互相垂直，于是直线必过圆心(,0)a ，得2
2t a =-。

代入2
2
(2)41t a t -+=，得2
4210a a --=。

解得14
a ±=
（舍去正值）。

10.
1625 将直线与准线165x =±联立，求得169(,tan )55A θ-、1641
(,tan )55
B θ--。

由OA OB ⊥，得1616941
()(tan )(tan )05555
θθ⨯-+-⨯-=，即22
sin 256cos 369θθ=， 解得16
sin 25
θ=。

11. 设弦PQ 的中点为M ，过点P 、M 、Q 分别作左准线l 的垂线，垂足分别为 ''',,P M Q ，则'''111
()()222MM PP QQ PF QF PQ e e
=+=+=。

假设存在点R
，则RM =
，且'MM RM <
，有e >
设BC 交x 轴于点A ，记AOC θ∠=，OC r =，则(cos ,sin )C r r θθ。

由60,30BOC OBC ∠=∠=，知90OCB ∠=，2OB r =， 于是(2cos(60),2sin(60))B r r θθ--。

点B 、C 均在抛物线2
2y px =上，得22
22
sin 2cos 4sin (60)4cos(60)
r pr r pr θθ
θθ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去,p r ，
得3tan 2tan θθ+=
3
2k k += 三、解答题
13.连结AP 交圆于点'
B ，在圆中，由相交弦定理，在12PF F ∆中，由中线长公式，得
22
'()()PA PB PC PD OC PO OC PO OC PO ⋅=⋅=-⋅+=-
=222
2
2
1211(2)2a b PF PF OF +-
+-=222212121[()22]2a b PF PF PF PF c +-+-⋅- =2222
12121[422]2
a b a PF PF c PF PF +--⋅-=⋅。

又1PA PF =，有'
2PB PF PB ==。

但以点P 为圆心，PB 为半径的圆与已知圆在CD 一侧的交点是唯一的（两圆的两个交点位于连心线的两侧），故'
B 与B 重合。

因此，A 、P 、B 三点共线。

14. (1)设直线MA 、MF 、MB 的斜率分别为13,,k k k ，点11(,)A x y 、22(,)B x y 、
(,)2p M m -
，直线AB ：2
p
x ty =+。

由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩
，得2220y pty p --=。

于是212y y p =-。

又22
11222,2y px y px ==，
得2221111()2222y p p x y p p p +=+=+，2222
2212
1
1()()222p p x y p p y p y +=+=+。

因此，2
2
1
22
1211
12222211122()2()()()22
p y m y m y m p y m y k k p p p y p p y p x x -----+=+=+++++ 222211122
122222()p y p m p y my m
p y p p
---==-+。

又m
k p
=-
，得122k k k +=。

故直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列。

（2）由（1）知12k k k k -=-。

又MA MB ⊥，得121k k ⋅=-。

不妨设120,0k k ><，则11211211
1
tan 1k k k k AMF k k k k k k k k --∠====-+⋅-⋅+⋅。

同理，1tan BMF k ∠=， 所以211221tan()1()2
k k k k
AMF BMF k k k --+∠-∠=
=-=-+-，
即tan()tan AMF BMF k MFO ∠-∠==∠。

故MFO BMF AMF ∠=∠-∠。

15.（1）设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则222
2
1
12a x a y b
-=.
所以211111
1222
2111122y y x y x b k k x a x a x a a y +=+==⋅+--。

① 同理可得22
3422
2x b k k a y +=-⋅。

②
设O 为原点，则2AP BP OP +=，2AQ BQ OQ +=。

而()AP BP AQ BQ λ+=+，得OP OQ λ=，于是O 、P 、Q 三点共线。

所以
12
12
x x y y =。

由①、②得12340k k k k +++=。

（2）由点Q 在椭圆上，有22
12221x y a b
+=。

由OP OQ λ=，得1122(,)(,)x y x y λ=。

所以211x x λ=，211
y y λ
=，从而222
1222x y a b λ+=。

③
又由点P 在双曲线上，有22
11221x y a b
-=。

④
由③、④得22
2
1
1
2
x a λ+=
，2221
1
2
y b λ-=。

因为21//PF QF ，所以21OF OF λ=，得222
22a b a b λ+=-。

有2224
1222
41(1)(1)x a a y b b
λλ+==-。

由①得2444
2
1124244144()4x b b a k k a y a b
+=⋅=⋅=。

同理可得2
34()4k k +=。

另一方面，22
1111222
2111y y y b k k x a x a x a a
=⋅==+--。

类似地，2
342b k k a
=-。

故222222
123412341234()()2()44208k k k k k k k k k k k k +++=+++-+=+-⨯=。

（柯正摘自《中学数学教学参考》2006年第1～2期）。