学霸教育中考数学7

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学霸教育中考数学6

1．的平方根是（）A．±3 B．3C．±9 D．92．下列计算错误的是（）A．3﹣=2B．x2•x3=x6C．﹣2+|﹣2|=0 D．（﹣3）﹣2=3.如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（）A．B．C．D．4．（3分）(2014年山东东营)下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）(2014年山东东营)小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）(2014年山东东营)若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0 B． 0或2 C． 2或﹣2 D． 0，2或﹣27．（3分）(2014年山东东营)如图，四边形ABCD为菱形，AB=BD，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结论：①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG为⊙O的直径时，DF=AF．其中正确结论的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 8．（3分）(2014年山东东营)3x2y﹣27y=．9．（3分）(2014年山东东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．10．（4分）如果实数x，y满足方程组，那么代数式（+2）÷的值为．11．（4分）(2014年山东东营)在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB 上一动点，CM+DM的最小值是cm．12．如图，函数y=和y=﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为。

中考数学回归教材重难点07 几何最值问题(解析版)

回归教材重难点07 几何最值问题几何最值问题是初中几何章节的重点内容，考查的范围比较广，把几何图形性质与平移、翻折等图形变换结合起来。

在中考数学中，主要是以压轴题形式出现。

通过熟练的几何模型的应用，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。

本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。

1.将军饮马模型；2.瓜豆模型；3.隐圆模型1．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝23AD＝2点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________【答案】42【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．△四边形ABCD 是矩形，△△RAT ＝90°，△AR ＝DR 2AT ＝2AB ＝3△RT 2222(2)(43)52AR AT ++△A ，A′关于DP 对称，△AA′△DP ，△△AMD ＝90°， △AR ＝RD ，△RM ＝12AD 2△MT ≥RT −RM ，△MT 2， △MT 的最小值为2△QA ＋QM ＝QT ＋QM ≥MT ，△QA ＋Q M 2，△QA ＋QM 的最小值为2．故答案为：2【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT 的最小值，属于中考常考题型．2．（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为'B ，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．【答案】 1 5【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE 35从而求得OA 及OC ；由AD △BC ，易得△AOE △△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值；第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F '和Rt △ EA N '中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’△EF ， 3A E AE '==△四边形ABCD 是矩形△△ADC =90°，CD =AB =4 ，AD △BC△△AOE =△ADC ，△OAE =△DAC △△AOE △ADC ，△12OE CD OA AD == ，△OA =2OE ，在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE += ，△OE 35，△OA 65，在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC 224845+=，△OC =6514545 令BF =x ，则FC =8-x ，△AD △BC ，△△AOE △△COF ，△37OA AE OC FC == ，即7AE =3FC △3(8-x )=7×3解得：1x =,△BF 的长为1．连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN △EF ，NF =NE ，设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+- ，解得：m =3，则NF 10，△EF 222425+=△MF 5△MN 5故答案为：15【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．【答案】3133【分析】根据正方形的性质得到△ADC ＝90°，推出△DFC ＝90°，点F 在以DC 为直径的半圆上移动，，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ，连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△△ADC ＝90°，△△ADF ＋△CDF ＝90°，△ADF =DCF ∠∠，△△DCF ＋△CDF ＝90°，△△DFC ＝90°，△点F 在以DC 为直径的半圆上移动，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ，连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，OF ＝3，△△G ＝90°，PG ＝DG ＝AB ＝6，△OG ＝9，△OP 222269313PG OG +=＋△FP ＝3133， △BE ＋FE 的长度最小值为3133，故答案为：3133．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．4．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，B ，D 两点坐标分别为B （﹣4，6），D （0，4），线段EF 在边OA 上移动，保持EF ＝3，当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标为__________．【答案】()0.4,0-【分析】先得出D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF 的周长的最小值转化为求FG +BF 的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小，用待定系数法求出直线BG 的解析式后，令y =0，即可求出点F 的坐标，最后得到点E 的坐标．【详解】解：如图所示，△D （0，4），△D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），△ED =EH ，将点H 向左平移3个单位，得到点G （-3，-4），△EF =HG ，EF △HG ，△四边形EFGH 是平行四边形，△EH =FG ，△FG =ED ，△B （-4，6），△BD ()()224064=25--+-又△EF ＝3，△四边形BDEF 的周长=BD +DE +EF +BF =25FG +3+BF ,要使四边形BDEF 的周长最小，则应使FG +BF 的值最小，而当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小，设直线BG 的解析式为：()0y kx b k =+≠△B （-4，6），G （-3，-4），△4634k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩，△1034k b =-⎧⎨=-⎩，△1034y x =--，当y =0时， 3.4x =-，△()3.4,0F -，△()0.4,0E -，故答案为：()0.4,0-．【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．5．（2021·广东·中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____． 52-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图：以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥，以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =，1AN BN ==，22112AO ∴=+112ON OM AB ===,3BC =，221(31)5OC ∴=+-=52CO OD ∴-=CD 长度的最小值为52-52-【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．6．（2021·河南周口·三模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在BC ，AB 上移动，AF ＝BE ，AE 和DF 交于点P ，点M 为边AB 上一动点，点N 为平面上一动点，CN ＝1，则NM +MP 的最小值是 ___．【答案】133【分析】首先证明△APD =90°，推出点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，R L ，ML ．根据RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，求出CR ，可得结论．【详解】解：如图，△四边形ABCD 是正方形，△△B =△DAF =90°，AD =AB ，在△AB E 和△DAF 中，AB DA B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DAF （SAS ），△△BAE =△ADF ，△△BAE +△DAP =90°，△△ADP +△DAE =90°，△△APD =90°，△点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，RL ，ML ．△CN =1，△点N 在以C 为圆心，半径为1的△C 上运动，在Rt △CD R 中，CR 22DR CD +2264+13△RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，△PM +MN 132-1，△PM +MN 133，△PM +MN 的最小值为133．【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．7．（2021·河南郑州·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），连接PD ，过点B 作BM △PD 交DP 的延长线于点M ，连接AM ，过点A 作AN △AM 交PD 于点N ，连接BN ，CN ，则△BNC 面积的最小值为________．【答案】1242-【分析】点N 在正方形内部，所以S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，由BM △PD 可得点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，先证明△AMB 与△ADN 全等，然后求△ABM 最大面积即可求出△BNC 的最小面积．【详解】解：△四边形ABCD 为正方形， △AD ＝AB ，△BAD ＝△BAN +△NAD ＝90°，△△MAB +△BAN ＝△MAN ＝90°，△△MAB ＝△NAD ，△△BMP +△BPM +△MBP ＝△P AD +△PDA +△APD ＝180°，△MPB ＝△APD ，△BMP ＝△DAP ＝90°，△△MBP ＝△ADP ，在△AMB 和△AND 中，MAB NAD MBA NDA AB AD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝，△△AMB △△AND （ASA ）．△S △AMB ＝S △AND ， △S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，△当S △AMB 面积最大时，S △BNC 面积最小， △△BMD ＝90°，△点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，当△ABM面积最大时，OM △AB ，如图，△点O 为BD 中点，OM △AD ，△OK ＝12AD ＝2，△BD 2＝42△OM ＝12BD ＝22△MK ＝OM ﹣OK ＝222，△S △AMB ＝12AB •MK ＝424， △S △BNC ＝8﹣S △AMB ＝8﹣（424）＝1242-故答案为：1242-【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理等知识点，将求△BNC 的最小面积转化为求△ABM 最大面积并找出M 点运动轨迹是解题关键．8．（2021·河南·三模）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，点E ，F 分别为边AB ，AD 上的动点，且EF ＝6，点G ，M 分别为边BC ，CD 的中点，连接BM ，DG 交于点O ．将△EF A 沿EF 折叠得到△EF A '，点H 是边EF 上一动点，连接A 'H ，HO ，OA '．当A 'H +HO 的值最小时，OA '的长为 __________________．16216- 【分析】连接AH 、AO ，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，则可得当A 、H 、O 三点共线时，A 'H +HO 的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，可知四边形AF A 'E 是正方形，△ACB ＝45°，设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，可证明△BON △△BMC ，可求出CN ＝83，CO ＝823，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝2A 'O ＝AC ﹣AA '﹣OC 162．【详解】解：连接AH 、AO ，如图，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，AH A H '∴= A H HO AH HO AO '∴+=+≥A H O ∴、、三点共线时，A H HO '+的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，如图2，∴四边形AFA E '是正方形，6AA EF '∴==，A O C 、、三点共线，45ACB ∴∠=︒M 是DC 中点，4MC ∴=设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，BNO BCM ∠=∠，BON BMC ∴~，ON MC BN BC ∴=即488x x =-，83x ∴=，83CN ∴= 822CO CN ∴==在Rt ABC 中，由勾股定理得，2282AC AB BC =+=8216282616A O AC AA OC ''∴=--== 16216-．【点睛】本题考查相似的判定与性质、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．（2021·四川绵阳·一模）等边△ABC 的边长为6，P 是AB 上一点，AP ＝2，把AP 绕点A 旋转一周，P 点的对应点为P ′，连接BP ′，BP ′的中点为Q ，连接CQ ．则CQ 长度的最小值是_____．【答案】331【分析】取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，利用等边三角形求出CD＝33根据三角形中位线定理得到DQ＝1，利用三角形三边关系得出结果．【详解】解：如图，取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，△AP＝2，把AP绕点A旋转一周，△AP'＝2，△等边△ABC的边长为6，点D是AB中点，△BD＝AD＝3，CD△AB，△CD22226333BC BD--△点Q是BP'是中点，△BQ＝QP'，又△AD＝BD，△DQ＝12AP'＝1，在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，△CQ的最小值为31，故答案为331．【点睛】本题考查最短路径、中位线、等边三角形等知识，解决问题的关键是已知中点的常见思路：等腰三角形中构造三线合一，一般三角形中构造中位线．10．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ykx=（k＞0）的图象与半径为5的△O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是______．【答案】2【详解】设点M（a，b），N（c，d），先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，即可得出ac﹣bc＝0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，设点M（a，b），N（c，d），△ab＝k，cd＝k，△点M，N在△O上，△a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），△MN'即为PM+PN的最小值△S△OMN12=k12+（b+d）（a﹣c）12-k＝3.5，△ad﹣bc＝7，△kc kaa c-=7，△ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，△ac﹣bc()()2222777k c a k b d k--=-=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，△M（a，b），N'（c，﹣d），△MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，△MN'＝2故答案为：2【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式，判断出ac-bd=0是解本题的关键．11．（2021·广东·雷州市第八中学一模）如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若tan△AGE7BF＝8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为_____．【答案】10【分析】如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．首先证明△EGD△△FGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再证明PF=PE，推出PF+PC=PE+PC≥EC，想办法求出EC即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．由题意，EF 垂直平分线段BD ，△EB =ED ，BG =GD ，△四边形ABCD 是矩形，△AD △BC ，△△EDG =△FBG ，△△EGD =△FGB ，△△EGD △△FGB （ASA ），△BF =DE =8，EG =FG ，△DB △EF ，△PE =PF ，△PF +PC =PE +PC ≥EC ，△△BAE =△BGE =90°，OB =OE ，△OA =OB =OE =OG ，△A ，B ，G ，E 四点共圆，△△ABE =△AGE ，△tan△ABE =tan△AGE 7AE AB ，设AE 7，AB =3k ，△AB 2+AE 2=BE 2，BE =DE =8，△7k ）2+（3k ）2=82，△k =2，△AB =CD =6，△△EDC =90°，△EC 222268CD DE ++，△PF +PC ≥10，△PF +PC 的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强． 12．（2022·上海·一模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC 22BC =ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到DEC ，连接AD ，BE ，直线AD ，BE 相交于点F ，连接CF ，在旋转过程中，线段CF 的最大值为__________．10【分析】取AB 的中点H ，连接CH 、FH ，设EC ，DF 交于点G ，在△ABC 中，由勾股定理得到AB 10由旋转可知：△DCE △△ACB ，从而△DCA =△BCE ，△ADC =△BEC ，由△DGC =△EGF ，可得△AFB =90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=12AB10△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF10【详解】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，△ACB=90º，△AC2，BC2△AB2210AC BC+由旋转可知：△DCE△△ACB，△△DCE=△ACB，DC=AC，CE=CB，△△DCA=△BCE，△△ADC=12(180º-△ACD) ，△BEC=12(180º-△BCE)，△△ADC=△BEC，△△DGC=△EGF，△△DCG=△EFG=90º，△△AFB=90º，△H是AB的中点，△FH=12AB，△△ACB=90º，△CH=12AB，△FH=CH=12AB10在△FCH中，FH+CH>CF，当F、C、H在一条直线上时，CF 101010=△线段CF10.10【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.13．（2022·重庆·一模）如图，已知ABC ，外心为O ，18BC =，60BAC ∠=︒，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是______．【答案】933-【分析】由ABD △与ACE 是等腰直角三角形，得到90BAD CAE ∠=∠=︒，DAC BAE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到ADC ABE ∠=∠，求得在以BC 为直径的圆上，由ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，得到120BOC ∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD 与ACE 是等腰直角三角形，90BAD CAE ∴∠=∠=︒，DAC BAE ∴∠=∠，在DAC △与BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAC ∴△()BAE SAS ，ADC ABE ∴∠=∠，90PDB PBD ∴∠+∠=︒， 90DPB ∴∠=︒，P ∴在以BC 为直径的圆上，ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，18BC =，9BH CH ∴==，12OH OB =，223BH OB OH OH ∴- 33OH ∴=9PH =，933OP ∴=-OP 的最小值是933-，故答案为：933-【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

2024年中考数学总复习专题02整式复习划重点学霸炼技法

3．x 个单价为 a 元的商品与 y 个单价为 b 元的商品总价为
(_a_x_＋__b_y_)_元．
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专题二整式
中考·数学
考点 2 整式的相关概念 1．单项式： (1)定义：表示数与字母的___积_____的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． (2)性质：单项式中的____数__字__因__数__叫做这个单项式的系数；
[教材复习] 考点 1 代数式及其求值 1．代数式用运算符号连接数和字母组成的式子，单独一个数或一个表
示数的字母也叫代数式．
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专题二整式
中考·数学
2．列代数式把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号
的式子表示出来．关键是找出问题中的数量关系及公式，如：
“路程＝速度×时间”“售价＝标价×折扣”等；其次要抓
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专题二整式
中考·数学
◎能推导乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab ＋b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算； ◎能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数).
Hale Waihona Puke 第5页返回目录专题二整式
中考·数学
[对接教材]
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专题二整式
中考·数学
考点 3 整式的运算
1．整式的加减
(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②系数相加减
作为新的系数，如：3x2y＋4x2y＝7x2y.
(2)去括号法则：括号前是“＋”号，去括号时，括号内各项
不变号：a＋(b＋c)＝a____＋____b___＋_____c；

中考数学(陕西版)精讲课件：7.1

►知识点三投影
1．太阳光线可以看成是平行光线，平行光线形成的投影称为__平__行__投__影____．
平行投影与视图之间的关系：当投射线与投影面垂直时，这种投影叫做___正__投__影___．物体的正投影称为物体的视图．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．
第一部分教材同步复习
第七章视图与变换
7.1 视图与投影
知识要点 ·归纳
►知识点一立体图形的展开与折叠
1．立体图形的平面展开图：同一立体图形，按不同的方式展开得到的平面图形是不一样的．
2．常用的简单立体图形的展开图：圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆柱的侧面展开图是一个矩形，正方体的展开图的形状比较多(共有11种)．
2．由同一点(点光源)发出的光线形成的投影称为 _中__心__投__影___．
3．物体在太阳光下形成的影子的变化规律：在北半球，从早到晚物体在太阳光下的影子的长短是由长变短，再由短变长，影子的方向分别是西、西北、北、东北、东．
【注意】投影的应用主要是测量物体的高度．利用光线、物高及物体在地面上的投影所组成的三角形，依据相似三角形的性质就可以测出物体的高度．
圆锥
球体长方体
2.三视图的作法 (1)三种视图位置的确定：先确定主视图的位置，在主视图的下面画出俯视图，在主视图的右面画出左视图． (2)在画视图时，主、俯视图要长对正；主、左视图要高平齐；左、俯视图要宽相等．【注意】在画视图时，要注意实线与虚线的画法，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．
组合物体的三视图 (热频考点)
【例2】 (2015·来宾)如图所示是由8个相同的小正方体组成的一个几何体，则这个几何体的主视图是( A )

2024–2025学年九年级数学暑假提升精品讲义(北师大版)第06讲正方形的判定(解析版)

第06讲正方形的判定模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测 1.掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的概念之间的从属关系及性质之间的区别；2．能熟练应用正方形的性质、判定等知识进行有关证明和计算。

一、正方形的判定1.定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形；2.先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；3.先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.二、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：三、中点四边形：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.考点一：正方形的判定定理理解例1．（23-24八年级下·北京·期中）下列命题中，能判断四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直的矩形B．对角线相等的平行四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．对角线互相垂直平分的菱形【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键．【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意；C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；故选：A．【变式1-1】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错．误的是（）A．①对角相等B．②对角线互相垂直C．③有一组邻边相等D．④对角线相等【答案】A【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．【详解】解：A 、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A 符合题意；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B 不符合题意；C 、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C 不符合题意；D 、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D 不符合题意．故选：A ．【变式1-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，它是菱形B ．当AC BD ⊥时，它是菱形C ．当90ABC ∠=︒时，它是矩形D ．当AC BD =时，它是正方形【答案】D 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【详解】解：A 、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD 是平行四边形，当AB BC =时，它是菱形，故A 选项正确，不符合题意；B 、四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形，故B 选项正确，不符合题意；C 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C 选项正确，不符合题意；D 、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC BD =时，它是矩形，不是正方形，故D 选项错误，符合题意．故选：D ．【变式1-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）下列命题中，真命题的个数是（）①平行四边形是轴对称图形，也是中心对称图形；②一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线相等且互相平分的四边形是菱形；⑤四个内角都相等的四边形是矩形；⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】本题考查了真假命题，平行四边形的性质与判断，矩形、菱形、正方形的判定等知识，利用平行四边形的性质判断①；利用平行四边形的判定判断②、③；利用矩形、菱形的判定判断③、④；利用正方形的判定判断⑤即可．【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原命题是假命题；②一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，，故原命题是真命题；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是假命题；⑤四个内角都相等的四边形是矩形，故原命题是真命题；⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是真命题．故选：B ．考点二：添一个条件使四边形是正方形例2.（2024·陕西榆林·三模）在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点Q ，请添加一个条件：使得矩形ABCD 是正方形．（只写一个）【答案】AB BC =（答案不唯一）【分析】本题考查正方形的判定，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．【详解】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB BC =或BC CD =或CD DA =或DA AB =或AC BD ⊥，故答案为：AB BC =（答案不唯一）．【变式2-1】（21-22八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，不添加任何辅助线，请你添加一个条件，使四边形ABCD 是正方形（填一个即可）．【答案】90BAD ∠=︒（答案不唯一）【分析】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．【详解】解：四边形ABCD 为菱形，∴当90BAD ∠=︒时，四边形ABCD 为正方形．故答案为：90BAD ∠=︒．【变式2-2】（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB D E F ∠=︒，，，分别是AB AC BC ，，的中点，连接DE DF EF ，，，要使四边形DECF 是正方形，只需增加一个条件为．【答案】AC BC=【分析】根据中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形添加条件即可．【详解】∵90ACB D E F ∠=︒，，，分别是AB AC BC ，，的中点，∴1122DE BC DE BC DF AC DF AC ==，，，，P P ∴四边形DECF 是矩形，∵四边形DECF 是正方形，∴1122DF DE BC AC ===，故AC BC =，故添加的条件是：AC BC =．【点睛】本题考查了中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形，熟练掌握中位线定理和正方形的判定定理是解题的关键．使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是．【答案】AC BD =且AC BD⊥【分析】依据条件先判定四边形EFGH 为平行四边形，再根据又AC BD =，EF EH =，得出四边形EFGH 为菱形，再根据90FEH ∠=︒，即可得到菱形EFGH 是正方形．【详解】应满足的条件是：AC BD =且AC BD ⊥，理由：E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在ADC △中，HG 是ADC △的中位线，HG AC ∴∥，12HG AC =，同理EF AC ∥，12EF AC =，同理，12EH BD =，则HG EF ∥且HG EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD = ，EF EH ∴=，∴四边形EFGH 为菱形，AC BD ^ ，EF AC ∥，EF BD ∴⊥，EH BD ∥ ，EF EH ∴⊥，90FEH ∴∠=︒，∴菱形EFGH 为正方形，故答案为：AC BD =且AC BD ⊥．【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．考点三：证明四边形是正方形例3.（2024·陕西咸阳·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N ，求证：四边形BMPN 为正方形．【答案】详见解析【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识点，由BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，得出ABP CBP ∠=∠，由过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N 和90ABC ∠=︒得出四边形BMPN 为矩形，再由MP MB =即可得出结论，熟练掌握矩形的判定和性质是解决此题的关键．【详解】∵BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，∴ABP CBP ∠=∠，∵过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N ，∴90BMP BNP ∠=∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴四边形BMPN 为矩形，∴PM BN ∥，∴CBP MPB ABP ∠=∠=∠，∴MP MB =，∴四边形BMPN 为正方形．【变式3-1】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 的中点，过点A ，D 分别作BC 与AB 的平行线，相交于点E ，连接EC ，AD ，DE 与AC 交于点O ．(1)求证：四边形ADCE 是矩形；(2)当90BAC ∠=︒时，求证：四边形ADCE 是正方形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）先由AB AC =，点D 是边BC 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD CD =，AD BC ⊥，，再由AE BD ∥，DE AB ∥得出四边形AEDB 为平行四边形，那么AE BD CD ==，又AE DC ∥，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADCE 是平行四边形，又90ADC ∠=︒，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形ADCE 是矩形；（2）由矩形的性质可得AC DE ⊥，又由（1）知四边形ADCE 是矩形，根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形ADCE 是正方形．【详解】（1）证明：∵AB AC =，点D 是边BC 的中点，∴BD CD =，AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵AE BD ∥，DE AB ∥，∴四边形AEDB 为平行四边形，∴AE BD CD ==，又∵AE DC ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形；（2）证明：∵DE AB ∥，90BAC ∠=︒，∴90DOC BAC ∠=∠=︒，即AC DE ⊥，由（1）知四边形ADCE 是矩形，∴四边形ADCE 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【变式3-2】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，连接CD ，过点C 作AB 的平行线，并在此直线上截取CE AD =，连接BE ．(1)判断四边形CDBE 的形状并请说明理由；(2)直接写出当ABC 满足什么条件时，四边形CDBE 是正方形．【答案】(1)四边形CDBE 是菱形，理由见解析(2)当ABC 是等腰直角三角形时，四边形CDBE 是正方形【分析】（1）说明CE DB =，证明四边形CDBE 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到12CD BD AB ==，即可得证；（2）当ABC 是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD AB ⊥，即可得证．【详解】（1）解：四边形CDBE 是菱形．理由：∵CE AB ∥，点D 是边AB 的中点，∴CE DB ∥，AD DB=∵CE AD =，∴CE DB =，∴四边形CDBE 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==，∴平行四边形CDBE 是菱形；（2）当ABC 是等腰直角三角形时，四边形CDBE 是正方形．理由：∵90ACB ∠=︒，且ABC 是等腰直角三角形，∴CA CB =，∵点D 是边AB 的中点，∴CD AB ⊥，∴90CDB ∠=︒，由（1）知：四边形CDBE 是菱形，∴四边形CDBE 是正方形．【点睛】本题考查平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质．熟练掌握平行四边形的判定及特殊平行四边形的判定，并能进行推理论证是解题的关键．【变式3-3】（2024八年级下·浙江·专题练习）在ABC 中，AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，过点B 作BE AD ∥交BAF ∠的平分线于点E ．(1)求证：四边形ADBE 是矩形；(2)当BAC ∠满足什么条件时，四边形ADBE 是正方形．【答案】(1)见解析(2)90BAC ∠=︒，见解析【分析】（1）由AB AC =，AD 平分BAC ∠，可得12BAD BAC AD BC ∠=∠⊥，，由AE 是ABC 的外角平分线，可得12BAE BAF ∠=∠，则90BAD BAE ∠+∠=︒，即=90DAE ∠︒，AD AE ⊥，证明AE BC ∥，进而可证四边形ADBE 是矩形；（2）由AB AC =，AD 平分BAC ∠，90BAC ∠=︒，可得45ABC C BAD CAD ∠=∠=∠=∠=︒，则AD BD =，进而结论得证．【详解】（1）证明：∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴12BAD BAC AD BC ∠=∠⊥，，∵AE 是ABC 的外角平分线，∴12BAE BAF ∠=∠，∵180BAC BAF ∠+∠=︒，∴90BAD BAE ∠+∠=︒，即=90DAE ∠︒，∴AD AE ⊥，∵AD BC ⊥，∴AE BC ∥，又∵BE AD ∥，=90DAE ∠︒，∴四边形ADBE 是矩形；（2）解：当90BAC ∠=︒时，四边形ADBE 是正方形．理由如下：∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，90BAC ∠=︒，∴45ABC C BAD CAD ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD =，∴矩形ADBE 为正方形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定是解题的关键．考点四：与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）例4.（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 和BC 上的点，且满足BE CF =．(1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边CD 和DA 上分别作出点G 和点H ，DG AH BE CF ===（保留作图痕迹，不写做法作法）；(2)判断：四边形EFGH 的形状是．【答案】(1)见解析(2)正方形【分析】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可；（2）证明()SAS AEH BFE CGF DHG ≌≌≌，推出EF FG GH HE ===，得到四边形EFGH 是菱形，再证明90AEH BEF BFE BEF ∠+∠=∠+∠=︒，即可得到四边形EFGH 是正方形．【详解】（1）解：如图所示：DG AH BE CF ===；；（2）解：四边形EFGH 是正方形，∵正方形ABCD 中，∴AB CD ∥，OB OD =，∴EBO GDO ∠=∠，∵EOB GOD ∠=∠，∴()ASA EOB GOD ≌，∴BE DG =，同理AH CF =，∵BE CF =，∴EF FG GH HE ===，∵正方形ABCD 中，BAD ABCBCD CDA ∠=∠=∠=∠，AB BC CD DA ===，∵DG AH BE CF ===，∴AE BF CG DH ===，∴()SAS AEH BFE CGF DHG ≌≌≌，∴EF FG GH HE ===，∴四边形EFGH 是菱形，∴AEH BFE ∠=∠，∵90AEH BEF BFE BEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴四边形EFGH 是正方形．故答案为：正方形．【点睛】本题考查了中心对称图形作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定．掌握正方形是中心对称图形是解题的关键．【变式4-1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点,E F 在正方形ABCD 的边,AB CD 上．(1)请用尺规作图法，在,AD BC 上分别取点,M N 使得MN EF ⊥且平分正方形ABCD 的面积．（保留作图痕迹，不写作法）(2)求证：MN EF=【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了正方形的性质，作线段的垂线，全等三角形的性质与判定．（1）平分正方形ABCD 的面积，会经过正方形的中心O ，过点O 作EF 的垂线即可；（2）过点E 作EG CD ⊥于点G ，过点N 作NH AD ⊥，设,EG MN 交于点P ，证明()AAS EFG NMH ≌，即可得证．【详解】（1）解：如图，MN 即为所作，（2）解：如图所示，过点E 作EG CD ⊥于点G ，过点N 作NH AD ⊥，设,EG MN 交于点P ，∴四边形,AEGD ABNH 是矩形，90NHM EGF ∠=∠=︒∴,EG AD AB HN ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，AB AD ⊥，∴EG HN =，HN EG⊥∵AD EG∥∴EPN HMN∠=∠∵EF MN ⊥，HN EG⊥∴90,90PEF EPN HNM EPN ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴PEF HNM ∠=∠即GEF HNM∠=∠在,EFG NMH 中，90NHM EGF HNM GEF EG HN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS EFG NMH ≌∴MN EF=【变式4-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，点F 在BC 的延长线上，AE CF =，连接EF ．(1)求证：45F ∠=︒；(2)如图，当点E 为AD 边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形CDOF （保留作图痕迹）．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）连接AC ，先证明四边形AEFC 是平行四边形，可得AC EF ，即有45F ACB ∠=∠=︒；（2）设EF 、CD 交于点T ，连接AC 、BD ，二者交于点P ，连接DF ，连接PT ，并延长交PT 于点G ，连接CG ，并延长交AD 的延长线于点O ，连接FO ，问题得解．【详解】（1）证明：连接AC ，如图，在正方形ABCD 中，有AD BC ∥，45ACB ACD ∠=∠=︒，∵AE CF =，AD BC ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形，∴AC EF ，∴45F ACB ∠=∠=︒；（2）如图，矩形CDOF 即为所求．证明：根据点E 为AD 边中点，AE CF =，可得DE CF =，进而可证明DET CFT ≌，则有DT CT =，ET FT =，即点T 为EF 、CD 的中点；根据正方形的性质可得点P 为BD 、AC 的中点；即有：PT AD ∥，PT BC ∥，结合点P 为BD 、AC 的中点，可得点G 为CO 、DF 的中点，即可证明四边形CDOF 是平行四边形，结合90DCF DCB ∠=∠=︒，则平行四边形CDOF 是矩形．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，是解答本题的关键．【变式4-3】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知正方形,ABCD E 为BC 上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(1)在边AD 上找点F ，使得直线EF 将正方形ABCD 的面积平均分成相等的两部分；（在图1中完成）(2)在边AB 上找点G ，使得BG BE =；（在图2中完成）(3)连接AE ，将ABE 绕点A 逆时针旋转90 ，作出旋转后的三角形．（在图3中完成）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用经过对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，与对角线的交点进行连线即可求解；（2）利用正方形关于任意一条对角线对称即可作出所作图形；==，利用全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定（3）在第（2）问所作图的基础上构造DH BE BG=，即可作出所作图形．与性质，得到DM BG【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）旋转后的三角形为ADM△，如图所示：【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解题关键是掌握正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称等知识．考点五：正方形的性质与判定的综合问题例5.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后在把纸片展平；第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，再把纸片展平．问题解决：(1)如图1，求证：四边形AEA D '是正方形；(2)如图2，若2AC '=，4DC '=，，求AC M '△的面积．【答案】(1)见解析(2)AC M '△的面积是83【分析】（1）由折叠性质得AD AD ='，AE A E '=，45ADE A DE '∠=∠=︒，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA D '是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA D '为正方形；（2）连接C E '，证明Rt Rt EAC C BE ''' ≌，得C EA EC B '''∠=∠，从而有MC ME '=，设AM x =，则6C M BM x '==-，在Rt MC A ' 中，利用勾股定理列方程求出x ，得到AM ，即可求出AC M '△的面积．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，∵将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，∴AD AD ='，AE A E '=，45ADE A DE '∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴AED A DE '∠=∠，∴AED ADE ∠=∠，∴AE AD =，∴AD AE A E A D ''===，∴四边形AEA D '是菱形，∵90A ∠=︒，∴四边形AEA D '是正方形；（2）解：如图，连接C E '，由（1）知，AD AE =，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，∴AE BC '=，EAC B ''∠=∠，在Rt EAC ' 和Rt C BE '' 中，EC C E AE BC '''=⎧⎨=⎩∴()Rt Rt EAC C BE HL ''' ≌，∴C EA EC B '''∠=∠，∴MC ME '=，设AM x =，∵2AC '=，4DC '=，∴2+46AE AD ===，∴6C M BM x '==-，在Rt MC A ' 中，由勾股定理，得222+AC AM MC ''=，即2222+(6)x x =-，2243612x x x +=-+，1232x =，解得83x =，即83AM =，∴AC M '△的面积1188=22233AC AM '=⨯⨯=g ．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．线交于点A ，过点A 分别作直线CE ，CF 的垂线，B ，D 为垂足．(1)EAF ∠=________°（直接写出结果不写解答过程）(2)①求证：四边形ABCD 是正方形．②若3BE EC ==，求AEF △的面积．(3)如图（2），在PQR 中，45QPR ∠=︒，高7PH =，3QH =，则HR 的长度是________（直接写出结果不写解答过程）．【答案】(1)45；(2)①证明见解析；②15；(3)2.8．【分析】（1）由90C ∠=︒可得90CEF CFE ∠+∠=︒，进而得270BEF DFE ∠+∠=︒，再根据角平分线的定义可得()11352AEF AFE BEF DFE ∠+∠=∠+∠=︒，最后根据三角形内角和定理即可求解；（2）①过点A 作AG EF ⊥于G ，由角平分线的性质可得AB AD =，再证明四边形ABCD 是矩形即可求证；②证明()Rt Rt HL ABE AGE ≌得3BE GE ==，同理得DF GF =，设DF GF x ==，得3EF x =+，又由3BE EC ==可得6CD AB CG ===，得到6CF x =-，在Rt CEF △中，利用勾股定理得()()222363x x +-=+，得到2x =，即得5EF =，再根据三角形面积公式即可求解；（3）如图2所示，把PQH 沿PQ 翻折得PQD △，把PRH △沿PR 翻折得PRM △，延长DQ MR 、交于点G ，同理（2）即可求解；本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）解：∵90C ∠=︒，∴90CEF CFE ∠+∠=︒，∴180********BEF DFE ∠+∠=︒+︒-︒=︒，∵AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠，∴12AEF BEF ∠=∠，12AFE DFE ∠=∠，∴()11112701352222AEF AFE BEF DFE BEF DFE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴18013545EAF ∠=︒-︒=︒，故答案为：45；（2）①证明：过点A 作AG EF ⊥于G ，∵AE 平分BEF ∠，AB EB ⊥，AG EF ⊥，∴AB AG =，同理可得AD AG =，∴AB AD =，∵AB BC ⊥，AD CD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，∵AB AD =，∴四边形ABCD 是正方形；②∵AG EF ⊥，∴90AGE AGF ∠=∠=︒，在Rt ABE △和Rt AGE 中，AB AG AE AE =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABE AGE ≌，∴3BE GE ==，同理可得DF GF =，设DF GF x ==，∴3EF x =+，∵3BE EC ==，∴336BC =+=，∴6CD AB AG ===，∴6CF x =-，在Rt CEF △中，222CE CF EF +=，∴()()222363x x +-=+，解得2x =，∴325EF =+=，∴11·561522AEF S EF AG ==⨯⨯= ；（3）解：如图2所示，把PQH 沿PQ 翻折得PQD △，把PRH △沿PR 翻折得PRM △，延长DQ MR 、交于点G ，由折叠可得7PD PH PM ===，3QD QH ==，MR HR =，DPQ HPQ ∠=∠，MPR HPR ∠=∠，90D PHQ ∠=∠=︒，90M PHR ∠=∠=︒，∴()222290DPM HPQ HPR HPQ HPR QPR ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴90D DPM M ∠=∠=∠=︒，∴四边形PMGD 是矩形，∵PD PM =，∴四边形PMGD 是正方形，∴7DG MG PD ===，∴734GQ DG QD =-=-=，设MR HR a ==，则3QR a =+，7GR a =-，在Rt GQR △中，222GQ GR QR +=，∴()()222473a a +-=+，解得 2.8a =，∴ 2.8HR =，故答案为：2.8．上的一个动点，延长CD 到点E ，使DE BP =，连接AE AP ，，以AE AP ，为边作平行四边形APFE ，直线PF 和直线CD 相交于点M ．(1)如图1，点P 在边BC 上，判断四边形APFE 的形状，并说明理由；(2)在（1）的条件下，若点P 为BC 的中点，求点F 到边CD 的距离；(3)若2CP =，求CM 的长．【答案】(1)正方形，理由见解析(2)2(3)1或3【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定：（1）先证明()SAS ABP ADE ≌得到AP AE BAP DAE =∠=∠，，进而证明90PAE ∠=︒，即可证明四边形APFE 是正方形；（2）如图所示，作FH CD ⊥，垂足为H ，证明()AAS ADE EHF ≌，得到ED FH BP ==，求出122PB BC ==，则2FH =，即点F 到CD 距离为2；（3）分点P 在BC 上和点P 在BC 得延长线上两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：四边形APFE 是正方形，理由如下：解：在正方形ABCD 中，90AB AD B ADC ∠∠===︒，，∴90B ADE BAD ∠=∠=∠=︒，∵DE BP =，∴()SAS ABP ADE ≌，∴AP AE BAP DAE =∠=∠，，∵90BAD BAP PAD ∠=∠+∠=︒，∴90PAE DAE PAD ∠=∠+∠=︒，又∵四边形APFE 是平行四边形，∴四边形APFE 是正方形；（2）解：如图所示，作FH CD ⊥，垂足为H ，∵四边形APFE 是正方形，∴90AE EF AEF =∠=︒，，∵9090AED MEF EFH MEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴AED EFH ∠=∠，∵90ADE EHF ∠=∠=︒，∴()AAS ADE EHF ≌，∴ED FH BP ==，又DE BP =，∴FH BP =，∵点P 是BC 中点，∴122PB BC ==，∴2FH =，∴点F 到CD 距离为2；（3）解：①点P 在线段BC 上，∵2CP =，∴2BP =，∴22220AP AB BP =+=，由（2）可得2FH DE ==，ADE EHF ≌，∴4EH AD ==，设MH x =，则4EM x =+，由勾股定理得22222MF HM HF ME EF =+=-，∴()22222420x x +=+-，解得1x =，∴24411CM CD DE EH HM =+--=+--=；②点P 在BC 延长线上，如图所示，作FH DE ⊥，垂足为H ，同理可得22252AP AB BP =+=，同理可证明ADE EHF ≌，∴4264HF DE BP EH AD ===+===，，设MH m =，则4EM m =+，由勾股定理得22222MF HM HF ME EF =+=-，∴()2226452m m +=+-，解得9m =，∴3CM HM CD DE =--=；综上所述，CM 得长为1或3．【变式5-3】（23-24八年级下·四川广安·期中）问题情境：如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，90，∠=︒⊥AEB BF BE ，且BF BE =，延长AE 交CF 于点G ，连接DE ．猜想证明：（1）如图①，试判断四边形BEGF 的形状，并说明理由．（2）如图②，若DA DE =，请猜想线段CG 与GF 的数量关系，并加以证明．解决问题：（3）如图①，若159，==AB GF ，请直接写出DE 的长．【答案】（1）四边形BEGF 是正方形．理由见解析；（2）CG GF =，证明见解析；（3）317【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．（1）证明90∠=∠=∠=︒BEG EBF GFB 即可；（2）过点D 作DH AE ⊥于点H ，证明AEB DHA △≌△，结合ABE CBF △≌△，得到12GF CF =，得证；（3）过点D 作DM AE ⊥，垂足为M ，证明DAM ABE ≌，结合ABE CBF △≌△，得到===+DM AE CF FG CG ，设CG x =，则9===+DM AE CF x ，根据勾股定理，求得x 的值，再利用DE 222=+DM ME 计算即可．【详解】解：（1）四边形BEGF 是正方形．理由是：∵四边形ABCD 是正方形，∴90,ABC AB BC ∠=︒=，∴90BEG ∠=︒．∵BF BE ⊥，∴90EBF ∠=︒．∴ABE CBF ∠=∠，∵BE BF =，∴(SAS)ABE CBF △≌△，∴AEB CFB ∠=∠，90∠=∠=∠=︒BEG EBF GFB ，∴四边形BE FE '是矩形，又∵BE BF =，∴四边形BEGF 是正方形．（2）CG GF =．证明：如图，过点D 作DH AE ⊥于点H ，则90,1390∠=︒∠+∠=︒DHA ．DA DE = ，12AH AE ∴=，∵四边形ABCD 是正方形，,90∴=∠=︒AB DA DAB ，2190∴∠+∠=︒，23∴∠=∠，90AEB DHA ∠=∠=︒ ，AEB DHA ∴△≌△，AH BE ∴=，由（1）知四边形BEGF 是正方形，BE GF ∴=，∴=AH GF ，ABE CBF △≌△，AE CF ∴=，12∴=GF CF ，CG GF ∴=．（3）过点D 作DM AE ⊥，垂足为M ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，90,∴∠=︒=DAB DA AB ，90BAE DAM ∴∠+∠=︒，90ADM DAM ∠+∠=︒ ，BAE ADM ∴∠=∠，90DMA AEB ∠=∠=︒ ．()ADM BAE AAS ∴ ≌，,AM BE DM AE ∴==，根据（2），得到CBF ABE ≌，∴===+DM AE CF FG CF ，设CG x =，∵四边形BFGE 是正方形，9GF =，9∴===+DM AE CF x ，222AB AE BE =+ ，222(9)915∴++=x ，解得3,21==-x x （舍去），93912,1293∴===+=+==-=-=DM CF AE x ME AE AM ，22222123∴=+=+DE DM ME ，解得317DE =．考点六：中点四边形例6.（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG GH HE 、、，得到四边形EFGH （即四边形ABCD 的中点四边形）．(1)四边形EFGH 的形状是__________，证明你的结论．(2)如图2，请连接四边形ABCD 的对角线AC 与BD ，当AC 与BD 满足__________条件时，四边形EFGH 是正方形，证明你的结论．【答案】(1)平行四边形，证明见解析(2)互相垂直且相等（AC BD ⊥且AC BD =），证明见解析【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定，正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，正方形的判定是解题的关键．（1）如图1，连接BD ，由点E 、H 分别是AB AD 、中点，可得EH BD ∥，12EH BD =，同理，FG BD ∥，12FG BD =，则EH FG ∥，EH FG =，进而可证四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，连结AC BD 、，同理（1）可知，四边形EFGH 是平行四边形，由AC BD ⊥，可得EH HG ⊥，证明平行四边形EFGH 是矩形，由AC BD =，可得EH HG =，进而可证四边形EFGH 是正方形．【详解】（1）证明：四边形EFGH 是平行四边形，证明如下；如图1，连接BD ，点E 、H 分别是AB AD 、中点，∴EH BD ∥，12EH BD =，同理，FG BD ∥，12FG BD =，∴EH FG ∥，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：互相垂直且相等（AC BD ⊥且AC BD =），证明如下；如图2，连结AC BD 、，同理（1）可知，四边形EFGH 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴EH HG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形，∵AC BD =，∴EH HG =，∴四边形EFGH 是正方形．垂足为O ，顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ；再顺次连接四边形1111D C B A 各边的中点，得到四边形2222A B C D ，…如此下去得到四边形n n n n A B C D ．(1)判断四边形1111D C B A 的形状，并说明理由．(2)求四边形1111D C B A 的面积．(3)直接写出四边形n n n n A B C D 的面积（用含n 的式子表示）．【答案】(1)四边形1111D C B A 是矩形，理由见解析(2)12(3)1242n⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据中位线的性质可得11A D BD ∥，1112D A D B =，11B C BD ∥，1112B C BD =，11C D AC ∥，1112C D AC =，11A B AC ∥，1112A B AC =；即有1111A D B C ∥，1111A B C D ∥，证得四边形1111D C B A 是平行四边形，结合AC BD ⊥，问题得解；（2）由（1）得四边形1111D C B A 是矩形，1112A B AC =，11B C 是BCD △的中位线，可得1112B C BD =，从而得到113A B =，114B C =，再由矩形的面积公式计算，即可．（3）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，即可求解．【详解】（1）解：四边形1111D C B A 是矩形，理由如下：在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，∴1A 、1D 分别为AB AD 、的中点，∴11A D 是ABD △的中位线，∴11A D BD ∥，1112D A D B =，同理可得：11B C BD ∥，1112B C BD =，11C D AC ∥，1112C D AC =，11A B AC ∥，1112A B AC =；∴1111A D B C ∥，1111A B C D ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴1111A B A D ⊥，∴平行多边形1111D C B A 是矩形，（2）解：由（1）得四边形1111D C B A 是矩形，1112A B AC =，11B C 是BCD △的中位线，∴1112B C BD =．又∵6AC =，8BD =，∴113A B =，114B C =，。

七年级数学学霸试卷答案

一、选择题1. 下列数中，是质数的是（）A. 16B. 17C. 18D. 19答案：B解析：质数是指只有1和它本身两个因数的数。

选项B中的17只能被1和17整除，因此是质数。

2. 如果一个等腰三角形的底边长是10cm，腰长是8cm，那么这个三角形的周长是（）A. 24cmB. 26cmC. 28cmD. 30cm答案：C解析：等腰三角形的两腰相等，所以周长 = 底边长+ 2 × 腰长= 10cm + 2 ×8cm = 26cm。

3. 一个长方形的长是12cm，宽是6cm，它的面积是（）A. 72cm²B. 84cm²C. 96cm²D. 108cm²答案：A解析：长方形的面积 = 长× 宽= 12cm × 6cm = 72cm²。

4. 下列代数式中，表示两个数的和的式子是（）A. 3x - 5B. 4y + 2C. 5x + 3yD. 7x - 2y答案：C解析：两个数的和表示为第一个数加上第二个数，选项C中的5x + 3y符合这个条件。

5. 如果一个数的平方是36，那么这个数可能是（）A. 3B. -3C. 6D. -6答案：AB解析：一个数的平方是36，那么这个数可以是6或-6，因为6² = 36且(-6)² = 36。

二、填空题6. 3 + 5 × 2的值是（）答案：13解析：按照数学中的运算顺序，先乘除后加减，所以 3 + 5 × 2 = 3 + 10 = 13。

7. 一个数的倒数是1/4，这个数是（）答案：4解析：一个数的倒数是指与这个数相乘等于1的数，所以这个数是4，因为4 ×1/4 = 1。

8. 如果一个圆的半径增加了2cm，那么它的面积将增加（）答案：π × 4解析：圆的面积公式是A = πr²，半径增加2cm后，新的半径是r+2，所以新的面积是π(r+2)²。

七年级上册学霸数学答案

七年级上册学霸数学答案一、1. 一个正方形的边长是4厘米，它的面积是多少？答案：正方形的面积=边长的平方，即4厘米×4厘米=16平方厘米。

2. 一个长方形的长是6厘米，宽是4厘米，它的面积是多少？答案：长方形的面积=长×宽，即6厘米×4厘米=24平方厘米。

3. 一个圆的半径是3厘米，它的面积是多少？答案：圆的面积=π×半径的平方，即π×3厘米×3厘米=28.27平方厘米。

4. 一个正方体的边长是4厘米，它的体积是多少？答案：正方体的体积=边长的立方，即4厘米×4厘米×4厘米=64立方厘米。

5. 一个长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的体积是多少？答案：长方体的体积=长×宽×高，即6厘米×4厘米×2厘米=48立方厘米。

6. 一个圆柱的底面半径是3厘米，高是4厘米，它的体积是多少？答案：圆柱的体积=π×半径的平方×高，即π×3厘米×3厘米×4厘米=113.04立方厘米。

二、1. 小明买了一本书，原价是25元，打八折后，他应付多少钱？答案：25元×0.8=20元，小明应付20元。

2. 小红买了一台电脑，原价是3000元，打九折后，他应付多少钱？答案：3000元×0.9=2700元，小红应付2700元。

3. 小刚买了一台手机，原价是2000元，打六折后，他应付多少钱？答案：2000元×0.6=1200元，小刚应付1200元。

4. 小芳买了一台电视，原价是5000元，打五折后，他应付多少钱？答案：5000元×0.5=2500元，小芳应付2500元。

5. 小强买了一台洗衣机，原价是4000元，打七折后，他应付多少钱？答案：4000元×0.7=2800元，小强应付2800元。

中学生初三数学学霸试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 若a、b是方程x^2 - 3x + 2 = 0的两根，则a+b的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 在直角坐标系中，点A（-1，2）关于x轴的对称点为：A. （-1，-2）B. （1，-2）C. （-1，2）D. （1，2）3. 若sinα = 0.6，则cosα的值为：A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. -0.84. 下列函数中，y=kx+b（k≠0）为一次函数的是：A. y=x^2+1B. y=2x-3C. y=3x^2-5D. y=2x^3+45. 在等腰三角形ABC中，若AB=AC，且∠BAC=70°，则∠ABC的度数为：A. 35°B. 70°C. 85°D. 110°二、填空题（每题5分，共25分）6. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为______。

7. 在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数为______。

8. 已知sinα = 0.5，则cosα的值为______。

9. 若一次函数y=kx+b的图象过点（2，3），则k+b的值为______。

10. 在等边三角形ABC中，若AB=AC=BC，则∠BAC的度数为______。

三、解答题（共50分）11. （15分）已知一元二次方程x^2 - 4x - 12 = 0，求该方程的两个实数根。

12. （15分）在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于直线y=x的对称点为Q，求点Q的坐标。

13. （15分）已知函数y=-2x+3，求该函数的图象与x轴、y轴的交点坐标。

14. （15分）在△ABC中，若AB=AC，且∠BAC=100°，求∠ABC和∠ACB的度数。

四、附加题（共10分）15. （10分）已知函数y=2x^2-3x+1，求该函数的最小值。

答案：一、选择题1. B2. A3. A4. B5. C二、填空题6. 6或-27. 75°8. √3/29. 5 10. 60°三、解答题11. x1=6，x2=-212. Q（4，3）13. 交点坐标为（3/2，0）和（0，3）14. ∠ABC=40°，∠ACB=40°四、附加题15. 最小值为-1/2。

学霸数学初中提优大试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √16C. √25D. √-162. 已知a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 < b - 2C. a + 2 < b + 2D. a - 2 > b - 23. 下列方程中，一元二次方程是（）A. 2x + 3 = 5B. 3x^2 - 4x + 1 = 0C. 4x - 5 = 3x + 2D. 2x^2 + 5x - 3 = 04. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°5. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = 2x^2 + 3D. y = 2x - 3二、填空题（每题5分，共25分）6. 若a + b = 5，ab = 6，则a^2 + b^2的值为______。

7. 已知等差数列的前三项分别为1，3，5，则该数列的通项公式为______。

8. 二元一次方程组\[\begin{cases}x + y = 4 \\2x - y = 1\end{cases}\]的解为x =______，y =______。

9. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 60°，则sinC的值为______。

10. 若y = kx + b是直线l的解析式，其中k ≠ 0，则当x = 1时，y的值为______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：2x^2 - 4x + 2 = 0。

12. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求该数列的第10项。

13. 已知函数y = -3x^2 + 6x + 9，求该函数的最大值。

四、综合题（每题15分，共30分）14. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y = x的对称点为B，求点B的坐标。

第7章二次根式-2020年中考数学学霸专题训练营(原卷版)

第7章二次根式一、选择题1. 如4 的平方根是（）A . 2B . 16 C. ±2 D .±162. 设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（） A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和53. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则22(4)(11)a a -+- 化简后为A ． 7B ．－7C ． 2a －15D ．无法确定a 1050第2题图4. 4的算术平方根是（） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 16 5. 若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为（）A ．1B ．－1C ．7D ．－7 6. (-2)2的算术平方根是（）（A ）2 （B ） ±2 （C ）-2 （D ）27. 下列运算正确的是（）A.25=±5B.43-27=1C.18÷2=9D.24·32=6 8. 在实数0、3-、2、2-中，最小的是（）A ．2-B ．3-C ．0D ．2 9. 如果2(21)12a a -=-，则（）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥1210．下列各式中，正确的是（）A ．2(3)3-=-B ．233=-C 2(3)3±±D 233=±11.已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为（）A.9B.±3C.3D. 512. 计算75147-＋27之值为何？A ．53B ．33C ．311D ． 91113. 计算631254129⨯÷之值为何？ A ．123 B ．63 C ．33 D ．433 14. 8的立方根是（）A ．2B ．-2C ．3D ．415. 下列各式计算正确的是A =．2=C ．=．2=16. 下面计算正确的是（）A.3=3=235= D.2=-17. 4的平方根是 C (A)±16 (B)16 (C )±2 (D)218. 根式3-x 中x 的取值范围是（） A ．x≥3 B ．x≤3 C ．x ＜3 D ．x ＞319. 49的平方根为A ．7 B.-20．A ．3B ．－3C ．±3D ．21.A. ± C. ±3 D. 322. 计算221－631＋8的结果是（） A ．32－23 B ．5－2C ．5－3D ．22 23. 下列二次根式中，最简二次根式是（）．(A) 15； (B) 0.5； (C) 5； (D) 50 ． 24. 已知25523y x x =-+--，则2xy 的值为（） A ．15- B ．15 C ．152-D ． 15225. 4的值为 A.2 B.-2 C.±2 D.不存在26. 下列计算正确的是（） A 822-= B.2+3= 5 C.236⨯= D.824÷=27. 若二次根式12x +有意义,则x 的取值范围为( )A.x ≥12 B. x ≤12 C.x ≥12- D.x ≤12-二、填空题1. 已知a 、b 为两个连续的整数，且28a b <<，则a b += ． 2. 计算：28-=3. 当2x =时，2211x x x---=_____________． 4. 41x -x 的取值范围是．5. 已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(=0，那么x 2011-y 2011= ．6. 计算508)2-的结果是．7. （满分6分）先化简再计算：22121x x x x x x --⎛⎫÷- ⎪+⎝⎭，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根.8. 若二次根式1-x 有意义，则x 的取值范围是 9. 16的算术平方根是． 10．化简：20-5＝_____________．11. 若20121m =-，则54322011m m m --的值是． 12. 已知2263(5)36(3)m n m m n -+-=---，则m n -= ．13. 若1x 2-有意义，则x 的取值范围是．14.计算(21)(22)+-=_______________．12. 计算：82-＝ ▲ .16. 已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += 。

学霸七年级数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列数中，既是质数又是合数的是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知一个数的平方根是±3，那么这个数是（）A. 9B. 27C. 81D. 1443. 下列分式有意义的是（）A. 2/0B. 0/2C. 3/1D. 1/04. 一个长方形的长是10cm，宽是5cm，它的周长是（）A. 20cmB. 25cmC. 30cmD. 50cm5. 下列图形中，对称轴最多的是（）A. 正方形B. 矩形C. 等腰三角形D. 圆6. 已知一个数的倒数是1/2，那么这个数是（）A. 2B. 1/2C. 4D. 1/47. 下列方程中，解为x=3的是（）A. 2x+1=7B. 3x-1=7C. 2x-1=7D. 3x+1=78. 一个等腰三角形的底边长是8cm，腰长是10cm，它的周长是（）A. 18cmB. 24cmC. 28cmD. 30cm9. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）A. y=x^2B. y=x^3C. y=2x+1D. y=x^410. 下列数中，既是正整数又是正分数的是（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 1/4二、填空题（每题5分，共50分）1. 2的平方根是______，3的平方根是______。

2. 下列数的倒数是1/2的是______。

3. 一个圆的半径是r，它的周长是______。

4. 一个长方形的长是a，宽是b，它的面积是______。

5. 下列方程的解为x=2的是______。

6. 一个等边三角形的边长是a，它的周长是______。

7. 下列函数中，y是x的一次函数的是______。

8. 下列数中，既是正整数又是正分数的是______。

三、解答题（每题20分，共60分）1. （10分）已知一个数的平方根是±5，求这个数。

2. （10分）一个长方形的长是12cm，宽是6cm，求它的面积和周长。

3. （10分）已知一个等腰三角形的底边长是8cm，腰长是10cm，求它的周长和面积。

九年级数学学霸知识点总结

九年级数学学霸知识点总结数学学霸，这个词儿对很多九年级的学生而言，可能是一个令人嚣张的称号，而对其他同学来说，则是一个值得敬佩的目标。

不过，无论是哪种态度，无可否认的是，数学知识对于九年级的学生来说，至关重要。

下面将通过总结九年级数学学霸的知识点，帮助大家更好地掌握这些内容。

一、代数代数是数学中的一个重要分支，也是九年级数学的重要组成部分。

在代数中，我们将问题抽象为字母和符号的形式，以便更好地进行分析和计算。

在九年级的代数学习中，主要包括以下几个重要的知识点：1.一元一次方程与一元一次不等式：通过设未知数，并建立等式或不等式关系，进而解出未知数的值。

2.二元一次方程与二元一次不等式：与一元一次方程类似，只不过引入了两个未知数，需要解出这两个未知数的值。

3.函数与数列：函数是一种关系，它将一个数集中的每个元素映射到另一个数集中的唯一元素。

数列则是函数的一种特殊形式，它按照一定规律依次排列。

4.二次函数：二次函数是一个最常见的函数，其图像为抛物线。

在学习中，我们需要了解二次函数的定义、性质、图像以及相关的应用问题。

5.勾股定理与等腰三角形：这是几何中的重要内容。

勾股定理是三角形中最为著名的定理之一，它在解决直角三角形问题时起到了很大的帮助。

二、几何几何是数学学科中一个非常重要的领域，它涉及到空间和形状的研究。

在九年级的几何学习中，我们需要了解以下几个关键的知识点：1.平行线与相交线：平行线永远不会相交，而相交线则是互相交叉的。

我们需要了解平行线与相交线之间的关系，以及如何判断两条线是否平行。

2.三角形的性质：三角形是几何中的基本形状之一，它具有很多重要的性质。

比如，三角形的内角和为180度，等腰三角形的两个底角相等等。

3.多边形的研究：多边形是指具有多个边的形状，比如三角形、四边形等。

在九年级中，我们需要了解多边形的类型、性质以及相关的计算方法。

4.圆的研究：圆是一个非常特殊的形状，它具有很多独特的性质。

2024年陕西省西安市曲江第一中学九年级数学暑假作业专题7+垂线段最值

专题7 垂线段最值1.如图Rt△ABC，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，动点P在边AB上移动，则线段CP的最小值是_________________。

2.如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD=6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（）A.PE=6B.PE>6C.PE≤6D.PE≥63.如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF 取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A. 15°B.22.5°C.30°D.45°4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线，若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A.2.4B.4C.4.8D.55.如图，BD⊥CD，垂足为D，∠ABD=30°，∠A=90°，且AD=4，DC=6，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A.7.1B.6.5C.4.8D.3.26、如图，∠ADB=∠ABC=90°，∠DAB=∠BAC，BD=4，P为AC上一动点，则P的最小值为_________________。

7.在△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，E是AB边上的中点，且，点D是AB上一个动点，当CD取最小值时，∠DCE=___________。

8.如图，已知AM是△ABC的中线，点P是AC边上一动点，若△ABC的面积为10，AC=4，则MP 的最小值为_______。

9、如图，点A坐标为(-2，0)，点B在直线y=x-4上运动，当线段AB最短时，点B坐标为_____。

10.如图，菱形ABCD中，A8=2，∠D=120°，E是对角线AC上的任意一点，则的最小值为_________。

11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BD 平分△ABC，BC=3，点M为BC上一定点且BM=1，在BC上有一动点Q，在BD上有一动点P，则PM+PQ的最小值为_______.12，如图，∠A0B=45°，点M，N分别在射线OA、08上，MN=6，△OMN的面积为12，P 是直线MN上的动点，点P关于0A 对称的点为P1，点P关于0B对称的点为P2，当点P 在直线NM 上运动时，△OP1P2的面积最小值为____________。

初中数学学霸考试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -1/3D. √32. 下列函数中，一次函数是（）A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 1C. y = 3/xD. y = 2x + 4x3. 已知等腰三角形底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的周长是（）A. 14cmB. 18cmC. 22cmD. 24cm4. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴的对称点为（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）5. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √25D. √366. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则该方程的解是（）A. x = 2，x = 3B. x = 3，x = 2C. x = 4，x = 1D. x = 1，x = 47. 在等差数列中，已知第1项为2，公差为3，则第10项是（）A. 29B. 31C. 33D. 358. 已知一元一次方程2x - 3 = 5，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 在平行四边形ABCD中，若∠A = 60°，则∠B的度数是（）A. 60°B. 120°C. 180°D. 90°10. 已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的解为x1和x2，则该方程的判别式是（）A. b^2 - 4acB. b^2 + 4acC. -b^2 - 4acD. -b^2 + 4ac二、填空题（每题5分，共50分）1. 若|a| = 3，则a的值为_________。

2. 已知等腰三角形底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的周长是_________。

3. 在直角坐标系中，点P（-3，4）关于原点的对称点为_________。

4. 下列各数中，无理数是_________。

5. 已知一元二次方程x^2 - 6x + 9 = 0，则该方程的解是_________。

初中学霸创新题数学试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 已知函数f(x) = 2x + 3，若f(x + 1) = f(x) + 5，则x的取值范围是（）A. x ≥ 1B. x ≤ 1C. x ≥ -2D. x ≤ -22. 在直角坐标系中，点A（1，2）关于直线y = x的对称点是（）A.（2，1）B.（1，-2）C.（-2，1）D.（-2，-1）3. 已知a，b，c是等差数列，且a + b + c = 9，若a^2 + b^2 + c^2 = 27，则a的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 124. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1 + a2 + a3 = 9，若q^2 = 3，则a1的值为（）A. 1B. 3C. 9D. 275. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，∠C = 75°，若BC = 6，则AB的长度为（）A. 4√3B. 6√2C. 8D. 12二、填空题（每题5分，共25分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)的图像与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），则f(x)的图像的顶点坐标为______。

2. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠B = 40°，则∠A的度数为______。

3. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 + a2 + a3 = 9，则a4的值为______。

4. 在等比数列{an}中，若a1 = 2，公比为q，若q^2 = 3，则a3的值为______。

5. 在直角坐标系中，点P（3，4）关于原点的对称点为______。

三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x + 1) = f(x) + 2，求x的取值范围。

2. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠B = 30°，BC = 8，求AB的长度。

3. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 + a2 + a3 = 9，求a4的值。