一类Hasegawa-Mima方程周期解的存在性

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带扰动项的Hasegawa—Mima方程的H 2周期解的存在性

ａ（一Ａ）足ｕ＋ａＵ＋ａＵ一｛，ｕ一卢Ｕ３Ｕ～３ＵＡ）｛，ｙ）。Ｕ— ｆｘＹ，）（，￡（）１
的Ｈ。期解的存在性，周其初始条件和边界条件是
（，ｔ一０Ｙ，）一Ｕ（，，ｏ）ｕ（ｙ，）一ｕｘ＋ＬｌＹ，）一ｕ（Ｙ＋Ｌ２，ｘ，（，ｘ，，）ｕｘ，（Ｙ，）一ｕｘ，ｔ丁）（Ｙ，＋．（）２（）３（）４
其中ｆ（Ｙ，）外力项，关于时间ｔＴ周期的．文主要结果如下：ｘ，是且是本
定理１设 ‰ ∈ Ｈ。ｎ）ｆ∈ ＣＯＴ；。ｎ）（，Ｈ－（）００１＞，厂关于时（，（，Ｌ（）ｎ０Ｔ；２ｎ），＜＜，且
ａ（一Ａｕ）＋足ａＵ＋ａＵ一｛Ａ３Ｕ，ｕ）一Ｕ，ｙ３Ｕ）一。Ｕ一０，
其中ａ０卢＞０＞０｛，）代表Ｐｓｉｎ括弧＞，，，・・ｏｓｏ
｛ｇ一（）ａｇ）（）ａ厂）ｆ，）ａ厂（一ａｇ（，
ＡＩ
间ｔ是周期的，里是一△在周期边界条件下区域ｎ上的第一正特征值．这则对ＶＴ＞０问题（）（），１～４
存在周期解Ｕ∈ Ｌ。（ｏ丁；（）当足够大或者ｆ，。。Ｅ，］Ｈ。力），Ｕ足够小时，解是唯一的．该本文采用以下符号．ｍ为非负整数，设Ｐ＞１ｎ — Ｅ，，ｏＬ］×Ｅ，：．Ｗ（是通常的ＳｂｌｖｏＬ］ｎ）ｏｏｅ空

【国家自然科学基金】_周期解的存在性_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730

科研热词推荐指数周期解 39 正周期解 11 概周期解 10 存在性 9 重合度 7 时滞 7 无穷时滞 6 泛函微分方程 5 差分方程 5 脉冲 4 渐近概周期解 4 全局吸引性 4 逐段常变量 3 稳定性 3 渐近概周期序列 3 扩散 3 偏差变元 3 临界点 3 中立型微分方程 3 不动点定理 3 liapunov函数 3 高阶liénard型方程 2 非线性 2 锥不动点定理 2 重合度理论 2 脉冲效应 2 脉冲微分方程 2 神经网络 2 环绕定理 2 持续生存 2 抛物型方程 2 微分方程 2 延拓定理 2 叠合度 2 变时滞 2 反问题 2 反周期解 2 全局渐近稳定 2 中立型 2 不动点 2 rayleigh方程 2 lyapunov函数 2 lotka-volterra系统 2 leray-schauder不动点定理 2 高阶差分方程 1 高阶中立型泛函微分方程 1 食物-种群系统 1 非自治捕食-被捕食系统 1 重合度拓展理论 1 重合度. 1 遥远概周期函数 1 退化时滞微分方程 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
科研热词周期解重合度时滞正周期解稳定性存在性微分方程脉冲概周期解时滞微分方程拓扑度周期边值问题反馈控制不动点定理 hopf分支重合度理论时间周期解差分方程多解性临界点 lyapunov函数 duffing方程零航速阶段结构捕食系统逐段常变量神经网络特征方程特征值渐近概周期解正解无扭周期解收获率捕食者-食饵系统捕食与被捕食扩散平衡点局部渐近稳定吕卡提方程反周期解分歧分布时滞全局指数稳定性先验估计中立型微分方程中立型不动点理论不动点 lotka-volterra系统 logistic模型 kdv方程 hopf分岔 aubry-mather集

一类具有间断系数的周期Haseman边值问题

Ｄｏ在其右侧，如图２．
ｆ。＝、
１
．
。／
”Ｊｒ
；１
；
图２
Ｆｉｇ．２
要求一个在Ｓｏ内以。为跳跃曲线的分区全纯函数（），使在上（除上有限个点ｃｃ。：，
…
，
Ｃ。，并简记为Ｃ。，Ｃ， …，Ｃ外）满足边值条件：
路见可及Ａ．Ｍ．马而古谢维奇在系数属于Ｈ类的情况下研究了Ｈａｓｅｍａｎ边值问题，得到了可解条件．在［１］中还得到了解的封闭形式．［３］一［４］中用周期延拓的方法研究了周期Ｈｉｌｂｅａ和Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题．［５］研究了间断系数的Ｒｉｅｍａｎｎ边值问题．［６］＿［７］研究了相关逆问题．［８］＿［１Ｏ］在边值
外）满足边值条件：
（Ｏｌ（ｔ））＝Ｇ（ｔ）一（ｔ）＋ｇ（ｔ），ｔ ∈ Ｌ，ｔ ≠ｃ，（ｋ＝０， ±１， ± ２， …；＝１，２， …，１１，）．（１．１）
其中Ｇ（ｔ），ｇ（ｔ）对于上的结点（节点）ｃｃ娩， …，ｃｋ＝０， ±１， ±２， … 来说属于类（Ｃ坷一如＝ａｍ＇ｉＴ，＝１，２， …，凡；，Ｐ，ｍ为整数），Ｇ（ｔ） ≠０，Ｏ／（ｔ）为的正位移，Ｏｌ（ｔ）∈Ｈ，Ｏ／（ｔ） ≠０，且满足

一类具复杂偏差变元的微分方程的周期解存在性

［摘要］应用重合度理论研究了一类具复杂偏差变元的二阶Ｌｉ６ｎａｒｄ微分方程的周期解存在性问题，改进和推广了以往文献的相关结果．
［关键词］周期解；复杂偏差变元；Ｌｉ６ｎａｒｄ方程［中图分类号］Ｏ１７５．１４；Ｏ１７７．９１［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７２ — １４５４（２０１３）０５ — ００５５ — ０５
５６
大学数学
第２９卷
ｚｌｌ。 ≤Ｉｚ（）ｌ＋２一ｌｌｚ（ｓ）ｌｄｓ．
Ｊ０
（２）
记ｘ一｛ｚ ∈ＣＩ “ （，），ｚ（＋Ｔ）一ｚ（），ＶｔＥ｝，其范数为Ｉｌｚｌ：ｌ＝＝ｍａｘ｛＿ｌｌｌ。，ｌｌｚ，１ｌ。），其中ｌｌｘＩＩ。＝＝＝ｍａｘ ∈ ［。．『Ｉｚ（）Ｉ．类似地，令Ｙ一｛１ ∈Ｃ（Ｒ，），（￡＋Ｔ）一（），Ｖ￡ ∈ ），范数为ｌ［ｌ１０一ｍａ
第２９卷第５期
２０１３年１Ｏ月
大学数学
ＣｏＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖｏ１．２９。 №．５
Ｏｃｔ．２Ｏ１３
一
类具复杂偏差变元的微分方程的周期解存在性

无穷维KAM理论及在偏微分方程拟周期解的存在性中的应用

无穷维KAM理论及在偏微分方程拟周期解的存在性中的应用第一章,主要介绍了KAM理论的背景,意义,国内外研究现状及本文的主要工作。

第二章,考虑一类带有依赖于时间的无界扰动的Schrodinger算子其中P(φ)是关于φ∈Tn=Rn/2πZn的l次有限可微的算子值函数,对于任意的l≥100(3n+2τ+1),我们建立了针对于上述算子的KAM类型的约化理论,并基于此证明了带有无界临界扰动的Hamiltonian偏微分方程的拟周期解是线性稳定的。

第三章,考虑一类周期边条件下带有高阶非线性项的扰动的KdV方程通过寻找6阶部分Birkhoff示准型,并利用一个对Kappeler-Poschel[34]中处理无界非临界扰动的无穷维KAM定理加以修正得到的定理,证明了上述方程的2维不变环面及相应的拟周期解是大量存在的。

带扰动项的Hasegawa—Mima方程的H m(m≥3)解的存在性及解的正则性

在［］，１中作者已经证明了二维区域＝［Ｌ］×［Ｌ］０，０，２中带扰动项的Ｈｓｇｗ－Ｍｍａ方程的ａｅａａｉ
解的存在性．０（Ｍ—Ａ）＋ｕａＭ＋ｏｔＭ一｛，Ｍ一｛，ｙ） △ Ｍ＿，，）ＯＭ △ ）卢ＭＯＭ一＝厂ｙｔ，（（）１
（）记为日）（）（．日是（）的对偶空间，其
（）与（）是对偶．
本文考虑二维区域：［Ｌ］×［，中带扰动项的Ｈｓｇｗ－Ｍｉａ程的日（３解的存在０，０Ｌ］ａｅａａｍ方ｍ）
（）２（）３
其初始条件和边界条件是
Ｍ，，＝）ｏ，）（ｙｔ０＝Ｍ（Ｙ，Ｍ，，）＝Ｍ＋ｌＹｔ（ｙｔ（Ｌ，，）＝Ｍ，Ｌ，），（Ｙ＋２ｔ
收稿日期：２０ — ０１０７１—０
作者简介：彭雪（９２）男，州大学讲师、１８一，广硕士生，主要研究方向：偏微分方程。
解的存在性和高阶导数的先验估计来得到高阶解的存在性，并给出了解的正则性。
关键词：Ｈｓｇｗ－Ｍｉａ方程；正则性；高阶导数。ａｅａａｍ
中图分类号：０１２７
文献标识码：Ａ
文章编号：１７－４８２０）２０６ — ４６４００（０８０ — ０９０
本文采用以下符号．ｍ为非负整数，＞１，＝［。设Ｐ０，］×［］．０，间，范数为ｌｌ州．别地，Ｐ＝其ｌ特 “ｌ当２时，

一类非线性系统周期解的存在性

一类非线性系统周期解的存在性
本文旨在探讨一类非线性系统周期解的存在性。

非线性系统是由具有非线性特性的物理系统（如摩擦力），化学反应以及生物系统等构成的具有复杂动力学行为的物理系统。

由于其不可线性，因此它们具有解决复杂问题的特殊优势，且可以近似地模拟出实际问题的对应行为。

非线性系统具有周期解的存在性就是指：在某类非线性系统中，当其内部参数取一系列定义为特定值时，系统可能具有重复出现的解，这些解可以成为该系统的周期解。

这些周期的解可以提供巨大的优势，特别是在计算机模拟非线性系统过程中，对于系统的行为判定极其重要。

此外，为了确定一类非线性系统是否具有周期解，可以采用拉普拉斯变换来研究系统的稳定性。

拉普拉斯变换是用于描述非线性系统的稳定性的数学工具，通过计算拉普拉斯变换的幂级数可以检验该非线性系统内部参数是否具有周期性。

综上所述，从理论上讲，一类非线性系统具有周期解的存在性，可以使用拉普拉斯变换来判断其内部参数是否具有周期性，当参数为特定值时，非线性系统可能具有重复出现的解。

一类非线性系统具有周期解的存在性，可以提供更准确的模拟系统过程，并用于分析复杂问题的解决方案。

一类奇异扰动方程周期解存在性证明

Ｒｏｓａｉ，ｈｙｇｖｅａｌｄｇｏｔｉｘｌｎｔｎａｄｐｏｆｂｓｎｌｗ－ｐｏｉｇｌｒｔｓａｄｆｌｔｎｙｕｓｒｅｔｅｉｅａｄｔｉｅｍｅｒｅｐａａｉｎｒｏｙｕｉｇｂｏｕｆｓｎｕａｉｅｎｏｉｉｓｂｅｃｏｉａｏ
ｃｎｔｒｍａｉｏｄｓａｍａｎｔｃｉｅｓｅｅｎｆｌｓｉｅｈｎｑｕ．Ｗｉｈｈｅｒｒｓｌｃｎｉｒｔｒｌｔｏｈｉｂｔｅｓｎｇｌｒｃｃｅａｔｔｉｅｕｔｗｅｏｓｄｅｈｅｅａｉｎｓｐｅｗｅｎｉｕａｙｌｎｄｐｒｏｉｏｕｉｓ．ｅｉｄｃｓｌｔｏｎａＫｅｙｗｏｒ：Ｓｎｇｌｒｙｐｒｕｒｅｄｅａｉｎｓｄｓｉｕａｌｅｔｂｑｕｔｏ；ＥｑｌｂｒｕｐｉｔＰｅｏｄｃｓｌｔｏｕｉｉｉｍｏｎ；ｒｉｏｕｉｎｉ
Ｖｏ．５ＮＯ６１２．
ＮＯ．０１Ｖ２０
一
类奇异扰动方程周期解存在性证明
李晨松郝敦元。，
（内蒙古民族大学数学学院，内蒙古通辽
０８４；．２０３２内蒙古大学数学系，内蒙古呼和浩特
００２）１０１
●
一
正，故有最小值ｏ而占），，（在上恒负，有最小值＞，ｏ因而存在＞，０当＞时，上向量五）铝ｒ，）的ｏ在，（，指向）
（１
ｙ

一类非线性系统概周期解的存在唯一性及不稳定性

２定理的证明
２１定理１的证明．
文献标志码
Ａ
在文献［ — ３的基础上，１］本文研究了以下非线
性系统
１主要结果
我们约定记号如下（）一个连续的概周期函数简称为ａＰ函数。１．．
（）＝Ａ（）＿ｔｇｔｔｘ＋厂）（，（）
（）１
，＾、
ｅ（ｈｕ）ｕ≤ｆｘ（（一），￡）ｘ』（＋ｄ）ｌｐ一ｓ）（ ≥ｓ，Ｐｅ
、Ｊｓ
∑ ∑ ｌ。
对于方程（）假定以下３个条件成立１，（）Ａ（）一个ｎ阶的ａＰ函数矩阵；（，１ｔ是．．ｇｔ）关于ｔ对 ∈Ｔ这里是Ｒ（中的任意一个紧集）是
一
其中Ｏ，是不依赖于的正常数。／
２１００年１月１１８日收到
陕西省教育厅２００９年度科学研究计划项目（目号：９Ｋ０）助项０Ｊ７８资
致概周期的。
（）ｎ２（）｛（卜
，
第一作者简介：新奇（９３）男，南洛阳人，安文理学院学王１６一，河两报编辑部副主编，教授，士。研究方向：力系统。Ｅｍａ：ｓ－副硕动 — ｉｃｄｌ
引理
设ｈ（）是一个ａ．函数，ｔ．Ｐ若
（） ∈ 取其范数为ｌ＝∑ 小对３对于Ｒ，Ｉｘ
于矩阵Ａ（）＝（ｔ）；范数为ｌ（）＝ｔａ（） … 其ｌｔＩＡＩ

一类二阶hamilton系统周期解的存在性结论

一类二阶hamilton系统周期解的存在性结论一类二阶Hamiltos系统是一科学研究的重要领域，其在物理、化学、生物、地球物理等多个领域具有广泛的应用。

它的研究重点在于推导出Hamilton系统的周期解。

近几十年，科学家们利用多种理论与方法，论证出一类二阶Hamiltos系统的周期解的存在性结论。

传统上，一类二阶Hamiltos系统论证过程分三步：给定方程中参数、变量的范围；利用数学分步法求解Hamilton系统的变量微分方程；通过对求解)(和微分方程步骤之间构造出利尔贝格等价恒定，并利用变量范围确定利尔贝格等式解集的完整性，从而论证出周期解存在性结论。

虽然这一方法完整存在，但其内容繁复，理论推导容易出现误差，很多时候无法获得满意的结果。

为了改进这种方法，一些科学家们从几何角度出发，提出了新的论证方法：利用反应力学把一类二阶Hamiltos系统表示为力学系统，并利用变量锥体分解方法，将问题转换为一系列的单个的三体问题，利用Moulton同步惯性理论推导出该三体系统的周期运行解。

接着，借助小步根，可以将三体系统的周期运行简化为状态线的运行过程，从而获得一类二阶Hamiltos系统的周期解的存在性结论。

此外，也有一些科学家利用拉格朗日方法证明了一类二阶Hamiltos系统周期解存在性结论。

在这种方法中，首先，用拉格朗日方法，将一类双摆系统的微分方程转化为Lagrange最优值问题，然后对对应的最优解进行Mather时间技术变换，在变换后的拉格朗日数的正确表达式上证明了一类二阶Hamiltos系统的周期解的存在性结论。

综上所述，已有许多关于一类二阶Hamiltos系统周期解存在性结论的结论，多种理论与方法均可对一类二阶Hamiltos系统论证其周期解存在性结论，从而为实际应用提供理论依据。

一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性

第42卷第2期东北师大学报(自然科学版)Vol.42No.22010年6月Journal of Northeast Normal University (Natural Science Edition )J une 2010[收稿日期]　2009208226[基金项目]　国家自然科学基金资助项目(60775047);湖南省教育科学基金资助项目(060D74).[作者简介]　陈志彬(1965—),男,硕士,副教授,主要从事泛函微分方程研究.[文章编号]100021832(2010)022*******一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性陈志彬1,2,黄立宏2(1.湖南工业大学理学院,湖南株洲412000;2.湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙410082)[摘　要]　运用分析方法,利用Krasnoselskii 不动点理论,对一类中立型泛函微分方程存在周期解进行了定性与定量的研究,获得了这一类泛函微分方程周期解存在性与唯一性的充分条件,推广了相关研究的主要结论.[关键词]　中立型;微分方程;周期解;存在性;唯一性;不动点理论[中图分类号]　O 19 [学科代码]　110・51 [文献标志码]　A0　引言中立型泛函微分方程在信号传输网络中具有广泛的应用背景,近年来,其周期解的存在性受到数学工作者的高度重视,取得了一系列的成果[128].文献[2]用锥不动点理论,研究了泛函微分方程x ′(t )=-a (t ,x (t ))x (t )+f (t ,x t )(1)周期解的存在性;文献[3]用重合度理论研究了泛函微分方程x ′(t )+ax ′(t -τ)=f (t ,x (t )),(2)在|a |≤1的条件下,存在周期解的问题.研究中立型泛函微分方程周期解的存在性方法,概括起来有:不动点理论、重合度理论和L yap unov 泛函的方法.然而,研究周期解唯一性的工作却较少.本文利用Krasnoselskii 不动点理论及分析的方法,讨论更一般形式的中立型泛函微分方程ddtx (t )+∑n i =1c ix (t -τi)=-a (t )g (x (t ))x (t )+f (t ,x (t -σ(t )))(3)周期解的存在性与唯一性.其中:σ∈C (R ,R );f ∈C ′(R ×R ,R );a ,g ∈C (R ,R +);a ,f ,σ关于t 是T 周期函数,τi >0(i =1,2,…,n )为常量.设函数g ,f 总满足下列条件:(A 1)存在正常数l 1,l 2和L ,使得l 1≤g (x )≤l 2及|f (t ,x 1)-f (t ,x 2)|≤L |x 1-x 2|成立.(A 2)存在非负有界函数ρ(x )∈C (R ,R +)及常数b ∈(0,1),对于任给u i ,v i ∈R (i =1,2),有不等式|u 1g (v 1)-u 2g (v 2)|≤|u 1-u 2|ρ(‖v 1-v 2‖)成立,其中a =1T∫Ta (t )d t ,ω=e Ta,b =∑ni =1|c i |<1.东北师大学报(自然科学版)第42卷(A 3)任意x 1,x 2∈C (R ,R ),有9f (t ,x )9x<0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))>0;或者是9f (t ,x )9x>0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))<0.1　预备知识为了方便,引入如下记号:‖x ‖2=∫T0|x (t )|2d t12,‖x ‖∞=max t ∈[0,T]|x (t )|,‖x ‖0=sup t ∈R|x (t )|,x =x (t )∈C ′(R ,R )|x (t +T )=x (t ),X T (M )=x (t )∈C ′(R ,R )|x (t )∈X ,‖x ‖0≤M .于是,集合X 是以‖x ‖0为范数的Bananch 空间.在函数集X T (M )上,显然有‖x ‖∞=‖x ‖0.引理1[9]　设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),∫T0x (t )d t =0,则如下不等式成立:(1)∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t 12;(2)max t ∈[0,T]|x (t )|≤T 12∫T|x ′(t )|2d t 12.引理2　设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),如果存在正常数d ,对于任意t ∈[0,T ]使得|x (t )|≤d ,则不等式∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t12+T d成立.证明　令X (t )=x (t )-1T∫T0x (t )d t ,由引理1得∫T0|X (t )|2d t12≤T2π∫T|X ′(t )|2d t12,(4)不等式(4)化为∫T0|x (t )|2d t12≤T24π2∫T0|x ′(t )|2d t +1T ∫T 0x (t )d t212≤T 2π∫T0|x ′(t )|2d t 12+1T∫T|x (t )|d t ≤T2π∫T|x ′d t |212+T d.引理3(Krasno selskii 不动点定理)　设K 是Banach 空间X 的有界凸闭集,映射F :K →K 和U :K→K 满足条件:(ⅰ)任意的u ,v ∈K ,有Fu +Uv ∈K;(ⅱ)F 在K 上是全连续的,U 在K 上是压缩的,则F +U 在K 上至少有一个不动点.引理4　设a (t ),p (t )为T 周期函数,对于微分方程x ′(t )=-a (t )x (t )+p (t ),如果∫T0a (τ)d τ>0,则有唯一的T 周期解x (t )=∫t+T texp∫s ta (τ)d τexp ∫Ta (τ)d τ-1p (s )d s.22第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性结论是显然的,略去证明.2　主要结论及证明设u (t )∈X T (M ),对于微分方程dd tx (t )+∑n i =1c iu (t -τi)=-a (t )g (u (t ))x (t )+f (t ,u (t -σ(t ))),(5)如果令y (t )=x (t )+∑ni =1c iu (t -τ1),则方程(5)化为d y (t )d t=-a (t )g (u (t ))y (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -σ(t ))),(6)由引理4知exp∫Ta (τ)g (u (t ))d τ≠1时,方程(6)有唯一的T 周期解y u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.其中W u (s ,t )=exp∫s ta (τ)g (u (τ))d τexp ∫Ta (τ)g (u (τ))d τ-1,　1ωl2-1≤W u (s ,t )≤ωl 2ωl 1-1.于是,方程(5)有唯一的T 周期解x (t )=y u (t )-∑ni =1c iu (t -τi).在X T (M )上定义两个映射U u (t )=-∑ni =1c iu (t -τi),F u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.(7)如果映射U +F 在X T (M )上有不动点x (t ),则x (t )为系统(3)的T 周期解.定理1　对于微分方程(3),在条件(A 2)被满足时,如果条件(A 4)1M‖f ‖0≤1-∑ni =1|c i |ωl 1-1Tωl2-l 2a∑ni =1|c i |成立,则微分方程存在T 周期解.证明　(ⅰ)X T (M )为有界凸闭集.任给x (t ),y (t )∈X T (M )及λ∈(0,1),我们得λx (t +T )+(1-λ)y (t +T )=λx (t )+(1-λ)y (t ),(8)‖λx (t +T )+(1+λ)y (t +T )‖0=‖λx (t )+(1+λ)y (t )‖0≤M ,(9)即X T (M )是凸的.如果函数列{x n (t )}ΑX T (M ),且lim n →0‖x n -x 0‖0=0,根据下列不等式‖x 0‖0≤‖x 0-x n ‖0+‖x n ‖0≤‖x 0-x n ‖0+M ,(10)|x 0(t +T )-x 0(t )|≤|x 0(t +T )-x n (t +T )|+|x n (t )-x 0(t )|+|x n (t +T )-x n (t )|≤2‖x n -x 0‖0,(11)我们可以得到‖x 0‖0≤M ,x 0(t +T )=x 0(t ),即x 0(t )∈X T (M ),于是X T (M )为闭集.其有界性是显然的.所以,综合以上的证明,X T (M )为有界凸闭集.(ⅱ)任意u ,v ∈X T (M ),我们可以证明32东北师大学报(自然科学版)第42卷F u +U v ∈X T (M ).(F u +U v )(t +T )=∫t+T+Tt+TW u (s ,t +T )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t +T -τi )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)=(F u +U v )(t ),(12)对于任意t ∈R ,存在整数n ,使得t =nT +t 1,且t 1∈[0,T ],由于a ,σ和f 都为T 周期函数,结合条件(A 4)可以得到不等式‖F u +U v ‖0M=1Msupt ∈R∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)≤ωl 2M (ωl2-1)sup t ∈[0,T]∫t+T t(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s+1Msupt ∈[0,T]∑ni =1c iv (t -τi)≤Tωl2M (ωl1-1)‖f ‖0+l 2Ma∑n i =1|c i |+∑ni =1|c i |≤1,(13)于是,由(12),(13)两式得F u +U v ∈X T (M ).(ⅲ)U u 是压缩的.因为对于任给u 1,u 2∈X T (M ),有下式成立:|U u 2-U u 1|=∑ni =1c iu 2(t -τi )-∑ni =1c iu 1(t -τ1)≤∑ni =1|c i |‖u 1-u 2‖=b ‖u 1-u 2‖.(14)(ⅳ)映射F u 是全连续的.下面分三步来证明,这里对于任意u ∈X T (M ).首先,F u 是连续的,令m =‖f ‖0+‖a ‖0M ‖ρ‖0∑ni =1|c i |,对于任给的u 1,u 2∈X T (M ),根据条件(A 2)可以得到|F u 1(t )-F u 2(t )|=∫t+T tWu 1(s ,t )(f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c i(g (u 1(s ))u 1(s -τi )-g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s+∫t+Tt(Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t ))(f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c 1g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s≤ωl 2ωl 1-1∫T|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|d s +T aρ(‖u 1-u 2‖∑n i =1|c i |‖u 1-u 2‖+m ∫t+Tt|Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|d s.(15)由于函数W u 和f 连续,于是当‖u 1-u 2‖→0时,一致的有|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|→0,|W u 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|→0.所以,当‖u 1-u 2‖0→0时,有‖F u 1(t )-F u 2(t )‖0→0,即F u 是连续的.其次,易证F X T (M )是一致有界的.最后,我们只要证明F u 是等度连续的即可.对于任意u ∈X T (M ),t ∈[0,T ],得到d F u (t )d t=-a (t )g (u (t ))F u (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -δ(t )))≤‖a ‖0l 2‖F u (t )‖0+M∑ni =1|c i |i+‖f ‖0(16)42第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性一致有界,于是,当|t 1-t 2|→0时,‖F u (t 1)-F u (t 2)‖0→0,即F u (t )是等度连续的.因此,F X T (M )在X 中是列紧集且F 为紧算子,结合F X T (M )在X 中是列紧集且F 为连续紧算子的结论,推得映射F 是全连续的.综合(ⅰ)—(ⅳ),并由引理3知:F +U 在X T (M )上存在不动点,即方程存在T 周期解.定理2　对于微分方程(3),在条件(A 1),(A 3)被满足时,如果条件(A 5)1T1-∑ni =1|c i |>L +1+12π‖ρ‖0‖a ‖0成立,则微分方程至多存在一个T 周期解.证明　设x 1(t ),x 2(t )是微分系统(3)的两个T 周期解,于是有d d t(x i (t )+∑n i =1c ix i(t -τi ))=-a (t )(g (x 1(t ))x i (t )+f (t ,x i (t -σ(t ))),i =1,2.(17)令y (t )=x 1(t )-x 2(t ),由(17)式得d d t(y (t )+∑n i =1c iy (t -τi))=-a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))+f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))).(18)对(18)式两边在[0,T ]上积分,可得∫T[a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))-f (t ,x 1(t -σ(t )))+f (t ,x 2(t -σ(t )))]d t =0.(19)根据(19)式可知,至少存在一点ξ∈[0,T ],使得a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))=0(20)成立.下面分两种情形讨论:(1)当y (ξ)y (ξ-σ(ξ))≠0时,将(18)式乘以y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))得[a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))]y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))=0.(21)由(21)式并结合条件(A 3)有y (ξ)y (ξ-σ(ξ))<0;又因为y (t )在R 上连续,则由介值定理可知,必存在一点η0∈[0,T ]且y (η0)=0.于是,对于任意t ∈[0,T ],则有下式成立:|y (t )|=|∫tη0y ′(s )d s |≤∫T|y ′(s )|d s ≤T ∫T|y ′(s )|2d s12=T ‖y ′‖2,(22)于是有‖y ‖∞=max t ∈[0,T]|y (t )|≤T ‖y ′‖2.根据引理2,并结合(22)式有‖y ‖2≤T2π∫T|y ′(t )|2d t 12+T ‖y ′‖2=1+12πT ‖y ′‖2.(23)由(18)式,并结合(22),(23)式得到‖y ′‖22=∫T|y ′(t )|2d t =-∫Ta (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))y ′(t )d t +∫Ty ′(t )(f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))))d t -∑ni =1c i∫Ty ′(t )y ′(t -τi)d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0∫T0|y (t )|2d t12∫T0|y ′(t )|2d t 12+L ∫T|y ′(t )y (t -σ(t ))|d t +∑ni =1|c i|∫T|y ′(t )y ′(t -τi)|d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0‖y ‖2‖y ′‖2+LT ‖y ′‖2‖y ‖∞+∑ni =1|c i |‖y ′‖22≤1+12π‖ρ‖0‖a ‖0T +L T +∑ni =1|c i |‖y ′‖22.在满足条件(A 5)时,由上不等式可以推得5262东北师大学报(自然科学版)第42卷‖y′‖2=‖y‖2=0.(2)当y(ξ)y(ξ-σ(ξ))=0时,可类似情形(1)的证明,故略去.综合以上的证明,得到x1(t)=x2(t),即方程至多存在一个T周期解.定理证毕.结合定理1和定理2,我们可以得到关于方程(3)存在唯一周期解的结论.推论1　对于微分方程(3),如果条件(A1)—(A5)被满足,则微分方程(3)在X T(M)上存在唯一的T周期解.[参　考　文　献][1]　L U S,GE W.On t he existence of periodic solution of neutral functional differential equation[J].Nonlinear Anal,TMA,2003,54:128521360.[2]　彭世国,朱思铭.无穷时滞泛函微分方程的正周期解.[J].数学年刊,2004,25(A):2852292.[3]　SELLA E.Periodic solution for some nonlinear differential equations of neutral type[J].Nonlinear Anal,1991,17(2):1392151.[4]　CH EN F.Positive periodic solution of neutral Lot ke2Volterra system wit h feedback control[J].Appl Mat h Comput,2005,162:127921302.[5]　宋来敏,周宗福.一类中立型泛函微分方程周期解的存在性[J].大学数学,2006,22(2):16221.[6]　杨喜陶.中立型泛函微分方程的周期解[J].系统科学与数学,2006,26(6):6842692.[7]　WAN G QI,DAI BINXIAN G.Three periodic solutions of nonlinear neutral functional differential equations[J].Nonlinear Anal,2008(9):9772[8]　李辉,王艺霏.具有功能性反应的时滞扩散模型的周期解与稳定性[J].东北师大学报:自然科学版,2008,40(2):22229.[9]　郭大钧,孙经先,刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M].济南:山东科技出版社,2006:1282130.Existence and uniqueness of periodic solutions for a classof f unctional neutral differential equationsCH EN Zhi2bin1,2,HUAN G Li2hong2(1.School of Science,Hunan University of Technology,Zhuzhou412000,China;2.College of Mat hematics and Econometrics,Hunan University,Changsha410082,China)Abstract:U sing t he analytical met hod,and utilizing Krasno selskii fixed point t heory,t his paper qualita2 tive and quantitative st udy t he existence of periodic solutions for a class of f unctional neut ral differenti2 al equations,and obtains some sufficient conditions of existence and uniqueness of periodic solution for t his class equations,and p romotes t he literat ure of t he main conclusions.K eyw ords:neut ral;differential equations;periodic solutions;existence;uniqueness;fixed point t heory(责任编辑:陶　理)。

一类非线性系统周期解的存在唯一性

师范学院本科生毕业论文论文题目: 一类非线性系统周期解的存在唯一性学院、年级：数学与信息科学学院2012级学科、专业：数学数学与应用数学完成日期：2016年5月20日曲靖师范学院教务处一类非线性系统周期解的存在唯一性摘要俄国的数学家Liapunov是微分方程运动稳定性理论的奠基人之一，他在《运动稳定性的一般问题》中给出了运动状态稳定性的严格数学定义，并且提出了两套分析方法：第一套方法常被称为直接法-V函数法，它的特征是不需要求解微分方程的通解或者特解，但是却需要找到一些具有特殊性的辅助函数V,并且用它来判断渐近稳定性.第二套分析方法是完全定性的，他在第二套分析方法中创造性地提出求解非线性系统中常微分方程的Liapunov函数法，也称之为直接法，它把解具有稳定性与具备特殊性质的函数(现在叫李雅普诺夫函数)的存在性紧密联系起来.Liapunov稳定性理论的应用范围正在日益扩大，所以对研究微分方程的解尤为重要.文章研究了一类四阶非线性系统，运用Liapunov函数方法，得到了该系统存在唯一渐近稳定的周期解的充分条件.这对今后类似的研究奠定了基础，具有十分重要的意义.关键词：非线性；周期解；微分方程Existence and Uniqueness of Periodic Solutionsfor a Class of Nonlinear SystemsAbstract:The Russian mathematician Liapunov is one of the founders of the theory of differential equation of motion stability, he has given the strict mathematical definition that Motion stability on the movement stability of the general issues,and two sets of analysis method is proposed: the first method is often referred to as direct method or function method, its characteristic is that don't need to solve the differential equation of the general or particular solution, but there is a special need to find some auxiliary function , and use it to judge asymptotic stability. The second set of analysis method is completely qualitative, he in the second set of analysis method is put forward creatively to solve the differential equation of nonlinear system in the Liapunov function method,also called the direct method, the stability of the solution is to have special properties function (now called lyapunov function) the existence of closely linked. The application scope of Liapunov stability theory is expanding increasingly, so the solution of differential equation is particularly important .In this paper, a class of four order nonlinear systems is studied. By suing the method of Liapunov function, a sufficient condition of the existence, uniqueness and asymptotic stability of the periodic solutions of this systems is obtained.Keywords:nonlinear, periodic solution，differential equation.目录1引言 (1)2文献综述 (1)2.1国内研究现状 (2)2.2国内研究现状评价 (2)2.3提出问题 (2)3.预备知识 (3)4.周期解的存在性 (3)5.周期解的渐近稳定性 (8)6结论 (13)6.1主要发现 (13)6.2启示 (13)6.3局限性 (13)6.4努力方向 (13)参考文献 (14)1引言随着社会的进步和科学技术的快速发展，非线性系统的实际应用也在不断地深入和扩大，它的许多相关理论也随之得到了很大的发展.实际生活中的许多模型都可以根据数学模型来进行描述，且有一种模型是根据微分方程的类型来描述的，而微分方程又属于非线性系统.在许多模型中，有一种特殊的模型，就是周期模型，在非线性系统中，把它描述为系统的周期解，自著名的法国数学家Poincare意识到周期解在非线性系统研究领域中的重要性以后，许多物理学家和数学家也慢慢开始关注非线性系统的周期解，他们想要研究这类重要而特殊的解为突破来弄明白一些未知微分方程的解的特殊性质，从而能够慢慢加深人们对生活中普遍存在的各式各样的生活现象的理解，而且一些理论依据在人们改造自然和利用自然的过程中扮演了重要角色.但是在系统自动控制理论，化学反应的研究，生物技术等研究领域还有许多问题没有得到解决.例如：非线性Logistic生态系统和Lotka-Volterra生态竞争系统.在1944年，Levinson充分应用微分方程的相关理论研究了无线电在传输时关于非线性振动问题，得出一些有关非线性微分系统周期解的存在性和唯一性问题，而且解决了一致有界解和蕴含周期解的存在性问题.二十世纪中期，微分方程几何理论得到广泛发展，大部分学者研究了平面振动问题，他们用的理论是Poincare-Bendixson极限环理论，很好地解决了关于初值问题在Lienard型和其它方程的周期解问题.周期解的存在性和渐近稳定性是非线性系统研究的一个重要领域，其形式和研究工具非常多. 对周期解相关问题的解决将有利于人们更好的研究自然界，服务全社会和改善生态系统，因此，非线性系统的周期解对今后类似的研究奠定了基础，具有十分重要的意义.2文献综述2.1国内研究现状从近几年的研究看，对于微分方程周期解的研究越来越多，微分方程是高等教育数学中的热点话题．因此，国内许多学者、专家从不同的角度，用不同的方法研究了各类微分方程的周期解．在查阅到的文献[1]- [16]中，蔺小林在文献[1]主要研究了一阶微分方程的周期解的存在性，并且得到两个充分性条件及两个充分必要条件；董彪，蒋自国，蒲志林在文献[2]中研究了一类四阶非线性微分方程的渐近稳定性；杨锦坤，孙保苍，叶启海在文献[3]中运用类比的方法构造Liapunov函数讨论了一类三阶非线性系统的稳定性；吴春雪，时宝在文献[4]建立了三阶非线性系统平凡解全局渐近稳定的条件；覃荣存，刘佳玉，冯春华在文献[5]中通过构造函数，及应用推广的卡丹公式和费拉里的一元四次方程求根公式研究了一类四阶中立型时滞微分方程的渐近稳定性；孙长军在文献[6]中研究了基于一阶线性广义反射函数的非线性微分方程及其周期解；韩宇健，李朝星在文献[7]中使用常微分方程中常数变易法讨论了周期解的表达式最后研究了一阶周期系数线性微分方程的周期解；董彪，何永春在文献[8]中研究了一类三阶中立型时滞微分方程的渐近稳定性；庄兴义在文献[9]中应用构造Liapunov函数的方法研究了一类四阶非线性微分方程的周期解的存在性；刘炳文在文献[10]中研究一类二阶非线性系统解的有界性时给出了该系统所有解有界的充分条件和充要条件；罗卫华，吕晓亚在文献[11]中研究了一类二阶微分方程解的振动性与渐近性时通过增加一个条件最后构成新方程解振动与渐近的一个充分条件；任景莉和葛渭高在文献[12]中研究了一类二阶泛函微分方程周期解的存在性；刘正荣，俞元洪在文献[13]中研究了一类积分微分方程的稳定性定理并且在此文中给出了一类积分，微分方程零解的稳定性；李永祥在文献[14]中把关于一、二阶方程周期解的单调迭代方法推广到n阶，最终得到一类高阶非线性常微分方程的周期解；陈爱利，王广瓦在文献[15]中研究了一类三阶非线性常微分方程零解的稳定性；贾建文在文献[16]中研究了一类三阶非线性系统全局稳定性的Liapunov函数构造.2.2国内研究现状评价通过查到的文献来看，研究者对微分方程的稳定性以及微分方程的周期解进行了多种模型的研究，在文献[1-16]中分别研究了各类微分方程的稳定性．文献中的一些理论知识过多，而实际例子较少，部分文献在理论与实例的结合上不够密切，阐述时不够全面．因此，需要对不同微分方程进行数值验证，系统的整理、归纳，使其理论与实践相结合，更加系统化．2.3提出问题非线性系统经常被学者们用来描述自然界中的一些现象，在非线性系统的定性理论中周期解的存在性及渐近稳定性问题是一个非常重要的研究课题，如今已有许多的文献；但是，还有许多问题没有得到解决，学者们仍有研究的空间.所以在文献基础上，文章运用Liapunov 方法，对一类四阶非线性系统周期解的存在性及渐近稳定性作进一步的研究，得到了该系统存在唯一渐近稳定的周期解的充分条件.3.预备知识在证明主要结果之前，有必要介绍一些结果引用的证明，为了方便叙述，我们考虑微分方程),(x t F dtdx =. （3）其中),(x t F ∈n n R R R C →⨯)(1, ()(),,F t x F t x ω+= (ω＞0 是周期).引理1[2] :假设存在一个Liapunov 函数 (),V t x 在下列区域连续可微:Ω()()0,0R I t E x R R ≤<+∞⨯≥>当R 无限大时，如果满足下列条件： (i) ()()(),a x V t x b x ≤≤,其中(),a r ()b r 连续，而且+∞=+∞→)(lim r a r 当r →∞ (ii) {}),()),(,(1lim 0)2(x t V x t hF x h t V hdt dVh -++=+→[]),()(),()(21x t V t x t V t c λλ+--≤. 当c 0>是一个常数， ()0 (1,2)i t i λ≥=是连续函数且满足⎰+∞∞→<v t v t c ds s v t 1),(),()( 1limλ and ⎰+≥+∞<1 20)( sup t t t ds s λ. 那么方程(3)的解是一致完全有界的. 引理2]3[：如果方程（3）的解一致有界且上界为M ，那么存在一个周期解()x t 周期是ω使得)(t x ≤M （)0),,[00≥+∞∈∀t t t .引理3]4[：如果方程（3）全局稳定且有一个有界解，那么（3）有一个唯一的，渐近稳定的周期解且周期为ω.4.周期解的存在性考虑下列系统'(,)x f t x = （1）其中(,)f t x 从n I R ⨯到n R 是连续的.我们通过()00,t x 到00(,,)x t t x 表示()1的解.定义4.1 ()1的解是最终有界的且界为B,如果存在B >0并且00(,)0T T t x =>使得()1的任意解00(,,)x t t x 00(,,)x t t x B < 所有0t t T >+以下给出的引理在我们的结果证明中将会扮演着重要角色.引理4.1 假设存在一个liapunov 函数(,)V t x 在0,t x k ≤<+∞>上连续可微，其中k 是无穷大的，并且它满足以下条件：()i 存在连续函数()()a ττ→∞→∞其中,:a b R R +→，使得 ()()(),a x V t x b x ≤≤ ,n t R x R +∈∈()ii 存在正的连续函数()i t λ使得()0(1,2)i t M i λ≤≤=并且0()i t dt M λ+∞≤<+∞⎰ (1,2)i =（2）并且(3.1)12(,)(,)()(,)(V t x aV t x t V t x t λλ≤-++其中0a >且是一个常量.则()1的解是最终有界的.证明：令()()00()x t x t x =是()3.1的任意解并且(,)U t x(,)U t x ≤≤（3）从条件()ii 我们得到(3.1)1211(,)(())(,)()22U t x a t U t x t λλ≤-++（4）因此0(,)exp(/2)exp(()/U t x M a t t ≤-- 0021exp(/2)exp(()/2)(()exp 2tt M a t t λδ+--⎰ 011((()))2t t a d ds λττ-⎰（5）从()2我们得到00021()11exp(/2)exp()()exp((()))222tt t t a t t M a d ds λδλττ---<+∞⎰⎰(,)U t x ≤和()()a r r →∞→∞，我们发现()1的解是最终有界的.现在我们在方程中()2使用引理4.1.我们在方程中()2上做一些假设.假设：()I ,,,,,,,x y x y x f f f g g g h h 是连续的对所有3(,,)x y z R ∈并且()x ϕ是连续可微的对所有x R ∈，(,,,,)p t x y z u 是连续的对所有()4,,,,,(,,0)0,(,0)0t x y z u R g x y h x ∈I⨯==.()II (,,)(,,)0,(,,)(,,)0,(,)0.x y x y x yf x y z zf x y z yg x y z zg x y z yh x y +≤+≤≤()III 存在正常数,,a b c 和e ，使得220abc a e c -->和0ab c ->并且(,,)a f x y z a ≤≤(,,)0)g x y z b b z z ≤≤≠(,)0)h x y c c y y ≤≤≠()0)x e e x x ϕ≤≤≠其中222222,,,-,0 1.A ab bc B a b a e c D abc a e c E ab abe bc δ=+=++=--=+<< ()(,,,)(,,,,),IV p t w y z u p t x y z u ω+=>0是周期，并且12(,,,,)()(p t x y z u p t p t ≤+其中0()0,()(1,2).i i p t p t dt i +∞≥<+∞=⎰ 例： ()2212sin cos (2sin )sin 22dx t t x t t dt =-++-++ 可以很明显地看出上述方程满足引理 4.2的三个条件.它的周期解存在且周期是2π.引理4.2 设上面的假设()()IV I -成立.则方程()2至少存在一个周期解.引理4.2的证明：方程()2等价于以下微分方程：''''(,,)(,,)()(,,,,)x y y z z uu f x y z u g x y z x p t x y z u ϕ⎧=⎪=⎪⎨=⎪⎪=---+⎩（6）考虑一个确定的Liapunov 函数如下： 2(,,,,)()()22D e V V t x y z u cx by az u ab c y c c==++++- +2222)())2e a z au ab c x a y az a++-++ 22()()22ae ab c ce ae u az y z ay x a c-++++++ 22()()22a c ce bc ae ex cy z ex cy z a c-++++++ 22()()22a c c ae ey cz u u az y a c++++++ 2222222()()22De D ex y z ex ey z u c a+++++++ 00(())((,))x yE e d B h x c d ϕξξξξξξ+-+-⎰⎰ 00((,,))((,,))x xA g x y b dB f x y a d ξξξξξξ+-+-⎰⎰ （7）从()III 我们知道V 是正定函数，存在两个正常数12K K 和使得2222222212()(,,,)()K x y z u V t x y u K x y z u +++≤≤+++ （8）现在沿着（6）的任意解((),(),(),())x t y t z t u t ，让τ=我们有 2(6)()()()V cDxy Be bD xz aD Ae xu Be bD y =++++++ 22()(,,)(bEyz bByu bB D z Bu f x y z Dxu Eyu +++-+-++ 2)(,,)()(,)()Au g x y z Dx Ey Bz h x y Dx Ey Au -++-++ ()()()(,,,,)x Dx Bz Au Dx Ey Bz Au p t x y z u ϕ-++++++ 000(,)+(,,)(,,)y x zx y B yh x d A yg x y d A zg x y d ξξξξξξξ++⎰⎰⎰ 00(,,)(,,)x zx y B yf x y d B zf x y d ξξξξξξ++⎰⎰ 从假设和,,Bb bD cE eD bB aE cA +=-=+我们有2(6)()()()V cDxy Be bD xz aD Ae xu cE eD y bEyz ≤+++++-+ 22()()(,,)()aE cA yu bB D z Bu f x y z Dx Ey Au u +++-+-++ (,,)()(,)()g x y z Dx Ey Bz h x y Dx Ey Au -++-++1()()()()x Dx Bz Au x y z u p t ϕτ-++++++ 222222()()p t x y z u ++++ 从条件()III 和D aA B =-,我们有22(6)2(((,)))((,))4eD DV x h x y cy h x y cy e e ≤-+-+- 222(((,,)))((,,)))4eD Dx g x y z bz g x y z bz e e ++-+- 2222(((,,)))((,,))4eD Dx f x y z a u f x y z a u e e-+-+- 22222(((,,)))+((,,))44eD eD E E x y g x y z bz g x y z bz eD eD ---+-- 22222(((,,)))+((,,))4eD E E y f x y z a u f x y z a u eD eD -+-- 22222((()))+(())24eD D B B y z x ex x ex D D ϕϕ--+-- 222232(())+(())44D A A DE u x ex x ex D D ϕϕ--+--（22222((,)))+(,))42D A A D u h x y cy h x y cy u D D -+---（（222212()()2()()r x y z u p t rp t x y z u ++++++++222222222222222()(//)44()22()eD A B D e eD D e A D D e x x y y A B eA D δδ++≤-+-+++ 222222222222223()()344()22()D E D E D e D eD e eD e eD Dz z u u DE D E δδ++-+-+++ 222212()()2()()r x y z u p t rp t x y z u ++++++++ 22222(1)(232)4Dex ey z u δ≤--+++ 222212()()2()()r x y z u p t rp t x y z u ++++++++34251(,,,,)()(,,,,)(K V t x y z u K p t V t x y z u K p t ≤-++其中223451(1)(1)2min ,,,242D e D K K K r K δδ⎧⎫--T===⎨⎬⎩⎭是正常数. 现在引理 4.1经常用来证明（6）的解((),(),(),())x t y t z t u t 是最终有界的，因为((),(),(),())x t y t z t u t 是（6）的任意解，所以（6）的解是最终有界的.则方程()2至少存在一个周期解，在引理4.1中将完成.例：()''11211()(),(),(),(),()6x t x t f t x t x t x t x t τττπ=+--- ()'2122,(),(),(),()cos f t x t x t x t x t t τττ+---+上述的412,()f f C R R ∈⨯而且1121(,,,,)f t x y y z 对于1z 而言可微，2122(,,,,)f t x y y z 对于2z 而言可微，并且两个函数都是周期为2π的关于t 的周期函数，12,f f 是有界的，且121211,,22f f z z ∂∂<<∂∂ 此时，当1212121,0,2(),3a b b c c d G G π======+ 上述1112122121max (,,,,),max (,,,,)G f t x y y z G f t x y y z ==. 很容易验证满足引理4.2的条件。

一类二阶非自治Hamilton系统的周期解

第31卷第6期2010年11月吉首大学学报(自然科学版)J our nal o f J i shou U ni ver s i t y(N at u r al Sci e nce Ed i t i on)文章编号：1007—2985(2010)06—0014—05V01．31N o．6N O V．2010一类二阶非自治H am i l t on系统的周期解何小飞，陈国平，谢景力(吉首大学数学与计算机科学学院。

湖南吉首416000)擒耍：在线性增长和次线性增长条件下，利用临界点理论中的极小作用原理和鞍点定理，研究了二阶非自治H am i l—t on系统周期解的存在性问题，获得了一些新的可解性条件．关t词：二阶非自治H am i l t on系统l极小作用原理；鞍点定理；次线性增长}线性增长l周期解中圈分类号：0175．12文献标志码：A1问题的提出考虑如下二阶非自治H a m i l t on系统：f拼(t)=vF(t，“(f))a．e．t∈[o，T]，…l“(0)一“(T)=．矗(0)一n(1’)=0．～l J 其中T>0，F：[o，T]×R N—R满足下列条件：(A)对V z∈RN．F(t，z)关于t可测l对a．e．t∈[o，T]，F(t，z)关于z连续可微，且存在a∈C(R+，R+)。

b∈L1([o，丁]i R+)，使得对V z∈RN和a．e．t∈[o．明，有I F(t，z)I≤口(1z I)6(f)，I V F(t，z) I≤口(I z I)6(f)．由文献[1]中讨论易知，寻求系统(1)的解等价于寻求泛函9在H}中的临界点．许多学者利用极小化原理研究了系统(1)周期解的存在性问题[x-s]。

他们给出了系统存在周期解的各种充分性条件．如强制性条件、周期性条件、凸性条件、次可加条件及次凸性条件．文献[8]利用极小作用原理考虑了F(t，z)=H(t，z)+ G(z)的情形，获得了当I V H(t，z)I≤七(t)I z7+r e(t)，l V G(x)一V G(y)I≤n z—Y I+r z且z Iqr l F(t，x)dt—+oo时解的存在性．笔者将利用极小化原理和鞍点定理进一步研究G是非自治的情形，J0即F(f，z)一H(￡，z)+G(f，z)．2定理及其证明定理1设F(t，z)=G(t，z)+H(t，z)，G和H均满足条件(A)且下列条件成立，则系统(1)在H}上至少有1个解极小化泛函9：r r1o(F1)存在rl(t)∈L2(o，T I R+)。

周期riccati型方程周期解的存在性

周期riccati型方程周期解的存在性，并附有网址2021年，科技正助力人类实现更多可能性。

有着重要意义的学科——系统和控制理论，旨在将及时和准确的控制原理应用在各种系统中。

该研究的主要内容是学习和理解方程的特性以及针对特定系统的解决方案。

其中，周期riccati型方程的存在性问题引起了广泛的关注。

什么是周期riccati型方程？周期riccati型方程指的是一个非线性耦合方程，其方程形式为：u'(t)=a(t)u^2(t)+b(t)u(t)+c(t)，其中a(t)，b(t)，c(t)均为正定有界函数。

方程以泊松方程形式出现，表示了在周期性变化的环境中，系统参数与输出之间的关系。

那么周期riccati型方程的存在性是什么？许多学者为了求解周期riccati型方程，考察了它的存在性。

周期riccati型方程的存在性问题是指当方程的动态参数变化时，它是否存在周期解的问题。

这说明，一旦变动动态参数，原有的解也可能发生变化，乃至不存在周期性解。

为了解周期riccati型方程的存在性问题，学者提出了各种求解方法。

Qiu和Wang[1]给出了基于Turing算法的求解方案，可用于求解非周期riccati型方程。

Denzer et al.[2]提出了一种新的算法来求解周期riccati型方程，通过两种标准函数进行建模，帮助确定潜在周期性解的存在性。

总之，周期riccati型方程的存在性是指一个具有周期参数变化的非线性耦合方程存在周期性解的能力问题。

它是系统与控制理论中一个重要的问题，学者为了解决它也提出了许多求解方法。

[1]Qiu, X. and Wang, G. (2006) Turing Algorithm Based on a Nonperiodic Riccati Equation. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 7, 811-815.[2]Denzer, R., Schindler, F., Siemers, B. and Weigold, E. (2008) Solvability of the Periodic Riccati Equation Using Two Standard Functions. The Journal of Physical Mathematics A, 49, 55-66.。

一类广义Li

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2019,32(3):699-708一类广义Li´e nard方程周期正解的存在性崔笑笑,程志波,姚绍文(河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000)摘要：本文证明一类广义Li´e nard方程周期正解的存在性及渐近稳定性.我们讨论的非自治函数可满足超线性条件,克服了连续定理讨论超线性条件的困难.文章的最后,我们给出两个例子和数值解以及对应的相图和时间序列图来验证我们的结论.关键词：广义Li´e nard方程;周期正解;渐近稳定性中图分类号：O175.12AMS(2000)主题分类：34C25文献标识码：A文章编号：1001-9847(2019)03-0699-101.引言Li´e nard方程[1]x′′+f(x)x′+g(x)=0(1.1)作为一个简化模型出现在科学和工程的许多领域,由于它可以用来模拟振荡电路或者简单的钟摆运动,在20世纪上半叶,人们对它进行了深入的研究.例如,Van der Pol振荡器x′′−µ(1−x2)x′+x=0就是一个Li´e nard方程.近些年,许多学者对Li´e nard方程的周期解做了大量的研究[5−12].例如:2005年,张荣森和任景莉在文[4]中讨论了Li´e nard方程(ϕp(x′(t)))′+f(t,x(t))x′(t)+β(t)g(x(t−τ(t)))=e(t)(1.2)的周期解的存在性,其中自治函数g(x)满足半线性条件lim |x|→+∞supg(x)x≤r.2009年,蒙华和龙飞在文[7]中研究了一类Li´e nard方程(ϕp(x′(t)))′+f(x(t))x′(t)+g(t,x(t))=e(t),(1.3)证明了方程(1.3)存在一个周期解.受文[4,7]的启发,本文我们考虑了一类广义Li´e nard方程(ϕp(x′(t)))′+f(t,x(t))x′(t)+g(t,x(t))=e(t),(1.4)其中ϕp(s)=|s|p−2s,p≥2是常数,f,g∈C(R×R,R)是关于第一个变量t的T-周期函数, e(t)∈C(R,R)是一个T-周期函数.利用Man´a sevich-Mawhin连续定理,我们给出了下面的结论.定理1.1假设下列条件成立:∗收稿日期：2018-08-29基金项目：国家自然科学基金(11501170),中国博士后基金(2016M590886)通迅作者：姚绍文,男,汉族,河南人,副教授,研究方向：常微分方程与动力系统.700应用数学2019(H1)存在正常数a和b,使得对一切(t,x)∈[0,T]×R,有0<|f(t,x)|≤a|x|p−2+b;(H2)存在正常数D,使得对一切(t,x)∈[0,T]×(D,+∞),有g(t,x)−e(t)<0,并且对一切(t,x)∈[0,T]×(−∞,0],有g(t,x)−e(t)>0.则方程(1.4)在下列一种条件下至少有一个T-周期正解,(I)p=2,且(a+b)T2<1；(II)p>2,且aT p−12p−1<1.注1.1本文与文[4]有很大的不同.方程(1.2)中自治函数g(x)满足半线性条件,而方程(1.4)中非自治函数g(t,x)仅仅只需要满足条件(H2),这也就是说,g可以满足次线性条件,半线性条件和超线性条件.因此本文的结论改进和扩展了文[4]的结论.注1.2与方程(1.3)相比,方程(1.4)中的摩擦系数由f(x)变为了f(t,x),摩擦项的积分∫Tf(t,x(t))x′(t)d t=0,在估计方程周期解的先验界时难度大大增加,所以文[7]中的方法不再适用,这就要求我们需要寻找其他方法克服这一困难.在这里还需要特别说明的是,当f(t,x(t))≡f(x(t))时,方程(1.4)转化成了方程(1.3),文[7]是本文的一个特例.作为定理1.1的应用,我们能得到下面的推论.推论1.1假设条件(H2)成立,方程(1.3)至少有一个T-周期正解.注1.3本文证明的是方程(1.4)周期正解的存在性,而文[4,7]中仅仅证明的是周期解的存在性,因此本文是对文[4,7]进一步的深入研究.随后,我们研究方程(1.1)周期解的全局渐近稳定性.设F(x)=∫xf(u)d u.定理1.2假设f(0)=0,g(0)=0成立,更进一步假设下列条件成立:(H3)存在正常数D1,D2,使得对一切x∈(−∞,−D1),有g(x)<0,并且对一切x∈(D2,+∞),有g(x)>0;(H4)存在正常数c和d,使得对一切x∈R,有|g(x)|≤c|x|+d;(H5)对一切x∈R,有g(x)≥x;(H6)对一切x∈R,有xF(x)>0.则如果cT24<1,方程(1.1)有唯一全局渐近稳定的周期解x∗(t)=0.2.主要结论首先考虑方程(1.4)的同伦方程(ϕp(x′(t)))′+λf(t,x(t))x′(t)+λg(t,x(t))=λe(t).(2.1)为了方便表示,我们定义∥x∥:=maxt∈[0,T]|x(t)|,∥x′∥:=maxt∈[0,T]|x′(t)|.利用Man´a sevich-Mawhin连续定理(文[14]中的定理3.1),我们得到了下面的引理.引理2.1假设存在常数E1,E2使得下列条件成立:(i)对于方程(2.1)的每一个解x(t)都有∥x∥<E1和∥x′∥<E2成立;(ii)对于方程∫T(g(t,C)−e(t))d t=0的每一个解C都满足|C|<E1;(iii)∫T0(g(t,−E1)−e(t))d t·∫T(g(t,E1)−e(t))d t<0.第3期崔笑笑等：一类广义Li´e nard 方程周期正解的存在性701则方程(1.4)至少有一个T -周期解.接下来,我们证明方程(1.4)至少有一个T -周期正解.对定理1.1的证明首先,我们断言方程(2.1)的所有可能的解都是有界的.令x (t )∈C 1T是方程(2.1)的任意一个T -周期解.我们断言存在ξ∈[0,T ],使得|x (ξ)|≤D.(2.2)事实上,因为∫T0x ′(t )d t =0,所以存在t 1,t 2∈(0,T ),使得x ′(t 1)≥0,x ′(t 2)≤0,则ϕp (x ′(t 1))=|x ′(t 1)|p −2x ′(t 1)≥0,ϕp (x ′(t 2))=|x ′(t 2)|p −2x ′(t 2)≤0.令t 3,t 4∈(0,T )分别是ϕp (x ′(t ))的极大值点,极小值点,则(ϕp (x ′(t 3)))′=(ϕp (x ′(t 4)))′=0,且ϕp (x ′(t 3))=|x ′(t 3)|p −2x ′(t 3)≥0,ϕp (x ′(t 4))=|x ′(t 4)|p −2x ′(t 4)≤0,那么x ′(t 3)≥0,x ′(t 4)≤0.把t 3代入方程(2.1)得(ϕp (x ′(t 3)))′+λf (t 3,x (t 3))x ′(t 3)+λg (t 3,x (t 3))=λe (t 3).(2.3)因为(ϕp (x ′(t 3)))′=0,方程(2.3)化为g (t 3,x (t 3))−e (t 3)=−f (t 3,x (t 3))x ′(t 3).(2.4)由条件(H 1)可知f (t,x )不变号,不妨设f (t 3,x (t 3))>0,又x ′(t 3)≥0,由方程(2.4),g (t 3,x (t 3))−e (t 3)≤0.由条件(H 2),我们可得x (t 3)>0.同理可得g (t 4,x (t 4))−e (t 4)=−f (t 4,x (t 4))x ′(t 4),g (t 4,x (t 4))−e (t 4)≥0,x (t 4)≤D.(2.5)(i)若x (t 3)∈(0,D ),令ξ=t 3,则|x (ξ)|<D .(ii)若x (t 3)∈[D,+∞),由方程(2.5)及x (t )关于t 的连续性,存在常数ξ且x (ξ)∈[x (t 4),x (t 3)],使得|x (ξ)|=D .这就证明了方程(2.2).接着我们有|x (t )|= x (ξ)+∫t ξx ′(s )d s≤D +∫t ξ|x ′(s )|d s,t ∈[ξ,ξ+T ],并且|x (t )|=|x (t −T )|=x (ξ)−∫ξt −Tx ′(s )d s ≤D +∫ξt −T |x ′(s )|d s,t ∈[ξ,ξ+T ].结合上面两个不等式,我们得到∥x ∥=max t ∈[0,T ]|x (t )|=max t ∈[ξ,ξ+T ]|x (t )|702应用数学2019≤maxt∈[ξ,ξ+T]{D+12(∫tξ|x′(s)|d s+∫ξt−T|x′(s)|d s)}≤D+12∫T|x′(t)|d t.(2.6)对方程(2.1)左右两边同时乘以x(t)并且在[0,T]上积分,我们得到∫T0(ϕp(x′(t)))′x(t)d t+λ∫Tf(t,x(t))x′(t)x(t)d t+λ∫Tg(t,x(t))x(t)d t=λ∫Te(t)x(t)d t.(2.7)由于∫T(ϕp(x′(t)))′x(t)d t=−∫T|x′(t)|p d t,将其代入方程(2.7)可得∫T|x′(t)|p d t=λ∫Tf(t,x(t))x′(t)x(t)d t+λ∫T(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t.(2.8)设G1:={x≤0,t∈R},G2:={0<x≤D,t∈R},G3:={x>D,t∈R},则方程(2.8)可化为∫T0|x′(t)|p d t=λ∫Tf(t,x(t))x′(t)x(t)d t+λ∫G1(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t+λ∫G2(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t+λ∫G3(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t.(2.9)由条件(H2),我们有∫G1(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t≤0,∫G3(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t<0,则方程(2.9)可化为∫T0|x′(t)|p d t≤λ∫Tf(t,x(t))x′(t)x(t)d t+λ∫G2(g(t,x(t))−e(t))x(t)d t≤∫T|f(t,x(t))||x′(t)||x(t)|d t+∫G2|g(t,x(t))||x(t)|d t+∫G2|e(t)||x(t)|d t ≤∫T(a|x|p−2+b)|x′(t)||x(t)|d t+DT∥g D∥+DT∥e∥≤(a∥x∥p−1+b∥x∥)∫T|x′(t)|d t+DT∥g D∥+DT∥e∥≤(a(D+12∫T|x′(t)|d t)p−1+b(D+12∫T|x′(t)|d t))∫T|x′(t)|d t +DT∥g D∥+DT∥e∥=a2p−1(1+2D∫T|x′(t)|d t)p−1(∫T|x′(t)|d t)p+b2(∫T|x′(t)|d t)2 +bD∫T|x′(t)|d t+DT∥g D∥+DT∥e∥,(2.10)其中∥e∥:=maxt∈[0,T]|e(t)|,∥g D∥:=max(t,x)∈[0,T]×(0,D]|g(t,x(t))|.下面介绍一个经典的不等式,存在只依赖于p的常数k(p)>0使得(1+x)p≤1+(1+p)x,x∈(0,k(p)).(2.11)接下来,我们考虑下面的两种情况.第3期崔笑笑等：一类广义Li´e nard 方程周期正解的存在性703情况一如果2D∫T 0|x ′(t )|d t <k (p ).利用不等式(2.11),方程(2.10)转化为∫T0|x ′(t )|p d t ≤a 2p −1(1+(1+p −1)2D ∫T 0|x ′(t )|d t )(∫T0|x ′(t )|d t )p +b2(∫T 0|x ′(t )|d t)2+bD ∫T|x ′(t )|d t +DT ∥g D ∥+DT ∥e ∥=a 2p −1(∫T|x ′(t )|d t )p +aDp 2p −2(∫T 0|x ′(t )|d t )p −1+b2(∫T 0|x ′(t )|d t)2+bD∫T|x ′(t )|d t +DT ∥g D ∥+DT ∥e ∥.(2.12)由H¨o lder 不等式可得∫T0|x ′(t )|d t ≤T1q(∫T|x ′(t )|p d t )1p,其中1p +1q=1.把上式代入方程(2.12),我们得到∫T 0|x ′(t )|p d t ≤a 2p −1T p q ∫T 0|x ′(t )|p d t +aDp 2p −2T p −1q (∫T 0|x ′(t )|p d t )p −1p+b2T 2q(∫T 0|x ′(t )|p d t )2p +bDT 1q (∫T|x ′(t )|p d t )1p +DT ∥g D ∥+DT ∥e ∥.(2.13)(I)若p =2,则q =2,把p =2,q =2代入方程(2.13)可得∫T|x ′(t )|p d t ≤aT 2∫T 0|x ′(t )|p d t +bT 2∫T 0|x ′(t )|p d t +2aDT 12(∫T 0|x ′(t )|p d t)12+bDT 12(∫T 0|x ′(t )|pd t )12+DT ∥g D ∥+DT ∥e ∥=(a +b )T 2∫T0|x ′(t )|p d t +2aDT 12(∫T|x ′(t )|p d t )12+bDT 12(∫T|x ′(t )|p d t)12+DT ∥g D ∥+DT ∥e ∥.从上式可以很容易地看出当(a +b )T2<1时,∫T|x ′(t )|p d t 有界,即存在常数M ′1,使得∫T|x ′(t )|p d t ≤M ′1.(2.14)(II)若p >2,则由方程(2.13)很容易地看出当aT pq2p −1=aT p (1−1p )2p −1=aT p −12p −1<1时,∫T 0|x ′(t )|pd t 有界,同(I),存在常数M ′1,使得∫T|x ′(t )|p d t ≤M ′1.由方程(2.6),H¨o lder 不等式及方程(2.14),我们有∥x ∥≤D +12∫T 0|x ′(t )|d t ≤D +12T 1q (∫T 0|x ′(t )|p d t )1p ≤D +12T 1q (M ′1)1p:=M 11.(2.15)情况二如果2D∫T 0|x ′(t )|d t ≥k (p ).那么有∫T|x ′(t )|d t ≤2Dk (p ).(2.16)704应用数学2019由方程(2.6)和方程(2.16)可得∥x∥≤D+12∫T|x′(t)|d t≤D+Dk(p):=M12.令M1=max{M11,M12},则∥x∥≤M1.(2.17)因为x(0)=x(T),所以存在一点t5∈(0,T)使得ϕp(x′(t5))=|x′(t5)|p−2x′(t5)=0,则我们可得|ϕp(x′(t))|=ϕp(x′(t5))+∫tt5(ϕp(x′(s)))′d s≤∫tt5|(ϕp(x′(s)))′|d s≤λ∫T|f(t,x(t))||x′(t)|d t+λ∫T|g(t,x(t))|d t+λ∫T|e(t)|d t≤∥f∥∫T|x′(t)|d t+∥g∥T+∥e∥T≤∥f∥T1q(M′1)1p+∥g∥T+∥e∥T:=M′2,(2.18)这里∥f∥:=max(t,x)∈[0,T]×(0,D]|f(t,x(t))|.接下来,我们证明存在M2>M′2+1,使得对一切t∈R,都有∥x′∥≤M2.(2.19)事实上,假设x′(t)无界,那么一定存在正常数M′′2,使得对某些x′(t)有∥x′∥>M′′2成立,那么我们有∥ϕp(x′)∥=∥x′∥p−1≥(M′′2)p−1,这与方程(2.18)矛盾,所以方程(2.19)成立.令E1>M1,E2>M2为常数,从方程(2.17)和方程(2.19)能得到对于方程(2.1)的每一个解x(t)都有∥x∥<E1,∥x′∥<E2.所以引理2.1的条件(i)成立.由条件(H2),对于方程∫T(g(t,C)−e(t))d t=0的每一个解C都满足|C|<E1.所以引理2.1的条件(ii)成立.从方程(2.15)我们知道E1>D,−E1<0.所以从条件(H2)我们能得到∫T0(g(t,−E1)−e(t))d t>0,∫T(g(t,E1)−e(t))d t<0.所以引理2.1的条件(iii)成立.假设x(t)是方程(1.4)的一个T-周期解,令¯t是x(t)在[0,T]上的最小值点,那么x′(¯t)=0,(2.20)并且我们能得到(ϕp(x′(¯t)))′≥0.(2.21)事实上,如果(ϕp(x′(¯t)))′<0,那么会存在ε>0使得对于t∈(¯t−ε,¯t+ε)有(ϕp(x′(t)))′<0,因此ϕp(x′(t))在t∈(¯t−ε,¯t+ε)上是严格递减的.由ϕp(x′(t))=|x′(t)|p−2x′(t),我们知道第3期崔笑笑等：一类广义Li´e nard方程周期正解的存在性705x′(t)在t∈(¯t−ε,¯t+ε)上也是严格递减的,这与¯t的定义矛盾,因此方程(2.21)成立.把方程(2.20)和方程(2.21)代入方程(1.4)可得g(¯t,x(¯t))−e(¯t)≤0.由条件(H2),有x(¯t)>0,因此对一切t∈R,有x(t)≥mint∈[0,T]x(t)=x(¯t)>0.这说明方程(1.4)至少有一个T-周期正解.3.周期解的渐近稳定性定义3.1如果x∗(t)是方程(1.1)的一个周期解,x(t)是方程(1.1)的任意一个解并且满足limt→+∞|x∗(t)−x(t)|=0,那我们称x∗(t)是全局渐进稳定的.对定理1.2的证明步1考虑方程(1.1)周期解的存在性.首先对方程(1.1)的同伦方程x′′(t)+λf(x(t))x′(t)+λg(x(t))=0(3.1)两边同时在[0,T]上积分并化简得∫Tg(x(t))d t=0.由积分中值定理,存在一点η∈(0,T)使得g(x(η))=0.由条件(H3)可知,−D1≤x(η)≤D2.令D∗=max{D1,D2},则|x(η)|≤D∗.由方程(2.6)可得∥x∥≤D∗+12∫T|x′(t)|d t.(3.2)对方程(3.1)左右两边同时乘以x(t)并且在[0,T]上积分并化简可得∫T0|x′(t)|2d t=λ∫Tg(x(t))x(t)d t≤∫T|g(x(t))||x(t)|d t.(3.3)由条件(H4),方程(3.3)化为∫T0|x′(t)|2d t≤∫T(c|x(t)|+d)|x(t)|d t=cT∥x∥2+dT∥x∥≤cT(D∗+12∫T|x′(t)|d t)2+dT(D∗+12∫T|x′(t)|d t)=cT4(∫T|x′(t)|d t)2+(cD∗T+12dT)∫T|x′(t)|d t+D∗T(cD∗+d)≤cT24∫T|x′(t)|2d t+(cD∗+12d)T32(∫T|x′(t)|2d t)12+D∗T(cD∗+d).706应用数学2019由于cT 24<1,我们能够检验存在一个正常数M ′1,使得∫T|x ′(t )|2d t ≤M ′′1.(3.4)由方程(3.2),H¨o lder 不等式及方程(3.4),我们有∥x (t )∥≤D ∗+12∫T 0|x ′(t )|d t ≤D ∗+12T 12(∫T 0|x ′(t )|2d t)12≤D ∗+12T 12(M ′′1)12:=M ∗1.余下对周期解x ∗(t )的存在性证明与定理1.1的证明过程类似,此处省略.步2考虑方程(1.1)的周期解x ∗(t )是全局渐近稳定的.方程(1.1)可转化为方程组{x ′1(t )=x 2(t )−F (x 1(t ))x ′2(t )=−g (x 1(t )),(3.5)其中F (x )=∫xf (u )d u.由f (0)=0,g (0)=0可知x ∗(t )=0是方程(1.1)唯一的周期解,即x ∗(t )=(0,0)T 是系统(3.5)唯一的周期解,设x (t )=(x 1(t ),x 2(t ))T 是系统(3.5)的任意一个解.对系统(3.5),我们选择形如下式的李雅普诺夫函数,V (x 1,x 2)=12(x 21+x 22),由条件(H 5)和(H 6),V (x 1,x 2)沿着系统(3.5)轨线的全导数为˙V (x 1,x 2)=x 1x ′1+x 2x ′2=x 1(x 2(t )−F (x 1(t )))−x 2g (x 1(t ))≤x 1x 2(t )−x 1F (x 1(t ))−x 1(t )x 2=−x 1F (x 1(t ))<0.由Barbalat 引理[16]可知,limt →+∞n ∑i =1|x i (t )|=0,即lim t →+∞|x (t )|=0.自此定理1.2得证.4.例子接下来,通过例子,相图和时间序列图来阐明我们的定理.例4.1考虑下面的二阶广义Li´e nard 方程x ′′(t )+(e −|x |sin(20t )+3)x ′(t )−2x 3(2−sin(20t ))+4=cos(20t ).(4.1)对比方程(4.1)和方程(1.4)可知,f (t,x (t ))=e −|x |sin(20t )+3,并且满足0<|f (t,x (t ))|=|e −|x |sin(20t )+3|≤4,即满足条件(H 1),其中a +b =4.g (t,x (t ))=−2x 3(2−sin(20t ))+4,e (t )=cos(20t ),T =π10.取D =2,可以得到当x ∈(D,+∞)时,g (t,x (t ))−e (t )<0,当x ∈(−∞,0]时,g (t,x (t ))−e (t )>0,即满足条件(H 2).接下来我们验证条件(a +b )T 2=4×π102≈0.6<1,第3期崔笑笑等：一类广义Li´e nard方程周期正解的存在性707图4.1π10-周期解对应的相图及时间序列图:(a)初始值为(1,0.103331)的π10-周期解的相图;(b)π10-周期解的时间序列图成立.因此,通过定理2.1可得方程(4.1)至少有一个π10-周期正解.例4.2考虑下面的p-Laplacian广义Li´e nard方程(ϕp(x′(t)))′+(x2(sin(6t)+1)+2)x′(t)−x3(cos(6t)+2)+2=cos(6t),(4.2)这里我们取p=4.对比方程(4.2)和方程(1.4)可知,f(t,x(t))=x2(sin(6t)+1)+2,并且满足0<|f(t,x(t))|=|x2(sin(6t)+1)+2|≤2x2+2,即满足条件(H1),其中a=2,b=2.g(t,x(t))=−x3(cos(6t)+2)+2,e(t)=cos(6t),T=π3.取D=2,可以得到当x∈(D,+∞)时,g(t,x(t))−e(t)<0,当x∈(−∞,0]时,g(t,x(t))−e(t)>0,即满足条件(H2).接下来我们验证条件aT p−1 2p−1=2×(π3)323≈0.3<1成立.因此,通过定理2.1可得方程(4.2)至少有一个π3-周期正解.图4.2π3-周期解对应的相图及时间序列图:(a)初始值为(1.0236,0.04985)的π3-周期解的相图;(b)π3-周期解的时间序列图708应用数学2019参考文献：[1]LI´ENARD A.Etude des oscillations entretenues[J].Rev.Gen.Elec.,1928,23:901-912.[2]LU Shiping,GE Weigao.Periodic solutions for a kind of Li´e nard equation with a deviating argumen-t[J].J.Math.Anal.Appl.,2004,289(1):231-243.[3]CHEUNG W S,REN Jingli.Periodic solutions for p-Laplacian Li´e nard equation with a deviatingargument[J].Nonlinear Anal.,2004,59(1-2):107-120.[4]CHEUNG W S,REN Jingli.On the existence of periodic solutions for p-Laplacian generalized Li´e nardequation[J].Nonlinear Anal.,2005,60(1):65-75.[5]POURNAKI M R,RAZANI A.On the existence of periodic solutions for a class of generalized forcedLi´e nard equations[J].Appl.Math.Lett.,2007,20(3):248-254.[6]DU Bo,ZHAO Xiangkui.A new method for the existence of periodic solution to a p-Laplacian Li´e nardequation[J]put.,2009,29(1-2):481-490.[7]MENG Hua,LONG Fei.Periodic solutions for a 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verify our conclusions.Key words:Generalized Li´e nard equation;Positive periodic solution;Asymptotic stability。

一类泛函微分方程周期正解的存在性

Existence of Positive Periodic Solutions for a Class of Functional Differential Equations 作者：杨红燕
作者机构：忻州师范学院专科部,山西忻州034000
出版物刊名：忻州师范学院学报
页码： 17-21页
年卷期： 2010年第5期
主题词：锥特征值全连续算子周期解
摘要：利用泛函微分方程来规划实际问题,更能准确的反映事物的本质属性。

泛函微分方程的周期解的存在性在许多领域中都有广泛的应用。

大多数学者考虑了不含参数的泛函微分方程,而带有参数的泛函微分方程周期解存在性的相关结果还很少。

文章主要利用全连续算子的特征值理论,得到带有多个参数的多时滞微分方程存在一个周期正解的充分条件,对时滞问题的解决提供了理论基础。

一方面丰富了泛函微分方程理论,另一方面也为生态学中许多问题的实际应用提供了必要的理论基础。

一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计

一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计郭志明【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2010(025)002【总页数】7页(P134-140)【关键词】时滞微分方程; 周期解; Morse理论; 非共振【作者】郭志明【作者单位】广州大学数学与信息科学学院广东广州 510006【正文语种】中文【中图分类】O176.3; O175.7得到上述微分差分方程以4r为周期的非常数周期解存在性的条件,并且给出其个数的下界.因此为研究含有时滞的微分系统周期解的存在性提供了一种新方法.考虑一阶时滞微分方程其中r＞0是常数,x∈R,g∈C1(R,R).本文的基本假设是(g)g是奇函数,并且当x→∞时,g′(x)的极限存在,记为g′(∞),其中g′(∞)是有限数. 对方程(1)周期解的研究可以追溯到Jones,Nussbaum及Kap lan和Yorke的工作.早在1962年, Jones就应用不动点理论对一个具体的方程周期解存在性给出了一些结果[1].在[2]中,Nussbaum利用喷射不动点方法研究了方程(1)的周期解,而Kap lan和Yorke在[3]中利用与之耦合的常微分方程方程组,得出了方程(1)的2π周期解的存在性.后来温立志,陈永劭,葛渭高等分别对该方程进行了研究[4-6]. 1998年,李继彬与何学中首次应用临界点理论研究方程(1)的周期解的存在性,相关文献可参阅[7-8]等.在[7-8]中,作者将方程(1)满足一定对称条件的周期解问题转化为一个相应的Ham ilton系统的周期解问题,进而应用临界点理论研究相应Ham ilton系统周期解的存在性.但是我们注意到,在一个特定的函数空间上,方程(1)是具有变分结构的微分系统.2005年,郭志明与庾建设[9]对方程(1)的周期解问题在一个特定的函数空间上直接建立变分框架,并应用伪指标理论得到了向量形式的方程(1)的周期解的多重性.2006年,Fei[10-11]应用指标理论对方程(1)作了更细致的讨论,得到了重要的研究成果.M orse理论是临界点理论的重要组成部分,它在研究具有变分结构的微分系统周期解存在性及其个数估计方面有着非常广泛的应用.而且一般说来,应用M orse理论得到的周期解含有更丰富的信息,如临界点的Morse指标或临界值的估计等.2000年,Abbondandolo在文[12]中介绍了一种新的无穷维空间M orse理论.一般说来,Hilbert空间上的强不定泛函,其临界点的M orse指标为无穷大.对于这类泛函无法直接应用经典的M orse理论,往往需要将所考虑的泛函约化到某个有限维空间上去讨论.Abbondandolo对Hilbert空间的子空间定义了一种相对维数,同时对泛函的临界点定义新的Morse指标,即E+-Morse指标.这样就可以直接在无穷维空间上应用其建立的M orse理论研究临界点的存在性及其个数.需要指出的是,这种相对M orse指标早在1995年与1997年,Fei与Qiu已经作了类似的研究[13-14].本文的目的就是利用变分方法与Abbondandolo介绍的E+-M orse理论来研究方程(1)的非常数4r周期解的存在性及其个数估计.为简单起见,取对一般情形可以通过一个时间变换将方程变为的情形.先对方程(1)建立适当的变分框架,将(1)的2π周期解转化为相应泛函的临界点,然后应用Abbondandolo的E+-M orse理论,研究方程(1)的非常数2π周期解的存在性及其个数.定义1.1 方程(1)的2π周期解x(t)称为非共振的,如果线性化方程的所有2π周期解组成的空间是由˙x(t)张成的.定义1.2 方程(1)称为在无穷远处是非共振的,如果线性方程不存在非零的2π周期解.定义1.3 记称τ(0)为方程(1)关于0的旋转数.同理1)称为方程(1)在无穷远处的旋转数.记n(2π)为方程(1)的2π非常数周期解的个数.定理1.1 假设函数g∈C1(R,R)满足条件(g),方程(1)的所有2π周期解是非共振的,并且方程(1)在无穷远处也是非共振的.则方程(1)的2π非常数周期解的个数n(2π)满足：其中[τ(∞)],[τ(0)]分别表示τ(∞),τ(0)的最大整数部分.注1 由假设(g),g(0)=0.从而x=0是方程(1)的2π周期解.如果方程(1)的所有2π周期解是非共振的,则简单计算可知,对于任意的正整数k,g′(0)=(−1)k(2k−1).类似地,如果方程(1)在无穷远处是非共振的,则对于任意的正整数k,g′(∞)=(−1)k(2k−1).从而可以得到如下推论.推论1.1 在定理1.1的假设下,当g′(0)＜g′(∞)时,方程(1)至少存在个非常数的2π周期解.当g′(∞)＜g′(0)时,方程(1)至少存在个非常数的2π周期解,其中#(A)表示集合A所含元素的个数,Z表示整数集.注2 在定理1.1中,方程(1)的所有2π周期解是非共振的这一假设条件是技术性的,该条件意味着方程(1)的2π周期解对应作用泛函的非退化临界点.应用退化临界点的Morse理论可以避免这一假设条件[15].由关于g的假设条件可知,泛函Φ的临界点对应于方程(1)的2π周期解.这样,我们就把寻求方程(1)的2π周期解转化为讨论(4)的临界点的存在性.下面概括Abbondandolo关于空间相对维数的一些概念及E+-M orse指标的有关结论而不加证明,详细讨论参见[12,16].设E为实的Hilbert空间,E正交分解为E=E+⊕E−,E+与E−均可以是E的无穷维子空间.定义2.1 E的两个闭子空间V,V′称为是可公度的(commensurable),如果商投影V′→E/V及V→E/V′都是紧的.可公度性是E的闭子空间上的等价关系.定义2.2 设V是E中与E−可公度的闭子空间.V的E+维数定义为由可公度性的定义,上述和式中两个被加项都是有限数.例如,如果Y是有限维的子空间且Y∩E−={0},则E+-dim(E−⊕Y)=dim Y≥0；如果Y是E−中有限余维的子空间,则E+-dim Y=−codimE−Y≤0.设F是定义在E上二次连续可微的泛函,d2F(u)表示F在u的二阶Frechet导数,则d2F(u)可以看作E上有界线性的自共轭算子.假设u是F的临界点,即F′(u)=0,如果d2F(u)是可逆的,则称u为F的非退化临界点.定义2.3 设u为F的非退化临界点,并且d2F(u)的最大负特征子空间V−与E−是可公度的,则u的E+-M orse指标(记作E+-m(u))定义为由于直接计算可得a0=0,a2k=b2k=0,k∈N.因此u可以表示为.令Ek=span{cos(2k−1)t,sin(2k−1)t},则记则E=E+⊕E−.考虑定义在E上的泛函Φ(见(4)).由于g∈C1(R,R),Φ在E上是二阶Frechet可微的,且对于任意的u∈E,∫包含在E中的所有2π周期解组成的空间是由张成的.定义2.5 方程(1)称为在无穷远处是E中非共振的,如果线性方程定义2.4 方程(1)的2π周期解x∈E称为在E中是非共振的,如果线性化方程在E中不存在非零的2π周期解.由定理1.1的假设条件,0是泛函Φ在E上的临界点,并且是非退化的.事实上,若∀ξ∈E,考虑E上的有界自共轭算子d2Φ(∞),d2Φ(∞)定义为若d2Φ(∞)最大负特征子空间为,则d2Φ(∞)在无穷远处的E+-M orse指标定义为的E+维数,即应用[16]中Theorem 5.2.1的证明方法,可得如下引理.引理2.1 假设函数g∈C1(R,R)满足条件(g),方程(1)的所有2π周期解在E中是非共振的,并且在无穷远处也是E中非共振的.则下面的Morse关系式成立其中W(λ),Q(λ)是具有非负系数的形式Laurent级数,并且设若wl＞0,则方程(1)存在wl个非常数的2π周期解.定理1.1的证明将引理2.1中的M orse关系式改写为设由于qj≥0,wj≥0,若bj＜0,则wj=qj−bj≥−bj＞0.记m(2π)为方程(1)在E中非常数2π周期解的个数.则下面我们计算B−.首先计算E+-m(0).令d2Φ(0)的最大负特征子空间记为考虑特征值问题:容易求得,由于方程(1)的所有2π周期解在E中是非共振的,故∀k=1,2,···,当g′(0)≥ 0时,并且当k≤[τ(0)]＜k＞[τ(0)]时,易知因此当g′(0)＜ 0时,k=1,2,···,并且当k＞−[τ(0)]时,＜0.k≤−[τ(0)]时,＞0.因此在E−中的正交补空间为从而同样,当g′(∞)＞0时,E+-m(∞)=2[τ(∞)]；当g′(∞)＜0时,E+-m(∞)=2[τ(∞)],其中, 现考虑Morse关系式(6).不妨设g′(∞)＞g′(0),g′(∞)≤g′(0)的情形可类似讨论.将M orse关系式改写为显然,B(λ)中,λ的奇次幂前的系数为−1,而偶次幂前的系数为+1.因此B(λ)中负系数的和B−为定理1.1证毕.推论1.1的证明当g′(0)＜g′(∞)时,τ(0)＜τ(∞),从而[τ(0)]≤[τ(∞)].根据定理1.1,方程(1)至少存在[τ(∞)]−[τ(0)]个2π周期解.不妨设[τ(0)]=j＜j+1＜···＜j+l=[τ(∞)].记A={k∈N|g′(0)＜4k−1＜g′(∞)}.我们将证明#(A)=l.事实上∀p=1,2,···,l, [τ(0)]＜j+p≤[τ(∞)].由于τ(0)与τ(∞)不能取整数,所以τ(0)＜j+p＜τ(∞).由τ(0)与τ(∞)的定义,g′(0)＜4(j+p)−1＜g′(∞).这说明,j+p∈A.因此,#(A)≥l.另一方面,∀k∈A,g′(0)＜4k−1＜g′(∞),即τ(0)＜k＜τ(∞).从而,[τ(0)]＜k≤[τ(∞)].即存在p=1,2,···,l,使得k=l+p.因此,#(A)≤l.当g′(0)＞g′(∞)时,可以类似地证明.推论1.1证毕.注3 在[3]中,Kap lan与Yorke研究了方程以4为周期解的存在性.他们假设f是奇函数,并且则当β或时,方程(10)至少存在一个4周期解.作时间变量变换并令则方程(10)变为令应用推论1.1的结论,我们有推论3.1 方程(10)存在m个以4为周期的周期解,其中显然,推论3.1推广了[3]的结论.A lower bound of the number of periodic solutions is also given.As aconsequence of this paper,a new m ethod is introduced for investigating the periodic solutions of delay diff erential equations.【相关文献】[1] Jones G J.The existence of periodic solutions of f′(x)=−af(x−1)[1+f(x)][J].J M ath Anal App l,1962,5:435-450.[2] Nussbaum R D.Periodic solutions of som e nonlinear autonom ous functional diff erential equations(II)[J].J Diff erential Equations,1973,14:368-394.[3] Kap lan J L,Yorke J A.O rdinary diff erentialequationswhich yield periodic solution of delay equations[J].JM ath Anal App l,1974,48:314-324.[4] Wen 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一类中立型随机偏微分方程概周期解的存在性和唯一性

一类中立型随机偏微分方程概周期解的存在性和唯一性蒲晓琴【摘要】最近,P.Bezandry和T.Diagana(P.Bezandry,T.Diagana.Appl.Anal.,2007,117:1-10.)引入了均值概周期的概念,研究了一类随机时滞演化方程,并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件.我们将应用不动点理论和分数幂算子方法,获得一类中立型随机偏微分方程在均方意义下的概周期解的存在性和唯一性的充分条件.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)005【总页数】6页(P659-664)【关键词】中立随机偏微分方程;均值概周期;分数幂算子;不动点【作者】蒲晓琴【作者单位】中国民航飞行学院计算机学院,四川广汉618307【正文语种】中文【中图分类】O175.13Bohr最先引了概周期函数的概念，随后，Bochner将这概念推广到Polish空间．近些年来，由于概周期微分方程在物理、化学和生物数学上的应用，许多学者研究了概周期微分方程概周期解存在性问题［1－17］．随机微分方程的动力行为也被许多人研究［8－20］．最近，P．Bezandry等［21－22］引入了均值概周期的概念，研究了一类随机时滞演化方程，并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件．应用不动点理论和分数幂算子方法，获得了一类中立型随机偏微分方程在均值概周期解的存在性和唯一性的充分条件．假设H和K为实可分的Hilbert空间，它们的范数分别记为‖·‖和‖·‖K．设(Ω，F，{Ft}t≥0，P)为完备概率空间．L2(K，H)为Hilbert－Schmidt算子，范数记为‖·‖2．Q为对称非负算子，Q∈L2(K，H)，并且Q的迹有限．W(t)(t∈R)为定义在(Ω，F，{Ft}t≥0，P)上的取值在K上的Q－Wiener过程［23］．L2(P，H)为强可测的，均方可积的H值随机变量的全体，显然，在范数‖X‖L2(P，H)=(E‖X‖2)1/2下为Banach空间，其中E为期望．设范数为研究如下一类中立型随机偏微分方程其中，A为Hilbert空间H上的一致指数稳定解析半群最小生成元，r≥0，f，g:R×H→H和σ:R×H→为连续函数．设A:D(A) H→H为定义在Hilbert空间H上的线性算子(T(t))t≥0的解析半群最小生成元，M和δ为正常数，满足‖T(t)‖≤Me－δt对任意t≥0．假设0∈ρ(A)，那么，可以定义分数幂算子Aα对0＜α＜1．它是一闭线性算子，并且定义域D(Aα)在H中稠密．Hα记为Banach空间D(Aα)，其范数为引理1．1［24］下列2个属性成立:(i)如果0＜β＜α≤1，那么Hα→Hβ并且当A的预解式为紧时，该嵌入是紧的; (ii)对0＜α≤1，存在Cα以致为了获得主要结果，介绍一些定义和引理．设(B，‖·‖)为一Banach空间．定义1．1 一连续随机过程X:R→L2(P;B)称为均值概周期的，如果对每一个ε＞0，存在l(ε)＞0以致任何区间长度l(ε)最少存在一数τ满足下列为一些均值概周期过程的属性．引理1．2［21］如果X属于AP(R;L2(P;B))，那么:(i)映射t→E‖X(t)‖2一致连续;(ii)存在常数N＞0满足E‖X(t)‖2≤N，对t∈R．引理1．3 如果X(·)∈AP(R;L2(P;B))，那么X(·－r)∈AP(R;L2(P;B))，其中r≥0为固定常数．证明和文献［25］中的相似，故省略．设CUB(R;L2(P;B))为连续有界随机过程X: R→L2(P;B)的集合，那么，容易证明在下列范数下CUB(R;L2(P;B))为Banach空间．引理1．4［21］ AP(R;L2(P;B)) CUB(R; L2(P;B))为闭子空间．由上可知，AP(R;L2(P;B))在范数‖·‖∞下是Banach空间．设(B1，‖·‖B1)和(B2，‖·‖B2)为Banach空间．定义1．2 称连续函数F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的，如果对任何ε＞0，存在l(ε，K)＞0以致对任何区间长度l(ε，K)最少存在一数τ，对任何随机过程Y:R→K满足引理1．5［21］设F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的．假设F是以下列方式Lipschitz的对所有Y，Z∈B1，t∈R成立，其中M＞0，那么对所有均值概周期过程Φ:R→L2(P;B1)，随机过程t→F(t，Φ(t))是均值概周期的．(1)式的温和解的定义如下［26］:定义1．3 随机过程x(t):［δ，δ+a)→L2(P; H)，a＞0，称为(1)式在［δ，δ+a)上的温和解，如果s→AT(t－s)f(s，x(s－r))在［δ，t)可积，δ＜t＜δ+ a，并且满足为了获得所需结果，假设:(H1)函数g(t，x):R×H→H关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．存在α∈(0，1)以致(－A)αf(t，x):R×H→Hα关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，(－A)αf，g是以下列方式 Lipschitz的:存在 Lf和Lg满足对所有x，y∈H和t∈R成立．(H2)函数σ(t，x):R×H→L02关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，σ是以下列方式Lipschitz的:存在Lσ满足对所有x，y∈H和t∈R成立．定理2．1 假设(H1)和(H2)成立，并且那么(1)式在R上存在唯一均值概周期解．证明设Γ:AP(R;L2(P;H))→C(R;L2(P; H))的定义为显然，Γx(·)是连续的．定义由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．由引理1．2，可知(－A)αf(t，x(t－r))有界．由引理1．1和Cauchy－Schwarz不等式可得由s→AT(t－s)f(s，x(s－r))是可积的在(－∞，t)对任何t∈R，故Γ定义是合适的．由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．同时有由上可知对每个t∈R成立，即I1x(t)均值概周期函数．下一步，证明当x是均值概周期函数I3x(t)和I4x(t)是均值概周期函数．该证明和文献［21］中的定理3．2相似，故省略．下一步证明I2x(t)是均值概周期函数．由引理1．3、引理1．5和(H1)可得，当x 是均值概周期函数，(－A)αf(t，x(t－r))是均值概周期函数．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．由引理1．1可得因此，应用Cauchy－Schwarz不等式可得由上可知对每个t∈R成立，即I2x(t)是均值概周期函数．由上可知，Γ是AP(R;L2(P;H))对自身的映射．下面证明Γ是压缩映射．显然由于可得首先，估计上式右边第一项现在估计第二项，由引理1．1、(H1)和Cauchy－Schwarz不等式可得现在估计第三项得现在估计最后一项，应用建立在文献［27］中命题1．9的It 积分估计得因此这说明Γ(·)是压缩的．故Γ(·)存在不动点x∈AP(R;L2(P;H))，即对所有t∈R成立．固定δ∈R可得那么然而，对t≥δ，因此，x(t)是(1)式的温和解．证明完毕．致谢中国民航飞行学院面上项目(J2013－39)对本文给予了资助，谨致谢意．【相关文献】［1］HERN NDEZ E，PELICER M．Asymptotically almost periodic and almost periodic solutions for partial neutral differential equations［J］．Appl Math Lett，2005，18:1265－1272．［2］HENR QUEZ H，V SQEZ C．Almost periodic solutions of abstract retarded functional －differential equations with unbounded delay［J］．Acta Appl Math，1999，57(2):105－132．［3］LIU B，TUNC C．Pseudo almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with a deviating argument［J］．J Appl Math Comput，2015，49:233－242．［4］ZHANG L，LI H．Weighted pseudo almost periodic solutions for differential equations with piecewise constant arguments［J］．Bull Aust Math Soc，2015，92:238－250．［5］AKDAD A，EZZINBI K，SOUDEN L．Pseudo almost periodic and automorphic mild solutions to nonautonomous neutral partial evolution equations［J］．Nonauton Dyn Syst，2015，2:12－30．［6］SADRATI A，ZERTITI A．Existence and uniqueness of positive almost periodic solutions for systems of nonlinear delay integral equations［J］．Electron J Diff Eqns，2015，116:12．［7］CAO J，HUANG Z．Existence and exponential stability of weighted pseudo almost periodic classical solutions of integro－differential equations with analytic semigroups ［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2015，23:241－256．［8］WANG W T．Positive pseudo almost periodic solutions for a class of differential iterative equations with biological background［J］．Appl Math Lett，2015，46:106－110．［9］HENRIQUEZ H，CUEVAS C，CAICEDO A．Almost periodic solutions of partial differential equations with delay［J］．Adv Difference Eqns，2015，2015:46－61．［10］WANG Q，LIU Z，LI Z，et al．Existence and global asymptotic stability of positive almost periodic solutions of a two－species competitive system［J］．Int J Biomath，2014，7:1450040．［11］ZHUANG R，YUAN R．Weighted pseudo almost periodic solutions of N－th order neutral differential equations with piecewise constant arguments［J］．Acta MathSin(Engl Ser)，2014，30:1259－1272．［12］MAQBUL M，BAHUGUANA D．Almost periodic solutions for Stepanov－almost periodic differential equations［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2014，22:251－264．［13］EZZINBI K，ZABSORE I．Pseudo almost periodic solutions of infinite class for some functional differential equations［J］．Appl Anal，2013，92:627－1642．［14］WANG L，SHI Y．Almost periodic solutions of abstract differential equation withimpulse and time delay in Banach space［J］．Int J Appl Math Stat，2013，43:379－386．［15］VRABEL I．Almost periodic solutions for nonlinear delay evolutions with nonlocal initial conditions［J］．J Evol Eqns，2013，13: 693－714．［16］DING H，LONG W，N’GU R KATA G．Existence of pseudo almost periodic solutions for a class of partial functional differential equations［J］．Electron J Diff Eqns，2013，104:14．［17］XU Y．Existence and uniqueness of almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with time－varying delays［J］．Electron J Qual Theory Differ Eqns，2012，80:9．［18］鲍杰，舒级．高阶广义2D Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(3):298－306．［19］付颖，李扬荣．无界域上带有可加白噪音的Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．西南大学学报(自然科学版)，2012，37(12):37－42．［20］杜先云，陈伟．具有可加噪声的耗散KdV型方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(5):651－655．［21］BEZANDRY P，DIAGANA T．Existence of almost periodic solutions to some stochastic differential equations［J］．Appl Anal，2007，117:1－10．［22］BEZANDRY P．Existence of almost periodic solutions to some functional integro－differential stochastic evolution equations［J］．Stat Probabil Lett，2008，78:2844－2849．［23］PRATO G，ZABCZYK J．Stochastic Equations in Infinite Dimensions ［M］．Cambridge:Cambridge Univ Press，1992．［24］PAZY A．Applied Methematical Sciences［M］．New York:Springer－Verlag，1983．［25］DING H，LIANG J，N’GU R KATA G．Pseudo almost periodicity of some nonautonomous evolution equations with delay［J］．Nonlinear Anal:TMA，2007，67:1412－1418．［26］LIU K．Stability of Infinite Dimensional Stochastic Differential Equations with Applications［M］．London:Chapman and Hall，2004．［27］ICHIKAWA A．Stability of semilinear stochastic evolution equations［J］．J Math Anal Appl，1982，90(1):12－44．。

一类脉冲微分方程组周期解的存在性

一类脉冲微分方程组周期解的存在性
李新宇
【期刊名称】《苏州大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1998(014)001
【摘要】本文利用压缩映象原理及Ｓｃｈａｅｆｅｒ定理处理了一类带有周期边值的脉冲周期方程组解的存在性问题，是Ｊ．Ｎｉｅｔｏ最近结果的推广。

【总页数】5页(P37-41)
【作者】李新宇
【作者单位】苏州大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类微分方程组正周期解的存在性 [J], 张炎彪;王丽华
2.一类微分方程组周期解的存在性 [J], 张东明
3.关于一类常微分方程组周期解的存在性定理 [J], 王少敏;冷天玖
4.二阶非自治脉冲微分方程组周期解的存在性 [J], 杜永强
5.具有零特征指数的一类奇摄动微分方程组周期解的存在性 [J], 倪明康
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