数列专题11

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高考数学二级结论快速解题：专题11 与等比数列相关的结论(解析版)

专题11与等比数列相关的结论一、结论已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S .(1)n mn m a a q(,m n N ).(2)若m n p q ,则m n p q a a a a (,,,m n p q N );反之,不一定成立.(3)123m a a a a ,122m m m a a a ,21223m m m a a a , 成等比数列(m N ).(4)公比1q 时,n S ,2n n S S ,32n n S S ,43n n S S 成等比数列(n N ).(5)若等比数列的项数为2n (n N ),公比为q ,奇数项之和为S 奇,偶数项之和为S 偶,则S q S 偶奇.(6){}n a ,{}n b 是等比数列,则{}n a ,1{}n a ,{}n n a b ,{}n na b 也是等比数列(0 ,n N ).(7)通项公式111n nn a a a qq q.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n 的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.(9)三个数成等比数列,通常设为x q ,x ,xq ;四个数成等比数列,通常设为3x q ,xq,xq ,3xq .二、典型例题1．（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）设等比数列 n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S ，则93:S S （）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:3【答案】C 【解析】解：因为数列 n a 为等比数列，则3S ，63S S ，96S S 成等比数列，设3S m ，则62m S ，则632mS S ，故633S S S 966312S S S S ，所以964m S S ，得到934S m ，所以9334S S .故选：C.【反思】公比1q 时,n S ,2n n S S ,32n n S S ,43n n S S 成等比数列(n N )，此结论可快速解题，解题时注意等比数列的正负性问题.2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】设这个等比数列 n a 共有 2k k N项，公比为q ，则奇数项之和为132185k S a a a 奇，偶数项之和为 2421321170n n S a a a q a a a qS 奇偶，170285S q S偶奇，等比数列 n a 的所有项之和为212212211708525512kkk a S，则22256k，解得4k ，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.【反思】利用结论若等比数列的项数为2n (n N ),公比为q ,奇数项之和为S 奇,偶数项之和为S 偶,则S q S 偶奇，可直接根据结论求出q ，进而求出其它量.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2022·广东潮阳·高二期末）等比数列 n a 的各项均为正数，且383 a a ，则3132310log log log a a a （）A ．5B ．10C ．4D ．32log 5【答案】A 【解析】【详解】由题有293847561103a a a a a a a a a a ，则531323103293847561103log log log log ()lo 3g a a a a a a a a a a a a a =5.故选：A2．（2021·江苏·高二专题练习）在等差数列 n a 中，若100a ，则有等式121219n n a a a a a a (19n 且N n )成立，类比上述性质，在等比数列 n b 中，若111b ，则有（）A ．121219n n b b b b b b L L (19n 且N n )B ．121221n n b b b b b b L L (21n <且N n)C ．121921n n b b b b b b (19n 且N n )D ．121122n n b b b b b b (21n <且N n )【答案】B 【详解】在等差数列 n a 中，若 ,,,N s t p q s t p q则s t p q a a a a ，若0m a ，则1222210n n m n m n a a a a ，所以121221n m n a a a a a a 成立，当10m 时，121219n n a a a a a a (19n 且N n )成立，在等比数列 n b 中，若 ,,,N s t p q s t p q则s t p q b b b b ，若1m b ，则1222211n n m n m n b b b b ，所以121221n m n b b b b b b 成立，当11m 时，12n b b b L ＝1221n b b b L (21n <且N n )成立，故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 n a 的前n 项和为n S ，若43S ，89S ，则16S 的值为（）A ．12B ．30C ．45D ．81【答案】C 【详解】显然公比不为-1，∵ n a 是等比数列，则4841281612,,,S S S S S S S 也成等比数列，483,9S S ∵，846S S ，12812S S ，则1221S ，161224S S ，则1645S .故选：C.4．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设n S 是等比数列 n a 的前n 项和，若423S S ，则64S S （）A ．2B ．73C ．310D ．12或【答案】B 【详解】设24,3S k S k ，由数列 n a 为等比数列(易知数列 n a 的公比1q )，得24264,,S S S S S 为等比数列又242,2S k S S k644S S k67,S k 647733S k S k故选：B ．5．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列 n a 中，11a ，132185k a a a ，24242k a a a ，则k （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【详解】设等比数列 n a 的公比为q ，则132112285k k a a a a a a q q ，即 2285184k q a a ，因为24242k a a a ，所以2q =，则 21123221112854212712k k k a a a a a ，即211282k ，解得3k ，故选：B.6．（2021·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C设等比数列项数为2n 项,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶，则85,170S S 奇偶,所以=2S q S偶奇，结合等比数列求和公式有：22122112==185112nn a q S q奇，解得n =4，即这个等比数列的项数为8.本题选择C 选项.7．（2022·上海·高考真题）已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A ．若20222021S S ，则数列{}n a 单调递增B ．若20222021T T ，则数列{}n a 单调递增C ．若数列{}n S 单调递增，则20222021a aD ．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a 【答案】D 【详解】A ：由20222021S S ，得20220a ，即202110a q，则1a 、q 取值同号，若100a q ，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；B ：由20222021T T ，得20221a ，即202111a q，则1a 、q 取值同号，若100a q ，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C ：若等比数列11a ，公比12q ，则11(122(1)1212nn nS ，所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a ，故C 错误；D ：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ，所以1n a ，即1q ，所以20222021a a ，故D 正确.故选：D8．（2021·全国·高二课时练习）已知n S 是等比数列 n a 的前n 项和，若存在*m N ，满足22519,1m m m m S a m S a m ，则数列 n a 的公比为（）A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】B 【详解】设数列 n a 的公比为q ，若1q ，则22mmS S ，与题中条件矛盾，故212122111115111.19,8.8,111mm mmm m m m mm m a q S a a q m qq q q q S a a q m a q q∵∵33,8,2m q q .故选：B 二、填空题9．（2021·全国·高三专题练习）设正项等比数列 n a 的前n 项和为n S ，132,14a S ，若n nnb a，则数列 n b 中最大的项为_____.【答案】12【详解】根据题意，设正项等比数列 n a 的公比为q ，其中0q ，因为132,14a S ，可得2322214S q q ，解得2q =或3q ，因为0q ，所以2q =，所以112n n n a a q ，则2n n n n n b a，故122121,222b b ，当2n 时，则由11112(1)112(1)212n n n n nb n n b n n ，则有1234b b b b ，所以数列 n b 中最大的项为12.故答案为：12.10．（2020·江西省都昌县第二中学高二阶段练习）已知等比数列 n a 的首项为1a ，公比为q ，其前n 项和为n S ，下列命题中正确的是______．（写出全部正确命题的序号）（1）若等比数列 n a 单调递增，则10a ，且1q ；（2）数列：23243,,n n n n n n S S S S S S ，……，也是等比数列；（3） *11,2n n S qS a n N n ；【答案】（3）【详解】解：对于（1），若等比数列 n a 单调递增，则 11110n n n a a a q q ，所以101a q 或1001a q，故（1）错误；对于（2），若1q ，n 为偶数，则20,0n n S S ，即20n n S S ，因为等比数列中的项不可能为0，故此时23243,,n n n n n n S S S S S S ，……，不是等比数列，故（2）错误；对于（3），当*,2n N n 时，123n nS a a a a1111n a q a a a 11n qS a ，故（3）正确.故答案为：（3）.三、解答题11．（2020·上海·高三专题练习）解答下列各题：（S 奇表示奇数项和，S 偶表示偶数项和）（1） n a 是等比数列，11a ，项数n 为偶数．S 奇＝85，S 偶＝170，求n ；（2） n a 是等差数列，共n 项，n 为奇数，77n S ，S 偶33 ，118 n a a ，求通项公式．【答案】（1）8；（2）323 n a n .【详解】（1） 2S q S偶奇，所以128517012nn S ，解得8n ；（2）S 奇＝n S S 偶＝44，12n a ＝S 奇－S 偶＝44－33＝11，即122 n a a ，由118 n a a ，可得120,2,7 n a a n ，∴220371d．所以通项公式为203(1)323n a n n ．.。

2023高考数学逆袭系列之微专题11 数列中的最值、范围及奇偶项问题

＝－12＋3×22（11－－22n－1）－(3n－9)×2n＋1
＝－24－(3n－12)×2n＋1，
故Tn＝(3n－12)×2n＋1＋24(n∈N*).设cn＝(3n－12)×2n＋1，显然当n≥4时，cn≥0，Tn≥24且单调递增. 而c1＝－36，c2＝－48，c3＝－48，故Tn的最小值为T2＝T3＝－24.
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核心归纳
此类问题以数列为载体，一般涉及数列的求和，考查不等式的恒成立问题，可转化为函数的最值问题.
索引
例 4 (2021·浙江卷)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝－94，且 4Sn＋1＝3Sn－ 9(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式；解因为4Sn＋1＝3Sn－9，所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9，两式相减可得 4an＋1＝3an，即aan＋n 1＝34. 当 n＝1 时，4S2＝4－94＋a2＝－247－9，解得 a2＝－2176，所以aa21＝43.
上篇板块二数列
微专题11 数列中的最值、范围及奇偶项问题
题型聚焦分类突破高分训练对接高考
1.数列中的最值、范围问题的常见类型有：(1)求数列和式的最值、范围；(2)满足数列的特定条件的n的最值与范围；(3)求数列不等式中参数的取值范围.
2.数列中的奇、偶项问题的常见题型 (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确奇偶项问题.
索引
训练 1 (2022·全国甲卷)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知2nSn＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列；证明由2nSn＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n，① 所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，② ②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，化简得an＋1－an＝1，所以数列{an}是公差为1的等差数列.

数列经典题目(竞赛专题)

n+1 n
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设和是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .

新高考数学一轮二轮复习专题-专题十一等差数列与等比数列(原卷版)-4月5月真题汇编

专题十一等差数列与等比数列一、单选题1．（2021·全国高三专题练习（理））设数列{}n a 满足13a =，26a =，()2*129n n na a n a +++=∈N ，（）A ．存在*n ∈N ，n a Q ∈B ．存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等差数列C ．存在*n ∈N，n a =D ．存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等比数列2．（2021·全国高三专题练习）已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（） A ．119B ．121C ．120D ．122二、多选题3．（2021·全国高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1114240,1n n n n a a a a a λλμ++++--==，则下列结论正确的是（）A ．若11,2λμ==，则{}n a 是等差数列 B ．若11,2λμ==，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1nn + C ．若12,2λμ==，则{}1n a +是等比数列 D ．若12,2λμ==，则122n n S n +=--第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、解答题4．（2021·全国高三专题练习（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22111224n n n n n n a a a a a a ----=++(2n ≥)，11a =.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和n S .（2）若141n n b S =-，试求数列{}n b 的前n 项和n T .5．（2021·浙江温州市·高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数．（1）求23,a a 及通项公式n a ；（2）记1n n n b a a +=+，求数列{}12n n b -⋅的前2n 项的和2n T ．6．（2021·全国高三专题练习（文））已知数列{}n a 对任意的*n N ∈都满足312233333nn a a a a n ++++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3413431log log n n n b a a -+=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .7．（2021·天津河西区·高三一模）已知数列{} n a 是等差数列，{} n b 是递增的等比数列，且11a =，12b =，222b a =，3331b a =-．（1）求数列{} n a 和{} n b 的通项公式；（2）若()()1211 n a n n n c b b +=--，求数列{} n c 的前n 项和n S ．8．（2021·浙江宁波市·高三专题练习）在①22n n nS +=；②112n n n a a a +-=-，77428S a ==；③11n n a n a n++=，36S =这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加解答.问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，___________，若2n nn a a b =，求数列{}n b 的前n 项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.9．（2021·全国高三专题练习）数列{}n a 的前n 项之和为n S ，11a =，11n n a pa +=+(p为常数)（1）当1p =时，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和；（2）当2p =时，求证数列{}1n a +是等比数列，并求n S .10．（2021·莆田第二十五中学高二期末）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =-，5434()b b b =-.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）221n n n c a b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .11．（2021·江苏高三专题练习）由整数构成的等差数列{}n a 满足31245,2a a a a ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式为2nn b =，将数列{}n a ，{}n b 的所有项按照“当n 为奇数时，n b 放在前面；当n 为偶数时、n a 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{}n c ，1b ，1a ，2a ，2b ，3b ，3a ，4a ，4b ，……，求数列{}n c 的前43n +项和43n T +.12．（2020·江苏南京市·南京师大附中高三月考）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足22(2)21nn n S a n S =≥-. （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设1n n b S =，()211n n n n b c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 13．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学）已知各项均为正数的等差数列{}n a 的首项为1，且满足235621a a a =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的通项公式为2(1)2n n a n n a b a a +=+，其前n 项和为{}n S ，证明1n S <.14．（2020·天津静海区·高三月考）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 和n S 满足：()()2411,2,3n n S a n =+=⋅⋅⋅．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=⋅，求{}n b 的前n 项和n T ；（3）在（2）的条件下，对任意*n ∈N ，23n mT >都成立，求整数m 的最大值． 15．（2020·江苏南通市·高三期中）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为1(,)d a Z d Z ∈∈，前n 项的和为n S ，且7549,2426S S =<<.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项的和为T n ，求T n .16．（2020·陕西西安市·长安一中高二期中（文））正项数列{}n a 满足：2(21)20n n a n a n ---=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（2021·山东高三专题练习）已知数列{}n a 中10a =，且1210n n a a ---=，()*2,n n N ≥∈.（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的n 项和n T .18．（2021·全国高三专题练习）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()()12123n n n a n S +-=+（1n =，2，3，…）．（1）证明：数列21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．19．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三期中（理））数列{}n a 中，12a =，()121n n n a a n++=.（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n b a n=-，数列{}12nn n b b +的前n 项和为n S .求证：1n S <. 20．（2021·全国）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*112n n a S n =+∈N ．（1）求n S ；（2）若21log 2n n n n b a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，若13181,,a a a a a -+成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n S ，求n S . 22．（2021·江西新余市·高二其他模拟（理））等比数列{}n a 中，12a =，且2，21a +，3a 成等差数列，（1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足122nb n a a a ⋅⋅⋅=，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nS ．23．（2020·湖南永州市·高三月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，*11()n n a S n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n a ，1b ，2b ，，n b ，1n a +组成一个2n +项的等差数列，记其公差为n d ，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020·天津滨海新区·高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项.（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 25．（2020·宁夏银川一中高三月考（理））已知数列{}n a 满足114a =，112n n n n a a a a ---=⋅（2n ≥，*n N ∈），0n a ≠ （1）证明数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭*()n N ∈为等比数列，求出{}n a 的通项公式；（2）数列{}n a 的前项和为n T ，求证：对任意*n N ∈，23n T <. 26．（2020·湖北武汉市·高二期末）已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，说明理由；并求{}n a 的通项公式．27．（2020·重庆高二月考）已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =，22n n S a =-，()211n n nb n b n n +-+=+()*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列. （3）若数列{}n c 的通项公式为,2,4n nn n n a b n c a b n 为奇数为偶数⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，令212n n n P c c -=+.n T 为{}n P 的前n 项的和，求n T .28．（2020·河北保定市·高碑店一中高一月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()112n n S a n N *+=∈（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设()()113log 1n n b S n N *+=-∈，令12231111nn n Tb b b b b b +=++⋅⋅⋅+，求n T . 29．（2021·湖北荆州市·沙市中学高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，{}n b 的通项公式为3411142,2,11n n b b a a S b ==-=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}221n n a b -的前n 项和()*n T n N∈．30．（2020·广东河源市·中山高级中学高二期中）已知等差数列{}n a 满足253,25a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 31．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二开学考试（理））已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+.（1）证明{1}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log (1)n n b a =+，n T 为数列{}·(1)n n b a +的前n 项和，求n T . 32．（2019·广东湛江市·高二期末（文））已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >，其前n 项和为n S ，且11S a +，33S a +，22S a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 33．（2020·苏州市相城区望亭中学高二月考）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且满足3655a a =，2716a a +=．数列{}n b 满足231222n b b a b =++1(*)2nn b n -++∈N ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设121n n n n n a a a c b +++=，求n c 取得最大值时n 的值．34．（2020·湖北荆州市·沙市中学高二期末）已知等差数列{a n }满足a 1+a 4+a 7＝0，a 3+a 6+a 9＝﹣18，前n 项和为S n ．（1）求S 9（2）记b n ＝|a n |，求数列{b n }的前9项和T 9．35．（2020·福清西山学校高三期中（文））数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且*23()n n S na n n N =+∈.（1）求证：{}n a 是等差数列；（2）若25,n a b ==，n T 是{}n b 的前n 项和，求n T .36．（2020·大同市煤矿第四中学校高三期中（理））已知数列{}n a 成等差数列，各项均为正数的数列{}n b 成等比数列，132,8b b ==，且2323a a b -=，3433a a b -=. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设2211log n n n c a b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .37．（2020·陕西西安市·西安中学高二月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,(1,2,3,)2n n a a S n +===．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()312log 3n n b a +=时，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 38．（2020·湖南长沙市·高二月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1n n S a n +=-，*n ∈N .（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知1n n n b a =+，若不等式922n nT m a ≥-+对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值.39．（2020·长沙市湖南师大第二附属中学有限公司高三月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为正项等比数列，且13a =，11b =，3212b S +=，5322a a b -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2(()n n nn S c b n 为奇数）为偶数⎧⎪=⎨⎪⎩，设{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .40．（2020·江苏省江阴市第一中学高二期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，*13 1 (N )n n S S n +-=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：31log n n b a +=，{}n b 的前n 项和为n T ，求12100111T T T +++的值.41．（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47a =，525S =，数列{}n b 满足113b =，113n n n b b n++=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．42．（2020·武威第六中学高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*32n n nS n N -=∈，正项等比数列{}n b 满足11b a =，56b a =. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 前n 项和n T . 四、填空题43．（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且364n n S a =-，若()*11,m k a a m k k N ⋅=≤<∈，则k 的取值集合是__________.44．（2020·桃江县第一中学高三期中）已知函数()1()1f x x -=+，数列{}n a 是正项等比数列，且10111a =，()()()()()32020202112f a f a f f a a f a +⋅⋅⋅++++=________.45．（2020·上海浦东新区·上外浦东附中高二月考）取出数列{},(4)n a n ≥的任意连续四项，若其中奇数项之和，偶数项之和均为同一个常数h （如连续四项1a ，2a ，3a ，4a ，满足1324a a a a h +=+=），则称数列{},(4)n a n ≥为错位等和数列，其中常数h 是公和.若n S 表示{}n a 的前n 项和，有如下命题：（1）若一个等差数列是错位等和数列，则1n a a =；（2）若一个等比数列是错位等和数列，则2n nh S =；（3）若12a a ≠，则错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列；（4）在错位等和数列{}n a 中，5h =，且201320146a a +=，若n 是偶数，则104,4210,4n k n k S k n k -=-⎧=⎨=⎩；其中，真命题的序号是________46．（2020·湖北省武昌实验中学高一月考）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S t <恒成立，则实数t 的最小值为________.47．（2020·四川攀枝花市·高三月考（文））正项等比数列{}n a 满足1354a a +=，且22a ，412a ，3a 成等差数列，设*1()n n nb a a n N +=∈，则12n b b b ⋅⋅取得最小值时的n 值为_________．48．（2020·安徽省太和第一中学高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =______．。

数列专题

数列专题一、单选题（共20小题）1. [容易] 已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．22. [容易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n3. [较易] 若等比数列{a n}的各项均为正数，a2＝3，4a32＝a1a7，则a5＝（）A．B．C．12 D．244. [较易] 3+33+35+…+32n+1＝（）A．（9n﹣1）B．（9n+1﹣1）C．（9n﹣1）D．（9n+1﹣1）5. [较易] 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a6+a7+a8＝（）A．63 B．45 C．39 D．276. [容易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．127. [较易] 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S4＝1，S8＝3，则a9+a10+a11+a12＝（）A．8 B．6 C．4 D．28. [容易] 等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．89. [较易] 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏10. [较易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．811. [容易] 已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）A．100 B．99 C．98 D．9712. [较易] 等比数列{a n}的各项都为正数，记{a n}的前n项和为S n，若S3＝1，S5﹣S2＝4，则a1＝（）A．B．C．D．13. [容易] 已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21 B．42 C．63 D．8414. [容易] 已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2 B．1 C．D．15. [容易] 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5 B．7 C．9 D．1116. [较易] 已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10 D．1217. [容易] 等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．18. [容易] 设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）A．31 B．32 C．63 D．6419. [较易] 已知{a n}是公差为3的等差数列．若a1，a2，a4成等比数列，则{a n}的前10项和S10＝（）A．165 B．138 C．60 D．3020. [较易] 已知数列{a n}是等差数列，且a9＝3，则a4+a8+2a12＝（）A．12 B．9 C．6 D．3二、填空题（共10小题）21. [较易] 记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝．22. [较易] 记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝，a42＝a6，则S5＝．23. [较易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝．24. [容易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝．25. [较易] 已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．26. [较易] 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝，S n的最小值为﹣．27. [较易] 记S n为数列{a n}的前n项和．若S n＝2a n+1，则S6＝﹣．28. [较易] 记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝0，a6+a7＝14，则S7＝．29. [较易] 设{a n}是等差数列，且a1＝3，a2+a5＝36，则{a n}的通项公式为﹣．30. [较易] 若等差数列{a n}的前5项的和为25，则a1+a5＝．三、解答题（共10小题）31. [较易] 已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．32. [较易] 记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．33. [较易] 设{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．34. [较易] 在等差数列{a n}中，已知a1+a3＝12，a2+a4＝18，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a3+a6+a9+…+a3n．35. [较易] 等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．36. [一般] 已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5＝，求λ．37. [一般] 已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．38. [一般] 已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．39. [一般] 已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．40. [一般] 设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．数列专题参考答案一、单选题（共20小题）1.【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有，∴，∴，故选：C．2.【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由S4＝0，a5＝5，得，∴，∴a n＝2n﹣5，，故选：A．3.【解答】解：数列{a n}是等比数列，各项均为正数，4a32＝a1a7＝，所以，所以q＝2．所以a5＝＝3×23＝24．故选：D．4.【解答】解：数列3，33，35，…，32n+1是首项为3，公比为32的等比数列；且32n+1是第n+1项；∴＝．故选：D．5.【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S3＝9，S6＝36，得，解得a1＝1，d＝2；∴a6+a7+a8＝3a1+18d＝3+36＝39．故选：C．6.【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴＝a1+a1+d+4a1+d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．7.【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S4＝1，S8＝3，由等比数列的性质得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，∴1，3﹣1＝2，S12﹣S8＝a9+a10+a11+a12成等比数列，∴a9+a10+a11+a12＝4．故选：C．8.【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，解得d＝﹣2，∴{a n}前6项的和为＝＝﹣24．故选：A．9.【解答】解：设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故选：B．10.【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．11.【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9＝＝＝9a5．∴9a5＝27，a5＝3，又∵a10＝8，∴d＝1，∴a100＝a5+95d＝98，故选：C．12.【解答】解：等比数列{a n}的公比设为q，各项都为正数，记{a n}的前n项和为S n，若S3＝1，S5﹣S2＝4，可得a1+a2+a3＝1，a3+a4+a5＝4，即有a1（1+q+q2）＝1，a1q2（1+q+q2）＝4，相除可得q＝2（﹣2舍去），且a1＝，故选：B．13.【解答】解：∵a1＝3，a1+a3+a5＝21，∴，∴q4+q2+1＝7，∴q4+q2﹣6＝0，∴q2＝2，∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．故选：B．14.【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5＝4（a4﹣1），∴＝4，化为q3＝8，解得q＝2则a2＝＝．故选：C．15.【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1．则S5＝＝5a3＝5．故选：A．16.【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8＝4S4，∴8a1+×1＝4×（4a1+），解得a1＝．则a10＝+9×1＝．故选：B．17.【解答】解：由题意可得a42＝a2•a8，即a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4＝8，∴a1＝a4﹣3×2＝2，∴S n＝na1+d，＝2n+×2＝n（n+1），故选：A．18.【解答】解：S2＝a1+a2，S4﹣S2＝a3+a4＝（a1+a2）q2，S6﹣S4＝a5+a6＝（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122＝3（S6﹣15），解得S6＝63故选：C．19.【解答】解：{a n}是公差d为3的等差数列，若a1，a2，a4成等比数列，则a1a4＝a22，即a1（a1+9）＝（a1+3）2，解得a1＝3，又d＝3，可得S10＝10a1+×10×9d＝30+45×3＝165．故选：A．20.【解答】解：因为{a n}是等差数列，所以a4+a8+2a12＝2a6+2a12＝4a9＝12．故选：A．二、填空题（共10小题）21.【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3＝，∴q≠1，＝，整理可得，，解可得，q＝﹣，则S4＝＝＝．故答案为：22.【解答】解：在等比数列中，由a42＝a6，得q6a12＝q5a1＞0，即q＞0，q＝3，则S5＝＝，故答案为：23.【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3＝5，a7＝13，得d＝，∴a1＝a3﹣2d＝5﹣4＝1．则．故答案为：100．24.【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a1≠0，a2＝3a1可得，d＝2a1，∴＝＝，故答案为：4．25.【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．26.【解答】解：设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝﹣3，S5＝﹣10，∴，解得a1＝﹣4，d＝1，∴a5＝a1+4d＝﹣4+4×1＝0，S n＝＝﹣4n+＝（n﹣）2﹣，∴n＝4或n＝5时，S n取最小值为S4＝S5＝﹣10．故答案为：0，﹣10．27.【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2a n+1，①当n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝﹣1，当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1+1，②，由①﹣②可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，∴a n＝2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6＝＝﹣63，故答案为：﹣6328.【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝0，a6+a7＝14，∴，解得a1＝﹣4，d＝2，∴S7＝7a1+＝﹣28+42＝14．故答案为：14．29.【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1＝3，a2+a5＝36，∴，解得a1＝3，d＝6，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝3+（n﹣1）×6＝6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n＝6n﹣3．故答案为：a n＝6n﹣3．30.【解答】解：∵等差数列{a n}的前5项的和为25，∴＝25，∴a1+a5＝25×＝10．故答案为：10．三、解答题（共10小题）31.【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，由a1＝2，a3＝2a2+16，得2q2＝4q+16，即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2（舍）或q＝4．∴；（2）b n＝log2a n＝，∵b1＝1，b n+1﹣b n＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，∴数列{b n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列{b n}的前n项和．32.【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d＝＝﹣2，则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．33.【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．∴（a3+8）2＝（a2+10）（a4+6），∴（﹣2+2d）2＝d（﹣4+3d），解得d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣10+2n﹣2＝2n﹣12．（Ⅱ）由a1＝﹣10，d＝2，得：S n＝﹣10n+＝n2﹣11n＝（n﹣）2﹣，∴n＝5或n＝6时，S n取最小值﹣30．34.【解答】解：（I）因为{a n}是等差数列，a1+a3＝12，a2+a4＝18，所以解得d＝3，a1＝3．则a n＝3+（n﹣1）×3＝3n，n∈N*．…………．（7分）（II）a3，a6，a9，…，a3n构成首项为a3＝9，公差为9的等差数列．则＝．…………．（13分）35.【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．∴1×q4＝4×（1×q2），解得q＝±2，当q＝2时，a n＝2n﹣1，当q＝﹣2时，a n＝（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n＝2n﹣1，或a n＝（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1＝1，q＝﹣2时，S n＝＝＝，由S m＝63，得S m＝＝63，m∈N，无解；当a1＝1，q＝2时，S n＝＝＝2n﹣1，由S m＝63，得S m＝2m﹣1＝63，m∈N，解得m＝6．36.【解答】解：（1）∵S n＝1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝1+λa n﹣1﹣λa n﹣1＝λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n＝λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即＝，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q＝，当n＝1时，S1＝1+λa1＝a1，即a1＝，∴a n＝•（）n﹣1．（2）若S5＝，则若S5＝1+λ[•（）4]＝，即（）5＝﹣1＝﹣，则＝﹣，得λ＝﹣1．37.【解答】解：（1）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，当n＝1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2＝0，而a1＝1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2＝0，解可得a2＝，当n＝2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3＝0，又由a2＝，解可得a3＝，故a2＝，a3＝；（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）＝0，即有a n＝2a n+1或a n＝﹣1，又由数列{a n}各项都为正数，则有a n＝2a n+1，故数列{a n}是首项为a1＝1，公比为的等比数列，则a n＝1×（）n﹣1＝（）n﹣1，故a n＝（）n﹣1．38.【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n＝3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．即3b n+1＝b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n＝＝（1﹣3﹣n）＝﹣．39.【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：．40.【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．。

高斯小学奥数四年级上册含答案第11讲_整数数列计算

第十一讲整数数列计算在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识，如等差数列2, 5, 8, 11, 14, 17, ? ?在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数2为首项，最后一个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差3, 3称为公差.你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗?第m 项和第n 项相差m n个公差（m> n ）；项数公式：项数末项首项公差1;求和公式：和首项末项项数 2 ；项数为奇数时有：和中间项项数.在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想?事实上，“分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中也能够发挥作用.例题1匚的作用▼的作用羊族和狼族发生了一场惊天动地的大混战.战斗打得天昏地暗*同梭内部偶尔也会出现口和號杀-战场上，▲和▼这两种武器被广迂使用，它们的作用却不相同.战场的某个肃落里*有这样串争斗（顺序从左至右）.这场争斗最后幸存卜来的是羊还足狼?计算：100 98 96 94 92 90 L 8 6 4 2 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？练习1计算：100 99 98 97 96 95 L 2 1 .例题2计算：50 49 48 47 46 45 44 43 L 4 3 2 1 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？最后一组是否包含4、3、2、1这4个数呢？练习2计算：95 93 91 89 87 85 83 81 L 7 5 3 1.除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种.乘法是加法的简便运算，例如我们可以把 6 6 6 6 6简写为 6 5 .乘方是乘法的简便运算，例如我们可以把 6 6 6 6 6简写为65，读作“　6的5次方”.再举几个例子：10 10可以记为102，读作“10的2次方”或“10的平方”；10 10 10 可以记为103，读作“　10的3次方”或“　10的立方”；10 10 10 10可以记为104，读作“　10的4次方”.对于字母代表的数也有同样的表示方法，例如a2 a a，b4 b b b b 等.已知平方差公式：a2b2a b a b （把等式右边的乘法运算采用乘法分配律拆开即可得等式左边算式，大家可以试试）.可以用如下一句话来解释平方差公式：两个数的平方差等于它们的和乘以差，简记为“平方差等于和乘差”.例题3已知平方差公式：『b2 a b a b.计算：（1 ）66623342;（2）50 1 50 1 ；2 2 2 2 2 2(3) 20 19 18 17 16 152L 221 .「分析」对于202192我们可以写为20 192019 20 19，是不是整个算式中的数都可以这样转化呢？练习3计算：1 12 1 0292 8272 62 52423222 12.本讲一开始的漫画中，幸存下来的是羊还是狼呢？故事中的和是我们新定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过?在这类问题中，新引入的运算符号代表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样.例题4规定运算“　@”为：a@b a 1 b 2 .计算：6@ 5@3 .「分析」算式中涉及到两次“　@”运算，那么应该先算哪一个呢？练习4规定运算为：a b 2 a b，计算：(1) 6 5 4 ； (2) 6 5 4 .例题5计算:123456789L 97 98 99 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？例题6计算：100 99 99 98 98 97 97 96 L 4 3 3 2 2 1 .「分析」算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？课堂内外平方和公式计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”：122232L n2n n 1 2n 1 6平方和公式的推导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识.平方数列求和：2 2 2 21 2 3 L n 121 231 341L nn11=1 2 2 3 3 4 L nn1 1 2 3 L n其中，等差数列1 2 3 L n n n 1 2 ；...................................... ①剩下的部分 1 2 2 3 3 4 L n n1 1 2 3 L n则是最基本的整数裂项, 我们进行如下操作：3 1 2 1 2 4 0 1 23232341233 34 3 45 2 3 43nn1nn1 n2 n1nn1相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有:3 1 2 2 3 34 L n n 1 = n n 1 n 2所以， 1 2 2 3 3 4 L n n 1 = n n 1 n 2 3 ............ ........... ②②减①，得平方和公式：2 21 2 32L n 2=n n 1 n 2 3 n n 1 2=n n 1 n 2 3 1 2=n n 1 2n 4 6 3 6=n n 1 2n 1 6作业1. 计算：99 97 95 93 91 89 L 3 12. 计算：（1）552452；（2）632372．3. 计算：1002992982972962952L 22124. 规定运算“　?”为： a b a b+2 ．计算 5 4 25．计算：1+2 3 4 5 6 7 8 9 L 28 29 30 ．第十一讲整数数列计算1.例题 1 答案：50 详解：原式共有50项，两个一组，共有25组，每一组都是2，所以这个算式的结果是25 2 50.2.例题 2 答案：518. 练习 2 答案：96 简答：原式(95 93 91 89) (87 85 83 81) L (7 5 3 1) ，1~95 连续奇数共有48 个，所以共分了12 组，原式12 8 96 .9.练习 3原式(50 49 48 47) (4645 44 43) L(6 5 4 3) 2 1，3~50 共48个数，所以一共分了12 组，原式12 4 2 1 51 .例题 3答案：(1)332000；(2)2499；(3)210 详解：(1)原式(666 334)(666-334) 332000 ；(2)原式=502 12 2500 1 2499 ；(3)原式20 19 20 1918 17 18 17 L 2 12 120 19 18 17 L2 1 210.详解：3.4例题答案：284.详解：先算括号里面的：5@3 (5 1) (3 2) 6，5.6@(5@3) 6@6 (6例题5答案：1584 1) (6 2) 28 .详解：6.原式(1 2 3) (4 5 6) L(9798 99) 0 3 6L 96 (3 例题 6 答案：500096) 321584 .详解：原式=(100 9999 98) (98 97 97 96)(4 3 3 2) 2 199 2 97 2 L 3(99 1) 50 2 5000 .7.练习 1 答案：50简答：原式共有100 项，两个一组，共有50 组，每一组都是1，所以这个算式的结果是501 50 .答案：6612. 作业 2答案：1000 ；2600简答：（1）原式= 55 45 5545 100 101000 ；（2）原式=6337 6337100 26 2600 ．13.作业 3 答案：5050简答：平方差公式，原式=10099 9897 L321，和为5050．14.作业 4 答案：52简答：根据运算规定：4 2 42210，54 2 510 510 25215.作业 5 答案：135简答：三项为一组，共有10 组：原式= 1 2 3 4 5 67 89 L 28 29 3003 6L 27 可以看成首项为3，末项为27，公差为 3 的等差数列，和为3+27 9 2=135 ．简答：原式11 1011 109 8 9 11 109 8 L 21 6610. 练习4答案：10；6简答：（1）65 4 2 6 5 4 742 （2）65 462 5 466211. 作业1答案：50简答：原式= 99 97 95 93 L399 12150项，每两项为一组，共有7 4 10；6 6 6 ．1 ，从 1 至99，公差为2 的等差数列共有25 组，和= 2 25 50 ．。

人教版高考数学一轮专项复习：数列题型11种(含解析)

数列题型11种（方法+例题+答案）1.作差法求通项公式2.累乘法求通项公式3.累加法求通项公式4.构造法求通项公式（一）5.构造法求通项公式（二）6.取倒法求通项公式7.分组求和法求前n项和8.错位相减法求前n项和9.裂项相消法求前n项和10.数列归纳法与数列不等式问题11.放缩法与数列不等式问题1、作差法求数列通项公式已知n S （12()n a a a f n +++= ）求n a ，{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥注意：分两步，当2≥n 时和1=n 时一、例题讲解1、（2015∙湛江）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，n *∈N ），且12a =，23a =． ()1求数列{}n a 的通项公式2、（2015∙茂名）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且)1()1(221+=+-+n n S n nS n n ，)(*∈N n ，数列}{n b 满足,0212=+-++n n n b b b )(*∈N n ，53=b ，其前9项和为63（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式3、（2015∙中山）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,40,842==S a 数列}{n b 的前n 项和为n T ，且,032=+-n n b T *∈N n 。

（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式4、（2015∙揭阳）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，)1(3--=n n na S n n ，（*∈N n ），且,112=a （1）求1a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式5、（2014∙汕头）数列{}n a 中，11=a ，n S 是{}n a 前n 项和，且)2(11≥+=-n S S n n(1)求数列{}n a 的通项公式6、（2014∙肇庆）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足,21=a )1(1++=+n n S na n n （1）求数列}{n a 的通项公式7、（2014∙江门）已知数列}{n a 的前n 项和122-=n S n ，求数列}{n a 的通项公式。

(完整版)数列求通项专题(总复习专题-方法全面-有答案)全

求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。

解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。

)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。

2020年高考数学(理)之数列专题11 数列的通项( 叠加法、累乘法求通项)(解析版)

数列11 数列的通项（叠加法、累乘法求通项）一、具体目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述： 1.数列的通项公式：（1）如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. （2）数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序【考点讲解】号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知S n ，求通项，破解方法：利用S n -S n -1= a n ，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。

4. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用=n a 1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式； (3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 5. 递推公式推导通项公式方法：（1）叠加法：1()n n a a f n +-=叠加法（或累加法）：已知()⎩⎨⎧=-=+n f a a a a n n 11，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ.（2）累乘法：已知()⎪⎩⎪⎨⎧==+n f a a a a nn 11求数列通项公式用累乘法. （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： nn n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1nn n a pa rq +=+,其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n n a a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b nn 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，， 1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----Λ解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列. （6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列. （7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q+=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解. 6. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用叠加法求解例1.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .【解析】法一：由题意可知：112,1n n a a a n +==++ 所以有()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，K ，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++⎡⎤⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n --+⎡⎤-+⎣⎦=++=++=+ 故应填()112n n ++.法二：由题意11n n a a n +=++可得：11n n a a n +-=+， ()111n n a a n --=-+，()1221n n a a n ---=-+，()2331n n a a n ---=-+，K ，3221a a -=+，2111a a -=+，1211a ==+.将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++⎡⎤⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n --+⎡⎤-+⎣⎦=++=++=+ 故应填()112n n ++. 【答案】()112n n ++ 类型2 n n a n f a )(1=+ .解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用叠乘法求解。

求数列通项公式的十一种方法

①若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例 3.已知数列{an }中,
an
0且 Sn

( 1 ) n1 2
1
2．形如： a n1 p an q n
(其中 q 是常数，且 n 0,1)
①若 p=1 时，即： a n1 an q n ，累加即可.
②若 p 1 时，即： a n1 p an q n ，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 p n1 .目的是把所求数列构造成等差数列
)

(
an 3n
2 2

an 3n
3 3
)

(
a2 32

3a11)

a1 3

(
2 3

1 3n
)

(
2 3

1 3n 1
)

(
2 3

1 3n 2
)

(
2 3

1 32
)

3 3

2(n 1) 3

(31n

1 3n

1 3n 1

1 3n 2

1 32
)
1
因此 an 3n
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的 11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法

2022年高考数学(文)命题猜想与仿真押题专题11数列求和及数列的简单应用(仿真押题)教师版

1.已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A.n 2＋1－12nB.n 2＋2－12nC.n 2＋1－12n －1D.n 2＋2－12n －1解析由于a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝⎛⎭⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .另解：用特值验证. 答案 A2.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 015＝( )A.13B.－13C.3D.－3答案 C3.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A.2＋ln n B.2＋(n －1)ln n C.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＋2＝2＋ln n . 答案 A4. 122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1的值为( ) A.n ＋12（n ＋2）B. 34－n ＋12（n ＋2）C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析 ∵1（n ＋1）2－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 答案 C5.各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则∑nk ＝1a 2k ＝( ) A.n （n ＋5）2B.3n （n ＋1）2C.n （5n ＋1）2D.（n ＋3）（n ＋5）2答案 B6．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan 225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)n a n }的前n 项和，则S 2 014＝( ) A ．2 015 B ．－2 015 C ．3 021 D ．－3 021 解析 a 1＝tan 225°＝tan 45°＝1，设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 5＝13a 1，得a 5＝13， d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3，∴S 2 014＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4＋…＋(－1)2 014a 2 014＝－(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝1 007d ＝1 007×3＝3 021.故选C. 答案 C7．数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有： a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝( )A.2 0072 008B.2 0071 004C.2 0082 009D.4 0162 009法二令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 008＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝⎛⎭⎫12 008－12 009＝2⎝⎛⎭⎫1－12 009＝4 0162 009，故选D. 答案 D8．设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A ．11个 B ．12个 C ．15个 D ．25个解析 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A. 答案 A9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N ＋)，则S 100＝( ) A ．1 300 B ．2 600 C ．0 D ．2 602解析原问题可转化为当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.进而转化为当n 为奇数时，为常数列{1}；当n 为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列．所以S 100＝S 奇＋S 偶＝50×1＋(50×2＋50×492×2)＝2 600. 答案 B10．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎦⎤12，1 解析 f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (1)f (n )＝12a n ，∴S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n .则数列{a n }的前n 项和的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1. 答案 C11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( ) A.n2n －1 B.n ＋12n －1＋1C.2n －12n －1D.n ＋12n ＋1答案 A12．已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析令h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，∵h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0，∴h (x )在R 上为减函数，∴0<a <1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f （n ）g （n ）＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＝3132，∴n ＝5.答案 A13.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.答案 (1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 14．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为．解析依题意得a ·b ＝0，即2S n ＝n (n ＋1)，S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－n （n －1）2＝n ；又a 1＝1，因此a n ＝n ，a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n ＋5≤19，当且仅当n ＝4n ，n ∈N *，即n ＝2时取等号，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值是19.答案 1915．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)令b n ＝na n ，n ＝1，2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2，解得a 2＝2. 设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12.由题意得q >1，所以q ＝2.则a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝n ·2n －1，n ＝1，2，…，则T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，所以2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，两式相减得－T n ＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ×2n ＝2n －n ×2n －1，即T n ＝(n －1)2n ＋1.16．已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，首项b 1＝1，且a 2b 2＝12，S 3＋b 2＝20.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝S n cos(a n π)(n ∈N *)，求{c n }的前n 项和T n .(2)由(1)知c n ＝S n cos 3n π＝⎩⎨⎧S n ＝32n 2＋32n ，n 是偶数，－S n＝－32n 2－32n ，n 是奇数.①当n 是偶数时，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4－…－S n －1＋S n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n ＝6＋12＋18＋…＋3n ＝3n （n ＋2）4. ②当n 是奇数时， T n ＝T n －1－S n＝3（n －1）（n ＋1）4－32n 2－32n＝－34(n ＋1)2.综上可得，T n＝⎩⎨⎧3n （n ＋2）4，n 是偶数，－34（n ＋1）2，n 是奇数.17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3（lg a n ）（lg a n ＋1）的前n 项和，求T n ；(3)求使T n >14(m 2－5m )对全部的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．(2)解由(1)知，T n ＝ 3⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝3⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝3－3n ＋1.(3)解 ∵T n ＝3－3n ＋1，∴当n ＝1时，T n 取最小值32.依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6，故所求整数m 的取值集合为 {0，1，2，3，4，5}．18.已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和.(2)∵b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝(log 222n＋1－2)×(log 222n＋3－2)＝(2n －1)(2n ＋1)，∴1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.。

第11讲_整数数列计算

第十一讲整数数列计算在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识，如等差数列2，5，8，11，14，17，⋯．在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数2为首项，最后一个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差3，3称为公差．你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗？第m 项和第n 项相差m n -个公差（m >n ）；项数公式：()1=-÷+项数末项首项公差；求和公式：()2=+⨯÷和首项末项项数；项数为奇数时有：=⨯和中间项项数．在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想．事实上，“分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中也能够发挥作用．例题1. 计算：10098969492908642-+-+-++-+-「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？练习1. 计算：100999897969521-+-+-++-例题2. 计算：50494847464544434321+--++--+--++「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？最后一组是否包含4、3、2、1这4个数呢？练习2. 计算：95939189878583817531+--++--+++--除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种．乘方是乘法的简便运算，例如我们可以把66666⨯⨯⨯⨯简写为56，读作“6的5次方”．再举几个例子：1010⨯可以记为210，读作“10的2次方”或“10的平方”；101010⨯⨯可以记为310，读作“10的3次方”或“10的立方”；10101010⨯⨯⨯可以记为410，读作“10的4次方”．对于字母代表的数也有同样的表示方法，例如2a a a =⨯，4b b b b b =⨯⨯⨯等．已知平方差公式：()()22a b a b a b -=+⨯-（把等式右边的乘法运算采用乘法分配律拆开即可得等式左边算式，大家可以试试）．可以用如下一句话来解释平方差公式：两个数的平方差等于它们的和乘差，简记为“平方差等于和乘差”．例题3. 已知平方差公式：()()22a b a b a b -=+⨯-．计算：（1）22666334-；（2）()()501501+⨯-；（3）2222222220191817161521-+-+-+-．「分析」对于222019-我们可以写为()()201920192019+⨯-=+，是不是整个算式中的数都可以这样转化呢？练习3计算：222222222221110987654321-+-+-+-+-+定义新运算的问题我们以前没有遇到过．在这类问题中，新引入的运算符号代表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样．例题4规定运算“@”为：()()@12a b a b =+⨯-．计算：()6@5@3．「分析」算式中涉及到两次“@”运算，那么应该先算哪一个呢？练习4规定运算⊗为：2a b a b ⊗=⨯-，计算：（1）()654⊗⊗；（2）()654⊗⊗例题5计算：123456789979899+-++-++-+++-「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？例题6计算：10099999898979796433221⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯ 「分析」算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？平方和公式计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”：()()22221231216n n n n ++++=⨯+⨯+÷平方和公式的推导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识．平方数列求和：()()()()222212312123134111n n n ++++=⨯-+⨯-+⨯-++⨯+- =()()1223341123n n n ⨯+⨯+⨯++⨯+-++++ 其中，等差数列()12312n n n ++++=⨯+÷；………………………………………………①剩下的部分()()1223341123n n n ⨯+⨯+⨯+⨯+-++++则是最基本的整数裂项，我们进行如下操作：312124012⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯323234123⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯334345234⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯…………相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有：=()()12n n n ⨯+⨯+，所以，()1223341n n ⨯+⨯+⨯+⨯+=()()123n n n ⨯+⨯+÷…………………② ② 减 ①，得平方和公式：2222123n ++++=()()()12312n n n n n ⨯+⨯+÷-⨯+÷=()()12312n n n ⨯+⨯+÷-÷⎡⎤⎣⎦=()()124636n n n ⨯+⨯+÷-÷⎡⎤⎣⎦=()()1216n n n ⨯+⨯+÷()()()()()311211n n n n n n n n ⨯⨯+=⨯+⨯+--⨯⨯+()31223341n n ⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⎡⎤⎣⎦作业1. 计算：．2. 计算：（1）（2）3. 计算：4. 规定运算“∗”为：+2a b a b *=⨯．计算()542**5．计算：1+23456789282930-++-++-+++- 22222222100999897969521-+-+-++- 226337- 225545- 99979593918931-+-+-++-。

高中数学竞赛专题精讲11数列(含答案)

11数列一、数列的基础知识1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ；2．递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。

常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。

类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归）解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =Aαn +Bβn ，代入初始值求得B A ,。

类型Ⅲ：a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。

解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。

二、等差数列与等比数列1．定义：2．通项公式与前n 项和公式：函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。

可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。

三．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？数列问题的综合性主要表现在1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换．数列问题的灵活性表现在：1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系．例题讲解1．已知(b －c )log m x +(c －a )log m y +(a －b )log m z ＝0 ①(1) 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差不为0，求证x 、y 、z 成等比数列；(2) 若x 、y 、z 依次成等比数列，且公比不为1，求证a 、b 、c 成等差数列．2. 数列｛a n ｝的前 n 项和S n ＝a · 2n + b （n ∈N ），则｛a n ｝为等比数列的充要条件是________．3.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S7＝56，S n＝420，a n－3＝34，则n＝________．4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135. 各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为S n，若S10=10，S30=70，求S40。

专题11 数列求和方法之分组并项求和法(解析版)

专题11 数列求和方法之分组并项求和法一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则81ii a==∑（）A ．376B ．382C ．749D ．766【答案】C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解81i i a =∑即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，8712818123(122)2831612i iaa a a =-=++=⨯+++-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题2．若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （2n ≥，*n ∈N ）等分点，沿向量BC 的方向依次为121,,,n P P P -⋅⋅⋅，记1121n n T AB AP AP AP AP AC-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，若给出四个数值：①294；①9110；①19718；①23233；则n T 的值可能的共有（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A 【分析】由题意，存在实数k N +∈，使得1k AP AB kBP =+，则()111k AP AB k BP +=++，计算数量积，得到()2122111,2,...,1,2k k k k k AP AP k n k N n n ++++⋅=-+=-∈，推出2526n n T n-=，结合题中条件，由赋值法，分别判断，即可得出结果. 【详解】由题意，存在实数k N +∈，使得1k AP AB kBP =+，则()111k AP AB k BP +=++，所以()()1111k k AP AP AB k BP AB k BP +⎡⎤⋅=+⋅++⎣⎦()()()2221122121111,2,...,1,2k k kAB k AB BP k k BP k n k N n n+++=++⋅++=-+=-∈，所以1121n n T AB AP AP AP AP AC-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ()()()()()222121121...11357...2112n n n AB AP n n n ⎡⎤+++++-+-++++-⎣⎦=⋅+--+()()()()()()2221212...112...11112n n n n AB AB BP n n n+++-++++-⎡⎤-+⎣⎦=⋅++--+ ()()()()()2222112...1111211cos12012n n n n n n n n n -⎡⎤++++--+⎣⎦=+⨯⨯+--+()()()()()221211111526112226n n n n n n n n n n n n n---+--=-+--++=，令2526294n n -=，解得n N =；令25210691n n -=，解得27350n N ±=∉；令252619718n n -=，解得n N =；令252623233n n -=，解得464110n N ±=；所以n T 的值不可能取所给的四个数值. 故选：A. 【点睛】思路点睛：向量数量积的问题，在求解时，可根据向量向量积的运算法则，由转化法求出数量积；也可利用建系的方法，建立平面直角坐标系，得出所需向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解. 3．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(41)n n a n +=-+，则111221a a a +++=（）A ．45B ．65C ．69D ．105-【答案】B 【分析】由题意可得1211(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，从而可得1112211112192021()()a a a a a a a a +++=+++++……，进而可得答案【详解】因为1(1)(41)n n a n +=-+，所以1211(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，则1112211112192021()()4585a a a a a a a a +++=+++++=-⨯+…… 65=，故选：B ．【点睛】此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题二、解答题4．设{}n a 为等差数列，{}n b 是正项等比数列，且112a b ==，322a b =.在①53112b b b -=，①542a b +=，这两个条件中任选一个，回答下列问题：（1）写出你选择的条件并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在（1）的条件下，若()*n n n c a b n =+∈N，求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】（1）条件选择见解析，31n a n =-，2nn b =；（2）213222n n n nS ++=+-.【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为()0q q >，根据所选的条件结合已知条件得出d 和q 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求得312nn c n =-+，利用分组求和法可求得n S .【详解】（1）选择①：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为()0q q >.则根据题意有422242224d q q q +=⎧⎨-=⎩，解得23q d =⎧⎨=⎩，所以()23131n a n n =+-=-，1222n nn b -=⋅=；选择①：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为()0q q >.则根据题意有32242422d q d q +=⎧⎨++=⎩，解得23q d =⎧⎨=⎩，所以()23131n a n n =+-=-，1222n nn b -=⋅=；（2）由（1）可知312nn c n =-+，所以()()()()123225282312n n S n =+++++++-+()()123258312222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦()()212122313222122nn n n nn +-+-+=+=+--. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法. 5．已知数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝a ，a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意n ①N *都成立，数列{a n }的前n 项和为S n . （1）若{a n }是等差数列，求k 的值；（2）若a ＝1，k ＝－12，求S n .【答案】（1）12k =；（2）()2,21,,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N . 【分析】（1）根据等差中项可得()1212n n n a a a ++=+，从而求出12k =. （2）根据题意可得321n n n n a a a a ++++=+，讨论n 是偶数或n 是奇数，利用分组求和即可求解. 【详解】（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，所以()1212n n n a a a ++=+，故12k =（2）当12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--. 所以()211n n n n a a a a ++++=-+，故()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，所以，当n 是偶数时，()()()1234112341n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++()122na a n =+=，当n 是奇数时，()23212a a a a +=-+=-，()()()12341123451n n n n n S a a a a a a a a a a a a a --=++++++=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=- 综上，()2,21,,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N .【点睛】关键点点睛：本题考查了分组求和，解题的关键是求出321n n n n a a a a ++++=+，考查了计算求解能力. 6．在数列{}n a 中，12a =，1541n n a a n +=-+，*n N ∈.（1）证明：数列{}n a n -是等比数列；（2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）()1(1)5142n n n +-+. 【分析】（1）1541n n a a n +=-+，*n N ∈，变形为1(1)5()n n a n a n +-+=-，111a -=，进而证明结论；（2）由（1）可得：15n n a n -=+，再利用分组求和即可得出n S .【详解】（1）证明：1541n n a a n +=-+，*n N ∈，1(1)5()n n a n a n +∴-+=-.又因为111a -=，∴数列{}n a n -是首项为1，公比为5的等比数列，（2）由（1）可得：15n n a n --=，15n n a n -∴=+，{}n a ∴的前n 项和211555(12)n n S n -=+++⋯⋯++++⋯⋯+()115(1)51(1)1(1)(51)15251242nnn n n n n n n ⨯-+-++=+=+=-+-- 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.7．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22S a +是12a 和4a 的等差中项，12a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =；（2）12443n n n +-++.【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系求出数列的公比，进一步求出数列的通项公式. （2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和. 【详解】（1）正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22S a +是12a 和4a 的等差中项，设公比为q ，则22142()2S a a a +=+，整理得：12142(2)2a a a a +=+，由于12a =，即32(24)42q q +=+，即34q q =，因为0q >，所以解得2q ，所以2nn a =.（2）由于222log 24nn n b a a n =+=+，所以12324446424n n T n =++++++++12(2462)(444)n n =++++++++4(41)(1)41n n n -=++- 12443n n n +-=++.【点睛】关键点点睛：第二问分组后利用等差、等比数列的前n 项和公式求和是解题关键.8．在①535S =，①13310a a +=，①113n a n a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，________，且1a ，412a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1nn n b a =-，求1ni i b =∑.【答案】（1）32n a n =-；（2）13,213,2n i i nn b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数【分析】（1）利用1a ，412a ，9a 成等比数列①可得221132690a a d d +-=，若选①：由535S =得：127a d +=，即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式；若选①：由13310a a +=可得152d a =-，即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式；若选①：由113n a n a +=+，可表示出419a a =+，9124a a =+，结合1a ，412a ，9a 成等比数列①即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()()132nn b n =--，分n 为奇数和偶数，利用并项求和即可求解.【详解】{}n a 是各项均为正数的等差数列，1a ，412a ，9a 成等比数列. 所以241914a a a =⋅，即()()2111348a d a a d +=⋅+，整理可得221132690a a d d +-=，若选①：535S =，则1545352a d ⨯+=，即127a d +=，由127a d +=可得172a d =-代入221132690a a d d +-=可得：2230d d --=，解得3d =或1d =-（舍）所以11a =，所以()11332n a n n =+-⨯=-，若选①：13310a a +=，即152d a =-，代入221132690a a d d +-=得：2111762450a a -+=，即 ()()11117450a a --=解得：113a d =⎧⎨=⎩或145175017a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩不符合题意；若选①：113n a n a +=+，则419a a =+，9124a a =+，代入241914a a a =⋅可得21126270a a +-= 解得：113a d =⎧⎨=⎩或1273a d =-⎧⎨=⎩不符合题意；综上所述：113a d =⎧⎨=⎩，32n a n =-，（2）()()132nn b n =--，()()()()()12311231111111nn nin n i b a a a a a --==-+-+-+-+-∑()()()()114710135132n nn n -=-+-++--+--当n 为偶数时，13322ni i n nb ==⨯=∑，当n 为奇数时，()11131322ni i n nb =--=-+-⨯=∑，所以13,213,2n i i nn b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数. 【点睛】关键点点睛：本题得关键点是分别由条件①①①结合1a ，412a ，9a 成等比数列计算出1a 和d 的值，由{}n a 是各项均为正数的等差数列，所以10a >，0d >，第二问中()1nn n b a =-正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分n 为奇数和偶数讨论.9．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且132,12a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设4nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）n a =2n ；（2）n T =12434n n n +-++．【分析】（1）由等差数列前n 项和公式，结合已知即可求公差d ，进而写出通项公式即可. （2）由（1）结论，有24nn b n =+，首先分组，再结合等差等比前n 项和公式求n T ．【详解】（1）①数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，132,12a S ==， ①33232122S d ⨯=⨯+=，解得2d =， ①()2122n a n n =+-⨯=．（2）①424n nn n b a n =+=+，①()()()()12324414142123444422143nn n n n n n T n n +-+=+++++++++=⨯+++=--． 10．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足815a =，1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n b =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）2112n n T n =+-.【分析】（1）由817a a d =+和1a ，2a ，5a 成等比数列，求得1a 1,d 2，即可求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）和12n nb =，可得1212n nn a b n +=-+，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，因为817a a d =+，可得1715a d +=，又由1a ，2a ，5a 成等比数列，可得2215a a a =，即()()21114a d a a d +=⋅+，可得12d a =，联立方程组，解得11a =，2d =，所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-. （2）由（1）和12n nb =，可得1212n n n a b n +=-+，则231111[135(21)]2222n nT n ⎛⎫=++++-+++++ ⎪⎝⎭111(121)221212n n n ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+-2112n n =+-，即2112n n T n =+-.11．已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）132(1,2,)n n a n -=⋅=；1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=；（2）222323n n n +-⋅+.【分析】（1）首项求出n a ，然后求出n n a b +，然后可得n b ；（2）分别算出数列{4}n 、1{32}n -⋅的前n 项和即可.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==，解得 2q ．所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=．设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-．所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=．从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．（2）由（1）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为()1442(1)2n n n n n -+⨯=+；数列1{32}n -⋅的前n 项和为()3123(21)12n n -=⋅--．所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． 12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S n a +=-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中，12b =，12n n b b +=-，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析；121n n a +=-；（2）n T 2224n n +=+-.【分析】（1）当2n ≥时，由22n n S n a +=-，可得11(1)22n n S n a --+-=-，两式相减，可化为()1121n n a a ++=+，结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由题知数列{}n b 是等差数列，则2n b n =，再利用分组求和法求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【详解】（1）证明：当1n =时，13a =，当2n ≥时，22n n S n a +=- ①11(1)22n n S n a --∴+-=- ①由①－①得：121n n a a -+=， 1221n n a a -∴+=+，即1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是以2为公比，首项为114a +=的等比数列，112n n a +∴+=，得121n n a +=-.（2）由题得：12nnb b ，故{}n b 是以2为公差，2为首项的等差数列，2n b n ∴=.()231(242)222n n T n n +∴=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-()412(1)22212n n n n n --=+⨯+--2224n n +=+-.【点睛】方法点睛：本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法：（1）等差+等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法；（4）等差⨯等比数列：错位相减法.13．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}22n an a +的前n 项和n S ．【答案】（1）n a n =；（2）1222n n S n n +=++-．【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项求出公差，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得出数列{}22n an a +的通项公式，再由分组求和法，结合等差、等比的求和公式求解即可. 【详解】解：（1）由题设知公差0d ≠，由11a =，1a ，3a ，9a 成等比数列得1218112d dd++=+ 解得1d =或0d =（舍去）故{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=．（2）由（1）知，2222n ann a n +=+，由分组求和法得122122222212n n n nS n n n +-+=⨯+=++--．14．已知数列{}n a 满足奇数项135,,a a a ⋅⋅⋅成等比数列{}()21n a n N*-∈，而偶数项246,,a a a⋅⋅⋅成等差数列{}()2n a n N *∈，且12a =，21a =，243a a a +=，465a a a +=，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（①）求n a ；（①）当13a a <时，若22nn n b S ⋅=，试求n b 的最大值．【答案】（①）2,211,2n n k a n k =-⎧=⎨=⎩，*k N ∈或122,211,2n n n k a n n k+⎧⎪=-=⎨⎪-=⎩，*k N ∈；（①）238．【分析】（①）设等比数列的公比为q ，等差数列的公差为d ，代入已知条件求出,d q ，得通项公式；（①）用分组求和法求出2n S ，得n b ，然后用作差法确定数列{}n b 的单调性，得最大值．【详解】（①）设等比数列的公比为q ，等差数列的公差为d ，则2352,2a q a q ==，461,12a d a d =+=+，因为243a a a +=，465a a a +=，所以21121122d q d d q ++=⎧⎨+++=⎩，解得10q d =⎧⎨=⎩，22q d =⎧⎨=⎩．若0,1d q ==，则2,211,2n n k a n k =-⎧=⎨=⎩，*k N ∈，若2,2d q ==，则212nn a -=，212(1)21n a n n =+-=-，所以122,211,2n n n k a n n k+⎧⎪=-=⎨⎪-=⎩，*k N ∈．（①）因为13a a <，所以122,211,2n n n k a n n k+⎧⎪=-=⎨⎪-=⎩，*n N ∈．12213212422(12)(1)()()22122n n n n n n n S a a a a a a n n +---=+++++++=++=+--．由22nn n b S ⋅=，12222n n n n b ++-=，22121112(1)222(1)(3)222n n n n n n n n n n n b b +++++++-+-+--=-=-，所以当13n ≤≤时，10n n b b +->，1n n b b +>，当4n ≥时，10nnb b ，1n n b b +<，所以{}n b 的最大项为4238b =．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法，数列的增减性．求通项公式的方法是等差数列和等比数列的基本量法，即求出公比和公差后直接写出通项公式，只是注意两解，要写成统一形式．数列求和用的分组求和法，数列求和还有其他一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，倒序求和法等．他们都是对应的着特殊数列的求和．数列的单调性一般用作差法确定，即确定1n n b b +-的正负，得数列的增减性，从而得最大项或最小项．对于以幂的形式给出的通项公式不等增数列还可能用作商法确定增减性．15．在①1232,14a a a =+=，①1237,9a a a +==，①13211,5a a a +==，这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题.已知等比数列{}n b 的公比是(1)q q >，12n n b a n =+-，且有 (n *∈N ).(注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分) （1）求证：12n nb -=；（2）求数列{}n a 的前n 项和为n S .【答案】（1）证明见解析；（2）221n n S n =+-.【分析】不管选哪一个条件，方法都一样：（1）由基本量法求出q ，得通项公式；（2）用分组求和法求n S ．【详解】若选择①1232,14a a a =+=，（1）设数列{}n b 公比为q ，12n n b a n =+- 则11121b a =+-=，2323356b b a a +=-+-=，①2236b b q q +=+=，又1q >，解得2q，①12n nb -=；（2）由（1）得121221n n n a b n n -=+-=+-21(1222)[135(21)]n n S n -=+++++++++-212(121)22122n n n n n -+-=+=+--．若选择①1237,9a a a +==，（1）设数列{}n b 公比为q ，12n n b a n =+- 则1212133b b a a +=-+-=，3354b a =-=，①2443q q+=，①1q >，故解得2q ，①12n nb -=；（2）由（1）得121221n n n a b n n -=+-=+-21(1222)[135(21)]n n S n -=+++++++++-212(121)22122n n n n n -+-=+=+--．若选择①13211,5a a a +==，（1）设数列{}n b 公比为q ，12n n b a n =+-2232b a =-=，1313155b b a b +=-+-=，①225q q+=，又1q >，故解得2q ，①12n nb -=．（2）由（1）得121221n n n a b n n -=+-=+-21(1222)[135(21)]n n S n -=+++++++++-212(121)22122n n n n n -+-=+=+--．【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查分组求和法．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=- （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）112n n a -=；（2）1,2,2n nn T n n 为奇数为偶数-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩. 【分析】（1）利用当2n ≥时，1n n n a s s -=-，可推出数列为等比数列，即可求出通项公式；（2）化简()()11nn b n =--，分n 为奇数，偶数，求和即可.【详解】（1）因为122n n S a +=-，所以当2n ≥时，122n n S a -=- 两式相减得122n n n a a a +=-+，所以112n n a a +=，当1n =时，1222S a =-，11a =，则212a =所以数列{}n a 为首项为1，公比为12的等比数列，故112n n a -= （2）由（1）可得()()()121log 11nnn n b a n =-=-- 所以()()012311nn T n =+-+-⋅⋅⋅+--故当n 为奇数时，()()()101234212n nT n n -=+-+-+⋅⋅⋅+-+-=当n 为偶数时，()()()()012345212n nT n n =++-++-+++-+-=综上1,2,2n nn T n n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数 17．已知等差数列{}n a 中，()12lg 1a a +=，且()1324lg lg lg a a a a +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若16,,k a a a 是等比数列{}n b 的前3项，求k 的值及数列{}n n a b +的前n 项和n S【答案】（1）64n a n =-；（2）2k =，()223413nn S n n =-+-. 【分析】（1）利用()12lg 1a a +=，且()1324lg lg lg a a a a +=+列出关于首项与公差的关系式，求出公差与首项，即可求数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，可得16424n n n a b n -+=-+⨯，利用分组法求，结合等差数列与等比数列的求和公式可求出数列的和．【详解】（1）数列{}n a 是等差数列，设公差为d .由()1324lg lg lg a a a a +=+知132432a a a a a =+=，且30a >，故12a =. 再由()12lg 1a a +=，得1210a a +=，故6d =.所以：2(1)664n a n n =+-⨯=-（2）若16,,k a a a ，是等比数列{}n b 的前3项则216k a a a =⋅，根据等差数列的通项公式得到：64k a k =-，代入上式解得：:2k =而等数列{}n b 中，c 11222,8b a b a ====，所以：等比数列{}n b 的公比为4q =.于是：124n n b -=⨯则16424n n n a b n -+=-+⨯故()2(264)41223412413n n n n n S n n +--=+⨯=-+--【点睛】利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）11(1)1342nn n n T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎛⎫=-+⎝⎣⎪⎭⎦【分析】（1）根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩，由题中条件，即可求出通项；（2）先由（1）得到14nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由分组求和的方法，利用等差数列与等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】（1）因为2n S n n =+，当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，当1n =时，12a =；也满足上式； ①2n a n =；（2）由（1）可得：1124n a nn b n n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①211144111(1)(12)1444214nnn n n T n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++++++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-11(1)1342nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣+⎛⎫+⎭⎦=- ⎪⎝. 19．已知数列{}n a 中，12,2,n a a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，若对任意的正整数n 都有1()2n n n a a S -=. （1）求a 的值；（2）试确定数列{}n a 是不是等差数列；若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；（3）记2112n n n n n S S p S S ++++=+，求数列{}n p 的前n 项和n T . （4）记2n n C T n =-是否存在正整数M ，使得不等式n C M ≤恒成立，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由.【答案】（1）0a =；（2）数列{}n a 是等差数列，通项公式为22n a n =-；（3）222312n T n n n =+--++；（4）3. 【分析】（1）令1n =，即得结果；（2）将0a =代入，作差1n n S S +-整理得()11n n n a na +-=，再结合()211n n na n a ++=+作差整理，即得212n n n a a a +++=，即证数列{}n a 是等差数列，再计算通项公式即可；（3）先利用（2）求n S ，再化简得到{}n p 通项公式，最后累加相消即得n T ；（4）先化简n C ，利用单调性判断其取值范围，再解决恒成立问题得到M 范围，即可得到最小值. 【详解】解：（1）对任意的正整数n 都有1()2n n n a a S -=，令1n =则1111()02a a S ⨯-==，即10a =故0a =；（2）0a =，故2n n na S =，则()1112n n n a S +++=，作差得()()1121n n n nS S n a na ++-=+-，化简整理得()11n n n a na +-=，则()211n n na n a ++=+，作差得()()21111n n n n na n a n a na +++--=+-，化简整理得212n n n a a a +++=，故数列{}n a 是等差数列，首项为10a =，公差为212d a a =-=，故通项公式为22n a n =-；（3）由（2）知数列{}n a 的前n 项和()()112n n n a a S n n +==+，故()()()()()()21122112112212122n n n n n n n n n S S n n p S S n n n n n n n n ++++++++⎛⎫=+=+=+=+- ⎪+++++⎝⎭，故11111221..111.324351112n T n n n n n -+--⎛⎫=+-+-+-+++ ⎝+⎪⎭112212121221232n n n n n n ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭---++++；（4）222123n n C T n n n -=-=-++，易见{}n C 是递减数列，故[)1,3n C C ∈即4,33n C ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 依题意不等式22132n C M n n =-≤++-恒成立，即有3M ≥，故正整数M 的最小值为3. 【点睛】证明等差数列的方法：1.定义法；2.等差通项法；3.观察法，利用公式特征观察判断，只用于小题中. 数列求和的常用方法：1.公式法；2.裂项相消法；3.倒序相加法4.错位相减法；5.并项求和法. 20．已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n na a a +=+，n ∈+N .（1）求证：数列1{1}na -为等比数列；（2）记12111n nS a a a =++⋅⋅⋅+，若100n S <，求最大正整数n . 【答案】（1）证明见解析；（2）99. 【分析】（1）对递推关系两边取倒数，再进行构造11111(1)3n na a +-=-，即可得答案；（2）求出112()13nn a =⋅+，再利用分组求和法，即等比数列和等差数列的前n 项和，再解不等式，即可得答案；【详解】（1）证明：①1111233n n a a +=⋅+，①11111(1)3n na a +-=-，又①1110a -≠，①110na -≠(n ∈+N )， ①数列1{1}na -为等比数列； (2)由（1），可得11211()33n n a --=⋅，①112()13n n a =⋅+， ①121211(1)1111111332()211333313n n n nn S n n n a a a -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++=⨯+=-+-，若100n S <，则111003n n -+<，①最大正整数n 的值为99.【点睛】形如1n n a pa q +=+的递推关系求通项公式，常可以用构造法进行求解；数列不等式的解，要充分利用n为整数进行代入求解.21．已知数列{}n a 满足111,2,n n a a a +==+数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n S b =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-，112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）12122n n T n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．【分析】（1）由已知条件得12n n a a +-＝，利用等差数列的通项公式即可得出n a ；且2n n S b =-，当1n =时，11b =．当2n ≥时，1n n n b S S =-﹣，利用等比数列的通项公式即可得出n b ；（2）由（1）得12112n n n n c a b n -⎛⎫ ⎝=-⎪⎭=++，利用分组求和即可．【详解】（1）因为11a =，12n n a a +-=，所以{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列，所以()11221n a n n =+-⨯=-．又当1n =时，1112b S b ==-，所以11b =，当2n ≥时，2n n S b =- ①112n n S b --=- ①由①－①得1n n n b b b -=-+，即()1212n n b n b -=≥，所以{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，故112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=．（2）由（1）得11212n n n n c a b n -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以()121112112212212nn n n n T n -⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪⎝⎭-．【点睛】方法点睛：求数列通项公式的方法： 1.定义法：利用等差数列或等比数列的定义； 2.利用n a 与n s 的关系：11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩ ；3.累加法：1()n n a a f n --= ；4.累乘法：1()nn a f n a -=； 5.构造法：1n n a ka b -=+；1nn n a ka b -=+；6.取倒数或者取对数．22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log (1)nn n b a n =+-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）3nn a =；（2）223,,?21,.?2n nn n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数. 【分析】（1）由()12n n n a S S n -=-≥,可得数列{}n a 是等比数列，求出通项公式即可；（2）由（1）得到n b ，按n 为偶数和n 为奇数分类，利用等差数列的求和公式和并向求和法得出数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）当1n =时，1112233S a a ==-，所以13a =；当2n ≥时，因为233n n S a =-，所以11233n n S a --=-，两式作差得13n n a a -=，即13nn a a -=，因为13a =，所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn a =.（2）32log 3(1)2(1)n n nn b n n n =+-⋅=+-⋅，当n 为偶数时，前n 项和2(1)32(1)2(3)(1)22n n n n nT n n +⋅=⋅+-++-++-⋅=+；当n 为奇数时，前n 项和2(1)112222n n n n n T n n +⋅--=⋅+-=+，则223,,?21,.?2n nn n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数方法点睛：本题考查等比数列的证明，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．23．如图，在直角坐标系中有边长为2的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列.设这一系列正方形中心的纵坐标为()n y n N +∈，其中1y 为最大正方形中心的纵坐标.（1）求数列{}n y 的通项公式；（2）若数列{}n y 的奇数项构成新数列{}n a ，求{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）122212,212,2n n n n y n --⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数；（2）11222n n S n -=-+.【分析】（1）由题意可知121y y ==，332y =，212n n y y -=，再由第2n -1个正方形到直线2x =的距离为112n -和第2n 个正方形到直线2x =的距离为112n -，得出数列{}n y 的通项公式；（2）由（1）知211122n n n a y --==-，n ∈+N ，利用分组求和法得出{}n a 的前n 项和n S .（1）由题意可知121y y ==，332y =，212n n y y -=，第2n -1个正方形到直线2x =的距离为112n -，即211122n n y --=-；第2n 个正方形到直线2x =的距离为112n -，即21122n n y -=-， 122212,212,2n n n n y n --⎧-⎪⎪∴=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数.（2）由（1）知211122n n n a y --==-，n ∈+N ，则12111(21)2222n n n S a a a -⎛⎫⎛⎫=++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1112122n n -⎛⎫=⨯-++⋯+ ⎪⎝⎭1122112n n -=--11222n n -=-+.【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和． 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1222,n n S S n n N -=+≥∈，数列{}nb 中，1122ab ==.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2211nn b b -=+，212n n n b b a +=+，求数列{}n b 的前10项和.【答案】（1）2nn a =；（2）139.【分析】（1）令2n =可求得2a 的值，令3n ≥，由122n n S S -=+可得出1222n n S S --=+，两式作差可得出12nn a a -=，且有212a a =，可知数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用累加法可求得()21222nn b n n -=+-≥，()2212nn b n n =+-≥，可得()12212231n n n b b n n +-+=+-≥，进而可求得数列{}n b 的前10项的和.【详解】（1）当2n =时，21226S S =+=，2214a S S ∴=-=；当3n ≥时，由122n n S S -=+可得出1222n n S S --=+，两式作差得()1122n n n n S S S S ----=-，即12n n a a -=，则12n n a a -=，且212aa =，所以，数列{}n a 是等比数列，且首项为2，公比也为2，1222n n n a -∴=⨯=；（2）由题意得2211n n b b --=，2122nn n b b +-=，所以212112n n n b b +--=+，且2112b b =+=，则1212312n n n b b ----=+，2232512n n n b b ----=+，，25312b b -=+，13112b b -=+，所以()()()11212112121222123212n n n n bb n n n n -----=-++++=-+=+-≥-，所以()21222nn b n n -=+-≥，所以()2212nn b n n =+-≥，所以()12212232n n n b b n n +-+=+-≥，易得123b b +=也适合上式，所以{}n b 的前10项和为()()()()2523612910212571222117139122b b b b -⨯-++++=++++-+++=+=-.【点睛】本题考查利用n S 与n a 之间的关系求通项，同时也考查了并项求和法，考查计算能力，属于中等题. 25．已知有限数列{a n }，从数列{a n } 中选取第i 1项、第i 2项、……、第i m 项（i 1＜i 2＜…＜i m ），顺次排列构成数列{a k }，其中b k ＝a k ，1≤k ≤m ，则称新数列{b k }为{a n } 的长度为m 的子列．规定：数列{a n } 的任意一项都是{a n } 的长度为1的子列．若数列{a n } 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{a n } 为完全数列．设数列{a n }满足a n ＝n ，1≤n ≤25，n ①N *．（①）判断下面数列{a n } 的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列（1）：3，5，7，9，11；数列（2）：2，4，8，16．（①）数列{a n } 的子列{a k }长度为m ，且{b k }为完全数列，证明：m 的最大值为6；（①）数列{a n } 的子列{a k }长度m ＝5，且{b k }为完全数列，求1234511111b b b b b ++++的最大值．【答案】（①）数列（1）不是{a n }的完全数列；数列（2）是{a n }的完全数列；理由见解析（①）证明见解析；（①）3116．【分析】（①）直接利用信息的应用和定义的应用整理出结果．（①）根据定义的应用求出子列的长度．假设长度为m ≥7，不妨设m ＝7，得出矛盾，再说明长度为6时满足条件.（①）利用信息的应用和关系式的恒等变换的应用求出最大值．【详解】（①）数列（1）不是{a n }的完全数列；数列（2）是{a n }的完全数列．理由如下：数列（1）：3，5，7，9，11中，因为3+9＝5+7＝12，所以数列（1）不是{a n }的完全数列；数列（2）：2，4，8，16中，所有项的和都不相等，数列（2）是{a n }的完全数列．（①）假设数列{b k }长度为m ≥7，不妨设m ＝7，各项为b 1＜b 2＜b 3＜…＜b 7．考虑数列{b k }的长度为2，3，…7的所有子列，一共有27﹣1﹣7＝120个．记数列{b k }的长度为2，3，…7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a ，最大值为A ．所以a ＝b 1+b 2，A ＝b 1+b 2+25+24+23+22+21＝b 1+b 2+115．所以其中必有两个子列的所有项之和相同．所以假设不成立．再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意．所以子列{b k }的最大长度为6．（①）数列{a n } 的子列{b k }长度m ＝5，且{b k }为完全数列，且各项为b 1＜b 2＜b 3＜…＜b 5．所以，由题意得，这5项中任意i （1≤i ≤5）项之和不小于2i ﹣1．即对于任意的1≤i ≤5，有，即11231242-++++≥++++i i b b b b ．对于任意的1≤i ≤5，112(1)(2(2)0--+-++-≥i i b b b ，设12-=-i i i c b （i ＝1，2，3，4，5），则数列{c i }的前j 项和D j ≥0（j ＝1，2，3，4，5）．下面证明：123451111111112416b b b b b ++++≤+++．因为（11112416+++）﹣（1234511111b b b b b ++++）12345111111111124816b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭351241234541612824816b b b b b b b b b b -----=++++， 3243541211234524816D D D D D D D D D b b b b b ----=++++， 123451223344551111111112244881616b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D D D D D 0．所以1234511111111311241616b b b b b ++++≤+++=，当且仅当12-=i i b （i ＝1，2，3，4，5）时，等号成立．所以求1234511111b b b b b ++++的最大值为3116．【点睛】本题考查数列的新定义，考查反证法的应用，考查关系式的恒等变换的应用，属于难题. 三、填空题26．数列{}n a 的通项公式22cos4n n a n n π=-，其前n 项和为n S ，则2021S =______.【答案】1010. 【分析】由于22cos(1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，可得数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项，从而可求得其结果【详解】因为22cos(1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，所以数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项，所以2021246820182020S a a a a a a =++++⋅⋅⋅++246820182020=-+-+-⋅⋅⋅-+(24)(68)(20182020)=-++-++⋅⋅⋅+-+1010210102=⨯=. 故答案为：101027．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21122n n a a a =＋，=+，则5S 的值为__________. 【答案】732【分析】由已知构造等比数列，求出通项得解. 【详解】122n n a a +=+，()1222n n a a +∴+=+，故数列{}2n a +是以2为公比，以223a +=为第二项的等比数列，故2232n n a -+=⋅，故2322n n a -=⋅-，()5531273225122S -∴=-⨯=-故答案为：732【点睛】1n n a pa q +=+(1,0p q ≠≠的常数)递推关系求通项，构造等比数列是解题关键，属于基础题.28．在数列{}n a 中，若121,(1)2nn n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S =__________.【答案】2550 【分析】当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可. 【详解】①121,(1)2nn n a a a +=+-=，①当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a ++=， ①135995049501225002a a a a ⨯++++=⨯+⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++++=⨯=，①1002500502550S =+=，故答案为：2550. 【点睛】关键点点睛：（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列；（2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=. 29．已知等差数列{}n a 中*111,tan tan ()n n n a d b a n N a +===⋅∈，则数列{}n b 的前n 项和n S =___.【答案】()tan(1)1tan1n n n N *+--∈【分析】利用两角差的正切公式可得到()tan tan tan tan 1tan αβαβαβ-⋅=--，从而可得到数列{}n b 的通项公式1tan tan 1tan1nn n a a b +-=-，再代入求和化简即可得到结果。

111数列无穷小

因
lim
n
x2n
0,
因此, 不是无穷小.
12
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,
;
1,1, 1,,(1)n1,;
2. 数列的几何表示法
简记为 {2n }
简记为
1

2n

简记为 {(1)n1}
数列中可看作数轴上的一个动点.
x3 x1 x2 x4 xn
x
3
3. 数列的变化过程包含两个相关的无限过程：
(1) 自变量n的主动变化过程: n 1, 2, 3,,

1 n n2

2
1 n
10
3
3
(3)
n2 1 n2 n 1
2n 2 n2 n2
2
(4) 令 q 1 , 则 1 c
4 1 n
c 0.
注意到 (1 c)n 1 nc cn,
有(1 c)n nc,于是
qn
1 (1 c)n
11. cn
因为

1 np

是无穷小,
根据定理1.1及例1,可知上述四个数列都是无穷小.
11
注:
lim
n
xn

0

lim
n
x2n1

0, 且
lim
nx2nFra bibliotek0.例3
设
xn

1

n
,
n 2k 1 ,
则数列 { xn } 不是
10100 , n 2k
无穷小.
解
1 n