一道面积题的多种解法

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一道抛物线面积最小值问题的七种解法

成立．
ｌ时等号
Ｙ＝２ｐｘ，Ｙ２。＝２ｐｘ２，所以ｌＹ２）＝４ｐ１２由此得到
１２
解法４：函数方法，建立２￣ｚＯＢ的面积Ｓ关于Ａ点的纵坐标Ｙ的函数，从而转化为求函数的最小值．
２０１５年第７期（下）
中学数学研究
４１
一
道抛物线面积最小值问题的七种解法
江西南昌华东交通大学理学院（３３００１３）陈家乐，朱旭生
如图所示：抛物线方程为Ｙ＝
＞ｏ），且ＯＡ＿ｌ＿ＯＢ，则
巧用平面向量中三点共线的充要条件解题
安徽省枞阳县会宫中学（２４６７４０）朱贤良
北师大版必修４教材第８４页中有如下例３：如图，Ａ，Ｂ，Ｃ是平面内三个点，Ａ
其中Ａ， ∈ Ｒ，则Ａ＝
—
］，，一（ｙ一ｙ：）丢ｌ
ｐＩ：Ｉ
＝
兰
ｙ。）Ｙｌ－Ｙｌ２Ｉ：
Ｄ
显然，Ａ，曰两点只能位于轴
上下侧，而不能在轴同一侧，为了
＝Ｐ（１ｙ１＋ｌｙＩ） ≥ ２ｐＪｌ，，。ｌ＝４ｐ等号当且仅当Ｙ：一Ｙ：时
ｆ７４ｐ１等所以Ｂ点坐标为 ’ 一了ｊ髦一
＝
ｙ一＝ｌ＿一），所以ｙ＝一丽＋＝

不规则图形面积的解答方法

不规则图形面积的解答方法一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。

二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。

三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。

四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。

五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。

六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求下图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A 与C重合，从而构成如下图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

求解三角形面积问题的方法

三角形面积问题的难度不大，通常要求根据已知的三角形边、角及其关系，求三角形的面积或最值.这类问题侧重于考查正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义、三角形的面积公式的应用.下面结合一道例题，谈一谈求解三角形面积问题的方法.例题：已知ΔABC 的内角A ,B ,C 的对应边分别为a ,b ,c ，若a cos B =b cos A ，边BC 上的中线AD =4，求ΔABC面积的最大值.要求ΔABC 面积的最大值，需先根据三角形的面积公式S =12bc sin A 或S =12×底×高，求得三角形ΔABC 的面积表达式；再运用基本不等式或三角函数的性质求得ΔABC 面积的最值.一、利用正余弦定理我们知道，正弦定理：a sin A =b sin B =csin C=2R .余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos A ；b 2=a 2+c 2-2ac cos B ;c 2=a 2+b 2-2ab cos C .要求三角形的面积或最值，需利用正余弦定理进行边角互化.一般地，若已知的边及其关系较多，往往需运用余弦定理将边化角；若已知的角及其关系较多，往往需运用正弦定理将角化边.也可同时运用正余弦定理建立关于边、角的方程（组），通过解方程（组），求得三角形的边、角及其关系式，从而求得三角形的面积或最值.解法一：因为a cos B =b cos A ，由正弦定理a sin A =bsin B可得sin A cos B =sin B cos A ，由两角差的正弦公式可得sin(A -B )=0，则A -B =kπ(k ∈Z )，而A,B ∈()0,π，则A =B ，所以c =2a cos A .因为边BC 上的中线AD =4，在ΔABD 中，由余弦定理可得16=c 2+(a 2)2-2c ⋅a2cos B ，得a 2=641+8cos 2B.所以ΔABC 的面积S =12ac sin B =64sin B cos B sin 2B +9cos 2B.由基本不等式可得，sin 2B +9cos 2B ≥6sin 2B cos 2B =6sin B cos B,当且仅当sin B =3cos B 时等号成立，所以S ΔABC 的最大值为323.我们先运用正弦定理，将已知关系式a cos B =b cos A 中的边化为角，得出A =B ；然后运用余弦定理，建立a 、c 及其夹角B 之间的关系式，从而求得ΔABC 面积的表达式；再通过三角恒等变换，运用基本不等式求得ΔABC 面积的最值.解法二：由解法一可知A =B ，因为CA =a ,所以CD =12a ，则S ΔABC =2S ΔADC =2×12⋅a ⋅12a sin C ，在ΔACD 中，由余弦定理得a 2cos C =5a 24-16,由sin 2C +cos 2C =1，得：sin C =S ΔABC =2⋅12a ⋅12a sin C=16当a =853时，S ΔABC 的最大值为323.先利用正弦定理将边化为角，得出A =B ；然后用余弦定理建立a 与cos C 之间的关系式，进而用其表示出44方法集锦ΔABC 的面积；最后根据二次函数的单调性和有界性求得ΔABC 面积的最值.二、坐标法坐标法是指建立合适的直角坐标系，通过坐标运算求得问题的答案.运用坐标法求解三角形面积问题时，要将三角形的高线、等腰三角形的中线，角的平分线视为坐标轴，这样能快速求得各个点的坐标，有利于简化运算.在求三角形的面积时，通常要用两点间的距离公式、点到直线的距离公式来求三角形的边长或高线长.解：以AB 为x 轴，AB 的中点为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，设C (0,h )，可得A (-c 2,0),B (c 2,0),D (c 4,h2)，由两点间的距离公式可得|AD|2=9c 216+h 24，即16=9c 216+h 24≥2⋅34c ⋅h 2，可得ch ≤643，当且仅当3c 4=h 2=22，即c =823,h =42时取等号，所以S ΔABC =12ch ≤12×643=323.建立坐标系后，设出D 点的坐标，并求得A 、C 的坐标，即可根据两点间的距离公式求得AD 的长，据此建立三角形底边和高线之间的关系式，再运用基本不等式即可求得ΔABC 面积的最值.图1图2三、利用阿波罗尼斯圆的定义阿波罗尼斯圆是一种特殊的几何图形.若PAPB=k ，则P 点的轨迹在一个定圆上，这个圆被称为阿波罗尼斯圆.在解答三角形问题时，若已知某个动点与两个定点之间的距离成倍数关系，则可将该点的轨迹视为阿波罗尼斯圆，据此确定P 点的轨迹方程，从而将三角形问题转化为动点的轨迹问题，通过寻找最值点求得三角形面积的最值.解：因为a cos B =b cos A ，由正弦定理可得A =B ，则|CA|=2|CD|，可知点C 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其圆心在直线AD上，半径为83，由图2可知，当ΔADC 的高最长，即为圆的半径83时，三角形的面积最大，此时ΔABC 的面积最大，即S ΔABC =2×S ΔADC =2×12×4×83=323.利用阿波罗尼斯圆的定义，关键在于确定圆的方程、圆心、半径，然后结合圆的性质寻找取得最值的情形，并据此建立关系式，将三角形面积问题转化与圆有关的最值问题.四、割补法割补法主要用于求解图形面积问题.对于一些不规则或不易求得面积的几何图形，往往可以通过分割和填补的方式，将图形转化为规则的或容易求出面积的图形，便可直接运用规则图形的面积公式快速求得图形的面积或表达式，进而求得问题的答案.解：因为a cos B =b cos A ，由正弦定理可得A =B ，则|CA|=2|CD|，如图3，设G 为ΔABC 的重心，即为ΔABC 外接圆的圆心，则GA =83，设∠GAC =α，则S ΔABC =6×S ΔAGO =6×12×83×83cos αsin α=323sin2α≤323,当且仅当α=π4时取等号.我们根据题意很难直接求得ΔABC 的面积，于是运用割补法将ΔABC 三角形分成6个全等的小三角形，将问题转化为求S ΔAGO 的最值，根据三角函数的有界性求得问题的答案.在割补图形时，往往要仔细研究图形的结构特征，对其进行合理的分割，且割补的方式不一样，运算的过程也会有所差异.可见，解答三角形面积问题的方法很多，同学们需运用发散性思维，将问题与三角形的性质、正余弦定理、图形的面积公式、阿波罗尼斯圆的定义等关联起来，寻找最佳的解题方案.在解答三角形面积问题时，需注意一些隐含的条件，如（1）三角形的边长、面积均为正值；（2）三角形的内角为（0,180o ），三个内角和为180o ；（3）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，否则会容易得出增解或错解.（作者单位：江苏省如东县掘港高级中学）图345。

专题10 面积计算(组合图形的面积)(原卷)

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义专题10 面积计算（组合图形的面积）对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。

有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。

在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。

【典例分析01】如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。

【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米【3.14×102×14－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107平方厘米。

解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。

把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。

（20÷2）2×12－（20÷2）2×12＝107（平方厘米）知识精讲典例分析【典例分析02】如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【思路导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a ）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a ）的面积。

如图20－7所示。

3.14×62×14 －（6×4－3.14×42×14 ）＝16.82（平方厘米）解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。

把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。

3.14×42×14 +3.14×62×14 －4×6＝16.28（平方厘米）答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。

一元二次方程应用题(面积问题)1

，
(2)
。注意：这两个面积的重叠部分是 x2米2
2 20x 米纵向的路面面积为
所以正确的方程是： 32×20 - 32x + 20x - x2 = 540

化简得，x - 52x +100 = 0, x1 = 2,x2 = 50
2
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
答：所求道路的宽为2米。
一元二次方程的应用之面积问题
回忆一下：
列方程解应用题有哪些步骤？
审清题意设未知，找出等量列方程，
解出方程要检验，检验无误写答案。
一、面积问题
一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 x+2 2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设矩形的宽为xm，则长为(x＋2) m, 根据题意得： x x (x＋2) ＝120. 即 x2 ＋ 2x－120 ＝0.
120m2
Hale Waihona Puke 探究1、某校为了美化校园,准备在一块长32米, 宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
练习2：如图长方形鸡场，一边靠墙（墙的长度为 18m），另外三边用篱笆围成。篱笆总长为35m （1）当所围的面积为150m2，则长方形鸡场的长和宽分别是多少？（2）能够围成160m2的鸡场吗？
1.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地上沿东西和南北方向分别挖二条和四条水渠, 如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600平方米,那么水渠应挖多宽? 2.在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 1800cm2，求金色纸边的宽。

六年级数学思维：组合图形的面积计算,例题解析!

六年级数学思维：组合图形的面积计算，例题解析！主要题型：一、求不规则图形面积（阴影部分面积）；二、求不能直接利用公式计算的图形面积；三、求规则图形的面积，但条件比较隐蔽，用常规思路无法解答。

基本解题思路：解题的基本思路是，先通过分割、切拼、旋转、平移、翻折、缩放、等积替换等方法，把不规则图形转化为规则图形（或规则图形面积的和差），让隐蔽条件明朗化，再合理运用面积公式，巧求不规则图形面积。

解题技巧：这一块分六讲，以后会陆续更新，每一块各有侧重地介绍了六种求面积的计算方法，但每一种解题方法并不是孤立存在的，在实际解题时一道题常常需要综合运用多种方法，才能巧妙解题。

例如加减法求面积常需要对图形进行割补，而用割补法求面积常需要添加辅助线、平移、旋转、进行加减运算等。

在解答图形面积问题时，关键就是要注意寻找不同图形或同一个图形的各个部分之间的内在联系，可以变换角度或适当添加辅助线帮助观察，特别要注意观察图形边角的形状、长度和角度，及是否隐藏有等底等高之类的条件。

从而根据图形的形状特征，合理地进行分割重组，化不规则为规则，巧妙地运用题目给出的各种条件。

小学阶段常见的面积公式：长方形的面积＝长×宽S＝ab正方形的面积＝边长×边长S＝a.a＝a2三角形的面积＝底×高÷2S＝ah÷2平行四边形的面积＝底×高S＝ah梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2S＝（a＋b）h÷2圆的面积＝圆周率×半径×半径S＝πr2今天我们讲第一块内容：加减法求面积方法介绍：根据组合图形的形状特征，从整体上观察，将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积。

再变化角度思考，通过相加或相减求出所求图形的面积。

例题1：求下图中阴影部分的面积（最后结果保留一位小数）。

（单位：厘米）【解析】：上图阴影部分可以分割成3个完全相同的弓形，先求出其中一个弓形的面积，再求出3个弓形的总面积就是所求阴影部分的面积。

多种方法求面积

巧思妙解
题目：园里有一个长２公ｏ米、宽１５米的长方形草坪。要
在它的四周铺一条宽１米的鹅卵石小路。鹅卵石。的面积是小路多少？解法一：下图。铺好鹅卵石小路后，整个草坪的长是如
２＋ ×２２米）宽是１＋ ×２１米）０１＝２（。５１＝７（。整个草坪的面积是：
巧思妙解
：解法二：如下图，鹅卵石小路被分成了８部分：个边长４
长是１米，宽是１的长方形。所以鹅卵石小路的面积是：５米
ｉ１×１×４２＋０×１×２１＋５×１＝４（平方米） ×２７。
ｒ１一一一一一一一一一一＇＿１
ｌ是１的正方形；米２个长是２０米，宽是１米的长方形；２个
Ｉ．＿
ＬＪ
…
…
一还可以把鹅卵石小路分成４部分：
２个长是２２米（０１）宽是１米的长方形；两个长２＋＋１。是１５米．宽是１米的长方形。所以鹅卵石小路的面积是：
２ ×２５×１＝４（方米）２ｘ１＋１ ×２７平。
同学们。你还能想出其他的做法吗？
２ ×１＝７（２７３４平方米）先草坪的面积是２ ×１＝０（，原０５３０平方米）。
所以，鹅卵石小路的面积是３４３０７平方米）７－０＝４（。
ｉ－

一道“面积相等”问题的多种解法

2020年3月10日理科考试研究•数学版•17•3-3借助图形，为了找到（转化）解题的方向数与形的多角度研究，数形结合转化找到解题的方我们可以借助图形，以“形”助“数”探索解题思向.转化能力同样体现了数学的核心素养.路,即根据存在相等角的具体位置图形的确定，进行（收稿0^=2019-12-02）―道“面积相等”问题的多种解法郑晓燕（宁海县西店中学浙江宁波315613）摘要：本文从两个不全等的等腰直角三角形共直鬲顶点“婆罗摩笈多”模型出发，探究解决图形面积相等问题，以“一题多解”展开，探索基本图形的内涵与延伸.实行“一题一课”教学模式，以达到触类旁通的教学效果，让学科素养落地生根.关键词：“婆罗摩笈多”模型；一题多解;基本图形从“婆罗摩笈多”模型出发，探究解决图形面积相等问题的策略.1原题呈现题目如图1,/XABC和厶4BC是等腰直角三角形，其中AB^AC,AB' =AC',H.ABAC=/LB'AC'= 90。

,连结CB',BC',问ZUBC'与zMCB，的面积关系？2题目解析解法1（等底等高的两个三角形面积相等）如图1,作B'M丄AC交AC于点M,C，N丄AB交R4延长线于点N.c因为厶B'AN+/LB'AC=Z.C4N=90°,又因为厶B'AN+厶NAC'=AB'AC'=90°,所以厶B'AC=厶NAC'.因为/IB'=AC',^AMB'=厶ANC，,所以△AMB'^AANC'(AAS).所以B'M=C'N.又因为AC=AB,所以4C•B'M=AB•C'N.即S&ab'C=S m BC"分析考虑到AC=AB,三角形底相等，则只要三角形的高也相等，问题就能解决，因此容易想到边上作高线.解法2（利用旋转变换构造三角形中线平分三角形面积，得到面积相等）如图2,将厶ACB，绕点/1按顺时针旋转90。

实际问题与一元二次方程——面积问题

4、学校课外生物（小组的试验园地是一块长35米、宽学校课外生物（小组的试验园地是一块长35米、宽 20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条 20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小路（如图），要使种植面积为600平方米，求小等宽的小路（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽。（精确到0.1米）道的宽。（精确到0.1米）
5、在长方形钢片上冲去一个、
X X
30cm
长方形，长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的 2 长方形框的面积为400cm ，求这个长方形框的框边宽。个长方形框的框边宽。
解:设长方形框的边宽为设长方形框的边宽为xcm,依题意得依题意,得设长方形框的边宽为依题意 30×20–(30–2x)(20–2x)=400 × 整理得 x2– 25+100=0 得 x1=20, x2=5 舍去);当当=20时,20-2x= -20(舍去当x=5时,20-2x=10 时舍去时这个长方形框的框边宽为5cm 答:这个长方形框的框边宽为这个长方形框的框边宽为
xm
如图，设路宽为米如图，设路宽为x米， 20m 2 横向路面为 32x 米，纵向路面面积为 20x 米2 。 32m 耕地矩形的长（横向）耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米，耕地矩形的宽（纵向）耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米。相等关系是：耕地长×耕地宽相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2 米即 (32 − x )(20 − x ) = 540.
例3、求截去的正方形的边长
用一块长28cm、 20cm的长方形纸片用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片，要的长方形纸片，在它的四角截去四个相等的小正方形，在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为了有效地利用材料，为180cm２，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少cm？的小正方形的边长是多少cm？

梯形面积的计算_典型例题

☆例1．学校航空模型小组制作的飞机平面图，是由两个完全相同的梯形组成的，如图所示．这个平面图的面积是多大？（图中单位：毫米）分析：机翼是由两个梯形组成的，所以解法可以是：根据梯形面积公式，求出一个梯形的面积，再乘2，就得出了这个机翼平面图的面积．解：（100＋48）×250÷2×2＝148×125÷2×2＝37000（平方毫米）答：平面图的面积是37000平方毫米．☆例2．有一个零件的横截面如下图．求这个零件横截面的面积．（图中单位：毫米）分析：由对图形的观察可知，这个零件的横截面面积，是一个长方形面积减去一个梯形面积所得的差．解：60×28－（36＋24）×10÷2＝1680－300＝1380（平方毫米）答：这个零件横截面的面积是1380平方毫米．☆☆例．如图所示，一直角梯形被两条直线分割成面积相等的三部分，求图中阴影部分（乙）的面积．分析：观察图形，直角梯形的面积可求出，因此甲、（乙＋丙）、丁的面积即可推出．这时不难发现，要解此题的关键是由三角形的面积和高求底的过程．因甲＝乙＋丙＝丁＝31直角梯形＝31×（16＋20）×18÷2，而乙＝31直角梯形－丙，丙是一个直角三角形，只要求出两条直角边，问题就解决了．甲、丁的面积和高都已知，可求出底．解：丙的两条直角边分别为：20－31[（16＋20）×18÷2]÷18×2 ＝20－31×324÷18×2＝20－12＝8（厘米）18－31[（16＋20）×18÷2]÷16×2 ＝18－31×324÷16×2＝18－3.5＝4.5（厘米）图中阴影部分（乙）的面积为31（16＋20）×18÷2－8×4.5÷2 ＝108－18＝90（平方厘米）答：阴影部分（乙）的面积是90平方厘米．例1．如图所示，为一直角梯形土地，已知阴影部分的面积为2145平方米，若在另一不知面积的部分上种上水稻，每平方米收得稻谷1.2千克．可收水稻多少千克？分析1：不知面积部分是三角形，已知其底是60米，关键是求出它的高．在直角梯形中，它的高就是阴影三角形的高，也是不知道．而已知面积的三角形的底为78米，高可求出来，问题得解．解法1：60×（2145×2÷78）÷2×1.2＝60×55÷2×1.2＝3300÷2×1.2＝1650×1.2＝1980（千克）答：可收水稻1980千克．分析2：可以先求出直角梯形的面积，再减去已知阴影部分的面积，同样可得解．解法2：[（60＋78）×（2145×2÷78）÷2－2145]×1.2＝[138×55÷2－2145]×1.2＝（3795－2145）×12＝1650×1.2＝1980（千克）答：可收水稻1980千克．例1．下图中梯形的面积是360平方厘米．图形甲比乙少多少平方厘米？分析1：已知梯形的面积是360平方厘米，又知梯形的上底和下底，可以求出梯形的高，也是三角形的高，再通过三角形的底和高分别计算甲、乙的面积，进而求出甲比乙的面积少多少平方厘米．解：360×2÷（10＋30）＝18（厘米）10×18÷2＝90（平方厘米）30×18÷2＝270（平方厘米）270－90＝180（平方厘米）分析2：根据梯形的性质，上底和下底平行，所以甲和乙这两个三角形的高相等．由已知条件乙三角形的底是甲三角形底的3倍（30÷10），所以乙的面积是甲的3倍，即乙的面积比甲多2倍．梯形面积一共是360平方米，一共分成4份，一份是90平方米，所以甲比乙少90×2＝180平方米．解：30÷10＝3360÷（3＋1）×（3－1）＝90×2＝180（平方米）答：甲的面积比乙少180平方厘米．例2．下图中直角梯形的面积是多少平方厘米？分析：要求梯形的面积，先要求出梯形的高，我们可以根据45°这个角再连出一个梯形的高，如下图连出的三角形为等腰直角三角形，这就得出梯形的高就是2厘米，解决了关键问题．解：（4＋6）×2÷2＝10（平方厘米）答：直角梯形的面积是10平方厘米．☆例3．已知ABC ∆和EFG ∆是两个完全一样的直角三角形，4=BD ，3=DF ，12=FG ，求梯形ABDE 的面积．分析：因为ABC ∆和EFG ∆面积相等，从中同时减去EDC ∆，剩下的面积也一定相等，即：梯形ABDE 与梯形DFGC 的面积相等，也就是说，要求梯形ABDE 的面积，只要求出梯形DFGC 的面积就可以了．解：在梯形DFGC 中，8412=-=DC ，3=DF ，12=FG （8＋12）×3÷2＝30答：梯形ABDE 的面积是30．☆例1．一个梯形，它的高与上底的乘积是15平方厘米，高与下底的乘积是21平方厘米，这个梯形的面积是多少平方厘米？分析：根据题意可知：高×上底＝15，高×下底＝21，所以高×上底＋高×下底＝（上底＋下底）×高……乘法分配率又因为（上底＋下底）×高＝梯形面积×2即15＋21＝36是梯形面积的2倍解：（15＋21）÷2＝18（平方厘米）答：梯形面积是18平方厘米．☆☆例2．一个直角梯形，若下底增加1.5米，则面积就增加3.15平方米，上底增加1.2米，就得到一个正方形．这个直角梯形的面积是多少平方米？分析：若下底增加1.5米，则面积增加一个底为1.5米的三角形，已知三角形的面积是3.15平方米，底是1.5米，就可以求出该三角形的高，也就是梯形的高，3.15×2÷1.5＝4.2（米）．又知上底延长1.2米能得到一个正方形，说明梯形的下底和高相等，并且下底比上底多1.2米，这样可以求出梯形的上底，4.2－1.2＝3（米），已知梯形上底3米，下底和高都是4.2米，可以求出直角梯形的面积．解：（3＋4.2）×4.2÷2＝15.12（平方米）答：这个直角梯形的面积是15.12平方米．例．一个梯形，如果它的上底增加3米，下底和高都不变，那么它的面积就增加9.6平方米；如果上底和下底都不变，高增加3米，那么它的面积就增加18.6米，求原梯形的面积．分析：根据题意，图中有阴影部分的三角形的面积就是9.6平方米，此三角形的底为3米，从而可以求出高h ，h 也是梯形的高．梯形的面积＝h ba ⨯+2．如果上、下底都不变，高增加3米，梯形的面积变为 322)3(2⨯++⨯+=+⨯+ba hb a h b a ．由6.1832=⨯+b a ，可得2.636.182=÷=+b a （米）．问题得解．解：h ＝9.6×2÷3＝6.4（米）2.636.182=÷=+ba （米）原梯形的面积＝h ba ⨯+2＝6.2×6.4＝39.68（平方米）答：原梯形的面积是39.68平方米．一、填空题1．4050平方分米＝（）平方米（）平方分米＝（）平方米520平方分米＝（）平方分米（）平方厘米＝（）平方厘米2．一个三角形的面积是21平方厘米，高7厘米，底是（）．3．底为18厘米，面积是63平方厘米的三角形如果高增加2厘米，要使面积不变，底应减少（）厘米．4．如果等腰三角形的底角是顶角的2.5倍，它的顶角是（）度．5．梯形的高是3.5分米，比中位线的1.5倍少0.25分米．梯形的面积是（）平方分米．6．一个三角形的面积是0.1平方分米，与它等底等高的平行四边形面积是（）．7．当梯形的上底逐渐缩小到一点时，梯形就变成了（）形，当梯形的上底逐渐扩大到与下底相等时，梯形就变成了（）．8．一个长方形，长增加2厘米，面积就增加72平方厘米，宽减少3厘米，面积就减少135平方厘米．原长方形的面积是（）．二、判断题．（对的在括号里打√，错的打×）1．长方形的长和宽都增加3米，面积就增加9平方米．（）2．一个正方形的边长是2厘米，它的周长和面积相等．（）3．大于98°的角是钝角．（）4．两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．（）5．直角三角形的面积是长方形面积的一半．（）6．梯形的内角和是360度．（）7．把梯形的两腰中点连接起来的线段叫做梯形的中位线．（）8．钝角三角形除钝角外，另外两个内角一定是锐角．（）三、选择题．（将正确答案的序号填在括号中）1．一个平行四边形，若高增加3厘米，底不变，面积则增加15平方厘米；若高不变，底减少3厘米，面积则减少9平方厘米．原平行四边形的面积是（）．①15平方厘米②6平方厘米③135平方厘米④30平方厘米2．下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有（）个．①4 ②8 ③2 ④123．下面在与A、B平行的直线上，任意取若干个点，分别与AB连成三角形，这些三角形的面积：①相等②不相等四、求阴影部分面积．1．已知三角形ABC中，S＝30平方厘米，AD＝5厘米，EF＝3厘米．2．已知平行四边形的面积是40厘米．五、应用题．1．一个三角形的面积与一个长方形的面积相等．已知三角形底8厘米，高比底的2倍少6厘米，而长方形的长比三角形的底长2厘米．长方形的宽是多少厘米？2．一条水渠的横截面是梯形，渠口1.8米，渠底1.2米，渠深0.8米，横截面的面积是多少？3．一块长方形红步，长4.2米，宽2.8米，可以裁成直角边是28厘米的小红旗多少面？4．一块梯形木板，高50厘米，中位线110厘米，若上底为140厘米，下底是多少？参考答案一、填空题1．4050平方分米＝（40 ）平方米（50 ）平方分米＝（40.5 ）平方米520平方分米＝（500 ）平方分米（2000 ）平方厘米＝（52000 ）平方厘米2．一个三角形的面积是21平方厘米，高7厘米，底是（6厘米）．3．底为18厘米，面积是63平方厘米的三角形如果高增加2厘米，要使面积不变，底应减少（ 4 ）厘米．4．如果等腰三角形的底角是顶角的2.5倍，它的顶角是（30 ）度．5．梯形的高是3.5分米，比中位线的1.5倍少0.25分米．梯形的面积是（8.75）平方分米．说明：梯形面积＝中位线×高6．一个三角形的面积是0.1平方分米，与它等底等高的平行四边形面积是（0.2平方分米）．7．当梯形的上底逐渐缩小到一点时，梯形就变成了（三角）形，当梯形的上底逐渐扩大到与下底相等时，梯形就变成了（长方形）．8．一个长方形，长增加2厘米，面积就增加72平方厘米，宽减少3厘米，面积就减少135平方厘米．原长方形的面积是（1620平方厘米）．二、判断题．（对的在括号里打√，错的打×）1．长方形的长和宽都增加3米，面积就增加9平方米．（×）2．一个正方形的边长是2厘米，它的周长和面积相等．（×）3．大于98°的角是钝角．（×）4．两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．（×）5．直角三角形的面积是长方形面积的一半．（×）6．梯形的内角和是360度．（√）7．把梯形的两腰中点连接起来的线段叫做梯形的中位线．（√）8．钝角三角形除钝角外，另外两个内角一定是锐角．（√）三、选择题．（将正确答案的序号填在括号中）1．①2．②3．①四、求阴影部分面积．1．30－30×2÷5×3÷2＝12（平方厘米）2．（40÷5－5）×（40÷5－5）＝9（平方厘米）五、应用题．1．（8×2－6）×8÷2÷（8＋2）＝4（厘米）答：长方形的宽是4厘米．2．（1.8＋1.2）×0.8÷2＝1.2（平方米）答：横截面的面积是1.2平方米．3．28厘米＝0.28米4.2×2.8÷（0.28×0.28÷2）＝300（面）答：可以裁成直角边是28厘米的小红旗300面．4．110×2－140＝80（厘米）答：下底是80厘米．单元测试一、填空．1．（）平方米＝240公顷＝（）平方千米．2．一个等腰直角三角形的一条直角边2.4分米，面积是（）平方分米．3．从一个底是12厘米，高8厘米的平行四边形中剪下一个最大的三角形，三角形的面积是（）平方厘米．4．一个三角形底是12分米，高是45厘米，它是面积是（）平方分米．5．一个梯形的面积是78.2平方厘米，上底是8厘米，下底是15厘米，高是（）厘米．6．一个直角梯形下底是上底是2.3倍，如果上底延长6.5厘米就变成一个正方形，这个梯形面积是（）平方厘米．二、判断1．梯形的高越大，面积就越大．（）2．两个三角形等底等高，面积一定相等，但形状不一定相同．（）3．一个平行四边形面积是18平方厘米，如果要使面积不变，底扩大3倍，高就要缩小3倍．（）三、选择：1．两个（）的三角形可以拼成一个平行四边形．a．面积相等b．形状相同c．等底等高d．完全相同2．梯形面积等于平行四边形面积的（）．a．一半b．2倍c．无法判断3．下图中甲、乙两部分的面积相比较，（）a．甲＞乙b．甲＜乙c．甲＝乙四、求阴影部分的面积．（单位：厘米）五、应用题1．一种收割机，作业宽度是3.5米，每分钟前进100米．这种收割机4小时收割小麦多少公顷？2．一块三角形稻田，底是100米，共收稻谷6.45吨．如果每公顷收稻谷21.5吨，这块地高是多少米？3．下图是房屋的一面墙，如果砌这面墙每平方米用砖185块，一共要用砖多少块？参考答案一、填空1．2400000，2.4 2．2.88 3．48 4．27 5．6.8 6．94.875二、判断1．×2．√3．√三、选择1．d2．c 3．c四、1．42平方厘米2．19.5平方厘米五、应用题1．8.4公顷2．60米3．7326块单元测试一、填空．1．4.8公顷＝（）平方米．2．0.47平方千米＝（）公顷．3．一个平行四边形的面积是18.6平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是（）平方厘米．4．一个梯形的高是6厘米，上底是3厘米，下底是13厘米，面积是（）平方厘米．5．一个直角三角形，两条直角边分别是90分米和12分米，它的面积是（）平方分米．6．三角形的底是1.8米，高是1.5米，两个完全相同的三角形拼成的平行四边形的面积是（）平方米．二、判断1．两个面积相等的三角形，一定能拼成一个平行四边形．（）2．一个长方形可以分成两个直角三角形，也可以分成两个梯形．（）3．梯形的面积是平行四边形面积的一半．（）4．3平方米＞3米．（）三、计算下面每个图形的面积．四、解答下面各题．1．小明走50米的距离，第一次走了78步，第二次走了79步，第三次走了77步．他平均走一步的长度是多少米？（得数保留两位小数）2．一块长方形的白布，长40米，宽1.6米．用它剪裁成两条直角边都是40厘米的三角巾．可以做成多少条？3．一块平行四边形的麦田，底是300米，高是240米．共收小麦48600千克．平均每公顷收小麦多少千克？4．一个梯形的果园，上底是160米，下底是120米，高是90米．如果每棵树占地9平方米，那么这个果园可栽果树多少棵？参考答案一、填空1．48000 2．47 3．9.3 4．48 5．54 6．2.7二、判断1．×2．√3．×4．×三、计算下面图形的面积1．205.2平方厘米2．195平方厘米3．0.516平方米四、解答下面各题1．（78＋79＋77）÷3＝78（步）50÷78≈0.64（米）2．40厘米＝0.4米40×1.6÷（0.4×0.4÷0.2）＝800（条）3．300×240÷10000＝7.2（公顷）48600÷72＝6750（千克）4．（160＋120）×90÷2÷9＝1400（棵）1．（）的四边形叫做梯形．在梯形里，互相平行的一组对边，分别叫做梯形的（）和（）；不平行的一组对边叫做梯形的（），从（）的一点向（）引一条垂线，这点到垂足间的（）叫做梯形的高．2．两腰相等的梯形叫做（）．3．两个（）的梯形可以拼成一个（），（）形的底就是梯形的（）和（）的和，它的高就是（）的高，它的面积是（）面积的2倍．4．参考答案1．（只有一组对边平行）的四边形叫做梯形．在梯形里，互相平行的一组对边，分别叫做梯形的（上底）和（下底）；不平行的一组对边叫做梯形的（腰），从（上底）的一点向（下底）引一条垂线，这点到垂足间的（线段）叫做梯形的高．2．两腰相等的梯形叫做（等腰梯形）．3．两个（完全一样）的梯形可以拼成一个（平行四边形），（平行四边）形的底就是梯形的（上底）和（下底）的和，它的高就是（梯形）的高，它的面积是（梯形）面积的2倍．4．1．一个梯形的上底长17厘米，下底比上底长6厘米，梯形的高是25厘米，这个梯形的面积是多少？2．一个提醒塑料板，上底长16厘米，下底长是上底的1.4倍，高是15厘米，这块塑料板的面积是多少？3．一块梯形玉米地，上底15米，下底24米，高18米．如果每平方米种玉米9棵，这块地共种玉米多少棵？4．一条水渠的横截面是梯形，水渠上口宽3米，渠底宽2米，渠深1.6米．这条水渠横截面的面积是多少？5．一块梯形麦田，上底58米，下底75米，高60米，如果每平方米收小麦0.8千克，这块麦田共收小麦多少千克？参考答案1．（17＋17＋6）×25÷2＝500（平方厘米）答：这个梯形的面积是500平方厘米．2．（16＋16×1.4）×15÷2＝288（平方厘米）答：这块塑料板的面积是288平方厘米．3．（15＋24）×18÷2＝351（平方厘米）9×351＝3159（棵）答：这块地共种玉米3159棵．4．（3＋2）×1.6÷2＝4（平方米）答：这条水渠横截面的面积是4平方米．5．（58＋75）×60÷2＝3990（平方米）0.8×3990＝3192（千克）答：这块麦田共收小麦3192千克．一、填空1．0.45公顷＝（）平方米2．两个完全一样的梯形可以拼成一个（）形．3．一个梯形上底与下底的和是15厘米，高是8.8厘米，面积是（）平方厘米．4．平行四边形的底是2分米5厘米，高是底的1.2倍，它的面积是（）平方厘米．5．梯形的上底增加3厘米，下底减少3厘米，高不变，面积（）．6．有一堆圆木堆成梯形，最上面一层有3根，最下面一层有7根，一共堆了5层，这堆圆木共有（）根．二、判断题1．平行四边形的面积大于梯形面积．（）2．梯形的上底下底越长，面积越大．（）3．任何一个梯形都可以分成两个等高的三角形．（）4．两个形状相同的三角形可以拼成一个平行四边形．（）三、选择1．两个（）梯形可以拼成一个长方形．①等底等高②完全一样③完全一样的直角2．等腰梯形周长是48厘米，面积是96平方厘米，高是8厘米，则腰长（）．①24厘米②12厘米③18厘米④36厘米四、应用题1．一条水渠横截面是梯形，渠深0.8米，渠底宽1.2米，渠口宽2米，横截面积是多少平方米？2．两个同样的梯形，上底长23厘米，下底长27厘米，高20厘米．如果把这两个梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的面积是多少？3．梯形的上底是3.8厘米，高是4厘米，已知它的面积是20平方厘米，下底是多少厘米？参考答案一、填空1．0.45公顷＝（4500 ）平方米2．两个完全一样的梯形可以拼成一个（平行四边）形．3．一个梯形上底与下底的和是15厘米，高是8.8厘米，面积是（66 ）平方厘米．4．平行四边形的底是2分米5厘米，高是底的1.2倍，它的面积是（750 ）平方厘米．5．梯形的上底增加3厘米，下底减少3厘米，高不变，面积（不变）．6．有一堆圆木堆成梯形，最上面一层有3根，最下面一层有7根，一共堆了5层，这堆圆木共有（25 ）根．二、判断题1．平行四边形的面积大于梯形面积．（×）2．梯形的上底下底越长，面积越大．（×）3．任何一个梯形都可以分成两个等高的三角形．（√）4．两个形状相同的三角形可以拼成一个平行四边形．（√）三、选择1．两个（③）梯形可以拼成一个长方形．①等底等高②完全一样③完全一样的直角2．等腰梯形周长是48厘米，面积是96平方厘米，高是8厘米，则腰长（①）．①24厘米②12厘米③18厘米④36厘米四、应用题1．（1.2＋2）×0.8÷2＝0.88（平方米）答：横截面积是0.88平方米．2．（23＋27）×20÷2×2＝1000（平方厘米）答：这个平行四边形的面积是1000平方厘米．3．20×2÷4－3.8＝6.2（厘米）答：下底是6.2厘米．计算题计算下面每个图形的面积．（单位：厘米）参考答案1．（32.2＋18.8）×26÷2＝663（平方厘米）答：面积是663平方厘米．2．（5.2＋10.4）×8.4÷2＝65.52（平方厘米）答：面积是65.52平方厘米．3．4.5×5.7＝25.65（平方厘米）答：面积是25.65平方厘米．4．2.5×1.6＝4（平方厘米）答：面积是4平方厘米．5．5.5×5.5＝30.25（平方厘米）答：面积是30.25平方厘米．6．7.5×1.2÷2＝4.5（平方厘米）答：面积是4.5平方厘米．。

二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法

数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。

中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略

因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。

抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略

图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。

.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段，并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公式（底乘髙的一半）来求,在平面直角坐标系中求斜三角形的面积用这个公式难度大，那如何求呢？那就需要运用转化的方法把斜三角形分割成底与高分别与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜三角形的面积不仅可以运用分割法，也可以转换思路，用补形的方法把不规则图形转化成规则图形，将斜三角形面积转化成矩形面积减去三角形的面积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (：一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ，利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念，是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。

一道试题的多种解法与教学反思

一道试题的多种解法与教学反思试题描述：在一个圆形花坛中，有若干株花，每株花的周围都有一圈草。

如果将花坛的半径增加1米，花坛的面积将增加25平方米。

求花坛中花的数量。

解法一：几何法根据题意，我们可以得到以下信息：原花坛的半径为r，面积为πr²；增加花坛的半径为(r+1)，面积为π(r+1)²；两者面积之差为25平方米。

根据面积的计算公式，我们可以得到以下方程：π(r+1)² - πr² = 25化简上述方程，消去π，并展开平方项，得到：r² + 2r + 1 - r² = 25化简得到：2r + 1 = 25解得：r = 12因此，原花坛的半径为12米。

将半径代入面积的计算公式，可得到花坛的面积为π(12²) = 144π平方米。

解法二：代数法假设花坛中原本有n株花。

根据题意，我们可以得到以下信息：原花坛的面积为πr²；增加花坛的半径为(r+1)，面积为π(r+1)²；两者面积之差为25平方米。

根据面积的计算公式，我们可以得到以下方程：π(r+1)² - πr² = 25化简得到：π(r² + 2r + 1 - r²) = 25化简得到：π(2r + 1) = 25进一步化简可得：2r + 1 = 25/π解得：r = (25/π - 1) / 2 ≈ 3.98因为半径必须为正数，所以取最接近的整数值，即r ≈ 4。

代入原花坛的面积计算公式，可得到花坛的面积为π(4²) = 16π平方米。

解法三：逻辑推理法根据题意，增加花坛的半径1米后，面积增加25平方米。

我们可以通过逻辑推理来解决问题。

设原花坛的面积为A，花坛内花的数量为n。

当半径增加1米后，面积增加25平方米。

这意味着原本半径为r的花坛的面积A与增加后半径为(r+1)的花坛的面积相差25平方米。

则有：A + 25 = A + π((r+1)² - r²)化简可得：25 = π(2r + 1)通过观察可知，π(2r + 1)必须约等于25。

容斥原理求阴影面积题

容斥原理求阴影面积题
阴影面积问题是一个经典的数学问题，它的解法有多种，其中最常见的一种是利用排除法也叫容斥原理来求解。

容斥原理是一种求解多个集合的综合必要条件的技术。

它的主要思想是，如果有多个集合涉及一个问题，可以把它们拆分成没有重叠部分的不同子集，然后根据条件来计算它们之和。

当然，有时由于集合中有重叠部分，所以必须用一些技巧来把计算重新组合起来。

这是容斥原理的核心思想。

阴影面积的问题利用容斥原理很容易求解。

比如有六个小朋友排成一排站立，此时正面有五个影子，可以用容斥原理求出每个小朋友身上分别有多少阴影，且他们每个小朋友的阴影总和是相等的。

设有六个小朋友A、B、C、D、E、F，我们要求A身
上有多少阴影。

首先，把这六个小朋友划分成三组，第一组只有A，第二组只有C、D，第三组有 B、E、F。

由于第一组只有一个小朋友，所以A的阴影特别容易求出，直接在原来的五个影子的总阴影上减去其他五个小朋友的阴影数即可，得到A的阴影面积。

同理，设第二组C、D有X个阴影，由于B、E、F只有三个小朋友，所以要减去他们三个小朋友的阴影，由此可以求出X的值。

这样，就可以根据容斥原理求出每个小朋友的阴影面积。

容斥原理有效的用于解决多个集合的问题，它是数学领域一种常用的技巧。

在求阴影面积题中，容斥原理也得到了良好的应用，可以有效的求出每个小朋友的阴影面积。

在实际应用中，也常常会结合上下文和问题的特定情况来对容斥原理进行进一步的改进，从而获得更准确的结果。

二次函数求面积问题解题思路

二次函数求面积问题解题思路【导语】在数学中，二次函数是非常常见的一种函数类型。

而对于二次函数求面积问题，我们可以通过一定的解题思路来解决。

本文将围绕着二次函数求面积问题展开，详细介绍解题思路，并分享个人观点和理解。

【引言】二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a 不等于零。

在二次函数中，求解其曲线所围成的面积是一道常见的数学题目。

解决这类问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。

下面将按照从简到繁、由浅入深的方式，分享二次函数求面积问题的解题思路。

【正文】1. 面积问题的基本思路在解决二次函数求面积问题时，我们可以使用定积分的思想。

具体来说，我们将二次函数的曲线与x轴所围成的面积，分解为无穷多个无限小的矩形，然后对这些矩形的面积进行求和。

通过计算这个和，我们就可以得到所求的面积。

2. 简单情况下的求解在一些简单的情况下，我们可以直接使用基本的几何知识来求解二次函数的面积。

当二次函数的解析式可以方便地转化为一个简单的几何形状时，我们可以直接计算这个几何形状的面积，得到答案。

3. 进阶情况下的求解在更复杂的情况下，我们需要使用定积分的方法来求解二次函数的面积。

具体而言，我们可以首先确定二次函数与x轴的交点，然后根据这些交点将整个面积分割成多个部分。

接下来，我们可以分别计算每个小矩形的面积，并对这些面积进行求和，最后得到所求的总面积。

4. 完整解题思路的展示下面，我们将通过一个具体的例子来展示完整的解题思路。

假设我们需要计算二次函数y=x^2与x轴所围成的面积。

我们可以求解出二次函数与x轴的交点，得到交点为x=0和x=1。

我们可以将整个面积分割成两部分：在0到1之间的部分和在1到正无穷之间的部分。

对于0到1之间的部分，我们可以使用定积分的方法计算出面积为∫[0,1]x^2 dx；对于1到正无穷之间的部分，我们可以使用类似的方法计算出面积为∫[1,+∞)x^2 dx。

将这两部分的面积相加，即可得到最终的结果。

二次函数面积最值问题的4种解法

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解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。设动点 P 的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。
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原题：在（ 1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点 P，使 △PBC 的面积最大？若存在，求出 P 点的坐标及△PBC 的面积最大值，若没有，请说明理由。考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。一般解题思路和步骤是，设动点 P 的坐标，然后用代数式表达各线段的长。通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。请看解题步骤。
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解法二：铅锤定理，面积 =铅锤高度 ×水平宽度 ÷2。这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解法四：三角函数法。请大家认真看上面的解题步骤。总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。过点 P 做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。设动点 P 的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。

《九章算术》中一些求平面图形面积的题目

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 《九章算术》中一些求平面图形面积的题目《九章算术》中一些求平面图形面积的题目《九章算术》共收集了 246 道应用问题和各种问题的解法，是当时由国家组织力量编纂的官方数学教科书，对我国数学的发展产生了很大影响。

下面从书中选取一些求平面图形面积的题目，仍然采取译述的方式，供五六年级老师和有兴趣的网友参考。

如果有可能的话，以适当的方式有选择地把这些材料介绍给学生，对于扩大学生的视野，培养学生学习数学的兴趣，加强对祖国优秀文化遗产的认识，都是有好处的。

原题 1：又有田广十二步，纵十四步。

问：为田几何？答曰：一百六十八步。

方田术曰：广纵步数相乘得积步。

译述：方田是古代对正方形和长方形的统称。

步是当时的长度单位。

相应的面积单位平方步也简称为步。

又有田广十二步，纵十四步。

1 / 10问：为田几何？有一块长方形地，宽 12 步，长 14 步。

问：它的面积是多少？答曰：一百六十八步。

答案是：168 平方步。

方田术曰：广纵步数相乘得积步。

计算长方形面积的方法是：宽与长相乘得面积。

1214＝168(平方步) 原题 2：今有田广七分步之四，纵五分步之三。

问：为田几何？答曰：三十五分步之十二。

乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实。

译述：今有田广七分步之四，纵五分步之三。

问：为田几何？有一4步，长5块长方形地，宽73步。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 问：它的面积是多少？答曰：三十五分步之十二。

一道过定点直线与坐标轴围成三角形面积问题的探究

一道过定点直线与坐标轴围成三角形面积问题的探究笔者近日在教学人教A版高中数学必修二《第三章直线方程》内容时，给学生列举了这样一道试题：过点P(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点，当∆AOB的面积最小时，求直线l的方程。

同学们主要有以下几种解法：解法1：由题意知，直线l斜率存在。

设直线l的方程为：y-2=k(x-1)(k<0),则A(1- ,0),B(0,2-k)，所以 = OA∙OB= |1- |∙|2-k |= |-k+ +4|≥ |2 |=4，当且仅当 =，即k=-2时取等号。

∴∆AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0。

思路小结：本解法通过设出直线的点斜式方程，将面积表示为关于斜率k的函数，通过研究函数的最小值进而得到围成三角形面积的最小值。

解法2：由题意，设直线l的方程为： + =1（a>1,b>2），∵点P（1，2）在直线l上，∴ + =1。

由基本不等式，得1= +≥2，即ab≥8,于是 =ab≥4,当且仅当 =，即a=2,b=4时取等号。

∴∆AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为 + =1，即2x+y-4=0。

思路小结：本解法通过设出直线的截距式方程，然后构建出基本不等式对围成三角形面积的最值进行求解。

解法3:同解法2，得 + =1。

由于a>0,b>0，令 =， =，则a=，b=，于是= ab= =。

∵≤1，∴≥4，即≥4，当且仅当=±1,即α= +，k∈Z时取等号，此时a=2,b=4。

∴∆AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为 + =1，即2x+y-4=0。

思路小结：本解法根据直线截距式方程的特点，类比三角函数的平方关系，通过三角代换，结合三角函数的有界性，对围成三角形面积的最小值进行了求解。

解法4：如图1所示，过点P分别作x轴、y轴的垂线，PM,PN,垂足分别为M,N。