江苏专用2018版高考数学专题复习专题5平面向量第33练平面向量综合练练习理
江苏2018版高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积教师用书文苏教版
5.3 平面向量的数量积1.向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]. 2.平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角.则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a·b )＝λa·b (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 【知识拓展】1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( × )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形.( × ) (5)两个向量的夹角的范围是[0，π2].( × )1.设a ，b ，c 为平面向量，有下面几个命题： ①a ·(b －c )＝a·b －a·c ； ②(a·b )·c ＝a·(b·c )； ③(a －b )2＝|a|2－2|a||b |＋|b |2； ④若a·b ＝0，则a ＝0，b ＝0. 其中正确的有________个. 答案 1解析 由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a |2－2|a||b |cos θ＋|b |2知③不正确；对于④，∵a·b ＝|a||b |·cos θ＝0，∴|a |＝0或|b |＝0或cos θ＝0.∴a ＝0或b ＝0或a⊥b ，故④不正确. 2.(教材改编)已知△ABC 中，BC ＝4，AC ＝8，∠C ＝60°，则BC →·CA →＝________. 答案 －16解析 画图可知向量BC →与CA →夹角为角C 的补角(图略)，故BC →·CA →＝BC ×AC cos(π－C )＝4×8×(－12)＝－16.3.(教材改编)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝________.答案3解析 ∵a·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a·b ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.4.(教材改编)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若向量b ⊥(a ＋λb )，则实数λ的值是________. 答案 －3解析 b ·(a ＋λb )＝b·a ＋λb·b ＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.5.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1，且MA →·MB →＝－16，则AB →·AD →＝________.答案 34解析 因为AM →＝23AE →＝23(AD →＋12AB →)＝23AD →＋13AB →， MB →＝23DB →＝23(AB →－AD →)，所以AM →·MB →＝(23AD →＋13AB →)·23(AB →－AD →)＝16，所以AB →·AD →＝34.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2016·江苏南京开学测试)已知在▱ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°.若E 为DC 的中点，且AE →·BD →＝1，则BD →·BE →的值为________.(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________. 答案 (1)3 (2)1 1解析 (1)设AB ＝m (m >0)，以向量AB →，AD →为基底，在▱ABCD 中，AB ＝m ，AD ＝2，∠BAD ＝60°，则AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →·AD →－12AB →2＝4－12m －12m 2，因为AE →·BD →＝1，得m 2＋m －6＝0，因为m >0，所以m ＝2，所以BD →·BE →＝BD →·(BC →＋CE →)＝(AD →－AB →)·(AD →－12AB →)＝AD→2－32AB →·AD →＋12AB →2＝4－3＋2＝3，故BD →·BE →＝3.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解.(1)(2016·全国丙卷改编)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________.(2)(2015·四川改编)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________. 答案 (1)30° (2)9解析 (1)∵|BA →|＝1，|BC →|＝1， cos∠ABC ＝BA →·BC→|BA →|·|BC →|＝32，又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°. (2)∵AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9. 题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模例2 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4.若点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273，则AC 的长为________.答案 3解析 令AC ＝b ，由题意得 AB →·AC →＝4b cos 120°＝－2b ， 因为点D 在边BC 上， 且BD →＝2DC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，从而AD →2＝(13AB →＋23AC →)2，又因为AD ＝273，所以289＝169＋4b 29－8b 9，整理得b 2－2b －3＝0，解之得b ＝3(b ＝－1舍去)， 即AC 的长为3.(2)(2016·江苏启东中学阶段测试)已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a 与b 的夹角等于150°，b 与c 的夹角等于120°，|c |＝2，求|a |，|b |. 解 由a ＋b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋2a·b ＝c 2，b 2＋c 2＋2b·c ＝a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＋|b |2＋2|a||b |cos 150°＝4，|b |2＋4＋2·2·|b |cos 120°＝|a |2，解之得|a |＝23，|b |＝4. 命题点2 求向量的夹角例3 (1)(2016·南京、盐城调研)已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是____________.答案 (1)π3 (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 解析 (1)设向量a ，b 的夹角为θ，由|a －b |＝21得， 21＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋1－10cos θ， 即cos θ＝12，所以向量a ，b 的夹角为π3.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a||b |，要注意θ∈[0，π].(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________. 答案 (1)9 (2) 6解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.题型三 平面向量与三角函数例4 (2016·南通调研)已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝(cos(A ＋π3)，sin(A ＋π3))，n＝(cos B ，sin B )，且m⊥n . (1)求A －B 的值；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长.解 (1) 因为m ⊥n ，所以m·n ＝cos(A ＋π3)cos B ＋sin(A ＋π3)sin B＝cos(A ＋π3－B )＝0.又A ，B ∈(0，π2)，所以A ＋π3－B ∈(－π6，5π6)，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈(0，π2)，所以sin B ＝45.所以sin A ＝sin(B ＋π6)＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310. 由正弦定理，得BC ＝sin Asin B ·AC ＝43＋31045×8＝43＋3.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.在△ABC 中，已知C ＝π6，m ＝(sin A,1)，n ＝(1，cos B )，且m⊥n .(1)求A 的值；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m·n ＝sin A ＋cos B ＝0，因为C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos(5π6－A )＝0，即sin A －32cos A ＋12sin A ＝0， 即3sin(A －π6)＝0.又0<A <5π6，所以A －π6∈(－π6，2π3)，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ， 由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1(舍负)，所以AB ＝BC ＝3.所以S △ABC ＝12BA ·BC sin B＝12×3×3×sin 2π3＝934.5.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3).求使向量PA →与PB →夹角为钝角的充要条件. 错解展示现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π， 即PA →，PB →反向的情况，此时a ＝1，故PA →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况.1.(2016·苏州期末)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x ＝________. 答案 9解析 先由a ⊥(a －b )，得a·(a －b )＝0，即a 2＝a·b ，再代入数据. 把a ＝(1,2)，b ＝(x ，－2)，代入a 2＝a·b ， 得5＝x －4，所以x ＝9.2.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝________. 答案 2 3解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60° ＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.3.已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为________. 答案32解析 ∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos〈a ，b 〉 ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3， ∴cos〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 4.(2016·常州期末)已知平面向量a ＝(4x,2x)，b ＝(1，2x－22x )，x ∈R ，若a ⊥b ，则|a －b |＝________. 答案 2解析 因为a ⊥b ，所以4x＋2x×2x－22x ＝4x ＋2x－2＝0，解得2x ＝－2(舍)或2x＝1， 故a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)， 故a －b ＝(0,2)，故|a －b |＝2.5.(2017·江苏扬州中学质检)在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，CA ＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________. 答案 －5解析 AB →＋BC →＋CA →＝0两边平方得AB →2＋BC →2＋CA →2＋2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2CA →·AB →＝0， 又AB ＝1，BC ＝2，CA ＝5，从而有2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2CA →·AB →＝－10， 故AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－5.6.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是_____________________________________.答案2解析 依题意得AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(AF →－AB →)＝AB →·AF →－AB →2＋BE →·AF →－BE →·AB →＝2－2＋2－0＝ 2.7.(2016·南京调研)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝______.答案 32解析 方法一 设AB →＝4a ，AD →＝3b ，其中|a |＝|b |＝1，则DC →＝2a ，AM →＝2b . 由AC →·BM →＝－3得(3b ＋2a )·(2b －4a )＝－3， 化简得a·b ＝18，所以AB →·AD →＝12a·b ＝32.方法二 建立平面直角坐标系，使得A (0,0)，B (4,0)，设D (3cos α，3sin α)，则C (3cos α＋2,3sin α)，M (2cos α，2sin α).由AC →·BM →＝－3，得(3cos α＋2,3sin α)·(2cos α－4,2sin α)＝－3，化简得cos α＝18. 所以AB →·AD →＝12cos α＝32.8.(2016·南通调研)已知边长为6的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD →的值为________. 答案274解析 如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (－3,0)，C (3,0)，则D (0,0)，A (0,33)，E (1, 23)，P (0，332)，所以PB →·PD →＝274.9.已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________. 答案 4解析 由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0,2)，P (1,1)，C (0，0)，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝2CP →2＝4.10.(2016·南京、盐城调研)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC→的值为______.答案 －2解析 AD →·BC →＝(AC →＋CD →)·BC →＝(AC →＋23CB →)·BC →＝[AC →＋23(AB →－AC →)]·BC →＝(23AB →＋13AC →)·(AC→－AB →)＝－23|AB →|2＋13AB →·AC →＋13|AC →|2＝－6＋1＋3＝－2.11.(2016·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f (x )＝x 2＋4x(x >0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB →＝________. 答案 －2解析 设M (x 0，y 0)为函数f (x )＝x 2＋4x (x >0)的图象上任意一点，由题设知B (0，y 0)，A (x 0＋y 02，x 0＋y 02)，从而MA →＝(y 0－x 02，x 0－y 02)，MB →＝(－x 0,0)，故MA →·MB →＝x 20－x 0y 02，因为M (x 0，y 0)为函数f (x )＝x 2＋4x (x >0)的图象上任意一点，所以x 0y 0＝x 20＋4，从而有MA →·MB →＝x 20－x 0y 02＝－42＝－2.12.(2016·苏北四市调研)已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1，若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →|的取值范围是____________. 答案 [6－1，6＋1]解析 因为OA →·OB →＝|OA →|×|OB →|×cos〈OA →，OB →〉＝1，|OA →|＝|OB →|＝2，所以cos 〈OA →，OB →〉＝12，所以〈OA →，OB →〉＝π3，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则O (0,0)，A (2，0)，B (22，62). 令OP →＝OA →＋OB →＝(322，62)，则|OP →|＝6，因为|OA →＋CB →|＝|OA →＋OB →－OC →|＝|OP →－OC →|＝1，所以点C 的运动轨迹是以点P 为圆心，1为半径的圆，而|OP →|＝6，则|OC →|的取值范围为[6－1，6＋1].13.(2016·江苏如东中学质检)在△ABC 中，B ＝π4，D 是边BC 上一点，AD ＝5，CD ＝3，AC ＝7.(1)求∠ADC 的值； (2)求BA →·DA →的值.解 (1)在△ADC 中，由余弦定理得AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos∠ADC ＝AC 2，52＋32－2×5×3×cos∠ADC ＝72， 所以cos∠ADC ＝－12.又因为0<∠ADC <π，所以∠ADC ＝2π3.(2)由(1)得∠ADB ＝π3.在△ABD 中，由正弦定理AD sin∠ABD ＝ABsin∠ADB，得AB ＝AD sin∠ABD ×sin∠ADB ＝562.所以BA →·DA →＝562×5×cos(π－π4－π3)＝253－34.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 2A ＋B2＋cos 2C ＝1.(1)求角C 的大小；(2)若向量m ＝(3a ，b )，向量n ＝(a ，－b3)，m ⊥n ，(m ＋n )·(m －n )＝16，求a ，b ，c 的值.解 (1)∵2sin2A ＋B2＋cos 2C ＝1，∴cos 2C ＝1－2sin2A ＋B2＝cos(A ＋B )＝－cos C ， ∴2cos 2C ＋cos C －1＝0， ∴cos C ＝12或cos C ＝－1，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵m ⊥n ，∴3a 2－b 23＝0，即b 2＝9a 2.①又(m ＋n )·(m －n )＝16， ∴8a 2＋8b 29＝16，即a 2＋b 29＝2，②由①②可得a 2＝1，b 2＝9，∴a ＝1，b ＝3， 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， ∴c ＝7，∴a ＝1，b ＝3，c ＝7.。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题5 平面向量 第34练 Word版含解析
1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－2≤φ＜2)的图象关于直线x ＝3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6＜α＜2π3)，求cos(α＋3π2)的值．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .(1)求角B 的大小；(2)若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．3．(2017·贵阳第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．4．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC→|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线OA 上的动点，求|OC→＋OD →|的最小值； (2)若x ∈0，π2]，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．5．(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)当x ∈0，π2]时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A 2)＝3，且a ＝4，b＋c ＝5，求△ABC 的面积．答案精析1．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－π6＋k π，k ∈Z.由－π2≤φ＜π2，得k ＝0，所以φ＝－π6.(2)由(1)，得f (x )＝3sin(2x －π6)，所以f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，即sin(α－π6)＝14. 由π6＜α＜2π3，得0＜α－π6＜π2，所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.因此cos(α＋3π2)＝sin α＝sin(α－π6)＋π6] ＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.2．解 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，可得2sin B cos A＝3(sin C cos A＋sin A cos C)，即2sin B cos A＝3sin B.因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos A＝3 2，所以A＝π6，则C＝π－A－B＝2π3.设AC＝m(m＞0)，则BC＝m，所以CM＝12m.在△AMC中，由余弦定理，得AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos 2π3，即(7)2＝14m2＋m2－2·12m·m·(－12)，整理得m2＝4，解得m＝2.所以S△ABC ＝12CA·CB sin2π3＝12×2×2×32＝ 3.3．解(1)因为m∥n，所以(a＋b)(sin A－sin B)－c(sin A－sin C)＝0. 由正弦定理，得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12.因为B∈(0，π)，所以B＝π3. (2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，由B＝π3，可知θ∈(0，2π3)．由正弦定理及AD＝3，得BDsinθ＝ABsin(2π3－θ)＝ADsinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin(2π3－θ) ＝3cos θ＋sin θ.所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ.从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin(θ＋π6)．由θ∈(0，2π3)，可知θ＋π6∈(π6，5π6)，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3.此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.4．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题意知C (－22，22)，所以OC →＋OD →＝(－22＋t ，22)，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝(t－22)2＋12(0≤t ≤1)．所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC→＝(cos x ＋1，sin x )， 则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin(2x ＋π4)．因为x ∈0，π2]，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin(2x ＋π4)取得最大值1.所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.5．解(1)f(x)＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx＝sin(2ωx＋π3)＋32，因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1，所以f(x)＝sin(2x＋π3)＋3 2.又0≤x≤π2，则π3≤2x＋π3≤4π3，所以－32≤sin(2x＋π3)≤1，所以0≤sin(2x＋π3)＋32≤32＋1，即函数y＝f(x)在x∈0，π2]上的值域为0，32＋1]．(2)因为f(A2)＝3，所以sin(A＋π3)＝32.由A∈(0，π)，知π3＜A＋π3＜4π3，解得A＋π3＝2π3，所以A＝π3.由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝b2＋c2－bc，所以16＝(b＋c)2－3bc.因为b＋c＝5，所以bc＝3，所以S△ABC ＝12bc sin A＝334.。
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积课件文
题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模
例2 (1)(2016· 南京、盐城调研)在△ABC 中，A＝120° ，AB＝4.若点 D 在
2 7 → → 3 边 BC 上，且BD＝2DC，AD＝ 3 ，则 AC 的长为____.
答案 解析
(2)(2016· 江苏启东中学阶段测试 )已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a
③(Байду номын сангаас－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；
④若a· b＝0，则a＝0，b＝0.
1 个. 其中正确的有____
答案 解析
→ → －16 2.(教材改编)已知△ABC 中， BC＝4， AC＝8， ∠C＝60° ， 则BC· CA＝_______.
答案 解析
→ → 画图可知向量BC与CA夹角为角 C 的补角(图略)，
跟踪训练 1
→ 3 1 3 1 → (1)(2016· 全国丙卷改编)已知向量BA＝ ， BC ＝ ， ， ， 2 2 2 2
30° 则∠ABC＝________.
答案 解析
→ → ∵|BA|＝1，|BC|＝1，
→ → BA· BC 3 cos∠ABC＝ ＝2， → → |BA|· |BC|
1 → → 故BC· CA＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×(－2)＝－16.
π 3.(教材改编)已知向量 a＝(1， 3)，b＝(3，m).若向量 a，b 的夹角为6，则
3 实数 m＝_____.
答案 解析
∵a· b＝(1， 3)· (3，m)＝3＋ 3m，
π 又 a· b＝ 1 ＋ 3 × 3 ＋m ×cos 6，
→ → → → → ∴|BC|min＝ 6. ≥2|AB|· |AC|－2AB· AC＝6，
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题5.3_平面向量的数量积(测)(有解析)
专题5.3 平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为【解析】如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________.【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－2＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3. 9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．【解析】设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·(AB －AC )＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA ·(AB －AC )＝18， ∴CA ·CB ＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。
江苏专版2018高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数33平面向量的概念与线性运算课件文
0 b∥c，则a∥c.其中正确的个数是________ ． 【解析】对于①，a与b的长度可能不相同，故①错；对于
②，a与b的模相等，但方向不一定相同，故②错；对于③，向 量不能比较大小，故③错；对于④，若b＝0，则a与c不一定平 行，故④错．
3. ( 必修 4P57 习题 2 改编 ) 对于非零向量 a ， b ，“ a∥b”是 必要不充分 “a＋b＝0”成立的_________________( 从“充分不必要”“必 要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个 ) 条 件．
【备考策略】 1. 高考中以考查向量的概念与运算为主，其中共线向量、 垂直向量的充要条件，向量的模与夹角的计算尤为重要．解答 题会以向量为背景，与直线、圆、三角函数、不等式甚至与数 列交汇出现综合题．应突出向量的工具性． 2. 复数的考查以复数的基本概念、四则运算为主，一般以 小题形式出现，都为基础题．
变式
→ → → → → →＝ →＋ →＋ →＋ → .. 所以 所以 2 2CD CD ＝CA CA ＋CB CB ＋AD AD ＋BD BD → → →＝ →， 又因为 又因为AD AD ＝2 2DB DB ，
2. 几个特殊的向量 (1) 零向量： ________________ 长度为零的向量 ，记作 0 ，其方向是任意 的．
长度等于1个单位长度的向量． (2) 单位向量：__________________________
方向相同或相反的非零向量 (3) 平行向量：____________________________ ，平行向量 又称为共线向量，规定0与任一向量共线．
长度相等且方向相同的向量 ． (4) 相等向量：____________________________
2018年高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第五章 平面向量 §5.2 平面向量的数量积
(江苏省专用)
§5.2 平面向量的数量积
五年高考
A组
自主命题·江苏卷题组
OA OB OC OC 1.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 2 与OA 的夹角
OB OC OC 为α,且tan α=7, 与 的夹角为45°.若 = m +OA n (mOB ,n∈R),则m+n=
5sin θ),
因为 =3 ,所以P(5cos θ+2,5sin θ), PD CP
从而 =(5cos θ+2,5sin θ), =(5cos θ-6,5sin θ), AP BP 因为 · =2, AP BP 所以(5cos θ+2,5sin θ)· (5cos θ-6,5sin θ)=2,
7 2 10
2 10
∴| OM |=
又 OC =m OA +n OB = OM + ON ,| OA |=| OB |=1,
∴m= ,n= , ∴m+n=3.
5 4
7 4
2.(2014江苏,12,5分,0.49)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5, CP =3 PD, AP· BP =2,则
FD BE BF 由②③可得 · = · +3 =-1+ = . CE CF
2 1 = 2 ( 1 ( 1 1, 5 = + =DE 1 + + )= - DA AD )AB AC AB AB CE CD CB = CB AC AC 2 3 2 3 2 3 6 6 1 1 = BD + = BF DF + DA BC 2 3
(江苏专用)2018版高考数学大一轮温习 第五章节 平面向量 5.4 平面向量的综合应用讲义 理 苏教版
题型二 向量在解析几何中的应用
例 2 (1)已知向量O→A＝(k，12)，O→B＝(4，5)，O→C＝(10，k)，且 A、B、C
三点共线，当 k<0 时，若 k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为 _2_x_＋__y_－__3_＝__0__. 答案 解析
(2)设 O 为坐标原点，C 为圆(x－2)2＋y2＝3 的圆心，且圆上有一点 M(x，y) 满足O→M·C→M＝0，则yx＝__±___3__.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5.已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足
(2)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则.( √ ) (3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.
(4)在△ABC中，若
→→ AB·BC
<0，则△ABC为钝角三角形.(
×
)
(×)
(5)已知平面直角坐标系内有三个定点 A(－2，－1)，B(0，10)，C(8，0)， 若动点 P 满足：O→P＝O→A＋t(A→B＋A→C)，t∈R，则点 P 的轨迹方程是 x－y ＋1＝0.( √ )
为___4__. 答案 解析
∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0， ∴a·b＝a2，∵|a|＝1，|b|＝ 2， ∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝|aa||2b|＝ 22， 又∵〈a，b〉∈[0，π]， ∴向量 a 与向量 b 的夹角为π4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
满足
→→ OP·OA
＝4，则点P的轨迹方程是__x_＋__2_y_－__4_＝__0__(填“内心”、
(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示 理 苏教版
跟踪训练3 (1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为__(2_，__4_)__.
答案 解析
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，∴D→C＝2A→B.
设点D的坐标为(x，y)，则D→C＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，
答案 解析
A→B＝(3，1)，A→C＝(－4，－3)，B→C＝A→C－A→B＝(－4，－3)－(3，1) ＝(－7，－4).
4.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则
m＝ n
_－__12__.
答案 解析
由已知条件可得ma＋nb＝(2m，3m)＋(－n，2n)＝(2m－n，3m＋2n)，
y∈R，求 x＋y 的最大值. 思想方法指导 规范解答
建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向 量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数 特征.
课时作业
1.(2016·江苏苏州暑期测试)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，且a＋
－1 2b＝(5，－3)，则x＋y＝________.
答案 解析
xx12＝yy12 ×
√
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成
.( )
(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
考点自测
1.(教材改编)如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则 ①③
下列说法中正确的有______.(填序号)
跟踪训练 1 如图，在△ABC 中，A→N＝13N→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝
mA→B＋121A→C，则实数
(江苏版)备战2018高考数学模拟试卷分项 专题05 平面向量
第五章 平面向量1. 【南京市多校2017-2018学年高三上学期第一次段考】如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ．【答案】2- 【解析】 试题分析：2()()3221[()]()()333AD BC AC CD BC AC CB BCAC AB AC BC AB AC AC AB ⋅=+⋅=+⋅=+-⋅=+⋅-222116132333AB AB AC AC =-+⋅+=-++=-考点：向量数量积2.【常州北郊华罗庚江阴高中三校2018届高三联考】如图，正方形ABCD 中， E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为________【答案】-33．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，在半径为2的扇形中，，为上的一点，若，则的值为______．【答案】点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.4．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】如图所示，在平行四边形ABCD 中， ,AP BD P ⊥为垂足，且1AP =，则AP AC ⋅=______________.【答案】2【解析】如图，延长AP ，过C 作延长线的垂线CE ，- 3 -所以AC 在AP 的方向投影为AE ，又1,2AP AE ==， 所以2AP AC AP AE ⋅=⋅=。
点睛：本题中采用向量数量积的几何意义解题，作出AC 在AP 的方向投影AE ，由O 为AC 中点，可知1,2AP AE ==，所以根据数量积的几何意义可知， 2AP AC AP AE ⋅=⋅=。
5．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120，BM BC λ=．若17·3AM BC =-，则实数λ的值为______． 【答案】136．【溧阳市2017-2018高三上调研测试（文）】已知2,3a b ==， ,a b 的夹角为120°，则a b +=________________．【答案】7【解析】由题意可得： 23cos1203a b ⋅=⨯⨯=-， 则：()2222423a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯=7．【溧阳市2017-2018高三上调研测试（文）】如图，在直角梯形ABCD 中，0//,90,4,AB CD ADC AB AD E ∠===为BC 中点，若·4A B A C =，则·A E B C =_______________．【答案】132-【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()((0,0,4,0,,,A B C m C则： ()(4,0,AB AC m ==， 故： 44,1AB AC m m ⋅==∴=，即： ()1,2C ，则： 5,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，据此有： ()521513,,3,2,12222AE BC AE BC ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.8．【高邮市2018届高三期初文科】已知,i j 是夹角为3π的两个单位向量， 3,,a i j b ki j =-=+ 若2a b ⋅=，则k 的值为_______． 【答案】-99．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|2a －b|的值为____．- 5 -【答案】2【解析】因为1a =， 2b =， a 与b 的夹角为60，所以22212444412442a b a a b b -=-⋅+=-⨯⨯⨯+=，故22a b -=，故答案为2.点睛：本题主要考查了数量积的应用之求向量的模长，属于基础题；求向量模长常用的方法：利用公式22a a =，将模的运算转化为向量数量积的运算，同时须注意展开以后是含有a b ⋅，而不是a b ⋅.10．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】如图，在四边形ABCD 中， ABAD ⋅＝5，BD ＝4，O 为BD 的中点，且AO ＝3OC ，则CB CD ⋅＝__________．【答案】3-11．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】如图，在ABC ∆中， D 是BC 的中点， ,E F 是AD 上两个三等分点， ·2BE CE =， ·1BF CF =-，则·BACA =__________．【答案】7 【解析】,·BE CE =222242ED BD FD BD -=-=,·BF CF =222211,2FD BD FD BD -=-∴==,因此·BACA= 222297AD BD FD BD -=-= 12．【泰州中学2018届高三上学期开学考试】在ABC ∆中， 2,3AB BC AC ===，设O 是ABC ∆的内心，若AO p AB q AC =+，则pq的值为__________． 【答案】32-7 -考点：1、向量的线性运算；2、三角形内角平分线定理． 13．【泰州中学2018届高三上学期开学考试】矩形中，为矩形所在平面内一点，且满足，矩形对角线，则__________．【答案】14．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】如图所示的梯形中，如果=______.【答案】【解析】以,AB AD 为一组基底向量，则12AC AD DC AD AB =+=+， 23BM BA AM AD AB =+=-， 221221223323AC BM AD AB AD AB AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2129163323AB AD =⨯-⨯-⋅=- 32AB AD ∴⋅=15．【南通中学2018届高三10月月考】在中，，，，则的值为__________． 【答案】【解析】根据余弦定理得：，，.16．【南师附中2017届高三模拟一】如图所示的梯形ABCD 中，,4,3,2,2AB CD AB AD CD AM MD ====，如果·3AC BM =-，则·A B A D =__________.【答案】32考点：向量数量积- 9 -17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知4a =， 3b =， a 与b 的夹角为120．则a b +=__________． 13【解析】因为22222||243243cos12013a b a b a b +=++⋅=++⨯⨯⨯︒=，所以 13a b +=。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示(练)
专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示【基础巩固】1． (必修4P73习题1)下列各组向量中，可以作为基底的是________(填序号)． ①e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)； ②e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)； ③e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)； ④e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34.【答案】②【解析】两个不共线的非零向量构成一组基底．2．(2017·无锡期末)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝________. 【答案】(－1,12)【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1, 12)．3．如下图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为________．【答案】－2e 1＋e 24．(2017·广州综测)已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________. 【答案】－3【解析】因为(x,1)＋(2，y )＝(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以x ＋y＝－3.5．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．【答案】12【解析】AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.6．(2017·衡水中学月考)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 【答案】0【解析】因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0.7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)8．(2017·苏北四市期末)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)． 【答案】充要【解析】由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．9．(2017·四川十校联考改编)与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为________． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513【解析】设e 为所求的单位向量，则e ＝a |a |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513或e ＝－a |a |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－513.10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝________(用AB →，AC →表示)．【答案】16AC →＋12AB →【解析】如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 11．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ， v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 【答案】1212．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示)．【答案】－23e 1＋512e 2【解析】如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.【能力提升】13．(2017·南通调研)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2 P A →，则x ＝________，y ＝________.【答案】23 13【解析】由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，所以O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，所以x ＝23，y ＝13. 14．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为________．【答案】3【解析】∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →， 以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系， OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3nm＝33， ∴m ＝3n ，即mn＝3.15．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．【答案】(－2，－4)16．(2016·四川卷改编)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________． 【答案】494。
高考数学专题复习 专题5 平面向量 第33练 平面向量综合练练习 文
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题5 平面向量 第33练 平面向量综合练练习 文1122＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2＝________. 2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．3．(2016·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，则线段AC 的长为________．4．已知不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R )，则点(x ，y )的轨迹方程是____________．5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为边BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF→＝2，则AE →·BF →的值是________________．6．若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|a ＋b |≤2a·b ，则cos(α－β)的值是________．7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．8．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1,3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )；③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)10．已知m ，x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )．(1)当m ＞0时，若|a |＜|b |，求x 的取值范围；(2)若a ·b ＞1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．答案精析1．－232.43. 34.x ＋y －2＝05. 2解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则AB →＝(2，0)，AD →＝(0,2)，AE →＝(2，1)，设AF →＝(x,2)，0≤x ≤2，则AB →·AF →＝2x ＝2，解得x ＝1，所以F (1,2)，BF →＝(1－2，2)，于是AE →·BF →＝ 2.6．1解析 由|a ＋b |≤2a·b 可得a·b ≥0，两边平方得2＋2a·b ≤4(a·b )2，即(2a·b ＋1)(a·b －1)≥0，所以a·b ＝cos(α－β)≥1，又由余弦函数的值域可得cos(α－β)＝1. 7.16解析 已知A ＝π6， 由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6， 则|AB →||AC →|＝23， 所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|·sin π6＝12×23×12＝16. 8.214解析 设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →，从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52，又AB →·AC →＝(AP →＋PB →)·(AP →＋PC →)＝AP →2－PB →2＝254－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →·AC →≤254－1＝214，当且仅当|BC →|＝2时等号成立．9．①④解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a·e |＜|a |·|e |＜|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④.10．解 (1)由题意得|a |2＝x 2＋m 2，|b |2＝(m ＋1)2x 2＋x 2.因为|a |＜|b |，所以|a |2＜|b |2，从而x 2＋m 2＜(m ＋1)2x 2＋x 2.因为m ＞0，所以(m m ＋1)2＜x 2， 解得x ＜－m m ＋1或x ＞mm ＋1. 即x 的取值范围是(－∞，－m m ＋1)∪(mm ＋1，＋∞)．(2)a ·b ＝(m ＋1)x 2－mx .由题意，得(m ＋1)x 2－mx ＞1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0对任意的实数x 恒成立．当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＞0，m 2－m ＋m －＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞－1，m ＞233或m ＜－233 ，所以m ＞233. 即m 的取值范围是(233，＋∞)．。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题5 平面向量 第32练含解析
AC DBAD BCAM AOAB ACBC训练目标(1)平面向量数量积的概念；(2)数量积的应用．训练题型(1)向量数量积的运算；(2)求向量的夹角；(3)求向量的模．(1)数量积计算的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义；解题策略(2)求两向量的夹角时，要注意夹角θ为锐角和cosθ＞0的区别，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2＝a·a，灵活运用数量积的运算律.1．(2017·玉溪月考)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为________．2．(2016·淄博期中)已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，则→·→＝________. 3．(2016·镇江模拟)在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AB＝4，AC＝3，则→·→＝________.4．(2017·吉林东北师大附中三校联考)如图，已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝23，AC＝22，A为钝角，M是BC边的中点，则→·→＝________.5．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．6．(2015·安徽改编)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足→＝2a，→＝2a＋b，则下列正确结论的个数为________．①|b|＝1；②a⊥b；③a·b＝1；④(4a＋b)⊥→.7．(2015·福建改编)已知→⊥→，|→|＝，|→|＝t，若点P是△ABC所在平面t→＝AB＋4AC，则→·→的最大值等于________．→→|b|＝λBC，DF＝μDC.若→·→＝1，→·→＝－，则λ＋μ＝________.11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足→＝→＋CA，则→·→＝________.1→OA OB OA OB→→→OPBC AOAM AN14．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，当2x＋y＝t(t＞0)时，|xAB＋yAC|≥→PB PC1AB AC AB AC→→内的一点，且AP PB PC|AB||AC|8．(2016·吉林长春质检)已知向量a＝(1，3)，b＝(0，t2＋1)，则当t∈－3，2]时，|a－tb|的取值范围是________．9．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE2AE AF CE CF310．(2016·浙江余姚中学期中)已知→与→的夹角为60°，|→|＝2，|→|＝23，OP＝λOA＋μOB，若λ＋3μ＝2，则|→|的最小值为________．1CM CB3MA MB212．(2016·盐城模拟)设O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2－2AC＋AB2＝0，则→·→的取值范围是____________．13．(2016·徐州质检)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为弧PQ上任意一点，则→·→的取值范围是________．→→22t恒成立，则△ABC的面积为____，在上述条件下，对于△ABC内一点P，PA·(→＋→)的最小值是________．1.3π 42＝2cos θ＋ ，＝π8－BC AC A B建立如图所示的平面直角坐标系，则 B ，0 ，C (0，t )，→＝tt AB 4→AC 1 4AC ＝(0，t )，AP ＝ ＋ ＝t ，0 ＋ (0，t )＝(1,4)，→| |AC→|t t∴P (1,4)，→·→＝ －1，－4 ·(－1，t －4) tBC BC＝17－ ＋4t ≤17－2 答案精析72.13.－4.55．4解析 由题意可得 a·b ＝ 3cos θ－sin θπ 6则|2a －b|＝ (2a －b)2＝ 4|a|2＋|b|2－4a·b6∈0,4]，所以|2a －b|的最大值与最小值的和为 4.6．1解析 如图，在△ABC 中，由→＝→－→＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b|＝2.又|a|＝1，所以 a·b ＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a ＋b)·→＝(4a ＋b)·b ＝4a·b ＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b)⊥→，故正确结论只有④.7．13解析1AB1，0 ，→ → →|AB1PB PC1t1 t·4t ＝13，当且仅当 ＝4t ，即 t ＝ 时取等号．解析由题意， b 即|a －t b9.5BE → DF →CE ·→＝(λ－1， 3(λ－1))·(μ－1， 3(1－μ))＝－2，②AE AF1 1t 28．1， 13]b |b| ＝(0,1)，∴|a －t |b||＝|(1， 3)－t (0,1)|＝|(1， 3－t )|＝ 1＋( 3－t )2＝ (t － 3)2＋1.∵t ∈－ 3，2]，∴ (t － 3)2＋1∈1， 13]，|b||的取值范围是 1， 13]．6解析建立如图所示的平面直角坐标系，则 A (－1,0)，B (0，－ 3)，C (1,0)，D (0， 3)．设 E (x ，y )，11F (x ，y )．由→＝λBC ，得(x ，y ＋ 3)＝λ(1， 3)，解得22 1 1x ＝λ，1 y ＝ 3(λ－1)，1即点 E (λ， 3(λ－1))．由→＝μDC ，得(x ，y － 3)＝μ(1，－ 3)，22解得x ＝μ，2 y ＝ 3(1－μ).2即点 F (μ， 3(1－μ))．又→·→＝(λ＋1， 3(λ－1))·(μ＋1， 3(1－μ))＝1，①35OA OB OP → → OP → → → →→ OBOPOP 9 解析由于→＝→－→＝－ →＋ →，→＝→－→＝ →－ →，故→·→＝ － →＋ → · →－ → ＝－ →2－ →2＋ →·→＝－ ×22－ ×22＋ ×2×2 9 4 BC AO AD DOBC AD BC＝ (→＋→)·(－→＋→) ＝ (|→|2－|→|2)． 设|AC |＝b ，|AB |＝c ，则 b 2－2b ＋c 2＝0， 所以→·→＝ (b 2＋b 2－2b )＝b 2－b .所以→·→∈－ ，2)．2 210．2 3解析 由题意得→·→＝2 3.因为→＝λOA ＋μOB ，所以→2＝(λOA ＋μOB )2＝λ2OA 2＋μ2OB 2＋2λμOA ·→＝4λ2＋12μ2＋4 3λμ.又因为 λ＋ 3μ＝2，所以 λ＝2－ 3μ，所以→2＝4(2－ 3μ)2＋12μ2＋4 3(2－ 3μ)μ＝4( 3μ－1)2＋12，所以当 3μ－1＝0，即 μ＝33 时，|→| ＝2 3. min811．－1 12 1 MA CA CM CB CA MB CB CM CB CA MA MB3 2 3 21 12 1 2 1 1 2 1 1 CB CA CB CA CB CA CB CA3 2 3 2 94 2 9 4 28 ×cos60°＝－ .112．－ ，2)解析如图．设 BC 的中点为 D ，则→·→＝(→＋→)·→＝→·→1AB AC AB AC 21AC AB2→→1 BC AO 2又 b 2－2b ＝－c 2＜0，所以 0＜b ＜2.1BC AO 43 513． ， ]由已知得 M (－ ， 3 则→＝(－ －2cos θ， 3 2 －2sin θ)， 所以→·→＝(－ －2cos θ)(1－2cos θ)＋( 32 －2sin θ)·(－2sin θ)＝ －故 ≤sin(θ＋30°)≤1，所以 ≤→·→≤ . 14．1－5解析 因为|xAB ＋yAC | ＝ x 2→2＋y 2→2＋2xyAB ·→AC AB AC ＝ 4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥ 2得 x 2→2＋y 2→2＋2xyAB ·→≥ t 2， → 则 cos A (cos A －1)≤0，则 cos A ≥0，A 的最大值为π→解析 建立如图所示的平面直角坐标系，连结 AO ，设∠AOQ ＝θ，则 A (2cos θ，2sin θ)(0°≤θ≤120°)．12 2 )，N (1,0)，1AM 2AN ＝(1－2cos θ，－2sin θ)，17AM AN 222sin(θ＋30°)，因为 0°≤θ≤120°，所以 30°≤θ＋30°≤150°，123 5AM AN2 28→ →→2 t 恒成立，则由两边平方，1 AB AC AC2又 t ＝2x ＋y ，则 4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0，则 Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，2 .当 cos A ＝0 时，|xAB ＋yAC |＝ 4x 2＋y 2≥ 当 A ，P ，D 三点共线时，→·→＜0，又此时 AD ＝ BC ＝ ，即有 2→·→＝－2|→PA →|≥－2× |PA |＋|PD | 2＝－5，即有最小值为－5.||PD2PB PC PD PA PB PC PA PD1 2·AB ·AC ＝1； → →2 2(2x ＋y )满足题意，所以此时 △S ABC ＝在 Rt △ABC 中，取 BC 的中点 D ，连结 PD ，则→＋→＝2→，即→·(→＋→)＝2→·→，1 5 PA PD PA PD2 2→ →88。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示(测)
专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示一、填空题1．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )，若a ∥b ，则3a ＋2b ＝【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是【解析】因为a 与b 方向相反，所以b ＝ma ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0， ∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.3．已知在平行四边形ABCD 中，AD ＝(2,8)，AB ＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM ＝中，有AC ＝AB ＋AD ，AM ＝12AC ，所以AM ＝(AB ＋AD )的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝5．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为 AC ＝AB ＋AD ＝．∴OC ＝12AC ＝∴CO|OC |，若OC ＝OA ＋OB ，则|OC |，又OC ＝OA ＋OB ，所以7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.【解析】AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝2(－3,2)＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．8．已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC ＝λAB ＋μAD ，则λμ＝________.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC ＝(2，－2)，AB ＝(1,2)，AD ＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.9．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．【解析】P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．10．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.设BA，BC ＝为基底表示向量EF ，DF ，CD .解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－CD ＝CF ＋FD ＝－的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为上运动．若OC ＝x OA ＋y OB ，其中。
【精品】2018届高三数学 第33练 平面向量的数量积练习
第33练 平面向量的数量积1．(2016·玉溪月考)若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.3π4D.5π62．(2017·淄博月考)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →等于( ) A ．1 B ．－1 C. 6D ．2 23．已知平面上A ，B ，C 三点不共线，O 是不同于A ，B ，C 的任意一点，若(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a·b ＝3，若(c －2a )·(c －23b )＝0，则|b －c |的最小值是( ) A ．2－ 3 B ．2＋ 3 C ．1D ．26．(2016·太原五中模拟)已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( ) A ．6 B ．－6 C ．2 3D ．－2 37．(2016·延边期中)点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式：①OA →＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；③OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|；④(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0.则点O 依次为△ABC 的( ) A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心8．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( )A.12B.23C.56D.712二、填空题9．(2016·高安段考)已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，则b 在a 方向上的投影为________．10．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________.12．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，当2x ＋y ＝t (t >0)时，|xAB →＋yAC →|≥22t 恒成立，则△ABC 的面积为______，在上述条件下，对于△ABC 内一点P ，PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________.答案精析1．C [由题意，得a ·(a ＋b )＝0， 即a 2＋a·b ＝0，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0， 解得cos 〈a ，b 〉＝－22. 再由〈a ，b 〉∈[0，π]，可得〈a ，b 〉＝3π4.]2．A [方法一 如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0,1)，∴AC →＝(2，1)，DB →＝(2，－1)，则AC →·DB →＝2－1＝1.方法二 记AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，∵|a |＝2，|b |＝1， ∴AC →·DB →＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A.]3．A [(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →⊥(AB →＋AC →)，所以△ABC 是等腰三角形，故选A.]4．D [如图，在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.] 5．A [由题意得，〈a ，b 〉＝π3，故如图所示建立平面直角坐标系，设a ＝(1，3)，b ＝(3,0)，c ＝(x ，y )，∴(c －2a )·(c －23b )＝0⇒(x －2)2＋y (y －23)＝0⇒(x －2)2＋(y－3)2＝3，其几何意义为以点(2，3)为圆心，3为半径的圆，故其到点(3,0)的距离的最小值是2－3，故选A.]6．B [由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →.∴DO 经过边EF 的中点， ∴DO ⊥EF .连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°.∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝4 3. ∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|cos 〈EF →，FD →〉＝43cos 150°＝－6，故选B.]7．C [由三角形“五心”的定义，我们可得：①当OA →＋OB →＋OC →＝0时，O 为△ABC 的重心；②当OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →时，O 为△ABC 的垂心；③当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →| 时，O 为△ABC 的内心；④当(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0时，O 为△ABC 的外心．故选C.]8．C [建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE →＝λBC →，得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3?λ－1?，即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →，得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3?1－μ?.即点F (μ，3(1－μ))．又AE →·AF →＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1，①CE →·CF →＝(λ－1，3(λ－1))·(μ－1，3(1－μ))＝－23，②由①－②，得λ＋μ＝56.]9．2 5解析 根据a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，求得a ＝(4，－2)，b ＝(1，－8)，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝4＋1625＝2 5. 10．4解析 由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 则|2a －b |＝(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 11．－89解析 由于MA →＝CA →－CM →＝－13CB →＋12CA →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →，故MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13CB →＋12CA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →＝－29CB →2－14CA →2＋12CB →·CA →＝－29×22－14×22＋12×2×2×cos 60°＝－89.12．1 －58解析 因为|xAB →＋yAC →|＝x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →＝4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥22t 恒成立，则由两边平方， 得x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →≥12t 2，又t ＝2x ＋y ，则4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0， 则Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，则cos A (cos A －1)≤0，则cos A ≥0，A 的最大值为π2. 当cos A ＝0时，|xAB →＋yAC →|＝4x 2＋y 2≥22(2x ＋y )满足题意，所以此时S △ABC ＝12·AB ·AC＝1；在Rt △ABC 中，取BC 的中点D ，连接PD ，则PB →＋PC →＝2PD →，即PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →，当A ，P ，D 三点共线时，PA →·PD →<0，又此时AD ＝12BC ＝52，即有2PA →·PD →＝－2|PA →||PD →|≥－2×⎝⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝－58，即有最小值为－58.。
【加练半小时】2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题5 平面向量 第31练 Word版含解析
1．(2016·佛山期中)已知点M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP→＝12MN →，则点P 的坐标是______________．2．(2016·南京一模)在△ABC 中，BD →＝2DC →.若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2的值为______________．3．(2016·山西大学附中期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的值为________．4．(2016·哈尔滨三模)已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足OA →＋λOB →＋(1＋λ)OC →＝0，若△OAB 的面积与△OAC 的面积比值为3，则λ的值为________．5.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为________．6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 7．(2016·湖北七校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________．8．(2016·常州一模)在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于点G ，设AB→＝a ，AC →＝b ，则AG →＝______________.(用a ，b 表示) 9．(2016·南京二模)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.10．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AC ＝3，∠A ＝45°，点D 满足CD →＝2DB →，且AD ＝13，则BC 的长为________．11．若P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝______________.12．已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是__________．13．(2016·厦门适应性考试)如图，在△ABC 中，AD →·BC →＝0，BC →＝3BD →，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ＞0，μ＞0)，则λ＋2μ的最小值是______________．14.(2016·沈阳期中)在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是______________．答案精析1．(－1，－32) 2.29 3.－13 4.12 5．3解析 ∵AP→＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →＝13AD →－13AB →＝13×23AC →－13AB →＝29AC →－13AB →，∴AP→＝AB →＋29AC →－13AB →＝23AB →＋29AC →. 又AP→＝λAB →＋μAC →，∴λ＝23，μ＝29，∴λμ＝23×92＝3. 6.12解析 如图，DE→＝BE →－BD →＝23BC →－12BA → ＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝(12－23)AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线， 所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 7．(0，13)解析 因为O 在线段CD 上，且BD→＝2DC →，设BO →＝λBC →，且23＜λ＜1，则AO →－AB →＝λ(AC →－AB →)，即AO →＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x ＝1－λ∈(0，13)． 8.13a ＋13b解析 AG→＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB→＋λ2(BA →＋BC →)＝(1－λ2)AB →＋λ2(AC →－AB →) ＝(1－λ)AB→＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b ，又AG→＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m 2)AC →＋m 2(AB →－AC →) ＝(1－m )AC→＋m 2AB →＝m 2a ＋(1－m )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m 2，1－m ＝λ2，所以λ＝m ＝23，所以AG→＝13a ＋13b. 9.34解析 根据向量加法的平行四边形法则可知BE→＝12(BA →＋BO →)＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD→，所以λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.10．3解析 以A 为坐标原点，AC→的方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，则C (3,0)，设B (x ，x )(x ＞0)，则由CD→＝2DB →，得D (2x ＋33，2x 3)，由AD ＝13，得x ＝3，所以BC＝(x －3)2＋x 2＝3. 11．{(－13，－23)}解析 P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )， Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎨⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n ，解得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)． 12．k ＝1解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB→，AC →共线，因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1. 13.83解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB→＋13(AC →－AB →) ＝23AB →＋13AC →.设AD→＝xAM →＋yAN →(x ＋y ＝1)，则AD →＝xλAB →＋yμAC →， 则⎩⎪⎨⎪⎧xλ＝23，yμ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23x ，μ＝13y ，故λ＋2μ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y x ＋x y ＋1≥ 23⎝⎛⎭⎪⎫2＋2y x ·x y ＝83. 当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．14．－1,1]解析 设∠P AE ＝α，建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，E (1,0)，D (0,1)， F (1.5,0.5)，P (cos α，sin α)(0°≤α≤90°)． ∵AP→＝λED →＋μAF →， ∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ(1.5,0.5)， ∴cos α＝－λ＋1.5μ，sin α＝λ＋0.5μ， ∴λ＝14(3sin α－cos α)，μ＝12(cos α＋sin α)， ∴2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－45°)． ∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－22≤sin(α－45°)≤22， ∴－1≤2sin(α－45°)≤1. ∴2λ－μ的取值范围是－1,1]．。
江苏专用2020版高考数学专题复习专题5平面向量第32练平面向量的数量积练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题5平面向量第32练平面向量的数量积练习理A为 _______ .2.（2016 •淄IW期中）已知矩形個8中，AB=d BC=1,则走•亦= _______________・3・（2016 •镇江模拟）在△磁中，ZBAC=9Q<> , Q是庞的中点，J5=4, AC=3,则延•反4.（2017 •吉林东北师大附中三校联考）如图，已知外接圆的圆心为0, AB=2© AC=2^2,月为钝角，"是證边的中点，则弼•无= _______________ .5.已知向量尸（cos 0, sin “），向量/>=（&, -1）,则2a-b的最大值与最小值的和为 _______ •6.（2015 •安徽改编）△磁是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足乔=2a，AC=2a + £>，则下列正确结论的个数为________ .①［b =1;②&丄2>;③a・b=l;④（4a+5）丄貶7.（2015 •福建改编）已知為丄花，AB\ =k AC\ = t,若点尸是△磁所在平面内的一点，AD 4 AC 且乔=二^+二T，则扇•元的最大值等于・\AB\\AC\8.（2016 •吉林长春质检）已知向量a=（l,、/5）, 6=（0, t=+l）,则当心一© 2］时，a-亡的取值范围是_____________ .9.已知菱形的边长为2, Z54P=120°，点匕尸分别在边万G DC上,BE= “C、DF2 =PDC•若鱼AF=1,庄•芜一才，贝lj人+"= _ ・r r t r10.（2016 •浙江余姚中学期中）已知页与亦的夹角为60° ,鬲|=2,屈|=2&, OP= A0A+ P0B.若久+£“=2,贝lj乔的最小值为 _________________ ・11.（2016 •开封冲刺模拟）若等边△磁的边长为2,平面内一点於满足3f=^CB+^CA,则MA • MB= _______12.（2016 •盐城模拟）设0是△個7的三边中垂线的交点，且AC-2AC+Aff=0,则反•庞的取值范围是 ___________ .13・（2016 •徐州质检）如图，半径为2的扇形的圆心角为120。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题5.3_平面向量的数量积(练)(有解析)
－1)．∴ · ＝2×3＋(－1)×1＝5.
7．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为________．
【答案】
【解析】因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，得到a·b＝－2|a|2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝ ＝ ＝－ ，又0≤θ≤π，所以θ＝ .
(1)若m＝n＝ ，求| |；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
解(1)∵m＝n＝ ， ＝(1,2)， ＝(2,1)，
8．已知向量 ＝(3，－4)， ＝(6，－3)， ＝(5－m，－3－m)，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是________．
【答案】 ∪
二、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若 ＝a， ＝b，求△ABC的面积．
专题5.3平面向量的数量积
【基础巩固】
一、填空题
1．设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.
【答案】－
【解析】由题意，得a·b＝0⇒x＋2(x＋1)＝0⇒x＝－ .
2．已知向量a＝(1， )，b＝( ，1)，则a与b夹角的大小为________．
【答案】
3．(2017·镇江期末)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝________.
解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
10．(2017·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－ .
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题5.4 平面向量应用(讲)
专题5.4 平面向量应用【考纲解读】【知识清单】考点1 向量与平面几何向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b 均为非零向量)．(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 考点2 向量与三角函数与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识． 考点3 向量与解析几何向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.【考点深度剖析】向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归．【重点难点突破】考点1 向量与平面几何【1-1】已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →)的最大值为________． 【答案】9.【1-2】(2014·山东理)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tanA ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为_______． 【答案】16【解析】根据平面向量数量积的概念得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cosA ，当A ＝π6时，根据已知可得|AB →|·|AC →|＝23，故△ABC 的面积为12|AB →|·|AC →|sin π6＝16.【思想方法】平面几何问题的向量解法． (1)坐标法．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法．适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．考点2 向量与三角函数【2-1】已知在锐角△ABC 中，向量p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)，q ＝(sinA －cosA,1＋sinA)，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小；(2)求函数y ＝2sin2B ＋cos(C －3B 2)取最大值时，B 的大小．【答案】(1)60° (2)B ＝60°，ymax ＝2【2-2】(2015·河南中原名校联考)在△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，a ，b ，c 为对应的三条边，π3<C<π2，且b a －b ＝sin2C sinA －sin2C.(1)判断△ABC 的形状；(2)若|BA →＋BC →|＝2，求BA →·BC →的取值范围． 【答案】(1)等腰三角形 (2)(23，1)【思想方法】解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 考点3 向量与解析几何【3-1】已知平面上一定点C(2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最小值． 【答案】 (1)x216＋y212＝1 (2)12－4 3【解析】 (1)设P(x ，y)，则Q(8，y)． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，【3-2】若点O 和点F 分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为_______． 【答案】6．【解析】由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 2＝3(1－x 204)．因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2.因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6．【思想方法】向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归．【易错试题常警惕】1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．2．注意向量共线和两直线平行的关系．3．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况．。
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（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题5 平面向量 第33练 平
面向量综合练练习 理
1．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12
(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________． 2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面
积的比值为________．
3．(2016·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，
则线段AC 的长为________．
4．已知向量a ＝⎝
⎛⎭⎪⎫sin θ2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4， b ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，cos θ2，θ∈(0，π)，并且满足a∥b ，则θ的值为________． 5．(2016·安徽六安一中月考)已知△ABC 是边长为1的正三角形，动点M 在平面ABC 内，若AM →·AB →＜0，|CM →|＝1，则CM →·AB →的取值范围是________．
6．在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (1,0)，P 是x 轴上任意一点，平面上
点M 满足：PM →·PB →≥CM →·CB →对任意P 恒成立，则点M 的轨迹方程为______．
7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6
时，△ABC 的面积为________． 8．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直
线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1,3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，
则AB →·AC →的最大值是________．
9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时
(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；
②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )；
③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；
④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
10．已知m ，x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )．
(1)当m ＞0时，若|a |＜|b |，求x 的取值范围；
(2)若a ·b ＞1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．
答案精析
1．90° 2.4 3. 3 4.π3
5．[－1，－12
) 解析 如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则B (1,0)，C (12，32
)， 设M (x ，y )，AM →·AB →＝(x ，y )·(1,0)＝x ＜0，由|CM →|＝1得(x －12)2＋(y －32
)2＝1， 所以－12≤x ＜0，所以CM →·AB →＝(x －12，y －32)·(1,0)＝x －12∈[－1，－12)．
6．x ＝0
解析 设P (x 0,0)，M (x ，y )，则由PM →·PB →≥CM →·CB →可得(x －x 0)(2－x 0)≥x －1，x 0∈R 恒成立，
即x 20－(x ＋2)x 0＋x ＋1≥0，x 0∈R 恒成立，所以Δ＝(x ＋2)2－4(x ＋1)≤0，化简得x 2
≤0，则x ＝0，即x ＝0为点M 的轨迹方程． 7.16
解析 已知A ＝π6
， 由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6
， 则|AB →||AC →|＝23
， 所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|·sin π6＝12×23×12＝16
. 8.214
解析 设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →，从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52
，又AB →·AC →＝(AP →＋PB →)·(AP →＋PC →)＝AP →2－PB →2＝254－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →·AC →≤254－1＝214
，当且仅当|BC →|＝2时等号成立．
9．①④
解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b|
＝|b －a|＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b＝b·a＝b ⊗a ，故①是正确的；
当λ＝0，b≠0时，λ(a ⊗b)＝0，(λa)⊗b ＝|0－b|≠0，故②是错误的；
当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b)⊗c ＝|a ＋b －c|，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c＋b·c，显然|a ＋b －c |≠a·c＋b·c，故③是错误的；
当e 与a 不共线时，|a ⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R，|a ⊗e|＝|a －e|＝|u e －e|
＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．
综上，结论一定正确的是①④.
10．解 (1)由题意得|a|2＝x 2＋m 2，
|b|2＝(m ＋1)2x 2＋x 2.
因为|a|＜|b|，所以|a|2＜|b|2，
从而x 2＋m 2＜(m ＋1)2x 2＋x 2.
因为m ＞0，所以(
m m ＋1)2＜x 2， 解得x ＜－m m ＋1或x ＞m
m ＋1. 即x 的取值范围是
(－∞，－m m ＋1)∪(m m ＋1
，＋∞)． (2)a·b＝(m ＋1)x 2－mx .
由题意，得(m ＋1)x 2－mx ＞1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0对任意的实数x 恒成立．
当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，所以
⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＞0，m 2－4 m ＋1 m －1 ＜0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧ m ＞－1，m ＞233或m ＜－233 ，
所以m ＞233. 即m 的取值范围是(233
，＋∞)．。