正方形培优

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八年级数学培优——正方形

第22讲正方形考点•方法•破译1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形，即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱形叫正方形．2．熟练掌握正方形的性质，并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考．3．掌握正方形的判断方法，并应用它的对称性质解决问题．经典•考题•赏析【例1】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O, E是BD延长线上的点，且“CE是等边三角形.⑴求证：四边形ABCD是菱形；⑵若/AED=2Z EAD,求证：四边形ABCD是正方形.【变式题组】01.如图，已知正方形ABCD的对角线AC和BD相交于O,点M、N分别在OA、OD上, 且MN〃AD.探究：线段DM和CN之间的数童关系，写出结论并给出证明.A02.如图，点P是正方形ABCD对角线AC上的点，PE±AB, PF±BC, E、F是垂足，问PD与EF有怎样的关系？请说明理由.03 .如图，将正方形ABCD中的△ ABD绕对称中心O旋转至△ GEF的位置，EF交AB于M, GF交BD于N.请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论.04．把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图.【例2】如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转废后得到正方形AEFG,边EF与CD交于点O.⑴以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；⑵若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为“ cm2,求旋转的角度.3【变式题组】01.如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是_________ .02.我们给定两个全等的正方形ABCD、AEFG它们共顶点A（如图1）,可以绕顶点A旋转，CD、EF相交于点P.⑴连接BE、DG（如图2）,求证：BE=DG, BE±DG⑵连接BG、CF（如图），求证：BG//CF.【例3】数学课上，张老师提出了问题：如图1,四边形ABCD是正方形，点E是BC 边的中点.Z AEF = 90°,且EF交正方形外角N DCG的平分线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则似AM=EC, 易证△ AME/△ ECF,所以AE=EF.在此基础上,同学们进一步的研究：⑴小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论"AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由；（2）小华提出：如图3,点E是边BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论" AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确,请说明理由．图】图2 图3【变式题组】01.如图，已知正方形ABCD在直线MN上方，BC在直线MN上；E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.⑴连接GD,求证：△ ADG/△ ABE；⑵连接FC,观察并猜测Z FCN的度数，并说明理由.02.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE± EF.⑴延长EF交正方形外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由;⑵在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明;若不存在,请说明理由．【例4】已知：正方形ABCD中，N MAN=45°,N MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别CB、DC（或它们的延长线）点M、N.当N MAN绕点A旋转至U BM=DN时（如图1）, 易证BM+DN=MN.⑴当N MAN绕点A旋转至U BN W DN时（如图2）,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想,并加以证明；⑵当N MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想并明．【变式题组】01.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中:⑴N EAF的大小是否有变化？请说明理由；⑵^ECF的周长是否有变化？请说明理由.02.如图，有四个动点P、Q、E、F分别从边长为1的正方形ABCD的四个顶点出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动⑴试判断四边形PQEF的形状，并证明；⑵PE是否总过某一定点，并说明理由；⑶四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小和最大？各是多少?03.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、％轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=%上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=%于点M,BC边交％轴于点N（如图）.⑴旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；⑵设△ MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．【例5】小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到了这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H只分别在AB、BC、CD、DA上，若EG± FH ,则GE=FH”经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A做AM〃HF交BC于点M，过点B作BN〃EG交CD于点N；（乙）过点A做AM〃HF交BC于点M,作AN〃EG交CD的延长线于点N；小杰和他的同学顺利的解决了该题后，人家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．⑴对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；⑵如果把条件中的“EG± HF"改为“EG与HF的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1, FH的长为至（如图2）,试求EG的长度.2【变式题组】01.若正方形ABCD的边长为4, E为BC边上一点，BE =3, M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F,且BF = AE，则BM的长为.02.如图，已知正方形ABCD的边长为3, E为BC边上一点，BE=1.以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°,得4ADE'，连接EE，，则EE'的长等于.03.已知正方形ABCD中,点E在边DC上，DE=2, EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为.04.小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处,折痕为（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）.如果第二次折叠后，M 点正好在N NDG的平分线上，矩形ABCD长与宽的比值为.E B (! B C /? C B E C H E① ②③第之题图第W题掰第4噩图05.平面内有一等腰直角三角板（N ACB=90°）和一直线MN.过点C作以CE± MN于点E,过点B作BF± MN于点F.当点E与A重合时（如图1）,易证：AF+BF=2CE.当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，清直接写出你的猜想,并证明．演练巩固•反馈提高01．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）A .等腰梯形反正方形C 平行四边形。

与正方形有关的计算及证明精选训练题(培优卷)

与正方形有关的计算及证明精选训练题（培优卷）一．选择题1．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．（）2014B．（）2015C．（）2015D．（）2014 2．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（）A．2B．3C．D．3．如图在一个3×3方格纸上，若以格点（即小正方形的顶点）为顶点画正方形，在该3×3方格纸上最多可画出的正方形的个数是（）A．13B．14C．18D．204．用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼成的图形是（）A．（1）（2）（5）B．（2）（3）（5）C．（1）（4）（5）D．（1）（2）（3）5．下列说法中错误的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．四个角都相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形二．填空题1．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为；所作的第n个四边形的周长为．2．如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝4，AO＝6，那么AC＝．3．如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，a n，则a n＝．4．如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为．5．把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1S2（填“＞”、“＜”或“＝”）．6．如图，正方形ABCD的边长为4，MN∥BC分别交AB，CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．三．解答题1．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG＝BD，连接BE，求∠BED的度数．2．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）直接写出GF与GC的数量关系：；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．3．如图，B是线段AD上一点，在线段AD的同侧作正方形ABCG和正方形BDEF，连接AF，CD．求证：AF＝CD．4．已知点E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的动点，并且保持∠EAF＝45°，请你证明△CEF的周长是一个只与正方形ABCD边长有关的定值．5．如图，在正方形ABCD中，点E是直线AC上任意一点（不与点A，C重合），过点E作EF⊥BE交直线CD于点F，过点F作FG⊥AC交直线AC于点G．（1）如图1，当点E在线段AC上时，猜想EG与AB的数量关系；（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，补全图形，并判断（1）中EG与AB的数量关系是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．6．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）连接DE，求∠PED的度数．7．如图，已知正方形ABCD，连接其对角线BD．在BC延长线上取一点E，使得BE＝BD，连接DE．过B做DE的垂线，交DE于点O，交AD延长线于点F．（1）求证四边形BEFD是菱形．（2）求∠DPB的度数．8．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE＞CE），连接BE，DE．（1）求证：BE＝DE；（2）过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG＝BF，连接DG．①依题意补全图形；②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．9．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB和图形M，给出如下的定义：若图形M是以AB 为对角线的平行四边形，则称图形M是线段AB的“关联平行四边形”．点A（8，a），点B（2，b），（1）当a＝8，b＝﹣2时，若四边形AOBC是线段AB的“关联平行四边形”，则点C的坐标是；（2）若四边形AOBC是线段AB的“关联平行四边形”，求对角线OC的最小值；（3）若线段AB的“关联平行四边形”AOBC是正方形，直接写出点C的坐标．10．在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合）连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q．（1）依题意补全图1，并证明AF＝FQ；（2）过点Q作NQ∥BC，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．11．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点（不与点A，B重合），CF⊥DE于点G，交AD于点F，连接BG．（1）求证：AE＝DF；（2）是否存在点E的位置，使得△BCG为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点E的位置并证明；若不存在，说明理由．12．正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD 于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．13．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．14．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．15．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO 并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC＝时，矩形AEBD是正方形．16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．（1）求证：OE＝CD；（2）探究：当∠ABC等于多少度时，四边形OCED是正方形？并证明你的结论．17．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．18．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．19．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？20．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，则HR＝．21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．22．已知四边形ABCD，以此四边形的四条边为边向外分别作正方形，顺次连接这四个正方形的对角线交点E，F，G，H，得到一个新四边形EFGH．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH（填“是”或“不是”）正方形；（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，则（1）中的结论（填“能”或“不能”）成立；（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，判断（1）中的结论是否还成立？若成立，证明你的结论，若不成立，请说明你的理由．23．如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O．（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为cm2．24．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB＝PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．25．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点P．（1）求证：AP＝AB；（2）若AB＝5，求△ECF的周长．26．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）当DG＝2时，求△FCG的面积；（2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．27．如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．。

正方形练习题(培优训练)

正方形练习题(培优训练)
正方形练题（培优训练）
正方形是一种独特的几何形状，在数学和几何学中经常被研究和应用。

下面是一些正方形练题，旨在帮助您加深对正方形的理解和掌握。

1. 求解正方形的面积公式。

面积是一个几何形状的表面所覆盖的单位面积的总量。

对于正方形而言，其面积公式为边长的平方。

若正方形的边长为a，则其面积为a^2。

2. 假设一个正方形的面积为25平方单位，求解其边长。

根据上述面积公式，设边长为a，则有a^2 = 25。

解这个方程可以得到a = 5，所以该正方形的边长为5单位。

3. 如果一个正方形的边长为6单位，求解其周长和对角线的长度。

周长是一个几何形状的边界长度的总和。

对于正方形而言，其
周长公式为4倍边长。

所以这个正方形的周长为4 * 6 = 24单位。

对角线是连接正方形两个对角线的线段。

根据勾股定理，若正
方形的边长为a，则其对角线的长度为a * √2。

所以这个正方形的
对角线长度为6 * √2单位。

4. 如果一个正方形的周长为36单位，求解其面积和边长。

根据周长公式，设边长为a，则有4a = 36。

解这个方程可以得
到a = 9，所以这个正方形的边长为9单位。

根据面积公式，该正方形的面积为9^2 = 81平方单位。

这些练题旨在帮助您加深对正方形相关概念和公式的理解。

继
续练和应用这些知识，将帮助您在数学和几何学中取得更好的成绩。

初二数学知识点专题讲解与练习20---正方形(培优版)

当 ∠MAN 绕点 A 旋转到 BM = DN 时（如图 1），易证 BM + DN = MN ．（1）当 ∠MAN 绕点 A 旋转到 BM ≠ DN 时（如图 2），线段 BM , DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当 ∠MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM , DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
F
A
D
M
B
C
A
D
F
EB
M C
E
G
图1
图G2
【例 3】如图，正方形 ABCD 中，E ，F 是 AB ，BC 边上两点，且 EF = AE + FC ， DG ⊥ EF 于 G ，求证： DG = DA .
（重庆市竞
2 / 17
解题思路：构造 AE + FC 的线段是解本例的关键．
赛试题）
A
D
E
G
B
延长线上 (CG > BC) ，取线段 AE 的中点 M .连 MD ， MF ．（1）探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明．（2）将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角后（如图 2），其他条件不变．探究线段 MD ， MF 的关系，并加以证明．
（大
连市中考题改编）解题思路：由 M 为 AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．
（黑龙江省中考试题）
解题思路：对于（2），构造 DN − BM 是解题的关键．
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A
D
N
BM
C
图1
A
D
C MB
A
D
N
BM
C
图2

正方形中的中点问题专题培优

正方形中的中点问题专题培优
简介
正方形是一种常见的几何图形，其四条边长度相等且四个角均为直角。

正方形具有许多有趣的属性和特点，其中之一是正方形中的中点问题。

问题描述
正方形中的中点问题是指一个正方形内部的任何一点，与正方形四个顶点连线的中点的连线长度始终相等。

解决方法
方法一：直线相等性
根据直线相等性原理，如果一个点与两个端点连接时，两条线段的长度相等，那么这两条线段的中点的连线长度也相等。

因此，我们可以利用该原理解决正方形中的中点问题。

方法二：对称性
正方形具有对称性质，即任何一条对角线的中点与正方形的中心重合。

因此，对于任意一点，我们可以通过连接该点与对角线的中点和正方形中心，得到等长的线段。

应用场景
正方形中的中点问题在几何学和物理学中有着广泛的应用。

例如，在二维几何中，可以利用该问题解决关于正方形中点的定位和距离计算问题。

在物理学中，正方形中的中点问题可以应用于力学和电磁学等领域，帮助解决相关问题。

结论
正方形中的中点问题是一个有趣且常见的几何问题，可以通过直线相等性和对称性原理进行解决。

该问题在几何学和物理学中有广泛的应用，对研究和实际应用具有重要意义。

正方形经典题型(培优提高)

正方形的性质及判定知识归纳1. 正方形的定义: 有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2. 正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形. 它具有前三者的所有性质: ① 边的性质: 对边平行, 四条边都相等． ② 角的性质: 四个角都是直角.③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等, 每条对角线平分一组对角. ④ 对称性：正方形是中心对称图形, 也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系: （如图） 3. 正方形的判定判定①: 有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。

难点: 正方形知识的灵活应用例题讲解一、正方形的性质例1: 如图, 已知正方形的面积为 , 点在上, 点在的延长线上, 且, 则的长为FE D CBA变式1: 如图, 在正方形中, 为边的中点, , 分别为 , 边上的点, 若 , ,, 则的长为 .变式2: 将个边长都为的正方形按如图所示摆放, 点分别是正方形的中心, 则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为例2: 如图, 是正方形对角线上的一点, 求证: .EDCBA变式1: 如图, 为正方形对角线上一点, 于 , 于 .求证: .F EPDCB A例3: 如图, 已知是正方形内的一点, 且为等边三角形, 那么PDCBA变式1: 如图, 已知、分别是正方形的边、上的点, 、分别与对角线相交于、 , 若 ,则 .变式2: 如图, 四边形为正方形, 以为边向正方形外作正方形 , 与相交于点 ,则FEDCBA例4: 如图, 正方形的边在正方形的边上, 连接 , 求证: .GC FEDBA变式1: 如图, 在正方形中, 为边上的一点, 为延长线上的一点, , , 求的度数.BDCAEF变式2: 已知: 如图, 在正方形中, 是上一点, 延长到 , 使 , 连接并延长交于 .（1）求证: ；（2）将绕点顺时针旋转得到 , 判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由．例5: 若正方形的边长为 , 为边上一点, , 为线段上一点, 射线交正方形的一边于点 , 且 , 则的长为 .ABCDEF EG变式1: 如图1, 在正方形中, 、、、分别为边、、、上的点, , 连接、 , 交点为 .⑴ 如图2, 连接 , 试判断四边形的形状, 并证明你的结论；⑵ 将正方形沿线段、剪开, 再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为 , , 则图3中阴影部分的面积为_________ ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA变式2: 如图, 正方形对角线相交于点 , 点、分别是、上的点, , 求证: （1）；（2） . BO D CAQP例6: 如图, 正方形中, 是边上两点, 且于 , 求证:G FEC DBA变式1: 如图, 点分别在正方形的边上, 已知的周长等于正方形周长的一半,求的度数NMDCBA变式2: 如图, 设正方形的对角线 , 在延长线上取一点 , 使 , 与交于 , 求证: 正方形的边长.HEGCDFBA例7: 把正方形绕着点 , 按顺时针方向旋转得到正方形 , 边与交于点（如图）.试问线段与线段相等吗？请先观察猜想, 然后再证明你的猜想.GCHF EDB A变式1: 如图所示, 在直角梯形中, , , 是的垂直平分线, 交于点 , 以腰为边作正方形 , 作于点 , 求证 .lPM FE DC BA二、正方形的判定例1: 四边形的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形 , 求证: ⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形为平行四边形, 则四边形为矩形.⑶四边形为长方形, 则四边形为正方形．HEFG DCBA变式1: 如图, 已知平行四边形中, 对角线、交于点 , 是延长线上的点, 且是等边三角形. ⑴ 求证: 四边形是菱形；⑵ 若 , 求证：四边形是正方形．OEDCBA变式2: 已知: 如图, 在中, , , 垂足为点 , 是外角的平分线, , 垂足为点 .⑴ 求证: 四边形为矩形；⑵ 当满足什么条件时, 四边形是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA例2: 如图, 是边长为的正方形, 是内接于的正方形, , 若则 =H GFEDCBA例3: 如图, 若在平行四边形各边上向平行四边形的外侧作正方形, 求证: 以四个正方形中心为顶点组成一个正方形.PRQ S NMFEDCBA1. 附加题:如图, 在线段上, 和都是正方形, 面积分别为和 , 则的面积为GFEDCB A如图, 在正方形中, 、分别是、的中点, 求证: .MFEDCBA如图, 正方形中, 是对角线的交点, 过点作 , 分别交于 , 若 , 则 OFE DC BA如图所示, 是正方形, 为上的一点, 四边形恰好是一个菱形, 则 ______.ABCDEF。

培优专题7-菱形、矩形、正方形和梯形(含答案)

培优专题和梯形菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形,它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形,它具有菱形和矩形的所有特性,可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一.梯形是现实生活中比较常见的图形之一,也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容．例1 如果将长方形纸片ＡＢCD,沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EＦ与GＨ互相垂直平分吗？分析要说明ＥF与GH互相垂直平分,只须说明四边形FGEＨ是菱形即可.解：∵FH｀∥GE，ＦＧ∥EH,∴四边形FＧEＨ为平行四边形,由题意知:△GＥF≌△HFE.∴ＦＧ＝FH,EＧ=EＨ．∴四边形GEHＦ为菱形．∴EF、GH互相垂直平分.练习11.如图1，菱形ＡBCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠B=∠EAＦ=60°,•∠BAE=18°，则∠ＣEF=＿____＿__.（1) (2) (３) 2.如图2，四边形ABCＤ是正方形,对角线AＣ、BD相交于O,四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6,则菱形的面积为__＿_____．3．如图3,AＢCD是正方形,E为BF上一点，四边形AＦEC•恰是一个菱形，•则∠EAB=_＿_＿____.例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，•如图,若折痕EＦ长为6,求另一边长．分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形AＢCD 中，已知AD=5，过对角线AＣ的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F,BC于E，若EF=6，求AB的长的问题．解：设AB=x,BE=ｙ，连结ＡE．则AＥ=CＥ=５-y.在Rｔ△ＡＢE中,AB2+BＥ２=AE2,即x2+y2=(5-y）2.得ｙ=22510x-，ＡE＝5-y＝22510x+.又在Rt△ＡOE中，AO=12AＣ=2252x+，ＥO＝12EF=62．代入AＥ２=AO２+OE2得,（22510x+)2=(2252x+）2+（62）2.即x4+25x２-１50=０.解之得,ｘ2=5,ｘ2=-3０（舍去）∴x=5.练习21.如图４,矩形纸片ABCＤ中，AB=３cm，ＢC=4cm，现将Ａ、C重合,使纸片折叠压平,•设折痕为EＦ,试确定重叠部分的△AEF的面积是_＿___＿____.(4) （5)２．如图5所示,把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BＣＤ折成△ＢDF，DF•交AB于E，若已知AE=2cm,∠BDC=3０°，求纸条的长和宽各是＿_____＿_.3．如图,折叠正方形纸片ABCD,先折出折痕BD，再折叠使ＡD边与对角线BD重合,得折痕DG,使AＤ=２,求AG．例3如图,Ｅ、F分别为正方形ＡBCD的边BC、CＤ上的一点，AM⊥EＦ，•垂足为M,ＡM=AＢ，则有ＥＦ＝BＥ+ＤＦ，为什么?分析要说明EF=BE+DＦ,只需说明BE=EM，DF＝FM即可,而连结AE、AF.只要能说明△ABE≌△AME,△ＡDF≌△AMF即可.理由：连结AE、AF.由AB=AM，AB⊥BC,AM⊥EF，AE公用，∴△ABE≌△ＡMＥ.∴BE=MＥ.同理可得,△ADF≌△AMF．∴DF=MＦ．∴EF＝ME+MF＝ＢＥ＋DF.练习31.如图6,点Ａ在线段BG上,四边形ABCＤ与ＤＥFG都是正方形,•其边长分别为3ｃm 和５ｃm，则△CDE的面积为_＿______c m2.(6) (7)２.你可以依次剪6张正方形纸片,拼成如图7所示图形.•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为__＿＿__＿_.3.如图,P 为正方形AB ＣＤ内一点，PA ＝PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ＡBCD 的面积？例4 如图，等腰梯形A ＢCD 中，ＡD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠Ｃ=30°,求AD ：BC 的值.分析添加辅助线,使等腰梯形ABCD•的问题转化为平行四边形和等腰三角形的问题．解:过D 作DF ∥AB 交B Ｃ于F ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形ＡBFD 为平行四边形．设A Ｄ=ａ，则ＡD=BF=a.∵BD 平分∠A ＢＣ，∴ＡD=ＡB=DF=D Ｃ=ａ．在Rt △DEC 中，∠C ＝3０°，∵DE=2a ,ＥC ＝3a. 又∵ＥC ＝DF ＝3a, ∴ＢC=B Ｆ＋EF ＋E Ｃ=a ＋32a+32ａ＝(1+3)a.∴AD:BC=a：（１+3)a＝(3-1）:２练习4１.用长为1、4、4、５的线段为边作梯形,那么这个梯形的面积等于____＿_＿.2.用一块面积为900cm2的等腰梯形彩纸做风筝,为牢固起见，•用竹条做梯形的对角线,对角线恰好互相垂直,那么梯形对角线至少需______cm.3.如图，一块直角梯形的钢板，两底长分别是4cm、•１0ｃm，•且有一个内角为60°，问是否能将铁板任意翻转,使从一个直径为８．7cm的圆洞中穿过?例5 如图,在矩形ＡBCD中，已知ＡD=12，ＡＢ=５，P是AD边上任意一点，PＥ•⊥BD，ＰE⊥AC，E、F分别是垂足,求ＰE+PF的长．分析连结PO,则PE、ＰF可分别看作是OD、OA边上的高,而OＡ=OD，故只需求出△ＡOP、△DOP的面积即可．解:连结OP．由矩形ABＣD,AD＝12，AB=5.∴AC=BＤ＝2OA＝２ＯB=１3.∴ＯA＝ＯD＝6.5．而S矩形=12×5=6０.∴Ｓ△ＡOD=14×60=１5．∴S△AＯP +S△DOP=15．即12×OA×PF+12×ＯD×PＥ＝1５.∴12×6.5×（PE+PF)=１5.∴ＰE+PF=60 13.练习５１.如图8,等腰梯形ＡBCD中,上底AＤ＝２,下底ＢＣ=8，M是腰ＡB的中点，若MＤ⊥CD，•则梯形的面积为________.(８）（９）2．如图9，已知正方形ＡBＣＤ的面积为３５平方厘米，Ｅ、F分别为边AB、BＣ上的点.AF、ＣE相交于G，并且△ABF的面积为１4平方厘米,△BCE的面积为5平方厘米,•那么四边形ＢEGＦ的面积是_______＿．３．如图，在ABCＤ中,在ＡＤ、ＣD上各取一点Ｅ、Ｆ,使ＡF=CE,AF与CE相交于Ｐ，•则PＢ平分∠APC．答案：练习1１.1８° 2．363.连结ＢＤ交AC于点O,作ＥM⊥AC于点Ｍ．设正方形边长为ａ,则ＡC=ＢD＝AE=2a又∵AC∥BF，ＢO⊥AC，EＭ⊥AＣ，∴ＢＯ=EM=12BＤ＝22a.在Rｔ△ＡEM中,ＡＥ=2a，EM=2ａ.∴∠CAＥ=3０°．则∠ＥAB=１５°．练习2１．7516cm2．2．纸条长为6cm,宽为23cm．3.作GM⊥BD,垂足为M．由题意可知∠ＡＤG=GDM，则△ADG≌△MDG.∴DM=DA＝2. AC＝GM又易知：GM=ＢM．而ＢM＝BD-DM=22-2=2（2-1),∴ＡＧ=BＭ=2（2－1）．练习３1．6c m2． 2.36．3．过P作EＦ⊥AB于F交DC于E.设PＦ=x,则ＥF=10+x,ＢF=12(10+x).由PB２＝PＦ2+BF 2.可得：１0２=ｘ2+14(x+10)２.故x=6．Ｓ正方形ABCＤ=１62=256.练习41．63或１0.2．302.３.过Ｄ作DＥ⊥ＢＣ于E，则BE=4,EC=6，由∠Ｃ=６0°,知ＣD=2EC=12，ＤＥ=3EC=63，由于ＢC＞8.7，ＤE>8.7，故这两个方向不能穿过圆洞．过Ｂ作BF⊥ＣＤ，有CF＝12ＢＣ＝5.得ＢF=５3=75<75.69=8.7.故沿ＣD方向可穿过圆洞.练习５１.5212．42027cm2（面积法）．3．连结BF、BE．过B作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N.则有S△ＡBF＝S△ＢCE=12SＡBＣD．即12×AF×BＭ＝12×CＥ×ＢＮ.∵ＡＦ=CE∴ＢM=BN∴点B在∠AＰC的平分线上.即PＢ平分∠APC．练习5-1的详解:方法一:过D作DQ⊥BＣ于Q，作CD中点N，连结MN，交DQ于ＳMN为梯形ABＣＤ中位线,∴MN=5,MＮ‖BC∴MS为梯形ABQD中位线∴MＳ＝7/2,S为DQ中点,∵DQ⊥BC,ＭN‖BC，∴DQ⊥MＮ设DS=SQ＝a，则MS²+DS²=MD²,则MD²＝4９/4 + ａ², SN为△DＱC中位线∴SN=3／2∴ＤN²=9/4 +a²∵MD⊥CD∴MD²+DＮ²=MN²∴49／４＋a²＋９/4 +a²=25解得a=√2１/2,ＤＱ=√21，Ｓ＝１/2(2+8)*√21=5√21方法二：延长DM，ＢＣ交于点Ｎ。

第12课时：正方形练习培优

正方形专题练习一1、下列说法不正确的是（）A、一组邻边相等的矩形是正方形B、对角线相等的菱形是正方形C、对角线互相垂直的矩形是正方形D、有一个角是直角的平行四边形是正方形2、给出下列4个命题中，正确的个数为（）①平行四边形的对角线相互垂直平分；②两条对角线互相垂直的矩形是正方形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形．A、4B、3C、2D、13、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（）A、①④⇒⑥B、①③⇒⑤C、①②⇒⑥D、②③⇒④4、顺次连接下列各图形的中点，构成的图形一定是正方形的为（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、对角线互相垂直的等腰梯形5、在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内部整点个数为（）A、64 B、49 C、36 D、2S6、已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+6；⑤S正方形ABCD=4+6．其中正确结论的序号是（）A、①③④B、①②⑤C、③④⑤D、①③⑤7、正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A、10 B、12 C、14 D、168、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（）A、10°B、15°C、20°D、12.5°10、已知三个边长分别为10，6，4的正方形如图排列（点A，B，E，H在同一条直线上），DH交EF于R，则线段RN的值为（）A、1B、2C、2.5D、39、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（）A、仅小明对B、仅小亮对C、两人都对D、两人都不对10、如图，E ，F ，G ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE=BF=CG=DH=31AB ，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为（） A 、52 B 、94 C 、21D 、5311、用边长为1的正方形纸板，制成一幅七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为（）A 、83 B 、167 C 、21 D 、4312、如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（）A 、S 1＞S 2B 、S 1=S 2C 、S 1＜S 2D 、S 1、S 2的大小关系不确定（二）填空题：13、如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过顶点B 、D 作DE ⊥a 于点E 、BF ⊥a 于点F ，若DE=4，BF=3，则EF 的长为 ________________. 14、如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去…，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为_______________．15、如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA 1B 1C 的对角线A 1C 和OB 1交于点M 1；以M 1A 1为对角线作第二个正方形A 2A 1B 2M 1，对角线A 1M 1和A 2B 2交于点M 2；以M 2A 1为对角线作第三个正方形A 3A 1B 3M 2，对角线A 1M 2和A 3B 3交于点M 3；…，依次类推，这样作的第n 个正方形对角线交点Mn 的坐标为__________．16、如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______________． 17、如图，正方形ABCD 边长为1，动点P 从A 点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P 所在位置为____________点；当点P 所在位置为D 点时，点P 的运动路程为_______________(用含自然数n 的式子表示）．18、已知：如图，正方形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ．E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，若AE=4cm ，CF=3cm ，且OE ⊥OF ，则EF 的长为 ______________cm ．19、现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是____________cm2；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律：。

浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形第2讲(正方形)培优讲义(含解析)

特殊平行四边形第2讲（正方形）命题点一：根据相应的判定方法解题例1下列判断错误的是( D )A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( D )A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF命题点二：利用性质解决相关问题例3如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( C )A．4个 B．6个 C．8个 D．10个例4如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，则∠BCF 的度数为 105°.命题点三：利用图形的对称性解题例5如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD 2E C．其中正确结论的序号是( A )A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②④ D．①④例6(宁波一中预录题)如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2,3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则额MF的长为( A)A．22B．1 C． 2 D． 3命题点四：用旋转的方法解决问题例7如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是( B )A． 2 B． 3 C．2 D． 5例8(江西省南昌市竞赛题)如图，P为正方形ABCD内一点，若PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，则∠APB 的度数为( B )A．120°B．135° C．150°D．以上都不对命题点五：利用面积法解有关的问题例9有3个正方形如图所示放置，涂色部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于( D ) A．1∶ 2 B．1∶2 C．2∶3 D．4∶9例10将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示的样子摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块涂色面积的和为( C )A．3 cm2 B．6 cm2 C．9 cm2 D．18 cm2命题点六：利用正方形半角模型解题例11(2018·湖北)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( C )A．1 B．1.5 C．2 D．2.5例12如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，GF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S＝3.其中正确结论的个数是( B )△FGCA．4 B．3 C．2 D．1命题点七：利用弦图模型解题例13如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF ＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( C )A．7 B．8 C．7 2 D．7 3例14按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(涂色部分)的周长为20 2 .命题点八：正方形内部“线段”垂直必相等；相等不一定垂直例15如图，将边长为12 cm的正方形ABCD折叠，使得A落在边CD上的E点，折痕为FG，连结AE，若FG的长为13 cm，则线段CE的长为 7_cm.例16如图所示，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q .若PQ＝AE，则AP长为( C )A．0.5 B．1 C．1或2 D．0.5或2.5课后练习1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC 的度数为( A )A．60°B．67.5°C．75°D．54°2．如图所示，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于( B )A．70 B．74 C．144 D．1483．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是( D )A．∠EAF＝∠FAB B．FC＝13BC C．AF＝AE＋FC D．AF＝BC＋FC4．如图是由三个边长分别为6,9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( D )A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或65．在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用涂色部分表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( D )A．3＋318B．3＋118C．3＋36D．3＋166．如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连结GH，则GH的长为1234.7．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG＝89.8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连结OC，若AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为 7 .9．如图，在正方形ABCD中，点P，P1为正方形内的两点，且PB＝PD，P1B＝AB，∠CBP＝∠P1BP，则∠BP1P＝ 45°.10．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是 15°或165°.11．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋3，若AC＝CD，则边AD的长为6.12．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于点E，F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H.(1)求证：HF ＝AP .(2)若正方形ABCD 的边长为12，AP ＝4，求线段EQ 的长．解：(1)∵EF ⊥BP ，EH ⊥AB ，∴∠FEH ＋∠EMQ ＝90°＝∠PBA ＋∠BMH . 又∵∠QME ＝∠BMH ， ∴∠FEH ＝∠PB A ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝A D ． ∵EH ⊥AB ，∴∠EHA ＝90°＝∠A ＝∠D ． ∴四边形ADEH 是矩形． ∴AD ＝EH . 又∵AB ＝AD ， ∴AB ＝EH .在△ABP 与△HEF 中，∵⎩⎨⎧∠A ＝∠FHE ，AB ＝HE ，∠ABP ＝∠HEF ，∴△ABP ≌△HEF (ASA )． ∴AP ＝FH .(2)如图，连结PF ，PE .∵EF 垂直平分BP ， ∴PF ＝BF .设AF ＝x ，则PF ＝BF ＝12－x .∴在△APF 中，42＋x 2＝(12－x )2，解得x ＝163.∴AF ＝163. ∴BF ＝AB －AF ＝203，BH ＝BF －FH ＝83， DE ＝AB －BH ＝283. ∴PE ＝DP 2＋DE 2＝4853. ∵BP ＝AP 2＋AB 2＝410， ∴PQ ＝12BP ＝210.∴EQ ＝PE 2－PQ 2＝10103. 13．(2018·北京) 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，连结DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连结EF 并延长交BC 于点G ，连结DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连结BH .(1)求证：GF ＝G C ．(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．证明：(1)如图，连结DF . ∵点A ，F 关于DE 对称， ∴AD ＝FD ，AE ＝FE . 在△ADE 和△FDE 中，∵⎩⎨⎧AD ＝FD ，AE ＝FE ，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△FDE (SSS )． ∴∠DAE ＝∠DFE .∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠C ＝90°，AD ＝C D ． ∴∠DFE ＝∠A ＝90°.∴∠DFG ＝180°－∠DFE ＝90°. ∴∠DFG ＝∠C ．∵AD ＝DF ，AD ＝CD ，∴DF ＝C D ．在Rt △DCG 和Rt △DFG 中，∵⎩⎨⎧DC ＝DF ，DG ＝DG ，∴Rt △DCG ≌Rt △DFG (HL )． ∴GF ＝G C ． (2)BH ＝2AE .如图，在AD 上取点M 使得AM ＝AE ，连结ME .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠A ＝∠ADC ＝90°. ∵△ADE ≌△FDE ， ∴∠ADE ＝∠FDE . 同理，∠CDG ＝∠FDG .∴∠EDG ＝∠EDF ＋∠GDF ＝12∠ADF ＋12∠CDF ＝12∠ADC ＝45°. ∵DE ⊥EH ，∴∠DEH ＝90°.∴∠EHD ＝180°－∠DEH －∠EDH ＝45°.∴∠EHD ＝∠EDH .∴DE ＝EH .∵∠A ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°.∵∠DEH ＝90°，∴∠AED ＋∠BEH ＝90°.∴∠ADE ＝∠BEH .∵AD ＝AB ，AM ＝AE ，∴DM ＝E B ．在△DME 和△EBH 中，∵⎩⎨⎧ DM ＝EB ，∠MDE ＝∠BEH ，DE ＝EH ，∴△DME ≌△EBH (SAS )．∴ME ＝BH .在Rt △AME 中，∠A ＝90°，AE ＝AM ，∴ME ＝AE 2＋AM 2＝2AE .∴BH ＝2AE . 14．四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连结CE ，以CE 为边，作正方形CEFG (点D ，点F 在直线CE 的同侧)，连结BF .(1)如图①，当点E 与点A 重合时，请直接写出BF 的长．(2)如图②，点E 在线段AD 上，AE ＝1.①求点F 到AD 的距离；②求BF 的长．(3)若BF＝310，请直接写出此时AE的长．解：(1)BF＝4 5.(2)如图，①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，∵四边形CEFG是正方形，∴EC＝EF，∠FEC＝90°.∴∠DEC＋∠FEH＝90°.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°.∴∠DEC＋∠ECD＝90°.∴∠ECD＝∠FEH.又∵∠EDC＝∠FHE＝90°，∴△ECD≌△FEH. ∴FH＝E D．∵AD＝4，AE＝1，∴ED＝AD－AE＝4－1＝3. ∴FH＝3，即点F到AD的距离为3.②延长FH交BC的延长线于点K，∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°.∴四边形CDHK为矩形．∴HK＝CD＝4.∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4.∴AE＝DH＝CK＝1.∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.在Rt△BFK中，BF＝FK2＋BK2＝72＋52＝74.(3)AE＝2＋41或AE＝1.15．(自主招生模拟题)如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF ＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次回到点E时，小球P所经过的路程为6 5 .16．(自主招生模拟题)图①中，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面积分别为17,10,13；图②中，四边形DPQR为矩形，对照图②，计算图①中六边形ABCIGH的面积应为 62 .17．(自主招生模拟题)如图所示，四边形ABCD是正方形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)若∠1＝30°，DG＝3，求正方形ABCD的边长．(2)求证：AG－GF＝GE.解：(1)∵∠1＝30°，DG＝3，∴正方形ABCD的边长为3DG＝3.(2)如图，在AG上截取GH＝GF，过点H作HP⊥AD，垂足为P. ∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠3，∴∠4＝90°－2∠1.在等腰三角形GFH中，∠GHF＝12(180°－∠4)＝45°＋∠1.又∵∠GHF＝∠1＋∠AFH，∴∠AFH＝45°.∴△PFH为等腰直角三角形，PH＝PF. 由GH＝GF且PH＝PF，得GP⊥FH.∴∠FPG＝45°.∴DP＝DG，AP＝CG.∴△APH≌△GCE，AH＝GE.∴AG＝AH＋HG＝GE＋GF.∴AG－GF＝GE.。

浙教版八年级竞赛培优训练第26讲正方形

第26讲正方形【思维入门】1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④2．如图8－26－1，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为()图8－26－1A．45°B．55°C．60°D．75°3．如图8－26－2，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是()图8－26－2A．2.5 B. 5C.32 2 D．24．如图8－26－3，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____．图8－26－35．如图8－26－4，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连结BP，DP，延长BC 到E，使PB＝PE.求证：∠PDC＝∠PEC.图8－26－4【思维拓展】6．如图8－26－5，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为()图8－26－5A．(－3，1) B．(－1，3)C．(3，1) D．(－3，－1)7．如图8－26－6，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF.则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC ＝S△AFE；⑤∠AGB＋∠AED＝145°.其中正确的个数是()图8－26－6A ．2B ．3C ．4D ．58．如图8－26－7，将n 个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是 ( )图8－26－7A ．nB ．n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1D.14n9．如图8－26－8，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ，F 分别在BC 和CD 上．下列结论：①CE ＝CF ；②∠AEB ＝75°；③BE ＋DF ＝EF ；④S 正方形ABCD＝2＋ 3.其中正确的序号是____(把你认为正确的都填上)．图8－26－810．在平面内正方形ABCD 与正方形CEFH 如图8－26－9放置，连DE ，BH ，两线交于M .求证：(1)BH ＝DE ；(2)BH ⊥DE .图8－26－911．如图8－26－10①，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，DC 上的点，且AF ⊥BE .(1)求证：AF＝BE；(2)如图8－26－10②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由．图8－26－1012．如图8－26－11①，正方形ABCD的边AB，AD分别在等腰直角△AEF的腰AE，AF 上，点C在△AEF内，则有DF＝BE(不必证明)．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后，连结BE，DF.请在图8－26－11②中用实线补全图形，这时DF＝BE还成立吗？请说明理由．图8－26－1113．(1)如图8－26－12①，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE.连结BE，CD.请你完成图形，并证明：BE＝CD；(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)图8－26－12(2)如图8－26－12②，已知△ABC，以AB，AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE.连结BE，CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：如图8－26－12③，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100 m，AC＝AE，求BE的长．【思维升华】14．如图8－26－13，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连结BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP＝CQ＝2，则正方形ABCD的面积为()图8－26－13A．6＋4 2 B．16C．12＋8 2 D．3215．如图8－26－14，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C，D在边AB上，且AC ＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E，F分别为MN，QR的中点，连结EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为()图8－26－14A．1B．2C．3D．616．如图8－26－15，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则AEED等于()图8－26－15A.53 B.35C．2 D.1217．如图8－26－16，已知正方形ABCD中，点M在边CD上，且DM＝3，MC＝1，把线段AM绕点A顺时针旋转，使点M落在BC所在的直线上的点N处，则N，C两点的距离为____．图8－26－16第17题答图18．如图8－26－17，已知四边形ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP＝90°，且D，P，E三点共线，若EA＝AP＝1，PB＝5，则DP＝____．图8－26－1719．如图8－26－18，四边形ABCD是正方形，∠1＝∠2＝∠3.(1)∠1＝30°，DG＝3，求正方形ABCD的边长；(2)求证：AG－GF＝GE.图8－26－18第26讲正方形【思维入门】1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④2．如图8－26－1，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C)图8－26－1A．45°B．55°C．60°D．75°3．如图8－26－2，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是(B)图8－26－2A．2.5 B. 5C.32 2 D．2【解析】如答图，连结AC，CF，第3题答图∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝2，CF＝32，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝AC2＋CF2＝（2）2＋（32）2＝2 5.∵H是AF的中点，∴CH＝12AF＝12×25＝ 5.4．如图8－26－3，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图8－26－35．如图8－26－4，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连结BP，DP，延长BC 到E，使PB＝PE.求证：∠PDC＝∠PEC.图8－26－4证明：在正方形ABCD中，BC＝DC，∠PCB＝∠PCD，又∵PC＝PC，∴△PCB≌△PCD(SAS)，∠PBC＝∠PDC.∵PB＝PE，∴∠PBC＝∠PEC.∴∠PDC＝∠PEC.【思维拓展】6．如图8－26－5，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为(A)图8－26－5A．(－3，1) B．(－1，3)C．(3，1) D．(－3，－1)7．如图8－26－6，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG ，CF .则下列结论： ①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG ∥CF ； ④S △EGC ＝S △AFE ；⑤∠AGB ＋∠AED ＝145°. 其中正确的个数是( C )图8－26－6A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △ABG ≌Rt △AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG ＝GC ；通过证明∠AGB ＝∠AGF ＝∠GFC ＝∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；分别求出S △EGC 与S △AFE 的面积比较即可；求得∠GAE ＝45°，∠AGB ＋∠AED ＝180°－∠GAE ＝135°.8．如图8－26－7，将n 个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是 ( B )图8－26－7A ．nB ．n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1D.14n【解析】由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即14×4＝1，5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为1×4，n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为1×(n －1)＝n －1.9．如图8－26－8，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上．下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S正方＝2＋ 3.其中正确的序号是__①②④__(把你认为正确的都填上)．形ABCD图8－26－810．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图8－26－9放置，连DE，BH，两线交于M.求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.图8－26－9证明：(1)∵四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形，第10题答图∴CB＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°.∴∠BCH＝90°＋∠DCH，∠DCE＝90°＋∠DCH.∴∠BCH＝∠DCE.在△BCH和△DCE中，∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCE，CH＝CE，∴△BCH≌△DCE(SAS)．∴BH＝DE.(2)如答图，连结BD.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＋∠BDC＝90°.∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH＝∠CDE.∴∠DBM＋∠BDM＝∠DBM＋∠CDE＋∠BDC＝∠DBM＋∠CBH＋∠BDC＝∠DBC＋∠BDC＝90°.∴∠BMD＝180°－(∠DBM＋∠BDM)＝180°－90°＝90°.∴BH⊥DE.11．如图8－26－10①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE；(2)如图8－26－10②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由．图8－26－10解：(1)证明：如答图①，设AF与BE交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴∠F AD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°，第11题答图①∴∠F AD ＋∠AEG ＝90°. ∴∠AFD ＝∠AEG . ∴△DAF ≌△ABE . ∴AF ＝BE .(2)如答图②，过点A 作AF ∥MP 交CD 于点F ，过点B作BE ∥NQ 交AD 于E .得到▱BEQN 和▱AFPM ， ∴AF ＝MP ，BE ＝NQ ，由(1)得AF ＝BE ， ∴MP ＝NQ .12．如图8－26－11①，正方形ABCD 的边AB ，AD 分别在等腰直角△AEF 的腰AE ，AF 上，点C 在△AEF 内，则有DF ＝BE (不必证明)．将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后，连结BE ，DF .请在图8－26－11②中用实线补全图形，这时DF ＝BE 还成立吗？请说明理由．图8－26－11解：补全图形如答图所示．DF ＝BE 还成立．第12题答图理由：∵四边形ABCD 是正方形，△AEF 是等腰直角三角形，∴AD ＝AB ，AF ＝AE ，∠F AE ＝∠DAB ＝90°. ∴∠F AD ＝∠EAB . 在△ADF 和△ABE 中，第11题答图②⎩⎨⎧AD ＝AB ，∠F AD ＝∠EAB ，AF ＝AE .∴△ADF ≌△ABE (SAS )． ∴DF ＝BE .13．(1)如图8－26－12①，已知△ABC ，以AB ，AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE .连结BE ，CD .请你完成图形，并证明：BE ＝CD ；(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)图8－26－12(2)如图8－26－12②，已知△ABC ，以AB ，AC 为边向外做正方形ABFD 和正方形ACGE .连结BE ，CD .BE 与CD 有什么数量关系？简单说明理由； (3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：如图8－26－12③，要测量池塘两岸相对的两点B ，E 的距离，已经测得∠ABC ＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝100 m ，AC ＝AE ，求BE 的长．解：(1)如答图①，完成作图，字母标注正确． ∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形， ∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°. ∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB . ∴△CAD ≌△EAB . ∴BE ＝CD . (2)BE ＝CD . 理由同(1)：∵四边形ABFD 和ACGE 均为正方形， ∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，第13题答图①∠BAD ＝∠CAE ＝90°， ∴∠CAD ＝∠EAB ， ∴△CAD ≌△EAB . ∴BE ＝CD .(3)由(1)，(2)的解题经验可知，如答图②，过AB 作等腰直角三角形ABD ，∠BAD ＝90°，则AD ＝AB ＝100 m ，∠ABD ＝45°.∴BD ＝100 2 m ．连结CD ，则由(2)可知BE ＝CD . ∵∠ABC ＝45°，在Rt △DBC 中，BC ＝100 m ，BD ＝100 2 m. ∴CD ＝1002＋（1002）2＝1003(m)．∴BE 的长为100 3 m.【思维升华】14．如图8－26－13，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连结BP ，过P 作PQ ⊥BP ，PQ 交CD 于Q ，若AP ＝CQ ＝2，则正方形ABCD 的面积为( C)图8－26－13第14题答图A ．6＋4 2B ．16C ．12＋8 2D ．32【解析】如答图，过P 分别作PE ，PF ，PG 垂直于AB ，CD ，AD ，垂足分别为E ，F ，G .易证Rt △EPB ≌Rt △FQP ≌Rt △FDP ，所以FQ ＝FD ＝EP ＝2，因此正方形ABCD 的边长为2＋22，所以面积为(2＋22)2＝12＋8 2.15．如图8－26－14，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C ，D 在边AB 上，且AC第13题答图②＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E，F分别为MN，QR的中点，连结EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为(B)图8－26－14A．1B．2C．3D．6【解析】如答图，设KH中点为S，连结PE，ES，SF，PF，PS，可证明四边形PESF 为平行四边形，第15题答图∴G为PS的中点，即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线，∵CD＝AB－AC－BD＝6－1－1＝4，∴点G移动的路径长为2.16．如图8－26－15，已知正方形ABCD的边长为4，M点为CD边上的中点，若M点是A点关于线段EF的对称点，则AEED等于(A)图8－26－15第16题答图 A.53B.35C ．2D.12【解析】如答图，连结EM ，∵M ，A 关于EF 对称，∴EA ＝EM ，设AE ＝x ，则ED ＝4－x ，EM ＝x ，而DM ＝2，在直角△DEM 中，由勾股定理得(4－x )2＋22＝x 2，解得x ＝52.∴4－x ＝32，∴AE ED ＝53.17．如图8－26－16，已知正方形ABCD 中，点M 在边CD 上，且DM ＝3，MC ＝1，把线段AM 绕点A 顺时针旋转，使点M 落在BC 所在的直线上的点N 处，则N ，C 两点的距离为__1或7__．图8－26－16 第17题答图【解析】如答图，把线段AM 绕点A 画弧，可见N ，C 两点的距离存在两种情况：①点N 在边BC 上，②点N 在边CB 的延长线上；可以证明△ADM ≌△ABN ≌△ABN ′，所以有BN ＝BN ′＝DM ＝3，所以N ，C 两点的距离是1或7.18．如图8－26－17，已知四边形ABCD 为正方形， △AEP 为等腰直角三角形，∠EAP ＝90°，且D ，P ，E 三点共线，若EA ＝AP ＝1，PB ＝5，则DP ＝．图8－26－17第18题答图【解析】如答图，连结BE ，易证△AEB ≌△APD ，故PD ＝EB ，∠APD ＝∠AEB . ∵△AEP 为等腰直角三角形，∠EAP ＝90°. ∴∠AEP ＝∠APE ＝45°.∴∠APD ＝135°. 故∠AEB ＝135°.∴∠PEB＝∠AEB－∠AEP＝135°－45°＝90°.可求PE＝2，再由勾股定理可求得BE＝3，所以PD＝ 3.19．如图8－26－18，四边形ABCD是正方形，∠1＝∠2＝∠3.(1)∠1＝30°，DG＝3，求正方形ABCD的边长；(2)求证：AG－GF＝GE.图8－26－18 第19题答图解：(1)在Rt△ADG中，∠D＝90°，∠DAG＝30°，DG＝ 3.所以AG＝23，AD＝AG2－DG2＝12－3＝3，即正方形ABCD的边长是3.(2)如答图，延长FG，交BC的延长线于点M，过点M作AD的垂线，交AD的延长线于点N.在Rt△ADG和Rt△MNF中，∠NMF＝∠3＝∠1＝∠DAG，MN＝BA＝AD，所以△ADG≌△MNF，AG＝MF.在Rt△MCG与Rt△ECG中，∠MGC＝∠3＝∠2.所以△MCG≌△ECG，GM＝GE，于是AG－GF＝MF－GF＝GM＝GE.。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题09 正方形中的最值问题

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题09 正方形中的最值问题【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（）A ．4B ．42C ．25D ．52．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（）A ．125B ．135C ．22D ．252-3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A ．12B ．20C ．48D ．804．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是BC 上任意一点，PE BD ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，若22AC =，则EF 的长的最小值为（）A ．2B ．1C ．2D ．225．如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE ，CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接 PD ，PE ，则PD+PE 长度的最小值为（）A ．82B ．410C ．854D ．41346．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．8．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE PF的值最小时，CP的值为______．9．如图，点P为线段AB上的一个动点，AB＝6，以P A、PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1、O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为_____．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．11．如图，正方形ABCD 中，2AB =，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E 、F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF 、BE 相交于点P ，M 是线段BC 上任意一点，则MD MP +的最小值为___．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．13．如图，正方形ABCD 的边长是8，点E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，且1AE CF ==，若点P 是对角线AC 上一个动点，则EP PF +的最小值是______．14．如图，在正方形ABCD 中，22AB =AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．18．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE +PF 的值最小时，CP 的值为________．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．21．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AC 与BD 相交于点O ，M 是AO 的中点，P ，Q 为对角线BD 上的两点，若PQ =2，则PM +CQ 的最小值为 ___．22．如图，正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ．若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ ＋PQ 的最小值是________．答案与解析【例题讲解】P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，若2AB =，则AP BP CP ++的最小值为_______ 【解答】如解图，将ABP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AEF △，∵,60AP AF PAF =∠=︒， ∴PAF △是等边三角形，∴PA PF AF ==，EF PB =，∴PA PB PC EF PF PC ++=++， ∴当E ､F ､P ､C 共线时，PA PB PC ++最小，作EM DA ⊥交DA 的延长线于M ，ME 的延长线交CB 的延长线于N ，则四边形ABNM 是矩形，在Rt AME 中，∵90,30,2M MAE AE ∠=︒∠=︒=，∴1,3ME AM BN ===，∵2MN AB ==，∴1EN =，∴2222221(32)843(6)262(2)EC EN NC =+=++=+=+⋅⋅+2(62)62=+=+．∴PA PB PC ++的最小值为62+．【综合演练】1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（）A ．4B ．42C ．25D ．5 【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N′，N′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【解答】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，∴DN =BN ，连接BD ，BM 交AC 于N′，连接DN′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =2222345CM BC +=+=故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．2．如图，P 为正方形ABCD 内一动点，4PA AB ==，M 为PB 的中点，则CM 的最小值为（）A ．125B ．135C ．22D ．252-【答案】D【分析】取AB 的中点N ，连接MN ，根据三角形中位线的性质可求出MN 的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM 的最小值．【解答】解：因为4PA AB ==，M 为PB 的中点，取AB 的中点N ，连接MN ，CN ，易得25CN =，所以122MN PA ==. 在点P 的运动过程中，MN 的值不变，因为CM MN CN +≥，当C ，M ，N 三点在同一条直线上时，CM 最小，此时252CM CN MN =-=-．故选：D【点评】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE ＝CF ，连接BF 、DE ，则BF ＋DE 的最小值为（）A．12B．20C．48D．80【答案】D【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答】解：解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝45∴BF＋DE最小值为45故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．⊥4．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE BD⊥于点E，PF AC 于点F，若22AC=，则EF的长的最小值为（）A．2 B．1 C2D．22【答案】B【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解．【解答】解：如图，连接OP、EF，∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形OEPF为矩形，∴EF=OP，∴EF最小时OP最小，当OP⊥BC于P的时候OP最小，而当OP⊥BC时，P为BC的中点，BC，∴OP=12∵AC=22，则BC=2，∴OP=1，∴EF的长的最小值为1．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．5．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（）A．82B．410C．854-D．4134-【答案】D【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO 交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，∴OG=12，2222=+=+==（勾股定理），OF FG OG812208413∴4134EF=-，∴PD+PE的长度最小值为4134-，故选D．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题6．如图，正方形ABCD 与矩形EFGH 在直线l 的同侧，边AD ，EH 在直线l 上，且5cm AD =，4cm EH =，3cm EF =．保持正方形ABCD 不动，将矩形EFGH 沿直线l 左右移动，连接BF ，CG ，则BF CG +的最小值为______cm ．【答案】17【分析】作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则BF CG BF QF +=+，当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，依据勾股定理即可得到Rt BNQ ∆中，224117BQ =+=，即可得出BF CG +的最小值为17．【解答】解：如图所示，作点C 关于FG 的对称点P ，连接GP ，以FG ，PG 为邻边作平行四边形PGFQ ，则FQ PG CG ==，4FG QP ==，BF CG BF QF ∴+=+，∴当B ，F ，Q 三点共线时，BF CG +的最小值为BQ 的长，过点Q 作QN AB ⊥于N ，由题可得2(53)4BN =-=，541NQ =-=，Rt BNQ∴△中，224117BQ=+=，BF CG∴+的最小值为17，故答案为：17．【点评】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，正方形ABCD中，AB＝42，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝35 CD．（1）连接CG，则∠DCG＝____________．（2）连接GH，GH的最小值为____________．【答案】45°8 5【分析】（1）利用正方形的性质证明△ADE≌△CDG，即可求解；（2）由∠DCG＝45°，得到点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短，即可解答．【解答】解：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCC＝∠DAE＝45°，故答案为：45°；（2）∵∠DCG＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH＝35CD，∵42 CD AB==∴CH ＝CD ﹣DH ＝25 CD ＝825， ∴GH 最小值＝CH •sin 45°＝8228525⨯= ．故答案为：85．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线垂线段最短，证得三角形全等和得到点G 的运动轨迹是射线CG ，是解题的关键．8．如图，AC 是边长为2的正方形ABCD 的对角线，P 为BC 边上一动点，E ，F 为AB ，AC 的中点．当PE PF +的值最小时，CP 的值为______．【答案】32【分析】延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小，再利用三角形的中位线性质即可求解．【解答】解：延长AB ，作E 关于BC 的对称点Q ，连接FQ ，交BC 于点P ，此时PE PF + 值最小.正方形ABCD 边长为2，2AB BC ∴==，222AC AB ==.E ，F 为AB ，AC 的中点，//EF BC ∴，112EF BC ==. B 为EQ 中点， BP ∴为EFQ △的中位线，1122BP EF ∴==.2BC =，13222CP BC BP ∴=-=-=．故答案为：32．【点评】本题考查了两点间线段最短（将军饮马）的应用以及三角形中位线定理得运用，作出对称点进行求解是解题的关键．9．如图，点P 为线段AB 上的一个动点，AB ＝6，以P A 、PB 为边向同侧作正方形APDC 、正方形PBEF ，两正方形的对角线的交点分别记为O 1、O 2，连接O 1O 2，则O 1O 2的最小值为_____．【答案】3【分析】作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，利用正方形的性质得△AO 1P 和△PO 2B都是等腰直角三角形，则AM ＝PM ，PN ＝BN ，所以MN ＝12AB ＝3，再证明四边形O 1MNO 2为矩形得到O 1Q ＝MN ＝3，然后根据垂线段最短得到O 1O 2的最小值．【解答】解：作O 1M ⊥AP 于M ，O 2N ⊥PB 于N ，O 1Q ⊥O 2N 于Q ，如图，∵四边形APDC 和四边形PBEF 都为正方形，111222,90,,90O A O P AO P O P O B PO B ∴=∠=︒=∠=︒ ,∴△AO 1P 和△PO 2B 都是等腰直角三角形，∵O 1M ⊥AP ，O 2N ⊥PB ，∴AM ＝PM ，PN ＝BN ，∴MN ＝PM +PN ＝12AB ＝3，∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，O1Q⊥O2N，1190Q MN QNM QQN∴∠=∠=∠=︒,∴四边形O1MNO2为矩形，∴O1Q＝MN＝3，∵O1O2≥O1Q，∴O1O2的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝_____°．【答案】45【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°．11．如图，正方形ABCD中，2AB=，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD MP+的最小值为___．【答案】10【分析】首先作出点D 关于BC 的对称点D ，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，PD '最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：1PG =，3GD '=，最后由勾股定理即可求得PD '的长，从而可求得MD MP +的最小值．【解答】解：如图作点D 关于BC 的对称点D ，连接PD '，由轴对称的性质可知：2MD D M CD CD ''===，，∴PM DM PM MD PD +=+=''，过点P 作PE 垂直DC ，垂足为G ，由题意得AE DF =，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB AD =，90BAE ADF ∠=∠=︒，∴BAE ADF △≌△，∴ABE DAF ∠=∠，∴90BAP DAF ∠+∠=︒，∴90BAP ABP ∠+∠=︒，∴90APB ∠=︒，故可知P 的轨迹为以AB 为直径的四分之一圆弧上，当点E 与点D 重合，点F 与点C 重合时，此时，PD '最短．∵四边形ABCD 为正方形，∴112PG AD ==，112GC DC ==． ∴3GD '=．在Rt PGD '△中，由勾股定理得：22221310PD PG GD ''=+=+=．故答案为：10．【点评】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P 的位置是解题的关键．12．在正方形ABCD 中，4AB =，点E 、F 分别为AD CD 、上一点，且AE CF =，连接BF CE 、，则BF CE +的最小值是________________．【答案】45 【分析】首先利用正方形的性质可以证明ADF ∆和()CDE SAS ∆，然后利用全等三角形的性质得到BF CE +的最小值就是BF AF +的最小值，最后利用轴对称即可求解．【解答】解：如图，连接AF ，正方形ABCD 中，AE CF =，AD CD ∴=，DE DF =，在ADF ∆和CDE ∆中，AD CD ADC ADC DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADF ∴∆和()CDE SAS ∆，CE AF ∴=，BF CE BF AF ∴+=+，BF CE ∴+的最小值就是BF AF +的最小值，如图，作A 关于CD 的对称点H ，连接BH 交CD 于F ，则F 即可满足BF AF +最小，4AB =，AH=，4∴==，8AD DH2245∴+=+==+=．BF CE BF AF BH AB AHBF CE∴+的最小值是45．故答案：45．【点评】本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．13．如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且1==，若点P是对角AE CF线AC上一个动点，则EP PF+的最小值是______．【答案】10【分析】过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F 即为所求，根据正方形的性质可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的长，再由勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AC是正方形ABCD的一条对称轴，∴点E、E′关于AC对称，∴PE=PE′，∴PE +PF的最小值是E′F的长，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵EE′⊥AC，∴△AEE′是等腰三角形，∴AE=AE′=3，∵GF⊥AD，∴GD=CF=1，∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，∴E′F=2222'+=+=10．68E G GF故答案为：10．【点评】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．BM=，14．如图，在正方形ABCD中，22AB=，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且3-的最大值为_____________．P为对角线BD上一点，则PM PN【答案】1【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．【解答】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，∴当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，在正方形ABCD 中，AB =4，∴AC =42，∵N 是AO 的中点，点N 和E 关于BD 成轴对称，∴点E 是OC 中点，∴CE =14AC =2， ∵BC =4，BM =3，∴CM =1=14BC ， ∵∠BCQ =45°，∴△MCQ 为等腰直角三角形，∴CQ =2CM =22， ∴EQ =22， ∴CM =EM =1，即PM -PN 的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．15．如图，正方形ABCD 边长为4，P 是正方形内一动点，且:1:3PAB PCD S S =△△，则PC PD +的最小值是______．【答案】213【分析】过点P 作EF AD ∥，由:1:3PAB PCD S S =△△可得13PE PF =，得PE =1，PF =3，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，可得出四边形PFCN 是矩形，得CN =PF =3，延长CB 到K ，使NK =CN =3，连接DK ，根据两点之间线段最短故可知PC PD +的最小值为DK 的长，根据勾股定理可求解【解答】解：如图，过点P 作EF AD ∥，交AB 于点E ，交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB AD ⊥，AB BC ⊥，BC CD ⊥，4AB BC CD AD ====，∴EF AB EF CD ⊥⊥，∵12PAB S AB PE =⋅△，12PCD S CD PF =⋅△， ∴112132PABPCD AB PE S S CD PF ⋅==⋅△△， ∴13PE PF = ∵EF AD ∥∴4EF AD ==，∴3PF =，1PE =，过点P 作MN //AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，则PN BC ⊥，∴∠90PNC NCF CFP ︒=∠=∠=∴四边形CFPN 是矩形，∴四边形AEFD 是矩形，∴=3CN PF =，∵∠90DAE AEF EPD ADF ︒=∠=∠=∠=，延长CB 到K ，使NK =CN =3，则有：6CK CN KN =+=连接DK ，当D P K ，，在一条直线上时，DP PK DK +=，当D P K ，，不在一条直线上时，DP PK DK +>，故当D P K ，，共线时，222246213DP PK DK DC CK +==+=+=又N 是CK 的中点，PN CK ⊥，∴PN 是CK 的垂直平分线，∴CP =PK ，所以PC PD +的最小值为213，故答案为：213．【点评】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．16．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E 为对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，点H 是CD 上一点，且23DH CD =，连接GH ，则GH 的最小值为______．【答案】22【分析】连接CG ．证明(SAS)ADE CDG ≌△△，推出45DCG DAE ∠=∠=︒，推出点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小．【解答】解：连接CG ．四边形ABCD 是正方形，四边形DEFG 是正方形，==3DA DC AB ∴=，DE DG =，90ADC EDG ∠=∠=︒，45DAC ∠=︒，ADE CDG ∴∠=∠，(SAS)ADE CDG ∴≌△△，45DCG DAE ∴∠=∠=︒，∴点G 的运动轨迹是射线CG ，根据垂线段最短可知，当GH CG ⊥时，GH 的值最小，223DH CD ==，321CH CD DH ∴=-=-=，此时sin GH DCG CH∠= ∴ 22sin 45122GH CH =⋅︒=⨯=，即GH 的最小值为22．故答案为：22．【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，垂线段最短，解决本题的关键(SAS)ADE CDG ≌△△得到45DCG DAE ∠=∠=︒，证明出点G 的运动轨迹是射线CG ．17．如图，正方形ABCD ，边长为7，点E 在边BC 上，2BE =，点F 是AB 边上一动点，连接EF ，以EF 为边向右作等边EFG ，连接CG ，线段CG 的最小值是___________．【答案】92【分析】把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，根据旋转的性质得∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，易得四边形HEPQ 为矩形，则PQ ＝EH ＝2，∠HEP ＝90°，接着计算出CP ，从而得到CQ 的长，然后利用垂线段最短得到CG 的最小值．【解答】解：∵△EFG 为等边三角形，∴EF ＝EG ，把△EBF 绕点E 顺时针旋转60°得到△EHG ，如图，延长HG 交CD 于M ，过C 点作CQ ⊥HM ，过E 点作EP ⊥CQ ，∴∠BEH ＝60°，EB ＝EH ＝2，∠EHG ＝∠EBF ＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，∴CP＝12CE＝722＝52，∴CQ＝CP＋PQ＝52＋2＝92．∴CG的最小值为92．故答案为92．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．18．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．【答案】3 2【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可．【解答】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，∵E ，F 为AB ，AC 的中点，BC =2，∴//EF BC ，112EF BC ==， ∵B 为EQ 中点，//BP EF ，∴BP 为EFQ △的中位线，∴1122BP EF ==， ∴13222CP BC BP =-=-=．故答案为：32．【点评】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键．19．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接,DF CF ，则DF CF +的最小值是_____．【答案】45【分析】如图所示，根据题意构造出△AED 和△GFE 全等，分析出点F 的轨迹，然后根据D 、F 、C 三点共线时求出最小值即可．【解答】解：连接BF ，过点F 作FG ⊥AB 交AB 延长线于点G ，∵将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，∴EF ⊥DE ，且EF ＝DE ，∵90ADE AED ∠+∠=︒，90GEF AED +=︒∠∠，∴∠EDA ＝∠FEG ，∴在△AED 和△GFE 中，A EGF ADE FEG DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△GFE （AAS ），∴FG ＝AE ，AD GE =，又∵AD AB =，∴GE AB =，∴AE BG =，∴FG BG =，又∵FG BG ⊥，∴BGF 是等腰直角三角形，∴45GBF ，∴BF 是∠CBC ′的角平分线，即F 点在∠CBC ′的角平分线上运动，过点C 作BF 的对称点C '，则4,BC BC '==∴C 点在AB 的延长线上，CBC '△是等腰直角三角形，∴当D 、F 、C 三点共线时，DF +CF ＝DC '最小，∴在DAC '△中，AD ＝4，8AC AB BC AB BC ''=+=+=，∴22224845DC AD AC ''=+=+=，∴DF +CF 的最小值为45，故答案为：45．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝23，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是_____．【答案】23【分析】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HI ，P 点在HI 上运动，当PB HI ⊥时，PB 有最小值，证明PHB △≌CHB 即可求得BP 的最小值．【解答】分别作,DC DE 的中点,H I 连接HIP 为DF 中点当F 点与C 点重合时，P 点与H 点重合，当F 点与E 点重合时，P 点与I 点重合，∴P 点在HI 上运动当PB HI ⊥时，PB 有最小值四边形ABCD 是矩形,AB ＝4，AD ＝2390A ABC BCD ∴∠=∠=∠=︒4,23CD AB BC AD ====H为DC∴1HC=2E为AB∴=AE BE=DE EC∴DEC是等边三角形∴∠=ECD60HI EC//DHI∴∠=60=HC BC2,∴=HB∴∠=HBC∴∠=BHCPB与CHB中≌CHB（【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出图形并证明PHB△≌CHB是解题的关键．21．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ=2，则PM+CQ的最小值为___．【答案】25【分析】如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小，证明四边形PQTM 是平行四边形，得到PM=TQ，可推出PM+CQ=CT，利用勾股定理求出CT即可．【解答】解：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∴AC=BD=42，∴OD=OB=OA=OC=22，∵AM=OM，AT=DT，OD=2，∴MT=12∴MT=PQ=2，∵MT∥PQ，∴四边形PQTM是平行四边形，∴PM=TQ，∴PM+CQ=TQ+CQ=CT，∵∠CMT=90°，MT=2，CM=32，∴CT=2225+=，MT CM故答案为：25．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．22．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．【答案】22【分析】过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′ 即为DQ+PQ的最小值．【解答】解：如图，过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于点D′，再过点D′作D′P'⊥AD于点P'，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△ADF≌△AD′F，∴AD′＝AD＝4，∵点D′与点D关于AE对称，∴QD＝QD′，∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，∴D′P'的长即为DQ＋PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP'＝P'D′，∴在Rt△AP'D′中，P'D′2＋AP'2＝AD′2，即2D'P'2＝16，∴P'D′＝22，即DQ＋PQ的最小值为22．故答案为：22.【点评】本题考查的是轴对称——最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．。

中考数学一轮复习特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义(含答案)

特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积：设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ，求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ．【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ．【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确；设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24．【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。

正方形判定与性质培优

19.3.2 正方形的判断与性质一．选择题（共 5 小题）1．以下说法错误的选项是（）A ．有一个角为直角的菱形是正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线相等且相互垂直的四边形是正方形2．在正方形 ABCD 的边 AB 、 BC、 CD 、DA 上分别随意取点 E、 F、 G、H ．这样获得的四边形EFGH 中，是正方形的有（）A．1 个 B．2 个 C．4 个 D．无量多个3．如图，四边形ABCD 中， AD=DC ，∠ADC= ∠ABC=90 °，DE ⊥ AB ，若四边形 ABCD 面积为16，则 DE 的长为（）A ． 3B． 2C． 4D． 84．△ ABC 中，∠C=90 °，点 O 为△ ABC 三条角均分线的交点， OD ⊥ BC 于 D ， OE⊥AC 于 E， OF⊥ AB 于 F，且AB=10cm ， BC=8cm ， AC=6cm ，则点 O 到三边 AB 、 AC 、 BC 的距离为（）A ． 2cm， 2cm， 2cmB ．3cm， 3cm， 3cm C． 4cm， 4cm， 4cm D ．2cm， 3cm， 5cm5．如图，在一个大正方形，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三纸片遮住的总面积是24 平方厘米，且未遮住的面积比小正方形面积的四分之一还少 3 平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（）A．40 B．25C． 26D． 36二．填空题（共 4 小题）6．现有一边长等于 a（ a＞ 16）的正方形纸片，从距离正方形的四个极点8cm 处，沿 45°角画线，将正方形纸片分成 5 部分，则暗影部分是_________（填写图形的形状）（如图），它的一边长是_________ ．7．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt △ADE ，∠AED=90 °，连结OE， DE=6 ，OE=8 ，则另向来角边AE的长为_________．8．如图，在四边形 ABCD 中，∠ADC= ∠ ABC=90 °， AD=CD ， DP⊥ AB 于 P．若四边形 ABCD 的面积是18，则DP 的长是 _________ ．9．四边形 ABCD 的对角线AC 和 BD 订交于点O，设有以下条件：① AB=AD ；②∠ DAB=90 °；③ AO=CO ，BO=DO ；④矩形 ABCD ；⑤ 菱形 ABCD ，⑥ 正方形 ABCD ，则在以下推理不建立的是_________A、①④ ? ⑥；B、①③ ? ⑤；C、①② ? ⑥；D、②③ ? ④三．解答题（共 11 小题）10．如图，已知点 E、 F、G、 H 分别在正方形 ABCD 的各边上，且 AE=BF=CG=DH ， AF 、 BG 、CH 、 DE 分别订交于点 A ′、B ′、 C′、 D′．求证：四边形 A ′B′C′D′是正方形．11．如图，在正方形 ABCD 中，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AD 的延伸线上，且 BM=DN ．点 E 为 MN 的中点， DE 的延伸线与 AC 订交于点 F．试猜想线段 DF 与线段 AC 的关系，并证你的猜想．12．如图，正方形ABCD 边长为 6．菱形 EFGH 的三个极点E、 G、H 分别在正方形ABCD 的边 AB 、CD、DA 上，且 AH=2 ，连结 CF．（1）当 DG=2 时，求证：菱形 EFGH 为正方形；（2）设 DG=x ，试用含 x 的代数式表示△FCG 的面积．13．如图，正方形ABCD ，动点 E 在 AC 上， AF ⊥ AC ，垂足为 A ， AF=AE ．（1）求证： BF=DE ；（2）当点 E 运动到 AC 中点时（其余条件都保持不变），问四边形 AFBE 是什么特别四边形？说明原因．14．已知，如图，矩形 ABCD 中， AD=6 ， DC=7 ，菱形 EFGH 的三个极点 E， G， H 分别在矩形 ABCD 的边 AB ，CD，DA 上， AH=2 ，连结 CF．（1）若 DG=2 ，求证四边形 EFGH 为正方形；（2）若 DG=6 ，求△ FCG 的面积；（3）当 DG 为什么值时，△ FCG 的面积最小．15．如图，正方形ABCD 中， AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边一直经过点 B ，直角极点P 在射线 AC 上挪动，另一边交DC于Q．（ 1）如图 1，当点 Q 在 DC 边上时，猜想并写出PB 与 PQ 所知足的数目关系；并加以证明；（ 2）如图 2，当点 Q 落在 DC 的延伸线上时，猜想并写出PB 与 PQ 知足的数目关系，请证明你的猜想．16．如图，已知四边形 ABCD 是正方形，分别过 A 、 C 两点作 l1∥ l2，作 BM ⊥ l1于 M ， DN⊥ l 1于 N ，直线 MB 、 ND 分别交 l2于 Q、 P．求证：四边形 PQMN 是正方形．17．在正方形 ABCD 各边前一次截取AE=BF=CG=DH ，连结 EF，FG，GH ，HE．试问四边形EFGH 是不是正方形？18．如图，四边形ABCD 是正方形，点P 是 BC上随意一点，DE⊥ AP于点E，BF⊥AP于点F，CH ⊥ DE于点H，BF 的延伸线交CH 于点 G．（1）求证： AF ﹣ BF=EF ；（2）四边形 EFGH 是什么四边形？并证明；（3）若 AB=2 ， BP=1，求四边形 EFGH 的面积．19．如图，△ ABC 中，∠C=90 °，∠ BAC 、∠ ABC 的均分线订交于点 D，DE⊥ BC ，DF⊥ AC ，垂足分别为 E、F．问四边形 CFDE 是正方形吗？请说明原因．20．如图，在△ABC 中，∠BAC=90 °，AB=AC ，点 D 是 BC 的中点， DE ⊥AB ，DF⊥ AC 垂足分别为E，F．求证：四边形 DEAF 是正方形．19.3.2 正方形的判断与性质参照答案与试题分析一．选择题（共 5 小题）1．以下说法错误的选项是（）A ．有一个角为直角的菱形是正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线相等且相互垂直的四边形是正方形考点：正方形的判断．剖析：正方形：四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等，且相互垂直均分的平行四边形；菱形：四条边都相等，对角线相互垂直均分的平行四边形；矩形：四个角都相等，对角线相等的平行四边形．解答：解：A 、有一个角为直角的菱形的特点是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形．故本选项说确；B、有一组邻边相等的矩形的特点是：四条边都相等，四个角都是直角．则该矩形为正方形．故本选项说确；C、对角线相等的菱形的特点是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形．故本选项说确；D、对角线相等且相互垂直的平行四边形是正方形．故本选项说法错误；应选 D．评论：本题考察了正方形的判断．正方形集矩形、菱形的性质于一身，是特别的平行四边形．2．在正方形 ABCD 的边 AB 、 BC、 CD 、DA 上分别随意取点E、 F、 G、H ．这样获得的四边形EFGH 中，是正方形的有（）A． 1个B．2 个C．4 个D．无量多个考点：正方形的判断与性质；全等三角形的判断．专题：计算题．剖析：在正方形四边上随意取点E、 F、 G、 H，若能证明四边形 EFGH 为正方形，则说明能够获得无量个正方形．解答：解：无量多个．如图正方形ABCD ：AH=DG=CF=BE ， HD=CG=FB=EA ，∠ A= ∠ B=∠ C=∠ D，有△AEH ≌△DHG ≌△CGF≌ △BFE，则 EH=HG=GF=FE ，此外很简单得四个角均为90°则四边形 EHGF 为正方形．应选 D．评论：本题考察了正方形的判断与性质，难度适中，利用三角形全等的判断证明EH=HG=GF=FE ．3．如图，四边形ABCD 中， AD=DC ，∠ADC= ∠ABC=90 °，DE ⊥ AB ，若四边形ABCD 面积为 16，则 DE 的长为（）A．3B．2C．4D．8考点：正方形的判断与性质．专题：证明题．剖析：如图，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延伸线于 F，利用互余关系可得∠ A= ∠ FCD ，又∠ AED= ∠ F=90°，AD=DC ，利用 AAS 能够判断△ ADE ≌ △ CDF，∴ DE=DF ， S 四边形ABCD =S 正方形DEBF=16 ， DE=4 ．解答：解：过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延伸线于 F，∵ ∠ ADC= ∠ ABC=90 °，∠ CDF+ ∠ EDC=90 °，∴∠A=∠FCD ，又∠ AED= ∠ F=90°， AD=DC ，∴△ADE ≌△CDF，∴DE=DF ，S 四边形ABCD =S 正方形DEBF=16 ，∴ DE=4 ．应选 C．评论：本题运用割补法，或许旋转法将四边形ABCD转变为正方形，依据面积保持不变，来求正方形的边长．4．△ ABC 中，∠C=90 °，点 O 为△ ABC 三条角均分线的交点，OD ⊥ BC 于 D ， OE⊥AC 于AB=10cm ， BC=8cm ， AC=6cm ，则点 O 到三边 AB 、 AC 、 BC 的距离为（）A ．2cm， 2cm， 2cmB ．3cm， 3cm， 3cm C．4cm， 4cm， 4cm D ．E， OF⊥ AB 于 F，且2cm，3cm， 5cm考点：正方形的判断与性质．剖析：连结 OA ， OB， OC，利用角的均分线上的点到角的两边的距离相等可知△BDO≌△ BFO，△CDO ≌△ CEO ，△ AEO ≌△ AFO ，∴BD=BF ，CD=CE ，AE=AF ，又因为点 O 到三边 AB 、AC 、BC 的距离是 CD ，∴ AB=8 ﹣ CD+6 ﹣ CD=10 ，解得 CD=2 ，所以点 O 到三边 AB 、 AC 、BC 的距离为 2．解答：解：连结 OA ， OB ， OC，则△ BDO ≌ △ BFO ，△ CDO≌ △ CEO，△ AEO ≌ △AFO ，∴BD=BF ， CD=CE ， AE=AF ，又∵ ∠ C=90， OD⊥ BC 于 D， OE⊥ AC 于 E，且 O 为△ ABC 三条角均分线的交点∴四边形 OECD 是正方形，则点 O 到三边 AB、 AC、BC 的距离 =CD，∴ AB=8 ﹣ CD+6﹣ CD= ﹣ 2CD+14 ，又依据勾股定理可得：AB=10 ，即﹣ 2CD+14=10∴ CD=2 ，即点 O 到三边 AB 、 AC 、 BC 的距离为2cm．应选 A评论：本题主要考察垂直均分线上的点到线段两段的距离相等的性质和边的和差关系．5．如图，在一个大正方形，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三纸片遮住的总面积是24 平方厘米，且未遮住的面积比小正方形面积的四分之一还少 3 平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（）A． 40B．25C．26D．36考点：正方形的判断与性质．专题：计算题．剖析：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由正方形的面积公式，依据题意列出方程组解方程组得出大正方形的边长，则可求出头积．解答：解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为 b，由这三纸片遮住的总面积是24 平方厘米，可得ab+a（ b﹣ a）=24① ，2 2将①②联立解方程组可得：a=4， b=5，∴大正方形的边长为5，∴面积是 25．应选 B．评论：本题考察了正方形的性质及面积公式，难度较大，重点依据题意列出方程．二．填空题（共 4 小题）6．现有一边长等于a（ a＞ 16）的正方形纸片，从距离正方形的四个极点8cm 处，沿 45°角画线，将正方形纸片分成 5 部分，则暗影部分是正方形（填写图形的形状）（如图），它的一边长是cm．考点：正方形的判断与性质．专题：压轴题．剖析：延伸小正方形的一边交大正方形于一点，连结此点与距大正方形极点8cm 处的点，结构直角边长为8的等腰直角三角形，将小正方形的边长转变为等腰直角三角形的斜边长来求解即可．解答：解：如图，作AB 平行于小正方形的一边，延伸小正方形的另一边与大正方形的一边交于 B 点，∴ △ ABC 为直角边长为8cm 的等腰直角三角形，∴AB=AC=8 ，∴暗影正方形的边长 =AB=8cm ．故答案为：正方形， cm．评论：本题考察了正方形的性质与勾股定理的知识，题目同时也浸透了转变思想．7．如图，正方形则另向来角边AE ABCD的长为的对角线交于点10．O，以AD为边向外作Rt △ADE，∠AED=90 °，连结OE， DE=6 ，OE=8 ，考点：正方形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；勾股定理．剖析：第一过点 O 作 OM ⊥ AE 于点 M ，作 ON⊥DE ，交 ED 的延伸线于点N，易得四边形EMON 是正方形，点 A ，O， D，E 共圆，则可得△ OEN 是等腰直角三角形，求得EN 的长，既而证得Rt△AOM ≌ Rt△ DON ，得到 AM=DN ，既而求得答案．解答：解：过点 O 作 OM ⊥ AE 于点 M ，作 ON⊥ DE ，交 ED 的延伸线于点N，∵ ∠ AED=90 °，∴四边形 EMON 是矩形，∵正方形 ABCD 的对角线交于点O，∴ ∠ AOD=90 °， OA=OD ，∴ ∠ AOD+ ∠ AED=180 °，∴点 A ，O，D ，E 共圆，∴=，∴∠ AEO= ∠ DEO= ∠ AED=45 °，∴OM=ON ，∴四边形 EMON 是正方形，∴EM=EN=ON ，∴△ OEN 是等腰直角三角形，∵OE=8，∴ EN=8 ，∴EM=EN=8 ，在 Rt△ AOM 和 Rt △ DON 中，，∴Rt△ AOM ≌ Rt△ DON （ HL ），∴AM=DN=EN ﹣ ED=8 ﹣ 6=2，∴AE=AM+EM=2+8=10 ．故答案为： 10．评论：本题考察了正方形的判断与性质、全等三角形的判断与性质以及等腰直角三角形性质．本题难度较大，注意掌握协助线的作法，注意掌握数形联合思想的应用．8．如图，在四边形 ABCD 中，∠ADC= ∠ ABC=90 °， AD=CD ， DP⊥ AB 于 P．若四边形 ABCD 的面积是18，则DP的长是 3 ．考点：正方形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．剖析：过点 D 作 DE ⊥ DP 交 BC 的延伸线于E，先判断出四边形DPBE 是矩形，再依据等角的余角相等求出∠ ADP= ∠CDE ，再利用“角角边”证明△ ADP 和△ CDE 全等，依据全等三角形对应边相等可得DE=DP ，而后判断出四边形 DPBE 是正方形，再依据正方形的面积公式解答即可．解答：解：如图，过点 D 作 DE ⊥ DP 交 BC 的延伸线于E，∵ ∠ ADC= ∠ ABC=90 °，∴四边形 DPBE 是矩形，∵ ∠ CDE+ ∠CDP=90 °，∠ADC=90 °，∴ ∠ ADP+ ∠CDP=90 °，∴ ∠ ADP= ∠CDE ，∵DP⊥AB ，∴∠ APD=90 °，∴ ∠ APD= ∠E=90 °，在△ADP 和△ CDE 中，，∴ △ ADP ≌△ CDE （AAS ），∴DE=DP ，四边形 ABCD 的面积 =四边形 DPBE 的面积 =18，∴矩形 DPBE 是正方形，∴DP==3 ．故答案为： 3．评论：本题考察了正方形的判断与性质，全等三角形的判断与性质，熟记各性质并作协助线结构出全等三角形和正方形是解题的重点．9．四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 订交于点 O，设有以下条件：① AB=AD；②∠ DAB=90 °；③ AO=CO ，BO=DO ；④矩形 ABCD ；⑤ 菱形 ABCD ，⑥ 正方形 ABCD ，则在以下推理不建立的是CA、①④ ? ⑥；B、①③ ? ⑤；C、①② ? ⑥；D、②③ ? ④考点：正方形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；菱形的判断与性质；矩形的判断与性质．专题：证明题．剖析：依据矩形、菱形、正方形的判断定理，对角线相互均分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，依据已知对各个选项进行剖析从而获得最后的答案．解答：解： A 、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；B、由③得，四边形是平行四边形，再由① ，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；C、由①②不可以判断四边形是正方形；D、由③得，四边形是平行四边形，再由② ，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．应选 C．评论：本题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判断定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线相互均分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线相互均分且一个角是直角的四边形是矩形．灵巧掌握这些判断定理是解本题的重点．三．解答题（共11 小题）ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分别相10．如图，已知点E、 F、G、 H 分别在正方形交于点 A ′、B ′、 C′、 D′．求证：四边形 A ′B′C′D′是正方形．考点：正方形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．专题：证明题．剖析：依照三角形的角和定理能够判断四边形 A ′B′C′D′的三个角是直角，则四边形是矩形，而后证明一组邻边相等，能够证得四边形是正方形．解答：证明：在正方形ABCD 中，∵在△ABF 和△ BCG 中，∴ △ ABF ≌△ BCG （SAS）∴ ∠ BAF= ∠GBC ，∵ ∠ BAF+ ∠AFB=90 °，∴ ∠ GBC+ ∠ AFB=90 °，∴ ∠ BB ′F=90°，∴ ∠ A ′B′C′=90°．∴同理可得∠ B ′C′D′=∠ C′D′A′=90°，∴四边形 A ′B′C′D′是矩形．∵在△AB ′B 和△BC′C 中，∴ △ AB ′B≌ △ BC′C（ AAS ），∴AB ′=BC ′∵在△AA ′E 和△BB ′F中，∴ △ AA ′E≌ △ BB ′F（ AAS ），∴AA ′=BB ′∴A ′B′=B ′C′∴矩形 A ′B′C′D′是正方形．评论：本题考察了正方形的判断，判断的方法是证明是矩形同时是菱形．11．如图，在正方形DE 的延伸线与ACABCD订交于点中，点 M 在边F．试猜想线段AB 上，点DF 与线段N 在边 AD 的延伸线上，且AC 的关系，并证你的猜想．BM=DN．点E 为MN的中点，考点：正方形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；线段垂直均分线的性质．专题：研究型．剖析：猜想：线段 DF 垂直均分线段AC ，且 DF=AC ，过点 M 作 MG ∥ AD ，与 DF 的延伸线订交于点 G，作 GH⊥ BC，垂足为 H，连结 AG 、 CG．依据正方形的性质和全等三角形的证明方法证明△AMG ≌ △CHG 即可．解答：猜想：线段 DF 垂直均分线段AC ，且 DF=AC ，证明：过点 M 作 MG ∥ AD ，与 DF 的延伸线订交于点 G．则∠EMG= ∠N，∠BMG= ∠ BAD ，∵ ∠ MEG= ∠ NED ， ME=NE ，∴△MEG ≌△ NED，∴MG=DN ．∵BM=DN ，∴MG=BM ．作 GH⊥ BC，垂足为 H，连结 AG 、CG．∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB=BC=CD=DA ，∠ BAD= ∠ B= ∠ ADC=90 °，∵ ∠ GMB= ∠ B= ∠ GHB=90 °，∴四边形 MBHG 是矩形．∵MG=MB ，∴四边形 MBHG 是正方形，∴MG=GH=BH=MB ，∠ AMG= ∠ CHG=90 °，∴AM=CH ，∴△ AMG ≌ △CHG ．∴GA=GC ．又∵ DA=DC ，∴ DG 是线段 AC 的垂直均分线．∵ ∠ ADC=90 °， DA=DC ，∴DF=AC即线段 DF 垂直均分线段AC ，且 DF=AC ．评论：本题综合考察了矩形的判断和性质、正方形的判断和性质，垂直均分线的判断和性质，全等三角形的性质和判断等知识点，本题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生剖析问题和解决问题以及敢于猜想的能力．12．如图，正方形ABCD 边长为 6．菱形 EFGH 的三个极点E、 G、H 分别在正方形ABCD 的边 AB 、CD、DA 上，且 AH=2 ，连结 CF．（1）当 DG=2 时，求证：菱形 EFGH 为正方形；（2）设 DG=x ，试用含 x 的代数式表示△FCG 的面积．考点：正方形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；菱形的性质．剖析：（1）因为四边形ABCD 为正方形，四边形 HEFG 为菱形，那么∠D= ∠A=90 °，HG=HE ，而 AH=DG=2易证△ AHE ≌ △ DGH ，从而有∠ DHG= ∠HEA ，等量代换可得∠ AHE+∠ DHG=90°，易证四边形HEFG 为正方形；（ 2）欲求△ FCG 的面积，由已知得CG 的长易求，只要求出GC 边的高，经过证明△ AHE≌ △ MFG可得．解答：（1）证明：在△ HDG 和△ AEH 中，，∵四边形 ABCD 是正方形，∴ ∠ D=∠ A=90 °，∵四边形 EFGH 是菱形，∴HG=HE ，∵DG=AH=2 ，∴Rt△ HDG ≌ △ AEH ，∴∠ DHG= ∠ AEH ，∴∠ DHG+ ∠ AHE=90 °∴∠ GHE=90 °，∴菱形 EFGH 为正方形；（ 2）解：过 F 作 FM ⊥ CD ，垂足为M ，连结 GE∵CD∥ AB ，∴∠AEG= ∠MGE ，∵GF∥ HE ，∴ ∠ HEG= ∠ FGE，∴∠AEH= ∠FGM，在 Rt△ AHE 和 Rt△ GFM 中，∵ ，∴ Rt△ AHE ≌ Rt△ GFM ，∴MF=2 ，∵ DG=x ，∴CG=6﹣ x．∴S△FCG=CG?FM=6 ﹣ x．评论：作 FM ⊥ DC，交本题考察了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判断和性质，解题的重点是作协助线：过DC 延伸线于M ，连结 GE，结构全等三角形和错角．F13．如图，正方形ABCD ，动点 E 在 AC 上， AF ⊥ AC ，垂足为 A ， AF=AE ．（1）求证： BF=DE ；（2）当点 E 运动到 AC 中点时（其余条件都保持不变），问四边形 AFBE 是什么特别四边形？说明原因．考点：正方形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．剖析：（1）依据正方形的性质判断△ ADE≌△ ABF后即可获得（ 2）利用正方形的判断方法判断四边形AFBE 为正方形即可．BF=DE ；解答：（1）证明： ∵ 正方形 ABCD ，∴ AB=AD ， ∠BAD=90 °，∵AF ⊥AC ，∴ ∠ EAF=90 °，∴ ∠ BAF= ∠EAD ，在△ADE 和△ ABF 中∴ △ ADE ≌ △ ABF （ SAS ），∴ BF=DE ；（ 2）解：当点 E 运动到 AC 的中点时四边形 AFBE 是正方形，原因：∵ 点 E 运动到 AC 的中点， AB=BC ，∴ BE ⊥AC ， BE=AE=AC ，∵ AF=AE ，∴ BE=AF=AE ，又 ∵ BE ⊥ AC ， ∠FAE= ∠ BEC=90 °，∴ BE ∥AF ，∵ BE=AF ，∴ 得平行四边形 AFBE ，∵ ∠ FAE=90 °，AF=AE ，∴ 四边形 AFBE 是正方形．评论：本题考察了正方形的判断和性质，解题的重点是正确的利用正方形的性质．14．已知，如图，矩形 ABCD 中， AD=6 ， DC=7 ，菱形 EFGH 的三个极点 E ， G ， H 分别在矩形 ABCD 的边 AB ，CD ， DA 上， AH=2 ，连结 CF ．（ 1）若 DG=2 ，求证四边形 EFGH 为正方形；（ 2）若 DG=6 ，求 △ FCG 的面积；（ 3）当 DG 为什么值时， △ FCG 的面积最小．考点：正方形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；菱形的性质；矩形的性质．专题：计算题；压轴题．剖析：（1）因为四边形 ABCD 为矩形，四边形 HEFG 为菱形，那么 ∠D= ∠A=90 °，HG=HE ，而 AH=DG=2 ，易证 △ AHE ≌ △ DGH ，从而有 ∠ DHG= ∠HEA ，等量代换可得 ∠ AHE+ ∠ DHG=90 °，易证四边形 HEFG 为正方形；（ 2）过 F 作 FM ⊥ DC ，交 DC 延伸线于 M ，连结 GE ，因为 AB ∥ CD ，可得 ∠ AEG= ∠ MGE ，同理有 ∠ HEG= ∠ FGE ，利用等式性质有 ∠ AEH= ∠ MGF ，再联合 ∠ A= ∠ M=90 °，HE=FG ，可证 △ AHE ≌ △ MFG ，从而有 FM=HA=2 （即无论菱形 EFGH 怎样变化，点 F 到直线 CD 的距离一直为定值 2），从而可求三角形面积；HE 2≤53，在 Rt △ DHG （ 3）先设 DG=x ，由第（ 2）小题得， S △FCG =7﹣ x ，在△ AHE 中，AE ≤AB=7 ，利用勾股定理可得中，再利用勾股定理可得x 2+16≤53，从而可求 x ≤，从而可适当 x=时， △ GCF 的面积最小．解答：解：（ 1） ∵四边形 ABCD 为矩形，四边形 HEFG 为菱形，∴ ∠ D=∠ A=9 0°， HG=HE ，又 AH=DG=2 ，∴ Rt △ AHE ≌ Rt △ DGH （HL ），∴ ∠ DHG= ∠ HEA ，∵ ∠ AHE+ ∠ HEA=90 °，∴ ∠ AHE+ ∠ DHG=90 °，∴ ∠ EHG=90 °，∴ 四边形 HEFG 为正方形；（ 2）过 F 作 FM ⊥DC ，交 DC 延伸线于 M ，连结 GE ，∵AB ∥CD ，∴∠AEG= ∠MGE ，∵ HE ∥ GF ，∴ ∠ HEG= ∠ FGE ，∴∠AEH= ∠MGF ，在 △ AHE 和 △ MFG 中， ∠ A= ∠M=90 °，HE=FG ， ∴△AHE ≌△MFG ，∴ FM=HA=2 ，即不论菱形 EFGH 怎样变化，点 F 到直线 CD 的距离一直为定值 2，所以；（ 3）设 DG=x ，则由第（ 2）小题得， S △ FCG =7﹣ x ，在 △AHE 中， AE ≤AB=7 ，∴ HE 2≤53，∴ x 2+16≤53，∴ x ≤，∴ S △FCG 的最小值为，此时 DG= ，∴ 当 DG= 时， △ FCG 的面积最小为（）．评论：本题考察了矩形、菱形的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理．解题的重点是作协助线：过F 作 FM ⊥ DC ，交 DC 延伸线于 M ，连结 GE ，结构全等三角形和错角．15．如图，正方形 ABCD 中， AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边一直经过点 B ，直角极点P 在射线 AC 上挪动，另一边交 DC 于Q ．（ 1）如图 1，当点 Q 在 DC 边上时，猜想并写出 PB 与 PQ 所知足的数目关系；并加以证明；（ 2）如图 2，当点 Q 落在 DC 的延伸线上时，猜想并写出 PB 与 PQ 知足的数目关系，请证明你的猜想．考点：正方形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．剖析：（1）过 P 作 PE ⊥BC ， PF ⊥ CD ，证明 Rt △ PQF ≌ Rt △ PBE ，即可；（ 2）证明思路同（ 1）解答：（1） PB=PQ ，证明：过 P 作 PE ⊥ BC ， PF ⊥ CD ，∵ P ， C 为正方形对角线 AC 上的点，∴ PC 均分 ∠ DCB ， ∠ DCB=90 °，∴ PF=PE ，∴ 四边形 PECF 为正方形，∵ ∠ BPE+∠ QPE=90°， ∠ QPE+∠ QPF=90 °，∴ ∠ BPE=∠ QPF ，∴ Rt △ PQF ≌ Rt △PBE ，∴ PB=PQ ；（ 2） PB=PQ ，证明：过 P 作 PE⊥ BC ， PF⊥ CD ，∵ P， C 为正方形对角线AC 上的点，∴PC 均分∠ DCB ，∠ DCB=90 °，∴PF=PE，∴四边形 PECF 为正方形，∵ ∠ BPF+∠ QPF=90°，∠ BPF+ ∠ BPE=90 °，∴ ∠ BPE=∠ QPF，∴Rt△ PQF≌ Rt△PBE，∴PB=PQ ．本题考察了正方形，角均分线的性质，以及全等三角形判断与性质．本题综合性较强，注意数形结评论：合思想．16．如图，已知四边形 ABCD 是正方形，分别过 A 、 C 两点作 l1∥ l2，作 BM ⊥ l1于 M ， DN⊥ l 1于 N ，直线 MB 、 ND 分别交 l2于 Q、 P．求证：四边形 PQMN 是正方形．考点：正方形的判断与性质．专题：证明题；压轴题．剖析：可由 Rt△ ABM ≌Rt△ DAN ， AM=DN同理可得 AN=NP ，所以 MN=PN ，从而可得其为正方形．解答：证明： l1∥ l2， BM ⊥ l 1， DN ⊥ l2，∴ ∠ QMN= ∠P=∠ N=90 °，∴四边形 PQMN 为矩形，∵AB=AD ，∠ M= ∠ N=90 °∠ADN+ ∠ NAD=90 °，∠ NAD+∠BAM=90 °，∴∠ADN= ∠BAM ，又∵ AD=BA ，∴Rt△ ABM ≌ Rt△DAN （ AAS ），∴AM=DN同理 AN=DP ，∴AM+AN=DN+DP ，即 MN=PN ．∴四边形 PQMN 是正方形．评论：本题考察了矩形的判断和性质、全等三角形的判断和性质以及正方形的判断，解题的重点是娴熟掌握各样几何图形的性质和判断方法．17．在正方形 ABCD 各边前一次截取AE=BF=CG=DH ，连结 EF，FG，GH ，HE．试问四边形EFGH 是不是正方形？考点：正方形的判断与性质．剖析：依据正方形的性质可得 AB=BC=CD=AD，∠ A= ∠ B= ∠C=∠D ，而后求出 BE=CF=DG=AH ，再利用“边角边”证明△AHE 和△ BEF 和△ CFG 和△ DGH 全等，依据全等三角形对应边相等可得EF=FG=GH=EH ，全等三角形对应角相等可得∠ AHE= ∠ BEF= ∠ CFG= ∠ DGH ，再求出∠ EFG=∠ FGH= ∠ GHE= ∠ FEH=90 °，从而获得四边形EFGH 是正方形．解答：解：四边形 EFGH 是正方形．原因以下：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠ A= ∠ B=∠ C= ∠D ，∵AE=BF=CG=DH ，∴AB ﹣ AE=BC ﹣ BF=CD ﹣CG=AD ﹣ DH ，即 BE=CF=DG=AH ，∴△ AHE ≌ △ BEF≌ △CFG≌ △DGH ，∴EF=FG=GH=EH ，∠ AHE= ∠ BEF= ∠ CFG= ∠ DGH ，∴∠ EFG= ∠ FGH= ∠ GHE= ∠ FEH=90 °，∴四边形 EFGH 是正方形．评论：本题考察了正方形的判断与性质，全等三角形的判断与性质，熟记各性质并求出被截取的四个小直角三角形全等是解题的重点．18．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 P 是 BC 上随意一点， DE⊥ AP 于点 E， BF ⊥ AP 于点 F，CH ⊥ DE 于点 H， BF 的延伸线交 CH 于点 G．（1）求证： AF ﹣ BF=EF ；（2）四边形 EFGH 是什么四边形？并证明；考点：正方形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；剖析：（1）利用全等三角形的判断第一得出△ AED≌△ BFA，从而得出AE=BF ，即可证明结论；（2）第一得出四边形 EFGH 是矩形，再利用△AED ≌△ BFA ，同理可得：△ AED ≌ △ DHC ，从而得出 EF=EH ，即可得出答案；解答：（1）证明：∵ DE⊥ AP 于点 E， BF⊥ AP 于点 F， CH ⊥DE 于点 H，∴ ∠ AFB= ∠AED= ∠DHC=90 °，∴ ∠ ADE+ ∠ DAE=90 °，又∵ ∠ DAE+ ∠ BAF=90 °，∴∠ADE= ∠BAF ，在△AED 和△ BFA 中，，∴△AED ≌△BFA，∴AE=BF ，∴AF ﹣ AE=EF ，即 AF ﹣ BF=EF ；（ 2）证明：∵ ∠ AFB= ∠AED= ∠DHC=90 °，∴四边形 EFGH 是矩形，∵ △ AED ≌ △ BFA ，同理可得：△ AED≌ △ DHC，∴△AED ≌△BFA≌ △DHC，∴DH=AE=BF ， AF=DE=CH ，∴DE﹣ DH=AF ﹣ AE ，∴EF=EH ，∴矩形 EFGH 是正方形；19．如图，△ ABC 中，∠C=90 °，∠ BAC 、∠ ABC 的均分线订交于点 D，DE⊥ BC ，DF⊥ AC ，垂足分别为 E、F．问四边形 CFDE 是正方形吗？请说明原因．考点：正方形的判断；角均分线的性质．剖析：第一利用垂直的定义证得四边形该四边形是正方形．解答：证明：∵ ∠C=90 °， DE ⊥BC ∴四边形 DECF 为矩形，∵ ∠ A 、∠ B 的均分线交于点D，于点CFDE 是矩形，而后利用角均分线的性质获得E， DF⊥ AC 于点 F，DE=DF ，从而判断∴DF=DE ，∴四边形 CFDE 是正方形．评论：本题主要考察了角均分线的性质，三角形的切圆与心，解题的重点是利用正方形的判断方法证得四边形 CFDE 是正方形．20．如图，在△ABC 中，∠BAC=90 °，AB=AC ，点 D 是 BC 的中点， DE ⊥AB ，DF⊥ AC 垂足分别为E，F．求证：四边形 DEAF 是正方形．考点：正方形的判断；全等三角形的判断与性质．专题：证明题．剖析：由题意先证明□AEDF 是矩形，再依据两角及其一角的对边对应相等来证组对边相等的矩形证明□AEDF 是正方形．解答：证明：∵DE⊥AB ，DF⊥AC△ BDE ≌ △ CDF，依占有一∴ ∠ AED=90 °，∠ AFD=90 °∵ ∠ BAC=90 °∴ ∠ EDF=90 °∴ □AEDF 是矩形在△BDE 和△ CDF 中∵ AB=AC∴ ∠ ABC= ∠ ACB∵DE⊥ AB ， DF⊥ AC∴ ∠ DEB= ∠DFC又∵D 是 BC 的中点∴BD=DC∴△ BDE ≌△ CDF∴DE=DF∴□AEDF 是正方形评论：本题考察的是正方形的判断方法，考察了矩形、全等三角形等基础知识的灵巧运用，鉴别一个四边形是正方形主假如依据正方形的定义及其性质．。

1.3 正方形的性质与判定(B能力培优练)(解析版)-2021-2022学年九年级数学上(北师大版)

1.3 正方形的性质与判定（B 能力培优练）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2021•郑州模拟）如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为5和3，点E ，G 分别为AD ，CD 边上的点，H 为BF 的中点，连接HG ，则HG 的长为( )A ．22B ．4C ．15D ．17【分析】作辅助线，构建直角三角形，先根据三角形的中位线定理得1HN =，从而得HM 的长，根据矩形得1GM PN ==，最后由勾股定理计算可得结论．【解答】解：延长GF 交AB 于P ，过H 作MN CD ⊥于M ，交AB 于N ，四边形ABCD 是正方形，//AB CD ∴，BC CD ⊥，MN AB ∴⊥，四边形DEFG 是正方形，FG CD ∴⊥，////FG HM BC ∴，H 是BF 的中点，11(53)122PN BN CM GM CG ∴=====-=， HN ∴是BFP ∆的中位线，112HN FP ∴==， 514MH ∴=-=，Rt GHM ∆中，由勾股定理得：22221417GH GM HM =+=+=，故选：D ．2．（2019•抚顺）如图，AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点，连接EM ，MF ，FN ，NE ，要使四边形EMFN 为正方形，则需添加的条件是( )A ．AB CD =，AB CD ⊥B ．AB CD =，AD BC = C ．AB CD =，AC BD ⊥ D ．AB CD =，//AD BC【分析】证出EN 、NF 、FM 、ME 分别是ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆、ACD ∆的中位线，得出////EN AB FM ，////ME CD NF ，12EN AB FM ==，12ME CD NF ==，证出四边形EMFN 为平行四边形，当AB CD =时，EN FM ME NF ===，得出平行四边形EMFN 是菱形；当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，则90MEN ∠=︒，即可得出菱形EMFN 是正方形．【解答】解：点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点， EN ∴、NF 、FM 、ME 分别是ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆、ACD ∆的中位线，////EN AB FM ∴，////ME CD NF ，12EN AB FM ==，12ME CD NF ==， ∴四边形EMFN 为平行四边形，当AB CD =时，EN FM ME NF ===，∴平行四边形EMFN 是菱形；当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，则90MEN ∠=︒，∴菱形EMFN 是正方形；故选：A ．3．（2020春•安庆期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别在AB 、AD 边上运动，且保持BE AF =连接OE ，OF ，EF 在此运动过程中，下列结论：①OE OF =；①90EOF ∠=︒；①四边形AEOF 的面积保持不变；①当//EF BD 时，22EF=，其中正确的结论是()A．①①B．①①C．①①①D．①①①①【分析】过O作OG AB⊥于G，OH AD⊥于H，由正方形的性质得到90A OHA OGA∠=∠=∠=︒，求得12OH AB=，12OG AD=，得到90GOH∠=︒，根据全等三角形的性质得到OE OF=，故①正确；EOG FOH∠=∠，推出90EOF∠=︒，故①正确；得到四边形AEOF的面积=正方形AOGH的面积224=⨯=，四边形AEOF的面积保持不变；故①正确；根据平行线的性质得到45AFE ADB∠=∠=︒，45AEF ABD∠=∠=︒，求得AE AF=，得到122AE AF AB===，于是得到22EF=①正确．【解答】解：过O作OG AB⊥于G，OH AD⊥于H，四边形ABCD是正方形，90A OHA OGA∴∠=∠=∠=︒，//OH AB，//OG AD，点O是对角线BD的中点，AH D H∴=，AG BG=，12OH AB∴=，12OG AD=，AD BA=，OG OH∴=，BG AH=，∴四边形AGOH是正方形，90GOH∴∠=︒，BE AF=，GE FH∴=，在OFH∆与OEG∆中，EG FHOGE OHFOG OH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OFH OEG SAS ∴∆≅∆，OE OF ∴=，故①正确；EOG FOH ∠=∠，90EOG GOF GOF FOH ∴∠+∠=∠+∠=︒，90EOF ∴∠=︒，故①正确；OFH OEG ∆≅∆，∴四边形AEOF 的面积=正方形AOGH 的面积224=⨯=，∴四边形AEOF 的面积保持不变；故①正确；//EF BD ，45AFE ADB ∴∠=∠=︒，45AEF ABD ∠=∠=︒，AE AF ∴=，BE AF =，AE BE ∴=， 122AE AF AB ∴===， 22EF ∴=，故①正确；故选：D ．4．（2018•涪城区校级自主招生）下列命题中：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；①对角线相等的四边形是矩形；①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；①对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；①对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．其中真命题有( )个A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据平行四边形、菱形、正方形及矩形的判定，逐一进行判断，可得选项．【解答】解：根据平行四边形、菱形、正方形及矩形的判定可知：①真命题．①假命题，如：等腰梯形的对角线相等，但不是平行四边形．①真命题，利用两直线平行同旁内角互补即可证得另一组对角也相等．①真命题，平分一组对角，可利用等角对等边，得到邻边相等，而邻边相等的平行四边形是菱形．①假命题，如当对角线的交点不在两线段中点的四边形不是正方形．故选：C．5．（2009秋•楚雄市校级期中）矩形的四个内角平分线围成的四边形() A．一定是正方形B．是矩形C．菱形D．只能是平行四边形【分析】根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可．【解答】解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45︒的角，因此形成的四边形每个角是90︒．又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形，故选A．6．（2020春•镇原县期末）在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA OB OC OD===，则这个四边形()A．可能不是平行四边形B．一定是菱形C．一定是正方形D．一定是矩形【分析】根据OA OB OC OD===，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC BD=，判定四边形ABCD是矩形．【解答】解：这个四边形是矩形，理由如下：对角线AC、BD交于点O，OA OB OC OD===，∴四边形ABCD是平行四边形，又OA OC OD OB+=+，AC BD∴=，∴四边形ABCD是矩形．故选：D．7．（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；①它是一个正方形；①它是一个矩形．下列推理过程正确的是( )A ．由①推出①，由①推出①B ．由①推出①，由①推出①C ．由①推出①，由①推出①D ．由①推出①，由①推出① 【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→①，①→①错误，故选项B ，C ，D 错误，故选：A ．二．填空题（共8小题）8．（2021•阜宁县二模）已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AD ，DC 上，1AE DF ==，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为52．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB AD =，每一个角都是直角可得90BAE D ∠=∠=︒，然后利用“边角边”证明ABE DAF ∆≅∆得ABE DAF ∠=∠，进一步得90AGE BGF ∠=∠=︒，从而知12GH BF =，利用勾股定理求出BF 的长即可得出答案．【解答】解：四边形ABCD 为正方形，90BAE D ∴∠=∠=︒，AB AD =，在ABE ∆和DAF ∆中，AB AD BAE D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DAF SAS ∴∆≅∆，ABE DAF ∴∠=∠，90ABE BEA ∠+∠=︒，90DAF BEA ∴∠+∠=︒，90AGE BGF ∴∠=∠=︒，点H 为BF 的中点， 12GH BF ∴=， 4BC =、413CF CD DF =-=-=，225BF BC CF ∴=+=，1522GH BF ∴==，故答案为：52．9．（2020秋•陕西期中）如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．要使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是 BD AC =且BD AC ⊥ ．【分析】依据条件先判定四边形EFGH 为菱形，再根据90FEH ∠=︒，即可得到菱形EFGH 是正方形．【解答】解：满足的条件应为：AC BD =且AC BD ⊥．理由：E ，F ，G ，H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在ADC ∆中，HG 为ADC ∆的中位线，//HG AC ∴且12HG AC =；同理//EF AC 且12EF AC =，同理可得12EH BD =，则//=，HG EF且HG EF∴四边形EFGH为平行四边形，又AC BD=，∴=，EF EH∴四边形EFGH为菱形，EF AC，⊥，//AC BD∴⊥，EF BD//EH BD，∴⊥，EF EH∴∠=︒，FEH90∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC BD=且AC BD⊥．10．（2021春•南岗区校级月考）如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE BD=，AE交DC于F，则AFC∠=112.5︒．【分析】根据等边对等角的性质可得E CAE∠=∠，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出22.5∠=︒，再根据三E角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：连接AC，四边形ABCD是正方形，∴=，AC BD=，CE BD∴=，CE AC∴∠=∠，E CAEAC是正方形ABCD的对角线，∴∠=︒，ACB45∴∠+∠=︒，45E CAE14522.52E ∴∠=⨯︒=︒，在CEF ∆中，22.590112.5AFC E ECF ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：112.5︒．11．（2020秋•讷河市期末）如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A 与点B 在两个格点上．在格点上存在点C ，使ABC ∆的面积为2，则这样的点C 有 5 个．【分析】要使得ABC ∆的面积为2，即12S ah =，则使得2a =、2h =或者4a =、1h =即可，在图示方格纸中找出C 点即可．【解答】解：图中标出的5个点均为符合题意的点．故答案为 5．12．（2020•东城区模拟）在菱形ABCD 中，MNPQ 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意菱形ABCD ，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；①存在无数个四边形MNPQ是菱形；①存在无数个四边形MNPQ是矩形；①存在无数个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①①①．【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：①如图，连接AC，BD交于O，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；①如图，当PM QN=时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；①如图，当PM QN⊥时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；①当四边形MNPQ是正方形时，MQ PQ=，90∠=︒，MQDAQM DQP∴∠+∠=︒，90当四边形ABCD是正方形，∴∠=∠=︒，90A D∴∠+∠=︒，90AQM AMQ∴∠=∠，AMQ DQP∴∆≅∆，AMQ DQP AAS()=，AM QD∴=，AQ PD=，PD BM∴=，AB AD当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故菱形ABCD中能存在四边形MNPQ是正方形，但不能存在无数个四边形MNPQ是正方形；故①错误；故答案为①①①．13．（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；①存在无数个四边形MNPQ是矩形；①存在无数个四边形MNPQ是菱形；①至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①①①．【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：①如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；①如图，当PM QN=时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；①如图，当PM QN⊥时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；①当四边形MNPQ是正方形时，MQ PQ=，则AMQ DQP∆≅∆，∴=，AQ PD=，AM QD=，PD BM∴=，AB AD∴四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；故答案为：①①①．14．（2020•淮阴区二模）如图，在四边形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90D ∠=︒，45ABE ∠=︒，BC CD =，若5AE =，2CE =，则BC 的长度为 6 ．【分析】过点B 作BF AD ⊥于点F ，延长DF 使FG EC =，由题意可证四边形CDFB 是正方形，由正方形的性质可得CD BC DF BF ===，90CBF C BFG ∠=︒=∠=∠，由全等三角形的性质可得5AG AE ==，可得3AF =，由勾股定理可得6BC DC ==．【解答】解：过点B 作BF AD ⊥于点F ，延长DF 使FG EC =，连接BG ，//AD BC ，90D ∠=︒，90C D ∴∠=∠=︒，BF AD ⊥∴四边形CDFB 是矩形BC CD =∴四边形CDFB 是正方形CD BC DF BF ∴===，90CBF C BFG ∠=︒=∠=∠，BC BF =，90BFG C ∠=∠=︒，CE FG =()BCE BFG SAS ∴∆≅∆BE BG ∴=，CBE FBG ∠=∠45ABE ∠=︒，45CBE ABF ∴∠+∠=︒，45ABF FBG ABG ∴∠+∠=︒=∠ABG ABE ∴∠=∠，且AB AB =，BE BG =()ABE ABG SAS ∴∆≅∆5AE AG ∴==，523AF AG FG ∴=-=-=在Rt ADE ∆中，222AE AD DE =+，2225(3)(2)DF DF ∴=-+-，6DF ∴=，1DF =-（不合题意）6BC ∴=故答案为：615．（2020春•长岭县期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得60B ∠=︒，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线40AC cm =，则图1中对角线AC 的长为 202 cm ．【分析】如图1，2中，连接AC ．在图2中，理由勾股定理求出BC ，在图1中，只要证明ABC ∆是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图1，2中，连接AC ．在图2中，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90B ∠=︒，40AC =，202AB BC ∴==在图1中，60B ∠=︒，BA BC =，ABC ∴∆是等边三角形，202AC BC ∴==故答案为：202，三．解答题（共3小题）16．（2020春•大观区校级期末）如图，90MON ∠=︒，正方形ABCD 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，13AB =，5OB =，E 为AC 上一点，且EBC CBN ∠=∠，直线DE 与ON 交于点F ．（1）求证：BE DE =；（2）判断DF 与ON 的位置关系，并说明理由；（3）BEF ∆的周长为 24 ．【分析】（1）利用正方形的性质，即可得到()BCE DCE SAS ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可得到BE DE =．（2）依据EDC CBN ∠=∠，190EDC ∠+∠=︒，12∠=∠，即可得出290CBN ∠+∠=︒，进而得到DF ON ⊥；（3）过C 作CG ON ⊥于G ，过D 作DH CG ⊥于H ，则90CGB AOB ∠=∠=︒，四边形DFGH 是矩形，利用全等三角形的对应边相等，即可得到17DF HG ==，5GF DH ==，7BF BG GF =-=，进而得出BEF ∆的周长．【解答】解：（1）四边形ABCD 正方形，CA ∴平分BCD ∠，BC DC =，45BCE DCE ∴∠=∠=︒，CE CE =，()BCE DCE SAS ∴∆≅∆，BE DE ∴=．（2）DF ON ⊥，理由如下：BCE DCE ∆≅∆，EBC EDC ∴∠=∠，EBC CBN∠=∠，∴∠=∠，EDC CBN∠=∠，EDC190∠+∠=︒，12CBN∴∠+∠=︒，290∴∠=︒，EFB90即DF ON⊥；（3）如图所示，过C作CG ON∠=∠=︒，⊥于G，过D作DH CGCGB AOB⊥于H，则90四边形DFGH是矩形，又90∠=︒，ABC∴∠+∠=︒=∠+∠，ABO BAO ABO CBG90∴∠=∠，BAO CBG又AB BC=，∴∆≅∆，()ABO BCG AAS22∴==-=，5BG AO13512==，CG BO同理可得CDH BCG∆≅∆，CH BG==，∴==，12DH CG5∴=+=，HG51217GF DH==，∴==，5DF HG17∴=-=-=，BF BG GF1257∴∆的周长71724BEF=++=++=+=+=，BF EF BE BF EF DE BF DF故答案为：24．17．（2020秋•郫都区校级月考）如图，在正方形ABCD 中，AB BC CD AD ===，90BAD B C D ∠=∠=∠=∠=︒，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边DC 、BC 上，AG EF ⊥且AG AB =，垂足为G ，则：（1）ABF ∆与AGF ∆全等吗？说明理由；（2）求EAF ∠的度数；（3）若7AG =，AEF ∆的面积是21，求CEF ∆的面积．【分析】（1）根据HL 可得出ABF AGF ∆≅∆．（2）只要证明BAF GAF ∠=∠，GAE DAE ∠=∠；所以可求45EAF ∠=︒．（3）设FC x =，EC y =，则7BF y =-，7DE y =-，构建方程组，求出x ，y 即可解决问题．【解答】解：（1）结论：ABF AGF ∆≅∆．理由：在Rt ABF ∆与Rt AGF ∆中，AB AG AF AF =⎧⎨=⎩， ()ABF AGF HL ∴∆≅∆（2）ABF AGF ∆≅∆BAF GAF ∴∠=∠，同理易得：AGE ADE ∆≅∆，有GAE DAE ∠=∠；即1452EAF EAD FAG BAD ∠=∠+∠=∠=︒，故45EAF ∠=︒．（3）12AEF S EF AG ∆=⨯⨯，7AG =， 1212EF AG ∴=⨯⨯， 6EF ∴=，BF FG =，EG DE =，7AG AB BC CD ====，设FC x =，EC y =，则7BF x =-，7DE y =-，6BF DE FG EG EF +=+==，776x y ∴-+-=，8x y ∴+=①在Rt EFC ∆中，222EF EC FC =+，2226x y ∴+=①①2-①得到，228xy =，172CEF S xy ∆∴==．方法二：易知ABF AGF S S ∆∆=，AED AEG S S ∆∆=，21ABF ADE AEF S S S ∆∆∆∴+==，49427EFC ABCD ABFED S S S ∆∴=-=-=正方形五边形．18．（2020秋•青山区期末）如图，已知四边形ABCD 为正方形，42AB =，点E 为对角线AC 上一动点，连接DE 、过点E 作EF DE ⊥．交BC 点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）求证：矩形DEFG 是正方形；（2）探究：CE CG +的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）过E 作EM BC ⊥于M 点，过E 作EN CD ⊥于N 点，即可得到EN EM =，然后判断DEN FEM ∠=∠，得到DEN FEM ∆≅∆，则有DE EF =即可；（2）同（1）的方法证出ADE CDG ∆≅∆得到CG AE =，得出8CE CG CE AE AC +=+==即可．【解答】解：（1）如图所示，过E 作EM BC ⊥于M 点，过E 作EN CD ⊥于N 点，正方形ABCD ，90BCD ∴∠=︒，45ECN ∠=︒，90EMC ENC BCD ∴∠=∠=∠=︒，且NE NC =，∴四边形EMCN 为正方形，四边形DEFG 是矩形，EM EN ∴=，90DEN NEF MEF NEF ∠+∠=∠+∠=︒， DEN MEF ∴∠=∠，又90DNE FME ∠=∠=︒，在DEN ∆和FEM ∆中，DNE FME EN EM DEN FEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()DEN FEM ASA ∴∆≅∆，ED EF ∴=，∴矩形DEFG 为正方形，（2）CE CG +的值为定值，理由如下：矩形DEFG 为正方形，DE DG ∴=，90EDC CDG ∠+∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AD DC =，90ADE EDC ∠+∠=︒，ADE CDG ∴∠=∠，在ADE∆和CDG∆中，AD CDADE CDG DE DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CDG SAS∴∆≅∆，AE CG∴=，22428AC AE CE AB∴=+==⨯=，8CE CG∴+=是定值．。

《5.3正方形》期末复习培优提升训练(附答案)2020-2021年八年级数学浙教版下册

2021年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》期末复习培优提升训练（附答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，3），则点C的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣，2）D．（﹣1，）2．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（）A．4B．8C．D．3．下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（）A．对角线长度相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．一组对角线平分一组对角4．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，它的面积是405，AE＝6，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（）A．361B．360C．316D．3155．下列说法不正确的是（）A．有一个角是直角的菱形是正方形B．四条边都相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形6．下列说法正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．有一组邻边相等的菱形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形7．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形8．两张对边平行的纸条，随意交叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是（）A．矩形B．平行四边形C．菱形D．正方形9．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（）A．当AB⊥BD时，它是菱形B．当AC＝BD时，它是正方形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AB＝BC时，它是矩形10．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．下列判断正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确11．在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥BD于点F，则EF的长度．12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE、CE，∠CBE的度数是．13．如图，在正方形ABCD中，DE平分∠CDB，EF⊥BD于点F．若BE＝，则此正方形的边长为．14．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD中点，F为BC边上一点，且CF＝1，连AF，EG⊥AF交BC于G，则BG＝．15．下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；②矩形的对角线互相垂直；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线垂直的矩形是正方形．其中正确的是．（把所有正确结论的序号都填上）16．如图菱形ABCD，AC与BD相交于点O，添加一个条件：，可使它成为正方形．17．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（判断对错）18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）若E、F分别是AD、BC中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG的长为；（2）如果E、F分别是AD、BC上的点，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的是．①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF ＝AF+DE．其中正确的是（填序号）．20．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为cm．21．如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形．求证：∠CBF＝∠CDG．22．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G，求证：BF＝FG+DG．23．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接AE，以AE为一边，在AE的上方作正方形AEFG，连接DG．求证：AB＝CE+DG．24．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC＝8，DE＝6，求EF的长．25．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AC，BD相交于点G．过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）求证：△ABC≌△BAD；（2）若AB＝BC，四边形AHBG是什么特殊四边形？请说明理由．26．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，证明：四边形EGFH是正方形．27．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF ⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．28．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．29．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF＝∠ABE．30．如图，▱ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE．（1）求证：四边形BDCE是正方形；（2）P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求证：AN＝PB．参考答案1．解：作CD⊥x轴于D，作BE⊥CD于E，交y轴于F，如图，∵B（1，3），∴DE＝3，BF＝1，设C（m，n），则OD＝EF＝﹣m，CD＝n，∵四边形ABCO为正方形，∴∠BCO＝90°，CB＝CO，∵∠BCE+∠OCD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠OCD＝∠CBE，在△OCD和△CBE中，∴△OCD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE，OD＝CE，即n＝1﹣m，﹣m＝3﹣n，∴m＝﹣1，n＝2，∴C点坐标为（﹣1，2）．故选：A．2．解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，在△ADM与△DCN中，∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠CND，在△DPM中∠PDM+∠PMD＝90°，∴∠DPM＝90°'∵∠DPM＝∠APN，∴△ANP为直角三角形，AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，在△ANB中AN＝＝2，故选：C．3．解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；正方形具有菱形和矩形的性质，∴菱形不具有的性质为：对角线长度相等，故选：A．4．解：∵正方形ABCD的面积是405，∴AB＝＝9，∵AE＝6，∴BE＝AB﹣AE＝3，∴阴影部分的面积＝4×6×3＝360，故选：B．5．解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，故A选项不符合题意；B、四条边都相等的四边形是菱形，故B选项符合题意；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故C选项不符合题意；D、两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项不符合题意；故选：B．6．解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，不符合题意；B、对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确，符合题意；C、有一组邻边相等的菱形还是菱形，此选项错误，不符合题意；D、四条边都相等的四边形是菱形，此选项错误，不符合题意．故选：B．7．解：∵▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；∵▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；故选：A．8．解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故选：B．9．解：A、当AB⊥BD时，∠ABD＝90°，则∠ABC＞90°，当AC⊥BD，四边形ABCD是菱形，故A错误；B、由四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，则四边形ABCD为矩形，故B错误；C、当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，故C正确；D、由四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，则四边形ABCD为菱形，故D错误．故选：C．10．解：若ABCD是正方形，可设AB＝BC＝CD＝AD＝x，∴AQ＝4﹣x，AP＝3+x，∴PQ2＝AQ2+AP2，即PQ＝＝＝，x取值不同则PQ的长度不同，∴甲不正确，若四边形PQMN为正方形，则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5，且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QP A＝90°，在△QMD和△PQA中，，∴△QMD≌△PQA（ASA），∴QD＝AP，同理QD＝AP＝MC＝BN，又∵BP＝MD＝AQ，∴QD﹣AD＝P A﹣AB，∴AB＝CD，同理AB＝CD＝AD＝BC，∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°，则四边形ABCD为正方形，∴乙正确，故选：B．11．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∵AB＝2，点E是AB的中点，∴BE＝AB＝1，∵EF⊥BD，∴∠EFB＝90°，∴EF＝BE＝，故答案为：．12．解：∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD，∵等边△ADE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝15°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝75°，故答案为：75°．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，∵EF⊥BD于点F．BE＝，∴EF＝BE•sin45°＝1，∵DE平分∠CDB，∴CE＝EF＝1，∴BC＝+1．故答案为：+1．14．解：如图，延长AE，BC交于点H，连接AG，设EG与AF交于点N，∵E为CD中点，∴DE＝CE＝2，在△ADE和△HCE中，，∴△ADE≌△HCE（ASA），∴AE＝EH，AD＝CH＝4，∵CF＝1，∴FH＝FC+CH＝5，BF＝3，∵AF＝＝＝5，∴AF＝FH，又∵AE＝EH，∴EF⊥AH，∠AFE＝∠HFE，又∵EG⊥AF，∠DCB＝90°，∴EC＝EN＝2＝DE，在Rt△ADE和Rt△ANE中，∴Rt△ADE≌Rt△ANE（HL），∴AD＝AN＝4＝AB，在Rt△AGN和Rt△AGB中，，∴Rt△AGN≌Rt△AGB（HL），∴BG＝GN，∵EG2＝EC2+CG2，∴（2+BG）2＝4+（4﹣BG）2，∴BG＝，故答案为：．15．解：①对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，说法错误；②矩形的对角线互相垂直，说法错误；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法正确；④对角线垂直的矩形是正方形，说法正确．故答案为：③④．16．解：由于四边形ABCD是菱形，如果∠BAD＝90°，那么四边形ABCD是正方形．故答案为：∠BAD＝90°．17．解：如图，已知AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，AC⊥BD，∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为正确．18．解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝CF＝BF＝DE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝6，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO＝3，AO＝CO＝5，当点G在点O上方时，∵∠EGF＝90°，EO＝FO，∴GO＝EO＝3，∴AG＝AO﹣GO＝5﹣3＝2，当点G'在点O下方时，∵∠EG'F＝90°，EO＝FO，∴G'O＝EO＝3，∴AG'＝AO+G'O＝5+3＝8，综上所述：AG＝2或8；（2）①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，故答案为①②③④．19．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A＝90°，不符合题意，故①错误；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE+DF＝AF+DE，故④正确；∵在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，故②正确；∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，故③正确．综上可得：正确的是：②③④，故答案为：②③④．20．解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝a，∴AB＝BC＝a，在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝a，故答案为：a，21．证明：∵四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，∴CB＝CD，CF＝CG，∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF+∠DCF＝∠DCF+∠DCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG，在△BCF和△DCG中，，∴△BCF≌△DCG（SAS），∴∠CBF＝∠CDG．22．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，∵∠DAG+∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF和△ADG中，，∴△BAF≌△ADG（AAS），∴BF＝AG，AF＝DG，由图可知：AG＝AF+FG，∴BF＝FG+DG．23．证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△ABE≌△ADG（SAS）；∴BE＝DG．∵AB＝BC＝CE+EB＝CE+DG，即AB＝CE+DG．24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，∴BF＝DE＝6，∵BC＝DC＝8，∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．25．（1）证明：在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS）；（2）解：∵AH∥GB，BH∥GA，∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD＝∠BAC，∴GA＝GB，∴平行四边形AHBG是菱形．∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAG＝45°，又∵△ABC≌△BAD，∴∠ABG＝∠BAG＝45°，∴∠AGB＝90°，∴菱形AHBG是正方形．26．证明：（1）∵G、F分别是BE、BC的中点，∴GF∥EC，同理FH∥BE，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）连接GH．∵G、H分别是BE，CE的中点，∴GH∥BC，∵EF⊥BC，∴EF⊥GH，又∵四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形，∵BE⊥EC，F是BC的中点，∴EF＝BC，∵G、H分别是BE、CE的中点，∴GH＝BC，∴EF＝GH，∴平行四边形EGFH是正方形．27．证明：过E作EM⊥AB，∵AE平分∠CAB，∴EF＝EM，∵EB平分∠CBA，∴EM＝ED，∴EF＝ED，∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，∴四边形EFDC是矩形，∵EF＝ED，∴四边形CDEF是正方形．28．证明：如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形．29．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形；（2）由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，∴DF＝CE，∴∠DEF＝∠CEB，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CEB，∴∠ABE＝∠DEF．30．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵BE＝AB，∴BE∥CD，∴四边形BDCE是平行四边形，∵ED⊥AD，∠A＝45°，∴∠A＝∠DEA＝45°，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，又∵AB＝BE，∴DB＝BE，DB⊥BE，∴平行四边形BDCE是正方形；（2）∵四边形BDCE是正方形，∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°，∵PM＝PB，∴∠PBM＝∠PMB＝45°，∴∠BPM＝90°，∴∠DPN＝∠BPM＝90°，∴∠DPB＝∠NPM，在△DBP和△NMP中，，∴△DBP≌△NMP（ASA），∴DB＝MN，∴AB＝NM，∴AN＝BM，∵BP＝PM，∠BPM＝90°，∴BM＝BP，∴AN＝BP．。

第11课时：正方形的性质与判定培优

正方形的性质与判定教学目标：①：正方形的性质；②：正方形的判定；③关于正方形的轴对称性；④关于正方形的中心对称性；⑤正方形中关于角度、边长的计算；⑥正方形与中点问题；⑦正方形与旋转；⑧正方形中几何操作探究；⑨正方形与动点问题；⑩正方形与坐标系；教学过程：一、关于正方形中的角度边长的计算：1、已知，正方形ABCD 中，△BEF 为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ．（1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的数量关系为；（2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．2、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的面积是16. ⑴求正方形OABC 的对角线的交点D 的坐标;（2）直线y ＝2x ＋8交x 轴于E ，交y 轴于F ，它沿x 轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t 秒，问是否存在t 的值，使直线EF 平分正方形OABC 的面积？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由;（3）如图，点P 为正方形OABC 的对角线AC 上的动点（端点A 、C 除外），PM ⊥PO ，交直线AB 于M ，给出下列两个结论：①PCBM的值不变；②PC AM 的值不变；其中有且只有一个结论是正确的，请你选出正确的结论，予以证明并求其值.F E O x yD C BA PMOxy CB AA B CDABCDABC DFGEFGEF GEO FE D C B A 图③ 3、如图①，正方形ABCD 中，∠FOE=90°,顶点O 与D 点重合，交直线BC 于E ，交直线BA 于F.(1)求证：OF=OE;(2) 如图②,若O 点在射线BD 上运动，其它条件不变，上述结论是否仍然成立？画出图形,直接写出结论.（3）如图③，O 为正方形ABCD 对角线的中点，∠FOE=90°且绕点O 旋转,交BC 、CD 边于F 、E 点.⑴中的结论是否仍然成立?请说明理由.4、若正方形ABCD 的边长为6，E 为BC 边上一点，BE=4，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的AD 边于点F ，且BF=AE ，则BM 的长为（）A. 132B. 13C.131312D. 13131213或5、如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程01272=+-x x 的两个根，且OB OA >。