时滞Ito微分系统的稳定性
《T-S模糊时滞系统的稳定性分析及H_∞滤波》范文
《T-S模糊时滞系统的稳定性分析及H_∞滤波》篇一T-S模糊时滞系统的稳定性分析及H∞滤波一、引言在控制系统理论中，时滞现象是常见的，其产生可能源于信号传输、系统响应延迟等多种因素。
对于T-S（Takagi-Sugeno）模糊时滞系统，其稳定性和性能分析显得尤为重要。
本文将针对T-S模糊时滞系统的稳定性进行分析，并探讨如何通过H∞滤波来改善系统的性能。
二、T-S模糊时滞系统的稳定性分析T-S模糊模型是一种用于描述复杂非线性系统的有效方法。
通过将系统分解为若干个局部线性模型，T-S模型能够在一定程度上逼近非线性系统。
然而，当系统中存在时滞现象时，系统的稳定性可能会受到影响。
2.1 模型描述首先，我们需要建立T-S模糊时滞系统的数学模型。
该模型应包含系统的状态方程，并能够反映时滞对系统的影响。
2.2 稳定性分析方法对于T-S模糊时滞系统，我们可以采用Lyapunov稳定性理论进行分析。
通过构造适当的Lyapunov函数，我们可以判断系统的稳定性。
此外，还可以利用其他方法，如Kharitonov定理等，对系统的稳定性进行进一步验证。
三、H∞滤波在T-S模糊时滞系统中的应用H∞滤波是一种能够有效抑制噪声的滤波方法。
在T-S模糊时滞系统中，通过引入H∞滤波器，可以改善系统的性能，提高系统的抗干扰能力。
3.1 H∞滤波器设计在设计H∞滤波器时，我们需要根据系统的特性和需求，确定滤波器的阶数、权重函数等参数。
这些参数的选择将直接影响滤波器的性能。
3.2 H∞滤波器的应用将H∞滤波器引入T-S模糊时滞系统后，我们可以对系统的输出进行滤波处理，从而消除噪声对系统的影响。
此外，H∞滤波器还可以用于估计系统的状态，提高系统的控制精度。
四、实验与仿真为了验证本文提出的T-S模糊时滞系统稳定性分析及H∞滤波方法的有效性，我们进行了实验与仿真。
通过对比引入H∞滤波前后的系统性能，我们可以看出，H∞滤波能够显著提高系统的抗干扰能力，改善系统的性能。
一时滞微分系统的稳定性
ｘｌ ）ａ ｘ ａ ２— ）ａ３３） ｔ ｎｌ （＝ ｌ （ Ｔ＋ ｌ （ ， ｃ ｘｔ ｘ２ ）凸ｐｌ）ａ ２ ０ ３— ） （＝ ２ｃｔ ｚ （ （ Ｔ ， ｔ ＋ ｘｔ （ ｔ ｘ ）ａ１ｌ ａ ＝ ３ ｘ（ ￡
其 中 ＝
Ｃｆ
Ｄ（ ． ＝ （ ． ＋ Ａ， ） 一 Ｒ（ ． ｅ Ａ； ） Ｐ Ａ， ） ｐ（ ｒ ｅ ｒ ｒ Ａ， ） 曲 ｒ ＝ － （ （ ｒ ｅ ｐ（ ． ＋ Ａ， ） － ） ｅ Ａ Ｐ Ａ， ） Ａ， ） Ｒ（ ｒ ｅａ ｒ
Ｇｅ ｎｅｒ ￣ Ｎｏ．４９，Ｖ ｏ１ １ ． ０
一
时 滞 微 分 系 统 的稳 定性
吴 正 飞
（ 淮南师 范学院 数 学 系， 安徽 淮 南 ２ ２０ ） ３ ０ １
［ 要 】通 过 分 析 时 滞 微 分 系统 特 征 方 程 的 特 征 根 ， 到 该 系 统 在 其 平 衡 点 是 否 绝 对 稳 定 的 条 件 ； 摘 得 当
（ ） 平 衡 点 Ｅ处 的 一 阶 近 似 系统 为 １在
Ｑ（ ． ＝ Ａ， ） ｉ １Ａ， ） Ａ， ） Ｑ （ ． ＋ Ｑ （ ． ， ｒ ｒ ｒ （ａ ２） （ｂ ２ （ｃ ２
Ｒ（ ．） ＲＲ Ａ， ） （ ．） Ａ， ＝ （ ． ＋ ＲＪＡ， ｒ ｒ ｒ
由 （ 式 ３）
＝Ｏ ．
ａ．３） ３ｃ ｔ， ￣《
，， ， ， 。 ｉ ＝ｌ ２ ３ ｊ
又 因 为 ｌ ｌ ， Ｄ（ ． ＝ ｅ ≠Ｏ 则 Ａ； ） Ｏ与 Ｐ（ ， ｅ ＋ ｒ Ａ ． ｒ）
９（ ． ＋ （ ｒ ｅ Ｏ等 价 。 Ａ， ） Ａ， ） 一 ｒ
２
计 算 过 程 与 结 果
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２ ０ ０ ８年 第 ３期
时滞微分系统稳定性
北京科技大学本科生毕业设计（论文）- -1 摘 要由俄国著名科学家Lyapunov 在十九世纪九十年代开创的运动稳定性理论, 在物理科学和工程技术等各个领域都获得了广泛的应用. 运动稳定性理论应用的核心问题之一是Lyapunov 函数的构造, 很多科学家和力学家在这方面都做了大量的工作. 近年来, 时滞微分系统也越来越受到人们的关注.本论文主要研究下面的三阶非线性时滞微分系统零解的全局渐近稳定性:'''(,','')(,')()(())0x g x x x f x x h x x t φτ+++-=,其中, (,,0)(,0)(0)0g x y f x φ===, (0)ττ≥是常量, 函数 f g h φ、、、具有连续的二阶导数.本文首先针对所研究的非线性系统所对应的线性系统, 选取适当的Lyapunov 函数. 然后, 利用线性系统的Lyapunov 函数利用类比的方法得到对应非线性系统的Lyapunov 函数. 进而, 利用时滞微分方程稳定性理论类似讨论时滞微分方程零解全局渐近稳定性的判别条件.本论文的结论具有如下特点: 若所讨论的方程退化为无时滞常系数线性系统''''''0x a x b x c x +++=时, 对应的判别条件与Roth -Hurwitz 条件一致. 若退化为有时滞的常系数线性系统''''''()0 (0)x ax bx cx t ττ+++-=≥, 则由本文给出的判别条件可以得到时滞τ的具体统计.关键词：非线性, 时滞微分方程, 全局渐近稳定, Lyapunov 函数, 类比法- 2 -北京科技大学本科生毕业设计（论文）- -3 Global stability of higher order differential equation with timedelayAbstractThis paper mainly studies the following several kind of third-order nonlinear delay differential system's zero solution’s global stability:'''(,','')(,')()(())0x g x x x f x x h x x t φτ+++-= ,where (0)ττ≥ is a constant, (,,0)(,0)(0)0g x y f x φ===, and f g h φ、、、 have second derived function.The linear system discussed in this paper first aims at which studies the nonlinear system corresponded, then selects the suitable Lyapunov function. This paper use the analogy method to obtains the corresponding Lyapunov function of nonlinear system using the Lyapunov function of linear system. Then, use the similar theory of time delay differential equation stability to disscuss the distinction condition whose global stability of differential equation with time delay.Key Words ：Nonlinear, delay differential equation, global stability, Lyapunov function,comparison method- 4 -目录摘要 (1)Abstract (3)引言 (1)1文献综述 (1)1.1微分方程稳定性简介 (1)1.2微分方程稳定性的基本概念 (2)1.2.1常微分方程稳定性定义 (2)1.2.2时滞微分方程稳定性定义 (3)1.3微分方程稳定性的研究进展 (3)2微分方程稳定性判定定理 (7)2.1 Roth-Hurwitz 判别准则 (7)2.2 Lyapunov函数构造 (8)2.2.1 Lyapunov函数构造的Kronecker乘积形式 (8)2.2.1三阶系统巴尔巴欣公式 (10)2.3微分方程稳定性判定定理 (12)3三阶非线性时滞微分方程零解全局渐近稳定性 (13)3.1类比法与三阶非线性微分方程Lyapunov函数的构造 (13)3.1.1无时滞三阶微分方程Lyapunov函数的构造 (14)3.1.2三阶时滞微分方程Lyapunov函数的构造 (16)3.2一类三阶非线性时滞微分方程零解的全局渐近稳定性 (17)结论 (23)参考文献 (24)附录（A）（英文文献） (26)- 1 -附录（B）（中文文献） (37)在学取得成果 (48)致谢 (49)- 2 -- 1 -引 言从上个世纪80年代至今, 国内关于高阶时滞微分方程的稳定性的研究已经非常全面, 并且方程种类也很多, 尤其是三阶时滞微分方程的稳定性的研究已经取得了很多成绩. 本论文在已有讨论工作的基础上, 考虑了如下一类更具一般形式的三阶时滞微分方程:'''(,','')(,')()(())0x g x x x f x x h x x t φτ+++-=,其中函数, , , f g h φ具有连续的二阶导数, 且满足条件(,,0)(,0)(0)0g x y f x φ===, (0)ττ≥是常量,本论文的结论具有如下特点: 若所讨论的方程退化为无时滞常系数线性系统''''''0x a x b x c x +++=时, 对应的判别条件与Roth -Hurwitz 条件一致. 若退化为有时滞的常系数线性系统''''''()0 (0)x ax bx cx t ττ+++-=≥, 则由本文给出的判别条件可以得到时滞τ的具体统计.- 2 -1文献综述1.1微分方程稳定性简介在廖晓昕的《稳定性的理论、方法与应用》一书中, 对稳定性理论的产生与发展有如下介绍:稳定性概念的出现, 已经有非常悠久的历史了, 早在17世纪就出现过托里斯利原理, 即物体仅受重力作用,当重心位置最低时其平衡是稳定的, 反之是不稳定. 但在动力学方面, 对应于稳定运动的严格的解的选择原理却未建立.稳定性概念也早被拉普拉斯、拉格朗日、马克斯威尔、汤姆逊和德特、庞加莱等采用过, 但都没有精确的数学定义. 达郎培尔、拉格朗日、马克斯威尔、魏施涅格特斯基、茹科夫斯基即斯图多等采用过一次近似方法研究稳定性, 但未从数学上严格证明其合理性. 因此, 可以说, 在这之前, 稳定性的一般理论, 迟迟没有形成.1892年, 俄国数学力学家李雅普诺夫的博士论文“运动稳定性的一般问题” 才给出了运动稳定性严格、精确的数学定义和一般方法, 从而奠定了稳定性理论的基础. 但人们对李雅普诺夫理论的了解、欣赏、继承和发展, 也有一个漫长的过程.1952年, 苏联著名数学家马尔金的专著《运动稳定性》及1955年苏联著名控制论专家列托夫的专著《非线性调节系统的稳定性》同时在序言中提到”现代自动调节理论, 不论它以何种体系出现, 总是发轫于一个唯一牢固的基础李雅普诺夫运程稳定性学说” .1976年美国布朗大学著名数学家LaSalle教授在动力系统稳定性的序言中写到: “在某种程度上可以说, 李雅普诺夫的直接法在西方重新发现时五十年代中期的事. 那时至少在非线性控制系统的设计中已广泛低承认了它的重要性. 我对于李雅普诺夫理论的理解和赏识始于1959年……”稳定性的重要意义, 可想而知, 小到一个具体的控制系统, 大至一个社会系统、金融系统、生态系统, 总是在各种偶然的过持续的干扰下运行的. 承受这种干扰之后, 能否保持预定的运行或工作状态, 而不致于失控, 摇摆不定, 至关重要.近十多年来, 人工神经网络的理论和应用的研究, 形成了世界性的热潮, 其中稳定性扮演重要的角色, 利用动力系统的吸引子和电子电路的实现来完成某些智能优化计算、- 1 -- 2 -联想记忆、学习算法. 从而对稳定性理论感兴趣的已远远不止于数学、力学、自动控制专业的学者.1.2微分方程稳定性的基本概念 1.2.1常微分方程稳定性定义首先考虑如下的常微分方程初值问题),('x t f x =, 00()x t x =,(1.1)这里n R B I f →⨯σ:是连续的, σB 为n R 中的某个开区域, ),[∞=τI . 又设),(x t f 满足李普希茨条件, 即存在正常数L 使得对于任意的11(,), (,)t x t x I B σ∈⨯, 函数(,)f t x 满足不等式1212||(,)(,)||||||f t x f t x L x x -≤-.设微分方程(1.1)总有零解, 即(,0)0f t ≡. 用00(;,)x t x t 表示初值问题(1.1)于0[,)t +∞上的唯一解.下面给出微分方程(1.1)零解的稳定性定义.定义1.1 如果对于任意的:0εερ<<, 及对于任意的0t I ∈, 存在0(,)0t ηε>, 使得对于任意的00:x x η<及任意的0t t ≥, 有ε<),;(00x t t x成立, 则称(1.1)的零解0x ≡是稳定的.定义 1.2 如果对于任意的0t I ∈, 存在0()0t δ>, 使得对于任意的00:x x δ<,),;(00x t t x 对于所有的0t t ≥有定义, 且当+∞→t 时, 0),;(00→x t t x , 则称(1.1)的零解x ≡是吸引的.定义 1.3 如果(1.1)的零解0x ≡是稳定的, 并且是吸引的, 则系统称(1.1)的零解x ≡是渐近稳定的.上面的稳定性指的是Lyapunov 所建立的未被扰动运动的稳定性, 是针对局部小范围而言的. 换句话说, 是在初始扰动很小的情况下讨论系统的稳定性 (即局部稳定性). 而对于初始扰动为任意大的情形, 有如下的全局渐近稳定性定义.北京科技大学本科生毕业设计（论文）定义 1.4 (1.1)的零解0x ≡称为是全局渐近稳定的, 如果它是稳定的, 并且(1.1)的所有其它解)(t x 都具有性质lim ()0.x x t →∞=1.2.2时滞微分方程稳定性定义类似于微分方程(1.1), 下面给出时滞微分方程零解的稳定性定义.设D R C ⊆⨯, :n f D R →为给定的连续泛函, 考虑有界滞量的滞后型时滞微分方程 '()(,)t x t f t x =, (1.2)其中(0,)B ρ表示C 中半径为ρ的球形邻域.设(,0)0f t ≡对一切t R ∈成立, 即方程(1.2)总有零解0x ≡, 则有如下的稳定性定义. 定义 1.5 (1.1) 的零解0x ≡称之为稳定的, 如果对任何R ∈σ, 0>ε, 存在(,)δεσ0>, 使得对一切t ≥σ, 当(0,)B ∈φδ时, 有(,)(0,)t x B ∈σφε.系统 (1.2) 的零解0x ≡称之为渐近稳定的, 如果它是稳定的, 并且存在0b =0()b σ0>, 使得对一切0(0,)B b ∈φ, 当t →∞时,有()x t →0.系统 (1.2) 的零解0x ≡称之为一致稳定的, 如果它是稳定的, 而且数δ与σ无关. 系统 (1.2) 的零解0x ≡称为一致渐近稳定的, 如果它是一致稳定的, 且存在00b >,使得对每一个0>η存在0()t η, 对一切R σ∈, 只要0(0,)B b ∈φ, 当t ≥σ+0()t η时, 就有(,)(0,)t x B σφη∈.系统 (1.1) 的零解0x ≡称之为全局渐近稳定的, 如果它是稳定的, 并且对于任意的,φ 当t →∞时, 有()x t →0.1.3微分方程稳定性的研究进展Lyapunov 是运动稳定性理论[1] 的创立者, 1892年, 他的博士论文 “运动稳定性的一般问题” 给出了运动稳定性严格、精确的数学定义和一般方法, 从而奠定了稳定性理论的基础. 就常系数线性系统而言, Lyapunov 函数的构造原理早被Lyapunov 本人所解决. 对线性系统的研究在运动稳定性理论提出之后很快被研究和发展, 并得出了很多基础性的结论. 但是针对一般的非线性系统, 如何构造其Lyapunov 函数仍没有通用而有效的方法.稳定性理论的研究主要分为线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性. 针对具体的n 阶常系数线性系统:,...11n in i i x a x a dtdx ++=),...,2,1(n i =,当它的特征方程0))((=-⨯E a Det n n ij λ的所有根都具有负实部时, 即当 R e 0i λ<),...,2,1(n i =时, 怎样通过系数ij a 将所要求的Lyapunov 函数用显明和简洁的形式写出来. 这一工作尽管在2n =时, 由马尔金[2] 给出. 而对一般n 的情形, 直到1959年由我国的蔡燧林借助于复杂的矩阵理论所给出[3]. 后来, 俄国数学家巴尔巴辛同样研究了n 阶常系数线性系统的Lyapunov 函数构造, 给出了一个具体计算Lyapunov 函数的形式公式. 与此同时, 李森林就分离变量情形下的非线性系统的全局渐近稳定性, 构造了一类非常特殊的Lyapunov 函数[4]. 需要指出的是李森林构造的Lyapunov 函数不仅形式简单, 而且具有明显的几何意义, 得到了国内数学界的高度重视, 并被写入文献[5]等.沃尔等在文献[6]中提出了一种构造一般非线性系统Lyapunov 函数的能量函数法, 沃尔等提出的上述方法给常微分方程Lyapunov 函数构造提供了一般性的参考方法, 一些具体的应用可参考文献[2]和[7]等.文献[8-10]详细研究了几类二阶或三阶非线性时滞方程的稳定性. 另外, 对于更高阶数的非线性时滞系统稳定性的研究可以参考文献[11-13].上世纪70年代, 中国科学院数学研究所王联和王慕秋等老一辈数学家开始对于一些三阶非线性系统的全局渐近稳定性研究中取得了一系列突出成就. 特别是对于三阶线性系统的Lyapunov 函数进行了极其深入的研究, 归纳出数十种不同类型的Lyapunov 函数. 然后, 采用类比法构造了一些三阶非线性系统的Lyapunov 函数, 并给出了相应的判别准则, 这些研究可参考文献[7]和[14]等. 目前仍然比较难以解决是对变系数线性系统的稳定性研究中Lyapunov 函数的构造问题, 至今尚未解决. 对于一般非驻定非线性系统的Lyapunov 函数构造问题, 更是困难重重.1983年, 王联和王慕秋在文献[14]中采取了通过寻求三阶常系数非时滞微分方程各种形式的Lyapunov 方程, 然后采用类比的方法, 来统一解决一些非线性三阶系统的全局北京科技大学本科生毕业设计（论文）稳定性问题. 同时文中给出了大量的针对不同的等价系统, 不同的负定方阵的Lyapunov 函数. 该文献中所给出的Lyapunov函数直到现在仍被广泛应用. 并推广到了时滞微分方程的研究中. 需要指出的是王联和王慕秋归纳出的这些Lyapunov 函数至今对于相关问题的研究起着极其重要的作用.1999年, 赵杰民[15]借助于Lyapunov第二方法获得了一类二阶时滞系统的若干定理.同年, 冯春华在文献[16]中研究一类二阶非线性时滞系统解的性态, 并给出了系统零解渐近稳定的一个充要条件.2001年, 张平正在文献[17]利用Lyapunov 泛函方法,讨论了一类二阶非线性泛函微分方程解的渐近稳定性, 基于'()x t积分的下半有界性, 得到了一些新的稳定性结果, 推广了方程在线性、非线性、常时滞、变时滞情形下某些相关结论.同年, 彭奇林在文献[18]中讨论了一类较为一般的具有时滞的二阶非线性系统的定性状态, 并给出了该系统的零解稳定性, 解的有界性, 周期解的存在性和平稳振荡的存在唯一性相关方面的四个定理.对一些低阶系统, 如二阶、三阶、四阶非线性系统全局渐近稳定性之Lyapunov函数的构造, 自上世纪70年代以来, 取得了丰硕的成果. 特别是类比法广泛地得到应用. 类比法的基本思想主要是: 借助于线性系统的Lyapunov函数, 类比地构造出非线性系统的Lyapunov函数. 实践证明类比法在一些二阶非线性系统的全局渐近稳定性研究中起到了极为重要的作用, 并得到了丰富的研究成[2、6、7]. 对于更为复杂的三阶和四阶非线性系统, 尽管系统阶数较高, 但类比法同样被成功地应用于系统全局渐近稳定性的研究[2、6、7]. 但是, 采用类比法构造三阶以及三阶以上非线性系统的Lyapunov函数显然要更加困难的多, 相应的结果也远比二阶系统少的多.1999年, 潘晋孝和靳祯在文献[19]中对一类三阶双滞后差分微分方程的全时滞稳定性进行了研究, 利用其特征方程, Hurwitz 定理及函数的极值理论等方法得到了当此方程全时滞稳定的充分必要条件.2001年, 梁建秀、陈斯养[20利用定性分析方法和代数理论中代数方程根的性质, 研究了三阶时滞微分方程的无条件稳定性. 得到了三阶线性时滞微分方程无条件稳定性的充要条件及三次函数无正零点和在[-1,1]上无零点判定的充要条件.2003年, 刘俊和王铎在文献[21]中利用Lyapunov 函数法讨论了一类比较一般的四阶非时滞非线性系统. 并给出了全局渐近稳定的条件.2005年, 吴勇[22]运用类比法，在文[23]的基础上构造了一类三阶非线性时滞微分系统的Lyapunov 函数，给出了该系统零解的全局渐近稳定性的充分条件，推广了文[23]和[24]的结果, 但是其条件比较复杂.同年, 康慧燕和张丽娟在文献[25]中运用类比法, 构造了一类三阶非线性时滞系统的李雅普诺夫函数, 从而推出了这类系统的零解全局渐近稳定的充分条件. 同时也给出了一些具有一般意义的三阶非线性系统推广而成的时滞系统零解全局渐近稳定的结果. 该结论条件比较简洁, 此后许多研究此类问题的文献大部分都简化为与此类似的条件.2008年, 姚洪兴和孟伟业在文献[26]中运用类比法构造Lyapunov 函数, 讨论了一类三阶双滞量时滞微分方程的全局渐近稳定性, 给出了其零解全局渐近稳定的充分性准则.尽管关于高阶时滞微分方程的全局渐近稳定性的讨论较多, 但在三阶系统的讨论中很少有把二阶导函数及其系数推广为非线性函数的情形.2008年, 姚洪兴与孟伟业在文献[27]中讨论了一类三阶时滞微分方程, 该方程的二阶导数对应('')g x 形式, 其中给出的判别条件中有如下条件:2sgn a y z z a τ+⎛⎫≤- ⎪⎝⎭.这一判别条件是难以实现的.而本论文所得结论具有如下特点: 若所讨论的方程退化为无时滞常系数线性系统''''''0x ax bx cx +++=时, 对应的判别条件与Roth -Hurwitz 条件一致. 若退化为有时滞的常系数线性系统''''''()0 (0)x ax bx cx t ττ+++-=≥, 则由本文给出的判别条件可以得到时滞τ的具体统计.北京科技大学本科生毕业设计（论文）2微分方程稳定性判定定理2.1 Roth-Hurwitz 判别准则考虑常系数线性微分方程组n in i i i x a x a x a dtdx +++=...2211, ),...,2,1(n i =. (2.1)设n λλλ,...,,21是(2.1)的特征方程0.....................det 212222111211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---λλλnn n n n na a aa a a a a a (2.2) 之根. 于是, 有以下熟知的结论:(1) 如果(2.2)的所有根都有负的实部, 则(2.1)的零解是渐近稳定的; (2) 如果(2.2)的根有一个根具有正实部, 则(2.1)的零解是不稳定的;(3) 如果(2.2)没有实部为正的根, 但实部为零的根是单根, 则(2.1)的零解是稳定的. 上述结论表明可以通过研究(2.2)的根性质, 来研判定(2.1)的稳定性. 若将(2.2)展开可得到对应的特征方程为0...)(2211=++++=--n n n na a a f λλλλ.由多项式)(λf 的系数构造矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛........................1...001 (0000112345123)1a a a a a a a aa , 这里, 如果n m >, 则认为0=m a . 并定义下面的行列式11a =∆, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆23121det a aa , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∆3451231301det a a a a a a a , …, 1-∆=∆n n n a .于是, 有下面著名的Roth -Hurwitz 定理.引理2.1 (2.2)的所有根都具有负实部的充要条件为 0>∆k , ),...,2,1(n k =. 特别地, 对于三次代数方程:321230a a a λ+λ+λ+=, Roth-Hurwitz 条件化为011>=∆a , 01det 212312>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆a a a aa , 133213123310det ()0,00a a a a a a a a a ⎛⎫⎪∆==-> ⎪ ⎪⎝⎭即01>a , 02>a , 123.a a a > 2.2 Lyapunov 函数构造2.2.1 Lyapunov 函数构造的Kronecker 乘积形式考虑系统(2.1)的向量表达形式:(, ())nij n n dx A x x R A a dt⨯=∈=.(2.3)对给定的负定矩阵C , 寻找正定的二次型T V x Bx =, 使得满足()TTTdV x A B B A x x C x dt=+=,(2.4)即解关于B 的矩阵方程:TA B BA C+=, (2.5)且矩阵B 为正定的. 方程(2.5)又称为Lyapunov 矩阵方程.为了解Lyapunov 矩阵方程, 则需要用到下面的一些定义. 定义2.1[28] 设()ij m n A a ⨯=, ()ij j t B b ⨯=, 则称1111n m m n a B a B A B a B a B ⎛⎫⎪⊗⎪ ⎪⎝⎭北京科技大学本科生毕业设计（论文）为A 与B 的Kronecker 积.定义2.2[28] 设()ij m n A a ⨯=, 则称111212121(,,,,,,,,,)Tn n m mn A a a a a a a a为A 的拉直算子.根据上述两个定义, 可以得到下面的引理.引理2.2[28] 设A , C 都是n n ⨯矩阵, 则下面四个命题等价. (1) Lyapunov 矩阵方程TA B BA C+=有矩阵解B ;(2) 线性方程组()TTA I I A x C⊗+⊗=有唯一解, 其中I 为n 阶单位阵;(3) 2rk ()T T A I I A n ⊗+⊗=, 或T T A I I A ⊗+⊗可逆;(4)()0rij ijλλ+≠∏. 其中i λ为A 的全部特征值.通过上面的引理(2.2), Lyapunov 矩阵方程可以转化为同解方程组:()TTA I I A x C⊗+⊗=.进而可以得到下面的引理.引理2.3[28] 若A 稳定, 则有结论: (1) T A X XA C +=存在唯一解;(2) 对于任意给定的对称负定矩阵C -, 存在唯一的正定二次型Lyapunov 函数TV x B x =, 满足T A B BA C +=-, (2.6) 且V 的表达式为01,det X V C =其中()()()1221112122222,(,,),,2,,2,0,,,2,0,,0,.TTn n n n n A I I A X X X X X x x x x x X x x x X x =⊗+⊗====上述够造Lyapunov 函数法的优点是能够概括的写出Lyapunov 函数表达式, 缺点就是计算过程复杂. 因而在实际中一般不使用这种方法求Lyapunov 函数, 而是根据矩阵B 的对称性来求解.2.2.2三阶系统巴尔巴欣公式上节中利用拉直算子求Lyapunov 函数的方法计算过程复杂. 本节介绍一种当n 确定时构造Lyapunov 函数更简单的求法, 即巴尔巴欣公式. 下面以三阶系统为例, 予以详细详细.考虑常系数三阶微分方程组:111112213322112222333311322333,,.dx a x a x a x dt dx a x a x a x dt dx a x a x a x dt⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ (2.7) 设对应的特征方程111213212223313233det 0a a a a a a aa a -λ⎛⎫⎪-λ= ⎪ ⎪-λ⎝⎭ 的根均具有负实部, 那么对任意给定的负定二次型:111213131231231222232,13132333(,,)(,,),iki k i k w w w x W x x x x x x w w w xwx x x w w w =⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ (2.8)可找到唯一的正定二次型北京科技大学本科生毕业设计（论文）3123,1(,,) ()iki k ik ki i k V x x x vx x v v ===∑, (2.9)使得2.dv W dt =(2.10)将 (2.8)及(2.9)代入(2.10)得到1111221331111221332()()v x v x v x a x a x a x ++++1212222332112222332()()v x v x v x a x a x a x +++++ 1312323333113223332()()v x v x v x a x a x a x +++++2221111212131322223233332(222).w x w x x w x x w x w x x w x =+++++(2.11)比较等式两端同次幂的系数得111121123113222333111211112212321321223123331213112312113313222123313313111212132222322333221113000,()02,()02,000,0a v a v a v v v v w a v a a v a v a v a v v w a v a v a a v v a v a v w v a v v a v a v v w v a v +++⋅+⋅+⋅=++++++⋅=++++⋅++=⋅++⋅+++⋅=⋅+121213232222332332332311121313222323333333()2,000,a v a v a a v a v w v v a v v a v a v w ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++++=⎪⋅+⋅++⋅++=⎪⎩ (2.12)其系数行列式为112131121122322113231133313112221312233232133333000000.000000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=∆(2.13)此外, 令),(jl ik 表示方程组(2.12)中由比较系数l j x x 系数而得的方程中在ik v 前面的系数, 容易看出, 下面关系式成立:),(),().(lj ki a jl ki a jl ik a ==,(2.14)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===≠==+≠=≠≠≠≠=.,;,1,,;,,;,,1,,0),(l k j i a k i k j i a a l k j i a l i j k k j i jl ik a iikk ii kl 当当当当 (2.15)上述(2.15)中),(jl ik a 之后两个指标jl 是针对ji w 而言的, 例如12w 中的下标就是指1, 2; j l ==而),(jl ik a 之前两个指标ik 是针对ik v 而言的, 例如13v 中的下标就是指1, 3. i k ==按照克莱姆法则解方程组(2.1), 就可得ik ik v ∆=∆,其中ik ∆表示这样的行列式, 它从行列式∆中用方程组(2.12)右端来替换这个方程组中ik v 前面的系数而得到. 所以Lyapunov 函数为312311(,,)ik i k ik v x x x x x ==∆∆∑2221121322331111213112121122322131131323113321312212223223131223223332331323330222000201.20000200x x x x x x x x x w a a a w a a a a a a a w a a a a a a w a a a w a a a a a a w a a a +=-+∆+ (2.16) (2.16)为三阶常系数线性微分方程组(2.7)的Lyapunov 函数公式, 即著名的巴尔巴辛公式. 2.3微分方程稳定性判定定理令S 是乘积空间n R R ⨯+上的一个子集, 函数(,):V t x S R +→连续, 且关于变元T(,...,)n n x x x =满足局部的李普希茨条件, 即在S 的每一个有界闭集S K ⊂上, 存在一个常数0>k L , 使得对任意两点x S ∈、y S ∈, 都有(,)(,)||||k V t x V t y L x y -≤- 成立.为了方便起见, 考虑自治微分方程北京科技大学本科生毕业设计（论文）()dx f x dt=, (2.17)其中()f x 在区域||||x H ≤内是连续的, 且满足解的存在唯一性条件. 又设(0)0f =, 即 (2.17)总有零解()0x t ≡.对于给定可微的Lyapunov 函数)(x V , 沿着方程(2.17)的任意轨线的导数表示为()()()TdV V x f x W x dt=∇≡,(2.18)即dtdV 也可以看作是x 的函数, 且在0=x 时取零值.于是, 有如下熟知的稳定性判定定理.引理 2.4[2] (巴尔巴辛-克拉索夫斯基定理) 如果存在一个正定的具有无限大性质的函数)(x V , 使得沿着方程(2.17)的任意轨线的导数(2.18)是负定的, 则(2.17)的零解()0x t ≡是全局渐近稳定的.引理2.5 [28] 若存在可微的无穷大正定函数: n ()[R ,R]V x C ∈, 使得(2.15)dV dt≤,且集合0dV M x dt ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭除0x =外不含(2.17)式的整条正半轨线, 则(2.17)式的零解()0x t ≡全局渐近稳定.注1. 其中把上面引理(2.5)中的无穷大条件改为正半轨线有界结论仍成立.3三阶非线性时滞微分方程零解全局渐近稳定性本章首先介绍目前关于三阶时滞微分方程零解全局渐近稳定性研究部分已有研究成果和研究方法, 然后介绍本论文主要讨论的三阶非线性时滞微分方程零解的全局渐近稳定性所给出的主要结论.3.1类比法与三阶非线性微分方程Lyapunov 函数的构造类比是通过两个(或两类)对象的比较, 找出它们在某一方面(特征、属性和关系)的类似点, 从而把其中一对象的有关性质, 移植到另一对象中去. 因此, 类比推理是从特殊到特殊的思维方法. 在研究非线性系统时, 通常通过类比其线性系统的Lyapunov 函数得到所需要非线性系统的Lyapunov 函数. 到现在为止, 这种简单的思考方法在许多具体的问题上仍被采用, 并且成为解决稳定性具体问题的最有效的方法之一. 用类比法得到的Lyapunov 函数其优点在于从它推导出的稳定性条件一般情况之下是霍尔维茨条件的自然推广. 也就是说, 这些条件在线性的情况下是必要的. 因此, 类比法的应用是极为广泛的, 是构造Lyapunov 函数的有效方法之一.对于更高阶的三阶及三阶以上的非线性常微分系统的全局渐近稳定性, 近年来得到了较多有意义的结果.3.1.1无时滞三阶微分方程Lyapunov 函数的构造下面用一个简单例子来说明如何用类比法构造一类三阶无时滞微分方程的Lyapunov 函数.考虑三阶非线性微分方程:()0x axbx f x +++= , (3.1)其中, , () (0)0.a b c f x f =为常数, 连续，且(3.1)的等价系统为,,().x y y z zf x by az =⎧⎪=⎨⎪=---⎩ (3.2) 与此对应的三阶线性系统为,,.x y y z zcx by az =⎧⎪=⎨⎪=---⎩ (3.3) 利用引理2.1, (3.3)对应的特征方程的根均具有负实部的充要条件为0, 0, 0.a c ab c >>->令22)()(2y ab c y c ab W -=--=. 由前面的巴尔巴辛公式可得对应的Lyapunov 函数为北京科技大学本科生毕业设计（论文）22222222022200000001000100100001000000100111111,2222xxy xz yyz zc b c V a c b a a b c ab a acx cxy a y by ayz z ---=---∆------=+++++且满足WdtdV 2=.为了研究非线性系统(3.1), 用cx x f 代替)(, 选取22)(2121)()(),,(z ay byy x f dx x f a z y x V x++++=⎰作为系统(3.1)的Lyapunov 函数, 则不难得到2(()).dv ab f x y dt'=--于是, 利用引理2.4推得, 当0, 0, ()0a b f x ab '>>-<, ()0 (0),xf x x >≠() (||)xf x dx x =+∞→∞⎰时, 系统(3.1)的零解是全局渐近稳定的.通过上述具体例子不难看出类比法获得的稳定性条件当系统退化为线性系统时, 与Roth-Hurwitz 条件是一致的.需要指出的是由于上述系统转化的等价系统形式不同, 利用类比法得到的Lyapunov 函数也不尽相同. 不过在一般情况下, 所得的结论都是等价的.比如(3.1)还可以化为如下等价系统:,,().x y y ay z zf x by =⎧⎪=-+⎨⎪=--⎩ (3.4)令22)()(2y ab c y c ab W -=--=. 由前面的巴尔巴辛公式可得对应的Lyapunov 函数为222111222V acx cxy by z=+++.利用类比法可得系统(3.1)的Lyapunov 函数为2211(,,)()()22xV x y z a f x dx f x y by z =+++⎰.不难得到2(()).dv ab f x y dt'=--因此, 得到的稳定性条件仍与前面相同.除此以外, (3.1)还可以化为如下等价系统:,,().x y y by ay z zf x =⎧⎪=--+⎨⎪=-⎩ 3.1.2三阶时滞微分方程Lyapunov 函数的构造具有时滞的微分系统在工程控制、生物科学等众多领域有着广泛的应用, 因而对具有时滞的高阶非线性微分系统零解的全局渐近稳定性研究也得到了充分发展. 诚然, 由于时滞微分系统固有的复杂性, 稳定性的相关研究比起常微分系统还是要少得多, 仍有很多问题尚待进一步研究.在文献[22]在文献[23]的基础上运用类比法, 对一类三阶非线性时滞微分系统构造了相应的Lyapunov 泛函, 进而给出了该系统零解全局渐近稳定性的充分条件, 推广了 文献[23]、[24]中的主要结果. 文献[22]所研究的三阶非线性时滞微分系统为(,)(,)()(())0,x g x x x f x xh x x t φτ+++-= 其中 (), (,) () ()g x y g x y h x x φ、、、 均为连续函数, (,0)(0)0f x φ==, 时滞0τ≥为常数. 文献[25]同样运用类比法, 在文献[29]的基础上, 通过构造Lyapunov 泛函, 研究了如下三阶非线性时滞微分系统()(())()((),())(())(())0, x t g x t x t f x t xt h x t x t +++-= ϕτ (3.5) 其中0τ≥为时滞, (,)()()()f x y g x h x x φ、、、连续, 且(0)(,0)0.f x ϕ==北京科技大学本科生毕业设计（论文）系统(3.5)可化为等价系统()(),()(),(())(())((),())(())() (())(())().x x t y t y t z t z h x t x t f x t y t g y t z t h x t x t s y t s ds τϕϕ-=⎧⎪=⎪⎨=---⎪⎪'+++⎩⎰(3.6) 并构造系统(3.6)的Lyapunov 泛函为()2000221(,,)()()()()(,)2[()]().xy t t t yt t sV x y z a h x x dx h x x y ay z f x y dya g a d a y u duds τϕϕηηη-+=+++++-+⎰⎰⎰⎰⎰进而得到下面的定理A.定理A [25] 系统(3.6)的零解全局渐近稳定的充分条件为存在常数0, 0a b >>, 使得下列条件成立:(1) ()20;g y a τ--≥(2) (,)sgn (3)f x y y b a y τ≥+; (3) []0()()'h x x ab φ<<; (4) '(,)0x f x y ≤; (5) ()'(())2x h x x u a φ≤.一般来讲, 由类比法给出的稳定性判别条件当非线性微分方程退化为线性微分方程时应该也是必要的. 然而, 从定理A 的假设条件(5)不难看出, 这些条件当非线性时滞微分方程(3.5)退化为线性常微分方程时其实不是必要的. 3.2一类三阶非线性时滞微分方程零解的全局渐近稳定性目前关于三阶非线性时滞微分方程零解的全局渐近稳定性研究的文献种类繁多,本论讨论如下一类更具有一般性的三阶非线性时滞微分方程:'''(,','')(,')()(())0,x g x x x f x x h x x t φτ+++-= (3.9) 其中常数0τ≥为时滞, (,,)(,)()()g x y z f x y h x x φ、、、具有连续的二阶导函数, 并且满足(,,0)(,0)(0)0g x y f x φ===.(3.9)的等价系统为。
信号与系统连续时间LTI系统的稳定性
Bode图分析法，通过绘 制系统开环幅频特性和 相频特性曲线，观察幅 值裕度和相位裕度来判
断系统稳定性。
观察系统闭环频率响应 的极点分布，若所有极 点都位于复平面的左半
平面，则系统稳定。
复数域分析法
通过求解系统特征方程，得到系统特征根，若所有特征根都具有负实部， 则系统稳定。
利用Routh-Hurwitz稳定性判据，构造Routh表或Hurwitz行列式，判断 系统特征方程根的性质，从而判断系统稳定性。
时变系统稳定性
时变系统的稳定性分析比时不变系统更为复杂。 未来研究可以关注时变连续时间LTI系统的稳定性 问题，发展适用于时变系统的稳定性理论和方法 。
跨学科应用
连续时间LTI系统的稳定性理论在通信、控制、信 号处理等领域具有广泛应用。未来可以探索将稳 定性理论应用于其他相关领域，如生物医学、经 济学等，以推动跨学科的发展。
仿真验证
利用控制系统仿真软件，对控制系统进行仿真验证，观察系统在不同条件下的响应及稳定性表现。同时， 通过调整控制器参数，优化系统性能。
07 总结与展望
研究成果总结
稳定性分析方法
通过对连续时间LTI系统的稳定性进行深入研究，总结了多种有效的分析方法，包括频域 法、时域法和复平面法等。这些方法为系统稳定性的判断提供了有力工具。
劳斯-赫尔维茨判据适用于系统特征方程系数均 为实数的情况，对于复数系数，则需要通过一 些变换转化为实数形式。
奈奎斯特稳定判据
奈奎斯特稳定判据是基于系统频率响应的稳定性判据，通过绘制系统开环频率响应的奈 奎斯特图，观察其包围临界点（-1,j0）的情况来判断系统稳定性。
若奈奎斯特图不包围临界点（-1,j0），则系统稳定；若包围一次，则系统有一个不稳 定根；若包围多次，则系统有多个不稳定根。
随机时滞系统的稳定性分析
随机时滞系统的稳定性分析1. 随机时滞系统的基础理论概述随机时滞系统是指系统在运行过程中，受到了随机时滞的影响，进而导致系统的稳定性受到了影响。
本文将对随机时滞系统的基础理论进行概述，主要包括随机时滞系统的定义、特点及其常用的数学模型等。
同时，将从数学角度对随机时滞系统的稳定性进行讨论，以期为后续研究提供理论支撑。
在随机时滞系统中，时滞具有一定的随机性，因此很难用传统的时间域方法进行分析。
因此，需要采用一些数学工具进行分析，如概率论、随机过程等。
从而构建出适当的数学模型，用于研究随机时滞系统的稳定性。
本文将介绍各种随机时滞系统的数学模型，包括马尔可夫模型、布朗运动模型、白噪声模型等，以及基于这些模型的控制方法。
同时，还将介绍随机时滞系统的稳定性分析方法，如传统的LMI方法、LMIs和LMIs常微分方程方法等，以及这些方法的应用。
最后，结合随机时滞系统的应用实例，进一步探讨其应用前景。
2. 随机时滞系统的稳定性分析方法随机时滞系统的稳定性是指系统在稳定状态下运行的能力，是评估系统质量的一个重要指标。
本文将介绍随机时滞系统的稳定性分析方法，包括传统的LMI方法、LMIs和LMIs常微分方程方法等。
本文将详细介绍这些方法的原理与步骤，并以特定的例子加以说明。
对于传统的LMI方法，我们将介绍其基本思想，并讨论其在随机时滞系统中的应用。
对于LMIs和LMIs常微分方程方法，我们将详细介绍其基本原理，并讨论这些方法的优缺点以及其在实际应用中的表现。
此外，本文还将探讨一些新的稳定性分析方法，如时间反馈方法、李雅普诺夫方法等，以期能够拓展我们对随机时滞系统稳定性分析方法的认识。
最后，我们将介绍一些实际应用案例，以进一步阐明这些方法的有效性。
3. 随机时滞系统的稳定性控制随机时滞系统的稳定性控制是指通过对系统的控制方式进行调整，以达到控制系统在稳定状态下运行的目的。
本文将介绍随机时滞系统的稳定性控制方法，包括基于传统的反馈控制方法，以及新开发的控制方法。
一类时变时滞系统的稳定性准则
一类时变时滞系统的稳定性准则摘要：该文研究了一类时变时滞系统稳定性问题。
采用积分不等式法和时滞分解法，充分利用时变时滞的上界和下界等信息，构造一个新的Lyapunov-Krasovskii 泛函，并使用不同的积分不等式对Lyapunov-Krasovskii 泛函求导过程中所产生的积分项进行处理，得到了一个保守性更小的稳定性准则。
最后通过数值实例验证该准则的有效性。
关键词：时变时滞；积分不等式；稳定性准则中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：0引言时滞现象存在于许多系统中，如制造业、机械、电信、化工等，这些时滞现象通常随着时间的变化而变化，对系统性能有不利影响[1-9]。
一般情况下，我们主要对常时滞系统和时变时滞系统进行研究，但大多情况下，适用于常时滞系统的稳定性判据并不一定适用于时变时滞系统，所以，众多学者目前主要对时变时滞系统进行研究[2]。
为了减少已有成果的保守性，解决系统的时滞问题，使系统更稳定的工作，学者们提出了许多有效的方法，如文献[3]为减小固定权矩阵产生的保守性，在对时滞系统分析时采用了自由权矩阵法。
文献[4]采用了时滞分解的方法,但过多的分割区间会增加计算的复杂度和仿真时间，使系统的运行效率降低，所以一般情况下都是将时滞区间分成两部分进行处理。
文献[5]在构造泛函时引入三重积分项，同时也提出了一种处理三重积分的有效方法，与以前的方法相比，加入该项后并没有明显减小所得结果的保守性。
上述文献的一个共同点是对泛函求导过程中产生的积分项进行处理时都使用了Jensen 不等式，虽然Jensen 不等式使用方便、简单，但存在一定的保守性。
文献[6]引入了Wirtinger 型积分不等式，与使用Jensen 不等式的文献相比，在不影响所得结果的保守性前提下使用的决策变量数较少。
但该方法主要用于未对时滞进行分解的情况，因此，尝试着将时滞分解法与Wirtinger 型积分不等式结合使用,以得到保守性更小的稳定性准则，是一个有意义的研究问题。
T-S模糊时滞系统的稳定性分析与控制问题研究
研究t-s模糊时滞系统的稳定性分析及其控制问题，有助于提 高模糊控制系统的稳定性和鲁棒性，为工程实践提供理论支 持和技术指导。
研究现状与问题
现状
目前，针对t-s模糊时滞系统的稳定性分析已经取得了一定的研究成果，但大多数研究集中在特定的模糊逻辑 系统或时滞范围较小的情况下。
问题
然而，在实际应用中，时滞因素和模糊逻辑系统的复杂性往往会导致系统的不稳定性和控制性能下降。因此， 需要进一步研究t-s模糊时滞系统的稳定性及其控制问题。
t-s模糊时滞系统的稳定性 分析与控制问题研究
2023-10-30
目录
• 引言 • t-s模糊时滞系统模型 • t-s模糊时滞系统的稳定性分析 • t-s模糊时滞系统的控制问题研究 • 数值模拟与实验验证 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
背景
t-s模糊时滞系统是一种广泛应用于工程领域的模糊控制系统 ，其稳定性对于系统的性能和可靠性具有重要影响。
研究内容与方法
要点一
研究内容
本研究旨在研究t-s模糊时滞系统的稳定性分析及其控 制问题，主要内容包括：建立t-s模糊时滞系统的数学 模型；分析系统的稳定性和鲁棒性；设计有效的控制器 并对其进行优化。
要点二
方法
本研究采用理论分析和数值模拟相结合的方法，首先建 立t-s模糊时滞系统的数学模型，然后利用Lyapunov方 法、Razumikhin技巧等稳定性理论对系统进行稳定性 分析。同时，利用模糊控制理论、最优化方法等设计有 效的控制器并对其进行优化。最后，通过数值模拟验证 所提出方法的可行性和有效性。
06
结论与展望
研究结论
本文研究了t-s模糊时滞系统的稳定性分析与控制 问题，通过理论推导和仿真实验，得出了一些重 要的结论。
一类时变时滞系统的稳定性分析及控制
一
类时变时滞系统 的稳定性 分析及控制
胡 潇 达 ， 刘延 泉 ， 张 华
（ 华 北 电 力 大 学 控 制 与计 算 机 工 程 学 院 河 北 保 定
０ ７ １ ０ ０ ３）
【 摘要 】本文对一类 区间时变时滞 系统的稳 定性分析和控制 器设 计 问题 进行 了研 究。首先 ，为 了得到时滞 系统的稳 定性新判据 ， 在对 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ — Ｋ ｒ ａ ｓ ０ ｖ ｓ ｋ ｉ ｌ 泛函进行构造 时考虑 了时滞下界信息 ，并且在对 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ — Ｋ ｒ ａ ｓ ｏ ｖ ｓ ｋ ｉ ｉ 泛 函的 导数进行处理时采用 了积分 不等式牙 口 逆凸组合 法相结合 的方 法。进一步，根据 所得 的时滞相关稳 定性判据 ，对 系统 的状 态反馈控制器设计进行 了分析 。最后通过对数值算例进行仿真验证 了本文方法的有效性和正确性 。 【 关键词 １时滞相关稳定 ，时变时滞 ，线性矩 阵不等式 【 中图分类号 】Ｔ Ｐ ２ ７ ３ 【 文献标识码 】Ａ 【 文章编号 】１ ０ ０ ９ — ５ ６ ２ ４（ ２ ０ １ ７ ）０ ５ — ０ ０ ２ ２ — ０ ３
ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｅ ｄ Ａｔ ｌ ａ ｓ ｔ ， ｉ ｔ ｄ ｅ ｍｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｓ ｈｅ ｔ ｅ ｆ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｎ ｅ ｓ ｓ ａ ｎ ｄ也 ｅ ｖ ａ ｌ ｉ ｄ ｉ ｙ ｔ ｏ ｆ ｈｅ ｔ ｍｏ ｄ ｉ ｉ ｆ ｅ ｄ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ ｂ ｙ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ 廿 ｎ ｇ ａ ｎ ｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ．
（ ｆ ） 是连续可微时变时滞，满足约束条件：
一类时滞微分系统的一致稳定性和渐进稳定性研究
), z ( s- ) ) ds) , ( 2)
=/
V * ,X (t , x ( t), x ( t - ), x
t 0
) ) ds0
dy = D ( t) y + E ( t) z + Z ( t, y ( t) , z ( t), dx h (s , y ( s) , z ( s ), y ( s∀
数学学习与研究 2010 17
ds .
其中 h( 1 ) ( ∗ ) , h ( 2 ) ( t - , ∗ ) 非负且关 于 + ∗ , 单调不 减, # 1, 且 h ( 1 ) ( T ) +
∀
0
+ )
h ( 2) ( s , T ) ds< r , T 1- ∃ 1 , 则当
1
( 3 )的零解一致稳定和关 于 y 指数 渐进稳定 时 , ( 2 ) 的零解
0
h (s , y, z, y( s- ), z ( t - ) )ds + ∀ h (s , y, z, y ( s- ), z ( t - ) ) ds) ∃ ∀
t 0 t 1 2
( ( y ( t- ) ( ) ( y ( t - s) ( +
- !( t - s)
∀h
t
( 2)
( t - s, ( y ( s ) ( ) ( y ( s) ( e
专题研究
ZH UAN T I Y AN JIU
111
一类时滞微分系统的一致稳定性和渐进稳定性研究
王 恒 (淄博师范高等专科学校 数理科学系 255130 ) 摘要 !主要研究 一类时 滞微分 系统的 双重 稳定性 , 给 出考察系统的等 价系 统及线 性其 次系统 , 通 过定 理证 明了 等价系统 ( 2 )的零解一致稳定和渐进 稳定性 . 关键词 !时滞微分 ; 一 致稳定性 ; 渐进稳定性 考察系统 : dy = A ( t) x + f ( t , x ( t), x ( t - ), dx 与其等价的系统为 : dy = B ( t) y + C ( t) z + Y ( t, y ( t) , z ( t), dx h (s , y ( s) , z ( s ), y ( s∀
时滞多项式T-S模糊系统的H_∞控制
－
Ｌ Ｉ Ｗｅ ｉ—ｈｏ ｎ ｇ
（ １ ． Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ， Ｈ ｕ ａ ｉ ｙ ｉ ｎ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｈ ｕ ａ ｉ ｈ ｎ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ ２ ２ ３ ０ ０ ３ － Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ； ２ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ 。 Ｎ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｙ， ｇ Ｎ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ ２ １ ０ ０ ９ ４， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂｓ ｔ ｒ ａｃ ｔ：Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ －ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｏ ｆ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ Ｈ ｃ ｏ ｎｔ ｒ ｏ ｌ ｆ ｏ ｒ ｔ ｉ ｍｅ—ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｅ ｄ ｐ ｏ ｌ ｙ ｎｏ ｍｉ ａ ｌ Ｔ —Ｓ
时 滞 多项 式 Ｔ—Ｓ 模 糊 系统 的 Ｈ 。 。 控制
厉筱峰 ， 李伟红
（ １ ．淮阴工学院 数理学院ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， 江苏 淮安 ２ ２ ３ ０ ０ ３ ； ２ ．南京理工大学 理学院 ， 南京 ２ １ ０ ０ ９ ４ ）
摘要 ： 研究一类 时滞多项式 Ｔ—Ｓ 模糊 系统 的稳定性 和 Ｈ 控制 问题 ， 利用基 于平方和 （ Ｓ Ｏ Ｓ ） 分解 的半定 规划算法 给出系 统 的时滞依赖的稳定性判据 ， 设计平行分 配补偿 （ Ｐ Ｄ Ｃ） 多项式模糊控制器 ， 从而使得闭环系统渐近稳定且 满足 Ｈ 噪声衰 减指标 ， 所得结果可 由 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ Ｓ Ｏ Ｓ工具箱求解 ， 并 给出算例说明所提出方法的有效性 。
信号与系统 连续时间LTI系统的稳定性
（2）
H (s)
U 2 (s) U1(s)
s2
K (3 K)s
1
显然，系统稳定条件为 K 3
（3）临界稳定时，K 3，这时
所以系统的冲激响应为
H (s)
3 s2 1
h(t) L1 H(s) 3sin(t)u(t)
信号与系统
精品课件！
信号与系统
精品课件！
信号与系统
1
3
3
1 k
s1 1 1 3 8 k 3 3 1 k 3
s0
1 k
要使系统稳定，有
8 k
0
3
1 k 0
故
8 k 1
信号与系统
【例5-7-7】对于三阶系统，分母多项式为 A(s) a3s3 a2s2 a1s a0 ， 为使系统稳定， a3, a2 , a1, a0 应该满足什么条件？
霍尔维茨（Hurwitz）判断法
设 n 阶连续线性时不变系统的系统函数为
H (s)
B(s) A(s)
bmsm an s n
bm1sm1 L bn1sn1 L
b1s b0 a1s a0
其中，m n ，ai (i 0,1 , 2 , 3，L ，n) 与 bj ( j 0,1,2,3，L ，m) 均为实常数。
第三行以后的系数由递推式计算。
MMMM
s0 n1 0
0L
信号与系统
xn1
1 an1
an an1
an2 ; an3
xn3
1 an1
an an1
an4 L an5
yn1
时滞常微分系统平衡点性质及稳定性分析
时滞常微分系统平衡点性质及稳定性分析时滞常微分系统是一类具有时滞的动力学系统，其在许多实际应用中起着重要的作用。
对于时滞常微分系统的平衡点性质及稳定性进行分析，有助于我们深入理解系统的行为，并为控制系统的设计提供指导。
时滞常微分系统的平衡点是系统在稳定状态下的解。
平衡点的性质可以通过线性化方法进行分析。
首先，我们将系统在平衡点附近进行线性化，得到线性时滞常微分方程。
然后，通过求解线性方程的特征值，可以判断平衡点的稳定性。
当所有特征值的实部小于零时，平衡点是稳定的；当至少存在一个特征值的实部大于零时，平衡点是不稳定的；当存在虚部不为零的特征值时，平衡点是振荡的。
在分析时滞常微分系统的平衡点性质时，我们需要考虑时滞对系统行为的影响。
时滞可以引起系统的不稳定性，并导致系统的振荡或耗散行为。
为了判断时滞对系统稳定性的影响，我们可以利用Lyapunov-Krasovskii稳定性定理。
该定理通过构建Lyapunov-Krasovskii函数，并利用延迟函数的导数上界，可以得到系统的稳定性条件。
通过求解稳定性条件，我们可以判断时滞对系统的稳定性起到的作用。
除了平衡点的稳定性分析，我们还可以通过数值仿真方法来研究时滞常微分系统的稳定性。
通过选择适当的参数值和时滞大小，我们可以观察系统的稳定性行为。
通过仿真，我们可以验证理论分析的结果，并进一步了解系统的动态特性。
综上所述，时滞常微分系统的平衡点性质及稳定性分析是研究该类系统的重要内容。
通过对平衡点进行线性化分析、利用Lyapunov-Krasovskii稳定性定理以及数值仿真方法，我们可以深入探究时滞常微分系统的稳定性行为，并为系统的控制与应用提供指导。
基于LMI时滞电力系统的稳定性分析
４ ６ ４ ０ ０ ０ ）
（ 信 阳职 业技 术 学院 ，河 南 信 阳
摘 要 ：对 一 类 时滞 电力 系 统 的 稳 定 性 问题 进 行 深 入 探 究 ， 利 用 线 性 矩 阵 不 等 式 的分 析 方 法 ， 达 到 良好 的 时 滞 鲁 棒 控 制 功 能 。最 后 ， 利 用 数 例 仿 真 验 证 了该 分 析 方 法 的有 效 性 。
（ ２ ）
则对 于任 意合 适 的维 数矩 阵 Ⅳ 和Ⅳ ２ ， 存在
， ￡
对 控制 输入 信 号 的时滞 丁 ， 式（ ２ ） 可 以被简 化 为
收 稿 日 期 ：２ ０ １ ６ — ０ ７ — １ ９
作 者 简 介 ：赵
２ ［ ｘ （ ） Ⅳ ＋ （ 一 ） ＾ ［ （ ） 一Ｊ （ ５ ） ｄ ｓ － ｘ （ ｔ 一 ） 】 ＝ ０ ， （ ７ ）
ｙ ＝ ｈ （ ， Ｗ， ｕ ） ｊ
（ １ ）
滞 问题 ， 用式 （ ３ ） 替代了Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ泛 函 中 的 （ ￡ ） 式子 ， 表示 牛 顿一 莱 布 尼 茨公 式 中 的各 项关 系 ， 得 出时滞 相 关稳 定 分 析 的结 论 ， 推 导 出新 的关 于 时 滞稳 定 控 制 的方 法 。利 用 牛顿 一 莱 布 尼茨 公 式则
ｊ
【
Ｙ Ⅳ ２ Ｉ ＞ ０ ，
Ｆ ｊ
（ １ １ ）
］ ＞ 。 ， Ｅ ｌ １ ＞ 。 ，
式中 ： Ｌ ＞ ０ ， Ｆ ＞ ０ ， Ｒ ＞ ０ 。
定理 １ ［ ５ １ ： 给定 标量 ｈ ＞ ０和 ， 如若存 在 Ｌ ＝ Ｌ Ｔ ＞
２ ） 的便 利 性 ， 实 现 了 。 ， 贝 ｕ ＞ 。 ， Ｑ ＝ Ｑ Ｔ ＞ ０ ， Ｒ ＝ Ｒ Ｔ ＞ ０ ， Ｙ ＝ ［ １ ２ ｊ ］ ＞ 。 ， 在 任 线 性 矩 阵 不 等式 （１０）～式 （１ 意 的合适 维数 的矩 阵 Ⅳ。 ， Ⅳ ２ ， 中 ，支 持 以下 Ｌ ＭＩ
时变时滞t-s模糊模型的稳定性分析
πｔ（ｋ（ｔ））和 ｋ（ｔ）均有
ｒ
πｉ（ｋ（ｔ））≥０，ｉ＝１πｉ（ｋ（ｔ））＝１。
引理 １［５］ 假设存在一个正定矩阵 Ｒ∈Ｒｎ和可
导函数 ｘ（ｔ）∈［ｃ，ｄ］→Ｒｎ，那么下式成立：
ｄｃｘＴ（ｔ）Ｒｘ（ｔ）ｄｔ≥ｄ１－ｃｐＴＲｐ，
（３）
其中 ｐ＝ｘ（ｄ）－ｘ（ｃ）。
[ ] 引理 ２［６］ 假设存在对称矩阵 Ａ＝ Ａ１１
后加入一个积分项并结合文献［５］里的引理 ２去处 理求导所产生的积分部分，最后以数值例子证明了 本文所提方法的可行性。
１ 系统描述
研究具有如下模糊规则的 Ｔ－Ｓ模糊模型：
Ｒｉ：如果 ｋ１（ｔ）为 Ｍｉ１并且…并且 ｋｃ（ｔ）为 Ｍｉｃ，
{那么 ｘ（ｔ）＝Ａｉ＋Ａｄｉｘ（ｔ－ｈ（ｔ））， ｘ（ｔ）＝（ｔ），ｔ∈［－ｈ，０］
Ｖ２（ｔ）＝ｘＴ（ｔ）Ｑｘ（ｔ）－
（１－ｈ（ｔ））ｘＴ（ｔ－ｈ（ｔ））Ｑｘ（１－ｈ（ｔ）） （１２）
Ｖ３（ｔ）＝ｈ２ｘＴ（ｔ）Ｒｘ（ｔ）－
ｈｔｔ－ｈｘＴ（ｓ）Ｒｘ（ｓ）ｄｓ 因为存在 ｈ（ｔ）≤ｄ２，所以
毛晨斐，李江荣，李 琳
（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 ７１６０００）
摘 要：针对带有时变时滞的 Ｔａｋａｇｉ－Ｓｕｇｅｎｏ模糊模型，首先设计了一个适当的 Ｌｙａｐｕｎｏｖ－Ｋｒａ ｓｏｖｓｋｉｉ泛函，然后给出一个积分不等式用于处理李雅普诺夫泛函求导所产生的积分部分，最后以 ＬＭＩ（线性矩阵不等式）的形式提出一个保守性比较小的系统稳定条件，并以数值例子证明了本文 所提方法的优越性与可行性。 关键词：Ｔ－Ｓ模糊系统；Ｌ－Ｋ泛函；稳定性 中图分类号：ＴＰ２７３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４－６０２Ｘ（２０２０）０１－００３３－０３
《2024年T-S模糊时滞系统的稳定性分析及H_∞滤波》范文
《T-S模糊时滞系统的稳定性分析及H_∞滤波》篇一T-S模糊时滞系统的稳定性分析及H∞滤波一、引言随着现代控制理论的发展，T-S模糊时滞系统在复杂动态系统的建模与控制中显示出强大的能力。
此类系统经常在诸如汽车、机器人以及自动化制造等领域中被应用。
由于信号传播和处理时的时滞存在，使得系统性能可能受到负面影响。
因此，分析这类系统的稳定性问题显得尤为重要。
此外，由于外界的扰动或不确定因素的存在，往往需要通过高性能的滤波器如H∞滤波器来提升系统的鲁棒性和可靠性。
本文将深入探讨T-S模糊时滞系统的稳定性问题及如何通过H∞滤波技术提升系统的性能。
二、T-S模糊时滞系统的稳定性分析T-S（Takagi-Sugeno）模糊模型是处理非线性系统的有效方法之一，它能有效地通过一组模糊if-then规则将复杂的非线性系统近似为一个线性的、分块的动态模型。
由于引入时滞项后，该模型的表现和特性可能发生变化，特别是对于其稳定性特性，我们通过建立严格的数学模型，对时滞的T-S模糊系统进行稳定性分析。
在稳定性分析中，我们利用Lyapunov稳定性的理论，并使用基于Razumikhin的方法进行求解。
我们将时滞作为状态的一部分来构建一个Lyapunov函数，然后利用此函数进行稳定性的分析。
对于不同形式的时滞（如常数时滞、变时滞等），我们将通过仿真实验验证分析结果，并对系统稳定性做出明确的评估。
三、H∞滤波在T-S模糊时滞系统中的应用由于T-S模糊时滞系统经常面临外界扰动或不确定性的影响，为了改善其性能并提高其鲁棒性，我们引入了H∞滤波技术。
H∞滤波器是一种基于H∞控制理论的滤波器，它可以在存在外部干扰的情况下提供良好的性能。
在T-S模糊时滞系统中应用H∞滤波器时，我们首先需要构建一个合适的滤波器模型。
然后，通过优化算法（如线性矩阵不等式方法）来调整滤波器的参数，使其能够有效地抑制外部干扰并保持系统的稳定性。
此外，我们还将通过仿真实验来验证H∞滤波器在T-S模糊时滞系统中的效果。
《2024年T-S模糊时滞系统的稳定性分析及H_∞滤波》范文
《T-S模糊时滞系统的稳定性分析及H_∞滤波》篇一T-S模糊时滞系统的稳定性分析及H∞滤波一、引言T-S模糊时滞系统作为现代控制理论中的一个重要研究领域，广泛应用于各种复杂系统的建模和控制。
然而，由于系统中的时滞和不确定性因素的存在，使得系统的稳定性和性能分析变得尤为复杂。
同时，H∞滤波作为一种有效的鲁棒滤波方法，在处理这类问题时具有重要的应用价值。
本文旨在研究T-S模糊时滞系统的稳定性分析以及H∞滤波在其中的应用。
二、T-S模糊时滞系统概述T-S模糊时滞系统是一种基于Takagi-Sugeno模型的模糊控制系统，其通过一系列的“如果-则”规则来描述系统的动态行为。
这种系统模型能够有效地处理具有非线性、时变和不确定性的复杂系统。
然而，由于系统中存在的时滞现象，使得系统的稳定性和性能分析变得更加困难。
三、T-S模糊时滞系统的稳定性分析针对T-S模糊时滞系统的稳定性分析，本文采用Lyapunov稳定性理论。
首先，通过构建适当的Lyapunov函数，将系统的稳定性问题转化为寻找合适的参数使得Lyapunov函数具有负定性的问题。
然后，利用线性矩阵不等式（LMI）技术，求解出使得系统稳定的参数范围。
最后，通过仿真实验验证了该方法的有效性和可行性。
四、H∞滤波在T-S模糊时滞系统中的应用H∞滤波作为一种鲁棒滤波方法，能够有效地处理系统中的不确定性和干扰。
在T-S模糊时滞系统中，H∞滤波可以用于估计系统的状态，提高系统的性能。
本文通过构建H∞滤波器，将滤波器的设计问题转化为求解一系列的Riccati方程。
然后，利用LMI 技术，求解出使得滤波器性能最优的参数。
最后，通过仿真实验验证了H∞滤波在提高系统性能方面的有效性。
五、结论本文研究了T-S模糊时滞系统的稳定性分析及H∞滤波的应用。
通过构建适当的Lyapunov函数和H∞滤波器，有效地解决了系统稳定性和性能优化的问题。
本文的方法为复杂系统的建模和控制提供了一种有效的解决方案，具有一定的理论和应用价值。
一类时变时滞系统的稳定性准则
一类时变时滞系统的稳定性准则
李欢欢;姜偕富;唐超超
【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》
【年(卷),期】2016(036)004
【摘要】研究了一类时变时滞系统的稳定性问题。
采用积分不等式法和时滞分解法，充分利用时变时滞的上界和下界等信息，构造一个新的 Lyapunov-Krasovskii 泛函，并使用不同的积分不等式对Lyapunov-Krasovskii 泛函求导过程中所产生的积分项进行处理，得到了一个保守性更小的稳定性准则。
最后通过数值实例验证了该准则的有效性。
【总页数】5页(P52-56)
【作者】李欢欢;姜偕富;唐超超
【作者单位】杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州 310018;杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州 310018;杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州310018
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
1.时变时滞奇异系统的时滞相关型稳定性准则 [J], 邵风;姜偕富;严顺行
2.时变时滞BAM神经网络系统的时滞依赖指数稳定性准则 [J], 陈一鸣;苏卫卫
3.一类区间时变时滞非线性广义系统的稳定性准则 [J], 焦建民
4.一类时变时滞系统改进的稳定性准则 [J], 唐亮; 姜偕富; 尹宗明; 刘丽丽
5.一类多时变时滞中立微分方程的时滞相关稳定性准则(英文) [J], 杨瑞珍;包俊东;田志坤
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具有时滞的Lengyel-Epstein扩散系统的稳定性和分支分析
具有时滞的Lengyel-Epstein扩散系统的稳定性和分支分析具有时滞的Lengyel-Epstein扩散系统的稳定性和分支分析摘要：Lengyel-Epstein(L-E)模型是描述化学反应中左右反应扩散耦合的经典模型之一。
在该模型中引入时滞，可以更准确地描述化学反应中时间延迟的影响。
本文将研究具有时滞的L-E扩散系统的稳定性和分支分析，并通过数值模拟验证研究结果。
导言：化学反应扩散系统是一个复杂的多因素耦合系统，研究其稳定性和分支现象对于深入理解化学反应过程和预测实验现象具有重要意义。
Lengyel-Epstein模型是描述化学反应扩散耦合的经典模型，可以较好地描述反应扩散系统的动力学行为。
然而，该模型忽略了化学反应中时间延迟的影响，而时滞是一种在实际化学反应中普遍存在的现象。
因此，引入时滞对于更准确地描述化学反应具有重要意义。
1. Lengyel-Epstein模型的基本方程L-E模型描述了两种物质的浓度动力学变化及其相互作用。
设两种物质的浓度分别为u(x, t)和v(x, t)，具有以下方程：∂u/∂t = Du∇²u + f(u, v)∂v/∂t = Dv∇²v - f(u, v)其中，D是扩散系数，f(u, v)是描述化学反应的函数。
2. 引入时滞的L-E模型在实际化学反应中，由于化学反应的特性或环境因素的影响，存在着时间延迟的现象。
因此，在L-E模型中引入时滞项，可以更准确地描述实际化学反应中的时间延迟效应。
具有时滞的L-E模型可以描述为：∂u/∂t = Du∇²u + g(u(t-τ), v(t-τ))∂v/∂t = Dv∇²v - g(u(t-τ), v(t-τ))其中，τ表示时滞，g(u(t-τ), v(t-τ))表示延迟效应。
3. 稳定性分析L-E模型的稳定性分析是研究系统在不同参数条件下的动力学行为。
通过线性稳定性分析可以确定系统的稳定性区域和不稳定性区域。
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Ｋｅ ｒ ｓ ｔ — ｅａ ； Ｉｏｄ ｆ ｒｎｉｌｙ ｔｍｓ ｓｏ ｈ ｓｉ ｔｂ ｌ ｙｗｏ ｄ ： ｉ ｄ ｌｙ ｔ ｉ ｅｅ ｔ ｓｅ ； ｔｃ ａｔ ｓａ ｉｔ ｍｅ ａｓ ｃ ｉ ｙ
１０ ０ ５０１
３黑龙江 中医药大学 ， 哈尔滨 ．
摘
要 ：研 究 了一 类 时 滞 Ｉ 微 分 系统 的 稳 定 性 问题 。此 类随 机 系统 包含 一 类 经典 随机 过 程 Ｂ ｏ 运 动 ｃ利 用 “ ｔ ｏ ｒｗｎ 小
标量’ ’方法 ．并 结合 线 性 时 滞 系统 理 论 ，通 过 对 时 滞 Ｉ ｔ 分 系统 引入 辅 助 矩 阵 ，给 出了 此类 系统 稳 定 性 的 判据 ， ｏ微 从 而减 少了此 类 系统 稳 定 性 判 据 的保 守性 。 关 键 词 ： 时滞 ，Ｉ ｔ 分 系统 ，随 机稳 定性 ｏ微
南于随机 的应 用 ，因而 吸 引 了国 内外许 多优 秀
１ 系统 描 述
设 ，Ｆ，｛ ，Ｐ是 一带 盯 流 ） ） ） 一 的完备
的概率 空 间 ，其 中盯 一流 ｛ ，满 足 通常条 件 ，即右 ） 连续性 和 包 含所 有 的 Ｐ零 测度集 。 ｛ （ ，， ） ｗ ｔ ０ 是 ） 定 义在 ，Ｆ， ｛ ， ） ，Ｐ 上 的 一维标 准 Ｂ ｏ ） ｒｗｎ运 动 ，１ Ｉ ．表示 中的 Ｅｕｄ范数 。记 ｃ ［ ，０ ；Ｒ ） ｌｉ （ 一ｒ ］
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔｈ ｔｂ ｌ ｙｏ ｌｓ ｆ ｔ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｙ ｔ ｍｓ ｔ ｍｅｄ ｌｙ ｉ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ Ｔ ｉ ｓｏ ｈ ｓｉ ｙ ｔ ｍｓ ｏ ｓｓｓａ ｅｓａ ｉ ｔ ｆ ｃ ａ ｓｏ ｏｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｓｅ ｈ ｔ ｅａ ｉ ｓ ｅ ． ｈ ｓ ｔ ｃ ａ ｔ ｓ ｓｅ ｎ ｉｔ ｉ ａ ｌ ａｓ ｗｉ ｉ ｓ ｃ ｃ ｃ ｃ ａ ｓｃ ｌ ａ ｄ ｍ ｒ ｇ ａ Ｂｒ ｗｎ ｍｏ ｉ ｎ Ｗ ｉ “ ｍａ ｌ ｃ ｌ ” ｍｅ ｏ ， ａ ｄ ｃ ｍｂ ｎ ｎ ｈ ｈ ｏ ｙ ｏ ｎ ａ ｙ ｔｍｓ ｌｓ ｉａ ｎ ｏ ｐ ｏ ｒ ｍ： ｏ ｔ ． ｔ ｓ ｌ ｓ ａ ａ ｒ ｏ ｈ ｒ ｈ ｔ ｄ ｎ ｏ ｉ ｉｇ ｔ ｅ ｔ ｅ ｒ ｆｌ ｅ ｒｓ ｓｅ ， ｉ
ＶＯ ． Ｎ ０４ １３０ ． Ｄｅ ．２ ７ ｃ ００
时滞 Ｉ 微 分 系统 的稳 定 性 ｔ ｏ
王 佩 臣 刘宏 亮 ２ 刘鹏 ， ，
（． １ 黑龙江工程学 院 数学 系 ，哈尔滨 １０ ５ ；２哈尔滨工业大学 控制理论与制导技术 中心 ， 哈尔滨 ５０ ０ ．
１０ ４ ） ５ ０ ０
ｍｏ ｅｍａｒ ｅ ｎｒ ｄ ｃ ｄｔ ｅｃ ｉ ｒ ｎｏ ｅｓａ ｉ ｔ ｆ ｏｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌ ｙ ｔ ｍｓ ｔ ｍ ｅｄ ｌ ｙ， ｗｈ ｃ ｆ ｒ ｄ ｃ ｅ ｒ ｔｉ ｓｉ ｉ ｔ ｕ ｅ ｔ ｒ ｅ ｉ ｆ ｈ ｔ ｂ ｌ ｙ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔ ｓｅ ｈ ｔ ｅ ａ ｃ ｓ ｏ Ｏｈ ｔ ｏ ｔ ｉ ｔ ａｓ ｗｉ ｉ ｉｈ ｃｍ ｅ ｕ ｅ ｔ ｈ
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第３卷第４ ０ 期
２ ０ 年 １ 月 ０７ ２
长春理工大学学报 （ 自然 科学 版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｈｎ ｃｕ ｏｒａ ｏ Ｃ ａｇｈｎＵｎｖｒｉ ｆ ｃｅｃ ｎ ｅｈ ｏｏｙ Ｎａ ｒｌ ｃｅｃ ｄｔ ｎ） ｉｅｓｙｏ Ｓ ｉ ｅ ｄＴ ｃｎ ｌｇ ｛ ｔ ａ ｉｎｅＥ ｉｏ ｔ ｎ ａ ｕ Ｓ ｉ
的科 学工 作 者对其 进 行研 究 。文 献 ［ １— ３］都对
此 类 系统 的研 究 发 展 做 出 了一 定 的贡 献 。 另 一方 面 ．由于在各 种 系统 中时滞 、不确 定性及 工况 的突
变等 现象 是经 常遇 到 的 ，而且 它 们的存在 常 常会带
来 系统的不稳 定和 性能 减退 ，因而 对于 时滞 随机 系
Ｗ ＡＮＧ ｉｈｅ ＬＩ Ｈｏ ｇｌ ｎ ＬＩ Ｐｅ ｇ Ｐｅ ｃ ｎ ， Ｕ ｎ ｉ ｇ ， Ｕ ｎ ａ
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中 图 分 类号 ：Ｔ ２ ３ Ｐ ７
文 献标 识 码 ：Ａ
文章 编 号 ：１ ７ ６ ２—９７ （ ０ ７ ４—０ ４ —０ ８ ０ ２ ０ ）０ １１ ２
Ｓｔ ｃ ｓｉ ａ ｌｔ ｆＩ ｏＤｉｆ ｒ ｎｔａ ｓｅ ｓｗｉｈ Ｔｉ ｅ Ｄｅ ａ ｏ ｈａ ｔｃＳｔ ｂｉｉｙ ｏ ｔ ｆｅ ｅ ｉ ｌＳｙ ｔ ｍ ｔ ｍ — ｌ ｙ
统 的研究 显得 更具 实 际意义 ］ 。
本 文主要 研究 了一类 时 滞 Ｉ ｔ 分系统 的稳 定 ０微 性 问题 。此 类 随 机 系 统 包 含 一 类 经 典 随 机 过 程