2020版高考数学新增分大一轮新高考精练：几何概型含解析
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版(课件+讲义+精练)第十一章 11.2
§11.2几何概型1.几何概型的定义事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.2.几何概型的概率公式P(A)＝μAμΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量.3.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值.概念方法微思考1.古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ )(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ )(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × )(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × ) 题组二 教材改编2.在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A.12B.13C.14D.1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13. 3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13， ∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B ).4.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π4答案 D解析 如图所示，。
2020版高考数学新增分大一轮讲义 习题第九章 平面解析几何 9.7 Word版含解析
§双曲线考情考向分析主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体研究参数，，及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以填空题的形式考查，难度为中低档．解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质．．双曲线的定义平面内到两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝(>，>) －＝(>，>)图形性质范围≤－或≥，∈∈，≤－或≥对称性对称轴：轴，轴对称中心：()对称轴：轴，轴对称中心：()顶点顶点坐标：(－)，()顶点坐标：(，－)，(，)渐近线＝±＝±离心率＝，∈(，＋∞)实虚轴 线段叫做双曲线的实轴，它的长＝；线段叫做双曲线的虚轴，它的长＝；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长，，的关系 ＝＋(>>，>>).等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为－＝λ(λ≠)，离心率＝，渐近线方程为＝±.．双曲线的第二定义平面内动点到定点的距离和它到定直线(点不在直线上)的距离的比是常数(>)的点的轨迹是双曲线．定点是焦点，定直线是准线，常数是离心率．双曲线－＝(>，>)的准线方程为＝±，双曲线－＝(>，>)的准线方程为＝±.概念方法微思考．平面内与两定点，的距离之差的绝对值等于常数的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？ 提示当＝时，动点的轨迹是两条射线；当>时，动点的轨迹不存在；当＝时，动点的轨迹是线段的中垂线．．方程＋＝表示双曲线的充要条件是什么？提示若>，<，表示焦点在轴上的双曲线；若<，>，表示焦点在轴上的双曲线．所以＋＝表示双曲线的充要条件是<.题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)。
2020版高考数学新增分大一轮新高考精练阶段自测卷(五) Word版含解析
阶段自测卷(五)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．(·贵州遵义航天中学月考)下列说法正确的是()．空间中，两不重合的平面若有公共点，则这些点一定在一条直线上．空间中，三角形、四边形都一定是平面图形．空间中，正方体、长方体、四面体都是四棱柱．用一平面去截棱锥，底面与截面之间的部分所形成的多面体叫棱台答案解析空间四边形不是平面图形，故错；四面体不是四棱柱，故错；平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分所形成的多面体才叫棱台，故错；根据公理可知正确，故选.．(·湛江调研)设，是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()．α∩β＝，⊂α，∥β⇒∥．α⊥β，α∩β＝，⊥⇒⊥β．⊥，⊂α，⊂β⇒α⊥β．∥α，⊂α⇒∥答案解析对于，根据线面平行的性质定理可得选项正确；对于，当α⊥β，α∩β＝时，若⊥，⊂α，则⊥β，但题目中无条件⊂α，故不一定成立；对于，若⊥，⊂α，⊂β，则α与β相交或平行，故错误；对于，若∥α，⊂α，则与平行或异面，则错误，故选.．(·重庆万州三中月考)如图，在三棱柱－中，是的中点，是的中点，且＝α＋β，则()．α＝，β＝－．α＝－，β＝．α＝，β＝－．α＝－，β＝答案解析根据向量加法的多边形法则以及已知可得，＝＋＋＝＋＋＝＋－＋＋＝－，∴α＝，β＝－，故选.．平行六面体－中，＝(，， )，＝(，， )，＝(，， )，则对角线的边长为() ．．．．答案解析因为＝＋＋＝＋＋＝(，，)＋(，，)＋(，，)＝(，，)，所以＝＝，故选..(·凉山诊断)如图，在四棱柱－中，，分别是，的中点，下列结论中，正确的是()．⊥．⊥平面．∥平面．∥平面答案。
2020版高考数学新增分大一轮讲义 习题第九章 平面解析几何 9.2 Word版含解析
§两条直线的位置关系考情考向分析以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点．．两条直线的位置关系()两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线，，若其斜率分别为，，则有∥⇔＝.(ⅱ)当直线，不重合且斜率都不存在时，∥.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线，的斜率存在，设为，，则有⊥⇔·＝－.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为时，⊥.()两条直线的交点直线：＋＋＝，：＋＋＝，则与的交点坐标就是方程组的解．．几种距离()两点(，)，(，)之间的距离＝.()点(，)到直线：＋＋＝的距离＝.()两条平行线＋＋＝与＋＋＝(其中≠)间的距离＝.概念方法微思考．若两条直线与垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线与的斜率都存在时，12·l l k k ＝－；当两条直线中一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在时，与也垂直． ．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示()将方程化为最简的一般形式．()利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中，的系数分别对应相等．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()当直线和斜率都存在时，一定有＝⇒∥.(×)()如果两条直线与垂直，则它们的斜率之积一定为－.(×)()已知直线：＋＋＝，：＋＋＝(，，，，，为常数)，若直线⊥，则＋＝.(√)()点(，)到直线＝＋的距离为.(×)()若点，关于直线：＝＋(≠)对称，则直线的斜率等于－，且线段的中点在直线上．(√) 题组二教材改编．[]已知点()(>)到直线：－＋＝的距离为，则＝.答案－解析由题意得＝.解得＝－＋或＝－－.∵>，∴＝－＋.。
2020版高考数学新增分大一轮讲义 习题第九章 平面解析几何 9.4 Word版含解析
§直线与圆的位置关系考情考向分析考查直线与圆的位置关系的判断，根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等．题型以填空题为主．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法()几何法：利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系．<⇔相交；＝⇔相切；>⇔相离．()代数法：概念方法微思考．过一定点作圆的切线，切线条数可能有几种情况．提示三种情况，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．．求圆的弦长有几种常用方法．提示三种．()用代数法求出弦的端点坐标，然后利用两点间的距离公式．()利用半径、半弦和圆心到直线的垂线段构成的直角三角形．()利用弦长公式．若斜率为的直线与圆交于(，)，(，)，＝－＝－(其中≠)，特别地，当＝时，＝－，当斜率不存在时，＝－.题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(×)()直线＝＋和圆＋＝一定相交．(√)()过圆：＋＝上一点(，)的圆的切线方程是＋＝.(√)()过圆：＋＝外一点(，)作圆的两条切线，切点分别为，，则，，，四点共圆且直线的方程是＋＝.(√)()如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(√)题组二教材改编．[]圆(－)＋(＋)＝与直线＋－＝的位置关系是．答案相交解析圆心(，－)到直线＋－＝的距离为＝<，故直线与圆相交．．[习题()]若过点(－，－)的直线被圆＋－－＋＝截得的弦长为，则直线的斜率为．答案或解析将圆的方程化为标准方程得(－)＋(－)＝，∴圆心坐标为()，半径＝，又弦长为，∴圆心到直线的距离＝＝，设直线的斜率为，又直线过点(－，－)，∴直线的方程为＋＝(＋)，即－＋－＝，∴＝，即(－)(－)＝，解得＝或＝，则直线的斜率为或.。
2020版高考数学新增分大一轮新高考精练阶段自测卷(四) Word版含解析
阶段自测卷(四)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．(·衡水中学考试)已知等差数列{}的公差为，前项和为，且＝，则的值为() ．．．．答案解析由＝及公差为，得＋×＝，所以＝.所以＝－，故＝.故选.．(·四川诊断)若等差数列{}的公差≠且，，成等比数列，则等于()．答案解析设等差数列的首项为，公差为，则＝＋，＝＋.因为，，成等比数列，所以(＋)＝(＋)，解得＝.所以＝＝.故选.．(·四省联考)已知等差数列{}的前项和为，若＝，＝，则等于() ．－．－．．答案解析由于数列为等差数列，故解得＝，＝－，故＝＋＝×＋×(－)＝－，故选.．记等比数列{}的前项和为，若＝，＝，则等于()．－．．－．答案解析由题意知公比≠，＝＝＋＝，∴＝，＝＝＋＝＋＝.．(·湖南五市十校联考)已知数列{}满足＝－＋＋(≥)，＋＋＝，＋＋＝，则＋等于()．．．．答案解析由数列{}满足＝－＋＋(≥)得数列{}为等差数列，所以＋＋＝＝，即＝，同理＋＋＝＝，即＝，所以＋＝＋＝.．(·新乡模拟)为了参加冬季运动会的长跑比赛，某同学给自己制定了天的训练计划：第天跑，以后每天比前天多跑，则这个同学天一共将跑()．．．．答案解析依题意可知，这个同学第天，第天，…跑的路程依次成首项为，公差为的等差数列，则这个同学天一共将跑×＋×＝()．故选.．等差数列{}的前项和为，已知－＋＋－＝，－＝，则等于()．．．．答案解析因为{}是等差数列，所以－＋＋＝，由－＋＋－＝，得－＝，由－＝知≠，所以＝，又－＝，即＝，即(－)×＝，解得＝，故选.．(·青岛调研)已知各项均不相等的等比数列{}，若，，成等差数列，设为数列{}的前项和，则等于()。
2020版高考数学新增分大一轮讲义+习题第九章 平面解析几何 9.8 Word版含解析
§抛物线考情考向分析抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有基础性的填空题，又有综合性较强的解答题．．抛物线的概念平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．．抛物线的标准方程与几何性质＝(>)＝－(>)＝(>)＝－(>)标准方程的几何意义：焦点到准线的距离图形顶点坐标()对称轴轴轴焦点坐标离心率＝准线方程＝－＝＝－＝范围≥，∈≤，∈≥，∈≤，∈开口方向向右向左向上向下概念方法微思考．若抛物线定义中定点在定直线上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点且与垂直的直线．．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)()方程＝(≠)表示的曲线是焦点在轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是＝－.(×)()为抛物线＝(>)的过焦点的弦，若(，)，(，)，则＝，＝－，弦长＝＋＋.(√)()过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线＝－(>)的通径长为.(√)题组二教材改编．[练习]过抛物线＝的焦点的直线交抛物线于(，)，(，)两点，如果＋＝，则＝.答案解析抛物线＝的焦点为()，准线方程为＝－.根据题意可得，＝＋＝＋＋＋＝＋＋＝.．[]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点(－，－)，则该抛物线的标准方程为．答案＝－或＝－解析设抛物线方程为＝(≠)或＝(≠)．将(－，－)代入，分别得方程为＝－或＝－.。
2020版高考数学新增分大一轮讲义 习题第八章 立体几何 8.4 Word版含解析
§空间几何体的表面积与体积考情考向分析考查简单几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，以填空题为主，中低档难度．．侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是直棱柱侧＝，底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．柱体的体积公式是柱体＝.．如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，则该棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面积公式是正棱锥侧＝′；锥体的体积公式为锥体＝.．正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是正＝(＋′)·′；台体的体积公式是台体＝(＋＋′)．棱台侧．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；圆柱的侧面积公式是圆柱侧＝＝π，圆锥的侧面积公式为圆锥侧＝＝π，圆台的侧面积公式为圆台侧＝(＋′)＝π(＋′).．若球的半径为，则球的体积＝π，球的表面积＝π.概念方法微思考．如何求旋转体的表面积？提示求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和．．如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()多面体的表面积等于各个面的面积之和．(√)()台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)()锥体的体积等于底面积与高之积．(×)()已知球的半径为，其内接正方体的边长为，则＝.(√)()圆柱的一个底面积为，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是π.(×)题组二教材改编．[]把个半径为的铁球熔成一个底面半径为的圆柱，则圆柱的高为．答案解析设圆柱的高为，则有π＝×π，∴＝.．[]已知正三棱柱的底面边长为，侧面的对角线长为，则这个正三棱柱的侧面积是.答案解析因为正三棱柱的高为＝()，所以侧面积为××＝()．．[]一个正六棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为.答案解析体积＝＝××××××＝()．题组三易错自纠．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．答案π解析由题意可知正方体的棱长为，其体对角线为即为球的直径，所以球的表面积为π＝()π＝π.。
2020版高考数学新增分大一轮讲义 习题第九章 平面解析几何 9.3 Word版含解析
§圆的方程考情考向分析以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准式(－)＋(－)＝(>)圆心为(，)半径为一般式＋＋＋＋＝充要条件：＋－>圆心坐标：半径＝概念方法微思考．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：()根据题意，选择标准方程或一般方程．()根据条件列出关于，，或，，的方程组．()解出，，或，，代入标准方程或一般方程．．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(－)＋(－)＝，点(，)()点在圆上：(－)＋(－)＝；()点在圆外：(－)＋(－)>；()点在圆内：(－)＋(－)<.题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()方程(＋)＋(＋)＝(∈)表示圆心为(，)，半径为的圆．(×)()已知点(，)，(，)，则以为直径的圆的方程是(－)(－)＋(－)(－)＝.(√) ()方程＋＋＋＋＋＝表示圆的充要条件是＝≠，＝，＋－>.(√)()方程＋＋＝一定表示圆．(×)()若点(，)在圆＋＋＋＋＝外，则＋＋＋＋>.(√)题组二教材改编．[练习]圆＋－＋＝的圆心坐标是．答案(，－)解析由(－)＋(＋)＝，知圆心坐标为(，－)．．[习题()]已知圆经过()，()两点，圆心在轴上，则圆的标准方程为．答案(－)＋＝解析设圆心坐标为()，。
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.6 第1课时含解析
§9.6 椭 圆考情考向分析 椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以填空题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．1．椭圆的概念平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M |MF 1＋MF 2＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数：(1)若a >c ，则集合P 为椭圆；(2)若a ＝c ，则集合P 为线段；(3)若a <c ，则集合P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1 (a >b >0)x 2a 2y 2b 2＋＝1(a >b >0)y 2a 2x 2b 2图形范围－a ≤x ≤a－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a性质对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点坐标A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距F 1F 2＝2c 离心率e ＝∈(0,1)caa ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 23.椭圆的第二定义平面内动点P 到定点F 的距离和它到定直线l (点F 不在直线l 上)的距离的比是常数e (0<e <1)的点的轨迹是椭圆．定点F 是焦点，定直线l 是准线，常数e 是离心率．概念方法微思考1．在椭圆的定义中，若2a ＝F 1F 2或2a <F 1F 2，动点P 的轨迹如何？提示 当2a ＝F 1F 2时动点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <F 1F 2时动点P 的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示 由e ＝＝知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大，椭ca1－(b a )2圆越圆．3．点和椭圆的位置关系有几种？如何判断．提示 点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系有3种(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔＋<1.x 20a 2y 2b 2(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔＋＝1.x 20a 2y 20b 2(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔＋>1.x 20a 2y 20b2题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ )(3)＋＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × )y 2a 2x 2b 2(4)＋＝1(a >b >0)与＋＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ )x 2a 2y 2b 2y 2a 2x 2b 2题组二 教材改编2．[P37T4]椭圆＋＝1的焦距为4，则m ＝________.x 210－m y 2m －2答案 4或8解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0，10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8.∴m ＝4或8.3．[P37T5]过点A (3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为________________．x 29y 24答案 ＋＝1x 215y 210解析 由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10或λ＝－x 2λ＋5y 2λ9λ＋54λ2(舍去)，∴所求椭圆的方程为＋＝1.x 215y 2104．[P57T6]设椭圆＋＝1(m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到其右焦点的距离为1，x 2m 2y 2m 2－1则点P 到其右准线的距离为________．答案 2解析 ∵m 2>m 2－1，∴m 2＝a 2，m 2－1＝b 2，∴c 2＝1.又3＋1＝2a ，∴a ＝2，∴e ＝，12∴点P 到其右准线的距离d ＝＝2.1e 题组三 易错自纠5．若方程＋＝1表示椭圆，则m 的取值范围是________．x 25－m y 2m ＋3答案 (－3,1)∪(1,5)解析 由方程表示椭圆知Error!解得－3<m <5且m ≠1.6．若椭圆＋＝1的离心率为，则k 的值为________．x 29y 24＋k 45答案 －或211925解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝，由＝，即＝，得k ＝－；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，5－k c a 455－k 3451925则c ＝，由＝，即＝，解得k ＝21.k －5c a 45k －54＋k 457．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，过F 2的直线lx 2a 2y 2b 233交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为4，则椭圆C 的方程为________．3答案 ＋＝1x 23y 22解析 ∵△AF 1B 的周长为4，∴4a ＝4，33∴a ＝，∵离心率为，∴c ＝1，333∴b ＝＝，∴椭圆C 的方程为＋＝1.a 2－c 22x 23y 228．(2019·江苏南京外国语学校月考)已知点A (1,2)在椭圆＋＝1内，F 是右焦点，P 是椭x 225y 29圆上动点，则PA ＋PF 的最小值是________．54答案 214解析 根据椭圆的第二定义得到＝＝，PF d c a 45其中d 表示P 点到右准线的距离记为PD ，故PA ＋PF ＝PA ＋d ，54当且仅当P ，A 和D 三点共线时，值最小，右准线方程为x ＝，254代入得到PA ＋PF 的最小值是.54214第1课时 椭圆及其性质题型一 椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．答案 椭圆解析 由条件知PM ＝PF ，∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF .∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外x 23一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案 43解析 由椭圆的方程得a ＝.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得BA ＋BF ＝CA ＋3CF ＝2a ，所以△ABC 的周长为BA ＋BC ＋CA ＝BA ＋BF ＋CF ＋CA ＝(BA ＋BF )＋(CF ＋CA )＝2a ＋2a ＝4a ＝4.33．椭圆＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个x 24交点为P ，则PF 2＝________.答案 72解析 F 1(－，0)，∵PF 1⊥x 轴，3∴P ，∴PF 1＝，(－3，±12)12∴PF 2＝4－＝.12724．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则PA ＋PF 的最大值为________，最小值为________．答案 6＋ 6－22解析 椭圆方程化为＋＝1，x 29y 25设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)，∴AF 1＝，∴PA ＋PF ＝PA －PF 1＋6，2又－AF 1≤PA －PF 1≤AF 1(当P ，A ，F 1共线时等号成立)，∴PA ＋PF ≤6＋，PA ＋PF ≥6－.22思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二 椭圆的标准方程命题点1 定义法例1 (1)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________________．答案 ＋＝1x 23y 22解析 由题意得PA ＝PB ，∴PA ＋PF ＝PB ＋PF ＝r ＝2>AF ＝2，∴点P 的轨迹是以A ，F 3为焦点的椭圆，且a ＝，c ＝1，∴b ＝，∴动点P 的轨迹方程为＋＝1.32x 23y 22(2)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是________________．答案 ＋＝1(y ≠0)x 225y 29解析 由AC ＋BC ＝18－8＝10>8知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线)．设其方程为＋＝1(a >b >0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C 三点不共线知y ≠0.x 2a 2y 2b 2故顶点C 的轨迹方程是＋＝1(y ≠0)．x 225y 29命题点2 待定系数法例2 如图，设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E y 2b 2于A ，B 两点．若AF 1＝3BF 1，AF 2⊥x 轴，求椭圆E 的方程．解 因为AF 2⊥x 轴，所以AF 2＝＝b 2，设点A (c ，b 2)，b 2a又AF 1＝3BF 1，所以点B 的坐标为，(－53c ，－13b 2)将其代入椭圆方程，联立方程组Error!解得c 2＝，b 2＝，1323所以椭圆E 的方程为x 2＋y 2＝1.32思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．跟踪训练1 (1)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且椭圆G 上一32点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．答案 ＋＝1x 236y 29解析 依题意设椭圆G 的方程为＋＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，x 2a 2y 2b 2∴2a ＝12，∴a ＝6，∵椭圆的离心率为，∴e ＝＝＝，即 ＝，解得b 2＝9，∴32c a 1－b 2a 2321－b 23632椭圆G 的方程为＋＝1.x 236y 29(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．35y 225x 29答案 ＋＝1y 220x 24解析 ∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，y 225x 29∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.①又点(，－)在所求椭圆上，35∴＋＝1，(－5)2a 2(3)2b 2即＋＝1.②5a 23b2由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24题型三 椭圆的几何性质命题点1 求离心率的值(或范围)例3 (1)设椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，x 2a 2y 2b 2∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案 33解析 方法一 如图，在Rt △PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，F 1F 2＝2c ，∴PF 1＝＝，2c cos 30°43c3PF 2＝2c ·tan 30°＝.23c3∵PF 1＋PF 2＝2a ，即＋＝2a ，可得c ＝a .43c 323c 33∴e ＝＝.ca 33方法二 (特殊值法)：在Rt △PF 2F 1中，令PF 2＝1，∵∠PF 1F 2＝30°，∴PF 1＝2，F 1F 2＝.3∴e ＝＝＝.2c 2a F 1F 2PF 1＋PF 233(2)椭圆＋＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，OP ＝x 2a 2y 2b 2a ，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等比数列，则椭圆的离心率为________．24答案 64解析 设P (x ，y )，则OP 2＝x 2＋y 2＝，a 28由椭圆定义得，PF 1＋PF 2＝2a ，∴PF ＋2PF 1·PF 2＋PF ＝4a 2，212又∵PF 1，F 1F 2，PF 2成等比数列，∴PF 1·PF 2＝F 1F ＝4c 2，2则PF ＋PF ＋8c 2＝4a 2，212∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即＋5c 2＝2a 2，整理得＝，a 28c 2a 238∴椭圆的离心率e ＝＝.ca 64(3)已知椭圆＋＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －cx 2a 2y 2b2为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于(a －c )，则32椭圆的离心率e 的取值范围是__________．答案 [35，22)解析 因为PT ＝(b >c )，PF 2－(b －c )2而PF 2的最小值为a －c ，所以PT 的最小值为.(a －c )2－(b －c )2依题意，有≥(a －c )，(a －c )2－(b －c )232所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.①又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2，所以2e 2<1.②联立①②，得≤e <.3522命题点2 求参数的值(或范围)例4 设A ，B 是椭圆C ：＋＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，x 23y 2m 则m 的取值范围是________．答案 (0,1]∪[9，＋∞)解析 方法一 设椭圆焦点在x 轴上，则0<m <3，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)．故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝＝.3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x |y |23|y |x 2＋y 2－3又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－，3且由＋＝1，可得x 2＝3－，x 23y 2m 3y 2m 则＝＝－.23|y |3－3y 2m ＋y 2－323|y |(1－3m)y23解得|y |＝.2m3－m又0<|y |≤，即0<≤，m 2m3－mm 结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9.则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．方法二 当0<m <3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，ab 33m 3解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m ≥9.ab 3m 33故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．命题点3 椭圆的第二定义例5 (2018·南通、泰州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＋＝1(a >b >0)的x 2a 2y 2b 2离心率为，焦点到相应准线的距离为1.22(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝于点Q ，求＋的值．21OP 21OQ 2解 (1)由题意得＝，－c ＝1，ca 22a 2c 解得a ＝，c ＝1，b ＝1.2所以椭圆的标准方程为＋y 2＝1.x 22(2)由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝，OQ ＝，22所以＋＝1.1OP 21OQ 2当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx .由Error!得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝，22k 2＋1所以y 2＝，所以OP 2＝.2k 22k 2＋12k 2＋22k 2＋1因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－x .1k 由Error!得x ＝－k ，2所以OQ 2＝2k 2＋2.所以＋＝＋＝1.1OP 21OQ 22k 2＋12k 2＋212k 2＋2综上可知，＋＝1.1OP 21OQ 2思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系．②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．跟踪训练2 (1)已知椭圆＋＝1上一点P 到右准线的距离为10，则点P 到该椭圆的左焦点x 225y 216的距离为________．答案 4解析 设F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 到右准线的距离为d ＝10，由椭圆的第二定义知，＝＝，解得PF 2＝6.又PF 1＋PF 2＝2a ＝10，解得PF 1＝4，故点P 到椭圆左焦点PF 2d c a 35的距离为4.(2)已知椭圆＋＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，x 24y 2b 2若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．答案 3解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知＝3.2b 2a所以b 2＝3，即b ＝.3(3)(2018·阜阳模拟)已知F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点Px 2a 2y 2b 2使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是________．答案 [22，1)解析 ∵F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴离心率0<e <1，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，x 2a 2y 2b 2c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组Error!整理得x 2＝(2c 2－a 2)·≥0，解得e ≥.a 2c 222又0<e <1，∴≤e <1.22(4) (2018·苏北四市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：＋x 2a 2＝1(a >b >0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是y 2b 2________．答案 5－12解析 因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以＝(c ，－b )，＝(a ，b )．B 2F —→ B 1A —→因为B 2F ⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝(负值舍去)．－1＋521．设F 1，F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，OM ＝3，x 225y 216则P 点到椭圆左焦点的距离为________．答案 4解析 由题意知OM ＝PF 2＝3，∴PF 2＝6，12∴PF 1＝2a －PF 2＝10－6＝4.2．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭14圆的离心率为________．答案 12解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝×2b ＝b .1412在Rt △FOB 中，OF ×OB ＝BF ×OD ，即cb ＝a ·b ，解得a ＝2c ，故椭圆的离心率e ＝＝.12c a 123．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则∠F 1PF 2的大x 29y 22小为________．答案 120°解析 ∵椭圆＋＝1中，a 2＝9，b 2＝2，x 29y 22∴a ＝3，b ＝，c ＝＝，2a 2－b 27可得F 1(－，0)，F 2(，0)．77根据椭圆的定义，得PF 1＋PF 2＝2a ＝6，结合PF 1＝4，得PF 2＝6－PF 1＝2.在△F 1PF 2中，根据余弦定理，得F 1F ＝PF ＋PF －2PF 1·PF 2cos ∠F 1PF 2，2212∴(2)2＝42＋22－2×4×2cos ∠F 1PF 2，7解得cos ∠F 1PF 2＝－.12结合三角形的内角的范围，可得∠F 1PF 2＝120°.4．设F 1，F 2分别为椭圆＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|＋|＝2，则∠F 1PF 2＝x 24PF 1→ PF 2→3________.答案 π2解析 因为＋＝2，O 为坐标原点，|＋|＝2，所以PO ＝，又OF 1＝OF 2PF 1—→ PF 2—→ PO → PF 1—→ PF 2—→33＝，3所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝.π25．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足·＝9，则x 216y 212PF 1—→ PF 2—→PF 1·PF 2的值为________．答案 15解析 由椭圆方程＋＝1，可得c 2＝4，所以F 1F 2＝2c ＝4，而＝－，所以||＝|x 216y 212F 1F 2—→ PF 2—→ PF 1—→ F 1F 2—→－|，两边同时平方，得||2＝||2－2·＋||2，所以||2＋||2＝||2PF 2—→ PF 1—→ F 1F 2—→ PF 1—→ PF 1→ PF 2—→ PF 2—→ PF 1—→ PF 2—→ F 1F 2—→＋2·＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝2a ＝8，(PF 1＋PF 2)2＝PF ＋PF ＋PF 1—→ PF 2—→ 2122PF 1·PF 2＝64，所以34＋2PF 1·PF 2＝64，所以PF 1·PF 2＝15.6．(2018·江苏如皋中学月考)如图，点A 是椭圆＋＝1(a >b >0)的右顶点，过椭圆中心的直x 2a 2y 2b 2线交椭圆于B ，C 两点，满足BC ＝2AB ，AB ⊥BC .则该椭圆的离心率为________．答案 63解析 因为BC 过椭圆的中心，所以BC ＝2OC ＝2OB ，又AB ⊥BC ，BC ＝2AB ，所以△OAB 是以角B 为直角的等腰直角三角形，则A (a,0)，B ，C ，(a 2，－a 2)(－a 2，a2)所以＋＝1，则a 2＝3b 2，(a2)2a 2(－a 2)2b 2所以c 2＝2b 2，e ＝.637．设F 1，F 2为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两x 2a 2y 2b 2点，若△F 2AB 是面积为4的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________．3答案 ＋＝1x 29y 26解析 ∵△F 2AB 是面积为4的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代3入椭圆方程，可求得F 1A ＝F 1B ＝.b 2a又F 1F 2＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴＝×2c .①b 2a 33又＝×2c ×＝4，②2F AB S 122b 2a 3a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3，∴椭圆C 的方程为＋＝1.x 29y 268．已知A ，B ，F 分别是椭圆x 2＋＝1(0<b <1)的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF 的外y 2b 2接圆的圆心坐标为(p ，q )．若p ＋q >0，则椭圆的离心率的取值范围为______________．答案 (0，22)解析 如图所示，线段FA 的垂直平分线为x ＝，线段AB 的中点为.1－1－b 22(12，b 2)因为k AB ＝－b ，所以线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝，1b 所以线段AB 的垂直平分线方程为y －＝.b 21b (x －12)把x ＝＝p 代入上述方程可得1－1－b 22y ＝＝q .b 2－1－b 22b因为p ＋q >0，所以＋>0，1－1－b 22b 2－1－b 22b化为b >.1－b 2又0<b <1，解得<b 2<1，12即－1<－b 2<－，12所以0<1－b 2<，12所以e ＝＝c ＝∈.c a 1－b 2(0，22)9．(2018·江苏如皋中学月考)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率为，过右焦点F 作斜率为k x 2a 2y 2b 223的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，若＝2，则k ＝________.AF → FB →答案 ±3解析 设m 为椭圆的右准线，过A ，B 作AA 1，BB 1垂直于m ，A 1，B 1为垂足，过B 作BE ⊥AA 1于E ，根据椭圆的第二定义，得AA 1＝，BB 1＝，AF e BF e ∵＝2，∴cos ∠BAE ＝＝＝＝，AF → FB → AE AB BF e 3BF 13e 12∴tan ∠BAE ＝.∴k ＝±.3310.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③<；④c 1a 2>a 1c 2.c 1a 1c 2a2其中正确式子的序号是________．答案 ②④解析 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝PF ，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，0<<，即0<<，从而c 1a 2>a 1c 2，>，即④式正确，③a 1－c 1c 1a 2－c 2c 2a 1c 1a 2c 2c 1a 1c 2a 2式不正确．11．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、32焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为＋＝1，m >0.x 2m y 2mm ＋3∵m －＝>0，∴m >，m m ＋3m (m ＋2)m ＋3m m ＋3∴a 2＝m ，b 2＝，c ＝＝.m m ＋3a 2－b 2m (m ＋2)m ＋3由e ＝，得＝，∴m ＝1.32m ＋2m ＋332∴椭圆的标准方程为x 2＋＝1，∴a ＝1，b ＝，c ＝.y 2141232∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1，F 2，四个(－32，0)(32，0)顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1，B 2.(0，－12)(0，12)12．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2x 2a 2y 2b2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆C 的短半轴长b 有关．(1)解 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·2＝4a 2－3a 2＝a 2，(m ＋n 2)当且仅当m ＝n 时取等号，∴≥，∴e ≥.c 2a 21412又∵0<e <1，∴离心率e 的取值范围是.[12，1)(2)证明 由(1)知4c 2＝4a 2－3mn ，在椭圆中a 2－c 2＝b 2，∴mn ＝b 2，43∴＝mn sin 60°＝b 2，12F PF S 1233即△F 1PF 2的面积只与短半轴长b 有关．13．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为________．答案 －13解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，∴∠F 1MF 2＝90°，MF 2＝c ，∵F 1F 2＝2c ，∴MF 1＝c ，由椭圆定义可得MF 1＋MF 2＝c ＋c ＝2a ，∴椭圆的离心率e ＝＝＝－1.33c a 21＋3314．已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率等于，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端x 2a 2y 2b 213点的任意一点，则在△ABC 中，＝________.sin A ＋sin B sin C答案 3解析 在△ABC 中，由正弦定理得＝，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆sin A ＋sin B sin C CB ＋CA AB定义知CA ＋CB ＝2a，而AB ＝2c ，所以＝＝＝3.sin A ＋sin B sin C 2a 2c 1e 15．椭圆C 1：＋＝1的离心率为e 1，双曲线C 2：－＝1的离心率为e 2，其中，a >b >0，x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2b 2＝，直线l ：x －y ＋3＝0与椭圆C 1相切，则椭圆C 1的方程为________．e 1e 233答案 ＋＝1x 26y 23解析 椭圆C 1：＋＝1的离心率e 1＝＝，x 2a 2y 2b 2c 1a 1－b 2a2双曲线C 2：－＝1的离心率e 2＝＝，x 2a 2y 2b 2c 2a 1＋b 2a2由＝，得＝，e 1e 2331－b 2a21＋b 2a 233则a ＝b ，由Error!2得3x 2＋12x ＋18－2b 2＝0，由Δ＝122－4×3×(18－2b 2)＝0，解得b 2＝3，则a 2＝6，∴椭圆C 1的方程为＋＝1.x 26y 2316．已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使x 2a 2y 2b 2＝，求该椭圆的离心率的取值范围．1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1a 2c 2解 由＝得＝.又由正弦定理得＝，所以＝，1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1a 2c 2c a sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2PF 1PF 2PF 1PF 2c a 即PF 1＝PF 2.又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 2＝，PF 1＝，因为PF 2是c a 2a 2a ＋c 2ac a ＋c△PF 1F 2的一边，所以有2c －<<2c ＋，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －2ac a ＋c 2a 2a ＋c 2ac a ＋c1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为(－1,1)．2。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第八章第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等解析根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.答案 B2.如图所示的几何体是棱柱的有()A.②③⑤B.③④⑤C.③⑤D.①③解析由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱.答案 C3.(2017·衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析易知侧视图的投影面为矩形，又AF的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，∴该几何体的侧视图为选项D.答案 D4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，该几何体的侧视图为()解析由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD，且EC投影在面P AD上且为实线，点E的投影点为P A的中点，故B正确.答案 B5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.62B.4 2C.6D.4解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝（42）2＋22＝6.答案 C6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A.①③B.①④C.②④D.①②③④解析 由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确. 答案 A7.(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18B.17C.16D.15解析 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16.剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.因此，V 1V 2＝15.答案 D8.(2017·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD .所以该三棱锥的侧视图可能为选项D. 答案 D 二、填空题9.(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 面积为________.解析 因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2. 答案 2 210.(2017·兰州模拟)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________. 解析 由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面积相等为 2. 答案211.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________.解析 由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中P A ⊥平面ABC ，M 为AC 的中点，且BM ⊥AC .故该三棱锥的最长棱为PC.在Rt△P AC中，PC＝P A2＋AC2＝22＋22＝2 2.答案2 212.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________.解析三棱锥P－ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案 113.在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②解析如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②.答案 D14.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()A.4B.5C.3 2D.3 3解析 由三视图知几何体的直观图如图所示，计算可知线段AF 最长，且AF ＝BF 2＋AB 2＝3 3.答案 D15.(2017·长郡中学月考)已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为________.解析 如图，过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′，与x ′轴交于点D ′.则C ′D ′＝32asin 45°＝62a . 又C ′D ′是原△ABC 的高CD 的直观图，所以CD ＝6a . 故S △ABC ＝12AB ·CD ＝62a 2. 答案 62a216.(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.解析 由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′.故该四棱柱的体积V ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32. 答案 32。
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第十二章 12.2 几何概型含解析
§12.2 几何概型最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率.2.初步体会几何概型的意义.3.通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程．1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式P (A )＝.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝作为所求概率的近似值．MN 概念方法微思考1．古典概型与几何概型有什么区别？提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ )(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝.( × )19题组二 教材改编2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A. B. C. D ．1121314答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.133．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝，P (D )＝，38282613∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．4.如图所示的正方形及其内部表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A. B.π4π－22C. D.π64－π4答案 D解析 如题干图所示，区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D 内到坐 AC 标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，4－π4故选D.题组三 易错自纠5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则m ＝________.56答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得＝，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．2m 656当2<m <4时，由题意得＝，解得m ＝3.故m ＝3.m －(－2)6566．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________．答案 23解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2(cm 2)．由12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12.在数轴上表示，如图所示．由几何概型概率计算公式，得所求概率为＝.81223题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 在等腰Rt △ABC 中，直角顶点为C .(1)在斜边AB 上任取一点M ，求|AM |<|AC |的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求|AM |<|AC |的概率．解 (1)如图所示，在AB 上取一点C ′，使|AC ′|＝|AC |，连接CC ′.由题意，知|AB |＝|AC |.2由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB .所以P (|AM |<|AC |)＝＝＝.|AC ′||AB ||AC |2|AC |22(2)由于在∠ACB 内以C 为端点任作射线CM ，所以CM 等可能分布在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (|AM |<|AC |)＝＝＝.∠ACC ′∠ACB π－π42π234思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．跟踪训练1 (1)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.13122334答案 B解析 如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P ＝＝，故选B.10＋104012(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧3，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________． DE答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为＝＝.∠CAB ∠DAB 30°90°13题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与面积有关的几何概型的计算例2 (2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.14π812π4答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝S 圆＝，所以12π2由几何概型知，所求概率P ＝＝＝.S 黑S 正方形π24π8命题点2 随机模拟例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32答案 C解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为＝0.68.由几何概型的概300－96300率计算公式，可得＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32.S 椭圆S矩形(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．答案 0.4解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为＝0.4.820思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．跟踪训练2 (2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.B. C. D.4n m 2n m 4m n 2m n答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，π41mn∴π＝，故选C.4mn题型三 与体积有关的几何概型例4 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M —ABCD 的体积小于的概率为________．16答案 12解析 过点M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M —ABCD 的高，显然点M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M —ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M —ABCD 的体积等于，只要M 在截面以下即可小于，当V M —ABCD ＝时，即×1×1×h ＝，解得h ＝，即161616131612点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝＝.1×1×121×1×112思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A. B.π C. D.6π323π233π答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝，球的体积V 2＝π×3＝π，3243(32)32则此点落在正方体内部的概率P ＝＝.V 1V 2233π1．在区间[0，π]上随机地取一个数x ，则事件“sin x ≤”发生的概率为( )12A. B. C. D.34231213答案 D解析 在[0，π]上，当x ∈∪时，sin x ≤，故概率为＝.[0，π6][5π6，π]12π3π132．在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则实数m 为( )12A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 区间[－1,3]的区间长度为4.不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]，当1<m ≤3时，由题意得＝，解得m ＝1(舍)，m ＋1412当0<m ≤1时，由＝，则m ＝1.故m ＝1.2m 4123．(2018·益阳市、湘潭市调考)若正方形ABCD 的边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于( )A.B. C. D.132783818答案 D解析 设M ，N 分别为BC ，CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段CM ，CN (不包括M ，N )上时，AE 的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM ＋CN ＝2，所以AE 的长度大于5的概率为＝，故选D.216184．(2018·广东七校联考)在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )π3A ．2－B ．4－33π63πC ．－－D.1332π23答案 B解析 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24＝4πr 2－6r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概(16πr 2－34r 2)3率为＝4－，故选B.S S ′63π5．(2018·石家庄模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随PB → PC → PA → 机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A. B. C. D.14132312答案 D解析 以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则＋＝，因为＋＋2＝0，PB → PC → PD → PB → PC → PA →所以＋＝－2，得＝－2，PB → PC → PA → PD → PA →由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的，12所以S △PBC ＝S △ABC ，12所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为＝，故选D.S △PBC S △ABC 126．(2018·惠州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图所示是赵爽的弦图．弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在3黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．134答案 D解析 设勾为a ，则股为a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为a －a ，所以题图中大正33方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为3＝1－，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为×1 000≈134.(3－1)2432(1－32)7．(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为______．答案 34解析 由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴<3，解得－<k <，由几|5k |k 2＋13434何概型得P ＝＝.34－(－34)1－(－1)348．在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．答案 33解析 因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“区域”是长度．设BC ＝a ，则所求概率P ＝＝.33a a 339.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______．答案 16解析 因为＝＝AA 1×S △ABD 1A A BD V -1A ABD V -13＝×AA 1×S 矩形ABCD ＝V 长方体，1616故所求概率为＝.V 长方体1610．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程＋＝1表示焦点在x 轴上x 2m 2y 2n2的椭圆的概率是________．答案 12解析 ∵方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .x 2m 2y 2n 2如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分(不包括m ＝n 这条直线)的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为.1211．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．故满足a ·b ＝－1的概率为＝.336112(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}．满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图象如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－×2×4＝21，12故满足a ·b <0的概率为.212512．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝＝.506.5576 1 0131 15213．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为________．12答案 34解析 设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1，如图所示，则总事件所占的面积为1.记这两点之间的距离小于为事件A ，则A ＝Error!，如图中阴影部分所示，12空白部分所占的面积为2×××＝，所以所求两点之间的距离小于的概率P (A )＝＝.12121214121－1413414．向圆C ：(x －2)2＋(y －)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________．3答案 －1634π解析 如图所示，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，3所以∠ACB ＝60°，所以S 圆C ＝π×22＝4π，所以S 弓形ADB ＝－×2×＝－60°×π×22360°1232π3，所以向圆C 内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝＝－.32π3－34π1634π15．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥”的概率，p 2为事件“|x －y |≤”1313的概率，p 3为事件“xy ≤”的概率，则( )13A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1答案 B解析 因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S 1，13事件“|x －y |≤”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S 2，事件“xy ≤”表示的平面区1313域如图(3)阴影部分(含边界)S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p 2<p 3<p 1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率．解 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝＋×1×1－＝1，π412(π4－12×1×1)所以整个图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB ＝×π×22＝π，14所以P ＝.2π。
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第九章 平面解析几何 9.3含解析
§9.3 圆的方程考情考向分析 以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆圆心为(a ，b )标准式(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)半径为r充要条件：D 2＋E 2－4F >0圆心坐标：(－D 2，－E2)方程一般式x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0半径r ＝12D 2＋E 2－4F 概念方法微思考1．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示 点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( × )(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( × )2020(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )题组二 教材改编2．[P111练习T4]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．答案 (2，－3)解析 由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．3．[P111习题T1(3)]已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________．答案 (x －2)2＋y 2＝10解析 设圆心坐标为(a ,0)，易知＝，(a －5)2＋(－1)2(a －1)2＋(－3)2解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为，10∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.题组三 易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)22解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y －1)2＝－2.(x ＋m 2)m 24由其表示圆可得－2>0，解得m <－2或m >2.m 24225．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．答案 －1<a <1解析 ∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1.6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝1解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，可设圆心为(a ,1)(a >0)，又圆与直线4x －3y ＝0相切，∴＝1，解得a ＝2或a ＝－(舍去)．|4a －3|512∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.题型一 圆的方程例1 求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程．解 方法一 设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ，∴k CB ＝.(－D 2，－E 2)6＋E28＋D2∵圆C 与直线l 相切，∴k CB ·k l ＝－1，即·＝－1.①6＋E 28＋D 2(－13)又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③联立①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.方法二 设圆的圆心为C ，则CB ⊥l ，可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由A (－2，－4)，B (8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)．又k AB ＝＝1，6＋48＋2∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.②由①②联立，解得Error!即圆心坐标为.(112，－32)∴所求圆的半径r ＝＝，(112－8)2＋(－32－6)21252∴所求圆的方程为2＋2＝.(x －112)(y ＋32)1252思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练1 (1)(2018·如皋模拟)已知圆C 过点(2，)，且与直线x －y ＋3＝0相切于点(0，33)，则圆C 的方程为________________．3答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ，则Error!解得a ＝1，b ＝0，则r ＝2，即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为2，则该7圆的方程为______________________．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为2，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝，7|2a |2∴d 2＋()2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.7故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为，|a －b |2∴r 2＝＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①(a －b )22由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得Error!或Error!故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9，即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为，(－D 2，－E2)半径r ＝.12D 2＋E 2－4F 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心到直线y ＝x 的距离为(－D 2，－E2)d ＝，|－D 2＋E 2|2由已知得d 2＋()2＝r 2，7即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．②又圆心在直线x －3y ＝0上，(－D 2，－E2)∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得Error!或Error!故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y 轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得t ＝－1或t ＝－－1.|2＋(－3)－t |222∴x ＋y 的最大值为－1，最小值为－－1.22引申探究1．在本例的条件下，求的最大值和最小值．yx解 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的y x y x 直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，|2k ＋3|k 2＋1解得k ＝－2＋或k ＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.233233y x 2332332．在本例的条件下，求的最大值和最小值．x 2＋y 2＋2x －4y ＋5解 ＝，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1,2)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5(x ＋1)2＋(y －2)2的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为，34∴的最大值为＋1，最小值为－1.x 2＋y 2＋2x －4y ＋53434思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②y －bx －a形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练2 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)的最大值和最小值；yx (2)y －x 的最大值和最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．3(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k ，即y ＝kx .y x yx当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时＝，解得k ＝±.|2k －0|k 2＋133所以的最大值为，最小值为－.yx33(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，其在y 轴上的截距b 取得最大值和最小值，此时＝，|2－0＋b |23解得b ＝－2±.所以y －x 的最大值为－2＋，最小值为－2－.666(3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，(2－0)2＋(0－0)2所以x 2＋y 2的最大值是(2＋)2＝7＋4，33x 2＋y 2的最小值是(2－)2＝7－4.33题型三 与圆有关的轨迹问题例3 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解 (1)方法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝，k BC ＝，所以·＝－1，y x ＋1y x －3y x ＋1yx －3化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知CD ＝AB ＝2.12由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝，y ＝x 0＋32，y 0＋02所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练3 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为，(x 2，y2)线段MN 的中点坐标为.(x 0－32，y 0＋42)因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝，＝，x 2x 0－32y 2y 0＋42整理得Error!又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，(－95，125)(－215，285)所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点和.(－95，125)(－215，285)1．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________．答案 (－2，－4)解析 由题意得a 2＝a ＋2，a ＝－1或2.当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，2＋(y ＋1)2＝－不表示圆．(x ＋12)542．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________．答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为2＋(y ＋1)2＝－k 2＋1，所以当k ＝0时，圆C 的面积最大，(x ＋k 2)34此时圆心C 的坐标为(0，－1)．3．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋2＝(y ＋32)254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以＝|1－m |，22＋m 2解得m ＝－.32所以圆C 的方程为(x －2)2＋2＝.(y ＋32)2544．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是______________．答案 (x －1)2＋(y ＋2)2＝25解析 设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.5．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为________．答案 (x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1解析 到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组Error!解得Error!又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.6．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________________．答案 x 2＋y 2－10y ＝0解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.7．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝x 对称的圆的方程是________________．33答案 (x －1)2＋(y －)2＝43解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(a ，b )，33则有Error!解得a ＝1，b ＝，3从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －)2＝4.38．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a 的取值范围是2________________．答案 [－3，－1]∪[1,3]解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|a |，半径r ＝2，22由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为，2得2－≤|a |≤2＋，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.22222∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．9．平面内动点P 到两点A ，B 的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝，则此阿波罗尼斯圆的方程为____________________．12答案 x 2＋y 2＋x ＋4＝0203解析 由题意，设P (x ，y )，则＝，(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 212化简可得x 2＋y 2＋x ＋4＝0.20310．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________．答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x ＋y ＝4，连线中点坐标为(x ，y )，2020则Error!解得Error!代入x ＋y ＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.202011．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，(1)求的最大值和最小值；y x(2)求x ＋y 的最大值和最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可变形为(x －3)2＋(y －3)2＝4，则圆C 的半径为2.(1)(转化为斜率的最值问题求解)表示圆上的点P 与原点连线的斜率，显然当PO (O 为原点)与圆C 相切时，斜率最大或最小，y x 如图所示．设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于圆C 的半径，可得＝2，解得k ＝.|3k －3|k 2＋19±2145所以的最大值为，最小值为.y x 9＋21459－2145(2) (转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得＝2，|3＋3－b |12＋12即|b －6|＝2，解得b ＝6±2，22所以x ＋y 的最大值为6＋2，最小值为6－2.2212．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足PA ＝2PB .(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求QM 的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则＝2.(x ＋3)2＋y 2(x －3)2＋y 2化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此方程即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题意知直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，则QM ＝＝，CQ 2－CM 2CQ 2－16当QM 最小时，CQ 最小，此时CQ ⊥l 1，CQ ＝＝4，|5＋3|22则QM 的最小值为＝4.32－1613．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝PB 2＋PA 2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．答案 74解析 设P (x 0，y 0)，d ＝PB 2＋PA 2＝x ＋(y 0＋1)2＋x ＋(y 0－1)2＝2(x ＋y )＋2.x ＋y 为圆上任202020202020一点到原点距离的平方，∴(x ＋y )max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.202014．已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为，且圆C 被x 55轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为__________________________．答案 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知Error!∴Error!或Error!故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.15．若圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，则＋的最小值是2a 6b________．答案 323解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39，∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a －6b ＋6＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴＋＝(a ＋3b )2a 6b 23(1a ＋3b )＝≥＝，23(1＋3a b ＋3b a ＋9)23(10＋2 3a b ·3b a )323当且仅当＝，即a ＝b 时取等号．3b a 3a b16．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2|x |－2|y |＝0，O 为坐标原点，求的最大值．x 2＋y 2解 表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．x 2＋y 2当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离(x －1)(y －1)的最大值为2×＝2，22当x <0，y <0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离的(x ＋1)(y ＋1)最大值为2×＝2，22当x ≥0，y <0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离的(x －1)(y ＋1)最大值为2×＝2，22当x <0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为2＋2＝2，曲线上的点到原点的距离的(x ＋1)(y －1)最大值为2×＝2.22综上可知，的最大值为2.x 2＋y 22。
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第6讲几何概型一、选择题1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为()A.45 B.35 C.25 D.15解析在区间[－2，3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的概率为P＝3 5.答案 B2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是()A.π3 B.π C.2π D.3π解析设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得SS′＝1 3，则S＝3π. 答案 D3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1”发生的概率为()A.34 B.23 C.13 D.14解析由－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1，得12≤x＋12≤2，解得0≤x≤32，所以事件“－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1”发生的概率为322＝34，故选A.答案 A4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π8解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4.答案 B5.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12B.1－π12C.π6D.1－π6解析 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部. ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π23＝1－π12.答案 B6.已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16B.13C.12D.23解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12. 答案 C7.设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4B.π－22C.π6D.4－π4解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.故选D. 答案 D8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( ) A.14B.316C.916D.34解析 由x ，y ∈[0，4]知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分. 易知A (4，2)，S 正方形＝16， S 阴影＝（2＋4）×42＝12.故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34. 答案 D9.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S－ABC的概率是( )A.78B.34C.12D.14解析 当点P 到底面ABC 的距离小于32时， V P －ABC ＜12V S －ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.答案 A10.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12π解析 因为复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )且|z |≤1，所以|z |＝错误!≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，即点(x ，y )在以(1，0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而y ≥x表示直线y ＝x 左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，即P ＝14·π·12－12×1×1π·12＝14－12π. 答案 D 二、填空题11.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________. 解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去. 当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.答案 312.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________. 解析 因为VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S矩形ABCD＝16V 长方体，故所求概率为VA －A 1BD V 长方体＝16.答案 1613.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.解析 直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于3.则|5k －0|k 2＋1＜3，解之得－34＜k ＜34，故所求事件的概率P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－（－1）＝34.答案 3414.(2017·唐山模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________.解析 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12－12×12＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1. 答案4π－1 15.在区间[－1，4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是( )A.12B.13C.25D.35解析 由2x －x 2≥14，得－1≤x ≤2.又－1≤x ≤4. ∴所求事件的概率P ＝2－（－1）4－（－1）＝35.答案 D16.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km ，大圆的半径为4 km ，卫星P 在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为( ) A.112B.512C.13D.15解析 根据几何概型公式，小于3 km 的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为P (A )＝5π12π＝512.答案 B17.已知平面区域D ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y ＝kx (k ∈R )下方的概率为( ) A.12B.13C.23D.34解析 由题设知，区域D 是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y ＝kx 将其面积平分，如图，故所求概率为12.答案 A18.(2017·长春质检)在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的概率为( )A.1πB.2πC.13D.23解析 由0≤sin x ≤12，且x ∈[0，π]， 解之得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π.故所求事件的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－56π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0π－0＝13.答案 C19.(2017·成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A.117B.217C.317D.417解析 ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217. 答案 B20.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.23B.13C.89D.π4解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13，故点P 到O 的距离大于1的概率为23. 答案 A21.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A.p 1<p 2<12 B.p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1D.p 1<12<p 2解析 (x ，y )构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x ＋y ≤12的区域如图1中阴影部分所示，所以p 1＝12×12×121×1＝18，满足xy ≤12的区域如图2中阴影部分所示，所以p 2＝S 1＋S 21×1＝12＋S 21＞12，所以p 1＜12＜p 2，故选D.答案 D22.在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( ) A.1－π8 B.1－π4 C.1－π2D.1－3π4解析 由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，可得Δ＝(2a 2)－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. 答案 B23.(2017·安徽江南名校联考)AB 是半径为1的圆的直径，M 为直径AB 上任意一点，过点M 作垂直于直径AB 的弦，则弦长大于3的概率是________. 解析 依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小于12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，因此相应的点M 应位于线段AB 上与圆心的距离小于12的地方，所求的概率等于12. 答案 1224.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________. 解析 由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.答案 12725.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×（12）2π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×（14）2π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316. 答案 131626.随机地向半圆0＜y ＜2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为________. 解析 由0＜y ＜2ax －x 2(a ＞0). 得(x －a )2＋y 2＜a 2. 因此半圆域如图所示.设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π.答案 12＋1π。