第四章——连续时间系统的S域分析
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第4章 连续时间系统的S 域分析
4.1拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一） 定义
拉氏正变换：
()()()0st
f t F s f t e dt ∞
-==⎡⎤⎣⎦⎰
拉氏逆变换：
()()1
12j st j F s F s e ds j σσπ+∞--∞
=⎡⎤⎣⎦⎰ （二） 常用函数的拉氏变换
[1] 阶跃函数
()0
1st
st
e u t e dt s
s
∞-∞
-==-
=⎡⎤⎣⎦⎰ [2] 指数函数
()0
1
a s t
at
at st
e e
e e dt a s
a s
∞-+∞
---⎡⎤==-
=
⎣⎦++⎰ （σ>a -） [3] n t 函数
[]21
t s =
2
32t s ⎡⎤=⎣⎦
1!n
n n t s +⎡⎤=⎣⎦
[4] 冲激函数
()()01st
t t e dt δδ-
∞
-==⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0000st st
t t t t e dt e δδ-∞---=-=⎡⎤⎣⎦⎰
4.2拉普拉斯逆变换
（一） 部分分式分解
[1]极点为实数，无重根
例 求下示函数的逆变换
()()()
32597
12s s s F s s s +++=
++ 解 用分子除以分母（长除法）可得
()()()
()
()()322222
22
222
597
1232277
3232322323323232
21
212
s s s F s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s +++=
++++++=++++++++++=++++++++=++-
++ 故有
()()()222t t f t t t e e δδ--'=++- ()0t ≥
[2]包含共轭复数极点
()()1
2cos sin t
A j
B A jB e A t B t s j s j αββαβαβ--⎡⎤+-+=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+-++⎣⎦
例 求下面函数的逆变换
()()()
22
3
252s F s s s s +=+++ 解
()()()()()()()()22
2222012
3
2523
1223
1212221212
s F s s s s s s s s s j s j s k k k s s j s j +=++++=
⎡⎤+++⎣⎦+=
+++-+=
++
++-++
下面分别求系数012,,k k k
()()
02
725
s k s F s =-=+=
()()
2112
3
12
1225
s j s j k s j s =-++-+=
=
+++ 也即12
,55
A B =-=
，故而可以得到其逆变换的函数表达式 ()()()27122cos 2sin 2555t t f t e e t t --⎡⎤
=
-+⎢⎥⎣⎦
()0t ≥ [3]多重极点
设有
()()()()
()()
()
()
()()
1111
12
1
111k k
k
k A s A s F s B s s p D s E S K K K s p D S s p s p -==
-=
+
+⋅⋅⋅++
---
现记
()()()11k
F S s p F s =-
则个系数的计算公式为：
()
()1
1
11111!i i i s p d K F s i ds --==-
例 求下示函数的逆变换
()()
3
21s F s s s -=
+
解 将()F s 写成展开式
()()
()
1311
12
2
3
2
111K K K K F s s s
s s =
+
+
+
+++ 容易求得：
()
20
2s K sF s ===-
为求出与重根有关的个系数，令
()()()3
12
1s F s s F s s
-=+=
故有
111
23S s K s
=--=
=
121
22S d s K ds s =--⎛⎫=
= ⎪⎝⎭
21321
1222S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪
⎝⎭
于是有
()()
()
3
2
3
2
22111F s s s
s s =
+
+
-+++ 所求逆变换为
()23
2222
t t t f t t e te e ---=++- ()0t ≥