第四章——连续时间系统的S域分析
04四章 连续时间信号与系统的S域分析
六、微分定理
1. 时域微分:（Differentiation in theTime Domain） f(t) F(s)
f (t ) sF ( s ) f (0) f (t ) s 2 F ( s ) sf (0) f (0) f
(n)
(t ) s F ( s ) s
• 解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
仅当>时，其收敛域
为<Re[s]<的一个带
状区域，如图所示。
例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t) • 解
第四章 连续系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换
4.2 4.3 4.4
拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换逆变换 复频域分析
一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型
4.1拉普拉斯变换
• 一、从傅里叶到拉普拉斯变换 • 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ， 适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t ∞时信号幅 度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
第4章 拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析
1 j2
(e
( a j ) t
e
( a j ) t
)u (t )
1 1 1 2 2 j 2 s a j s a j ( s a )
e
at
cos t u (t )
1 2
(e
( a j ) t
起， 单边拉氏变换定义为
F (s) f (t )
f (t )e 1
st
dt
0
j 2
j
j
st F ( s ) e ds
(4.1-6)
式中称s=σ+jω为复频率， F(s)为象函数， f(t)为原函数。 S的物理意义：σ描述了信号振荡幅度的增长速率或衰减速率； ω：描述振荡的重复频率
4.5 LTI连续系统的稳定性
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 单边拉普拉斯变换
1. 单边拉氏变换定义 因果信号的傅氏正、 反变换为
F ( ) 0 1 f (t ) 2
j t
f (t )e
dt
j t
s 2 2 s
2 2 s
sin t u ( t )
1 j2
第四章 拉普拉斯变换
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换 对任意函数 (t )，乘以因子e t (其中 0为常数)适当选择的
数值，使 (t )e t dt收敛，则此函数的付里 叶变换总是存在的。
例：求如图所示三角形脉冲
2 t 2 f t 2 t 2 0
0t
2
2 t 0, t
t
的象函数。 解：令 f (t ) f t , 2 ( 1) ( 2 ) 则f (t ) f t , f (t ) f t 2 2 4 2 2 t (t ) t (t ) 又f (t ) f 2 2
重叠部分为Res 。
二、尺度变换 若
f (t ) F ( s), Res 0，且a 0, 则 1 s f (at) F , Res a 0 a a
三、时移（延时）特性
若
f (t ) F ( s), Res 0，且t0 0, 则 f (t t0 )u (t t0 ) e st 0 F ( s)
0
1 s
0
Res 0
1 as Res a
信号与系统4.3拉氏变换的性质
若
f (t) F(s)
则 f (t t0 )u(t t0 ) est0 F (s), t0 0
说明：式中t0>0的规定对单边拉氏变换是必要的。
因为若t0<0,信号的波形有可能左移越过原点, 导致原点左边部分的信号对积分失去贡献。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
证明：
L[ f (t t0 )u(t t0 )]
t f ( )d 1 F(s)
0
s
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
例4―8 试通过阶跃信号u(t)的积分求斜坡信号tu(t)
及tnu(t)的拉氏变换。
解: 因为 F (s) L[u(t)] 1 s
0
f
(t
t0 )u(t
t0 )estdt
t0
f
(t
t0 )estdt
令x=t-t0,则t=x+t0,dt=dx,于是上式可写为
L[ f (t t0 )u(t t0 )]
f (x)est0 esxdx
0
est0 f (x)esxdx est0 F (s) t0
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
依此类推,可得式（4-15）。
若f(t)为单边信号,则式（4-14）中由于f(0-)=0而简化为
拉普拉斯变换法分析电路
第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的4.5 用拉普拉斯变换法分析电§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型用拉氏变换法分析电路的步骤
§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型
二．微分方程的拉氏变换
天津医科大学生物医学工程学院
School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University
§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型
t E <天津医科大学生物医学工程学院
School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University
§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型 ⎛E 1天津医科大学生物医学工程学院
School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University
§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型
v R 0(,0+天津医科大学生物医学工程学院
School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University
§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型t v (d 对微分方程两边取拉氏变换天津医科大学生物医学工程学院
School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University
§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型（采用0+系统）
天津医科大学生物医学工程学院
实验四-LTI系统的s域分析(综合实验)
实验四：线性连续时间系统的分析(综合性)
一、实验目的
1.掌握用matlab 分析系统时间响应的方法
2.掌握用matlab 分析系统频率响应的方法
3.掌握系统零、极点分布与系统稳定性关系
二、实验原理
1. 系统函数H(s)
系统函数:系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比.
H(s)=Y(s)/F(s)
在matlab 中可采用多种方法描述系统,本文采用传递函数(系统函数)描述法. 在matlab 中, 传递函数描述法是通过传递函数分子和分母关于s 降幂排列的多项式系数来表示的.例如,某系统传递函数如下
)
1(8.03.11)(2+++=s s s s H
则可用如下二个向量num 和den 来表示:
num=[1,1]
den=[1,1.3,0.8]
2. 用matlab 分析系统时间响应 1)脉冲响应
y=impulse(num,den,T)
T:为等间隔的时间向量,指明要计算响应的时间点.
2)阶跃响应
y=step(num,den,T)
T 同上.
3)对任意输入的响应
y=lsim(num,den,U,T)
U:任意输入信号. T 同上.
例:对式(1)系统,分别求脉冲响应、阶跃响应及对输入u(t)=sin(t)的响应.
num=[1,1];
den=[1,1.3,0.8];
T=0:0.1:3;
y1=impulse(num,den,T);
y2=step(num,den,T);
U=sin(T);
y3=lsim(num,den,U,T);
subplot(2,2,1);plot(T,y1);title('脉冲响应')
连续时间信号与系统的S域分析课件
稳定性分类
根据系统对输入信号的响应速度 和超调量，可以将系统的稳定性 分为渐近稳定、指数稳定和超调 稳定等类型。
系的s域
04
系统的状态空间表示
状态空间模型
描述系统的动态行为，包括状态方程和输出 方程。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入之间的关系。
状态方程
描述系统内部状态变量的变化规律。
状态变量的选择与确定
控制器设计
在控制系统中，控制器是实现系统控制的关键部件。通过s域分析，可以根据系统的性能要求，设计合适的控制 器，使得系统具有更好的动态特性和稳态特性。
在信号处理中的应用
滤波器设计
在信号处理中，滤波器是实现信号处理 的关键技术。通过s域分析，可以根据信 号的频域特性，设计合适的滤波器，实 现对信号的滤波、降噪等处理。
调制解调
在通信系统中，调制解调是实现信号传输的关键技术。通过s域分析，可以对信 号进行调制和解调，将低频信号转换为高频信号，或者将高频信号转换为低频信 号，实现信号的传输和接收。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，系统的稳定性是非常重要的。通过s域分析，可以对系统的极点和零点进行分析，判断系统的稳 定性，以及系统对外部干扰的抑制能力。
课程目标
知识目标
掌握s域分析的基本概念、方法和技巧。
能力目标
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析
f (t ) 原函数
F ( s)
象函数
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
f (t ) F (s)
d f (t ) pf (t ) dt
t
1 f ( )d f (t ) p
d f (t ) sF (s) f (0 ) dt t 1 1 0 f ( )d s F (s) s f ( )d
dt
VL (s) sLI L (s) LiL (0 )
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
d d 例2：求 cos 0t , cos 0t u (t ), [cos 0t ], [cos 0t u (t )] dt dt
的拉氏变换。
（三）时域积分特性
若 则
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.1 引言
拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：
（1）求解步骤得到简化；可以把初始条件包含到变换式里， 直接求得全响应；
（2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为 域的 s
“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方 程； （3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数； （4）将时域中的卷积运算转化为 s 域中的乘法运算，由此建立 起系统函数 H(s) 的概念； （5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统 性能的许多规律。
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
f ( t )e
st
0
0 sf ( t )e
st
dt
f (0 ) sF ( s)
例4-2 求电感元件的拉普拉斯变换下的伏 安关系。 d iL 解： v L (t ) L dt 设 L v L (t ) VL ( s) L i L (t ) I L ( s)
s 称复频率，Fb(s) 称信号的复频谱
2、单边拉普拉斯变换 f (t)为有始函数，即 t <0 时，f (t) = 0
F ( s ) 0 f ( t )e
f (t ) 1
j
st
dt
st
F ( s ) e ds 2 j j 记作： F ( s ) L[ f ( t )]
lim t e
t
n
t
0
所以其收敛域为 s 平面的右半面。
（4） 指数函数 只有当
t
e
at
a 时，才有
at t
lim e e
0
所以其收敛域为s 平 面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换 1、阶跃函数 st
§4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、拉普拉斯变换定义 三、拉普拉斯变换的收敛 四、一些常用函数的拉氏变换
信号与系统课件(郑君里版)第四章
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
s
s2 02 0
(s )2 02 s
(s )2 02
整个 s 平面
0
0
0
0
9Biblioteka Baidu
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
L[ (t)] (t)estdt 1,u(t) 1
f (t) 1
2
F1
()e(
j
)t
d
1
2 j
j j
F1
(
)e(
j
)t
d
(
j)
f1(t) f (t)et
F (s) f (t)estdt 0
0
f1(t)e jtdt
F1()
1 j F (s)est ds
（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里， 直接求得全响应；
连续系统的s域分析知识讲解
▲
■
第 14 页
二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ，
则f(at) ←→ 1 F ( s )
证明：
aa
Lf(a)tf(a)tesd t t 0
令τ a， t 则
Lf(a)t f(τ)easτdτ1
0
a a
sτ
f(τ)e a dτ
0
1 a
F
s a
0
s2
2 0
▲
■
第 12 页
§5.2 拉普拉斯变换性质
• 线性性质 • 尺度变换 • 时移特性 • 复频移特性 • 时域微分 • 时域积分
• 卷积定理 • s域微分 • s域积分 • 初值定理 • 终值定理
■ 第 13 页
一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2) 例1 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
解
11 f1(t)F 1(s)s3s2
Re[s]= > – 2
f2(t)F 2(s)s 13s 12 f3(t)F 3(s)s 13s 12
ch_04_01(拉普拉斯变换)
若f(t)在t=0有跃变,其微分在t=0处出现冲激. B.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.
设f (t ) e u(t )
f1 (t )
at
f 2 (t )
1...t 0
e ...t 0
记为：f (t ) F ( s )
LT
使用单边LT应注意：
1.单边LT的结果与t<0的函数值无关
2.积分下限的选取
LT f (t ) f (t )e dt
st 0
0 0
LT f (t ) f (t )est dt
0
LT f (t ) LT f (t ) f (t )est dt
f 2 (t )
df1 a s df1 at 或 (t ) ae u(t ) L[ ] 1 dt sa sa dt
df 2 at 2 (t ) ae u (t ) dt
df 2 a 2s a L[ ] 2 dt sa sa
2.复频域微分特性
t
j
LT存在的条件：
0
若有常数 , 使得当 时， lim f (t )e t
t
收敛轴
则f (t )e t 在 的全部范围内绝对可积， LT积分存在。因此F ( s )的收敛域为: .
信号分析第四章：拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
用频域微分性质
tf
(
t
)
dF ( s ds
)
t
(t
1)
1 s2
s
e
s
应用频移性质
f ( t )eat F ( s a )
e 2e t t
(
t
1
)
(
2 s s 1 )2
e s1
方法二： f (t) e t e(t 1) (t 1) et (t) 1
s 1
应用时移性质：e( t1) ( t 1) 1 es 应用频域微分性质：
解：
Fd ( s )
0 e tes tdt
e2 tes tdt 1 1
0
s1 s2
第一项的收敛域 <－1，
j
第二项的收敛域 ＞－2，
收
为保证收敛，取公共收敛域， 其收敛域为 －2 < < －1。
敛 2 域 1 0
10
拉普拉斯变换的收敛区
说明
• f (t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求F(s)时应指 明其收敛域。
dt T
A ( 1 esT ) AesT sF ( s ) Ts
F( s )
A/T s2
( 1 e sT
)
A e sT s
f (t)
A T
0
f (0 ) 0
信号系统第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的
若 极 点 s pi处 留 数 为 ri , 围 线 中
有 n个 极 点 pi (k阶 )
n
则 f (t ) ri , i 1
ri
(k
1 d k 1
1)
!
d
s
k
1
(s
pi )k
F (s)est
.
举例4.1:
已知 F(s)10(s2)(s5), s(s1)(s3)
求其逆变换
解 ： 部 分 分 解 法 F ( s ) k 1 k 2 k 3（ m n ） ss 1s 3
6时域积分性：
若f (t)L F(s)
则 t f ()d L F(s) f (1)(0)
－
s
s
7s域 积 分 性 ： 若 f(t) L F(s)
则f(t) L F()d
t
s
.
拉氏变换的基本性质
8时域卷积性：
若f1(t)L F1(s), f2(t)F2(s) 则f1(t)f2(t)L F1(s)•F2(s)
(1)有 界 非 周 期 信 号 收 敛 域 :全 平 面
(即 凡 是 有 始 有 终 ,能 量 有 限 的 信 号 );
(2)有 稳 定 幅 度 的 周 期 信 号 收 敛 域 :0;右 半 平 面 .
(3)随 时 间 成 正 比 增 长 的 信 号 0; (4)按 指 数 eat增 长 的 信 号 a。
连续时间系统的s域分析
第四章
拉普拉斯变换、
连续时间系统的s域分析学习内容
1. 拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收敛。
2．常用函数的拉氏变换:阶跃函数、指数函数、冲激函数。
3. 拉氏变换的性质。
4. 拉氏逆变换。
4.拉氏逆变换。
5. 利用拉氏变换法分析电路、s域元件模型。
6. 系统函数的定义及物理意义。
北京工业大学信号与信息处理研究室
拉普拉斯Laplace——介绍
L l
|拉普拉斯
z（Pierre Simon de
Laplace 1749─1827年）
z法国数学家、天文学家
z法国的牛顿
北京工业大学信号与信息处理研究室
一、拉普拉斯的产生和发展
傅里叶变换分析法
——信号必须满足狄利克雷条件。
实际许多信号
——不满足绝对可积条件，不能直接求出傅里叶变换。
求极限方法的傅里叶变换
——含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。
北京工业大学信号与信息处理研究室
一些信号不存在傅里叶变换
——傅里叶变换有一定限制傅里叶逆变换比较困难
傅里叶变换分析法
——只能确定零状态响应
寻求更有效而简便的方法
——拉普拉斯变换
p
（LT: Laplace Transform）
北京工业大学信号与信息处理研究室
二、拉普拉斯变换的优点
时域中：
微分与积分乘法与除法
微分积分方程代数方程
两个信号的卷积s域中的乘法运算线性时不变电路s域分析
可求系统完全响应
北京工业大学信号与信息处理研究室
§4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域|主要内容
z从傅里叶变换到拉普拉斯变换
z拉氏变换的收敛
z一些常用函数的拉氏变换
|重点：一些常用函数的拉氏变换
|难点：拉氏变换的收敛
第四章 拉普拉斯变换
收敛域 整个s平面
f (t ) e2t u(t )
f (t ) e u (t )
2t
0 2 2
j j
j
j
2
2
常用信号的拉氏变换
X ( s)
1、
x(t )e st dt
(t )
1
2、
u (t )
1/ s
1 s
3、
e u(t )
t
0 0
说明，a s 0才收敛， Re(s) a 1 as
极点-a 收敛域不包含极点
j
a
3） x(t)为左边信号，收敛域Re[s]=σ< σ0, σ0为某一实数。 例如x(t)=-e-atu(-t)
X s x(t )e s t dt e a t u (t )e s t dt e ( a s )t dt
T ( t ) ( t nT )
0
x s(t) x(nT) (t nT)
0
1 L T ( t ) 1 e sT
X s ( s ) x ( nT ) e nsT
n0
4、复频移性： 若x(t) X(s)，则
x(t)e j 0 t X( 0 )
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第4章 连续时间系统的S 域分析
4.1拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一） 定义
拉氏正变换：
()()()0st
f t F s f t e dt ∞
-==⎡⎤⎣⎦⎰
拉氏逆变换：
()()1
12j st j F s F s e ds j σσπ+∞--∞
=⎡⎤⎣⎦⎰ （二） 常用函数的拉氏变换
[1] 阶跃函数
()0
1st
st
e u t e dt s
s
∞-∞
-==-
=⎡⎤⎣⎦⎰ [2] 指数函数
()0
1
a s t
at
at st
e e
e e dt a s
a s
∞-+∞
---⎡⎤==-
=
⎣⎦++⎰ （σ>a -） [3] n t 函数
[]21
t s =
2
32t s ⎡⎤=⎣⎦
1!n
n n t s +⎡⎤=⎣⎦
[4] 冲激函数
()()01st
t t e dt δδ-
∞
-==⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0000st st
t t t t e dt e δδ-∞---=-=⎡⎤⎣⎦⎰
4.2拉普拉斯逆变换
（一） 部分分式分解
[1]极点为实数，无重根
例 求下示函数的逆变换
()()()
32597
12s s s F s s s +++=
++ 解 用分子除以分母（长除法）可得
()()()
()
()()322222
22
222
597
1232277
3232322323323232
21
212
s s s F s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s +++=
++++++=++++++++++=++++++++=++-
++ 故有
()()()222t t f t t t e e δδ--'=++- ()0t ≥
[2]包含共轭复数极点
()()1
2cos sin t
A j
B A jB e A t B t s j s j αββαβαβ--⎡⎤+-+=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+-++⎣⎦
例 求下面函数的逆变换
()()()
22
3
252s F s s s s +=+++ 解
()()()()()()()()22
2222012
3
2523
1223
1212221212
s F s s s s s s s s s j s j s k k k s s j s j +=++++=
⎡⎤+++⎣⎦+=
+++-+=
++
++-++
下面分别求系数012,,k k k
()()
02
725
s k s F s =-=+=
()()
2112
3
12
1225
s j s j k s j s =-++-+=
=
+++ 也即12
,55
A B =-=
，故而可以得到其逆变换的函数表达式 ()()()27122cos 2sin 2555t t f t e e t t --⎡⎤
=
-+⎢⎥⎣⎦
()0t ≥ [3]多重极点
设有
()()()()
()()
()
()
()()
1111
12
1
111k k
k
k A s A s F s B s s p D s E S K K K s p D S s p s p -==
-=
+
+⋅⋅⋅++
---
现记
()()()11k
F S s p F s =-
则个系数的计算公式为：
()
()1
1
11111!i i i s p d K F s i ds --==-
例 求下示函数的逆变换
()()
3
21s F s s s -=
+
解 将()F s 写成展开式
()()
()
1311
12
2
3
2
111K K K K F s s s
s s =
+
+
+
+++ 容易求得：
()
20
2s K sF s ===-
为求出与重根有关的个系数，令
()()()3
12
1s F s s F s s
-=+=
故有
111
23S s K s
=--=
=
121
22S d s K ds s =--⎛⎫=
= ⎪⎝⎭
21321
1222S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪
⎝⎭
于是有
()()
()
3
2
3
2
22111F s s s
s s =
+
+
-+++ 所求逆变换为
()23
2222
t t t f t t e te e ---=++- ()0t ≥