河南省实验中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题及答案

河南省实验中学2014——2015学年上期期中试卷
高三 理科数学
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{||2,}A x x x R =≤∈,{|
4,}B x x Z =≤∈,则A B ⋂=( )
A.(0,2)
B.[0,2]
C.(0,2]
D.{0,1,2}
2.记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=( )
3.已知集合{1,2,3,4},{,,}A B a b c ==，:f A B →为集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C 的不同情况有( ) A ．7种 B ．4种 C ．8种 D ．12种
4.设向量()2,1-=a ，向量()4,3-=b ，向量()2,3=c ，则向量()
=⋅+c b a 2（ ） A ．（－15，12） B.0 C.－3 D.－11
5.设)}({*∈N n a n 是等差数列，n S 是其前n 项和，且65S S <，876S S S >=，则下列结论错误的是( )
A ．0<d
B ．07=a
C ．59S S >
D ．6S 和7S 均为n S 的最大值
6.在△ABC 中，
45,2==A a ，若此三角形有两解，则b 的范围为（ ） A ．222<<b B ．b > 2 C ．b<2 D ．22
1<<b
7.已知函数)0( sin 3>=ωωx y 的周期是π，将函数)0( 2cos 3>⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=ωπωx y 的图象沿x 轴向右平移8
π
个单位，得到函数()x f y =的图象，则函数()=x f （ ） A.3sin 28x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.3sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.3sin 28x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D.3sin 24x π⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭
8.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
10.O为平面上的一个定点，A、
B、C是该平面上不共线的三点，若OC
OB
OC
OB+
⋅
-(
)
(0
)
2=
-OA，则△ABC是( )
A.以AB为底边的等腰三角形
B.以BC为底边的等腰三角形
C.以AB为斜边的直角三角形
D.以BC为斜边的直角三角形
11.设p:2
()e ln21
x
f x x x mx
=++++在(0)
+∞
，内单调递增,q:5
m-
≥,则p是q的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
12.已知两条直线
1
l:y=m 和
2
l:y=
8
21
m+
(m＞0)，
1
l与函数
2
log
y x
=的图像从左至右相交于点
A,B,
2
l与函数
2
log
y x
=的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，
b
a
的最小值为( )
A． B. D.
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）．
13.计算⎰--+
-
1
3
2
)2
(
1x= ．
14.已知A,B,C三点在同一条直线上，O为直线外一点，若0
pOA qOB rOC
++=,其中p,q,r∈R，
则=
+
+r
q
p．
15设x、1a、2a、y成等差数列，x、1b、2b、y成等比数列，则
2
1
2
2
1
)
(
b
b
a
a+
的取值范围是．
16.已知函数
2
1,(0)
()
log,(0)
ax x
f x
x x
+≤
⎧
=⎨
>
⎩
，若函数y=f(f(x))+1有4个不同的零点，则实数a的取值范围是．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共70分).
17.(本小题满分12分）设函数
2
5
()lg
ax
f x
x a
-
=
-
的定义域为A，命题:3
p A
∈与命题:5
q A
∈,若p q
∨真，p q
∧假，求实数a的取值范围．
18.(本小题满分12分）已知()→
→
⋅
=n
m
x
f，其中()x
x
x
mω
ω
ωcos
3
,
cos
sin+
=
→
，
x x
A．B．C．D．
()x x x n ωωωsin 2,sin cos -=→
，且0>ω，若()x f 相
邻
两对称轴间的距离不小于2
π。

（1）求ω的取值范围.
（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3=a ，3=+c b ，当ω最大时，()1=A f ,求ABC ∆的面积.
19.(本小题满分12分）若对任意x ∈R ，不等式1
3
)5(cos cos )1(2
2+-+--+x x x x θθ＞sin θ-1恒成立，求θ的取值范围.
20.(本小题满分12分）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为()62'f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上.
（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设1
3
+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小
正整数m.
21.(本小题满分12分）设函数()ln 1f x x px =-+
（1）求函数()f x 的极值点;
（2）当0p >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求p 的取值范围;
（3）证明：222222222ln 2ln 3ln 4ln 21
(,2)2342(1)
n n n n N n n n --+++⋅⋅⋅+<
∈≥+
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE ． （1）证明：∠D=∠E ；
（2）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形．
23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为:2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2.
(1)求C 2的方程;
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=
与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .
24.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
已知函数()2f x x a x =++-,
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集;
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.
河南省实验中学2014——2015学年上期期中答案
高三 理科数学
一、选择题
1-6 DBACCA 7-12 BDABBD 二、填空题： 13.
2
π
14.0 15.(-∞,0∪4，＋∞) 16.(0,)+∞
三、解答题：
17、解：25|0ax A x x a -⎧⎫
=>⎨⎬-⎩⎭
． 若3A ∈，则
3509a a ->-，即593a <<； 若5A ∈，则55025a a
->-，即125a <<． 若p 真q 假，则5
93
125a a a ⎧<<⎪⎨⎪⎩，
≤或≥，a 无解； 若p 假q 真，则593
125a a a ⎧⎪
⎨⎪<<⎩≤或≥，，
解得5
13
a <≤
或925a <≤． 综上，[)519253a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，，
．
18．解：()()()x x x x x x x f ωωωωωωcos sin 32sin cos cos sin ⋅+-⋅+=
x x ωω2cos 2sin 3+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=62sin 2πωx
对称轴为2
62π
ππω+=+k x ，z k ∈
∴ω
πωπ62+
=k x z k ∈ （1）由π≥T 得πω
π
≥22 得10≤<ω
（2）由（1）知1=ω
∴()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=62sin 2πx x f
∵()1=A f ∴162sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πA
∵()π,0∈A ∴3
π
=A
由bc
a c
b A 2cos 222-+=得1923
222bc bc bc --=⇒=
∴2
3
sin 21=
=
∆A bc S ABC 19.解：原不等式变形为：(cos θ-sin θ+1)x 2
-(cos θ-sin θ-4)x+cos θ-sin θ+4＞0
令t ＝cos θ-sin θ得：(t+1)x 2
-(t-4)x+t+4＞02
10
0(4)4(1)(4)0
t t t t t +>⎧∴⇒>⎨--++<⎩
∴cos θ-sin θ＞0⇒cos θ＞sin θ⇒2k π-43π＜θ＜2k π+4
π
k ∈Z 所以θ得范围是（2k π-
43π，2k π+4
π
） k ∈Z 20．解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2
+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2
－2x.
又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2
－2n.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2
－2n ）－[
]
)1(2)132
---n n （＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12
－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13
+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1
61561(21+--n n ，
故T n ＝
∑=n
i i b 1
＝
2
1⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使
21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,当且仅当21≤20
m
， 即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.
21.解：（1）解：∵ ()ln 1f x x px =-+，∴()f x 的定义域为(0,)+∞
/11()px f x p x x
-=
-=
，当0p ≤时，/
()0f x >，()f x 在(0,)+∞ 上无极值点. 当0p >时，令'
'1
()0,(0,),()f x x f x p
=∴=
∈+∞、()f x 随x 的变化情况如下表：
从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一极大值点1x p
=
. (2)由（1）可知，当p>0时，f(x)在1x p =
处却极大值11
()ln f p p
=，此极大值也是最大值。

要使f(x)≤0恒成立，只需1
1
()ln
f p p
=≤0.解得p 1≥,故p 的取值范围为[1,)+∞。

(3)令p=1,由（2）可知，lnx-x+1≤0，即lnx ≤x-1.(2,n n N ≥∈)
2222
22
222222222
ln 1ln 2ln 3ln 11
1
ln 111123
23
n n n n n n n n n -≤-⇒≤⇒++
+≤-+-++-
=222111111(1)(
)(1)()232334(1)
n n n n n --++⋅⋅⋅+<--++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ =11111111
(1)()(1)()2334121
n n n n n ---+-+⋅⋅⋅+-=---++2212(1)n n n --=
+.
22.证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠D=∠CBE ，
∵CB=CE ，∴∠E=∠CBE ， ∴∠D=∠E ；
（2）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB=MC 知MN ⊥BC ，∴O 在直线MN 上， ∵AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ， ∴OM ⊥AD ，∴AD ∥BC ，∴∠A=∠CBE
，
∵∠CBE=∠E ，∴∠A=∠E ，由（Ⅰ）知，∠D=∠E ，∴△ADE 为等边三角形．
23.解:（1）设P(x,y),则由条件知M(
,22
x y
).由于M 点在C 1上，所以 2cos 2
22sin 2
x
y αα⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ 从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为参数） （2）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。

射线3
πθ=
与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=，
射线3
πθ=
与2C 的交点B 的极径为28sin 3π
ρ=。

所以21||||AB ρρ-==.
24.（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥
2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧
⎨-+-≥⎩
1x ⇔≤或4x ≥
（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立
24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立
22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立
30a ⇔-≤≤。