乘法公式复习1
初中升高中数学衔接：第1讲 乘法公式(解析版)
【第1讲】 乘法公式【根底知识回忆】知识点1 平方公式〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；〔2〕完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．〔3〕三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式〔1〕立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；〔3〕两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；〔4〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：〔1〕)416)(4(2m m m +-+〔2〕)41101251)(2151(22n mn m n m ++-〔3〕)164)(2)(2(24++-+a a a a 〔4〕22222))(2(y xy x y xy x +-++ 〔5〕22)312(+-x x【解析】〔1〕原式=333644m m +=+〔2〕原式=3333811251)21()51(nm n m -=- 〔3〕原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a 〔4〕原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=〔5〕原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二 立方公式的应用【例2】计算：〔1〕3(1)x + 〔2〕3(23)x - 【解析】〔1〕332(1)331x x x x +=+++ 〔2〕332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++探究三 整体代换【例3】13x x +=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x +． 【解析】13x x +=，所以〔1〕222211()2327x x x x +=+-=-=．〔2〕32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：〔1〕此题假设先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，那么计算较烦琐．〔2〕此题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换〞的方法计算，简化了计算．【练习3-1】2310x x +-=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x -． 【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．〔1〕222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【解析】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后作业】1．不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 〔 〕A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为〔 〕 A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，那么m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，那么k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．17x y +=，60xy =，那么22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： 〔1〕3(3)()27x x -=- 〔2〕3(23)()827x x +=+ 〔3〕26(2)()8x x +=+ 〔4〕3(32)()278a a -=-〔5〕3(2)()x +=； 〔6〕3(23)()x y -=〔7〕221111()()9432a b a b -=+ 〔8〕2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．假设2210x x +-=，那么221x x +=____________；331x x -=____________．9．2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察以下各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)n n x x x x --++++=_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．〔1〕239x x ++ 〔2〕2469x x -+ 〔3〕4224x x -+ 〔4〕2964a a ++ 〔5〕326128x x x +++ 〔6〕32238365427x x y xy y -+- 〔7〕1132a b - 〔8〕424ab ac bc --7．【解析】(1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -8．【解析】2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x ∴-=-．〔1〕222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)2(61)14x x x x =-++=-⨯+=-．9．【解析】2310x x -+= 0≠∴x31=+∴x x原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x +-++=++-+=-+=10．11n x +-。
常用乘法公式(一)
常用乘法公式(一)
常用乘法公式
在数学中，乘法是一种基本的运算法则。
乘法公式是指一些常用的、能够简化计算的特定乘法规则。
下面列举了几个常用的乘法公式，并通过具体例子进行解释说明。
1. 乘法交换律
乘法交换律指的是两个数相乘的结果与它们交换位置后的乘积是
相等的。
即：
a⋅b=b⋅a
例如：
2⋅3=3⋅2=6
2. 乘法结合律
乘法结合律指的是多个数按一定的次序相乘时，无论怎样加括号，其乘积都是相等的。
即：
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
例如：
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)=24
3. 乘法分配律
乘法分配律指的是一个数与两个数的和相乘，等于该数分别与这两个数相乘后的和。
即：
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
例如：
2⋅(3+4)=2⋅3+2⋅4=14
4. 乘法幂规则
乘法幂规则是指相同底数的幂相乘时，可以将底数保持不变，指数相加。
即：
a m⋅a n=a m+n
例如：
23⋅24=23+4=27=128
5. 乘法零律
乘法零律指的是任何数与0相乘，结果都为0。
即：
a⋅0=0
例如：
2⋅0=0
6. 乘法倒数规则
乘法倒数规则是指一个数与其倒数相乘等于1。
即：
a⋅1
a
=1
例如：
2⋅1
2
=1
这些乘法公式是数学运算中常用的法则，可以简化计算过程，提高计算的效率。
通过灵活运用这些公式，可以更加高效地解决数学问题。
1、乘法公式(学生版)
乘法公式的用法1、套用 : 这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例 1. 计算:解:原式2、连用 : 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例 2.计算：解：原式例 3.计算：解：原式3、逆用 : 学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4.计算:解：原式5、变用: 题目变形后运用公式解题。
例 5.计算：解：原式6、活用:把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例 6. 已知，求的值。
解:例 7. 计算：解：原式例 8. 已知实数 x 、 y 、 z 满足，那么（）解：由两个完全平方公式得：从而学习乘法公式应注意的问题注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1、计算 (-2 x 2 -5)(2 x 2 -5)分析：本题两个因式中“ -5 ”相同，“ 2 x 2 ”符号相反，因而“ -5 ”是公式 ( a + b )( a - b )= a 2 - b 2 中的 a ，而“ 2 x 2 ”则是公式中的 b ．解：原式 =(-5-2 x 2 )(-5+2 x 2 )=(-5) 2 -(2 x 2 ) 2 =25-4 x 4 ．例2、计算 (- a 2 +4 b ) 2分析：运用公式 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 时，“ - a 2 ”就是公式中的 a ，“ 4 b ”就是公式中的 b ；若将题目变形为 (4 b - a 2 ) 2 时，则“ 4 b ”是公式中的 a ，而“ a 2 ”就是公式中的 b ．（解略）注意为使用公式创造条件例 3 计算 (2 x + y - z +5)(2 x - y + z +5) ．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“ 2 x ”、“ 5 ”两项同号，“ y ”、“ z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式 = 〔 (2 x +5)+( y - z ) 〕〔 (2 x +5)-( y - z ) 〕=(2 x +5) 2 -( y - z ) 2=4 x 2 +20 x +25- y +2 yz - z 2 ．例 4 计算 ( a -1) 2 ( a 2 + a +1) 2 ( a 6 + a 3 +1) 2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．解：原式 =[( a -1)( a 2 + a +1)( a 6 + a 3 +1)] 2=[( a 3 -1)( a 6 + a 3 +1)] 2=( a 9 -1) 2 = a 18 -2 a 9 +1例 5 计算 (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1) ．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（ 2-1 ），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式 =(2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)=(2 2 -1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)=(2 4 -1)(2 4 +1)(2 8 +1)= （ 2 8 -1 ）（ 2 8 +1 ）=2 16 -1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 ，可推广得到： ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2 ab + 2 ac +2 bc ．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的 2 倍．例 6 计算 (2 x + y -3) 2解：原式 =(2 x ) 2 + y 2 +(-3) 2 +2 · 2 x · y +2 · 2 x (-3)+2 · y (-3)=4 x 2 + y 2 +9+4 xy -12 x -6 y ．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例 7 (1) 已知 x + y =10 ， x 3 + y 3 =100 ，求 x 2 + y 2 的值；(2) 已知： x +2 y =7 ， xy =6 ，求 ( x -2 y ) 2 的值．分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形： x 2 + y 2 =( x + y ) 2 -2 xy ， x 3 + y 3 =( x + y ) 3 -3 xy ( x + y ) ， ( x + y ) 2 -( x - y ) 2 =4 xy ，问题则十分简单．解： (1) ∵ x 3 + y 3 =( x + y ) 3 -3 xy ( x + y ) ，将已知条件代入得 100=10 3 -3 xy · 10 ，∴ xy =30 故 x 2 + y 2 =( x + y ) 2 -2 xy =10 2 -2 × 30=40 ．(2)( x -2 y ) 2 =( x +2 y ) 2 -8 xy =7 2 -8 × 6=1 ．例 8 计算 ( a + b + c ) 2 +( a + b - c ) 2 +( a - b + c )+( b - a + c ) 2 ．分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出 ( a + b ) 2 +( a - b ) 2 =2( a 2 + b 2 ) ，因而问题容易解决．解：原式 =[( a + b )+ c ] 2 +[( a + b )- c ] 2 +[ c +( a - b )] 2 +[ c -( a - b )] 2=2[( a + b ) 2 + c 2 ]+2[ c 2 +( a - b ) 2 ]=2[( a + b ) 2 +( a - b ) 2 ]+ 4 c 2= 4 a 2 +4 b 2 + 4 c 2（五）、注意乘法公式的逆运用例 9 计算 ( a -2 b + 3 c ) 2 -( a +2 b -3 c ) 2 ．分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．解：原式 =[( a -2 b + 3 c )+( a +2 b -3 c )][( a -2 b + 3 c )-( a +2 b -3 c )]= 2 a (-4 b + 6 c )=-8 ab + 12 ac ．例 10 计算 ( 2 a +3 b ) 2 -2( 2 a +3 b )(5 b -4 a )+( 4 a -5 b ) 2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．解：原式 =( 2 a +3 b ) 2 +2( 2 a +3 b )( 4 a -5 b )+( 4 a -5 b ) 2=[( 2 a +3 b )+( 4 a -5 b )] 2=( 6 a -2 b ) 2 = 36 a 2 -24 ab +4 b 2 ．四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母 a 、 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（ x +2 y － 3 z ） 2 ，若视 x +2 y 为公式中的 a ， 3 z 为 b ，则就可用（ a － b ） 2 = a 2 － 2 ab + b 2 来解了。
乘法公式复习1
(1) （2a 1) 2a 2a 1
2 2
( 2)(4m 3)(4m 3) 4m 3
2
( 3)(a 1) a 1
2 2
(4)( x 4)( x 6) x 2 x 24
2
1公式中的字母代表特殊数或式时要平方应加括号. 2利用完全平方公式展开后有三项，防止漏项.
类型之一
完全平方公式的判断
例1 计算： (1)(－x＋1)2； (2)(－2x－3)2.
一起来做游戏
下面的计算中有些地方用纸牌盖上了，我们 来比一比谁能最快地说出纸牌下盖的是什么 式子。
2 (1)(3x+2y) = 2 2 9x +12xy+4y
(2)(5m-4n)2=25m2-40mn +16n2
变式3：已知13x2－6xy＋y2－4x＋ 1＝0，求(x＋y)13· x10的值． 变式4：已知x2+y2 -4x-6y+13=0, 求x-y的值.
开放问题：多项式4x2+1加上一个单项式 后，使它能成为一个整式的完全平方，则 求可能加上的单项式。
解：（1）将4x2+1看作是平方和， 则可以加上中间项：4x或-4x
2 2
b (a b) 2ab 2 2 2 a b (a b) 2ab
2 2
试一试 (a — b)2 (ab)2 — 4ab
（1）若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝____
（2）已知a2＋b2＝12，ab＝－3，则(a＋b)2＝
（3）已知(x＋y)2＝18，(x－y)2＝6，
求x2＋y2及xy的值．
1 1 2 （4）已知 : x 5, 求x 2 的值. x x
3整式的乘除法、乘法公式复习
多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。
1 1 （ 1）(3x y xy xy ) ( xy ) 2 2
2 2
（1）原式=
1 3x y ( xy) 2
2
1 1 1 xy ( xy ) xy ( xy) 2 2 2
(1) (-a+b)2 = (b-a)2
(2) (-2m-1)2 = -(2m+1)
2
= (2m+1)2
(3) (2x+5)(-2x-5) = -(2x+5)(2x+5) = -(2x+5)2 (4) (x+y-1)2 = (x+y)-1
2
先变形再运用乘法公式计算:
(1)( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
练习
考点训练
2、 9
1. 已知2m=a，32n=b，求：23m+10n． 3 2
n 2
3 ，求n的值
16
ab
4
2
- 2 3、
2009
2
2010
2009 ______
1、单项式的乘法
让我们一起来回顾：
1）、系数相乘 2）、同底数幂相乘 3）、只在一个单项式出现的 字母，连同它的指数作为积得 一个因式
2
a 1 1, 则a的取值范围____ 3)、 a 1
0
2 10 4)、 4 10 2 10 ___
9 3
6
考点训练
平方差公式
(a+b)(a-b) =
八年级数学上册《乘法公式》专项训练带解析,给孩子期末复习!
八年级数学上册《乘法公式》专项训练带解析，给孩子期末复习！专题一乘法公式1．下列各式中运算错误的是（D）A．a²+b²=(a+b)²－2abB．(a－b)²=(a+b)²－4abC．(a+b)(－a+b)=－a²+b²D．(a+b)(－a－b)=－a²－b²解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)²－2ab=a+2ab+b²－2ab=a²+b²，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)²=a²－2ab+b²，(a+b)²－4ab=a²+2ab+b²－4ab=a²－2ab+b²，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b²－a²=－a²+b²，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)²=－a²－2ab－b²，故D错误．2．代数式(x+1)(x－1)(x²+1)的计算结果正确的是（A）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4 D．(x+1)4解析：原式=(x²－1)(x²+1)=(x²)²－1=x4－1．3．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)²－2(2x²－xy)（其中x=2，y=3）．解：原式=4x²－y²+x²+2xy+y²－4x+2xy=x²+4xy，当x=2，y=3时，原式=2²+4×2×3=4+24=28．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ B ）A．（a+b）（a－b）=a²－b²B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a－2ab+b²D．（a+b）²=a²+ab+b²解析：这个图形的整体面积为(a+b)²；各部分的面积的和为a²+2ab+b²；所以得到公式（a+b）²=a²+2ab+b²．故选B．5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（C）A．a²－b²=（a+b）（a－b）B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a²－2ab+b²D．a（a+b）=a²+ab解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）²和b²，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）²，∴（a－b）²=a²－2ab+b²，故选C．6．我们在学习完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）²”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）²吗？解：（a+b+c）²的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）²，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．。
乘法公式复习
3. 比较大小 2000×2004与2001×2003 × 与 × 4. 已知
2+y2-2x+2y+2=0 x
求 x2002 + y2003
例如: 例如 1. (-2x-y)(-2x+y) 2. (-2x-y)(2x-y) 4x2-y2 y2- 4x2
3. (a+3b-2c)(a-3b-2c)
( 2) x-y=8, xy= -15, 则x2 + y2的值为 B ) 的值为( A. 4 B. 34 C. 64 D. 94
(3) 下列各式中能成立的等式有 （
B
）
① (2x-y)2=4x2-2xy+y2 ③(x-y)2= x2-y2 1 x-y )2= 1 x2+xy+y2 ②( 4 2 ④ (-x-y)2= (x+y)2 ⑤ (y-x)2 = (x-y)2 A. 1个 个 B. 2个 个 C. 3个 个 D.4个 个
4. (x-y ) (y-x)
3. (a+3b-2c)(a-3b-2c) = [(a-2c)+3b] [(a-2c)-3b] = (a-2c)2-(3b)2 = a2-4ac+4c2-9b2
例如: 例如 1. (3x+4y)2 = 9x2+24xy+16y2 2. (3x-4y)2 = 9x2-24xy+16y2 3. (-3x+4y)2 = 9x2-24xy+16y2 4. (-3x-4y)2 = 9x2+24xy+16y2
(4) (x-2y) 2=(x+2y) 2+ (-8xy) 式，则 m = ± 2
1 (5) 若4x2+mx+ 4
乘法公式的复习讲义(学生版)
乘法公式的复习讲义平文一、重要的乘法公式：1.平方差公式：(a+b)．(a-b) =a2-b2体会：①公式的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：(x+y-z)(x-y-z) =[ (x-z) +y][ (x-z) -y]= (x-z) 2-y2．从图形的角度对它验证 :如图，边长为 a 的正方形。
aba b b在下边切去一个宽为 b,长为(a-b)的长方形 ,再在右边加去一个宽为 b,长为 (a-b ) 的长方形这时，红色和黄色区域的面积和是________.(a+b)(a-b)2.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 、(a-b)2=a2-2ab+b2体会： __________________________________________________ 3.多项式的完全平方：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac、(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac思考： (a+b-c)2=_______________(a-b+c)2=_______________体会： __________________________________________________ ___________________________________________.4.两个一次二项式相乘： (x+a) ． (x+b) =x2+(a+b)x+ab.体会： a、b 可以是正数也可以是负数。
5.补充几个乘法公式：①立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3② 立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3体会规律： _____________________________________6. 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 :(a+b) (a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4；(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5；(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 …………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2 －…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2 －…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：(a－b) (a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 二、例题分析：题型 1 ：平方差公式的应用：(1) 公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．例 1.计算(3x-1)(3x+1)(9x2+1)例 2.计算(2x-1)2(1+2x)2- (2x+3) 2(2x-3)2例 3.计算(x2-x+2)(x2-x-2)变式 1：计算(x+y+z)(x+y-z)变式 2：已知 z2=x2+y2 ，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．变式 3：计算(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c) 2变式 4： (a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)例4. 计算(1)899×901＋1 (2) 1232-122×118变式 1：计算： 1002-992+982-972+ …+42-32+22-1例 5：计算： (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1)++变式：计算：+例 6.探索题：(x-1)(x+1)=x 2 1(x-1) (x 2+x+1)=x 3-1(x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1(x-1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5-1……试求 26+25+24+23+22+2+1 的值，判断 22005+22004+22003+ …+2+1 的末位数。
专题16 乘法公式-重难点题型(举一反三)(学生版)
专题 乘法公式-重难点题型【知识点1 乘法公式】平方差公式：(a +b )(a -b )=a 2-b 2。
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a -b )2=a 2-2ab +b 2。
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。
这两个公式叫做完全平方公式。
【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2021•锦江区校级开学）下列运算正确的是（ ）A ．（x +y ）（﹣y +x ）＝x 2﹣y 2B ．（﹣x +y ）2＝﹣x 2+2xy +y 2C ．（﹣x ﹣y ）2＝﹣x 2﹣2xy ﹣y 2D ．（x +y ）（y ﹣x ）＝x 2﹣y 2【变式1-1】（2021春•龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（ ）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2B ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．（a +b ）2＝a 2+b 2D ．（﹣a ﹣b ）2＝a 2+2ab +b 2【变式1-2】（2021春•舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．（m +1）（﹣1+m ）B ．（2a +3b ﹣5c ）（2a ﹣3b ﹣5c ）C ．2021×2019D ．（x ﹣3y ）（3y ﹣x ） 【变式1-3】（2021春•龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）A ．（2a +b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a +2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a +3b ）D ．（13a +1）（−13a −1） 【题型2 完全平方公式（求系数的值）】【例2】（2021春•仪征市期中）若多项式4x 2﹣mx +9是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．6B ．12C ．±12D ．±6 【变式2-1】（2021春•南山区校级期中）如果x 2+8x +m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．4B ．16C ．±4D ．±16【变式2-2】（2021春•新城区校级期末）已知：（x ﹣my ）2＝x 2+kxy +4y 2（m 、k 为常数），则常数k 的值为 ．【变式2-3】（2021春•邗江区期中）若x 2﹣2（m ﹣1）x +4是一个完全平方式，则m ＝ ．【题型3 完全平方公式的几何背景】【例3】（2021春•兴宾区期末）有A ，B 两个正方形，按图甲所示将B 放在A 的内部，按图乙所示将A ，B 并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A ，B 的面积之和为（ ）A．13B．19C．11D．21【变式3-1】（2021春•芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（）A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【变式3-2】（2021春•岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（）A．3B．6C．12D．18【变式3-3】（2021春•深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（）A．28B．29C．30D．31【题型4 平方差公式的几何背景】【例4】（2021•庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【变式4-1】（2021春•博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x【变式4-2】（2021春•洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（）A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【变式4-3】（2020春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式．【题型5 乘法公式（求代数式的值）】【例5（2021春•邗江区校级期末）若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．（1）求（x﹣2）（y+2）的值；（2）求x2﹣xy+y2的值．【变式5-1】（2021•宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝．【变式5-2】（2021春•驿城区期末）已知a ﹣b ＝9，ab ＝﹣14，则a 2+b 2的值为 ．【变式5-3】（2021春•聊城期末）已知：a ﹣b ＝6，a 2+b 2＝20，求下列代数式的值：（1）ab ；（2）﹣a 3b ﹣2a 2b 2﹣ab 3．【题型6 乘法公式的综合运算】【例6】（2020秋•东湖区期末）实践与探索如图1，边长为a 的大正方形有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）A ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）B ．a 2﹣2ab +b 2＝（a ﹣b ）2C ．a 2+ab ＝a （a +b ）（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a 2﹣b 2＝24，2a +b ＝6，则2a ﹣b ＝ ．①计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【变式6-1】（2021•滦南县二模）【阅读理解】我们知道：（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2①，（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2①，①﹣①得：（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4ab ，所以ab =(a+b)24−(a−b)24=(a+b 2)2−(a−b 2)2． 利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．例：51×49=(51+492)2−(51−492)2=502−12=2500﹣1＝2499． 【发现运用】根据阅读解答问题 （1）填空：102×98＝ （102+982） 2﹣ （102−982） 2；（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．【变式6-2】（2021春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab= (a+b)2−(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝．（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．（3）如图，四边形ABED是梯形，DA①AB，EB①AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为．【变式6-3】（2021春•滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；①已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．。
新初2数学暑期辅导1 乘法公式
初二数学暑期辅导(1) 乘法公式【知识要点】1．初中阶段常用的乘法公式有：（1）平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；（2）完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；（3）立方和公式：(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3； 立方差公式：(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3；（4）和的立方公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3；差的立方公式：(a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3．2．乘法公式的变形：（1）(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ；（2）a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝21[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]； （3）(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca )＝a 3＋b 3＋c 3－3abc ．根据题目特点，运用乘法公式及其变形进行计算，可以使计算变得简单而准确．合理使用运算律，也可以使计算变得简单、有效。
【例题选讲】例1、计算：20052．例2、计算：(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(32004＋1)．例3、已知x ＋y ＝5，xy ＝－14，求(x －y )2及x 3＋y 3的值．例4、已知x－y＝1，x3－y3＝4，求x13－y13的值．例5、设a、b、c都是有理数，且a＋b＋c＝a3＋b3＋c3＝0，求证：a2003＋b2003＋c2003＝0．例6、求证：(x2－xy＋y2)3＋(x2＋xy＋y2)3能被2x2＋2y2整除．【习题A】1．若a＝(x＋1)2(x－1)2，b＝(x2＋x＋1)(x2－x＋1)，且x≠0，则（）（A）a＞b（B）a＝b（C）a＜b（D）a、b的大小不确定2．若x－y＝2，x2＋y2＝4，则x1992＋y1992的值是（）（A）4 （B）19922（C）21992（D）419923．计算(21＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)(264＋1)的结果是（）（A）232－1 （B）264－1 （C）2128－1 （D）2644．若正数a、b、c满足关系式a3＋b3＋c3－3abc＝0，则（）（A）a＝b＝c（B）a＝b≠c（C）b＝c≠a（D）a、b、c两两不等5．若a＋b＝4，a3＋b3＝28，则a2＋b2的值是（）（A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）146．已知a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a (b ＋c )＋b (c ＋a )＋c (a ＋b )＝ ．7．若a ＝1990，b ＝1991，c ＝1992，则a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝ ．8．已知a －2b ＝7，ab ＝3，则(a ＋2b )2＝ ．9．已知x ＋y ＝1，则x 3＋y 3＋3xy ＝ ．10．代数式A ＝3x 2－x ，B ＝2x 2－7x －10，则A 与B 的大小关系是 ．【习题B 】1．计算：（1）20042； （2）1982．2．计算：(a ＋b )(a －b )(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)…(n n b a 22 )．3．已知x －y ＝xy ＝3，求(x ＋y )2及x 3－y 3的值．4．若x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝2，求x 5＋y 5的值．5．设a 、b 、c 、d 满足a ≤b ，c ≤d ，a ＋b ＝c ＋d ≠0，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证：a ＝c ，b ＝d ．6、已知25200080,x y ==则11x y +的值是多少？7、已知554433222,3,5,6a b c d ====，比较a 、b 、c 、d 的大小.8、若11222,22n n n n x y +--=+=+，用等式表示x 和y 的关系。
9.乘法公式 (1)
(a 2015)2 (2016 a)2 (a 2015 2016 a)2 2(2015 a)(2016 a) 1 2 2047 4093
【拓展提高】
第九讲 乘法公式
a 2 b2
a 2 2ab b2 a 2 2ab b2
4 x2 4 x 1
x 2 4 xy 4 y 2
8x 2 2
16a 4 8a 2 1
4 x2 1
x2 y2
x8 2 x 4 1
解：原式= x 2 1 x x 2 2 x 1
1952 19 20 100 25 38025
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写
89 81 (80 9) (80 1) 出89×81的简便计算过程和结果．
7209
80 80 80 9 80 1 9 1 80 80 80 (9 1) 9 1
1 1 m 4 m2 2 2 119 m m
a 2017 b2017
【中考专练】
1 、已知a b 1，ab ﹣，则 6 a 2 b2 ﹣ab的值是（ ）
A．19
2
A
B．﹣17
2
C．﹣34
2
D．37
1 2、若 a 3a 1+b +2b+1=0，则a 2 b ______ a
①当ab 2时，代入原式=28 ②当ab -2时，代入原式=36
原式=ab a 2 2ab b 2
《乘法公式》复习
《乘法公式》复习乘法公式是数学中的基本工具之一，它是解决乘法运算的一个重要步骤。
乘法公式通常涉及到乘法的四种基本情况：乘数和被乘数都是整数、乘数和被乘数都是分数、乘数是整数而被乘数是分数、乘数是分数而被乘数是整数。
以下是对乘法公式的复习，分别对这四种情况进行详细介绍。
一、乘数和被乘数都是整数乘数和被乘数都是整数时，乘法公式可以通过将两个整数相乘来计算，即乘法的运算法则：乘数乘以被乘数等于它们的积。
例如，如果我们要计算2乘以3，那么答案就是6、同样地，如果我们要计算7乘以4，那么答案就是28二、乘数和被乘数都是分数乘数和被乘数都是分数时，乘法公式可以通过将两个分数相乘来计算，即乘法的运算法则：分数的分子相乘得到新的分子，分数的分母相乘得到新的分母。
例如，如果我们要计算1/3乘以2/5，那么答案就是2/15、同样地，如果我们要计算3/4乘以2/3，那么答案就是6/12三、乘数是整数而被乘数是分数乘数是整数而被乘数是分数时，乘法公式可以通过将整数乘以分数的分子再除以分数的分母来计算，即乘法的运算法则：整数乘以分数的分子再除以分数的分母得到新的分数。
例如，如果我们要计算5乘以2/3，那么答案就是10/3、同样地，如果我们要计算7乘以1/4，那么答案就是7/4四、乘数是分数而被乘数是整数乘数是分数而被乘数是整数时，乘法公式可以通过将分数的分子乘以整数再除以分数的分母来计算，即乘法的运算法则：分数的分子乘以整数再除以分数的分母得到新的分数。
例如，如果我们要计算2/3乘以4，那么答案就是8/3、同样地，如果我们要计算1/4乘以6，那么答案就是6/4总结起来，乘法公式是根据乘法运算法则来计算乘法的过程中使用的基本工具之一、通过熟练掌握乘法公式，我们能够更加便捷地解决乘法的相关问题，提高数学计算的效率。
所以，在进行乘法运算时，熟练掌握乘法公式是非常重要的。
我们可以通过大量的练习来加深对乘法公式的理解和应用，从而提高数学能力。
乘法公式典型题复习1
2
1 1 2 1 训练：已知：.x + = 5, 求x + 2 的值。 x x 1
a
4
3. 己知 己知x+y=a xy=b 求： ①x2+y2 ②x3+y3 2 2 2 2 4. 已知（a＋b） ＝10，（ －b） ＝2 求a ＋b ， ab的值 已知（ ＋ ） ，（a－ ） 的值 ，（
a2 + b2 ．5.已知a＋b＝5，ab＝7，求 2
2
签一签
1、. 如果多项式 是一个完全平方式，则m的值是 2 2、.如果多项式 是一个完全平方式，则k的值是
x − mx + 9
2
x + 8x + k
。
。
例1：已知： + b) = 40, (a − b) = 4, 求ab的值。 (a
2 2
(a + b) − (a − b) 40 − 4 解：ab = = =9 4 4
(
)
课内练习 1、 、
2、计算：（ ）103 、计算：（1） ：（
2 2
（2）198 ）
4
3、判断（2+1）（ +1）（ +1）…… 、判断（ ）（2 ）（2 ）（ ）（ ） 2048 （2 +1)的个位数字是几？ 的个位数字是几？ 的个位数字是几 4、1.2345 +0.7655 +2×1.2345×0.7655 、 × ×
1 x 2
+2=9,
1 1 4 同理x 同理 +2+ ， 4 =47. 4 =49，∴x + x x
例3：计算 ：计算1999 -2000×1998 ×
〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1， 解析〗此题中 ， ， 正好符合平方差公式。 正好符合平方差公式。 2 2 解：1999 -2000×1998 =1999 -（1999+1）× × （ ） 2-（19992-12）=19992（1999-1） =1999 （ ） 2 1999 +1 =1
平方差公式与完全平方公式试题含答案
平方差公式与完全平方公式试题含答案Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，xyyxx 2y 2 ② 符号变化，xyxyx 2y 2 x 2y 2③ 指数变化，x 2y 2x 2y 2x 4y 4 ④ 系数变化，2ab 2ab 4a 2b 2⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy 2zm 2 x 2y 2z 22zm +m 2x 2y 2z 22zmm 2⑥ 增项变化，xyzxyzxy 2z 2 x 22xy y 2z 2⑦ 连用公式变化，xyxyx 2y 2x 2y 2x 2y 2x 4y 4⑧ 逆用公式变化，xyz 2xyz 2xyzxyzxyzxyz2x 2y 2z 4xy 4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）=19992-（19992-12）=+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
第1讲 乘法公式--竞赛-数学张老师
复习一乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算、代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用．在学习乘法公式时；应该做到以下几点：(1)熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；(2)根据待求式的特点，模仿套用公式；(3)全面理解公式中字母，灵活运用公式；(4)既能正用、又可逆用，且能适当变形或重新组合，综合运用公式．一、基本公式1、平方差公式: (a+b)(a－b)=a2－b22、和的完全平方公式：(a+b)2= a2+2ab+b23、差的完全平方公式：(a－b)2= a2－2ab+b24、立方和公式： (a+b)(a2－ab+b2)=a3+b35、立方差公式： (a－b)(a2 +ab+b2)=a3－b36、欧拉公式： (a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)=a3+b3+c3－3abc7、三项式乘法（a+1）(b+1)(c+1)=abc+(ab+ac+bc)+(a+b+c)+1（a-1）(b-1)(c-1)=abc-(ab+ac+bc)+(a+b+c)-1（a+2）(b+2)(c+2)=abc+2(ab+ac+bc)+4(a+b+c)+8（a-2）(b-2)(c-2)=abc-2(ab+ac+bc)+4(a+b+c)-8（a+n）(b+n)(c+n)=abc+n(ab+ac+bc)+n2(a+b+c)+n3二、公式推广8．多项式的平方公式: (a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2dc9、二项式公式: (a +b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3(a－b)3 = a3－3a2b+3ab2－b3(a +b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a －b)4 =a 4－4a 3b+6a 2b 2-4ab 3+b 4(a +b)5 = a 5+5a 4b 1+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5(a -b)5 = a 5-5a 4b 1+10a 3b 2-10a 2b 3+5ab 4-b 510、、平方和差、立方和差推广（a+b ）(a 3-a 2b+ab 2-b 3)=a 4-b 4(a+b ）(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)=a 5+b 5（a+b ）(a 2n-1-a 2n-2b+…….+ab 2n-2-b 2n-1)=a 2n -b 2n（a+b ）(a 2n -a 2n-1b+…….-ab 2n-1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1(a －b)(a n －1 + a n －2 b +…+ ab n －2+b n －1)=a n －b n三、公式变形及逆运算11、(a+b)2= a 2+2ab+b 2 得;2)(222ab b a b a ±=+4)()(22b a b a ab --+=2)()(222b a b a +-+=2)()(222b a b a --+= .2)1(1.222 a a a a ±=+ 12、(a +b)3 = a 3+3a 2b+3ab 2+b 3得a 3+ b 3=(a +b)3 -3ab （a+b ）13、a n －b n 能被(a －b)整除；a 2n+1+b 2n+1能被(a+b)整除；a 2n -b 2n 能被(a －b)及(a+b)整除；应 用：1、 (1)(太原市竞赛题)已知a 、b 满足等式),2(4,2022a b y b a x -=++=则x 、y 的大小关系是（ ）y x A ≤. y x B ≥. y x C <. y x D >.(2)(河北省竞赛题)已知a 、b 、．c 满足,722=+b a ,122-=-c b =-a c 62,17-则a+b+c 的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．52、(全国初中数学竞赛题)已知,20001999+=x a ,20011999+=x b =C ,20021999+x 则多项式ca bc ab c b a ---++222的值为 ( )A ． 0B ．1C ．2D ．33、(江苏省竞赛题)已知正整数a 、b 、C 满足不等式+<+++ab c b a 42222,89c b +则a 、b 、c 分别等于 4、(重庆市竞赛题)已知,1999)1998()2000(=-⋅-a a 那么，+-2)2000(a =-⋅2)1998(a 5、(全国初中数学联赛题)(1)如果正整数x 、Y 满足方程,6422=-y x 则这样的正整数对(x ，y)的个数 是6、计算：++-+- 22221987198819891990.1222-7、(重庆市竞赛题)计算：⋅-⋅-⋅--)200011)(999111.()311)(211(22228、(1)(希望杯竞赛题)已知x 、y 满足,24522y x y x +=++求代数式yx xy +的值；(2)(希望杯竞赛题)整数x 、Y 满足不等式⋅+≤++y x y x 22122求y x +的值．9．(北京市竞赛题)若b a y x +=+，且2222b a y x +=+ 求证.y 1997199719971997b a x +=+10．(西安市竞赛题)设.1=+b a ,222=+b a 求77b a +的值．1、(1)A （2）B2、D3、.4,6,3===c b a4、40025、2对．6、.19810457、⋅400020018、原式⋅=31 则x+Y=1或2或3． 9 ∵x+y=a+b ，两边平方得：x²+y²+2xy=a²+b²+2ab ，又x²+y²=a²+b²，代入得：xy=ab 。
1411乘法公式(综合1)
1411 乘法公式（综合1）1．平方差公式（1）表达式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2．（2）语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．（3）注意事项：①运用公式要抓住公式的结构特征，左边是两个数的和与这两个数的差相乘，右边正好是这两个数的平方差，对于形如两数和与这两数差相乘，就可运用上述公式计算．②公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可运用该公式．③在运用公式时，要求分清哪个数相当于公式中的a ，哪个数相当于公式中的b ，按公式的结构相乘．计算：①（m ＋4）（m －4）； ②（2a 2＋3b ）（2a 2－3b ）；③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--323232433243x xy x xy2．完全平方公式（1）字母表达式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2．可合写为（a±b）2＝a2±2ab＋b2．（2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．右面可说为：“首平方，尾平方，首尾之积的2倍加减在中央”．（3）注意事项：①对于形如两数和（或差）的平方运算，可运用完全平方公式计算．利用公式计算时，首先确定将哪个数或式看作a，将哪个看作b，再按公式结构展开．②这两个公式，是据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的．③公式中的a、b可表示具体的一个数或其他的一个代数式．④可推广：如（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc．（a＋b＋c＋d）2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd．……3．平方差公式的灵活运用有些式子在计算时，不能直接利用平方差公式，需要稍加变形或变式后，才能使用．常用的方法有如下几种：（1）调换位置．如计算：（1＋2a）（－2a＋1）（2）提取－1或其他公因式．如计算：（－a－b）（a－b）（3）分组．如计算：（a－b＋c－d）（a＋b－c－d）（4）运用积的乘方变形．如计算：（a－b）2（a＋b）2（5）将乘式同时乘以并且同时除以一个适当的因式．如计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）又如计算：（1－m）（1＋m2）（1＋m4）（m≠－1）（6）把一个因式适当变形．如计算：3（22＋1）（24＋1）（28＋1）（7）将因式多项式拆项或添项．如计算：（a－b）（a＋2b）。
乘法公式(一)
§14.3 乘法公式（一）初二数学主讲教师：康学芬第一讲：两数和乘以它们的差1．计算：ababa2ababb2a2b22．公式：两数和乘以它们的差：（平方差公式）ababa2b2两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差。
3．先观察图形（1），再用等式表示下图中图形面积的运算：bbaba（1）ababa2b2abab a2 b24．举例：例1．计算（1）a3a3（2）2a3b2a3b（3）12c12c解：（1）a3a3a232a29（2）2a3b2a3b2a23b24a29b2（3）12c12c122c214c2例2．计算19982002解：1998200220002200022000222400000043999996例3．街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规化后，南北向要加上2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？解：a2a2 a24答：改造后的长方形草坪的面积是a24平方米。
5．练习：一、计算（1）（2）x2x2（3）2xy2xy（4）yxxy解：（1）（2）x2x2x222x24（3）2xy2xyy22x2y24x2（4）yxxyx2y2x2y2二、简便计算（1）498502；（2）9991001解：（1）498502500250025002222500004249996（2）99910011000110001100021210000001999999三、用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域面积最大，而小亮认为不一定，你认为如何？解：矩形区域的周长是一定的，设为4a如果围成正文形，那么其边长为a，面积为a2；如果围成一般的矩形，设其长为abb0，则宽必为ab，因而其面积为ababa2b2，因此围成一般的矩形比围成正方形的面积，要小（小b2），所以小明的说法是有道理的。
6．举例：例4．计算：（1）12x12x14x2116x4；（2）xy2xy2xyxyx2y2解：（1）12x12x14x2116x414x214x2116x4116x4116x41256x8（2）xy2xy2xyxyx2y2xyxy2x2y2x2y2x2y22x4y4x2y2x2y2x4y4x4x2y2x2y2y4x4y42x2y22y47．总结：归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2 x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式变化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz。
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改一改
指出下列各式中的错误，并加以改正： 指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (3) （3a+2）（3b-2）=9ab(2a −2a 3a+2）（ ）（3b =9ab4 (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (4) （0.5+a)(-a+0.5)=a2 (2a 0.5+a)(0.25
想一想
用乘法公式计算： 用乘法公式计算： （1）（a+b)2(a-b)=【（ ）（ ）】 ）（a+b) (a- 2 【（ ）（a-b）】 【（a+b）（ ）】² (2) (a+b+3)(a+b(a+b+3)(a+b-3)
=【（ 【（x+1）（ ）】 ）（x-1）】 【（ ）（ ）】(x²+1)(x +1) =【（）（x²+1）（ 4 ） 】【（a-b） ） =（【（）（ +3】【（ +1） -3】 x²-1）（ ）（x （【（a+b） 】【（ ） 】 ）（ 试一试：4 ） 4 试一试=（a+b）²-3² ： =（（ -1）（ +1） ）（x （x ）（ ） =a²+2ab+b²-9 =x 8 -1 3x+1)2(3x-1)2 (3x① （
主编: 主编:
姚栋祥
回顾 (a+b)(a−b)=a2 − b2; )(a
公式的结构特征: 公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 两个二项式的乘积, 两数和与这两数差的积. 即两数和与这两数差的积. 右边是 这两数的平方差. 这两数的平方差.
回顾
两数和的平方: 两数和的平方: 两数差的平方: 两数差的平方:
解: (1)应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (1)应改为 (2a 应改为: −2• (2)应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (2)应改为 (2a 应改为: (3) 应改为:（3a+2）（3b-2）=9ab-6a+6b-4; 应改为: 3a+2）（ ）（3b =9ab-6a+6b(4) 应改为:（0.5+a)(-a+0.5)=0.25-a² 应改为: 0.5+a)(-a+0.5)=0.25-
2= a2+ (a+b)
2 ab + b2
(a-b)2= a2 - 2 ab + b2
结构特征: 结构特征: 左边是 二项式(即两数和 (差) )的平方; 的平方; 右边是
两倍. 两倍.
两数的平方和加上(减去)这两数乘积的 加上(减去)
练一练
（1）（x＋2）（x－2） x²-4 ）（x ）（x = x² =m² ）（－m ）（－m （2）（－m－n）（－m＋n）=m²-n² ）（x （3）（x＋y）2 =x²+2xy+y² =x²+2xy+y² （4）（－m－n）（m＋n） ）（－m ）（m
58
作业： 作业：
课本第33页 课本第33页 习题13.3 习题13.3 1.计算 1.计算 2.计算 2.计算
试一试
1、已知x+y=3,x2+y2=5,则xy 已知x+y=3,x =5,则 的值等于多少？ 的值等于多少？
2
2、已知x-y=4,xy=21,则x2+y2 已知xห้องสมุดไป่ตู้y=4,xy=21,则 （x+y）²-（x²+y²） ） （ ） 的值等于多少？ 的值等于多少？ =2xy=4
xy=2 x²+y²=（x-y）²+2xy +y² =4²+2×21 =4²+2× =58
想一想
已知x+y=3，xy=-12 ， 已知 的值。 ，求下列各式 的值。 ①x2+y2 ③(x-y)² ④ |x-y|
=（x+y）²-2xy=3²-2×（-12）=33 （ ） × ） =（x+y）²-3xy=3²-3×（-12）=45 （ ） × ）
②x2-xy+y2
=（x+y）²-4xy=3²-4×（-12）=57 （ ） × ） 解:（x-y）²=（x+y）²-4xy=57 （ ） （ ） x-y= ± 57 |x-y|= 57
② 【（(x+1)(x2+1)(x4+1)(x-1) =【（ 【（3x+1）（ ）（3x-1）】+1)(x）】² ）（ ）】
=（9x²-1）² （ ） 4 =81x -18x²-1
想一想
.若x − y = 12，x + y = 6，则x = y= .
2 2
,
解：
∵ x
2
− y
2
= 12
∴ ( x + y )( x − y ) = 1 2 ∵ x + y = 6 ∴ x − y = 2 ∴ x = 4, y = 2