4平行四边形的存在性问题解题策略

7 4 P a,− a 1 3 3 1 4 N a,− a 3 3 4 1 P − a, a 2 3 3
4 5 P a, a 3 3 3
计算——将P代入抛物线求 代入抛物线求a 第三步 计算 将 代入抛物线求
P代入y = x 2 − 2 x + a
08黄冈20 08太原29 09崇明24 09江西24 09青浦24
08金华23 08乌鲁木齐23 09福州21 09莆田25 09徐汇24
08青岛24 08盐城27 09湖州24 09普陀25
三部曲： 先分类； 再画图； 后计算． 几何法与代数法相结合
几何
确定目标
代数
准确定位
几何法与代数法相结合——又好又快
09江西24
y = −x + 2x + 3
2
心动不如行动
抛物线的顶点为D．连结BC，与抛物线的对称轴 交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作 PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．当 m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
第一步 画图
D→
E→
比比画画PF//DE、PF=DE
求m=xP
小结
技能、思想、 技能、思想、方法
画图 数形结合思想 方程思想 配方法 待定系数法
看似毫无悬念
09湖州24
y = x 2 − 2 x + a(a < 0)
1 y = x−a 2
在抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标 .
有效问题1
以P、A、C、N为顶点的平行四边形有几个？
小结
E E
如果你只想出了一个图形， 如果你只想出了一个图形， 而列出了一元二次方程， 而列出了一元二次方程， m 2 − 2 3m − 9 = 0 千万别舍去另一个根！ 千万别舍去另一个根！ 用思想去检验你的行动！ 用思想去检验你的行动！
09徐汇24
在直角坐标平面内确定点M，使得以点 M、A、B、C为顶点的四边形是平行四 边形，请直接写出点M的坐标.
A、C、E、F
点E在x轴上 点F在抛物线上
第一步确定分类标准与第二步画图相结合 第一步确定分类标准与第二步画图相结合 确定分类标准
A、C、E、F
点E在x轴上 点F在抛物线上
如果AE为边， 那么由AE//CF确定点F， 再由AE=CF确定点E(2个).
第一步确定分类标准与第二步画图相结合 第一步确定分类标准与第二步画图相结合 确定分类标准 点F在抛物线上 点E在x轴上
a代入P
7 4 P a,− a 1 3 3
4 5 P a, a 3 3 3
3 a1 = 0, a2 = − 8
a=0
1 7 P − , 1 2 8
4 1 P − a, a 2 3 3
15 a1 = 0, a2 = − 8
5 5 P ,− 2 2 8
如果AE为对角线， 那么C 、 F到x轴距离相等， 直线与抛物线有2个交点F. 直线 再由AF=CE确定点E(2个).
讨论：如果以 为分类的标准 为分类的标准？ 讨论：如果以AC为分类的标准？
计算——思路就在画图的过程中 第三步 计算 思路就在画图的过程中
y = − x 2 − 2 x + 3 = −( x + 1) 2 + 4
08黄冈20
A(8,0), B (8,10), C (0,4)
D是BC的中点
动点P：O → A → B → D v = 1, t
当P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到 一点Q，使得四边形CQPD为矩形？求P.
第一步 画图
一目了然， 一目了然， 矩形CQPD不存在 不存在. 矩形 不存在
第二步 计算说理
对边不等
对角线不平分
详细的解题过程 和动感体验
请参考
《挑战中考数学压轴题》 挑战中考数学压轴题》
09普陀25
若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行 四边形，该平行四边形的另一顶点E在y轴上， 写出点P的坐标．
第一步确定分类标准与第二步画图相结合 第一步确定分类标准与第二步画图相结合 确定分类标准
第一步确定分类标准与第二步画图相结合 第一步确定分类标准与第二步画图相结合 确定分类标准 计算——思路就在画图的过程中 第三步 计算 思路就在画图的过程中
画图的顺序:因 而 画图的顺序 因E而F? 因F而E? 而 画图的依据:平行 尺 且相等 且相等(规 画图的依据 平行(尺)且相等 规) 平行 求点E的坐标的方法 点 、 的平移 求点 的坐标的方法:点A、H的平移 的坐标的方法
15 25 2 PE = − 5 = 4 4
2
对角线不平分， 对角线不平分，不是菱形
说理——各说各的理 各说各的理——只要有理 第二步 说理 各说各的理 只要有理
如果用圆周角定理——对角线不平分每组对角 对角线不平分每组对角 如果用圆周角定理
AB平分∠QBP 不平分∠QAP
热身运动
4 sin B = 5 3 cos B = 5
第二步 计算说理
想选哪个图形 随你便！ 随你便！
第二步 计算说理
方法一
3 4 5 = = 5 PD BP
3 4 5 = = OQ 4 CQ
第二步 计算说理
方法二
3 4 5 = = OQ 4 CQ
3 4 5 = = PA 5 PQ
第二步 计算说理
画示意图——实在不好办啊！ 实在不好办啊！ 第一步 画示意图 实在不好办啊
擦除y轴和点B
因F而E
因E而y轴
E E
抛物线左右平移后与直线AB的一个交点为F 线段EF//x轴 抛物线左右平移后与y轴交于点E
计算——点F是交点！ 是交点！ 第二步 计算 点 是交点
E
1 设平移后的抛物线为y = ( x − m) 2 3 1 2 那么E (0, m ) 3 由于EF // x轴
于是直线AM : y = − x + a
y = − x + a, 解方程组 1 y = 2 x − a. 1 4 得N a,− a 3 3
1 y = x−a 2
画示意图——不需画出抛物线 第二步 画示意图 不需画出抛物线 计算——用a表示点 的坐标 用 表示点 表示点P的坐标 计算 点N向上平移－2a个单位得到P1. 点N向下平移－2a个单位得到P3. 点N与P2关于O对称.
AB平分∠QAP 不平分∠QBP
小结 这道题目有点怪 说不存在吧， 说不存在吧，还要按一定标准 分类， 分类，把各种情况都说理一下
还有分类 方法吗？ 方法吗？
的三个顶点画对边的平行线， 过△ABP的三个顶点画对边的平行线，分三种情况 的三个顶点画对边的平行线
小结
分两类： 为边， 按AB分两类： AB为边， AB为对角线 分两类 为边 为对角线
有效问题2
点N经过怎样的运动可以得到P1 ？
有效问题3
点P1与P3的位置关系 ？
有效问题4
点N与P2的位置关系 ？
计算——用a表示点 的坐标 表示点N的坐标 第一步 计算 用 表示点
由y = x 2 − 2 x + a = ( x − 1) 2 + a − 1
得A(0, a ), M (1, a − 1)
m1 = 3 3的几何意义对应左图 m2 = − 3的几何意义对应右图
小结
E
1 2 F (2m, m ) 3
E
1 设平移后的抛物线为y = ( x − m) 2 3
m 2 − 2 3m − 9 = 0
为什么一个方程 解决两个图形 的问题？ 的问题？
m1 = 3 3的几何意义对应左图 m2 = − 3的几何意义对应右图
A(1,0), C (0,3)
点F与点C关于直线x＝－1对称 F(－2,3)，FC＝2 如果AE为边， 那么由AE//CF确定点F， 再由AE=CF确定点E(2个). AE＝ FC＝ 2
E1(－1,0) ,E2(3,0)
计算——思路就在画图的过程中 第三步 计算 思路就在画图的过程中
y = −x2 − 2x + 3 A(1,0), C (0,3)
方法三
3 4 5 = = 5 PD BP
25 BP = 3 5 AP = 3
3 4 5 = = 5 AQ PQ 3
09崇明24
y = −x2 − 2x + 3
A(1,0), C (0,3)
若E点在x轴上，F点在抛物线上，如果A、C、 E、F构成平行四边形，写出点E的坐标 .
第一步确定分类标准与第二步画图相结合 第一步确定分类标准与第二步画图相结合 确定分类标准
第二步 计算
变形、配方y = − x 2 + 2 x + 3 = −( x + 1)( x − 3) = −( x − 1) 2 + 4
得A(−1,0), B (3,0), C (0,3), D(1,4) 从而直线BC : y = − x + 3
因此E (1,2), DE = 2
所以FP = DE = 2, y F − y P = 2
A、D、P、E
点P在x轴上 点E在y轴上
第一步确定分类标准与第二步画图相结合 第一步确定分类标准与第二步画图相结合 确定分类标准
A、C、E、F
点P在x轴上 点E在y轴上
如果AP为边， 那么由AP//DE确定点E， 再由AP=DE确定点P(2个).
第一步确定分类标准与第二步画图相结合 第一步确定分类标准与第二步画图相结合 确定分类标准 点E在y轴上 点P在x轴上
画示意图——应用典型结论 第一步 画示意图 应用典型结论
点C经过怎样的运动可以得到M1 ？ 点M1与M2的位置关系 ？ 点C与M3的位置关系 ？
计算——用坐标表示点的运动 第二步 计算 用坐标表示点的运动
点C向右平移3个单位可以得到M1 点M1与M2关于y轴对称 点C与M3到x轴的距离相等
M 1 (3,2) M 2 (−3,2)
求m=xP
(− m + 2m+3)−(− m+3) = 2
2
解得m1 = 1, m2 = 2
第二步 计算
A(−1,0), B(3,0), C (0,3), D(1,4), E (1,2)
求m=xP
解得m1 = 1, m2 = 2
m1 = 1的几何意义就是点E , m2 = 2的几何意义就是点P.
因此m=2
M 3 (5,−2)
09青浦24
25 AP = 4
3 y = x+6 4
在⊙P上是否存在点Q，使以A、P、B、Q 为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明
理由．
画示意图——应用典型结论 第一步 画示意图 应用典型结论
在⊙P上是否存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点 的四边形是菱形？若不存在，请说明理由．
说理——各说各的理 各说各的理——只要有理 第二步 说理 各说各的理 只要有理
直线y = 3 x+6 4
25 AP = 4
A(−8,0), B(0,6)
AB = 10
边不相等，不是菱形
说理——各说各的理 各说各的理——只要有理 第二步 说理 各说各的理 只要有理
25 AP = 4
25 PQ = 4
如果AP为对角线， 那么D 、 E到x轴距离相等， 再由PE//AD确定点P(1个).
计算——思路就在画图的过程中 第三步 计算 思路就在画图的过程中 如果AP为边， 那么由AP//DE确定点E， 再由AP=DE确定点P(2个).
由AP＝Fra Baidu bibliotekDE＝ 1
知P(3,0) ,P′(1,0)
如果AE为对角线， 那么C、F到x轴距离相等， 直线与抛物线有2个交点F. 直线 再由AF=CE确定点E(2个).
解方程 − x 2 − 2 x + 3 = −3
得xF = −1 − 7 , xF ' = −1 + 7
由HE = OA = 1
知E(−2 − 7,0), E' (−2 + 7,0)
小结
1 2 所以F (2m, m ) 3 3 将F代入直线y = x+3 3
m 2 − 2 3m − 9 = 0
1 2 原抛物线y = x 3
3 直线y = x+3 3
计算——点F是交点！ 是交点！ 第二步 计算 点 是交点
E E
m 2 − 2 3m − 9 = 0
(m − 3 3 )(m + 3 ) = 0 m1 = 3 3 , m2 = − 3
08盐城27
y=
3 x+3 3
抛物线左右平移后与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其 中一个交点为F，当线段EF//x轴时，求平移后的抛物线对应 的函数关系式.
画示意图——实在不好办啊！ 实在不好办啊！ 第一步 画示意图 实在不好办啊
先画什么呢？ 先画什么呢？
抛物线左右平移后与y轴交于点E 抛物线左右平移后与直线AB的一个交点为F 线段EF//x轴