第四章多维随机变量及其分布

2 1 2 2
试求二维正态随机变量的边缘概率密度
解：f X ( x)

f ( x, y)dy
( x 1 ) 2 t2 2 2 1 2 ( x 1 ) 2
2 2 1

f X ( x)
1 21
e
e
dt
1 e 2 1

同理
fY ( y )
2 F ( x, y) f ( x, y) xy

f ( x, y)dxdy F (,) 1;
3. 连续型(X,Y)的概率密度
例2 设(X,Y)具有概率密度
解:F(x,y)= f ( x, y)dxdy
y x
( 2 x y ) x 0, y 0; ， f ( x, y) 2e 其它 0，
2.离散型随机变量的边缘分布律
X的分布律 Pi .=P{X=xi}= pij (i=1,2,…)称为(X,Y)关于X的边缘分布律
j 1
Y的分布律 P.j=P{Y=yj}= pij
i 1

(j=1,2,…)称为(X,Y)关于Y的边缘分布律
X X1 Y. y1 P11 P21 …… Pi1 …… P. 1 X2 …… xi …… ∑
x



fY ( y)

f ( x, y)dx
y 6dx 6( y y ), y [0,1]; y y [0,1] 0,
例3 设(X,Y)的概率密度为
1 ( x 1 ) ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 f ( x, y ) exp{ [ 2 ]} 2 2(1 2 ) 12 1 2 22 21 2 1 1

f ( x, y)dx
1 2 2

( y 2 )2
2 2 2
与

无关。
e
即二维正态分布的两个边缘分布均为一维正态分布。
§3、条件分布
1.
离散型(X,Y)的条件分布律

定义：设(X,Y)的分布律为：P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,… P{X=xi}=pi. (=
问X,Y是否相互独立?
解:fX(x)= fY(y)=



f ( x, y)dy
2e ( 2 x y ) dy 2e 2 x (e y | ) 2e 2 x , 0 0 0, ( x, y)dx
2e ( 2 x y ) dx e y (e 2 x | ) e y , 0 0 0,
2
x , y 其中 1 , 2 , 1 , 2 , 都是常数，且 1 0, 2 0,1 1
则称(X,Y)服从参数为 1 , 2 , 1 , 2 , 的二维正态分布。 记为
( X , Y ) ~ N (1, 2 , , , )
FX |Y ( x | y)


x
f X |Y ( x | y)dx
f ( x, y) fY ( y) dx
x
为在Y=y条件下X的条件分布函数;类似的,若对固定的x, fX(x)>0, f ( x, y ) 称 fY|X(y|x)= f X ( x) 为在X=x条件下Y的条件概率密度.称
1.求分布函数F(x,y)；2.求概率P{Y≤X}.
y x ( 2u v ) 2e dudv (1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0; 0 0 0, 其它.
2.P{Y≤X}=P{(X,Y)} ∈D}
f ( x, y)dxdy 2e
称为(X,Y)关于Y的边缘概率密度。
6, x 2 y x; 例2 设(X,Y)的概率密度为 f ( x, y) 其它. 0, 求边缘概率密度。 解： f ( x) f ( x, y)dy
X
2 6dy 6( x x ), x [0,1]; x2 x [0,1] 0,
第四章 多维随机变量及其分布
§1、二维随机变量 引例 E:射击一枪，观察弹着点(X,Y). 一般，设E的样本空间S={e}, X=X(e),Y=Y(e)均为随机变量，称 (X,Y)为二维随机变量（或二维随机 向量）。 （ X=X(e)和Y=Y(e)均称为一维随机 变量， ）
1.(X,Y)的分布函数定义:设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数 x,y,二元函数 F(x,y)=P{(X≤x) ∩(Y≤y)} 称为(X,Y)的分布函数，或X和Y联合分布函数.记为 : F(x,y)= P{X≤x,Y≤y}, (为(X,Y)落在D内的概率.)
x2 p21 p22 …… p2j ……
…… …… …… …… …… ……
xi pi1 pi2 …… pij …..
…… …… …… …… …… ……
分布函数F(x,y)=
xi x y j y

pij
若二维随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y)可表为:
F ( x, y)

f (u, v)dudv
, f ( x, y ) 0, x y 1; 其它.
求在Y=y条件下X的条件概率密度fX|Y(x|y).

2 1 1 y 2 2 dx 1 y 2 , 1 y 1; 解：fY(y)= f ( x, y )dx 1 y 0, 其它.

xi | Y y j } p j p j 1

i 1

pij p j
2.连续型(X,Y)的条件分布
定义：设(X,Y)的概率密度f(x,y),若对固定的y, fY(y)>0,则称 f ( x, y ) fX|Y(x|y)= fY ( y )
为在Y=y条件下X的条件概率密度.称
y 0; 其它.
∴f(x,y)=fX(x) fY(y), 因而X,Y是相互独立的。
y
x
例2 设(X,Y)具有分布律：
X Y 1 2 P{X=i } 1/6 1/6 1/3 2/6 2/6 2/3 1/2 1/2 1 0 1 P{Y=j }
问X,Y是否相互独立? 解:P{X=0,Y=1}=1/6=P{X=0}P{Y=1}; P{X=0,Y=2}=1/6=P{X=0}P{Y=2}; P{X=1,Y=1}=2/6=P{X=1}P{Y=1}; P{X=1,Y=2}=2/6=P{X=1}P{Y=2}. 因而X,Y是相互独立的。
P{X xi , Y y j } P{X xi } pij pi
j=1,2,…
为在X=xi条件下Y的条件分布律；
1.离散型(X,Y)的条件分布律
性质：
1. P{X=xi|Y=yj} ≥0;
2.
P{X x | Y y } 1
i 1 i j

证：
P{ X
i 1
y2
……
P12
……
P22
……
……
……
Pi2
……
……
……
P. 2
……
yj
……
P1j
……
P2j
……
……
……
Pi
j
……
……
P. j
……
…..
∑
P1.
P2.
……
Pi.
……
1
3.连续型随机变量的边缘概率密度 FX(x)=F(x,+∞)=

[ f (u, v)dv]du g (u)du
2 例3 设 ( X , Y ) ~ N (1, 2 ,12 , 2 , )
则X,Y相互独立的充要条件为 0
pij
j 1
);P{Y=yj}=p.j(= pij )
i 1

若对于固定的j，P{Y=yj}>0,则称
P{X=xi|Y=yj}
P{X xi , Y y j } P{Y y j }

pij p j
i=1,2,…
为在Y=yj条件下X的条件分布律； 若对于固定的i，P{X=xi}>0,则称 P{Y=yj|X=xi}
§2、边缘分布
1. 边缘分布函数 (X,Y)中，X、Y均为随机变量，它们的 分布函数分别记为FX(x) 和FY(y) ，依次 称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y 的边缘分布函数。
FX(x)=P(X≤x)=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞) FY(y)=P(Y≤y)=P{X<+∞,Y≤y}=F(+∞,y)
fX(x)fY(y)是(X,Y)的概率密度
X 和Y相互独立

对(x,y)的任意可能值(xi,yj),有 P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}
( 2 x y ) x 0, y 0; ， f ( x, y) 2e 例1 设(X,Y)具有概率密度 其它 0，
D1: x1<x≤x2,y1<y≤y2
设(X,Y)所有可能值为(xi,yj) ，P{X=xi,Y=yj}=pij p 1. (pij ≥0) (i,j=1,2,…) (*) 则称（*）式为(X,Y)的分布律，或X和Y联合分布律。 可表为： x
ij j i
y y1 y2 …… yj ……
x1 p11 p12 …… p1j ......
性质： 1. F (, y) F ( x,) F (,) 0 2. F (,) 1 3.F(x,y)关于x,y均为不减函数; 4.右连续：F(x+0,y)=F(x,y); F(x,y+0)=F(x,y).