高中数学第三章圆锥曲线与方程3双曲线3.1双曲线及其标准方程课时跟踪训练北师大版选修2_1
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3_3_1 双曲线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1
2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 根据双曲线的定义：乙⇒甲，但甲⇒/乙，只有当2a ＜|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．答案： B2．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．5C ．6D ．9解析： 由x 29－y 216＝1得a 2＝9，∴a ＝3， 根据双曲线定义|d －3|＝2a ＝6，∴d ＝9或d ＝－3(舍)．答案： D3．已知椭圆C 1的离心率为35，焦点在x 轴上且长轴长为10，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 24－y 25＝1 B.x 25－y 24＝1 C.x 252－y 242＝1 D.x 242－y 252＝1 解析： 由题意知椭圆C 1的两个焦点为(－3,0)，(3,0)．设曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝9，且2a ＝4.∴a 2＝4，b 2＝5，故选A.答案： A4．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析： 原方程表示双曲线的充要条件是(9－k )(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4，故k ＞9是原方程表示双曲线的充分不必要条件．答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝________.解析： 依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1， 所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1. 答案： －16．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF2的周长是________．解析： 由双曲线的定义|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ，∴△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |＝26.答案： 26三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别求符合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24；(2)求与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，22)的双曲线的方程． 解析： (1)由题意，双曲线的焦点在y 轴上，因此可设其标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1. ∵2a ＝24，∴a ＝12.∵一个焦点坐标为F 1(0，－13)，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的方程为y 2144－x 225＝1. (2)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点为(25，0)，(－25，0)， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1， 则a 2＋b 2＝20.①又∵过点(32，22)，∴18a 2－8b2＝1.② 由①②，得a 2＝10，b 2＝10∴双曲线方程为x 210－y 210＝1. 8．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离．解析： ∵双曲线方程为x 2144－y 225＝1， ∴c ＝144＋25＝13，于是焦点坐标为F 1(－13,0)、F 2(13,0)，设过点F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，∴y 225＝132144－1＝25144， ∴y ＝2512，即|AF 1|＝2512. 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋2512＝31312. 故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为2512和31312. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明它表示什么曲线．解析： 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|CB |2R， sin B ＝|CA |2R ，sin C ＝|AB |2R. ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|CB |＋|AB |＝2|CA |.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |， 由双曲线定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)， 故点C 的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)． 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3_3_1 双曲线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1
2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 根据双曲线的定义：乙⇒甲，但甲⇒/乙，只有当2a ＜|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．答案： B2．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．5C ．6D ．9 解析： 由x 29－y 216＝1得a 2＝9，∴a ＝3， 根据双曲线定义|d －3|＝2a ＝6，∴d ＝9或d ＝－3(舍)．答案： D3．已知椭圆C 1的离心率为35，焦点在x 轴上且长轴长为10，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 24－y 25＝1 B.x 25－y 24＝1 C.x 252－y 242＝1 D.x 242－y 252＝1 解析： 由题意知椭圆C 1的两个焦点为(－3,0)，(3,0)．设曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝9，且2a ＝4.∴a 2＝4，b 2＝5，故选A.答案： A4．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 解析： 原方程表示双曲线的充要条件是(9－k )(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4，故k ＞9是原方程表示双曲线的充分不必要条件．答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝________.解析： 依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1， 所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1. 答案： －16．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是________．解析： 由双曲线的定义|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ，∴△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |＝26.答案： 26三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别求符合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24；(2)求与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，22)的双曲线的方程．解析： (1)由题意，双曲线的焦点在y 轴上，因此可设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.∵2a ＝24，∴a ＝12.∵一个焦点坐标为F 1(0，－13)，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的方程为y 2144－x 225＝1. (2)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点为(25，0)，(－25，0)， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＋b 2＝20.①又∵过点(32，22)，∴18a 2－8b 2＝1.②由①②，得a 2＝10，b 2＝10 ∴双曲线方程为x 210－y 210＝1. 8．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离．解析： ∵双曲线方程为x 2144－y 225＝1， ∴c ＝144＋25＝13，于是焦点坐标为F 1(－13,0)、F 2(13,0)，设过点F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，∴y 225＝132144－1＝25144， ∴y ＝2512，即|AF 1|＝2512. 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋2512＝31312. 故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为2512和31312. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明它表示什么曲线．解析： 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|CB |2R， sin B ＝|CA |2R ，sin C ＝|AB |2R. ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|CB |＋|AB |＝2|CA |.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |， 由双曲线定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6，∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)， 故点C 的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．。
2016-2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.1抛物线及其标准方程课后演练提升北师大版选
2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.1 拋物线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．对拋物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 解析： 拋物线方程可化为：x 2＝14y ，∴2p ＝14，开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，故选B.答案： B2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8解析： 由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.答案： B3．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析： 设动圆的半径为r ，圆心O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y 2＝8x .故选A.答案： A4．焦点在x 轴上，又在直线3x －4y －12＝0上的拋物线的标准方程是( )A ．y 2＝－16xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝12x解析： 直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点坐标为(4,0)，故拋物线方程为y 2＝16x . 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．抛物线y 2＝2px ，过点M (2,2)，则点M 到抛物线准线的距离为________．解析： y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p 2＝52.答案： 526．若拋物线y 2＝mx 与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m ＝________.解析： ∵椭圆x 29＋y 25＝1的焦点为(2,0)、(－2,0)，若拋物线与椭圆共焦点(2,0)，则m4＝2，∴m ＝8；若共焦点(－2,0)，则m ＝－8，∴m ＝±8.答案： ±8三、解答题(每小题10分，共20分)7．在平面直角坐标系xOy 中，拋物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．(1)求拋物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．解析： (1)由题意，可设拋物线C 的标准方程为y 2＝2px ，因为点A (2,2)在拋物线C 上，所以p ＝1.因此，拋物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.8．某桥的桥洞呈拋物线形，桥下水面宽16 m ，当水面上涨2 m 时，水面宽变为12 m ，求此时桥洞顶部距水面的高度．解析： 建立坐标系如图所示，设拋物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由条件可知点B 的横坐标为8，点E 的横坐标为6.两点的纵坐标分别为y B ＝－32p ，y E ＝－18p，∴y E －y B ＝14p＝2，得p ＝7，∴拋物线方程为：x 2＝－14y ，y E ＝－187，所以此时桥洞顶部距水面的高度为187 m.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知拋物线的顶点为直角坐标系的原点，准线方程为4x ＋1＝0.(1)在拋物线上有一定点P ，到拋物线焦点的距离为|PF |＝52，求点P 的坐标；(2)设拋物线上有一动点Q ，当动点Q 与点A (1,0)的距离|QA |取得最小值时，求Q 点的坐标，及|QA |的最小值．解析： (1)因为准线方程为4x ＋1＝0，即x ＝－14，得p 2＝14，所以p ＝12，由题意，拋物线方程为y 2＝x .设P (x 1，y 1)，因为|PF |等于点P 到准线的距离，所以x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝52，得x 1＝94，进而y 1＝±32，即点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－32.(2)设Q (a 2，a )，则|QA |＝a 2－12＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122＋34，当且仅当a 2＝12时，|QA |取得最小值32，此时Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－22.。
2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 双曲线及其标准方程课时作业 北师大版选修2-1
§3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于__________)的点的集合叫作双曲线．平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________．平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫作________________，两焦点间的距离叫作______________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22 D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝________________________________________________________________________. 8．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞) D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a<|F 1F 2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab<0，所以b a <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线．]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m＋3＋m ＝c 2＝4.∴m＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.] 7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k<1解析 因为方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k<1. 9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y)，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC|2R －|AB|2R ＝12·|BC|2R ，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y212＝1 (x>2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P(x ，y)(x≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x≥3)．令g(x)＝43x 2＋2x －1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3.∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y25＝1.。
2017_18版高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1双曲线及其标准方程课件北师大版选修
跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程. (1)c＝ 6 ，经过点A(－5，2)，焦点在x轴上； 解答
x2 y2 设双曲线标准方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)， ∵c＝ 6，∴b2＝c2－a2＝6－a2. 25 4 25 4 2＝5或a2＝30(舍). 由题意知 a2 －b2＝1，∴ a2 － 解得 a 2＝1， 6－a
答案 解析
类型二
例3
待定系数法求双曲线的标准方程
9 2)和4，5 ，
(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上， 并且双曲线过点(3， －4
求双曲线的标准方程； 解答
y2 x2 设所求双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，
9 32 2 － 2＝1， a b 则 81 25 2－ 2＝1， 16b a
双曲线中a，b，c的关系如何？ 与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
答案
双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，
是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，
c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2
＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定.
1 ④利用公式 S△PF F ＝2×|PF1|· |PF2|sin∠F1PF2 求得面积. 1 2
(2)方法二：
1 利用公式 S△PF F ＝2×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标)求得面积. 1 2
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义
条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|· |PF2|间
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课时作业 北师大版选修21
3.3.1 双曲线及其标准方程[基础达标]1.双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点的坐标为(62，0)． 2.已知双曲线C 的右焦点为F (3，0)，c a ＝32，则C 的标准方程是( )A.x 24－y 25＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 22－y 25＝1 D ．x 22－y 25＝1解析：选B.由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.3.若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6解析：选C.设P 到左焦点的距离为r ，c 2＝12＋4＝16，c ＝4，a ＝2，c －a ＝2，则由双曲线定义|r －8|＝4，∴r ＝4或r ＝12，4，12∈[2，＋∞)，符合题意．4.已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：选C.a ＝3，b ＝4，c ＝5，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ＝10，|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝6＋10＝16，F 2到PF 1的距离为6，故S △PF 1F 2＝12×6×16＝48.5.已知F 1，F 2为双曲线x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在该双曲线上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B ．35 C.34D ．45解析：选C.双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，a ＝b ＝2，c ＝2，由⎩⎨⎧|PF 1|＝2|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝22，得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 6.双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，则k 的值为________． 解析：依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.答案：－17.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6，0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin Csin B＝________．解析：A (－6，0)，C (6，0)为双曲线x 225－y 211＝1的左，右焦点．由于B 在双曲线左支上，在△ABC 中，由正弦定理知，|BC |＝2R sin A ，|AB |＝2R sin C ，2R sin B ＝|AC |＝12，根据双曲线定义|BC |－|AB |＝10，故sin A －sin C sin B ＝2R sin A －2R sin C 2R sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝1012＝56. 答案：568.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若|PQ |＝16，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：显然点A (5，0)为双曲线的右焦点．由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：449.设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆C 的圆心轨迹L 的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2， 所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝25，所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中a ＝2，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝1， 故C 的圆心轨迹L 的方程是x 24－y 2＝1.10.双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，求点P 到x轴的距离．解：设P 点为(x 0，y 0)，而F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则PF 1→＝(－5－x 0，－y 0)，PF 2→＝(5－x 0，－y 0)．∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→·PF 2→＝0，即(－5－x 0)(5－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝0， 整理，得x 20＋y 20＝25①. 又∵P (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 209－y 2016＝1②. 联立①②，得y 20＝25625，即|y 0|＝165.因此点P 到x 轴的距离为165.[能力提升]1.如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3 B ． 5 C.5－ 3D ．5＋ 3解析：选C.|OM |－|MT |＝12|PE |－(|MF |－|FT |)＝|FT |－12(|PF |－|PE |)＝5－12×2 3＝5－ 3.2.已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则|MA |＋|MB |的最小值为________．解析：设D (5，0)，则A 、D 为双曲线的两个焦点，连接BD ，MD ，由双曲线的定义，得|MA |－|MD |＝2a ＝2.∴|MA |＋|MB |＝2＋|MB |＋|MD |≥2＋|BD |，又点B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故|BD |≥|CD |－1＝10－1，从而|MA |＋|MB |≥2＋|BD |≥10＋1，当点M ，B 在线段CD 上时上式取等号，即|MA |＋|MB |的最小值为10＋1.答案：10＋13.已知双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．解：法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2a 2－（325）2b2＝1.（437）2a 2－42b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19.不合题意，舍去；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上， 知⎩⎪⎨⎪⎧（325）2a 2－（－2）2b2＝1，42a 2－（437）2b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2m ＋（325）2n ＝1（437）2m ＋42n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116n ＝19，故所求方程为y 29－x 216＝1.4．设点P 到点M (－1，0)，N (1，0)的距离之差为2m ，到x 轴，y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)．所以点P (x ，y )，M (－1，0)，N (1，0)三点不共线， 所以||PM |－|PN ||<|MN |＝2. 又因为||PM |－|PN ||＝2|m |>0， 所以0<|m |<1.所以点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上，且a 2＝m 2，c 2＝1， 所以b 2＝1－m 2，所以x 2m 2－y 21－m 2＝1.①把y ＝±2x (x ≠0)代入①，得x 2＝m 2（1－m 2）1－5m2. 因为1－m 2>0，所以1－5m 2>0， 解得0<|m |<55， 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，55.。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 双曲线及其标准方程学案 北师大版选修21
3.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义思考如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？梳理(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的______等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.__________叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的______.(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的______(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的______.(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是__________________.知识点二双曲线的标准方程思考1 双曲线的标准方程的推导过程是什么？思考2 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？梳理 (1)两种形式的标准方程(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在______上；若y 2项的系数为正，那么焦点在______上.(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0).(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b 2＝____________与椭圆中的b 2＝________相区别.类型一 双曲线的定义及应用命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题例1 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积. 引申探究本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积.反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式12PF F S △＝12×|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2求得面积.(2)方法二：利用公式12PF F S △＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积.特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系.跟踪训练1 如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积.命题角度2 利用双曲线定义求其标准方程例2 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A.|PF 1|－|PF 2|＝±3B.|PF 1|－|PF 2|＝±4C.|PF 1|－|PF 2|＝±5D.|PF 1|2－|PF 2|2＝±4(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________. 反思与感悟 双曲线定义的两种应用(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线.(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为①寻求动点M 与定点F 1，F 2 之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0).③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c .④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.跟踪训练2 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线.类型二 待定系数法求双曲线的标准方程例3 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴. (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0).②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2).(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值. (4)结论：写出双曲线的标准方程.跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程. (1)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上； (2)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(3)与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，2).类型三 双曲线定义的综合运用例4 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1有交点P ，且有公共的焦点，且∠F 1PF 2＝2α，求证：tan α＝n b.反思与感悟 (1)结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力.(2)双曲线与椭圆的比较如下表：利用双曲线与椭圆的关系，可类比椭圆得到双曲线的有关结论，或用类似方法解决双曲线的有关问题，以及双曲线与椭圆的综合问题.跟踪训练4 (1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程.(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P是椭圆C 上任意一点，设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特殊的性质，并加以证明.1.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A.11 B.9 C.5 D.32.设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左，右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A.4 2 B.8 3 C.24 D.483.已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为______________.4.已知双曲线2x 2－y 2＝k (k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________________. 5.已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________.1.双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设F 1，F 2表示双曲线的左，右焦点， 若|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则点M 在右支上； 若|MF 2|－|MF 1|＝2a ，则点M 在左支上. (2)双曲线定义的双向运用：①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线.②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.2.求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解.特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.提醒：完成作业第三章§3 3.1答案精析问题导学 知识点一思考 曲线上的点满足条件：|MF 1|－|MF 2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF 2|－|MF 1|＝常数，可得到另一条曲线.梳理 (1)绝对值 这两个定点 焦距 (2)两条射线 (3)一支 (4)线段F 1F 2的中垂线 知识点二思考1 (1)建系：以直线F 1F 2为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立平面直角坐标系.(2)设点：设M (x ，y )是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0). (3)列式：由|MF 1|－|MF 2|＝±2a ， 可得x ＋c2＋y 2－x －c2＋y 2＝±2a .①(4)化简：移项，平方后可得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2).令c 2－a 2＝b 2，得双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).②(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x ，y )为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程.(此步骤可省略) 思考2 双曲线标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2，其中c >a ，c >b ，a 与b 的大小关系不确定；而在椭圆中b 2＝a 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2，其中a >b >0，a >c ，c 与b 的大小关系不确定.梳理 (1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) a 2＋b 2＝c 2(2)x 轴 y 轴 (4)c 2－a 2a 2－c 2题型探究例1 解 由x 29－y 216＝1， 得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 引申探究解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ①在Rt△F 1PF 2中，由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100， ②将②代入①得|PF 1|·|PF 2|＝32， 所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝16.跟踪训练1 解 在△MF 1F 2中，由余弦定理， 得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|·cos θ. ①∵|F 1F 2|2＝4c 2，|MF 1|2＋|MF 2|2＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1|·|MF 2| ＝4a 2＋2|MF 1|·|MF 2|，∴①式化为4c 2＝4a 2＋2|MF 1|·|MF 2|·(1－cos θ)， ∴|MF 1|·|MF 2|＝2b21－cos θ，∴S △MF 1F 2＝12|MF 1|·|MF 2|·sin θ＝b 2sin θ1－cos θ＝b 2·2sin θ2·cosθ21－1－2sin2θ2＝b 2tanθ2.例2 (1)A (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)跟踪训练2 ②④例3 解 (1)设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)方法一 设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意易求得c ＝2 5. 又双曲线过点(32，2)， ∴22a2－4b2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2， ∴a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1(－4<k <16)， 将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.跟踪训练3 解 (1)设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2. 由题意知25a 2－4b 2＝1，∴25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍).∴b 2＝1.∴双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵P (3，154)，Q (－163，5)均在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. (3)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点坐标为(25，0)，(－25，0).依题意，则所求双曲线焦点在x 轴上，可以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝20. 又∵双曲线过点(32，2)，∴18a 2－2b 2＝1. ∴a 2＝20－210，b 2＝210. ∴所求双曲线的标准方程为x 220－210－y 2210＝1. 例4 证明 如图所示，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，对于双曲线有|r 2－r 1|＝2m ，∴cos 2α＝r 21＋r 22－c 22r 1r 2＝r 1－r 22－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2 ＝4m 2－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2＝－2n 2r 1r 2＋1， ∴1－cos 2α＝2n 2r 1r 2.∴sin α＝n r 1r 2. 则在△PF 1F 2中，对于椭圆有r 1＋r 2＝2a ，cos 2α＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝r 1＋r 22－4c 2－2r 1r 22r 1r 2 ＝4b 2－2r 1r 22r 1r 2＝2b 2r 1r 2－1， ∴1＋cos 2α＝2b 2r 1r 2，∴cos α＝b r 1r 2， ∴tan α＝nb.跟踪训练4 (1)解 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)， 故可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，42a 2－152b 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1. (2)解 类似的性质如下： 若M ，N 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值. 其证明过程如下：设P (x ，y )，M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2＝b 2a2(m 2－a 2). ∴k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋n x ＋m . 又x 2a 2－y 2b 2＝1，即y 2＝b 2a2(x 2－a 2)， ∴y 2－n 2＝b 2a 2(x 2－m 2). ∴k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2. 故k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值. 当堂训练 1.B 2.C3.x 24－y 212＝1 4.－6或6 5.343。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.2 双曲线的简单性质课时作业 北师大版选修2-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.3.2 双曲线的简单性质[基础达标]1．双曲线x 2－y 23＝－1的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x解析：选D.方程化为y 23－x 2＝1，a ＝3，b ＝1.∴渐近线方程为y ＝±3x .2.已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )A.x 28－y 224＝1 B ．x 212－y 24＝1 C.x 224－y 28＝1 D ．x 24－y 212＝1解析：选D.焦点在x 轴上.b a＝3，c ＝4，c 2＝42＝a 2＋b 2＝a 2＋(3a )2＝4a 2， ∴a 2＝4，b 2＝12.故选D.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝3，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±3x C ．y ＝±2xD ．y ＝±x解析：选C.∵e ＝3，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，又焦点在x 轴，∴渐近线方程为y ＝±2x .4.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( )A.1＋22B ．1＋32C ．1＋ 2D ．1＋ 3解析：选B.由题意知AB ＝BC ＝2c ，又∠ABC ＝120°，过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则|AC |＝2CD ＝2×BC sin 60°＝23c ， 由双曲线定义|AC |－|BC |＝23c －2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝223－2＝13－1＝3＋12.5.已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )A.19 B ．14 C.13D ．12解析：选A.由题意得1＋p2＝5，p ＝8，y 2＝16x ，当x ＝1时，m 2＝16，m >0，m ＝4.∴M (1，4)，双曲线左顶点A (－a ，0)，k AM ＝41＋a，由题意41＋a＝1a，∴a ＝19.6.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x ＝1时，y ＝b a x ＝b a<2，∴e 2＝c 2a 2＝1＋(b a)2<5，又e >1，∴e ∈(1，5)． 答案：(1，5)7.过点(0，1)且斜率为1的直线交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：直线的方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1，代入x 2－y 24＝1整理得3x 2－2x －5＝0，∴x 1＝－1，x 2＝53，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1|1＋53|＝823.答案：8238.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．解析：双曲线的一个顶点为(a ，0)，它到渐近线x －3y ＝0的距离为|a |1＋（3）2＝1，∴a ＝2，又b a ＝33∴b ＝33a ＝233.故双曲线方程为x 24－y 243＝1.答案：x 24－y 243＝19.(1)求与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线的方程．(2)已知双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，求双曲线的方程．解：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入，得99－1216＝λ，解得λ＝14.所以所求双曲线方程为4x 29－y24＝1.(2)法一：椭圆方程可化为x 264＋y 216＝1，易得焦点是(±43，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其渐近线方程是y ＝±ba x ，则b a ＝33.代入a 2＋b 2＝c 2＝48，解得a 2＝36，b 2＝12.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则另一条渐近线方程为x ＋3y ＝0.已知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2λ3＝1.由椭圆方程x 264＋y 216＝1知c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，所以λ＋λ3＝48，则λ＝36.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.10.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0， 即k 2≠13且k 2<1.(*)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3.(**)由(*)(**)得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． [能力提升]1.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ 解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c 2a2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A.2.若点O 和点F (－2，0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．解析：因为F (－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数的图像的对称轴为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．答案：[3＋23，＋∞)3.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 1，A 2分别为这个双曲线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任意一点，求证：以A 1A 2为直径的圆既与以PF 2为直径的圆外切，又与以PF 1为直径的圆内切．证明：如图，以A 1A 2为直径的圆的圆心为O ，半径为a ，令M ，N 分别是PF 2，PF 1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM |＝12|PF 1|.又根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，从而有|OM |＝12(2a ＋|PF 2|)＝a ＋12|PF 2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 2为直径的圆外切．同理，得|ON |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12|PF 1|－a .这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 1为直径的圆内切．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，O 为坐标原点，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求|OP |2＋|OQ |2的最小值．解：(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴b 2＝3a 2，双曲线的方程可设为3x 2－y 2＝3a 2. ∵点M (5，3)在双曲线上，可解得a 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为 (3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0Δ＝（－2km ）2－4（3－k 2）（－m 2－12）>0.①x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝－m 2－123－k 2.由OP →·OQ →＝0⇒x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(1＋k 2)－m 2－123－k 2＋km 2km 3－k2＋m 2＝0，化简得m 2＝6k 2＋6，|OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝24＋384k2（k 2－3）2.当k ＝0时，|PQ |2＝24＋384k2（k 2－3）2≥24成立，且满足①，又因为当直线PQ 垂直x 轴时，|PQ |2>24， 所以|OP |2＋|OQ |2的最小值是24.。
高中数学圆锥曲线与方程3_1椭圆及其标准方程课后演练提升北师大版
2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列说法正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，到F 1，F 2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，到F 1，F 2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆C ．到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．到F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆解析： 椭圆是到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹．A 中，|F 1F 2|＝8，故到F 1，F 2两点距离之和为常数8的点的轨迹是线段F 1F 2.B 中，到F 1，F 2的两点距离之和为6，小于|F 1F 2|的距离，故这样的轨迹不存在．C 中，点(5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为＋2＋32＋－2＋32＝410>|F 1F 2|＝8，故轨迹是椭圆．D 中，轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．故选C.答案： C 2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析： 因为P 到两焦点的距离和为2a ，a ＝5，所以2a ＝10，又因P 到一个焦点的距离为2，则到另一个焦点的距离为10－2＝8.答案： D3．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1解析： 由题意焦点在x 轴上，c ＝2，b 2＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝2＋4＝6. 答案： D4．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 解析： 因为|AB |＝8，|CA |＋|CB |＝18－8＝10，所以顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)．因2a ＝10，2c ＝8，所以b 2＝9.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若方程x 2k －4＋y 29－k＝1表示椭圆，则参数k 的取值范围是____________．解析： 依题意⎩⎪⎨⎪⎧k －4＞09－k ＞0k －4≠9－k，∴4＜k ＜9且k ≠132.答案： 4＜k ＜9且k ≠1326．(2010～2011·银川一中高二期末)椭圆x 24＋k－y 23＋k ＝1⎝⎛⎭⎪⎫k ＜－72的焦点坐标为________．解析： 椭圆方程为x 24＋k ＋y 2－＋k＝1，∵k ＜－72，∴0＜4＋k ＜12，－(3＋k )＞12，∴椭圆焦点在y 轴上，a 2＝－(3＋k )，b 2＝4＋k ，∴c 2＝a 2－b 2＝－2k －7， ∴c ＝－2k －7，∴焦点坐标为(0，－－2k －7)，(0，－2k －7)． 答案： (0，－－2k －7)，(0，－2k －7) 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝10a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36.∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1. 8．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．解析： 设|PB |＝r .∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA |＝10－r ， 即|PA |＋|PB |＝10(大于|AB |)．∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6. ∴a ＝5，c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知点P 是焦点在坐标轴上的椭圆上一点，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解析： 设两焦点为F 1、F 2，∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝453＋253＝2 5.∴a ＝ 5.∵|PF 1|＞|PF 2|，∴由题意，△PF 1F 2为以PF 1为斜边的直角三角形．∴(2c )2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4532－⎝ ⎛⎭⎪⎫2532.∴c ＝53.∴b 2＝a 2－c 2＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫532＝103. 故所求椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y25＝1.。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆及其标准方程课后演练提升北师大版选修2_16
2016-2017 学年高中数学第三章圆锥曲线与方程椭圆及其标准方程课后操练提高北师大版选修 2-1一、选择题 ( 每题 5分，共20 分)1．以下说法正确的选项是()A．已知F1( － 4,0) ，F2 (4,0)，到 F1， F2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆B．已知F ( － 4,0)，F (4,0)，到 F ， F 两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆1212C．到F1( － 4,0) ，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到 F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．到F1( －4,0) ，F2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆分析：椭圆是到两个定点F1，F2的距离之和等于常数( 大于 | F1F2|) 的点的轨迹．A 中， | F1F2| ＝ 8，故到F1，F2两点距离之和为常数8 的点的轨迹是线段F1F2.B中，到 F1，F 的两点距离之和为6，小于 | F F | 的距离，故这样的轨迹不存在． C 中，点 (5,3)到 F，F21212两点的距离之和为＋2＋ 32＋－2＋ 32＝ 4 10>| F1F2 | ＝ 8，故轨迹是椭圆． D中，轨迹是线段 F F 的垂直均分线．应选 C.12答案：x2C2．椭圆2上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 ()＋ y ＝125A． 5B． 6C． 7D． 8分析：由于 P 到两焦点的距离和为2a，a＝5，因此2a＝10，又因 P 到一个焦点的距离为 2，则到另一个焦点的距离为 10－ 2＝ 8.答案：Dx2y23．已知椭圆a2＋2＝ 1的一个焦点为 (2,0) ，则椭圆的方程为 ()x2y2x2y2A. 4＋2＝1B. 3＋2＝12y 2x2y2C．x＋＝ 1 D. ＋＝ 1262分析：由题意焦点在2x 轴上， c＝2，b ＝2，因此 a2＝ b2＋ c2＝2＋4＝6.答案：D4．若△ABC的两个极点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ ABC的周长为18，则极点C的轨迹方程为 ()x2y2y2x2A. 25＋9＝ 1( y≠0)B. 25＋9＝ 1( y≠0)x2y2y2x2C. 16＋9＝ 1( y≠0)D. 16＋9＝ 1( y≠0)分析：由于 | AB| ＝8，| CA| ＋ | CB| ＝18－ 8＝ 10，因此极点C的轨迹是以A、B为焦点的2x2y2椭圆 ( 去掉长轴的两个端点 ) ．因 2a＝10，2c＝8，因此 b ＝9.因此极点C的轨迹方程为25＋9＝1( y≠0) ．答案： A二、填空题 ( 每题 5 分，共 10 分 )x2y2k 的取值范围是____________．5．若方程k－4＋9－k＝ 1 表示椭圆，则参数k － 4＞ 0分析：依题意 9－ k ＞ 0，k －4≠9－ k13∴ 4＜ k ＜ 9 且 k ≠ 2 .13答案：4＜ k ＜ 9 且 k ≠ 2x 2 y 276 ． (2010 ～2011·银川一中高二期末) 椭圆4＋ k － 3＋ k ＝ 1k ＜－ 2 的焦点坐标为________．x2y2＝ 1，分析：椭圆方程为 4＋ k ＋－＋ k∵ k ＜－ 7，∴ 0＜ 4＋k ＜ 1，－ (3 ＋ k ) ＞1，2 22∴椭圆焦点在 y 轴上， a 2＝－ (3 ＋ k ) ， b 2＝ 4＋ k ，∴ c 2＝ a 2－ b 2＝－ 2k － 7，∴ c ＝ － 2k － 7，∴焦点坐标为 (0 ，－－ 2k －7) ， (0 ， － 2k － 7) ．答案： (0 ，－ － 2 k － 7) ， (0 ， － 2 k － 7) 三、解答题 ( 每题 10 分，共 20 分 ) 7．求合适以下条件的椭圆的标准方程：(1) 焦点在 x 轴上，且经过点 (2,0) 和点 (0,1) ；(2) 焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为 P (0 ，－ 10) ，P 到它较近的一个焦点的距离等于 2.分析：(1) 由于椭圆的焦点在x 轴上，2y 2x因此可设它的标准方程为 a 2＋ b 2＝ 1( a >b >0) ， ∵椭圆经过点 (2,0) 和 (0,1) ，22＝122＋2aba ＝4∴，∴b 2，1＝1a 2＋b 2＝1x 22故所求椭圆的标准方程为 4 ＋ y ＝1.(2) ∵椭圆的焦点在 y 轴上，因此可设它的标准方程为 y 2 2> >0)，2＋ x 2＝ 1(aba b∵ (0，－ 10) 在椭圆上，∴ a ＝10. P又∵ P 到它较近的一个焦点的距离等于 2，∴－ c － ( －10) ＝ 2，故 c ＝ 8，∴ b 2＝ a 2－ c 2 ＝36.y 2 x 2∴所求椭圆的标准方程是100＋ 36＝ 1.8．已知圆 A ： ( x ＋ 3) 2＋ y 2＝ 100，圆 A 内必定点 B (3 ， 0) ，圆 P 过 B 点且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程．分析： 设| PB | ＝ r .∵圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10， ∴两圆的圆心距 | PA | ＝ 10－ r ，即| PA | ＋| PB |＝10( 大于 | AB |) ．∴点 P 的轨迹是以 A 、 B 两点为焦点的椭圆．∴ 2a ＝ 10,2 c ＝ | AB | ＝ 6. ∴ a ＝ 5， c ＝ 3.∴ b 2＝ a 2－ c 2＝ 25－ 9＝ 16， 即点 P 的轨迹方程为x 2＋ y 2＝1.25 16尖子生题库☆☆☆9．(10 分 ) 已知点 P 是焦点在座标轴上的椭圆上一点，45点 P 到两焦点的距离分别为和32 5，过 P 作焦点所在轴的垂线恰巧过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．3分析：设两焦点为 F 1、 F 2，4 5 2 5∴ 2a ＝ | PF 1| ＋ | PF 2| ＝ 3 ＋ 3 ＝ 2 5. ∴ a ＝ 5. ∵| PF 1| ＞| PF 2| ，∴由题意，△ PF 1F 2 为以 PF 1 为斜边的直角三角形．∴ (2 c ) 2＝ | PF 1| 2－ | PF 2| 2＝ 4 5 2－ 2 5 2.33522225 210∴ c ＝3. ∴ b ＝ a －c＝( 5) － 3 ＝ 3 .x 2 3y 2 3x 2 y 2 故所求椭圆方程为 5＋ 10＝1 或10 ＋ 5＝1.。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线的简单性质课时作业 北师大版选修21
3.2 双曲线的简单性质课时目标 了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．1．双曲线的简单几何性质2.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的________；(2)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的两个顶点为A 1(－a,0)、A 2(a ，0)．设B 1(0，－b)、B 2(0，b)，线段A 1A 2叫做双曲线的________，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的半实轴长，线段B 1B 2叫做双曲线的________，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的半虚轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x.(3)当双曲线的离心率e 由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________，原因是b a ＝e 2－1，当e 增大时，b a也增大，渐近线的斜率的绝对值________．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A .x 22－y 24＝1 B .x 24－y22＝1 C .x 24－y 26＝1 D .x 24－y210＝1 2．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52x C ．y ＝±425x D ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A .43B .53C ．2D .73二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________． 三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋1213．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，又离心率为2，求双曲线的方程．3．2 双曲线的简单性质知识梳理作业设计1．B [∵e＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，故选B .]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎪⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y＝±22x.]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．] 6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c－a ，即2a≥3c－3a ，即5a≥3c，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a>b ，∴a＝3，b ＝2.∴c＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y216＝1(x>3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y216＝1(x>3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y2b2＝1，由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1542a2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP|＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP|＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP|·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y224＝1.11．(1)解 ∵e＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 易知F 1(－23，0)、F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m23，∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2.(3)解 △F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， F 1F 2上的高h ＝|m|＝3， ∴S△F 1MF 2＝6. 12.D [设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc )＝－1，整理得b 2＝ac.∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D .]13．解 设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1.∵|F 1F 2|＝2c ，而e ＝ca＝2.由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c. 由余弦定理得(2c)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)．∴4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.又∵S△PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝123，∴|PF 1||PF 2|＝48.∴3c 2＝48，c 2＝16.∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线方程为x 24－y212＝1.。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.1曲线与方程课时作业北师大版选修2-1(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.1 曲线与方程课时作业北师大版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.1 曲线与方程课时作业北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.4。
1 曲线与方程[基础达标]1.已知曲线C的方程为x2－xy＋y－5＝0，则下列各点中,在曲线C上的点是（）A．(－1，2) B．(1,－2)C．(2，－3) D．(3，6）解析：选A。
代入检验知只有(－1，2）使方程成立．2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称解析：选C。
同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．3。
在直角坐标系中，方程|x｜·y＝1的曲线是( )解析：选C.当x＞0时，方程为xy＝1，又y＞0，故在第一象限有一支图像；当x＜0时，方程为－xy＝1，又y＞0，故在第二象限有一支图像．错误!已知定点A(1,0）和定直线l：x＝－1，在l上有两动点E，F,且满足错误!⊥错误!，另有动点P,满足错误!∥错误!，错误!∥错误!(O为坐标原点），则动点P的轨迹方程为( ）A．y2＝4x B．y2＝4x(x≠0）C．y2＝－4x D．y2＝－4x（x≠0)解析：选B.设P（x，y),E(－1，y1)，F（－1，y2)(y1，y2均不为零），由错误!∥错误!，得y＝y，即E（－1，y）．1由错误!∥错误!,得y2＝－错误!,即F(－1，－错误!）．由错误!⊥错误!，得y2＝4x(x≠0）．故选B。
2020高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3双曲线3.3.1双曲线及其标准方程课后训练案巩固提升(含解析)北师大版
3.1 双曲线及其标准方程课后训练案巩固提升A组1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.直线D.一条射线解析:由于两点间的距离为10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.在应用双曲线的定义时一定要注意其定义中的绝对值以及2c>2a.答案:D2.在双曲线中,,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线的方程是()A.-x2=1B.-y2=1C.x2-=1D.y2-=1解析:椭圆的标准方程为=1,故焦点坐标为(±,0),∴c=.由,得a=2,又双曲线中c2=a2+b2,则b2=1.答案:B3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8解析:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4.答案:B4.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:由题意,知圆C仅与x轴有交点,由得x2-6x+8=0.∴x=2或x=4,即c=4,a=2.∴双曲线方程为=1.答案:A5.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB 的中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:∵k AB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为=1.答案:B6.已知双曲线=1的两个焦点分别为F1,F2,若双曲线上的点P到点F1的距离为12,则点P 到点F2的距离为.解析:设F1为左焦点,F2为右焦点,当点P在双曲线左支上时,|PF2|-|PF1|=10,|PF2|=22;当点P 在双曲线右支上时,|PF1|-|PF2|=10,|PF2|=2.答案:22或27.已知F是双曲线=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,故|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|,当|PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小.当点A,P,F1共线时,|PF1|+|PA|最小,最小值为|AF1|=5,故所求最小值为9.答案:98.双曲线=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为.解析:设|PF1|=m,|PF2|=n.①当m>n时,由=1,知a=3,b=4,∴c=5.由双曲线的定义,知m-n=2a=6.∵PF1⊥PF2,∴△PF1F2为直角三角形,即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,∴2mn=m2+n2-36=64.∴mn=32.设点P到x轴的距离为d,则d|F1F2|=|PF1||PF2|,即d·2c=mn.∴d=,即点P到x轴的距离为.②当m<n时,同理可得点P到x轴的距离为.答案:9.求与双曲线=1共焦点,且过点(3,2)的双曲线方程.解由于所求的双曲线与已知的双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为=1.由于点(3,2)在所求的双曲线上,从而有=1.整理,得k2+10k-56=0,∴k=4或k=-14.又16-k>0,4+k>0,∴-4<k<16.从而得k=4.故所求双曲线的方程为=1.10.导学号90074075一动圆与☉A:(x+5)2+y2=49和☉B:(x-5)2+y2=1都外切,求动圆圆心P的轨迹方程.解设动圆的半径为r,依题意得|PA|=r+7,|PB|=1+r,如图,∴|PA|-|PB|=6.而A,B为定点,且|AB|=10,由双曲线的定义知P点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,又A(-5,0),B(5,0),∴|AB|=10=2c.∴c=5.又2a=6,∴a=3,∴b2=c2-a2=16.故其轨迹方程为=1(x≥3).B组1.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1||PF2|=2,则该双曲线的方程是()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=1解析:由题意知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=20.又|PF1||PF2|=2,由双曲线定义,得||PF1|-|PF2||=2a,∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=20,即4a2+2×2=20,∴a2=4.∴b2=c2-a2=1.∴双曲线的方程是-y2=1.答案:C2.P是双曲线=1右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是()A.aB.bC.cD.a+b-c解析:如图,内切圆圆心M到各边的距离分别为MA,MB,MC,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质则有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,∴|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c,∴|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a.∵M的横坐标和A的横坐标相同,答案为A.答案:A3.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)C. D.解析:如图所示,由c=2得a2+1=4,∴a2=3,∴双曲线方程为-y2=1.设P点坐标为(x,y)(x≥),则=(x,y)·(x+2,y)=x2+2x+y2=x2+2x+-1=x2+2x-1(x≥).令g(x)=x2+2x-1(x≥),则g(x)在[,+∞)上是增加的,g(x)min=g()=3+2,∴的取值范围为[3+2,+∞).答案:B4.如图,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解由题意得,F1:(x+5)2+y2=1,F2:(x-5)2+y2=16.设动圆M的半径为r,则|MF1|=r+1,|MF2|=r+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|,可知点M(x,y)的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,而a=,c=5,∴b2=c2-a2=,∴动圆圆心M的轨迹方程是=1.5.导学号90074076某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.解如图,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设M是分界线上的点,则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支.在△APB中,由余弦定理,得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|·|PB|cos 60°=17 500.从而a=25,c2==4 375,所以b2=c2-a2=3 750.所以所求分界线的方程为=1(x≥25).于是运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.。
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3.1双曲线及其标准方程答案：A3 .已知动点 Rx , y )满足x + 2 2+ y 2— A .椭圆 C.双曲线的左支 D.双曲线的右支解析：，x + 2 2+ y 2—, x — 22+ y 2=2 表示动点 P （x , y ）到两定点R （ — 2,0） , F 2（2,0）的距离之差等于2，由双曲线的定义，知动点P 的轨迹是双曲线的右支.答案：D2 24 .已知方程一 =1表示双曲线，则k 的取值范围是（）1 + k 1 — k03课时跟踪训竦® -------------------------------------------------[A 组基础巩固]2 21 •双曲线2 —眷=1上的点P 到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为 （ ）A . 1 或 21 C. 2B . 14 或 36 D. 21解析：设双曲线的左右焦点分别为F 1, F 2,不妨设|PF | = 11,根据双曲线的定义知|| PF |—| PB|| = 2a = 10,所以 | P 冋=1 或|PB| = 21,而 1<c — a = 7— 5= 2，故舍去 | PF | = 1,所以 点P 到另一个焦点的距离为 21,故选D.答案：D2x 22 .与椭圆4+y = 1共焦点且过点 Q 2,1）的双曲线方程是（ ）2X 2Bp —y =12 2x yC- — = 1 3 32D. x 2—与=12解析：T c = 4— 1= 3, •••共同焦点坐标为（± 3, 0），设双曲线方程为2 2x y訂芦1(a>°,巴丄-12— 2= I ,b >0)，则由 a b[a 2+ b 2= 3,解得*a 2= 2,b 2= 1,2x•双曲线方程为-—y 2= 1.,X — 2 2 + y 2 = 2,则动点 B .双曲线 P 的轨迹是（ ）B . (0，+m )D. ( —3— 1) U (1 ,+s)A . (— 1,1) C. [0 ，+m )2 2x y解析：•••方程 — =1表示双曲线，• (1 + k )(1 — k )>0 ,1 + k 1 — k •••(k + 1)( k — 1)<0 ,•••— 1<k <1. 答案：A60°= 2x 36X 手=9 3.答案：9 32 27.设m 是常数，若点F(0,5)是双曲线汴环=1的一个焦点，则详解析：由已知条件有 52 = 9，所以m= 16.答案：168 .若双曲线kx 2— 2ky 2= 1的一个焦点是(一4,0)，贝U k = 据已知得k >0,于是k + 2^= 16.解得k = 32.0°< a < 180°时，方程 x 2cos a + y 2sin a = 1表示的曲线怎样变化? (1)当a = 0°时，方程化为x 2= 1,它表示两条平行直线 x =± 1.5.双曲线方程为x 2— 2y 2 = 1, 则它的右焦点坐标为( A.B.C. D. ( 3, 0)解析：双曲线的标准方程为•焦点在 x 轴上，且 c 2= 1 + 2= |. I c >0, • c = ^2",•••右焦点的坐标为答案：C 6.已知双曲线 F , F 2是其左、右焦点，点P 在双曲线右支上.若/ FPF 2= 60°,则厶F i PF 2的面积是解析：设|PF | = r 1, | PF 2| = 的*)，在△ FPF 中，由余弦定理，得|尸冋2= r 1+ r ；—22r 1「2cos 60°= (「1—「2) +「1「2,而 r 1—「2=| F 1F 2I = 2 13, • r 1 r 2= 36, • S A F 1 PF 2= ?r 1 r 2sin解析: 答案:3329 .当 解析:2 2-2X_ +丄1 1COS a Sin a1 1① 当0°< a <45°时，0<<，它表示焦点在 y 轴上的椭圆;COS a Si n a② 当a = 45°时，它表示圆 x 2+ y 2= 2 ;1 1③ 当45°< a <90°时，> >0,它表示焦点在 X 轴上的椭圆.COS a Sin a⑶ 当a = 90°时，方程化为 寸=1,它表示两条平行直线 y =± 1.Sin a — COS a⑸ 当a = 180°时，方程化为 X =— 1,它不表示任何曲线.10.求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1) 一个焦点是(0，— 6)，经过点 A — 5,6);2 2x yl⑵ 与双曲线—^-= 1有相同焦点，且过点(32, 2). 16 4v解析：(1)由已知，得c = 6，且焦点在y 轴上，则另一焦点为(0,6).由双曲线的定义，得 2a = |.—5 — 0 j + (6 + 6 j 一《—5 — 0 j +( 6 — 6$ | = 8,••• a = 4,「. b 2 = c 2 — a 2 = 20.2 2•所求双曲线的标准方程为狰—补=1.16 202 2⑵ 解法一由条件可知焦点在 x 轴上，设双曲线方程为 p —器=1(a >0, b >0)，则「a 2+ b 2= 16+ 4= 20 18 4 ，解得2 —72= 1a b2 2•所求双曲线的标准方程为 x — y = 1.12 82 2解法二 设所求双曲线方程为—— —=1( — 4<入<16), 16—入 4+入18 4贝U — = 1,解得入=4或入=—14(舍去). 16 —人 4十人2 2•所求双曲线的标准方程为12—8 = 1.⑵当0°<a <90°时，方程化为 1.⑷当90°< a <180°时，方程化为2y_1它表示焦点在y 轴上的双曲线.a = 12b 2= 8[B组能力提升]1.已知R、F2为双曲线C x2—y2= 1的左、右焦点，点P在C上，/ RPF= 60°,则|PF| •丨PF2| =( )A. 2B. 4C. 6D. 8解析：设| PF| = m | PF2| = n,由双曲线的定义得| m- n| = 2,①在厶F i PR中，由余弦定理得m+ n2- mn= 8,②联立①，②解得mn= 4,即| PF| • PR| = 4,故选 B.答案：B2 22•过双曲线X2-y z= 1(a>0, b>0)的左焦点F引圆X2+ y2= a2的切线，切点为T,延长FTa b交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点，0为坐标原点，贝U |MO- |MT与b- a的大小关亥曰，系是1)A. |MO TMT>b—aB. | MO- | MT = b- aC.| MO- | MT< b- aD.不能确定解析：不妨设点P在第一象限，设R是双曲线的右焦点，连接PF,：M O分别为FP, FF1的中点，1 2 ________________________________________________________ 2•••|MO = ?|PF|，由双曲线的定义得|PF -|PF| = 2a, |FT =Q| OF2-|OT2= b,1• | MO —| MT = ^| PF| -| MF + | FT1=2(| PF| -| PF) + | FT = b- a.答案：B2 2x y3.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线——12= 1上一点M的横坐标为3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为__________ .解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3 , ,15)或(3，—15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为 4.答案：42 2x y4 .已知F1, F2分别为双曲线g—F= 1( a>0, b>0且a^ b)的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点•给出下面四个命题:①厶PFF2的内切圆的圆心必在直线x= a上；② 、PFF 2的内切圆的圆心必在直线 x = b 上; ③ 厶PFF 2的内切圆的圆心必在直线 0P 上； ④ 厶PFF 2的内切圆必经过点(a, 0). 其中真命题的序号是 _____________ .解析：设厶PFF 2的内切圆分别与 PF , PF>切于点A , B ,与F 1F 2切于点 M 则I PA =|PB , | F i A | = | F i M , I F 2B I = | F 2M I.又点P 在双曲线的右支上，所以|PF | -1PF a |= 2a ,故|FM TF 2M = 2a ,而| F i M + I F ?M=2c ,设点 M 的坐标为(x, 0)，则由 | F i M - | HM = 2a ,可得(x + c ) — (c —x ) = 2a ,解得 x = a ,答案：①④2 2x y 、‘27+ 36= i 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点求此双曲线的标准方程.2 2y x 2解析：解法一 设双曲线的标准方程为 孑一^2= 1( a >0, b >0)，由题意知c = 36 — 27= 9,2 2一 y x所以双曲线的标准方程为 一匸=i.4 5将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A ( ± .15,4)，又椭圆的两焦点分别为 F i (0,3),F 2(0，— 3).所以 2a =|. ± J5— 0 2+ 4+ 3 2 — 一 ± ；i5— 0 2+ 4 — 3 2| = 4,所以 a = 2, b = c — a = 9 — 4= 5,2 2所以双曲线的标准方程为 y —x= i.4 5(i)建立适当的坐标系，求双曲线 D 的方程；⑵设过点曰i,0)的直线l 分别与双曲线 D 的左、右支交于 F 、G 两点，直线l 的斜率为 k ,求k 的取值范围.解析：(i)以BC 的中点为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故①④是真命题.5•设双曲线与椭圆 A 的纵坐标为4,解得a 2= 4, b 2= 5.解法6.如图△ ABC 中, BC= 2 3, A B- A C = 4, A C-张 2，双曲线D 以B 、C 为焦点且过A 点.c = 3.又点A 的纵坐标为2x 2•••双曲线D 的方程为-—y 2= 1.⑵ 当I 丄x 轴时，I 与双曲线无交点.当I 不垂直于x 轴时，可设I 的方程：y = k (x — 1),y =kx —1由x 2，消去y 得2— y = 1k(1 — 2k )x + 4k x — (2 k + 2) = 0.•••直线l 与双曲线左、右支分别交于 F (X 1, yj , Q X 2, y 2),1 — 2宀0 则2k 2+ 2x 1x 2=冇则氏—3, 0) , Q3, 0)，设 A (x o , y o )，故 AB= ( — 3 — x o , - y 。