计算平面光栅衍射的一种方法

1 引言
光学上较严格地讨论平面光栅的夫琅和费衍 射问题时 , 一般是先用菲涅耳 2基尔霍夫公式计算 一个衍射单元的衍射场 , 再对所有衍射单元的衍 射场求和 , 最后得到总的衍射场强分布
[1 ]
光学中常用的一维光栅模型 , 电磁场量可作标量 处理 , 可大大简化计算 . 本文就以一维光栅为例 , 用平面波展开来表示衍射场 , 展开系数由光栅平 面上光场分布的傅里叶逆变换求出 . 从中可以看 到用电磁理论解决光栅衍射问题的一些方法和技 巧.
式是矢量方程 , 在直角坐标系中 , 上式可分别写为 用直角分量表示的三个标量微分方程 , 用 Ψ 表示 H , E 的任一直角分量可得标量波动方程 52 Ψ 52 Ψ 52 Ψ 2 ( 2) + + + k Ψ = 0 5 x2 5 y2 5 z2 用分离变量法容易解得标量波函数的形式为 Ψk ∝ e
jω t
2
( 1)
式中 H , E 是复振幅矢量 ; 时间因子取 e ; ω 为 ε为媒质中波矢 k 的大 电磁波的频率 ; k = ω/ μ μ ε 小 ; 和 分别为媒质的介电常数和磁导率 . ( 1)
Ξ 东南大学科技基金项目 : 项目编号 9207021133.
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物理与工程 Vol . 14 No. 5 2004
Δ
= -
1
( )
∫
∞
- ∞
F ( kx)
n=- ∞
∑e
∞
n=- ∞
j k x np
e
- j ( k x x + kzz)
∫p
- ∞
π 2
∞
F ( kx )
δ ∑
e
kx -
π 2n
p
e
d kx
π 2
p
n=- ∞
∑F( k
π 2n
p
xn )
- j ( k xnx + kznz)
( 8)
其中 k xn =
E = E0e
- j kz
场量与 y 无关 , 即5/ 5 y = 0 , 故只考虑 Oxz 平面 . 光 通过光栅后 , 出射波前电场极化方向仍沿 y 轴 , 振 幅由 U ( x ) 决定 , 光栅平面成为新的激励源 , 衍射 场由此产生 , 且可看作标量场 , 从而能用 ( 5 ) 式计 算 . 由于光栅平面的周期性 , 每个衍射单元都会产
)
( 19) ( 12)
0, 1 π 2
d
其 中 kz0 =
k - k x0 = k ; k z 1 =
2
2
k - k x1 =
2
2
上式代入 ( 10b) 式可得
F ( k xn ) =
2 π/ p) 2 = kz - 1 k - (2 j k xnx
∫E e
- d
0
dx =
E0 d sin ( k xn d) π k xn d ( 13)
p p
πx/ p) - j ( kz - 1 z - 2
πx/ p) - j ( kz1 z + 2
( 20) E
- 1
( 14)
振 幅 为 零 级 的 一 半. 第 三 束
E0e
=
即衍射场可看成是各个特定方向平面波的合成 , 第 n 个平面波方向为 λ sinθ / p n = k xn / k = n 振幅为
( 18)
1, 0,
| x| < d d < | x | < p/ 2
( 11)
将上式代入 ( 8) 式得 ∞ π sin ( n - 1)π 1 sin n g E ( x , z) ∝ ∑ π + 2 ( n - 1)π + p n= n - ∞
πnx/ p + kznz) sin ( n + 1)π - j (2 pE0e 2 ( n + 1)π
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物理与工程 Vol . 14 No. 5 2004
教学研究
计算平面光栅衍射的一种方法
彭 毅 张玉萍
( 东南大学物理系 ,江苏 南京 210096)
( 收稿日期 :2003208214 ; 修回日期 :2004201216)
Ξ
摘
要 基于无源均匀媒质中标量电磁场量的平面波展开式 ,获得平面光栅衍射场分布的一般 公式 ,其系数由光栅上场分布的傅里叶逆变换得到 ; 作为特例 ,给出黑白光栅和正弦光 栅衍射场分布的公式 ,与用菲涅耳2基尔霍夫积分公式法得到的结果一致 .
± j k xx ± j k yy ± j kzz
e
e
= e
± j k・ r
( 3)
为平面波形式 , 其中 k x 、 ky 、 kz 为分离常数或本征 值 , 可看成波矢 k 在三个坐标轴上的投影 , 即 k = k x e x + k y e y + kz ez “ , +” “ 、- ” 分别表示沿坐标轴负 向、 正向传播的波 . 在光栅衍射中 , 我们只考虑出 射波 , 因此将源置于左方 , 则沿负方向传播的波就 不存在 , 故只取负号 . k x 、 ky 、 kz 三者中只有两个是 独立的 , 它们须满足关系
2
. 因此公式本身并
不包含电磁内容 , 推导中也用了一些假设和近似 条件 . 既然光是电磁波 , 应该可以从基本电磁理论 出发 , 通过解电磁场边值问题而得到光的问题的 精确解 . 然而由于电磁场量是矢量 , 一般解决衍射 问题是十分复杂的 [ 3 ] , 往往得不到解析解 . 但对于
E + k E = 0
3 衍射光栅
n=- ∞ -
F( k ) e ∑ ∫ ∞
∞
∞
∞
- j [ k x ( x - np) + kzz ]
d kx d kx
- j ( k xx + kzz)
一维光栅模型如图 1 所示 , 设光栅常数为 p , 缝宽为 2 d , 光栅透过率函数为 U ( x ) , 用平行于 Oxz 平面的平面波 ( k y = 0) 垂直入射光栅 . 以电场 为例 , 不失一般性 , 取电场极化方向沿 y 轴 , 即
; kzn =
2 2 ). k - k xn ( n = 0 , 1 , 2 , …
上式的证明中应用了以下公式 ∞ ∞ j npk x π π 2 δ kx - 2 n e = ∑ ∑
n=- ∞
p
n=- ∞
p
( 9)
( 9) 式证明见附录一 . ( 8 ) 式表明光栅衍射场由一
系列特定方向的平面波构成 , 可见由于光栅的周 期性 , 衍射场的谱变成了离散谱 . 由 ( 8) 式得 z = 0 时
n=- ∞
∑ E( x x
npwenku.baidu.com, z )
d kx d ky
式中 F ( k x , k y ) 为待定解析函数 , 可由边界条件求 得 . 如果 Ψ 代表标量电场 E , 则不难由关系 H ( r ) μ ×E r 求得磁场分布 , 故本文只考虑电 jω 场 . k j 实际上确定了媒质中波的方向 . ( 5 ) 式的物 理意义是无源均匀媒质中的标量场是媒质中所有 方向平面波场的线性叠加 . 下面我们就在此基础 上讨论平面光栅衍射问题 , 并给出实例 .
2 基本电磁理论
. 这里的
关键是菲涅耳 2基尔霍夫公式 . 基尔霍夫理论产生 于 1887 年 , 那时光的电磁本性尚未得到确认 , 基 尔霍夫是用光的固体弹性波理论 , 通过解标量波 动方程得到基尔霍夫公式的
[2 ]
根据 Maxwell 电磁理论 , 在线性 、 均匀 、 各向同 性的无源媒质中 , 电磁运动满足亥姆霍兹方程 2 2 H + k H = 0 Δ Δ
| En | ∝
为负一级衍射光 , 衍射角为 π 2
p / k =-
sinθ- 1 = -
λ
p
( 21)
πd sinθ ) n/ λ d sin ( k xn d) d sin ( 2 = πd sinθ p k xn d p 2 n/ λ
Abstract In this paper , we obtained the general formula of diffractive field distribution for planar grating by means expanding the scalar electromagnetic field. The coefficient in the formula can be determined by inverse Fourier transformation. As examples , the formulae of diffractive field distribution of white2black grating and sine grating are shown respectively. The results are consistent with that given by Fresnel2 K irchhoff integral formula method.
A METHOD FOR CALCULATING THE DIFFRACTION OF PLANAR GRATING
Peng Yi Zhang Yuping
(Department of Physics ,Southeast University , Nanjing , Jiangsu 210096)
这样平面波经过光栅后一个周期的出射波前函数 为
E ( x , 0) = E ( x , 0) U ( x , 0) = E0 , | x| < d d < | x | < p/ 2
g
= E0 ( e
- j kz0 z
+ 0 . 5e
πx/ p + kz1 z) - j (2
+ 0 . 5e
πx/ p - kz - 1 z) j (2
E ( x , 0) =
g
ey
( 6)
π 2
p
∞
n=- ∞
∑F( k
xn )
e
- j k xnx
( 10a)
( 10a) 式右边就是 Eg ( x , z ) 在 z = 0 平面上的傅里
叶级数展开式 . 其逆变换为
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F ( k xn ) =
k x + k y + kz = k
2 2 2 2
图1 衍射光栅
生相同的衍射场 , 所以可先计算光经过一个衍射 单元后的衍射场 , 在 z > 0 区域 , 衍射场满足波动 方程 ( 1) , 利用 ( 5 ) 式的二维形式 , 在 Oxz 平面上 , 衍射场强可直接用下式表达
E ( x , z) =
1 π 2
∫E ( x , 0) e
g - d
d
j k xnx
dx
( 10b)
= E0
2sin k xnp/ 2
k xn
+
π/ p) p/ 2 sin ( k xn + 2 + π k xn + 2 / p
( 17)
g 只要知道 E ( x , 0) 的具体形式 , 就可由式 ( 10b) 求
π/ p) p/ 2 sin ( k xn - 2 π k xn - 2 / p
( 19) 式表明平行光通过正弦光栅后形成三束 衍射光 , 第一束 E0 = E0e
- j kz0 z
= E0e
- j kz
为零级衍
上式代入 ( 8) 式得
E ( x , z) =
g
2 E0 d
p
∞
n=- ∞
∑
sin ( k xn d )
k xn d
e
- j ( k xnx + kznz)
射光 , 沿原方向传播 . 第二束 E1 = E0e 为一级衍射光衍射角为 π λ 2 sinθ / k = 1 =
出 F ( k xn ) , 再代入 ( 8) 式 , 便得到光栅衍射电场分 布 . 下面具体讨论黑白光栅和正弦光栅两种情况 . ( 1) 黑白光栅 在光栅上一个周期内光栅透过率函数 U ( x ) 为一阶跃函数 , 满足
U ( x , 0) =
π/ p 代入上式得 将 k xn = 2 n π sin ( n - 1)π sin ( n + 1)π sin n F ( k xn) ∝ π + 2 ( n - 1)π + 2 ( n + 1)π pE0 n
( 4)
( 3) 式中对各种可能选择的 kj ( j = x , y , z ) 的求和
∫ F( k ) e
- ∞ x
∞
- j ( k xx + kzz)
d kx
( 7)
即线性组合也是方程的解 , 在无界空间中 kj 可取 任意值即具有连续谱 , 对一种或两种 k j 值的积分 构成更一般的解 , 如一种解为 Ψ ( x , y , z) =
其中 k x , kz 满足 k 2x + k 2 / c , c 为真空中 z = k =ω 光速 . 整个光栅后的衍射场强 E 则是所有单元衍 射场强之和 , 即
∞
g
∫∫ F ( k , k ) ・
- ∞ - ∞ x y
∞
∞
E ( x , z) = ( 5) = = = =
∞
g
e
- j ( k x x + k yy + kzz)