3.3垂径定理1

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3.3 垂径定理(1)

9下§3.3垂径定理（1）（垂径定理）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；2. 垂径定理解读：（1）条件：“弦”可以是直径；（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧；3. 垂径定理的三种语言：文字语言图形语言几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2.垂径定理证明方法:构造等腰三角形,由垂直于弦得出平分弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构成直角三角形，利用勾股定理解答. 三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）【典例】如图，已知圆O 的半径为mm 30，弦AB =mm 36，求点O 到AB 的距离及OAB∠的正弦值．一读：关键词：半径,弦.二联：重要结论：过圆心的垂线平分弦.重要方法：半径、半弦、弦心距构造直角三角形.三解：解：过圆心O 作于M;DM AM =∴;AD AC =;BD BC =AB M CD AB ,于⊥ 18362121=⨯==∴AB AM A BO M AB OM ⊥在中，由勾股定理得：在中，所以，点到AB 的距离为mm 24，OAB ∠的正弦值为四悟：解决有关圆中相关数量问题时，常通过连接半径，作出弦心距，利用垂径定理构造直角三角形解答.四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.）1. 已知圆O 的直径是m c 50，圆O 的两条平行弦cm AB 40= ，cm CD 48=，求弦AB 与CD 之间的距离.核思点拨: 弦CD AB //,但不知两弦与圆心的位置关系,所以分两种情况讨论:圆心在两弦之间或圆心在两弦同侧.再由垂径定理及勾股定理解答.答案：过点作于，则于连接由垂径定理得,在中,由勾股定理得: OAM RT ∆OAM RT ∆O 1522=-=BF OB OF OBF RT ∆2421,2021====CD DE AB BF ODOB 、AB OF ⊥18,300==AM A 2422=-=AM OA OM 54302400sin ===A M A .54CD OE ⊥E O F .25,20==OB BF同理在中,两弦在圆心同侧时，两弦距离两弦在圆心异侧时，两弦距离2. 如图，F 是圆O 直径AB 上一点，且cm AB 9=，垂直于AB 的弦cm CD 12=，垂足为F ，延长CB 到E ，使CB BE =，连接DE ．求DE 的长．核思点拨: 条件中已有了弦心距OF 与半弦CF ,连半径r OC =，由垂径定理知6=CF r OF -=9，在直角三角形中用勾股解答求出r ，从而求出值，由三角形中位线得，答案：连接直径弦在中，由勾股定理得：cm OE OF EF 22=+=∴DOE RT ∆BF 2226)9r r =+-∴（OCF RT ∆6122121=⨯==∴CD CF ⊥AB OC722=-=DE OD OE cm OE OF EF 8=-=∴.2BF DE = CD222OC CF OF =+解得：是的中位线132==∴BF DE CDE ∆CBBE =CFDF = 5.6=r FB ∴。

3.3 垂径定理

质疑2.条件改为：①过圆心，③平分弦.
结论改为：②垂直于弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧. 这个命题正确吗？
垂径定理的推论
① 直径过圆心 ③ 平分弦（不是直径）
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦（不是直径），
B C求D证平：分CADB⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
② 垂直于弦 ③ 平分弦
C
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，求证：CD是直径，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
B
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧
C
③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒C＝B⌒C 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒D＝B⌒D
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧

3.3-垂径定理-第1课时公开课

填一填研一研练一练
在 Rt△AEO 中，OE＝ OA2－AE2＝ 132－122＝5，在 Rt △CFO 中，OF＝ OC2－CF2＝ 132－52＝12，∴EF＝OF－OE ＝12－5＝7.
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(2)当圆心O在AB，CD之间时，如图(2)所示，过O作 OE⊥AB于E，延长交CD于F，连结OC，OA，同样可得 OF＝12，OE＝5.∴EF＝OE＋OF＝17.
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类型之二垂径定理在实际生活中的应用例3 “圆材埋壁”是我国古代著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”答曰：“26寸”．题目用现在的数学语言表达是：“如图3－3－9所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1 寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”
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填一填
【知识管理】 1．圆的轴对称性圆是__轴__对__称__图__形___，每一条过圆心的直线都是圆的
___对__称__轴___．注意：圆有无数条对称轴。
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2．垂径定理定理：垂直于弦的直径___平__分____这条弦，并且 __平__分__弦__所__对__的__弧_____．如图 3－3－1 所示，CD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且 CD⊥AB，垂足为 E，则 EA＝EB，C︵A＝C︵B，D︵A ＝D︵B.
即半径 OA 是377m.
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填一填研一研练一练
练一练
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3.3垂径定理(1)学案

3.2圆的轴对称(1)学案一、探索研讨【活动1】在透明纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，然后沿着直径所在的直线把纸折叠.你发现了什么? 我们发现: 【活动2】1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂直的弦AB ，AB 与CD 相交于点E ．提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？归纳：①EA = ②AC = ；AD = 我们可以把结论归纳成命题的形式：垂径定理：______________________________________________________．垂径定理的几何语言∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ） ∴ ，【活动3】例1：已知AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点)【活动4】例2:一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB =10，水面宽AB =16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．二、巩固练习1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有（）A ．一条B 两条C ．一条D ．无数条 2. 下列说法正确的是（）A. 直径是圆的对称轴B. 经过圆心的直线是圆的对称轴OACBC. 与圆相交的直线是圆的对称轴D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴3. 如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E (如图)，那么下面结论中错误的是（）A. CE ＝DEB. BC BD =C. ∠BAC ＝∠BADD. AC ＞AD到4.如图，O 的直径为26cm ，弦AB 长为24cm ，则点OAB 的距离OP 为三、当堂检测1、⊙O 的弦AB 长为8cm ，弦AB 的弦心距为3cm ，则⊙O 的半径为（）（A ）4cm （B ）5cm （C ）8cm （D ）10cm2、如图，在⊙O 中，半径OC AB ⊥于点D 。

已知⊙O 的半径为2，AB =3，求DC 的长（精确到0.01）。

3.3 垂径定理(一)

3.3 垂径定理（一）
1.如图，AB 是半圆的直径，点O 是圆心，C 是半圆上的一点，连结AC ，过点O 作OE ⊥AC 交AC ︵于
点E ，交弦AC 于点D.若AC ＝8 cm ，DE ＝2 cm ，则OD 的长为 cm. 2.如图，该桥可近似地看成是圆弧形，若桥跨度AB 约为40 m ，主拱高CD 约为10 m ，则桥弧AB 所在圆的半径约为__________.
(第1题) (第2题) (第3题) (第4题) (第5题)
3.如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
4.如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC ＝( )
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
5.如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，5个单位长为半径画圆，AB 是⊙O 的弦，点A 刚好在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，过点O 作OM ⊥AB 于点M .若AB ＝6，则点M 的坐标为( )
A. (3.2，2)
B. (4.8，2)
C. (4.8，2.4)
D. (3.2，2.4)
6.如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M (0，－4)，N (0，－10)，
函数y ＝k x (x <0)的图象过点P ，则k 的值为________ .
7.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于点E ，已知AE ＝6 cm ，EB ＝2 cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长.。

第3章 3.3 垂径定理

垂足为 N，则 ON＝( A )
A．5
B．7
C．9
D．11
如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB＝8 cm，
OC＝5 cm，则 OD 的长是( A )
ห้องสมุดไป่ตู้
A. 3 cm
B． 2.5 cm
C． 2 cm
D． 1 cm
如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 M.若 AB＝12，
OM∶MD＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )
A．26π
B．13π
C．956π
D．39 5 10π
二、填空题
如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD , 垂足为 E , 若∠COD
＝120°，OE＝3 厘米，则 CD＝ 66 3
厘米．
如图，AP＝4，BP＝6，OP＝5，则⊙O 的半径＝ 7 7 .
积为 6 ．
三、解答题如图是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和︵︵小丽沿湖边选取 A，B，C 三根木桩，使得AB＝BC，并测得点 B 到 AC 的距离为 15 米，AC 的长为 60 米，请你帮他们求出人工湖的半径．
解：如图，设点 O 为圆心，连接半径 OA，OB，
设 OB 交 AC 于点 D．
即 AC＝BD．
(2)若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝8，且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长.
解：由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD，如图，连接 OC，OA. ∵OE＝6，
∴CE＝ OC2－OE2＝ 82－62＝2 7， AE＝ OA2－OE2＝ 102－62＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
∵A︵B＝B︵C， ∴OB⊥AC，AD＝CD＝30 米．

2021春北师版九年级数学下册第3章 3.3 垂径定理

导引：连接OM，ON，OA，OC.
知2－讲
∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，
∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.
∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .
∵∠ AMN= ∠ CNM，
∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON.
又∵ OA=OC，
∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN（HL）.
一定平分OB，所以④不一定正确．本题的易错之处是对垂径定理理解不透，并且图形画得比较特殊，因而误认为CD平分OB.
请完成《点拨训练》P156对应习题！
知2－讲
即：如图，在⊙O中，
CD是直径
CD AB
CD平分AB
AD
BD
AC BC
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平
分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中，
CD是直径
CD AE
ABC
知2－讲
例3 如图所示，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为AB，CD的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证： AB=CD.
∴ AM=CN.
∴ AB=CD.
知2－讲
例4 如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 CD ,点O 是 CD 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 CD 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
知2－讲
解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF= (R- 90) m.
知1－练
4 【中考·牡丹江】如图，在半径为5的⊙O中，弦AB ＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为( C ) A．3 B．2.5 C．4 D．3.5

3.3.1 垂径定理

O A
D
C
B
拓展提升
如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦， AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E， CD⊥MN于点F，P是EF上任意一点，求 PA+PC的最小值. A C
M E B OP F D N
归纳小结
A
M B A A C
. O
. E
O C D
. O
N
D B
B
1.垂径定理. 2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
第三章圆
3.3 垂径定理
1．利用圆的轴对称性研究垂径定理；并能运用垂径定理解决问题． 2.经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
3.培养学生类比分析，猜想探索的能力．
类比引入
• 等腰三角形是轴对称图形吗？
• 如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
直径（半径），垂直于弦
判断：
1.垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （错）
2.弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （对）
例题1
例1 如图，已知在⊙O中，弦 AB的长为8厘米，圆心O到AB 的距离为3厘米，求⊙O的半径。 A E O
.
B
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
3．(2016· 宿迁)如图，在△ABC中，已知∠ACB
＝ 130 ° ， ∠BAC＝ 20 ° ， BC ＝ 2 ，以点 C 为圆心， CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为____．

3.3.1垂径定理1

3.3.1垂径定理
任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD，再作一条和直径CD垂直的弦AB，AB与CD相交于点E，然后把圆沿着直径CD所在的直线对折，你能发现什么？
请你用命题的形式表述你的结论.
A
垂径定理:
C
O
D
垂直于弦的直径平分这条弦，
E
并且平分弦所对的弧．
B
探究新知
３.请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明．
D
A
B
A
B
C(动)
D
思维拓展:
2、如图,圆O的直径为10,弦AB为8,P为弦AB上不同于点A,B的一点,若OP的长是整数,则满足条件的点P有几个?
A
O
P B
思维拓展:
3、（1）如图,过圆O内一点P，可以做出几条弦？（2）是否最长的弦,和最短的弦,有的话,请分别作出来. （3）若OP=3cm,半径为5cm,最短的弦和最长的弦分别为多少？
求证:A⌒C=⌒BD
C
A
2.在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？答:在同一个圆中，
弦心距越长,所对应的弦就越短;
弦心距越短,所对应的弦就越长.
E D
F B
G
O
变式1：如图，是一个底部呈球形的烧瓶的轴截面图，圆的半径为 5cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm,求截面中弦AB的长
思考：
你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB 吗？
讲解新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
A 垂径定理的几何语言叙述:
∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB） C E ∴ EA=EB， A⌒C=⌒BC， ⌒AD⌒=BD．

33垂径定理—知识讲解(基础)

垂径定理一知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解圆的对称性；2. 掌握垂径定理及其推论；3. 利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明【要点梳理】知识点一、垂径定理1. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 .2. 推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧要点诠释：（1）垂径定理是由两个条件推出两个结论，即（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.如图，AB 是O O 的弦，半径 Od AB 于点D,且AB= 6 cm , OD= 4 cm ，贝U DC 的长为（ A . 5 cm B .2.5 cm C . 2 cm D . 1 cm直径垂直于弦J 平分弦〔平分弦所对的弧所以在 Rt △ AOD 中, AO J ODAD 2 J 42 325 (cm ). 所以 DC = OC- ODt OA — ODt 5 — 4= 1 (cm).主要是解由半径、弦的一半和弦心距(圆心到弦的垂线段的长度)构成的直角三角形。

举一反三:【变式】如图，O O 中，弦AB 丄弦CD 于 E ,且AE=3cm BE=5cm 求圆心 O 到弦CD 距离。

E■ 0【答案与解析】解：•/ E 为弧AC 的中点,••• OE 丄AC ,•• AD=-^C=4cm ,•/ OD=OE - DE= ( OE - 2) cm , OA=OE ,•••在 Rt △ OAD 中，OA 2=OD 2+AD 2 即 OA 2= ( OE - 2) 2+42, 又知OA=OE ，解得：OE=5 ,•• OD=OE - DE=3cm .【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距(圆心到弦的垂线段的长度)构成的直角三角形举一反三：【变式】已知：如图，害熾AC 与圆O 交于点BC,割线AD 过圆心O.若圆O 的半径是5,且 DAC 30,【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出OD ；O 的半径 r 即可，可以连结 OA 在Rt △ AOD 中，由勾股定理求出 OA. 【答案】【解析】连OA 由垂径定理知 AD3cm ,【点评】AD=13.求弦BC的长.【答案】6.1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m,拱的半径为13m,则拱高为()5m B . 8m C . 7m D . 51/3 m【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题, 题转化为数学问题中的已知条件和问题.B；【答案】即能够把题目中的已知条件和要求的问【解析】如图2，A B表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度, C为A B的中点,CDIAB于D, CD表示拱高，0为A B的圆心，根据垂径定理的推论可知,【点评】C D 0三点共线，且0C平分AB.在Rt△ A0D中, 0A= 13, AD= 12,贝U 0C5= 0A —AD= 132- 122= 25 . ••• 0D = 5,CD = 0C- 0D= 13—5= 8，即拱高为8m在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形, 理(推论)及勾股定理求解.运用垂径定4. (2015?蓬溪县校级模拟)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0, 弦CD是水位线，CD // AB，且AB=26m , OE丄CD于点E.水位正常时测得0E:(1 )求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满? 直径AB是河底线, CD=5 :24 ■/【答案与解析】解：（1） •••直径 AB=26m , ••6=訥号 26二 13ID ，•/ OE 丄 CD ,•/ OE : CD=5 : 24,••• OE : ED=5 : 12,•••设 OE=5x , ED=12x ,•••在 Rt △ ODE 中(5x ) 2+ (12x ) 2=132, 解得x=1 ,••• CD=2DE=2 (2 )由(1) 延长OE 交圆【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决.举一反三:【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m 时拱桥就有危险，现在水面宽请说明理由. DE \■-■'4【答案】不需要采取紧急措施设 OA=R 在 Rt △ AOC 中，AC=30, OC=OD-CD=R-18R 2=3O 2+(R-18) 2, R 2=900+F 2-36R+324 ,解得 R=34(m).连接 OM 设 DE=x 在 Rt △ MOEK ME=16 34 2=162+(34-X ) 2,2 X -68X +256=0 ,解得x i =4, x 2=64（不合题意，舍）, /• DE=4m > 3m ，•••不需采取紧急措施. 2小时桥洞会刚刚被灌满. ••• EF=OF - OE=13 -5=8m , r J4 :c ■|P1X12 X1=24m ; 得0E=1 X5=5m ,O 于点F ,AB=60m 水面到拱顶距离 CD=18m MN=32n 时是否需要采取紧急措施？。

3.3数学垂径定理(1)

三、练中知
练习1：
三、练中知
练习2：
三、练中知练习3、
三、练中知
例2：
三、练中知
练习1：
三、练中知练习2、
三、练中知练习3、
四、拓中悟：
如图：图中是一个下水道的横截面。为了测量下水道的水深，先测得了水管的直径为10m, 然后又测得了水面的宽度为8m，你能根据所提供的数据求得水深吗？
O A D C B
四、拓中悟：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm， ⊙O的半径为5cm，（1）请根据题意画出符合条件的图形（2）求出AB、与CD间的距离。
A
B
A
B
C O C D O
D
（1）
（2）
五、结中得：
1、垂径定理牢记垂径定理使用时必须具备的两个条件，一是直径，二是直径垂直于弦。 2、垂径定理的应用要明确在圆中解决有关弦及弧的问题，垂径定理的作用非常大。
3.31垂径定理(一）
一、启中入
已知⊙O中,M是弦AB的中点 L
(1）直线L⊥AB且过M,那么L 过圆心O吗?
(2)直线L⊥AB且过圆心O, 那么L过M吗?
·O M
(3)直线L过O、M,那么L⊥AB吗？ A
·
B
教学目标：
1、知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，能说出圆的对称轴和对称中心。 2、能说出并会运用符号表示垂径定理，能分清垂径定理的题设和结论。 3、会用垂径定理进行简单的计算和证明。 4、在运用定理的过程中通过对变式图形的认识提高学生的识图能力。
重点：垂径定理的运用难点：垂径定理的证明
二、读中思
E A G O D
已知： ⊙o中，EF是直径， AD是弦，垂足为G

3.3 垂径定理教案(表格式)2023-2024学年浙教版九年级数学上册

教学设计课程基本信息学科数学年级九年级学期秋季课题 3.3垂径定理（第一课时）教科书书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》出版社：浙江教育出版社教学目标1. 经历探索垂径定理的过程.2. 探索并掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.3. 会运用垂径定理解决一些简单的几何问题.教学内容教学重点：垂径定理教学难点：垂径定理的推导过程以及垂径定理的灵活运用教学过程一：创设情境引入新课问题1：如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？我们发现在折叠的过程中，直径两侧的部分会完全重合，因此我们得到结论：圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它的对称轴．问题2：如图，在⊙O中任意作一条弦AB，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗，若是，你能作出它的对称轴吗？二：师生互动共创新知已知：如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，求证：AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂.分析：利用半径来构造等腰三角形来证明AE=BE；弧等可以利用同圆或等圆中两弧的端点重合来证明.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂. 三：应用新知层层深入B OACD下列图形是否适合用垂径定理呢？例1 已知AB̂，用直尺和圆规作这条弧的中点分析：要平分弧，找到这条弧的中点，让我们联想到了垂径定理的基本图形，所以第一步我们先连结AB ，然后再画出垂直弦AB 的过圆心的一条直线即可，所以第二步，作AB 的垂直平分线CD ，交弧AB 于点E.例2 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离.分析:为求O 到AB 的距离，我们先过点O 作OC ⊥AB ，即求OC的长度，观察图形发现OC 在直角三角形OBC 中，其中半径 OB=10，由于OC ⊥AB ，由垂径定理可得BC 等于AB 的一半等于8，那么根据勾股定理即可得到OC 的长度.变式：一条排水管的截面如图所示。