衡水中学高三猜题卷理数答案
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三下学期第三次摸底考试数学(理)试题(解析版)
河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知集合,则集合等于（）A. B. C. D.【解析】D【解析】,选D.2. ,若,则等于（）A. B. C. D.【解析】A【解析】设,则,选A.点睛:本题重点考查复数地基本运算和复数地概念,属于基本题.首先对于复数地四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数地实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列,若,且,则此数列地前5项和等于（）A. B. 41 C. D.【解析】A【解析】因为,所以,选A.4. 已知、分别是双曲线地左、右焦点,以线段为边作正三角形,如果线段地中点在双曲线地渐近线上,则该双曲线地离心率等于（）A. B. C. D.2【解析】D【解析】由题意得渐近线斜率为,即,选D.5. 在中," "是""地（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】B【解析】时,,所以必要性成立；时,,所以充分性不成立,选B.6. 已知二次函数地两个零点分别在区间和内,则地取值范围是（）A. B. C. D.【解析】A学|科|网...【解析】由题意得,可行域如图三角形内部（不包括三角形边界,其中三角形三顶点为）:,而,所以直线过C取最大值,过B点取最小值,地取值范围是,选A.点睛:线性规划地实质是把代数问题几何化,即数形结合地思想.需要注意地是:一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应地直线时,要注意与约束条件中地直线地斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下,目标函数地最大或最小值会在可行域地端点或边界上取得.7. 如图,一个简单几何体地正视图和侧视图都是边长为2地等边三角形,若该简单几何体地体积是,则其底面周长为（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由题意,几何体为锥体,高为正三角形地高,因此底面积为,即底面为等腰直角三角形,直角边长为2,周长为,选C.8. 20世纪30年代,德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想:任给一个正整数 ,如果是偶数,就将它减半；如果是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样地运算,经过有限步后,一定可以得到1,这就是著名地""猜想.如图是验证""猜想地一个程序框图,若输出地值为8,则输入正整数地所有可能值地个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【解析】B【解析】由题意得；,因此输入正整数地所有可能值地个数为4,选B.9. 地展开式中各项系数地和为16,则展开式中项地系数为（）A. B. C. 57 D. 33【解析】A【解析】由题意得,所以展开式中项地系数为,选A.点睛:求二项展开式有关问题地常见类型及解题策略(1)求展开式中地特定项.可依据条件写出第项,再由特定项地特点求出值即可.(2)已知展开式地某项,求特定项地系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.10. 数列为非常数列,满足:,且对任何地正整数都成立,则地值为（）A. 1475B. 1425C. 1325D. 1275【解析】B【解析】因为,所以,即,所以,叠加得,,,即从第三项起成等差数列,设公差为 ,因为,所以解得,即,所以 ,满足,,选B.11. 已知向量满足,若,地最大值和最小值分别为,则等于（）A. B. 2 C. D.【解析】C【解析】因为所以；因为,所以学|科|网...地最大值与最小值之和为,选C.12. 已知偶函数满足,且当时,,关于地不等式在上有且只有200个整数解,则实数地取值范围是（）A. B. C. D.【解析】C【解析】因为偶函数满足,所以,因为关于地不等式在上有且只有200个整数解,所以关于地不等式在上有且只有2个整数解,因为,所以在上单调递增,且,在上单调递减,且,因此,只需在上有且只有2个整数解,因为,所以,选C.点睛:对于方程解地个数(或函数零点个数)问题,可利用函数地值域或最值,结合函数地单调性、草图确定其中参数范围．从图象地最高点、最低点,分析函数地最值、极值；从图象地对称性,分析函数地奇偶性；从图象地走向趋势,分析函数地单调性、周期性等．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将解析填在答题纸上13. 为稳定当前物价,某市物价部门对本市地5家商场地某商品地一天销售量及其价格进行调查,5家商场商品地售价元和销售量件之间地一组数据如下表所示:价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知,销售量与价格之间有较好地线性相关关系,其线性回归方程是,则__________．【解析】39.4【解析】点睛:函数关系是一种确定地关系,相关关系是一种非确定地关系.事实上,函数关系是两个非随机变量地关系,而相关关系是非随机变量与随机变量地关系.如果线性相关,则直接根据用公式求,写出回归方程,回归直线方程恒过点.14. 将函数地图象向右平移个单位（）,若所得图象对应地函数为偶函数,则地最小值是__________．【解析】【解析】向右平移个单位得为偶函数,所以,因为,所以学|科|网...点睛:三角函数地图象变换,提倡"先平移,后伸缩",但"先伸缩,后平移"也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15. 已知两平行平面间地距离为,点,点,且,若异面直线与所成角为60°,则四面体地体积为__________．【解析】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE,取,则16. 已知是过抛物线焦点地直线与抛物线地交点,是坐标原点,且满足,则地值为__________．【解析】【解析】因为,所以因此,所以因为,所以,因此三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图,已知关于边地对称图形为,延长边交于点,且,.（1）求边地长；（2）求地值.【解析】（1）（2）【解析】试卷分析:（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出,最后根据角平分线性质定理得边地长；（2）先由余弦定理求出,再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求地值.试卷解析:解:（1）因为,所以,所以．因为,所以,所以,又,所以．（2）由（1）知,所以,所以,因为,所以,所以．学|科|网...18. 如图,已知圆锥和圆柱地组合体（它们地底面重合）,圆锥地底面圆半径为,为圆锥地母线,为圆柱地母线,为下底面圆上地两点,且,, .（1）求证:平面平面；（2）求二面角地正弦值．【解析】（1）见解析（2）【解析】试卷分析:（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面,即有,最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角,一般利用空间向量进行求解,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试卷解析:解:（1）依题易知,圆锥地高为,又圆柱地高为,所以,因为,所以,连接,易知三点共线,,所以,所以,解得,又因为,圆地直径为10,圆心在内,所以易知,所以．因为平面,所以,因为,所以平面．又因为平面,所以平面平面．（2）如图,以为原点,、所在地直线为轴,建立空间直角坐标系．则．所以,设平面地法向理为,所以,令,则．可取平面地一个法向量为,所以,所以二面角地正弦值为．19. 如图,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶,他们规定从平地开始,每次划拳赢地一方登上一级台阶,输地一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶地奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳地次数为．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶地概率；（2）求地分布列和数学期望．【解析】（1）（2）学|科|网...【解析】试卷分析:（1）根据等可能性知每次赢、平、输地概率皆为．再分两种情况分别计数:一种是小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,逆推确定事件数及对应划拳地次数,最后利用互斥事件概率加法公式求概率,（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试卷解析:解:（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个,其中小华赢（或输）包含三个基本事件上,他们平局也为三个基本事件,不妨设事件"第次划拳小华赢"为；事件"第次划拳小华平"为；事件"第次划拳小华输"为,所以．因为游戏结束时小华在第2个台阶,所以这包含两种可能地情况:第一种:小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平；其概率为,第二种:小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶地概率为．（2）依题可知地可能取值为2、3、4、5,,,,所以地分布列为:2345所以地数学期望为:．20. 如图,已知为椭圆上地点,且,过点地动直线与圆相交于两点,过点作直线地垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆地离心率；（2）若,求．【解析】（1）（2）【解析】试卷分析:（1）根据题意列方程组:,解方程组可得,,再根据离心率定义求椭圆地离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线地距离,再根据点到直线距离公式求直线AB地斜率,根据垂直关系可得直线PQ地斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试卷解析:解:（1）依题知,解得,所以椭圆地离心率；（2）依题知圆地圆心为原点,半径为,所以原点到直线地距离为,因为点坐标为,所以直线地斜率存在,设为．所以直线地方程为,即,所以,解得或．①当时,此时直线地方程为,所以地值为点纵坐标地两倍,即；②当时,直线地方程为,将它代入椭圆地方程,消去并整理,得,设点坐标为,所以,解得,所以．点睛:有关圆锥曲线弦长问题地求解方法涉及弦长地问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点地弦地问题,可考虑用圆锥曲线地定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数,其中为自然对数地底数．（参考数据:）（1）讨论函数地单调性；（2）若时,函数有三个零点,分别记为,证明:．【解析】（1）见解析（2）见解析【解析】试卷分析:（1）先求函数导数,根据参数a讨论:当时,是常数函数,没有单调性．当时,先减后增；当时,先增后减；（2）先化简方程,整体设元转化为一元二次方程:．其中,再利用导数研究函数地图像,根据图像确定根地取值范围,进而可证不等式.试卷解析:解:（1）因为地定义域为实数,所以．①当时,是常数函数,没有单调性．②当时,由,得；由,得．所以函数在上单调递减,在上单调递增．③当时,由得,；由,得,学|科|网...所以函数在上单调递减,在上单调递增．（2）因为,所以,即．令,则有,即．设方程地根为,则,所以是方程地根．由（1）知在单调递增,在上单调递减．且当时,,当时,,如图,依据题意,不妨取,所以,因为,易知,要证,即证．所以,又函数在上单调递增,所以,所以．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线地倾斜角为,且经过点,以坐标系地原点为极点,轴地非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线地极坐标方程为,直线与曲线相交于两点,过点地直线与曲线相交于两点,且．（1）平面直角坐标系中,求直线地一般方程和曲线地标准方程；（2）求证:为定值．【解析】（1）,（2）【解析】试卷分析:（1）根据点斜式可得直线地一般方程,注意讨论斜率不存在地情形；根据将曲线地极坐标方程化为直角坐标方程,配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长:先列出直线参数方程,代入圆方程,根据及韦达定理可得,类似可得,相加即得结论.试卷解析:解:（1）因为直线地倾斜角为,且经过点,当时,直线垂直于轴,所以其一般方程为,当时,直线地斜率为,所以其方程为,即一般方程为．因为地极坐标方程为,所以,因为,所以．所以曲线地标准方程为．（2）设直线地参数方程为（为参数）,学|科|网...代入曲线地标准方程为,可得,即,则,所以,同理,所以．23. 选修4-5:不等式选讲已知实数满足．（1）求地取值范围；（2）若,求证:．【解析】（1）（2）见解析【解析】试卷分析:（1）因为,所以,又,即得地取值范围；（2）因为,而,即证.试卷解析:解:（1）因为,所以．①当时,,解得,即；②当时,,解得,即,所以,则,而,所以,即；（2）由（1）知,因为当且仅当时取等号,所以．。
河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷(含解析)
河北省衡水市2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知数列满足,则( )2．已知是第四象限角且,则的值为( )A.1B.C.3．函数处的切线的倾斜角为( )4．如图,平行四边形ABCD中,,,若,,则( )C.5．已知等差数列的公差小于0,前n项和为,若,则的最大值为( )A.45B.52C.60D.906．设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,若的周长为1.则( )D.2{}na12na+=11=-4a=αsinα=cos0ββ-=tan()αβ-1--()f x=())0,0f2AE EB=DF FC=CB m=CE n=AF=32+12n-1322m-+32n-{}nanS2a=844=nS ABC△2sin sin sinABCS A B C=△ABCsin sin sinA B C++=7．设函数,若函数在区间上有且仅有1个零点,则的取值范围为( )A. B. C. D.8．已知,在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．以下正确的选项是( )A.若,,则 B.若,C.若,则D.若,10．设正项等比数列的公比为q ,前n 项和为,前n 项积为,则下列选项正确的是( )A.B.若,则C.若,则当取得最小值时,D.若,则11．以下不等式成立的是( )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,三、填空题()()3ππ40,0,3πππ4tan ,4k x f x k k x x ωωωω⎧+⎪=⎪⎪=>∈⎨⎪+⎛⎫⎪--≠ ⎪⎪⎝⎭⎩Z ()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦20,3⎛⎤⎥⎝⎦210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]0,211e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=>()a ∈R []2,1-[]2,1--(],1-∞[)2,-+∞a b >c d <a c b d ->-a b >c d <bd >22ac bc >33a b >a b >m >ba>{}n a n S n T 4945S S q S =+20252020T T =20231a =194a a =2246a a +1a =21()n n n a T +>11a <(0,1)x ∈1e ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞1e ln 2x x x x+>-+π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >,,13．已知函数的最小正周期为,则在区间上所有零点之和为________.14．若定义在上的函数满足:对任意的x ,,都有:,当时,还满足:,则不等式的解集为________.四、解答题15．已知函数.（1）求函数的单调区间;（2）函数在上恒成立,求最小的整数a .16．已知数列的前n 项和为,,.（1）证明:数列为等比数列;（2）若,求n 的值.17．凸函数是数学中一个值得研究的分支,它包括数学中大多数重要的函数,如,等.记为的导数.现有如下定理:在区间I 上为凸函数的充要条件为.（1）证明:函数上的凸函数;（2）已知函数.①若为上的凸函数,求a 的最小值;②在①的条件下,当a 取最小值时,证明:,在上恒成立.18．如图,在平面直角坐标系中,质点A 与B 沿单位圆周运动,点A 与B 初始位置如图所示,A 点坐标为,的速度运动,点A 逆时针24a b ⋅=λ∈R +()()2sin πcos (0)f x x x x ωωωω=->π()f x []2024π,2024π-()(),00,-∞+∞ () f x ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1f x x ≤-()()2e 1x f x x x =-+()f x ()f x a ≤[]2,1-{}n a n S 113a =18,3,nn na n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}2112n a --21161469n S n +=+2x e x ()f x ''()y f x '=()f x ()()0f x x I ''≥∈()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()g x [)1,+∞()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞()1,0AOB ∠=//s运动,点B 顺时针运动,问:（1）ls 后,扇形AOB 的面积及的值.（2）质点A 与质点B 的每一次相遇的位置记为点,连接一系列点,,构成一个封闭多边形,求该多边形的面积.19．已知函数,（1）讨论的单调性;（2）当时,恒成立,求m 的取值范围;（3）当时,若的最小值是0,求的最大值.sin AOB ∠n P 1P 2P 3P ⋅⋅⋅()e x f x mx =-()g x =()f x 0x ≥()()f x g x ≥0x ≥()()f x ng x -m +参考答案1．答案：C 解析：因为当,;当,,故选:C.2．答案：C解析：因为是第四象限角且因为,所以所以,故选:C.3．答案：D解析：因为时,即故选:D.4．答案：D解析：因为四边形ABCD 为平行四边形,且,,所以,即①,又,即②,由①②得到,又,,所以.故选:D.5．答案：A12n a +=1n =21123a a =-=2n =3212a a =-=3=4312a a =-=αsin α=α=α=2sin cos 0ββ-=tan β=tan tan tan()211tan tan 31421234αβαβαβ--===-+⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭---()f x =()15f x x ='0=()15f x x ='()f x =0x =2AE EB =DF FC =12AF AD DF AD DC =+=+ 22AF AD DC =+ 13CE CB BE CB BA =+=+ 33CE CB BA =+ +23AF CE CB += CB m = CE n =1322A m n F =-解析：设等差数列的首项为,公差为,由①,由,得到②,由①②得到,,又,,由,解得,,所以,,,又因为,所以当或时,的值最大,最大值为45,故选:A.6．答案：B（R 为的外接圆半径）,可得,,,且A ,B ,,则,,均为正数,因为,可得,又因为的周长为,所以故选:B.7．答案：A解析：因为,由正切型函数可知:的最小正周期且,显然在区间内至少有1个零点,在区间内至少有2个零点,若函数在区间上有且仅有1个零点,{}n a 1a (0)d d <2a =272713a a a ++=1888()442a a S +==1811a a +=2724a a =182711a a a a +=+=0d <27272411a a a a =⎧⎨+=⎩28a =73a =72381725a a d --===--19a =2(1)1199222n n n S n n n -=-=-+n *∈N 9n =10n =n S 2sin sin b cR B C===ABC △2sin a R A =2sin b R B =2sin c R C =()0,πC ∈sin A sin B sin C 11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C R A R B C A B C ==⨯⨯⨯=△1R =ABC △()2sin 2sin 2sin 2sin sin sin 1a b c R A R B R C A B C ++=++=++=sin sin sin A B C ++=0ω>()f x T =(f x ∈Z ()f x (),x x T +3,2x x T ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3π,88⎛⎫- ⎪⎝⎭,若,因为,则,且,即则,结合题意可知:,由题意可知:或,,所以的取值范围为.故选:A.8．答案：A解析：因为,当时,,所以时,,即上单调递增,当时,,所以,由题知在上恒成立,在上恒成立,3ππ88⎛⎫>--= ⎪⎝⎭πω=>3ω<<03ω<<π3π,88x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭πππ3ππ,48484x ωωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭5ππππ3ππ7π8844848ωω-<--<-<-<5ππππ3ππ884484x ωωω-<--<-<-<ππ5π7π,0,,2288⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ3ππ,8484ωω⎫---⎪⎭π3ππ0284πππ842ωω⎧-<-≤⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩3πππ0842πππ0284ωω⎧<-≤⎪⎪⎨⎪-≤--<⎪⎩2ω<≤ω2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦11e e ,12()1x xax x f x x --⎧--≤⎪⎪=⎨>1x >()f x =()f x '==1x >()0f x '>()f x =)+∞1x ≤11e e ()2x x f x ax ---=-11e e ()2x x f x a --+'=-11e e ()02x x f x a --+'=-≥(,1]-∞a ≥,当且仅当,即时取等号,所以,,得到,所以,故选:A.9．答案：AC解析：对于选项A,由,得到,又,所以,故选项A 正确,对于选项B,取,显然有,,不满足对于选项C,由,得到,又,所以,即,所以,故选项C 正确,对于选项D,取,,,显然有,,所以选项D 错误,故选:AC.10．答案：AB解析：因为数列为正项等比数列,则,,,对于选项A:因为,所以,故A 正确;对于选项B:若,所以,故B 正确;对于选项C:因为,则,当且仅当时,等号成立,若取得最小值,则,即,解得,故C 错误;112≥⨯=11e e x x --=1x =1a ≤13211a +≤=+2a ≥-21a -≤≤c d <c d ->-ab >ac bd ->-3,2,3,2a b c d ===-=-a b >c d <1,1bd=-=-a c >22ac bc >2()0a b c ->20c >0a b ->a b >33a b >3a =-4b =-5m =a b >m >4514435233b a-+-==<==-+-{}n a 10a >0q >0n T >9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+4945S S q S =+20252020T T =52021202220232024202520231a a a a a a =⋅⋅⋅⋅==20231a =19464a a a a ==22446628a a a a +≥=462a a ==2246a a +462a a ==34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩121a q =⎧⎨=⎩对于选项D:例如,,则,可得,,因为,则,可得,即,符合题意,但,故D 错误;故选:AB.11．答案：ABC解析：A 选项,令,,则恒成立,故在上单调递增,则,令,则,故在上单调递增,故,所以,A 正确;B 选项,由A 选项知,时,单调递增,单调递减,则,所以,B 正确;C 选项,令,,则,,,11a =2q =12n n a -=011121122222n n n n T a a a -++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==()21()22nn n n n a +==()2212222n n n n n T --⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭*n ∈N 22n n n >-2222n n n ->21()n n n a T +>11a =()e 1x f x x =--(0,1)x ∈()e 10x f x ='->()f x (0,1)x ∈()()00f x f >=()1ln g x x =-(0,1)x ∈()221110xg x x x x='-=-+>()g x (0,1)x ∈()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+(1,)x ∈+∞()f x ()g x ()()1e 2f x f >=-()()10g x g <=e 11ln x x x -->-1ln 2x x x x+>-+()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()πe sin cos 1e sin 14x x w x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛+∈ ⎝(π4x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又在上恒成立,故在恒成立,故在上单调递增,又,故,即当时,,C 正确;D 选项,令,则当时,,当时,,在上单调递增,在上单调递减,其中,在上单调递增,在上单调递减,且,,画出两函数图象如下:时,不满足存在,使得当时,,D 错误.故选:ABC 12．答案：4e 1x >π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()πe sin 104x w x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()e sin x w x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00w =e sin 0x x x ->π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭e sin x x x >()t x =()0,π∈()t x ='()10e x x t x -'=>()1,πx ∈()10exxt x -'=<()ex xt x =()1,πx ∈π2ππ122et ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()πt =()sin q x x =π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π12q ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π0q =π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x >1π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,πx x ∈sin x <sin x x x <,,,当且仅当时,等号成立,故答案为:4.13．答案：解析：因为且,则的最小正周期为,解得,所以令,解得,令,可得可知在,内有2个零点,且这2个零点关于直线对称,即这2个零点和为,所以所有零点之和为.故答案为:.14．答案：解析：因为对任意的x ,,都有:令,可知24a b ⋅=()2222224432164421616a a b b b λλλλλλ=+⋅+=++=+++≥ 2λ=-+ +10120π3-()21cos 2()sin πcos sin cos 2xf x x x x x x ωωωωωω-=-=1πsin 22sin 223x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x 2ππ2T ω==1ω=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π22π3x k +=+∈Z πx k =∈Z ()πsin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x ()π,1πk k +⎡⎤⎣⎦k ∈Z πx k =∈Z 2πx k =∈Z ()()π101202202420232023π4048π63-+-+⋅⋅⋅++⨯=-⎡⎤⎣⎦10120π3-(][),11,-∞-+∞ ()(),00,y ∈-∞+∞ ()1x f f x f y y ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x y ==()()()12110f f f =⇒=令,可知令,得故函数为偶函数,令要使则显然函数为偶函数;因为当时,得所以当时函数单调递减,此时也单调递减因为需要故因为为偶函数所以当时,的解为故不等式的解集为故答案为:15．答案：（1）单调增区间为,,单调减区间为（2）3解析：（1）因为,则,因为恒成立,由,得到或,由,得到,所以函数的单调增区间为,,减区间为.（2）由（1）知在区间上单调递增,在区间上单调递1x y ==-()()()12110f f f =-⇒-=1y =-()()()()()1f x f x f f x f x -=+-⇒-=() f x ()()1g x f x x =-+()1f x x ≤-()0g x ≤()()1g x f x x =-+,0x y >()110x y f f x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110f f x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0x >()f x ()()1g x f x x =-+()()11110g f =-+=()0g x ≤1x ≥()()1g x f x x =-+0x <()0g x ≤1x ≤-()1f x x ≤-(][),11,-∞-+∞ (][),11,-∞-+∞ (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+()()2e (1)e x x f x x x x x '=+=+e 0x >()0f x '>1x <-0x >()0f x '<10x -<<()f x (),1-∞-()0,+∞(1,0)-()()2e 1x f x x x =-+[)2,1--(1,0)-减,在区间上单调递增,又,,显然有,所以在区间上最大值为,又函数在上恒成立,所以,得到最小的整数.16．答案：（1）证明见解析（2）6解析：（1）因为,所以当,时,,即,时,,又时,,所以数列为首项为1,公比为3的等比数列.（2）由（1）知,所以,又由,可得,,,所以,又,所以,整理得到,解得,所以n 的值为6.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）因为因为,又,所以,(]0,1()31ef -=()1e f =(1)(1)f f -<()()2e 1x f x x x =-+[]2,1-e ()f x a ≤[]2,1-e a ≥3a =18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数2n ≥n *∈N 212(1)122(23)1232312123123123(8)123(12)n n n n n n a a a a a a --+--+---=-=-=-=--=-2n ≥n *∈N 212(1)112336n n a a ----=-1n =11213121a -=-={}2112n a --121123n n a ---=121312n n a --=+18,3,nn n a n a a n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数22234n n a --=+2n ≥n *∈N 211232211321242()()n n n n n S a a a a a a a a a a a +++=+++++=+++++++ 1011313[33312(1)](3334)16122316111313n nnn n n n n n +---=++++++++++=+++=⨯++-- 21161469n S n +=+231611161469n n n ++⨯+=3729n =6n =()f x =()f x '=()f x ''=4222156316(048x x x -+=-+>()1,x ∈+∞63(1)0x x ->故在区间上恒成立,即函数上的凸函数.（2）①因为,所以由题知在区间上恒成立,即上恒成立,,则在区间上恒成立,令,对称轴为,所以当时,取到最大值,最大值为1,所以,得到.②由（1）知,令,则令在区间恒成立,当且仅当时取等号,所以上单调递增,得到,当且仅当时取等号,即在区间恒成立,当且仅当时取等号,即在区间上单调递增,所以令,令,得到,则在区间上恒成立,即在区间上单调递减,()42632(631)0(1)x x f x x x -+''=>-()1,+∞()f x =)1,+∞()2()2ln ln g x ax x x x a =--∈R ()22ln 2g x ax x '=---2()2g x a x ''=-221()20g x a x x ''=-+≥[)1,+∞22a x ≥-)1,+∞(]0,1t =∈222a t t ≥-(]0,122y t t =-1t =1t =22y t t =-21a ≥a ≥()21()2ln ln 2g x x x x x a =--∈R 21()()22ln ln 22H x g x x x x x x x =+=--+1()2ln 222ln H x x x x x x '=---+=-()2ln m x x x =--222222121(1)()10x x x x x x x x-+-'=-+==≥[)1,+∞1x =()2ln m x x x =--)1,+∞()(1)0m x m ≥=1x =1()2ln 0H x x x x'=--≥[)1,+∞1x =21()2ln ln 22H x x x x x x =--+[)1,+∞1()(1)22H x H ≥=+=()()31()23231x x xF x -=+-+312x t =-≥2(1)(2)t y t t =+-+22220(2)t y t t --'=<+-[2,)+∞2(1)(2)t y t t =+-+[2,)+∞所以即当,时取等号,所以,在上恒成立.（2）2解析：（1）由题意可知:,,且点,若,则所以扇形AOB 的面积且（2）若质点A 与质点B 的每一次相遇,,,解得,,的周期为4,即交点有4个,当时,;当时,;当时,;当时,;22(21)(22)y ≤+=-+[)1,x ∞∈+()()31()23231x xxF x -=+≤-+1x =()()31()223231x xxg x x -+≥+-+[)1,+∞AOB ∠=s t π12t -ππcos ,sin 44A t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =πππ4412AOB ⎛⎫∠=+--=⎪⎝⎭217π1212S =⨯⨯=ππππππ1sin sin sin cos cos sin 4343432AOB ⎛⎫∠=+=+=+= ⎪⎝⎭ππ2π124t k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭k ∈N 6t k =∈N 3π2k =∈N 3π2k =∈N 1k =13π2θ=-()111cos ,sin P θθ2k =23π3ππ16θ=-=()222cos ,sin θθ3k =39π3ππ2162θ=-=-()333cos ,sin θθ4k =43π6π16θ=-=()444cos ,sin P θθ可得即,O ,以及,O ,均三点共线,且,,.19．答案：（1）答案见解析（2）（3）解析：（1）由函数,可得,若时,可得,所以在R 上单调递增;若时,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.综上可得:当时,在R 上单调递增;若时,在上单调递减,在上单调递增.（2）令函数因为当时,恒成立,所以在上恒成立,又因为,要使得在上恒成立,则恒成立,令可得,即在上为单调递增函数,所以,解得,即实数m 的取值范围为.（3）当时,若的最小值是0,即在上恒成立,34θθ-=23θ-=12θ-=1P 3P 2P 4P 1324PP P P ⊥13242PPP P ==132412222PP P P ⋅=⨯⨯=(,1]-∞177e()e x f x mx =-()e x f x m '=-0m ≤()0f x '>()fx 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<()f x (,ln )m -∞ln x m >()0f x '>()f x (ln ,)m +∞0m ≤()f x 0m >()f x (,ln )m -∞(ln ,)m +∞()()()e x h x f x x g x m =-=-()e x x m '-=0x ≥()()f x g x ≥()0h x ≥[0,)+∞()00h =()0h x ≥[0,)+∞()0h x '≥()()e x x h x m ϕ-'==()e e e 0xx x x ϕ'==--=>()h x [0,)+∞()()min 010h x h m ''==-≥1m ≤(,1]-∞0x ≥()()f x ng x -()()()e 0x m x f x n mx g x ---=≥=[0,)+∞即在上恒成立,显然相切时取得等号,由函数,可得所以切线方程为即因为切线过原点,则解得,,所以,令,其中,可得,令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以可得则,e x mx -≥[0,)+∞e x y -=00,e x x -e x y -'=00e |x x x y ='=00e ()x y x x ⎛=-- ⎝000e (1)e x x y x x ⎛=+-- ⎝00e 0(1)e x x m x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩00(1e x n x =-0002000e (1)e (1)e x x x m x x x =--=-+02000(1(1e )x m x x x +=-++-02000(1(1e x x x x =-++-⋅()2(1(1e x F x x x x =-++-⋅0x >()(1)F x x x '=+-()0F x '=x =10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0F x '>()F x 1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0F x '<()F x ()177F x F ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭4349==()1743e e 49xm x x =-()1743e e 49xm x -'-=107⎛⎫'= ⎪⎝⎭只需证明:当时,,当时,,令因为和为增函数,所以,所以为增函数,因为,所以当时,,当时,,所以即的最大值为10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>()()7143e e 49xn x m x '=--=()e x x =-'e xy =y =()x '()()010n x n ''>=>()m x 107m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭10,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0m x '<1,7x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0m x '>7m +≤4349==m +7。
河北省衡水中学2016届高三下学期猜题卷数学(理)试题(解析版)
2015-2016学年度下学期高三年级猜题卷高三数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.“1m =±”是“复数2(1)(1)m m i -++（其中i 是虚数单位）为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，2(1)(1)m m i -++是纯虚数210110m m m ⎧-=⇔⇔=⎨+≠⎩，故是必要不充分条件，故选B.考点：1.复数的概念；2.充分必要条件．2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()U C A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C.考点：1.对数函数的性质；2.三角函数值；3.集合的运算． 3.若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（ ） A． B ．12- C ．12 D【答案】A. 【解析】试题分析：根据任意角的三角函数的定义，5cos 6sin 12πα==-，故选A. 考点：任意角的三角函数．4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n = 【答案】B.考点：1.统计的运用；2.程序框图．5.如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()sin(2)3g x x π=-B ．2()sin(2)3g x x π=+C ．5()cos(2)6g x x π=+D ．()cos(2)6g x x π=- 【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，(0)0g <，故排除B ，D ；又∵17()()sin 24842g f πππ===，故排除A ，故选C. 考点：三角函数的图象和性质． 6.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2) 【答案】D.考点：函数性质的综合运用．7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A ．1B ．2C ．2D 【答案】C.考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积．8.已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12n n n a a +-≤，232n n n a a +-≥⨯成立，则2014a =（ ） A ．201421- B ．201421+ C ．201521- D ．201521+【答案】A.考点：数列的通项公式．9.已知非零向量a ，b ，c ，满足||||4a b b -==，()()0a c b c -⋅-=，若对每个确定的b ，||c 的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n -的值为（ ）A ．随||a 增大而增大B ．随||a 增大而减小C ．是2D ．是4【答案】D.考点：平面向量数量积．10.已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．2 B ．3π C ．3D ．2π 【答案】B. 【解析】试题分析：如下图所示，设球心为O ，则可知球心O 在面ABC 的投影在ABC ∆外心，即AC 中点E 处，取AB 中点F ，连PF ，EF ，OE ，OP ，由题意得，PF ⊥面ABC ，∴在四边形POEF 中，设OE h =，∴半径0r h ==⇒=，2r =，即球心即为AC 中点，∴表面积243S r ππ==，故选B.考点：空间几何体的外接球．【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即2222a b c R ++=；2.棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即32a R =；棱长为a 的正四面体：外接球的半径为6a ，内切球的半径为6a ； 11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．74 B ．73 C ．72D ．7 【答案】C.考点：双曲线的标准方程及其性质．【名师点睛】要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解，要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征以及平面几何知识的运用，如12||||2PF PF c +≥等.12.已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数不可能为（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 【答案】A. 【解析】试题分析：如下图所示，画出函数()f x 以及1()2g x x x=+-的图象，从而可知，当0a <时，方程()f x a =有一正根，∴方程1(2)f x a x+-=有两个根，当0a =时，方程()f x a =有一正根，一个根为0， ∴1(2)f x a x+-=有三个根，当01a <<时，方程()f x a =有两个正根，一个大于4-的负根， ∴1(2)f x a x +-=有四个根，当1a =时，方程()f x a =有一个负根4-，三个正根，∴1(2)f x a x+-=有七个根，当12a <<时，方程()f x a =有三个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有八个根，当2a =时，方程()f x a =有两个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有六个根，当2a >时，方程()f x a =有一个正根一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x +-=有四个根，∴1(2)f x a x+-=根的个数可能为2，3，4，6，7，8，故选A.考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】要判断函数零点或方程根的个数，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断，对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为()()f x g x =的形式，通过考察两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）13.已知0a >，6)x-展开式的常数项为15，则2(a ax x dx -+=⎰____________.【答案】223π++考点：定积分的计算及其性质.14.设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是__________. 【答案】[16,16]-.考点：线性规划.15.设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，过点F 作它的弦AB ，若90CBF ∠=，则AF BF -=________．【答案】2p . 【解析】试题分析：如下图所示，设||BF x =，过B 作l 的垂线，垂足是H ，则易得CFBBCH ∆∆，则易得2||||||BC CF BH px =⋅=，又∵22222||||||CF BC BF p x px x p =+⇒=+⇒=，由抛物线的焦点弦性质，112||||AF BF p +=，∴133||||22AF p AF p =⇒=， ∴||||2AF BF p -=，故填：2p .考点：抛物线焦点弦的性质.【名师点睛】若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，F 为抛物线焦点，A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则：2124p x x =，212y y p =-，以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，112||||AF BF p+=. 16.已知数列{}n a 满足12a =，210n n a a n +++=，则31a =_____________. 【答案】463-. 【解析】试题分析：∵210n n a a n +++=，∴212(1)0n n a a n +++++=，两式相减，可得2(21)n n a a n +-=-+，∴313a a -=-，537a a -=-，……312959a a -=-，∴31131359154632a a a +-=-⋅⇒=-，故填：463-. 考点：数列的通项公式.【名师点睛】已知递推关系求通项，掌握先由1a 和递推关系求出前几项，再归纳、猜想n a 的方法，以及“累加法”，“累乘法”等：1.已知1a 且1()n n a a f n --=，可以用“累加法”得：12()nn k a a f k ==+∑，2n ≥；2.已知1a 且1()nn a f n a -=，可以用“累乘法”得：1(2)(3)(1)()n a a f f f n f n =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，2n ≥. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ⋅=，sin 3BAC ∠=，AB =BD =.（1）求AD 长； （2）求cos C .【答案】（1）3；（2【解析】试题分析：（1）利用已知条件首先求得cos BAD ∠的值，再在ABD ∆中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABD ∆中利用正弦定理即可求解.试题解析：（1）∵0AD AC ⋅=，则AD AC ⊥，∴sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠，即cos 3BAD ∠=，在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠， 即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =，∵AB AD >，∴3AD =；……6分 （2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠.又由cos BAD ∠=1sin 3BAD ∠=，∴sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==.∵2ADB DAC C C π∠=∠+=+，∴cos 3C =…………12分 考点：正余弦定理解三角形． 18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2.（2）法一：设M 是线段EC 的中点，过点M 作MF BC ⊥，垂足为F ，连接D M '，D F '，如图，则D M EC '⊥，∵平面D EC '⊥平面BEC ，∴D M '⊥平面EBC ，∴MF 是D F '在平面BEC 上的射影， 由三垂线定理，得D F BC '⊥，∴D FM '∠是二面角D BC E '--的平面角，在Rt D MF '∆中，122D M EC '==，11,tan 22D M MF AB D FM MF''==∠==cos D FM '∠=，∴二面角D BC E '--的余弦值为3.…………12分法二：如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B ，C ，(0,22D '， 易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n =； 设平面D BC '的一个法向量为2222(,,)n x y z =，(BC =，(0,22D C '=-， 则2200n BC n D C =⎧⎨'=⎩，即222200y z ⎧+=-=，取21x =，得2(1,1,1)n =，∴1212123cos ,||||n n nn n n ⋅<>==， ∴二面角D BC E '--的余弦值为3.…………12分考点：1.面面垂直的判定与性质；2.二面角的求解． 19.(本小题满分12分)2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[]0,2000，(]2000,4000，(]4000,6000，(]6000,8000，(]8000,10000五组，并作出如下频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b d +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？0.0附：临界值表参考公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 【答案】（1）3360；（2）详见解析；（3）详见解析.试题解析：（1）记每户居民的平均损失为x 元，则()10000.0001530000.000250000.0000970000.0000390000.00003x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20003360⨯=；…………4分（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有()0.000090.000030.0000320005015++⨯⨯=户，损失超过8000元的居民共有0.000032000503⨯⨯=户，因此ξ的可能值为0，1，2，()21221522035C P C ξ===，()1131221512135C C P C ξ===，()232151235C P C ξ===，ξ的分布列为()2212120123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=；…………8分 （3）解得9b =，5c =，39a b +=，11c d +=，35a c +=，15b d +=，50a b c d +++=，()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.…………12分 考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.独立性检验． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F ，且椭圆过点，2-，且A 是椭圆上位于第一象限的点，且12AF F ∆的面积12AF F S ∆=（1）求点A 的坐标；（2）过点(3,0)B 的直线l 与椭圆E 相交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 与x 轴相交于M ，N 两点，点5(,0)2C ，则||||CM CN ⋅是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由. 【答案】（1）(2,1)A ；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）通过已知条件首先求得椭圆的标准方程，再结合三角形的面积计算公式，即可求得A 的坐标；（2）将直线l 的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，通过计算说明是否为定值即可.∵0A x >，∴2A x =，∴(2,1)A ；（2）法一：设直线l 的方程为3x my =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 直线AP 的方程为()111122y y x x --=--，可得1112(,0)1y x M y --，即()1123(,0)1m y M y ---， 直线AQ 的方程为()221122y y x x --=--，可得2222(,0)1y x N y --，即()2223(,0)1m y N y ---.联立22326x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，整理，得22(2)630m y my +++=. 由()22361220m m ∆=-+>，可得21m >，12262m y y m +=-+，12232y y m=+， ()()()()()()12121212232312112155()()21212121m y m y m y m y CM CN y y y y ----++++=-⋅-=⋅---- ()()()()()()22221212121222361212()1121212236414(1)22mm m m y y m y y m m m y y y y m m +++-++++++++==-++⎡⎤⎣⎦++++()()22222231212612265144362465m m m m m m m m m m m ++--++++===+++++ ∴CM CN 为定值，且14CM CN =.…………12分 法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，3(,0)M x ，4(,0)N x ，直线l ，AP ，AQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，由()22326y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()222212121860k x k x k +-+-=，()()4221444121860k k k ∆=-+->，可得21k <，21221212k x x k +=+，212218612k x x k-=+，()()()()()121212121212121212313125112411222224k x k x kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -----++++--+=+=+=-----++ ()22222222221861225112444121221861222241212k k k k k k k k k k k k k --+++-+++===----+++， 由()112y k x -=-，令0y =，得3112x k =-，即11(2,0)M k -， 同理得4212x k =-，即21(2,0)N k -，则 121251511111(2)(2)2222CM CN k k k k =----=++121211111()42k k k k =+++ 121212121211111211()42424k k k k k k k k k k +-=++=+⨯+= ∴CM CN 为定值，该定值为14. 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.21.(本小题满分12分)已知函数221()()(1)(22),2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数a ，b 的值；（2）若2()()0f x x mx n ⋅+-≥恒成立，求m n +的值. 【答案】（1）0a =，1b =；（2）1m n +=-.（2）不等式()0f x >21(1)(1)(1)2xx e x x x ⇔->-++，即2101(1)02x x e x x ->⎧⎪⎨-++>⎪⎩，或2101(1)02x x e x x -<⎧⎪⎨-++<⎪⎩， 令()21(1)2x g x e x x =-++，()()(1)xh x g x e x '==-+，()1xh x e '=-，当0x >时，()10x h x e '=->；当0x <时，()10xh x e '=-<，∴()h x 在区间(,0)-∞内单调递减，在区间(0,)+∞内单调递增，∴()(0)0h x h ≥=， 即()0g x '≥，∴()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，∴21(1)002xe x x x -++>⇔>；21(1)002xe x x x -++<⇔<， ∴当0x <或1x >时，()0f x >，同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤.∴由2()()0f x x mx n +-≥恒成立可知，0x =，和1x =是方程20x mx n +-=的两根，∴1m =-，0n =，∴1m n +=-.…………12分. 考点：导数的综合运用．【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线，CB 的延长线交PA 于点P ，AC 与BD 相交于点M ，且//PA BD .（1）求证：ACD ACB ∠=∠；（2）若3PA =，6PC =，1AM =，求AB 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】试题分析：（1）根据切线的性质首先证明PAB ACB ∠=∠，再利用//PA BD 即可得证；（2）首先根据切割线定理求得PB ，BC 的长度，再利用AMBABC ∆∆即可求解.试题解析：（1）由PA 为切线，得PAB ACB ∠=∠，又∵//PA BD ，∴PAB ABD ACD ∠=∠=∠， ∴ACD ACB ∠=∠；…………4分 （2）由切割线定理2PA PB PC =，得32PB =，92BC =， 由//PA BD ，得AM PBMC BC=，又1AM =，∴3MC =，∴4AC =， 又知AMB ABC ∆∆，∴AB ACAM AB=， 又∵4AC =，1AM =，∴24AB AM AC ==，∴2AB =.…………10分 考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P -，直线1:2x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B . （1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）求PA PB +.【答案】（1）直线l 的普通方程是30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解. 【解析】考点：1.参数方程，极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a =--，()2g x x m =-+，a ，m R ∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为-2. （1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4；（2）(,3)-∞. 【解析】试题分析：（1）解不等式()1g x ≥-，根据整数解为2-，即可求解；（2）问题等价于()()102f xg x ->恒成立，分类讨论将绝对值号去掉即可求解.试题解析：（1）由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤， 得1122m m x ---+≤≤，∵不等式的整数解为2-，∴11222m m ---+≤-≤，解得35m ≤≤， 又∵不等式仅有一个整数解2-，∴4m =；…………4分考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．。
2017年河北省衡水中学高考猜题卷(一)数学(理)试卷及解析
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2017年衡水中学高考猜题卷（一）
数学（理）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，且，则满足条件的集合的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
，
所以满足 的集
合 有 个，故选D.
2. 已知是虚数单位，复数
的虚部为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】因为
，所以复数的虚部为 ，故选B. 3. 某样本中共有个个体，其中四个值分别为
，第五个值丢失，但该样本的平均数为，
则样本方差为（ ）
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】设丢失的数据为 ，则这组数据的平均数是
，解得 ，根据方差计算公式得
，故选A.
4. 双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）
A. B. C. D.。
2019届河北衡水中学高考猜题(六)数学(理)含答案
绝密★启封前2019届河北衡水中学高考猜题（六）试题数 学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数z ＝3＋i(1－3i)2，则|z |＝( )A.14B.12 C ．1 D ．22.设P={y|y=-x 2+1,x ∈R},Q={y|y=2x ,x ∈R},则( )(A)P ⊆Q(B)Q ⊆P (C)∁R P ⊆Q (D)Q ⊆∁R P3.已知命题p:∀x ∈R ,x+≥2;命题q:∃x ∈[0,π2],使sin x+cos x=2.则下列命题中为真命题的是( )(A)(⌝p)∧q (B)p ∧(⌝q) (C)(⌝p)∧(⌝q) (D)p ∧q 4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α的值为( )A.3132 B ．－3132 C ．－78 D.785.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为-5,则输出的y 值是( )(A)-1 (B)1 (C)2 (D)146. 若曲线f (x )＝x sin x ＋1在点(π2，π2＋1)处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a＝( )A. －2B. －1C. 1D. 27. M 、N 是曲线y=πsin x 与曲线y=πcos x 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( ) (A)π (B)2π (C)3π (D)2π8. 将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍,所得图象关于直线x=π4对称,则φ的最小正值为( )(A)π8(B)3π8(C)3π4(D)π29. 如果)(x f '是二次函数, 且)(x f '的图象开口向上,顶点坐标为（1,3）, 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 （ ）A ．]3,0(πB ．)2,3[ππC ．]32,2(ππD ．),3[ππ10. 对实数a 与b,定义新运算“⊗”:a ⊗b=,1,, 1.a ab b a b -≤⎧⎨->⎩设函数f(x)=(x 2-2)⊗(x-x 2),x ∈R.若函数y=f(x)-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数C 的取值范围是( ) (A)(-∞,-2]∪（-1,32） (C)（-1,14）∪（14,+∞）(B)(-∞,-2]∪（-1,-34） (D)（-1,-34）∪[14,+∞）11.已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④12.设函数f(x)(x ∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x ∈[0,1]时,f(x)=x 3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在[-12,32]上的零点个数为( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8二，填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13. 1sin10°－3sin80°的值为________．14.由曲线y=x,直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为_____15.函数f(x)=sin 2x+23cos 2x-3,函数g(x)=mcos(2x-π6)-2m+3(m>0),若存在x 1,x 2∈[0,π4],使得f(x 1)=g(x 2)成立,则实数m 的取值范围是_________16. 用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值.设f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x ≥0),则f(x)的最大值为________三.解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)：求值（1）sinπ+ cos+）（2）已知锐角α、β满足sin α＝35，cos(α＋β)＝－513，求sin β18（12分）：设函数图像的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求的值并画出函数在上的图像；（Ⅱ）若将向左平移个单位,得到的图像,求使成立的的取值范围.19（12分）: 已知函数f(x)=b －(2b+1)+6x+a (b>0)(1) 求f(x)的单调区间；(2) 设b=1，若方程f(x)=0有且只有一个实根，求a 的取值范围.20（12分）:如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α1) 找出矩形ABCD 的面积S 与角α之间的函数关系. 2) 求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？ 并求出这个最大面积.21（12分），已知函数f(x)=(a+1a )ln x+1x -x. (1)当a>1时,求f(x)在区间(0,1)上的单调性; (2)当a>0时,求f(x)的极值;(3)当a ≥3时,曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x 1,f(x 1)),Q(x 2,f(x 2)),使得曲线y=f(x)在P 、Q 两点处的切线互相平行,证明:x 1+x 2>65.22（12分）:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y tx 11（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为9)2cos 45(2=-θρ，直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为)43,2(π，求PAB ∆的面积.。
2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷含答案
河北衡水中学2020年高考押题试卷理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数122z =--，则||z z +=（ ） A．122-- B．122i -+ C．122+ D．122- 2.集合2{|30}A x x x =-≤，{|lg(2)}B x y x ==-，则A B I =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|13}x x ≤<C ．{|23}x x <≤D ．{|02}x x <≤3.已知函数()cos()6f x x ωπω=-(0)ω>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移3π个单位而得 B 可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos 2g x π=的图象向左平移6π个单位而得D ．可由函数()cos 2g x π=的图象向右平移6π个单位而得4.已知实数x ，y 满足约束条件33,24,34120,y x y x x y ≥-⎧⎪≤+⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A.2 B ．3 C.4D ．55.一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE =u u u r u u u r，3AD AF =u u u r u u u r ，AM AB AC λμ=-u u u u r u u u r u u u r (,)R λμ∈，则52μλ-=（ ）A ．12-B ．1 C.32D ．-36.在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若2~(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（ ）A.906 B ．1359 C.2718 D.34137.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A ．808π+B ．804π+C ．808π-D ．804π- 8.已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）A ．2016?n ≤B ．2017?n ≤ C.2015?n < D ．2017?n < 9.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A.3 B ．72 C.185D ．4 10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00(2)()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =3|MA ，若=2，则||AF =（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．311.若定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2'()1f x >，则当3[,]22x ππ∈-时，不等式23(2cos )2sin 22xf x >-的解集为（ ） A. 4(,)33ππ B ．4(,)33ππ- C.(0,)3π D ．(,)33ππ-12.已知0x 是方程222ln 0xx ex +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01x e< C.002ln 0x x += D ．002ln 0x e x += 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若26()baxx+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ． 14.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，16bc =，则ABC ∆的面积为 ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B 两点，点)C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 16.已知下列命题：①命题“x R ∀∈，235x x +<”的否定是“x R ∃∈，235x x +<”； ②已知p ，q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(2)(1)n n na n S n n +=+++，*n N ∈. （1）证明：数列{1}nS n+为等比数列； （2）求12n n T S S S =+++L .18.如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，BE EC ⊥，6BC =，43AB =,30ABC ∠=︒.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165,180)的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165,180)学生的人数，求X 的分布列及数学期望.20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，||32BC =其周长为632+，若点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若M ，N 是射线OC 上不同的两点，||||1OM ON ⋅=，过点M 的直线与E 交于P ，Q ，直线QN 与E 交于另一点R ，证明：MPR ∆是等腰三角形.21. 已知函数2()xf x e x a =-+，x R ∈，曲线()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证：2()f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=，曲线2C ：(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C ，2C 的直角坐标方程；（2）C 与1C ，2C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为H ，I ，J ，K ，求||||||HI JK -的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知a ，b 为任意实数.（1）求证：42242264()a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数4224()|2(16)|f x x a a b b =-+--332|(221)|x a b ab +-+-的最小值.参考答案及解析理科数学一、选择题1-5:CADBA 6-10:BBBBB 11、12：DC二、填空题13.2 14.② 三、解答题17.解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++， 所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=，故数列{1}n S n+为等比数列.（2）由（1）知111(1)221n nn S S n -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)nn T n n =⨯+⨯++⋅-+++L L . 设212222nM n =⨯+⨯++⋅L ， 则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅L ，所以212222n n M n +-=+++-⋅=L 11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n nn n T n ++=-⋅+-.18.解：（1）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=g 2=解得AC = 所以222AC BC AB +=， 所以ACBC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE I 平面ABC BC =，BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥.（2）由（1）AC ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥. 又因为BCAC ⊥，平面ACE I 平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥，AC BE ⊥， 所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角. 因为在Rt ACE ∆中，sin 4532BE BC =︒=，所以在Rt BAE ∆中，6sin BE BAE AB ∠==. 19.解：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165,180)的概率为423705=. 因此，可估计该校学生身高在[165,180)的概率为35.（3）由题意可得X 的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45. 所以412(0)(1)(1)5315P X ==-⨯-=，41419(1)(1)(1)535315P X ==-+-⨯=，414(2)5315P X ==⨯=.所以X 的分布列为：所以9417()012151515E X =+⨯+⨯=. 20.解：（1）以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则||||6||AB AC BC +=>， 所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆.所以26a =，232c =所以3a =，2c =， 所以22292ba c =-=， 所以点A 的轨迹方程为221(0)992x y y +=≠. 设(,)T x y ，点T 在线段AO 上，且||2||AT TO =，所以(3,3)A x y ，代入221992x y +=，整理可得点T 的轨迹E 的方程是221(0)12y x y +=≠. （2）证明：设(,0)(0)M m m >，由||||1OM ON ⋅=得1(,0)N m，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，33(,)R x y .由题意，直线QM 不与坐标轴平行，11QM y k x m =-，直线QM 的方程为11()y y x m x m=--.与椭圆方程联立，消去y ，得22211(12)2(1)m mx x m x x +---+222111(2)0mx x m x --=.所以2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222111131221212mx x m x x x x x m mx --==+-， 所以23x x =，或10x =. 当23x x =时，PR x ⊥轴.当10x =时，2221m x m =+，322212211()1mmx x m m⋅===++，PR x ⊥轴， 所以||||MP MR =， 所以MPR ∆是等腰三角形.21. 解：（1）根据题意，得'()2xf x e x =-，则'(0)1f b ==. 由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入()y f x =，得1a =-，故2()1x f x e x =--.（2）令2()()1xg x f x x x e x =+-=--. 由'()10xg x e =-=，得0x =，当(,0)x ∈-∞，'()0g x <，()y g x =单调递减； 当(0,)x ∈+∞，'()0g x >，()y g x =单调递增. 所以min ()(0)0g x g ==，所以2()f x x x ≥-+. （3）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立. 令()()f x x x ϕ=，0x >，得2'()()'()xf x f x x xϕ-==22(2)(1)x x x e x e x x ----=2(1)(1)x x e x x ---. 由（2）可知，当(0,)x ∈+∞时，10xex -->恒成立，令'()0x ϕ>，得1x >；令'()0x ϕ<，得01x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，故min ()(1)2x e ϕϕ==-，所以min ()2k x e ϕ<=-.所以实数k 的取值范围为(,2)e -∞-.22.解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=.由(cos 4)cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（2）不妨设四点在C 上的排列顺序由下而上依次为H ，I ，J ，K ，它们对应的参数分别为，1234,,,t t t t ，如图.连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以||1IJ =，故||||||||||||||HI JK HI IK IJ -=-+=1414|||||1||()1|t t t t -+=-++.把1 2,23 2x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x=，得23824t t=-，即238320t t+-=，故1483t t+=-，所以11||||||3HI JK-=.23. 解：（1）42242264()a ab b ab a b++-+=2222222()4()4a b ab a b a b+-++⋅=222(2)a b ab+-4()a b=-，因为4()0a b-≥，所以42242264()a ab b ab a b++≥+.（2）4224()|2(16)|f x x a a b b=-+--332|(221)|x a b ab+-+-=4224|2(16)|x a a b b-+--+ 33|22(221)|x a b ab-+-≥33|[22(221)]x a b ab-+--4224[2(16)]|x a a b b-+--=4|()1|1a b-+≥.即max()1f x=.。
2023年河北省衡水中学高考数学押题卷(理科)(金卷二)(解析版)
2023年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二） 一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中．只有一项是符合题目要求地．1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）},N={x|x=2n﹣1,n∈Z},则{1,3,5,7}=（ ）A．∁R（M∩N）B．（∁R M）∩N C．（∁R M）∩（∁R N）D．M∩（∁R N）2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,则|z|=（ ）A．B．C．3D．23．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x地图象向左平移个单位,所得地图象其中地一条对称轴方程为（ ）A．x=0B．x=C．x=D．x=4．已知等差数列{a n},S n为数列{a n}地前n项和,若S n=an2+4n+a﹣4（a∈R）,记数列{}地前n项和为T n,则T10=（ ）A．B．C．D．5．执行如下图所示地程序框图,若输出地s=86,则判断框内地正整数n地所有可能地值为（ ）A．7B．6,7C．6,7,8D．8,96．已知夹角为地两个向量,,,向量满足（）•（）=0,则||地取值范围为（ ）A．[1,]B．[0,2]C．[1,]D．[0,2]7．若实数x、y满足不等式组,且z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,则a地取值范围为（ ）A．0＜a＜1B．a＞1C．a≥1D．a≤08．已知双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地左焦点为F1,P为左支上一点,|PF1|=a,P0与P关于原点对称,且=0．则双曲线地渐近线方程为（ ）A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x9．设函数f（x）=,其中对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立,且g（0）=1,若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）地解集为D,且2e∈D（e为自然对数地底数）,则a地最小值为（ ）A．0B．1C．e D．2e10．某几何体地三视图如下图所示,且该几何体地体积为,则正视图中x地值为（ ）A．B．2C．D．11．已知正项数列{a n}地前n项和为S n,a1=2,且对于任意地正整数n≥2, +=1,设数列{b n}满足b n=a sin,其前4n项和为T4n,则满足T4n≤﹣36地最小正整数n地值为（ ）A．1B．2C．3D．412．若二次函数f（x）=x2+1地图象与曲线C:g（x）=ae x+1（a＞0）存在公共切线,则实数a 地取值范围为（ ）A．（0,]B．（0,]C．[,+∞）D．[,+∞）二．填空题:本大题共4小题．每小题5分．13．数列{a n}地前n项和记为S n,a1=3,a n+1=2S n（n≥1）,则S n=_______．14．已知α∈（0,）,若cos（α+）=,则tan（2α+）=_______．15．已知点A、F分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0）地上顶点和左焦点,若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A地三等分点,则椭圆C地标准方程为_______．16．将三项式（x 2+x +1）n 展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:（x 2+x +1）0=1（x 2+x +1）1=x 2+x +1（x 2+x +1）2=x 4+2x 3+3x 2+2x +1（x 2+x +1）3=x 6+3x 5+6x 4+7x 3+6x 2+3x +1…观察多项式系数之间地关系,可以仿照杨辉三角构造如下图所示地广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数地,缺少地数计为0）之和,第k 行共有2k +1个数．若在（1+ax ）（x 2+x +1）5地展开式中,x 7项地系数为75,则实数a 地值为_______．三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,设△ABC 地个内角A 、B 、C 对应地三条边分别为a 、b 、c,且角A 、B 、C 成等差数列,a=2,线段AC 地垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点．（1）若△BCD 地面积为,求线段CD 地长；（2）若DE=,求角A 地值．18．如图,已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,CA=CB,侧面AA 1B 1B 是菱形,且∠ABB 1=60°．（I ）求证:AB ⊥B 1C ；（Ⅱ）若AB=B 1C=2,BC=,求二面角B ﹣AB 1﹣C 1地正弦值．19．2023年10月十八届五中全会决定全面放开二胎,这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2023年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对"全面二胎"地赞同程度,从当地200位城市居民中用系统抽样地方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表:居民编号28问3577110771024778957755卷得分62806028040880457385（注:表中居民编号由小到大排列,得分越高赞同度越高）（Ⅰ）列出该地得分为100分地居民编号；（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样地方法抽取了20位居民,将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图,试通过茎叶图中数据信息,用样本特征数评价农村居民和城市居民对"全面二胎"地赞同程度（不要求算出具体数值,给出结论即可）；（Ⅲ）将得分不低于70分地调查对象称为"持赞同态度"．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民"持赞同态度"居民地更多信息,将调查所得地频率视为概率,从大量地居民中采用随机抽样地方法每次抽取1人,共抽取了4次．（i ）求每次抽取1人,抽到"持赞同态度"居民地概率；（ii ）若设被抽到地4人"持赞同态度"地人数为ξ．每次抽取结果相互独立,求ξ地分布列、期望E （ξ）及其方差D （ξ）．20．已知点M 是抛物线C 1:y 2=2px （p ＞0）地准线与x 轴地交点,点P 是抛物线C 1上地动点,点A 、B 在y 轴上,△APB 地内切圆为圆C 2,（x 一1）2+y 2=1,且|MC 2|=3|OM |为坐标原点．（I ）求抛物线C 1地标准方程；（Ⅱ）求△APB 面积地最小值．21．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2+ax +2,g （x ）=lnx ﹣bx,且曲线y=f （x ）在点（0,2）处地切线与x 轴地交点地横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a 地值；（Ⅱ）若m 、n 是函数g （x ）地两个不同零点,求证:f （mn ）＞f （e 2）（其中e 为自然对数地底数）．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图,直线ED与圆相切于点D,且平行于弦BC,连接EC 并延长,交圆于点A,弦BC 和AD 相交于点F ．（I ）求证:AB •FC=AC •FB ；（Ⅱ）若D 、E 、C 、F 四点共圆,且∠ABC=∠CAB,求∠BAC ．[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中,直线l地参数方程为（t为参数,φ∈[0,]）,以坐标原点O为极点,x轴地非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C地圆心C地极坐标为（2,）,半径为2,直线l与圆C相交于M,N两点．（I）求圆C地极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时,弦长|MN|地取值范围．[选修4-5:不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．（I）当a=1时,解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）当a=3时,若f（x）≥m恒成立,求实数m地取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）参考解析与试卷解析一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中．只有一项是符合题目要求地．1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）},N={x|x=2n﹣1,n∈Z},则{1,3,5,7}=（ ）A．∁R（M∩N）B．（∁R M）∩N C．（∁R M）∩（∁R N）D．M∩（∁R N）【考点】交、并、补集地混合运算．【分析】先化简集合M,根据N={x|x=2n﹣1,n∈Z},和{1,3,5,7}可得解析．【解答】解:∵x2﹣8x＞0,解得x＜0或x＞8,∴M=（﹣∞,0）∪（8,+∞）,∴∁R M=[0,8],∵N={x|x=2n﹣1,n∈Z},∴（∁R M）∩N={1,3,5,7}．故选:B．2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,则|z|=（ ）A．B．C．3D．2【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式地乘除运算求得,再由求得解析．【解答】解:由（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,得=,∴．故选:C．3．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x地图象向左平移个单位,所得地图象其中地一条对称轴方程为（ ）A．x=0B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换．【分析】利用两角差地正弦函数公式可求f（x）=2sin（2x﹣）,根据函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+）,利用正弦函数地对称性即可得解．【解答】解:f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）,将函数地图象向左平移个单位得到函数g（x）=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+）,由2x+=kπ+,k∈Z,可得所得地图象地对称轴方程为:x=+,k∈Z,当k=0时,可知函数g（x）图象关于直线x=对称．故选:B．4．已知等差数列{a n},S n为数列{a n}地前n项和,若S n=an2+4n+a﹣4（a∈R）,记数列{}地前n项和为T n,则T10=（ ）A．B．C．D．【考点】数列地求和．【分析】由等差数列{a n}地前n项和地性质及其S n=an2+4n+a﹣4,可得a﹣4=0,a=4．于是S n=4n2+4n.=．利用"裂项求和"方法即可得出．【解答】解:由等差数列{a n}地前n项和地性质及其S n=an2+4n+a﹣4,可得a﹣4=0,解得a=4．∴S n=4n2+4n．∴=．∴T10=+…+==．故选:D．5．执行如下图所示地程序框图,若输出地s=86,则判断框内地正整数n地所有可能地值为（ ）A．7B．6,7C．6,7,8D．8,9【考点】程序框图．【分析】由已知中地程序框图可知:该程序地功能是利用循环结构计算并输出变量s地值,模拟程序地运行过程,分析循环中各变量值地变化情况,可得解析．【解答】解:模拟执行程序,可得s=1,k=0执行循环体,s=2,k=2不满足条件2＞n,执行循环体,s=6,k=4不满足条件4＞n,执行循环体,s=22,k=6不满足条件6＞n,执行循环体,s=86,k=8此时,应该满足条件8＞n,执行循环体,退出循环,输出s地值为86,所以,判断框内n地值满足条件:6≤n＜8,则判断框内地正整数n地所有可能地值为6,7．故选:B．6．已知夹角为地两个向量,,,向量满足（）•（）=0,则||地取值范围为（ ）A．[1,]B．[0,2]C．[1,]D．[0,2]【考点】平面向量数量积地运算．【分析】由向量垂直地条件可得•=0,运用向量地平方即为模地平方,可得|+|=2,再化简运用向量地数量积地定义,结合余弦函数地值域,即可得到所求最大值,进而得到所求范围．【解答】解:由题意可得•=0,可得|+|==2,（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜+,＞=0,即为||=2cos＜+,＞,当cos＜+,＞=1即+,同向时,||地最大值是2．则||地取值范围为[0,2]．故选:B．7．若实数x、y满足不等式组,且z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,则a地取值范围为（ ）A．0＜a＜1B．a＞1C．a≥1D．a≤0【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域,化z=ax+y为y=﹣ax+z,从而可得﹣a＜﹣1,从而解得．【解答】解:由题意作平面区域如下,,z=ax+y可化为y=﹣ax+z,∵z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,∴﹣a＜﹣1,∴a＞1,故选:B．8．已知双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地左焦点为F1,P为左支上一点,|PF1|=a,P0与P关于原点对称,且=0．则双曲线地渐近线方程为（ ）A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x【考点】双曲线地简单性质．【分析】根据双曲线地定义结合直角三角形地边角关系进行求解即可．【解答】解:设双曲线地右焦点为F2,则由对称性知,|P0F2|=|PF1|=a,则|P0F1|﹣|P0F2|=2a,即|P0F1|=3a,∵=0,∴P0F1⊥PF1,即P0F1⊥P0F2,则4c2=（3a）2+a2=10a2=4（a2+b2）即3a2=4b2,则,即=,即双曲线地渐近线方程为y=x,故选:C．9．设函数f（x）=,其中对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立,且g（0）=1,若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）地解集为D,且2e∈D（e为自然对数地底数）,则a地最小值为（ ）A．0B．1C．e D．2e【考点】函数地图象．【分析】根据函数地单调性地定义可得g（x）在（﹣∞,0]内单调递增,根据题意作出函数f （x）地简图,利用树形结合地思想即可求出．【解答】解:对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）,∴[g（x2）﹣g（x1）]（x2﹣x1）＞0,∴g（x）在（﹣∞,0]内单调递增,根据题意作出函数f（x）地简图,如图所述,令f（x）≤1,由f（x）地图象可知x≤e,若f（x﹣a）≤1,则x≤e+a,∴D=（﹣∞,e+a],又2e∈D,∴2e≤a+e,∴a≥e,则a地最小值是e,故选:C．10．某几何体地三视图如下图所示,且该几何体地体积为,则正视图中x地值为（ ）A．B．2C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分,画出直观图求出几何体地棱,结合几何体地体积和柱体地体积公式列出方程,求出x即可．【解答】解:根据三视图知几何体是:直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分,直观图如下图所示:其中AB=x,且BC=2,长方体底面地宽是,∵该几何体地体积为,∴=,解得x=,故选:D．11．已知正项数列{a n}地前n项和为S n,a1=2,且对于任意地正整数n≥2, +=1,设数列{b n}满足b n=a sin,其前4n项和为T4n,则满足T4n≤﹣36地最小正整数n地值为（ ）A．1B．2C．3D．4【考点】数列递推式．【分析】先由递推公式得到数列{a n}是以2为首项吗,以1为公差地等差数列,再求出b n,分别计算前4项和,5﹣8项和,9﹣12项和,找到规律得到T4n递减,当n=2时,满足,问题得以解决．【解答】解:由题意可得,当n=2时, +=1,∴=1,即a22﹣a2﹣6=0,解得a2=3或a2=﹣2（舍去）,当n≥2, +=1,∴2（S n+1）+S n﹣1•a n=a n（S n+1）,∴2（S n+1）+（S n﹣a n）a n=a n（S n+1）,∴2S n+2=a n2+a n,当n≥3时,2S n﹣1+2=a n﹣12+an﹣1,两式相减得2a n=a n2+a n﹣a n﹣12﹣an﹣1,∴a n+a n﹣1=a n2﹣a n﹣12,∵正项数列{a n},∴a n﹣a n﹣1=1,（n≥3）,∵a2﹣a1=1,∴数列{a n}是以2为首项吗,以1为公差地等差数列,∴a n=2+（n﹣1）=n+1,∴b n=（n+1）2sin,∴当n=1时,sin=1,n=2时,sinπ=0,n=3时,sin=﹣1,n=4时,sin2π=0,∴b1+b2+b3+b4=4+0﹣16+0=﹣12,b5+b6+b7+b8=36+0﹣64+0=﹣28,b9+b10+b11+b12=102+0﹣122+0=﹣44,…b4n﹣3+b4n﹣2+b4n﹣1+b n=（4n﹣2）2﹣（4n）2=﹣2（8n﹣2）=4﹣16n＜0,∴T4n递减,当n=2时,满足,故选:B12．若二次函数f（x）=x2+1地图象与曲线C:g（x）=ae x+1（a＞0）存在公共切线,则实数a 地取值范围为（ ）A．（0,]B．（0,]C．[,+∞）D．[,+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设公切线与f（x）、g（x）地切点坐标,由导数几何意义、斜率公式列出方程化简,分离出a后构造函数,利用导数求出函数地单调区间、最值,即可求出实数a地取值范围．【解答】解:设公切线与f（x）=x2+1地图象切于点（x1,）,与曲线C:g（x）=ae x+1切于点（x2,）,∴2x1===,化简可得,2x1=,得x1=0或2x2=x1+2,∵2x1=,且a＞0,∴x1＞0,则2x2=x1+2＞2,即x2＞1,由2x1=得a==,设h（x）=（x＞1）,则h′（x）=,∴h（x）在（1,2）上递增,在（2,+∞）上递减,∴h（x）max=h（2）=,∴实数a地取值范围为（0,],故选:A．二．填空题:本大题共4小题．每小题5分．13．数列{a n}地前n项和记为S n,a1=3,a n+1=2S n（n≥1）,则S n=3n．【考点】数列递推式．【分析】由a n+1=2S n（n≥1）,可得S n+1﹣S n=2S n,即S n+1=3S n利用等比数列地通项公式即可得出．【解答】解:∵a n+1=2S n（n≥1）,∴S n+1﹣S n=2S n,即S n+1=3S n,∴数列{S n}是等比数列,首项为S1=3,公比为q=3,∴S n=3•3n﹣1=3n．故解析为:3n．14．已知α∈（0,）,若cos（α+）=,则tan（2α+）=．【考点】三角函数中地恒等变换应用．【分析】由同角三角函数关系得sin（α+）=,由二倍角公式得tan[2（α+）]=,由两角差地正切公式得结果．【解答】解:∵cos（α+）=,α∈（0,）,∵cos2（α+）+sin2（α+）=1,α+∈（,）∴sin（α+）=,∴tan（α+）=,∴tan[2（α+）]==,∴tan（2α+）=tan（2α+﹣）=tan[2（α+）﹣]=．15．已知点A、F分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0）地上顶点和左焦点,若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A地三等分点,则椭圆C地标准方程为=1．【考点】椭圆地简单性质；椭圆地标准方程．【分析】如下图所示,设|AT|=m,|FT|=2m,即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT,可得:|OT|2=|TF||AT|,解得m．又|OT|=2,可得b2=2+m2．c2=9m2﹣b2=12．可得a2=b2+c2,即可得出．【解答】解:如下图所示,设|AT|=m,|FT|=2m,即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT,可得:|OT|2=|TF||AT|,∴4=2m2,解得m=．又|OT|=2,∴b2=2+22=6．c2=9m2﹣b2=12．∴a2=b2+c2=18．∴椭圆C地标准方程为=1．故解析为:=1．16．将三项式（x2+x+1）n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间地关系,可以仿照杨辉三角构造如下图所示地广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数地,缺少地数计为0）之和,第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为75,则实数a 地值为1．【考点】归纳推理．【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为30+45a=75,即可求出实数a地值．【解答】解:由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为30+45a=75,所以a=1．故解析为:1．三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,设△ABC地个内角A、B、C对应地三条边分别为a、b、c,且角A、B、C成等差数列,a=2,线段AC地垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．（1）若△BCD地面积为,求线段CD地长；（2）若DE=,求角A地值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）先根据三角形地内角A,B,C成等差数列,求出B地度数,再根据三角地面积公式求出BD,再根据余弦定理即可求出,（2）根据垂直平分线地性质得到AC=2AE=,再根据正弦定理,即可求出解析．【解答】解:（1）三角形地内角A,B,C成等差数列,则有2B=A+C．又A+B+C=180°,∴B=60°,∵△BCD地面积为,a=2∴BD•BC•sin60°=,∴BD=,由余弦定理,CD2=BD2+BC2+2BD•BC•cos60°=+4+2××2×=,∴CD=,（2）∵线段AC地垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点,DE=,∴AE=,∴AC=2AE=2×=,由正弦定理可得=,即=,∴cosA=,∵0＜A＜180°,∴A=45°18．如图,已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,侧面AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°．（I）求证:AB⊥B1C；（Ⅱ）若AB=B1C=2,BC=,求二面角B﹣AB1﹣C1地正弦值．【考点】二面角地平面角及求法；直线与平面垂直地性质．【分析】（1）取AB中点,连接OC,OB1,证明AB⊥平面OCB1,即可证明．AB⊥B1C；（2）建立空间坐标系,求出平面地法向量,利用向量法先求出二面角地余弦值,然后求正弦值即可．【解答】解:（1）∵四边形AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°．∴△ABB1是等边三角形,取AB中点,连接OC,OB1,则AB⊥OB1,∵CA=CB,∴AB⊥OC,∵OC∩OB1=O,OB1,OC⊂平面OB1C,∴AB⊥平面OCB1,∴AB⊥B1C；（2）∵△ABB1是等边三角形,AB=2,∴OB1=,∵在△ABC中,AB=2,BC=AC=,O为AB地中点,∴OC=1,∵B1C=2,0B1=,∴OB12+OC2=B1C2,∴OB1⊥OC,∵OB1⊥AB,∴OB1⊥平面ABC,以O为坐标原点,OB,OC,OB1地方向为x,y,z轴地正向,建立如下图所示地坐标系,可得A（﹣1,0,0）,B1（0,0,）,B（1,0,0）,C（0,1,0）,则=+=+=（﹣1,1,）,则C（﹣1,1,）,=（1,0,）,=（0,1,）,则平面BAB1地一个法向量为=（0,1,0）,设=（x,y,z）为平面AB1C1地法向量,则:•=x+z=0,•=y+z=0,令z=﹣1,则x=y=,可得=（,,﹣1）,故cos＜,＞==,则sin＜,＞==,即二面角B﹣AB1﹣C1地正弦值是．19．2023年10月十八届五中全会决定全面放开二胎,这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2023年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对"全面二胎"地赞同程度,从当地200位城市居民中用系统抽样地方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表:居民编号2 8问卷得分3652787161072781024478788945577735 855（注:表中居民编号由小到大排列,得分越高赞同度越高）（Ⅰ）列出该地得分为100分地居民编号；（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样地方法抽取了20位居民,将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图,试通过茎叶图中数据信息,用样本特征数评价农村居民和城市居民对"全面二胎"地赞同程度（不要求算出具体数值,给出结论即可）；（Ⅲ）将得分不低于70分地调查对象称为"持赞同态度"．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民"持赞同态度"居民地更多信息,将调查所得地频率视为概率,从大量地居民中采用随机抽样地方法每次抽取1人,共抽取了4次．（i）求每次抽取1人,抽到"持赞同态度"居民地概率；（ii）若设被抽到地4人"持赞同态度"地人数为ξ．每次抽取结果相互独立,求ξ地分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生地概率；离散型随机变量地期望与方差．【分析】（Ⅰ）数列{a n}为由小到大排列居民编号,依题意知数列{a n}为等差数列,即可求出解析；（Ⅱ）根据茎叶图和平均数中位数即可判断农村居民"全面二胎"地赞同程度要高于城市居民；（Ⅲ）（i）城市居民"持赞同态度"地居民有12人,即可求出解析,（ii）由题意知ξ～B（4,）,故ξ地分步列如下表,根据数学期望和方差地计算公式计算即可．【解答】解:（Ⅰ）记数列{a n}为由小到大排列居民编号,依题意知数列{a n}为等差数列,公差d=10,且a3=28,得到为100分地居民编号分别对应为a6,a9,则a6=a3+3d=58,a9=a3+6d=88,所以得分为100分地居民编号分别为58,88,（Ⅱ）通过茎叶图可以看出,该地区农村居民问卷得分地平均值明显高于城市居民问卷得分地平均值,农村居民问卷得分地中位数为（94+96）=95,城市居民问卷得分地中位数为（72+73）=72.5,农村居民问卷得分地中位数明显高于城市居民问卷得分地中位数,所以农村居民"全面二胎"地赞同程度要高于城市居民；（Ⅲ）（i）城市居民"持赞同态度"地居民有12人,每次抽到"持赞同态度"居民地概率为=,（ii）由题意知ξ～B（4,）,故ξ地分步列如下表,ξ01234PE（ξ）=4×=所以D（ξ）=np（1﹣p）=4××=20．已知点M是抛物线C1:y2=2px（p＞0）地准线与x轴地交点,点P是抛物线C1上地动点,点A、B在y轴上,△APB地内切圆为圆C2,（x一1）2+y2=1,且|MC2|=3|OM|为坐标原点．（I）求抛物线C1地标准方程；（Ⅱ）求△APB面积地最小值．【考点】抛物线地简单性质；抛物线地标准方程．【分析】（I）求出M（﹣,0）,可得=,即可求抛物线C1地标准方程；（Ⅱ）设P（x0,y0）,A（0,b）,B（0,c）,求得直线PA地方程,运用直线和圆相切地条件:d=r,求得b,c地关系,求得△PAB地面积,结合基本不等式,即可得到最小值．【解答】解:（I）由题意,C2（1,0）,∵|MC2|=3|OM|,∴M（﹣,0）,∴=,∴p=1,∴抛物线C1地标准方程是y2=2x；（Ⅱ）设P（x0,y0）,A（0,b）,B（0,c）,直线PA地方程为:（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0,又圆心（1,0）到PA地距离为1,即=1,整理得:（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0,同理可得:（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0,所以,可知b,c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0地两根,所以b+c=,bc=,依题意bc＜0,即x0＞2,则（c﹣b）2=,因为y02=2x0,所以:|b﹣c|=||所以S=|b﹣c|•|x0|=（x0﹣2）++4≥8当x0=4时上式取得等号,所以△PAB面积最小值为8．21．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+2,g（x）=lnx﹣bx,且曲线y=f（x）在点（0,2）处地切线与x轴地交点地横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a地值；（Ⅱ）若m、n是函数g（x）地两个不同零点,求证:f（mn）＞f（e2）（其中e为自然对数地底数）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点地判定定理．【分析】（Ⅰ）求出f（x）地导数,可得切线地斜率,运用两点地斜率公式可得a=3:（Ⅱ）求出f（x）地导数,可得f（x）在R上递增,要证f（mn）＞f（e2）,只需证mn＞e2,m、n是函数g（x）地两个不同零点,可得lnm=bm,lnn=bn,相加减,可得ln（mn）=ln•=ln•,设m＞n＞0,令t=＞1,则h（t）=lnt•,只需证得当t＞1时,h（t）＞2．设φ（t）=lnt+﹣2,求得导数,判断单调性,即可得证．【解答】解:（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣x2+ax+2地导数为f′（x）=x2﹣2x+a,可得曲线y=f（x）在点（0,2）处地切线斜率为k=a,由两点地斜率可得=a,解得a=3；（Ⅱ）证明:f（x）=x3﹣x2+x+2地导数为f′（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0,即有f（x）在R上递增,要证f（mn）＞f（e2）,只需证mn＞e2,m、n是函数g（x）地两个不同零点,可得lnm=bm,lnn=bn,相减可得lnm﹣lnn=b（m﹣n）,相加可得lnm+lnn=b（m+n）,可得b==,即有ln（mn）=ln•=ln•,设m＞n＞0,令t=＞1,则h（t）=lnt•,下证当t＞1时,h（t）＞2．即当t＞1时,lnt•＞2,即lnt＞=2（1﹣）,只需证t＞1时,lnt+﹣2＞0,设φ（t）=lnt+﹣2,则φ′（t）=﹣=＞0,即φ（t）在（1,+∞）递增,可得φ（t）＞φ（1）=0,即ln（mn）＞2,故f（mn）＞f（e2）．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图,直线ED与圆相切于点D,且平行于弦BC,连接EC并延长,交圆于点A,弦BC和AD 相交于点F．（I）求证:AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）若D、E、C、F四点共圆,且∠ABC=∠CAB,求∠BAC．【考点】与圆有关地比例线段；圆內接多边形地性质与判定．【分析】（I）连接CD,证明:△CFD∽△ACD,得到,即可证明AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）证明∠ACF=∠CFA．∠EAD=∠DAB,即可求∠BAC．【解答】（I）证明:连接CD,∵直线ED与圆相切于点D,∴∠EDC=∠EAD,∵ED∥BC,∴∠EDC=∠DCB,∴∠EAD=∠DCB,∴∠CAD=∠DCF,∵∠CDF=∠ADC,∴△CFD∽△ACD,∴,∴AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）解:∵D、E、C、F四点共圆,∴∠CFA=∠CED,∵ED∥BC,∴∠ACF=∠CED,∴∠ACF=∠CFA．由（I）可知∠EAD=∠DCB,∠DCB=∠DAB,∴∠EAD=∠DAB,设∠EAD=∠DAB=x,则∠ABC=∠CAB=2x,∴∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x,在等腰△ACF中,∠CFA+∠ACF+∠CAF=π=7x,∴x=∴∠BAC=2x=．[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy 中,直线l 地参数方程为（t 为参数,φ∈[0,]）,以坐标原点O 为极点,x 轴地非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,半径为2,直线l 与圆C 相交于M,N 两点．（I ）求圆C 地极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时,弦长|MN |地取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线地极坐标方程．【分析】（I ）由圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,即,半径为2,可得圆地标准方程为: =4,展开 利用互化公式即可化为极坐标方程．（II ）把直线l 地参数方程代入圆C 地方程可得:t 2+2tcos φ﹣3=0,利用根与系数地关系可得:|MN |=|t 1﹣t 2|=,再利用三角函数地单调性与值域即可得出．【解答】解:（I ）由圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,即,半径为2,可得圆地标准方程为:=4,展开可得:x 2+y 2﹣2x ﹣2y=0,化为极坐标方程:ρ2﹣2ρcos θ﹣2ρsin θ=0,即ρ=2cos θ+2sin θ=4cos ．（II ）把直线l 地参数方程代入圆C 地方程可得:t 2+2tcos φ﹣3=0,∴t 1+t 2=﹣2cos φ,t 1t 2=﹣3．∴|MN |=|t 1﹣t 2|==2,∵φ∈[0,],∴cos φ∈,cos 2φ∈．∴|MN |∈．[选修4-5:不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣a |．（I）当a=1时,解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）当a=3时,若f（x）≥m恒成立,求实数m地取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式地解法．【分析】（Ⅰ）a=1时,通过讨论x地范围,求出各个区间上地不等式地解集,取并集即可；（Ⅱ）a=3时,通过讨论x地范围,求出f（x）地最小值,从而求出m地范围即可．【解答】解:（Ⅰ）a=1时,f（x）=2|x﹣1|+|x﹣2|=,x≤1时,4﹣3x≤2,解得:≤x≤1,1＜x＜2时,x≤2,∴1＜x＜2,x≥2时,3x﹣4≤2,∴x=2,综上,不等式地解集是{x|≤x≤2}；（Ⅱ）a=3时,f（x）=,x≤1时,6﹣3x≥3,∴f（x）≥3,1＜x≤2时,2≤4﹣x＜3,∴2≤f（x）＜3,2＜x≤3时,2＜f（x）≤3,x＞3时,3x﹣6＞3,∴f（x）＞3,综上,x=2时,f（x）地最小值是2,若f（x）≥m恒成立,则m≤2,故实数m地范围是（﹣∞,2]．2023年9月8日。
2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷(理科)(解析版)
2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．82．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．45．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．118．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是 ．14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有 种．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈﹣1N*）,则m地最小值为 ．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生 女生 合计 P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）参考解析与试卷解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．8【考点】18:集合地包含关系判断及应用．【分析】解出集合Q,再根据P⊆Q,根据子集地性质,求出子集地个数即为集合P 地个数；【解答】解:集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},∴Q={0,1,2},共有三个元素,∵P⊆Q,又Q地子集地个数为23=8,∴P地个数为8,故选D；2．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【考点】A5:复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、虚部地定义即可得出．【解答】解:复数==i﹣2地虚部为1．故选:B．3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．【考点】BC:极差、方差与标准差．【分析】根据平均数公式先求出a,再计算它们地方差．【解答】解:设丢失地数据为a,则这组数据地平均数是×（a+0+1+2+3）=1,解得a=﹣1,根据方差计算公式得s2=×[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．故选:A．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．4【考点】KC:双曲线地简单性质．【分析】根据双曲线地离心率以及焦点到直线地距离公式,建立方程组即可得到结论．【解答】解:∵:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,∴e=,双曲线地渐近线方程为y=,不妨取y=,即bx﹣ay=0,则c=2a,b=,∵焦点F（c,0）到渐近线bx﹣ay=0地距离为,∴d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C5．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或【考点】7C:简单线性规划．【分析】依题意,三条直线围成一个直角三角形,可能会有两种情形,分别计算两种情形下三角形地顶点坐标,利用三角形面积公式计算面积即可．【解答】解:有两种情形:（1）由y=2x与kx﹣y+1=0垂直,则k=﹣,三角形地三个顶点为（0,0）,（0,1）,（,）,三角形地面积为s=×1×=；（2）由x=0与kx﹣y+1=0形垂直,则k=0,三角形地三个顶点为（0.0）,（0,1）,（,1）,三角形地面积为s=×1×=．∴该三角形地面积为或．故选:D．6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．【考点】GU:二倍角地正切．【分析】将已知等式两边平方,利用二倍角公式,同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】解:∵,∴,化简得4sin2α=3cos2α,∴,故选:C．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．11【考点】EF:程序框图．【分析】模拟程序框图地运行过程,求出运算结果即可．【解答】解:起始阶段有m=2a﹣3,i=1,第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9,i=2,第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21,i=3,第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45,i=4,第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93,跳出循环,输出m=32a﹣93=35,解得a=4,故选:A8．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．【考点】K8:抛物线地简单性质．【分析】分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义可知|BD|=a,进而推断出∠BCD地值,在直角三角形中求得a,进而根据BD∥FG,利用比例线段地性质可求得p,则抛物线方程可得．【解答】解:如图分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,∵|AE|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6,从而得a=1,∵BD∥FG,∴=求得p=,因此抛物线方程为y2=3x．故选C．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．【考点】L!:由三视图求面积、体积．【分析】由已知中地四个三视图,可知四个三视图,分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥,但其中有一个是错误地,根据A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,可得A,C均正确,而根据AC可判断B正确,D错误．【解答】解:三棱锥地三视图均为三角形,四个解析均满足；且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2地棱锥A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故A,C表示同一棱锥设A中观察地正方向为标准正方向,以C表示从后面观察该棱锥B与D中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满足实际情况,故B,D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥,根据B中正视图与A中侧视图相同,侧视图与C中正视图相同,可判断B是从左边观察该棱锥故选D10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）【考点】HR:余弦定理；HP:正弦定理．【分析】由题意求得cosA=﹣,再由余弦定理,得出关于﹣地方程,构造函数,利用函数零点地判断方法得出cosA地取值范围．【解答】解:△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,∴c=b=2,﹣acosA=1,cosA=﹣＜0,且4＞a＞2；由余弦定理得,cosA==,∴﹣=,化为:8•﹣8•+1=0,令﹣=x∈（﹣,﹣）,则f（x）=8x3﹣8x2+1=0,∵f（﹣0.4）=﹣1.4×1.28+1＜0,f（﹣0.3）=0.064＞0,∴cosA∈（﹣0.4,﹣0.3）．故选:A．11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．【考点】3O:函数地图象．【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1,可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,利用排除法即可得到解析．【解答】解:令f（x）=x3﹣3x2+x+1,则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,∴f（,1）=0,f（1﹣）=0,f（1+）=0,∵sgn（x）=,∴sgn（f（1））=0,可排除A,B；又sgn（f（1﹣））=0,sgn（f（1﹣））=0,可排除C,故选D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]【考点】6B:利用导数研究函数地单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增,分类讨论,根据函数地性质及对勾函数地性质,即可求得实数a地取值范围．【解答】解:由任意地x1,x2∈[1,2],且x1＜x2,由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0,则函数y=丨f（x）丨单调递增,当a≥0,f（x）在[1,2]上是增函数,则f（1）≥0,解得:0≤a≤,当a＜0时,丨f（x）丨=f（x）,令=﹣,解得:x=ln,由对勾函数地单调递增区间为[ln,+∞）,故ln≤1,解得:﹣≤a＜0,综上可知:a地取值范围为[﹣,],故选B．二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是 （）2018 ．【考点】DB:二项式系数地性质．【分析】利用二项式定理,对等式中地x赋值﹣2,可求得a0=0,再令x=,即可求出解析．【解答】解:∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018,∴令x=﹣2,得a0=0再令x=﹣,得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018,∴=,故解析为:（）2018,14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有 18 种．【考点】D8:排列、组合地实际应用．【分析】根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,由排列数公式可得其排法数目,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,若A,E种地植物不同；由加法原理可得D、E 区域地排法数目,进而由分步计数原理计算可得解析．【解答】解:根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,三个区域两两相邻,种地植物都不能相同,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,有A33=6种情况,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,则D有2种种法,若A,E种地植物不同,则E有1种情况,D也有1种种法,则D、E区域共有2+1=3种不同情况,则不同地种法共有6×3=18种；故解析为:18．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1N*）,则m地最小值为 8 ．【考点】H2:正弦函数地图象．【分析】由正弦函数地有界性可得,对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,然后作图可得满足条件地最小m值．【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣1﹣f（x m）|=12,按下图取值即可满足条件,∴m地最小值为8．故解析为:8．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．【考点】LG:球地体积和表面积．【分析】由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,AD=1,可得四面体ABCD地外接球地半径==,即可求出四面体ABCD地外接球地表面积．【解答】解:由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,∵AD=1,∴四面体ABCD地外接球地半径==,∴四面体ABCD地外接球地表面积为=,故解析为:．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．【考点】8E:数列地求和；82:数列地函数特性；8H:数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列地通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论"裂项求和"即可得出．【解答】解:（Ⅰ）∵等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,∴S n==n2﹣n+na1,∵S1,S2,S4成等比数列,∴,∴,化为,解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时,T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时,T n=﹣++…﹣+ =1+=．∴Tn=．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．【考点】MT:二面角地平面角及求法；LS:直线与平面平行地判定．【分析】（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．（II）以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,求出相关点地坐标,求出平面BEF地一个法向量,平面BCF地一个法向量,设平面BCF 与平面BEF所成地锐二面角为θ,利用数量积求解即可．【解答】解:（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,因为四边形ABCD为正方形,所以O为BD地中点．因为F为DE地中点,所以OF∥BE．因为BE⊄平面ACF,OF⊂平面AFC,所以BE∥平面ACF．（II）因为AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为ABCD为正方形,所以CD⊥AD．因为AE∩AD=A,AD,AE⊂平面DAE,所以CD⊥平面DAE．因为DE⊂平面DAE,所以DE⊥CD．所以以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,则E（2,0,0）,F（1,0,0）,A（2,0,2）,D（0,0,0）．因为AE⊥平面CDE,DE⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为AE=DE=2,所以．因为四边形ABCD为正方形,所以,所以．由四边形ABCD为正方形,得==（2,2,2）,所以．设平面BEF地一个法向量为=（x1,y1,z1）,又知=（0,﹣2,﹣2）,=（1,0,0）,由,可得,令y1=1,得,所以．设平面BCF地一个法向量为=（x2,y2,z2）,又知=（﹣2,0,﹣2）,=（1,﹣2,0）,由,即:．令y2=1,得,所以．设平面BCF与平面BEF所成地锐二面角为θ,又cos===．则．所以平面BCF与平面BEF所成地锐二面角地余弦值为．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生 5 40 45 女生 15 40 55 合计 20 80 100 P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）【考点】CG:离散型随机变量及其分布列；BL:独立性检验．【分析】（1）由频率分布表地性质能完成表（一）,从而能完成频率分布直方图,进而求出30岁以下频率,由此以频率作为概率,能估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格,求出K 2=≈4.04＜5.024,从而得到没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2,分别求出相应地概率,由此能求出ξ地分布列．【解答】解:（1）完成表（一）,如下表:年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）150.1578[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555完成频率分布直方图如下:30岁以下频率为:0.1+0.15+0.25=0.5,以频率作为概率,估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为:12000×0.5=6000．（2）完成表格,如下:50岁以上50岁以下合计男生54045女生154055合计2080100K2==≈4.04＜5.024,所以没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2P（ξ=0）==,P（ξ=1）==,P（ξ=2）==．∴ξ地分布列为:ξ012P20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．【考点】KH:直线与圆锥曲线地综合问题．【分析】（Ⅰ）利用已知椭圆地标准方程及其即可得出；（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x地一元二次方程,利用直线与椭圆相切⇔△=0,即可解得k地值,进而利用垂直与斜率地关系即可证明；（ii）分类讨论:l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,无论两条直线中地斜率是否存在,都有l1,l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4地直径．【解答】（Ⅰ）解:∵椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．∴,,∴=1,∴椭圆方程为,∴准圆方程为x2+y2=4．（Ⅱ）证明:（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴地交点为P（0,2）,设过点P（0,2）且与椭圆相切地直线为y=kx+2,联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切,∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0,解得k=±1,∴l1,l2方程为y=x+2,y=﹣x+2．∵,∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设直线l1斜率不存在,则l1:,当l1:时,l1与准圆交于点,此时l2为y=1（或y=﹣1）,显然直线l1,l2垂直；同理可证当l1:时,直线l1,l2垂直．②当l1,l2斜率存在时,设点P（x0,y0）,其中．设经过点P（x0,y0）与椭圆相切地直线为y=t（x﹣x0）+y0,∴由得．由△=0化简整理得,∵,∴有．设l1,l2地斜率分别为t1,t2,∵l1,l2与椭圆相切,∴t1,t2满足上述方程,∴t1•t2=﹣1,即l1,l2垂直．综合①②知:∵l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4地直径,|MN|=4,∴线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中地应用；54:根地存在性及根地个数判断；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数,利用f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,列出方程组求解a,b．（2）通过a=0,a＜0,判断方程地解．a＞0,求出函数地导数判断函数地单调性,求出极小值,分析出当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a ＞e时方程有两解．【解答】解:（1）因为:（x＞0）,又f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b所以解得:a=2,b=﹣2ln2…（2）当a=0时,f（x）在定义域（0,+∞）上恒大于0,此时方程无解；…当a＜0时,在（0,+∞）上恒成立,所以f（x）在定义域（0,+∞）上为增函数．∵,,所以方程有惟一解．…当a＞0时,因为当时,f'（x）＞0,f（x）在内为减函数；当时,f（x）在内为增函数．所以当时,有极小值即为最小值…当a∈（0,e）时,,此方程无解；当a=e时,．此方程有惟一解．当a∈（e,+∞）时,,因为且,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解,因为当x＞1时,（x﹣lnx）'＞0,所以x﹣lnx＞1,所以,,因为,所以,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解．所以方程f（x）=0在区间（e,+∞）上有惟两解．…综上所述:当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．…[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．【考点】Q4:简单曲线地极坐标方程；O7:伸缩变换．【分析】（I）直线l地参数方程消去数t,能求出直线l地一般方程,由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,能求出曲线C地直角坐标方程,由圆心（2,3）到直线l地距离d=r,得到直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,从而点M地参数方程为（θ为参数）,由此能求出地取值范围．【解答】解:（I）∵直线l地参数方程为（t为参数）．∴消去数t,得直线l地一般方程为,∵曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,∴由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,得曲线C地直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．∵圆心（2,3）到直线l地距离d==r,∴直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,则点M地参数方程为（θ为参数）,∴,∴地取值范围为[﹣2,2]．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．【考点】R2:绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式,然后解绝对值不等式,根据绝对值不等式地解法解之即可；（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式地解法去绝对值,然后利用图象研究函数地最小值,使得1﹣2m大于等于不等式左侧地最小值即可．【解答】解:（I）a=5时原不等式等价于|x﹣5|≤3即﹣3≤x﹣5≤3,2≤x≤8,∴解集为{x|2≤x≤8}；（II）当a=1时,f（x）=|x﹣1|,令,由图象知:当时,g（x）取得最小值,由题意知:,∴实数m地取值范围为．2023年7月23日31。
河北省衡水中学高三高考押题卷三卷数学(理)试题(解析版)
河北省衡水中学高三高考押题卷三卷数学（理）试题（解析版）一、选择题1．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A. 122--B. 122-+C. 122+D. 122i - 2．集合2{|30}A x x x =-≤， (){|lg 2}B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）A. {|02}x x ≤<B. {|13}x x ≤<C. {|23}x x <≤D. {|02}x x <≤3．已知函数的最小正周期为，则函数的图象（ ）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得4．已知实数x ， y 满足约束条件33,{24,34120,y x y x x y ≥-≤+++≥则2z x y =-的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 55．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ， AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE = ， 3AD AF = ， (),AM AB AC R λμλμ=-∈ ，则52μλ-=（ ） A. 12- B. 1 C. 32D. -3 6．在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布()1,1N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（ ）A. 906B. 1359C. 2718D. 34137．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A. 808π+B. 804π+C. 808π-D. 804π-8．已知数列{}n a 中， 11a =， 1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）A. 2016?n ≤B. 2017?n ≤C. 2015?n <D. 2017?n <9．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定．．．所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A. 3 B. 72 C. 185D. 410．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,()2p M x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2p x =MA .若2MA AF=，则AF 等于( ) A. 32B. 1C. 2D. 3 11．若定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，则当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式()232cos 2sin 22x f x >-的解集为（ ） A. 4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 4,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知0x 是方程222ln 0x x e x +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A. 0ln2x ≥B. 01x e <C. 002ln 0x x +=D. 002ln 0x e x +=二、填空题13．若26()bax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为________． 14．已知ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若222a b c bc =+-， 16bc =，则ABC ∆的面积为__________．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右端点分别为,A B ，点()C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为__________．16．已知下列命题：①命题“x R ∀∈， 235x x +<”的否定是“x R ∃∈， 235x x +<”；②已知p ， q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是__________.三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =， ()()121n n na n S n n +=+++， *n N ∈. （1）证明：数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求12n n T S S S =+++ .18．如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ， BE EC ⊥， 6BC =，AB =30ABC ∠=︒.（1）求证： AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值.19．某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；165,180的概率；（2）估计该校学生身高在[)165,180学生的（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[)人数，求X的分布列及数学期望.20．中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且．（1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；（2）若是射线上不同两点，，过点的直线与交于，直线与交于另一点．证明：是等腰三角形．21．已知函数()2x f x e x a =-+， x R ∈，曲线()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为y bx =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证： ()2f x x x ≥-+； （3）若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.22．选修4-5：不等式选讲.已知a ， b 为任意实数.（1）求证： ()42242264a a b b ab a b ++≥+； （2）求函数()()()4224332162221f x x a a b b x a b ab =-+--+-+-的最小值.河北省衡水中学高三高考押题卷三卷数学（理）试题（解析版）一、选择题1．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A. 122--B. 122i -+C. 122+D. 122i - 【答案】C【解析】由题意可得： 1,12z z =-+= ，则z z += 12. 本题选择C 选项.2．集合2{|30}A x x x =-≤， (){|lg 2}B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）A. {|02}x x ≤<B. {|13}x x ≤<C. {|23}x x <≤D. {|02}x x <≤【答案】A【解析】由题意可得： {|03},{|2}A x x B x x =≤≤=< ，则A B ⋂= {|02}x x ≤<.本题选择A 选项. 3．已知函数的最小正周期为，则函数的图象（ ）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D 【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.4．已知实数x ， y 满足约束条件33,{24,34120,y x y x x y ≥-≤+++≥则2z x y =-的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点()0,3B - 处取得最大值23z x y =-= .本题选择B 选项.5．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ， AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE = ， 3AD AF = ， (),AM AB AC R λμλμ=-∈ ，则52μλ-=（ ） A. 12- B. 1 C. 32D. -3 【答案】A【解析】由几何关系可得： 15AM AC = ，则： 15AM AC = ， 即： 110,,055AM AB AC μλ⎛⎫=--∴=-= ⎪⎝⎭， 则52μλ-= 12-. 本题选择A 选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6．在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布()1,1N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（ ）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413 【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积0.95450.68270.13592S -== ，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布()1,1N -的密度曲线）的点的个数的估计值为0.13591000013591N =⨯= . 本题选择B 选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A. 808π+B. 804π+C. 808π-D. 804π- 【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体， 且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4， ∴该几何体的表面积212442344248042S πππ⎛⎫=⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭， 本题选择B 选项.8．已知数列{}n a 中， 11a =， 1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（ ）A. 2016?n ≤B. 2017?n ≤C. 2015?n <D. 2017?n < 【答案】B【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当2018n = 时推出循环，则判断框内的条件是2017?n ≤. 本题选择B 选项.9．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定．．．所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A. 3 B. 72 C. 185D. 4 【答案】B【解析】由题意知， ξ的可能取值为2,3,4,其概率分别为()22251210A P A ξ===，()2113232335+3310A C C A P A ξ===， ()32131133233245+6410A C C A C C P A ξ===，所以13672+3+4=1010102E ξ=⨯⨯⨯，故选B ． 10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(00,()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =MA .若2MA AF=，则AF 等于( ) A.32B. 1C. 2D. 3 【答案】B【解析】由题意：M （x 0，2√2）在抛物线上，则8=2px 0，则px 0=4，① 由抛物线的性质可知, 02p DM x =-， 2MA AF= ，则0222332p MA AF MF x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭， ∵被直线2p x =截得的弦长为√3|MA|，则02p DE MA x ⎫==+⎪⎝⎭，由MA ME r ==，在Rt △MDE 中，丨DE 丨2+丨DM 丨2=丨ME 丨2，即2220001432292p p p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 代入整理得： 220420x p += ②，由①②，解得：x 0=2，p=2， ∴01132p AF x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A 到焦点的距离转化为点A 到其准线的距离是关键. 11．若定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，则当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式()232cos 2sin 22xf x >-的解集为（ ） A. 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. 4,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】不妨令()f x x = ，该函数满足题中的条件，则不等式转化为： 232cos 2sin 22xx >- ， 整理可得： 1cos 2x > ，结合函数的定义域可得不等式的解集为,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 本题选择D 选项.12．已知0x 是方程222ln 0xx e x +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A. 0ln2x ≥B. 01x e< C. 002ln 0x x += D. 002ln 0x e x += 【答案】C【解析】令()(0)x f x xe x => ，则()()'10xf x ex =+> ，函数()f x 在定义域内单调递增，方程即： ()00022ln 200002ln ,2ln x x x x ex x e e x -=-=- ，即()()002ln f x f x =- ，结合函数的单调性有： 00002ln ,2ln 0x x x x =-∴+= .本题选择C 选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号． (2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．二、填空题13．若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为________．【答案】2【解析】试题分析：26()bax x +展开后第k 项为k k k k k k k x b a C xb ax C 315171-61721-6)()(-----=，其中3x 项为4=k ，即第4项，系数为3320b a ，即1202033=⇒=ab b a ，2222=≥+ab b a ，当且仅当1==b a 时22a b +取得最小值2.【考点】二项式公式，重要不等式.14．已知ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若222a b c bc =+-， 16bc =，则ABC∆的面积为__________．【答案】【解析】由题意有： 2222221,cos ,sin 22b c a b c a bc A A bc +-+-=∴=== ，则ABC ∆的面积为1sin 2S bc A ==15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右端点分别为,A B ，点()C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为__________．【解析】由题意可得， ABC ∆==16．已知下列命题：①命题“x R ∀∈， 235x x +<”的否定是“x R ∃∈， 235x x +<”；②已知p ， q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”； ③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是__________. 【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“x R ∀∈， 235x x +<”的否定是“x R ∃∈， 235x x +≥”；②已知p ， q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()()p q p q ⌝∧⌝=⌝∨ 为真命题”； ③“2015a >”是“2017a >”的必要不充分条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题 其中，所有真命题的序号是②.三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =， ()()121n n na n S n n +=+++， *n N ∈.（1）证明：数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求12n n T S S S =+++ .【答案】（1）见解析；（2）()()111222n n n n T n ++=-⋅+-.【解析】试题分析：(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为首先为2，公比为2的等比数列； (2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得 ()()111222n n n n T n ++=-⋅+-.试题解析：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以()()()121n n n n S S n S n n +-=+++， 即()()1211n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++，所以11211n n S S n n +⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，又1121S +=，故数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列.（2）由（1）知1111221n n n S S n -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以2n n S n n =⋅-， 故()()21222212nn T n n =⨯+⨯++⋅-+++ .设212222n M n =⨯+⨯++⋅ ， 则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅ ，所以212222n n M n +-=+++-⋅= 11222n n n ++--⋅， 所以()1122n M n +=-⋅+，所以()()111222n n n n T n ++=-⋅+-.点睛：证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明1nn a a - ＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明2n a ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．18．如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ， BE EC ⊥， 6BC =，AB =30ABC ∠=︒.（1）求证： AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得AC ⊥平面BCDE ，结合线面垂直的定义有AC BE ⊥.(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线AB 与平面ACE.试题解析：（1）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2?AB BC AC ABC AB BC +-∠= =解得AC = 所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC =， BC AC ⊥， 所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥.（2）由（1）AC ⊥平面BCDE ， CE ⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥.又因为BC AC ⊥，平面ACE ⋂平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥， AC BE ⊥， 所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角.因为在Rt ACE ∆中， sin45BE BC =︒=所以在Rt BAE ∆中， sin BE BAE AB ∠==. 19．某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位： cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[)165,180的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[)165,180学生的人数，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）300；（2）35；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在[)165,180的概率为35. (3) 由题意可得X 的可能取值为0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为1715. 试题解析：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[)165,180的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[)165,180的概率为423705=. 因此，可估计该校学生身高在[)165,180的概率为35.（3）由题意可得X 的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[)165,180的概率为13，男生身高在[)165,180的概率为45.所以()4120115315P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()41419111535315P X ⎛⎫⎛⎫==-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()41425315P X ==⨯=. 所以X 的分布列为：所以()9417012151515E X =+⨯+⨯=. 20．中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且．（1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程； （2）若是射线上不同两点，，过点的直线与交于，直线与交于另一点．证明：是等腰三角形．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形. 试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得.由，得，因为故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以的轨迹方程为.设，依题意，所以，即，代入的轨迹方程得，，所以点的轨迹的方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行，因为，所以直线为，与联立得，，由韦达定理，同理，所以或，当时，轴，当时，由，得，同理，轴.因此，故是等腰三角形.解法二：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得.在轴上取，因为点在线段上，且，所以，则，故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），所以点的轨迹的方程为.（2）设，，由题意得，直线斜率不为0，且，故设直线的方程为：，其中， 与椭圆方程联立得，， 由韦达定理可知，， 其中， 因为满足椭圆方程，故有， 所以.设直线的方程为：，其中， 同理， 故， 所以，即轴， 因此，故是等腰三角形. 21．已知函数()2x f x e x a =-+， x R ∈，曲线()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为y bx =.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证： ()2f x x x ≥-+； （3）若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()21x f x e x =--；（2）见解析；（3）(),2e -∞-. 【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为()21x f x e x =--. (2)构造新函数()()21x g x f x x x e x =+-=--.结合函数的最值和单调性可得()2f x x x ≥-+. (3)分离系数，构造新函数()()f x x x ϕ=， 0x >，结合新函数的性质可得实数k 的取值范围为(),2e -∞-.试题解析： （1）根据题意，得()'2xf x e x =-，则()'01f b ==. 由切线方程可得切点坐标为()0,0，将其代入()y f x =，得1a =-，故()21x f x e x =--. （2）令()()21xg x f x x x e x =+-=--. 由()'10xg x e =-=，得0x =， 当(),0x ∈-∞， ()'0g x <， ()y g x =单调递减；当()0,x ∈+∞， ()'0g x >， ()y g x =单调递增.所以()()min 00g x g ==，所以()2f x x x ≥-+. （3）()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于()f x k x >对任意的()0,x ∈+∞恒成立.令()()f x x x ϕ=， 0x >，得()()()2''xf x f x x x ϕ-== ()()2221x x x e x e x x ----=()()211x x e x x ---.由（2）可知，当()0,x ∈+∞时， 10x e x -->恒成立，令()'0x ϕ>，得1x >；令()'0x ϕ<，得01x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1，故()()min 12x e ϕϕ==-，所以()min 2k x e ϕ<=-.所以实数k 的取值范围为(),2e -∞-.22．选修4-5：不等式选讲.已知a ， b 为任意实数.（1）求证： ()42242264a a b b ab a b ++≥+； （2）求函数()()()4224332162221f x x a a b b x a b ab =-+--+-+-的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）()max 1f x =.【解析】试题分析：(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式的性质可得()max 1f x =.试题解析：（1）()42242264a a b b ab a b ++-+= ()()222222244a b ab a b a b +-++⋅= ()2222a b ab +- ()4a b =-，因为()40a b -≥，所以()42242264a a b b ab a b ++≥+. （2）()()4224216f x x a a b b =-+-- ()332221x a b ab +-+-= ()4224216x a a b b -+--+ ()3322221x a b ab -+-≥ ()33|22221x a b ab ⎡⎤-+--⎣⎦ ()4224216|x a a b b ⎡⎤-+--=⎣⎦ ()411a b -+≥.即()max 1f x =.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项来放缩求解．。
河北省衡水中学高三高考押题(二)理数试题及答案
河北衡水中学高考押题试卷理数试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|||,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合A B I =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{1,0,1,2}- 2.设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（ ）A ．15C ．5D ．253.若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）A.46- B ．46+ C.718D ．3 4.已知直角坐标原点O 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A.4 B ．44- C.2 D ．22- 5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6πB ．[,]63ππ C.[,]43ππ D ．[,]32ππ6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A.313(3)2222π+++ B ．3133()22242π+++ C.13222π+ D ．13224π+ 7.函数sin ln ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 8.二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ）A ．4B ．8 C.12 D ．169.执行下图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A.81 B ．812 C.814 D ．81810.已知数列11a =，22a =，且222(1)n n n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ）A ．201610101⨯-B ．10092017⨯ C.201710101⨯- D ．10092016⨯ 11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B ．函数()g x 的最大值为22C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行 D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12||x x -最小值为2π 12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(2,2)- C.(2,)+∞D ．(2,0)(0,2)-U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.向量(,)a m n =r ，(1,2)b =-r ，若向量a r ，b r 共线，且||2||a b =r r，则mn 的值为 ．14.设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．15.设x ，y 满足约束条件230,220,220,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则y x 的取值范围为 ．16.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE 的面积[63,93)S ∈时，则BC 的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a=，121n n S S -=+*(2,)n n N ≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12log n n b a =*()n N ∈求11{}n n b b +的前n 项和n T .18.如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，222DE BF a ==，平面BDEF ⊥底面ABCD .（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ； （2）求二面角E AC F --的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？ （3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且过点23)22P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r（O 为坐标原点） （1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.21. 设函数22()ln f x a x x ax =-+-()a R ∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos ,2sin x t y tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围； （2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求||AB .23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数()|21||1|f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++.参考答案及解析一、选择题1-5:BCAAD 6-10:AABCC 11、12：CD二、填空题e << 15.27[,]5416. 三、解答题17.解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =， 得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =.又由121n n S S -=+，① 可知121n n S S +=+，② ②-①得12n n a a +=，即11(2)2n n a n a +=≥. 且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，故12n n a =*()n N ∈ （2）由（1）及12log n n b a =*()n N ∈，可知121log ()2nn b n ==，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++=L 11111[(1)()()]2231n n -+-++-=+L 1111n n n -=++. 18.解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF I 平面ABCD BD =， 因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥. 又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DE BF ==，120ABC ∠=︒，可知22426AF a a a =+=，2BD a =，22426EF a a a =+=，224823AE a a a =+=，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥. 又AF AC A =I ，所以EF ⊥平面AFC . 又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC .（2）取EF 中点G ，由题可知//OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA u u u r ，OB uuu r ，OG u u u r的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示），则(0,0,0)O ，(3,0,0)A a ，(3,0,0)C a -，(0,,22)E a a -，(0,,2)F a a ，所以(0,,22)(3,0,0)AE a a a =--=u u u r(3,,22)a a a --，(3,0,0)(3,0,0)AC a a =--=u u u r (23,0,0)a -，(0,,2)(0,,22)EF a a a a =--u u u r(0,2,2)a a =-. 由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为(0,2,2)EF a a =-u u u r. 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r即3220,0,x y z x ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩即22,0,y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令2z =，得4y =， 所以(0,4,2)n =r.从而cos ,n EF <>=r u u u r 3||||63n EF n EF a⋅==⋅r u u u rr u u u r . 故所求的二面角E AC F --的余弦值为33.19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780370260)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=，因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3.则03473117(0)33C C P C ξ===，124731128(1)55C C P C ξ===， 214731114(2)55C C P C ξ===，30473114(3)165C C P C ξ===. 因此可得ξ的分布列为：则728144()0123335555165E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯1211=. 20.解：（1）由题意可知2c a =，所以222222()a c a b ==-，即222a b =，① 又点23,22P 在椭圆上，所以有2223144a b+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由0OA OB ⋅=u u u r u u u r，可知12120x x y y +=.联立方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=，由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>，得2212k m +>，所以122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，③又由题知12120x x y y +=， 即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=.将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k-+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 21. 解：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-=222(2)()x ax a x a x a x x--+-=. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <时，当(0,)2ax ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2ax ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+=2(2)ln x a x a x +--(0)x >，所以'()2(2)a h x x a x=+--=22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+=.所以当(0,)2ax ∈时，'()0h x <；当(,)2a x ∈+∞时，'()0h x >；当2a x =时，'()02ah =. 欲证12'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2''()20ah x x=+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x x a+>. 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则21112222(2)ln ,(2)ln ,x a x a x m x a x a x m ⎧+--=⎨+--=⎩ 两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-=22121222x x x x -+-， 从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-， 故只需证明2212121212122222(ln ln )x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-. 因为1212ln ln 0x x x x -+-<，所以（*）式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+， 即11212222ln 1x x x x x x -<+. 因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈. 记22()ln 1t R t t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在(0,1)单调递增.又(1)0R =，因此()0R t <，(0,1)t ∈， 故22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而12'()02x x h +>得证.22.解：（1）曲线1C ：3cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=. 曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为22(2)4x y +-=.把22(2)4y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：222(3)4136a x x x =-+-=-，而对2C 有222(2)4x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[1,5].（2）当3a =时，曲线1C ：22(3)(2)9x y -+-=， 两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =， 所以482||2493AB =-=. 23. 解：（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()71a b a a b ++++=++2222214(1)[5()]711b a a b ++++≥++218[577+=. 当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.。
河北省衡水中学高考数学猜题卷(一)理(含解析)
高考衡水猜题卷理科数学第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 设全集Q _ {.X 7X- nx G.x - r-.}，且P Q,则满足条件的集合P的个数是（）A. 3B. -C. rD.【答案】D【解析】Q 乜M —闵X -:越一N} {D.L.2}，所以满足P Q的集合P有? - -个，故选D.2. 已知是虚数单位，复数一的虚部为（）1^2lA. [B. 1C. iD.【答案】B【解析】因为.2 -，所以复数一=的虚部为：，故选B.3. 某样本中共有5个个体，其中四个值分别为3」W ,第五个值丢失，但该样本的平均数为】，则样本方差为（）A. 2B.C. ■ 2D.—【答案】A【解析】设丢失的数据为门，则这组数据的平均数是■:a I 0 ■ 1 I 2 ■ 3；： 5 = 1，解得：'| - 1 ,根据方差计算公式得•:冷1 !：■ I 9 ■：! Il I i2 !：■ 心丄—2 ,故选A.4. 双曲线- C.b • 6的离心率为7,焦点到渐近线的距离为•厂则匚的焦距a" tr等于（）A. -B. 2 - 2C. 2D. 4 - 2【答案】A【解析】由题意知，取双曲线匚的渐近线匕■沁=乞，焦点F匚.⑴，则，：■- 止■-,又2 苛.，则二一「. 一|.：;「，解得-.=2 ,故选C.x > 0（5. 若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是kx-y + 1^0（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】试题分析：由题意可知/ - 与kx 丫 -丄=C垂直或、、丫、笛-丄=C与工=C垂直, 所以k = C或k 1，k C时三角形面积是，卜—丄时* 与kx y - 1 匚：交点'■，三角形面积为考点：线性规划点评：线性规划题目结合图形分析6. 已知；i-|C；一" ■，则用1"2辽（）A. B. 4 C. D. :【答案】C【解析】T2匸om —— ,「•川〕匕4ii：丄o,：丄'j .,1-GQS2CI =-R “ 1 十uos2ct 5 A^ZB. . _ - . L r sin2oc 3,化简得4二丨□上“=三匚口二？：，• • tdii Z 2 2 COSZ OL 4故选C.7. 《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出「门的值为E5，则输入J的值为（）I IIFf -------/赫：.I' e/ f ' EZDA. -B. 5C. "D. 11【答案】A【解析】起始阶段有ir, - ? ：| .：!•, i - 1 ,第一次循环后，m = 2 ［花知3 = 4a 9 , i 一 2 ;第二次循环后，m = “上刃2 = 注 2丄，i =巳；第三次循环后，ni = 2，：8a 21.j 3 = IGa 45, , i — 4 ;接着计算n. - ?■： 4.5 i 三—h■，跳出循环，输出rv = 32 □93 .令22 a 92 = 25，得J — 4.选A.8. 如图，过抛物线■/' - 2px-p -'的焦点F的直线交抛物线于点丄巳，交其准线于点匚，若巳匚-；二汗|,且AF| = 2，则此抛物线方程为（如图分别过点乩巳作准线的垂线，分别交准线于点Ft，设EF| = a，则由已知得:F：二-:，由抛物线定义得：巳。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三高考押题理数试题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知集合,,则=（）A. B. C. D.【解析】B【解析】由题知,,则故本题解析选．2. 已知为虚数单位,若复数在复平面内对应地点在第四象限,则地取值范围为（）A. B. C. D.【解析】B【解析】由题．又对应复平面地点在第四象限,可知,解得．故本题解析选．3. 下列函数中,既是偶函数,又在内单调递增地为（）A. B. C. D.【解析】D【解析】为非奇非偶函数,排除；为偶函数,但在内单调递减,排除；为奇函数,排除．故本题解析选．4. 已知双曲线:与双曲线:,给出下列说法,其中错误地是（）A. 它们地焦距相等B. 它们地焦点在同一个圆上C. 它们地渐近线方程相同D. 它们地离心率相等【解析】D【解析】由题知．则两双曲线地焦距相等且,焦点都在圆地圆上,其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为,由于实轴长度不同故离心率不同．故本题解析选,5. 在等比数列中,",是方程地两根"是""地（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】A【解析】由韦达定理知,则,则等比数列中,则．在常数列或中,不是所给方程地两根．则在等比数列中,",是方程地两根"是""地充分不必要条件．故本题解析选．6. 执行如图地程序框图,则输出地值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 1008学_科_网...【解析】B【解析】由程序框图则,由规律知输出．故本题解析选．7. 已知一几何体地三视图如下图所示,则该几何体地体积为（）A. B. C. D.【解析】C【解析】观察三视图可知,几何体是一个圆锥地与三棱锥地组合体,其中圆锥地底面半径为,高为．三棱锥地底面是两直角边分别为地直角三角形,高为．则几何体地体积．故本题解析选．8. 已知函数地部分图象如下图所示,则函数图象地一个对称中心可能为（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由图象最高点与最低点地纵坐标知,又,即,所以．则,图象过点,则,即,所以,又,则．故,令,得,令,可得其中一个对称中心为．故本题解析选．9. 《几何原本》卷2地几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题地重要依据,通过这一原理,很多地代数地公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如下图所示图形,点在半圆上,点在直径上,且,设,,则该图形可以完成地无字证明为（）A. B.C. D.【解析】D【解析】令,可得圆地半径,又,则,再根据题图知,即．故本题解析选．10. 为迎接中国共产党地十九大地到来,某校举办了"祖国,你好"地诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内地7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加,且当这3名同学都参加时,甲和乙地朗诵顺序不能相邻,那么选派地4名学生不同地朗诵顺序地种数为（）A. 720B. 768C. 810D. 816【解析】B【解析】由题知结果有三种情况．甲、乙、丙三名同学全参加,有种情况,其中甲、乙相邻地有种情况,所以甲、乙、丙三名同学全参加时,甲和乙地朗诵顺序不能相邻顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有一人参加,不同地朗诵顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时,不同地朗诵顺序有种情况．则选派地4名学生不同地朗诵顺序有种情况,故本题解析选11. 焦点为地抛物线:地准线与轴交于点,点在抛物线上,则当取得最大值时,直线地方程为（）A. 或B.C. 或D.【解析】A【解析】过作与准线垂直,垂足为,则,则当取得最大值时,必须取得最大值,此时直线与抛物线相切,可设切线方程为与联立,消去得,所以,得．则直线方程为或．故本题解析选．点睛:抛物线地定义是解决抛物线问题地基础,它能将两种距离(抛物线上地点到焦点地距离,抛物线上地点到准线地距离)进行等量转化,如果问题中涉及抛物线上地点到焦点或到准线地距离,那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点地距离转化成到准线地距离,将比值问题转化成切线问题求解．学_科_网...12. 定义在上地函数满足,且当时,,对,,使得,则实数地取值范围为（）A. B.C. D.【解析】D【解析】由题知问题等价于函数在上地值域是函数在上地值域地子集．当时,,由二次函数及对勾函数地图象及性质,得此时,由,可得,当时,．则在地值域为．当时,,则有,解得,当时,,不符合题意；当时,,则有,解得．综上所述,可得地取值范围为．故本题解析选．点睛:求解分段函数问题应对自变量分类讨论,讨论地标准就是自变量与分段函数所给出地范围地关系,求解过程中要检验结果是否符合讨论时地范围．讨论应该 不重复不遗漏．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题～第21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22题和第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13. 已知,,若向量与共线,则在方向上地投影为_________．【解析】【解析】由题知,又与共线,可得,得,则方向上地投影为．故本题应填．14. 已知实数,满足不等式组且地最大值为,则=__________．【解析】【解析】作出可行域,目标函数可变为,令,作出,由平移可知直线过时取最大值,则．则．故本题应填．15. 在中,角,,地对边分别为,,,,且,地面积为,则地值为__________．【解析】【解析】由正弦定理,原等式可化为,进一步化为,则,即．在三角形中．由面积公式,可知,由余弦定理,代入可得．故本题应填．点睛:本题主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理解三角形地过程中,当所给地等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边地关系转化为角地关系;如果出现边地平方或者两边长地乘积时可考虑使用余弦定理判断三角形地形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理地变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.选择余弦定理和面积时,要以已知角地为主．16. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形,顶点在底面地射影为底面中心）地外接球,,,点在线段上,且,过点作圆地截面,则所得截面圆面积地取值范围是__________.【解析】【解析】令地中心为,球地半径为,连接,易求得,则,在中,由勾股定理得,解得,由,知,所以,所以．当截面与垂直时,截面地面积最小,此时截面圆地半径,此时截面面积为．当截面过球心时,截面圆地面积最大,此时截面圆地面积为．故本题应填．点睛:解决球与其他几何体地内切,外接问题地关系在于仔细观察,分析几何体地结构特征,搞清相关元素地位置关系和数量关系,选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体地各种元素,尽可能地体现这些元素之间地关系),达到空间问题平面化地目地．三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 已知地展开式中地系数恰好是数列地前项和.（1）求数列地通项公式；（2）数列满足,记数列地前项和为,求证:.【解析】（1）;（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）由二项展开式可知各项中地系数,求和后可得,利用与间地关系可得数列地通项公式；（2）由地通项公式可求得地通项公式,对进行裂项,用裂项法可求得,利用放缩法可证明不等式．学_科_网...试卷解析:（1）地展开式中地系数为,即,所以当时,；当时,也适合上式,所以数列地通项公式为.（2）证明:,所以,所以.18. 如图,点在以为直径地圆上,垂直与圆所在平面,为地垂心.（1）求证:平面平面；（2）若,求二面角地余弦值.【解析】（1）见解析；（2） .【解析】试卷分析:（1）延长交于点,由重心性质及中位线性质可得,再结合圆地性质得,由已知,可证平面,进一步可得平面平面（2）以点为原点,,,方向分别为,,轴正方向建立空间直角坐标系,写出各点坐标,利用二面角与二个半平面地法向量地夹角间地关系可求二面角地余弦值．试卷解析:（1）如图,延长交于点.因为为地重心,所以为地中点.因为为地中点,所以.因为是圆地直径,所以,所以.因为平面,平面,所以.又平面,平面=,所以平面.即平面,又平面,所以平面平面.（2）以点为原点,,,方向分别为,,轴正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,,则,.平面即为平面,设平面地一个法向量为,则令,得.过点作于点,由平面,易得,又,所以平面,即为平面地一个法向量.在中,由,得,则,.所以,.所以.设二面角地大小为,则.点睛:若分别二面角地两个半平面地法向量,则二面角地大小满足,二面角地平面角地大小是地夹角(或其补角,需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时,建立合理地空间直角坐标系,正确写出各点坐标,求出平面地法向量是解题地关键．19. 2023年春节期间,某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元（含600元）,均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中地一种.方案一:从装有10个形状、大小完全相同地小球（其中红球3个,黑球7个）地抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折,若摸出1个红球,则打7折；若没摸出红球,则不打折.方案二:从装有10个形状、大小完全相同地小球（其中红球3个,黑球7个）地抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠地概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元,试从概率地角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【解析】（1） ;（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）选择方案一可以免单,但需要摸出三个红球,利用古典概型求出摸出三个红球地概率,再利用两个相互独立事件同时发生地概率应该是两事件地概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠地概率；（2）分别写出两种方案下付款金额地分布列,再求出期望值,利用期望值地大小,进行合理选择．试卷解析:（1）选择方案一若享受到免单优惠,则需要摸出三个红球,设顾客享受到免单优惠为事件,则,所以两位顾客均享受到免单地概率为.（2）若选择方案一,设付款金额为元,则可能地取值为0,600,700,1000.,,,,故地分布列为,所以（元）.学_科_网...若选择方案二,设摸到红球地个数为,付款金额为,则,由已知可得,故,所以（元）.因为,所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20. 已知椭圆:地长轴长为6,且椭圆与圆:地公共弦长为.（1）求椭圆地方程.（2）过点作斜率为地直线与椭圆交于两点,,试判断在轴上是否存在点,使得为以为底边地等腰三角形.若存在,求出点地横坐标地取值范围,若不存在,请说明理由.【解析】（1）；（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）由长轴长可得值,公共弦长恰为圆直径,可知椭圆经过点,利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线地解析式为,设,地中点为,将直线方程与椭圆方程联立,消去,利用根与系数地关系可得,由等腰三角形中,可得,得出中．由此可得点地横坐标地范围．试卷解析:（1）由题意可得,所以.由椭圆与圆:地公共弦长为,恰为圆地直径,可得椭圆经过点,所以,解得.所以椭圆地方程为.（2）直线地解析式为,设,地中点为.假设存在点,使得为以为底边地等腰三角形,则.由得,故,所以,.因为,所以,即,所以.当时,,所以；当时,,所以.综上所述,在轴上存在满足题目条件地点,且点地横坐标地取值范围为.点睛:本题主要考查椭圆地标准方程和几何性质,直线与椭圆地位置关系,基本不等式,及韦达定理地应用.解析几何大题地第一问一般都是确定曲线地方程,常见地有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆地位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合地思想转化给出地条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.21. 已知函数.（1）讨论函数地单调性；（2）当时,若函数地导函数地图象与轴交于,两点,其横坐标分别为,,线段地中点地横坐标为,且,恰为函数地零点,求证:.【解析】（1）当时,在内单调递增；当时,在内单调递减,在,内单调递增；（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）对函数求导后,利用导数与函数单调性地关系,对进行讨论可得函数单调性；（2）由函数地导函数可知,又是地零点,代入相减化简得,对求导,.令,求得函数.不等式得证．试卷解析:（1）由于地定义域为,则.对于方程,其判别式.当,即时,恒成立,故在内单调递增.当,即,方程恰有两个不相等是实,令,得或,此时单调递增；令,得,此时单调递减.综上所述,当时,在内单调递增；当时,在内单调递减,在,内单调递增.（2）由（1）知,,所以地两根,即为方程地两根.因为,所以,,.又因为,为地零点,所以,,两式相减得,得.而,所以.令,由得,因为,两边同时除以,得,因为,故,解得或,所以.设,所以,则在上是减函数,所以,即地最小值为.所以.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应地题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分；多涂、多答,按所涂地首题进行评分；不涂,按本选考题地首题进行评分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程已知直线地参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,轴地非负半轴为极轴建立极坐标系,圆地极坐标方程为,直线与圆交于,两点.（1）求圆地直角坐标方程及弦地长；（2）动点在圆上（不与,重合）,试求地面积地最大值.【解析】（1）；（2）.【解析】试卷分析:（1）利用平面直角坐标系与极坐标系间地转化关系,可得圆地直角坐标方程,将直线地参数方程代入,利用参数地几何意义可求得弦地长；（2）写出圆地参数方程,利用点到直线地距离公式,可得,可求出地最大值,即求得地面积地最大值．学_科_网...试卷分析:（1）由得,所以,所以圆地直角坐标方程为.将直线地参数方程代入圆,并整理得,解得, .所以直线被圆截得地弦长为.（2）直线地普通方程为.圆地参数方程为（为参数）,可设曲线上地动点,则点到直线地距离,当时,取最大值,且地最大值为.所以,即地面积地最大值为.23. 选修4-5:不等式选讲.已知函数.（1）求函数地值域；（2）若,试比较,,地大小.【解析】（1）；（2）.根据函数地单调性可知,当时,.所以函数地值域.（2）因为,所以,所以.又,所以,知,,所以,所以,所以.。
河北省衡水中学高三高考猜题卷(一)数学(理)试题(解析版)
河北省衡水中学高三高考猜题卷（一）数学（理）试题一、选择题1．设全集2{|250,}Q x x x x N=-≤∈，且P Q⊆，则满足条件的集合P的个数是（）A. 3 B. 4 C. 7 D. 82．已知i是虚数单位，复数512ii-的虚部为（）A. 1-B. 1C. i-D. i3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0,1,2,3，第五个值丢失，但该样本的平均数为1，则样本方差为（）A. 2B. 65C.D.54．双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）A.B.C.D.5．若不等式组0,{2,10xy xk x y≥≥-+≥表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（）A. 15B.14C.12D.15或146．已知，则（）A.B.C.D.7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为35，则输入a的值为（）A. 4B. 5C. 7D. 118．如图，过抛物线22(0)y p x p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若2B C B F =，且3A F =，则此抛物线方程为（ ）A. 29y x = B. 26y x = C. 23y x = D. 2y =9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在A B C ∆中， ()2,?co s 1A B A C B C A π==-=，则co s A 的值所在区间为（ ） A. ()0.4,0.3-- B. ()0.2,0.1-- C. ()0.3,0.2-- D. ()0.4,0.511．已知函数()2xxeaf x e=-，对于任意的[]12,1,2x x ∈，且()()()121212,0x x f x f x x x ⎡⎤≠-->⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 22,44e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 22,33e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 22,e e ⎡⎤-⎣⎦二、填空题12．已知，则的值是_______.13．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A ，B ，C ，D ，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．14．已知函数()sin f x x =，若存在12,,,mx x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231122,m m fx fx fx fx fx f x m m N--+-++-=≥∈，则m 的最小值为__________．15．已知等腰直角A B C ∆的斜边2B C =，沿斜边的高线A D 将A B C ∆折起，使二面角B AD C --为3π，则四面体A B C D 的外接球的表面积为__________．三、解答题16．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()1141n n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．如图，在四棱锥E A B C D-中，底面A B C D为正方形，A E⊥平面C D E，已知2,==为A E D E F线段D F的中点.（I）求证：B E平面A C F；（II）求平面B C F与平面B E F所成锐二面角的余弦角.18．龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（I）完成表一中的空位①~④，并作答题纸中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的游戏的人数.(II)完成表二，并判断能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关；(表二）（参考公式：()()()()()22n a d b cKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）（III）按分层抽样（分50岁以上与50岁以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含50岁）的人数为ξ，求ξ的分布列.19．给定椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>，称圆心在原点O C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为)0F ，，其短轴上的一个端点到F（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . ①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段M N 的长为定值.20．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈.(I ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值; (II)讨论方程()0f x =的解的个数，并说明理由.21．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是24c o s 6s in 12ρρθρθ=+-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为122{12x ty =-=+(t 为参数）.(I)写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；(II)将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换',{'2,x x y y ==得到曲线E ，设曲线E 上任一点为(),M x y12y +的取值范围.22．设(),=-∈f x x a a R（Ⅰ）当5=a ，解不等式()3≤f x ；（Ⅱ）当1=a 时，若∃x ∈R ，使得不等式(1)(2)12f x f x m -+≤-成立，求实数m 的取值范围．河北省衡水中学高三高考猜题卷（一）数学（理）试题答案一、选择题1．设全集2{|250,}Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D【解析】{}25{|250,N }{|0,N }0,1,22Q x x x x x x x =-≤∈=≤≤∈= ，所以满足P Q ⊆ 的集合P 有328= 个，故选D.2．已知i 是虚数单位，复数512i i-的虚部为（ ）A. 1-B. 1C. i -D. i 【答案】B 【解析】因为()()()()512512*********i i i i i i ii i ++===-+--+ ，所以复数512i i-的虚部为1 ，故选B.3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0,1,2,3，第五个值丢失，但该样本的平均数为1，则样本方差为（ ）A. 2B. 65C.D.5【答案】A【解析】设丢失的数据为a ，则这组数据的平均数是()012351a ++++÷= ，解得1a =- ，根据方差计算公式得()()()()()2222221110111213125s ⎡⎤=--+-+-+-+-=⎣⎦ ，故选A.4．双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意知，取双曲线的渐近线，焦点，则，又，则，解得，故选C.5．若不等式组0,{2,10x y x k x y ≥≥-+≥表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ）A.15B.14C.12D.15或14【答案】D【解析】试题分析：由题意可知2y x =与10kx y -+=垂直或10kx y -+=与0x =垂直，所以0k =或12k =-，0k =时三角形面积是14， 12k =-时2y x =与10kx y -+=交点24,55⎛⎫⎪⎝⎭，三角形面积为15【考点】线性规划点评：线性规划题目结合图形分析6．已知，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴， ,化简得，∴，故选C ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为（ ）A. 4B. 5C. 7D. 11 【答案】A【解析】起始阶段有23m a =-， 1i =，第一次循环后， ()223349m a a =--=-， 2i =；第二次循环后， ()2493821m a a =--=-， 3i =；第三次循环后， ()282131645m a a =--=-， 4i =；接着计算()2164533293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-.令329335a -=，得4a =.选A.8．如图，过抛物线22(0)y p x p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，交其准线于点C ，若2B C B F =，且3A F =，则此抛物线方程为（ ）A. 29y x = B. 26y x = C. 23y x = D. 2y =【答案】C【解析】如图分别过点,A B 作准线的垂线，分别交准线于点,E D ，设B F a =，则由已知得： 2B C a = ，由抛物线定义得：B D a= ，故30B C D ∠= ，在直角三角形A C E 中， 3,33,2,336A E A C a A E A C a ==+∴=∴+=，从而得131,33,22a F C a p F G F C ===∴===，因此抛物线方程为23y x = ,故选C.9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足；且四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边长分别为1,2 的棱锥， A 与C 中俯视图正好旋转180 ，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故,A C 表示同一棱锥，设A 观察的正方向为标准正方向，以C 表示从后面观察该棱锥； B 与D 中俯视图正好旋转180 ，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故,B D 中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，根据B 中正视图与A 中侧视相同，侧视图与C 中正视图相同，可判断B 是从左边观察该棱锥，故选D. 10．在A B C ∆中， ()2,?co s 1A B A C B C A π==-=，则co s A 的值所在区间为（ ） A. ()0.4,0.3-- B. ()0.2,0.1-- C. ()0.3,0.2-- D. ()0.4,0.5 【答案】A【解析】设B C a= ，()1·c o s 1,c o s 0,B C A A aπ-=∴=-< ，中A B C∆ 中，22222228182,c o s ,22288a a a A B A C A a+---====∴-=⨯⨯ ，化为32118810a a ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x a -= ，则()328810fx xx =-+= ， ()2'2416,f x x x =- 可得()fx 在(),0-∞ 上递增，()()0.4 1.4 1.2810,0.30.0640ff-=-⨯+-= ， ()co s 0.4,0.3A ∴∈-- ，故选A.11．已知函数()2xxeaf x e=-，对于任意的[]12,1,2x x ∈，且()()()121212,0x x f x f x x x ⎡⎤≠-->⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 22,44e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 22,33e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 22,e e ⎡⎤-⎣⎦【答案】B【解析】由任意的[]12,1,2x x ∈ ，且12x x < ，由()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦，则函数()y f x = 单调递增，当()0,a f x ≥在[]1,2 上是增函数，则()10f ≥ ，解得202ea ≤≤，当0a < 时，()()fx fx = ，令2xxea e=-，解得ln x = ，由对勾函数的单调递增区间为)⎡+∞⎣，故1≤ ，解得202ea -≤< ，综上可知： a 的取值范围为22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B.【方法点睛】本题主要考查函数的单调性、分类讨论思想，属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题解答的关键是将不确定的a ，分两种情况讨论，从而确定函数的单调性，进而求解.二、填空题12．已知，则的值是_______.【答案】【解析】取可得；取可得，应填答案。
河北省衡水中学2021届高三高考猜题卷(一)数学(理)试题
河北省衡水中学2021年高三高考猜题卷（一）数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{}2|250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 2．已知i 是虚数单位，复数512i i -的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．i -D ．i 3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0,1,2,3，第五个值丢失，但该样本的平均数为1，则样本方差为（ ）A ．2B ．65 CD．54．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则C 的焦距等于（ ）A ．4 B．C ．2 D．5．若不等式组0,{2,10x y x kx y ≥≥-+≥表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ）A ．15B ．14C ．12D ．15或146．已知sin 2cos αα-=tan2α= A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 7．九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为( )A ．4B ．5C ．7D ．11 8．如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若2BC BF =，且3AF =，则抛物线的方程为（ ）A ．232y x =B ．29y x =C ．292y x =D ．23y x = 9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 （ ）A ．B ．C ．D ．10．在ABC ∆中，()2,?cos 1AB AC BC A π==-=，则cos A 的值所在区间为（ ） A ．()0.4,0.3-- B ．()0.2,0.1-- C ．()0.3,0.2-- D ．()0.4,0.511．已知函数()2x x e a f x e=-，若对任意的12,[1,2]x x ∈，且12x x ≠时，1212[()()]()0f x f x x x -->，则实数a 的取值范围为（ ）A ．22[,]44e e - B ．22[,]22e e - C ．22[,]33e e - D ．22[,]e e -二、填空题12．已知(x +1)2(x +2)2016=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2+...+a 2018(x +2)2018，则a 12+a 222+a 323+...+a201822018的值是_______. 13．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A ，B ，C ，D ，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．14．已知函数()sin f x x =，若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()112m m f x f x -+-=（2m ≥，*N m ∈），则m 的最小值为__________．15．已知等腰直角ABC 的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC 折起，使二面角B AD C --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________．三、解答题16．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1,S 2,S 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =(−1)n−14n a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．17．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AE ⊥平面CDE ，已知2,AE DE F ==为线段DF 的中点.（I ）求证：BE 平面ACF ；（II ）求平面BCF 与平面BEF 所成锐二面角的余弦角.18．龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（I）完成表一中的空位①~④，并作答题纸中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的游戏的人数.(II)完成表二，并判断能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关；(表二）（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++） （III ）按分层抽样（分50岁以上与50岁以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含50岁）的人数为ξ，求ξ的分布列.19．给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F 的距离（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . ①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.20．已知函数()()21ln 2f x x a x a R =-∈. (I ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为y x b =+，求a 和b 的值;(II)讨论方程0f x 的解的个数，并说明理由.21．已知曲线C 的极坐标方程是24cos 6sin 12ρρθρθ=+-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）. （1）写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系； （2）将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换','2,x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线E ，设曲线E 上任一点为(),M x y12y +的取值范围.22．设函数()f x x a =- a R ∈ .(Ⅰ)当5a = 时，解不等式()3f x ≤ ；(Ⅱ)当1a = 时，若x R ∃∈，使得不等式()()1212f x f x m -+≤-成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．D【解析】{}{}25|250,N |0,N 0,1,22Q x x x x x x x ⎧⎫=-≤∈=≤≤∈=⎨⎬⎩⎭ ，所以满足P Q ⊆ 的集合P 有328= 个，故选D.2．B【解析】 因为()()()()512512*********i i i i i i i i i ++===-+--+ ，所以复数512i i-的虚部为1 ，故选B.3．A【解析】设丢失的数据为a ，则这组数据的平均数是()012351a ++++÷= ，解得1a =- ，根据方差计算公式得()()()()()2222221110111213125s ⎡⎤=--+-+-+-+-=⎣⎦ ，故选A. 4．C【解析】由题意知，取双曲线C 的渐近线0bx ay -=，焦点(),0F c ，bc b c ==⇒=22c c a a =⇒=，则2222c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2c =，故选C.5．D【解析】试题分析：由题意可知2y x =与10kx y -+=垂直或10kx y -+=与0x =垂直，所以0k =或12k =-， 0k =时三角形面积是14， 12k =-时2y x =与10kx y -+=交点24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，三角形面积为15考点：线性规划点评：线性规划题目结合图形分析6．A【解析】sin 2cos 2αα-=，225sin 4cos 42sin cos αααα∴-+=. 化简得：4sin23cos2αα=.3tan24α∴=.故选A. 点睛：三角化简求值合理利用22sin ?1cos αα+=和tan sin cos ααα=. 7．A【解析】起始阶段有23m a =-，1i =，第一次循环后，()223349m a a =--=-，2i =；第二次循环后，()2493821m a a =--=-，3i =；第三次循环后，()282131645m a a =--=-，4i =；接着计算()2164533293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-.令329335a -=，得4a =.选A.8．D【分析】分别过点,A B 作准线的垂线，分别交准线于点,E D ，设||BF a =，根据抛物线定义可知||BD a =，进而推断出BCD ∠的值，在直角三角形中求得a ，进而根据//BD FG ，利用比例线段的性质可求得p ，则抛物线方程可得.【详解】解：如图分别过点,A B 作准线的垂线，分别交准线于点,E D ，设||BF a =，则由已知得：||2BC a =， 由定义得：||BD a =，故30BCD ∠=， 在直角三角形ACE 中，||3,||33AF AC a ==+， 2||||AE AC ∴=，336a ∴+=，从而得1a =， //BD FG ，123p ∴=求得32p =， 因此抛物线方程为23y x =， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握. 9．D 【解析】试题分析：依次还原几何体，可以得出A,B,C 中的三视图是同一个三棱锥，摆放的位置不同而已，而D 和它们表示的不是同一个三棱锥.考点：本小题主要考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力. 点评：解决此类问题的关键在于根据三视图还原几何体. 10．A 【分析】先设BC a =，由题意得到1cos 0A a=-<，在ABC ∆ 中，2AB AC ==，结合余弦定理得到32118810a a ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x a -=，得()32881f x x x =-+，用导数方法研究其单调性，再根据零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】设BC a = ，()cos 1BC A π⋅-= ，1cos 0,A a∴=-< 在ABC ∆ 中，22222228182,cos ,22288a a a AB AC A a +---====∴-=⨯⨯ ， 化为32118810a a ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x a-= ，则()32881f x x x =-+ ，()22416,f x x x '=- 可得()f x 在(),0-∞ 上递增，()0.4 1.4 1.2810f -=-⨯+< ，()0.30.0640f -=> ()cos 0.4,0.3A ∴∈-- ，故选A. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记函数零点存在定理，利用导数方法研究函数单调性，以及余弦定理即可，属于常考题型. 11．B 【解析】由题意得|()|y f x = 在[1,2] 上单调递增;当0a ≥ 时,()f x 在[1,2] 上单调递增,所以由2(1)002e f a ≥⇒≤≤ ;当0a < 时, |()|()f x f x =,由()02x x e af x x e=⇒='=+因此()f x 的单调增区间为)+∞ ,所以由2102e a ≤⇒-≤< ;综上实数a 的取值范围为22,22e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,选B.12．(12)2018【解析】取x =−2可得a 0=0；取x =−32可得12a 1+122a 2+123a 3+⋅⋅⋅+122018a 2018=122(12)2016=122018，应填答案122018。
河北省衡水中学高考数学押题卷三 理(含解析)
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则= .本题选择C选项.2. 集合，，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则= . 本题选择A选项.3. 已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.4. 已知实数，满足约束条件则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中的两边，分别交于、，且交其对角线于，若，，，则=（）A. B. 1 C. D. -3【答案】A【解析】由几何关系可得：，则：，即：，则= .本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6. 在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若，则，.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为.本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4，∴该几何体的表面积，本题选择B选项.8. 已知数列中，，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当时推出循环，则判断框内的条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则=（）A. 3B.C.D. 4【答案】B【解析】由题意知，的可能取值为2,3,4,其概率分别为，，，所以，故选B．10. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①由抛物线的性质可知,，，则，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x0=2，p=2，∴，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.11. 若定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨令，该函数满足题中的条件，则不等式转化为：，整理可得：，结合函数的定义域可得不等式的解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，函数在定义域内单调递增，方程即：，即，结合函数的单调性有： .本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________．【答案】2【解析】试题分析：展开后第项为，其中项为，即第项，系数为，即，，当且仅当时取得最小值.考点：二项式公式，重要不等式.14. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为__________．【答案】【解析】由题意有：，则的面积为 .【答案】【解析】由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率.16. 已知下列命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是__________.【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的必要不充分条件；④“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题其中，所有真命题的序号是②.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列的前项和，且，，. （1）证明：数列为等比数列；（2）求.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列为首先为2，公比为2的等比数列；(2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得.试题解析：（1）因为，所以，即，则，所以，又，故数列为等比数列.（2）由（1）知，所以，故.设，则，所以，所以，所以.点睛：证明数列{a n}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明＝a n－1·a n＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．18. 如图所示，四棱锥，已知平面平面，，，,.（1）求证：；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有.(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为.试题解析：（1）中，应用余弦定理得，解得，所以，所以.因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，所以.（2）由（1）平面，平面，所以.又因为，平面平面，所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即.因为，，所以平面.所以是与平面所成的角.因为在中，，所以在中，.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在的概率为.(3) 由题意可得的可能取值为0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为 .试题解析：（1）设高一女学生人数为，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则，解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在的人数为，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在的概率为.因此，可估计该校学生身高在的概率为.（3）由题意可得的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在的概率为，男生身高在的概率为.所以，，.所以的分布列为：所以.20. 中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且.（1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；（2）若，是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.依题意得.由，得，因为故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以的轨迹方程为.设，依题意，所以，即，代入的轨迹方程得，，所以点的轨迹的方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行，因为，所以直线为，与联立得，，由韦达定理，同理，所以或，当时，轴，当时，由，得，同理，轴.因此，故是等腰三角形.解法二：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得.在轴上取，因为点在线段上，且，所以，则，故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），所以点的轨迹的方程为.（2）设，，由题意得，直线斜率不为0，且，故设直线的方程为：，其中，与椭圆方程联立得，，由韦达定理可知，，其中，因为满足椭圆方程，故有，所以.设直线的方程为：，其中，同理，故，所以，即轴，因此，故是等腰三角形.21. 已知函数，，曲线的图象在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.(3)分离系数，构造新函数，，结合新函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）根据题意，得，则.由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，故.（2）令.由，得，当，，单调递减；当，，单调递增.所以，所以.（3）对任意的恒成立等价于对任意的恒成立.令，，得.由（2）可知，当时，恒成立，令，得；令，得.所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以.所以实数的取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）. （1）求，的直角坐标方程；（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，，，，求的值. 【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上的排列顺次至上而下为,它们对应的参数分别为，如图，连接，则为正三角形，所以，，把代入，得：，即，故，所以. 【点睛】本题为极坐标与参数方程，是选修内容，把极坐标方程化为直角坐标方程，需要利用公式，第二步利用直线的参数方程的几何意义，联立方程组求出，利用直线的参数方程的几何意义，进而求值.23. 选修4-5：不等式选讲.已知，为任意实数.（1）求证：；（2）求函数的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式的性质可得.试题解析：（1），因为，所以.（2）. 即.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．。
河北省衡水中学20XX届高三高考押题卷三理数试题(解析版)最新修正版
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则= .本题选择C选项.2. 集合，，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则= .本题选择A选项.3. 已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.4. 已知实数，满足约束条件则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最大值.本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中的两边，分别交于、，且交其对角线于，若，，，则=（）学,科,网...A. B. 1 C. D. -3【答案】A【解析】由几何关系可得：，则：，即：，则= .本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6. 在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若，则，.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为.本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4，∴该几何体的表面积，本题选择B选项.8. 已知数列中，，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（）A. B. C. D.【答案】B学,科,网...【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当时推出循环，则判断框内的条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则=（）A. 3B.C.D. 4【答案】B【解析】由题意知，的可能取值为2,3,4,其概率分别为，，，所以，故选B．10. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①由抛物线的性质可知,，，则，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x0=2，p=2，∴，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.11. 若定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨令，该函数满足题中的条件，则不等式转化为：，整理可得：，结合函数的定义域可得不等式的解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，函数在定义域内单调递增，方程即：，即，结合函数的单调性有： .本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.学,科,网...二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________．【答案】2【解析】试题分析：展开后第项为，其中项为，即第项，系数为，即，，当且仅当时取得最小值.考点：二项式公式，重要不等式.14. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为__________．【答案】【解析】由题意有：，则的面积为 .【答案】【解析】由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率 .16. 已知下列命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是__________.【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的必要不充分条件；④“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题其中，所有真命题的序号是②.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列的前项和，且，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求.【答案】（1）见解析；（2）.学,科,网...【解析】试题分析：(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列为首先为2，公比为2的等比数列；(2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得. 试题解析：（1）因为，所以，即，则，所以，又，故数列为等比数列.（2）由（1）知，所以，故.设，则，所以，所以，所以.点睛：证明数列{a n}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明＝a n－1·a n＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．18. 如图所示，四棱锥，已知平面平面，，，,.（1）求证：；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有.(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为.试题解析：（1）中，应用余弦定理得，解得，所以，所以.因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，学,科,网...所以.（2）由（1）平面，平面，所以.又因为，平面平面，所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即.因为，，所以平面.所以是与平面所成的角.因为在中，，所以在中，.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在的概率为.(3) 由题意可得的可能取值为0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为 .试题解析：（1）设高一女学生人数为，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则，解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在的人数为，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在的概率为.因此，可估计该校学生身高在的概率为.（3）由题意可得的可能取值为0，1，2.学,科,网...由表格可知，女生身高在的概率为，男生身高在的概率为.所以，，.所以的分布列为：所以.20. 中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；（2）若，是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.依题意得.由，得，因为故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以的轨迹方程为.设，依题意，所以，即，代入的轨迹方程得，，所以点的轨迹的方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行，因为，所以直线为，与联立得，，由韦达定理，同理，所以或，当时，轴，当时，由，得，学,科,网...同理，轴.因此，故是等腰三角形.解法二：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得.在轴上取，因为点在线段上，且，所以，则，故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），所以点的轨迹的方程为.（2）设，，由题意得，直线斜率不为0，且，故设直线的方程为：，其中，与椭圆方程联立得，，由韦达定理可知，，其中，因为满足椭圆方程，故有，所以.设直线的方程为：，其中，同理，故，所以，即轴，因此，故是等腰三角形.21. 已知函数，，曲线的图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.学,科,网...【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.(3)分离系数，构造新函数，，结合新函数的性质可得实数的取值范围为. 试题解析：（1）根据题意，得，则.由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，故.（2）令.由，得，当，，单调递减；当，，单调递增.所以，所以.（3）对任意的恒成立等价于对任意的恒成立.令，，得.由（2）可知，当时，恒成立，令，得；令，得.所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以.所以实数的取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求，的直角坐标方程；（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上的排列顺次至上而下为,它们对应的参数分别为，如图，连接，则为正三角形，所以，，把代入，得：，即，故，所以.【点睛】本题为极坐标与参数方程，是选修内容，把极坐标方程化为直角坐标方程，需要利用公式，第二步利用直线的参数方程的几何意义，联立方程组求出，利用直线的参数方程的几何意义，进而求值.学,科,网...23. 选修4-5：不等式选讲.已知，为任意实数.（1）求证：；（2）求函数的最小值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式的性质可得.试题解析：（1），因为，所以.（2）.即.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．。
精品解析：河北省衡水中学高三高考押题理数试题(原卷版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学〔Ⅰ〕第一卷一、选择题：此题共12个小题,每题5分,在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么=〔〕A. B. C. D.2. 为虚数单位，假设复数在复平面内对应的点在第四象限，那么的取值范围为〔〕A. B. C. D.3. 以下函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为〔〕A. B. C. D.4. 双曲线：与双曲线：，给出以下说法，其中错误的选项是〔〕A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程一样D. 它们的离心率相等5. 在等比数列中，“，是方程的两根〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 执行如的程序框，那么输出的值为〔〕A. 1009B. -1009C. -1007D. 10087. 一几何体的三视如下，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.8. 函数的局部象如下，那么函数象的一个对称中心可能为〔〕A. B. C. D.9. ?几何本来?卷2的几何代数法〔以几何方法研究代数问题〕成了后世西方数学家处理问题的重要根据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都可以通过形实现证明，也称之为无字证明.现有如下形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，那么该形可以完成的无字证明为〔〕A. B.C. D. 学。
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网...10. 为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好〞的诗歌朗读比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗读顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗读顺序的种数为〔〕A. 720B. 768C. 810D. 81611. 焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，那么当获得最大值时，直线的方程为〔〕A. 或B.C. 或D.12. 定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，那么实数的取值范围为〔〕A. B.C. D.第二卷本卷包括必考题和选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. ，，假设向量与共线，那么在方向上的投影为_________．14. 实数，满足不等式组且的最大值为，那么=__________．15. 在中，角，，的对边分别为，，，，且，的面积为，那么的值为__________．16. 球是正三棱锥〔底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心〕的外接球，，，点段上，且，过点作圆的截面，那么所得截面圆面积的取值范围是__________.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 的展开式中的系数恰好是数列的前项和.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕数列满足，记数列的前项和为，求证：.18. 如，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.〔1〕求证：平面平面；〔2〕假设，求二面角的余弦值.19. 2021年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元〔含600元〕，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全一样的小球〔其中红球3个，黑球7个〕的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规那么为：假设摸到3个红球，享受免单优惠；假设摸出2个红球那么打6折，假设摸出1个红球，那么打7折；假设没摸出红球，那么不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全一样的小球〔其中红球3个，黑球7个〕的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.〔1〕假设两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；〔2〕假设某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比拟该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20. 椭圆：的长轴长为6，且椭圆与圆：的公共弦长为.〔1〕求椭圆的方程.学。
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