1根轨迹概念

2011-6-8 根轨迹分析法--根轨迹的基本概念 11
[定义]：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。 同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在 某一增益的情况下绘制的）。 180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨 迹方程，每一点对应一个 k g 。由于180度等相角根轨迹上的任意 一点都可通过幅值条件计算出相应的 k g值，所以直接称180度等 相角根轨迹为根轨迹。 在根轨迹上的已知点求该点的 k g 值的例子。上例中，若A点的坐 标是 - 0.5+j2，则根据幅值条件：
换句话说，满足：Gk ( s ) = −1或：k g ⋅ 的极点，闭环特征方程的根。
∏ (s + z ) ∏ (s + p )
j =1 j i =1 n i
m
= −1的点就是闭环系统
称Gk ( s ) = −1或：k g
∏ ( s + zi ) ∏ (s + p j )
j =1 i =1 n
m
= −1为根轨迹方程。
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第一节 根轨迹的基本概念
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根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
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根轨迹定义（以二阶系统为例，说明用解析法绘制根轨迹的过程）
[根轨迹定义]：系统开环传递函数的某一个参数变化时，系统闭 环特征方程的根在复平面上变化的轨迹。 例：如图所示二阶系统， K R (s ) C (s ) 系统开环传递函数为： s (0.5s + 1) K Gk ( s ) = s (0.5s + 1)
将 G k ( s ) 写成以下标准型，得：
Gk (s) = k g ⋅
∏ (s + z ) ∏ (s +
j =1 i =1 n i
m
pj)
式中：k g − 传递系数，或称为跟轨 迹增益； zi，p j 为开环零极点。
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根轨迹方程
1 闭环传递函数的极点就是闭环特征方程： + Gk ( s ) = 0 的根。
∠∑ ( s + zi ) − ∠∑ ( s + p j ) = ± (2k + 1)π , k = 0,1,2...
m
上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。
i =1
× [一些约定]：在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示 开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的 方向。
第四章 根轨迹法
由时域分析法可以知道，闭环系统的稳定性及其他性能 指标主要由闭环系统的极点的分布确定，因此要分析系统就 必须求解特征方程的根，然而这是比较困难的。 1948年，伊文斯根据反馈控制系统中开、闭环传递函 数之间的内在联系，提出了求解闭环特征方程的根的图解方 法---根轨迹法。利用这种方法，可在已知系统开环零、极点 分布的情况下，绘制出闭环特征根随系统参数（比如开环增 益、时间常数等）变化而在s平面上移动的轨迹（简称根轨 迹）。 根轨迹法具有直观、简便等优点，发展很快，在工程中 获得了广泛的应用。
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本章主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制准则 特殊根轨迹 利用根轨迹分析闭环系统 用MATLAB绘制根轨迹
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根轨迹意义
概 述
我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布， 其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分 布来间接地研究控制系统的性能。W.R.伊文思提出了一种在复 平面上由开环零、极点确定闭环零、极点的图解方法—根轨迹 法，将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭 环特征根的关系表示在一张图上。 利用根轨迹法，可以： 分析系统的性能 确定系统的结构和参数 对系统进行设计和综合
R (s )
1 ，试计算 K d = 0 时的 e ss ， 2 s
N (s )
kn Tn s + 1
1 + k ds
E (s )
-
k s(Ts +1)
+ + C (s )
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Hale Waihona Puke C (s )1 1 s + s + k g = 0， s1, 2 = − ± 1 − 4k g 2 2 [讨论]：① k g = 0时 ， s1, 2 = 0和 -1，是开环系统的极点 ；
2
② k g ↑ 时，s1从0沿负实轴向左移动，s2从 −1沿负实轴向右移动。 1 1 1 ③ k g = 时，s1, 2 = − ，重根。可见当0 < k g < 时，s1, 2 在负实轴上。 4 2 4 1 1 ④ k g > 时，s1, 2为复根。在 − 点处分成两支，沿平行于虚轴的 4 2 直线移动。 ⑤ k g → ∞时，s1, 2
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1 = − ± j∞ 2根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
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根轨迹解析法绘制
[总结]当 k g 从0变化到 ∞ 时，系统的根 轨迹是连续的。 k g = 0 的点称为起点， k g = ∞ 的点称为终点。本例中有两个分 支，终点都在无穷远处。 这里是用解析法画出的根轨迹，但对于高 阶系统，求根困难，需用图解法画图。
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅
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根轨迹方程
系统的结构图如下：
R (s )
-
G (s ) H (s )
C (s )
闭环传递函数为：Φ ( s ) =
G (s) 1 + G (s) H (s)
开环传递函数为： G k ( s ) = G ( s ) H ( s )
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1.已知典型二阶系统的传递函数结构图如下，阻尼系数 ζ ＝0.5，无 阻尼振荡圆频率 ω n ＝5rad/s，它的单位阶跃响应指标各为多少？
R (s )
-
2 ωn C (s ) s ( s + 2ζω n )
2.如图所示系统中，R (s) = N(s) = 选择 K d 使 e ss = 0。
2K 闭环传递函数： Φ ( s ) = 2 s + 2s + 2 K
特征方程为：
s 2 + 2s + 2 K = 0
特征根为： s1, 2 = −1 ± 1 − 2 K
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根轨迹定义（以二阶系统为例，说明用解析法绘制根轨迹的过程）
特征根为： s1, 2 = −1 ± 1 − 2 K [讨论]： K = 5 ① 当K=0时，s1=0,s2=-2, 是开环传递函数的极点 K =1 j1 K =0 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 −1 K = 0 × × −2 0 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1 − j1 ④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j ⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j ⑥ 当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j 有了轨迹图，现在从根轨迹图上，如何对系统的性能进行 评价？ 上述通过直接求解特征根来绘制根轨迹的方法，对于高阶系 统来说，求解工作将是繁重的，因此，有必要寻求其他较为简 便、实用的绘制根轨迹方法。
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根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程
由于Gk ( s )是复数，上式可写成：Gk ( s ) | ∠Gk ( s ) = −1 | 或k g ⋅
∏ | (s + z ) | ∏ | (s + p ) |
j =1 j n j =1 i =1 n i
m
=1
kg s ( s + 1) s = −0.5+ j 2
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= 1， k g = 4.25 ∴
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小结
根轨迹定义 根轨迹的幅值条件和相角条件 180度等相角根轨迹，等增益根轨迹 相角条件的表示，幅值条件的使用 用解析法画根轨迹的方法
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根轨迹分析法--根轨迹的基本概念
kg =0θ
s+1 ⋅ s ⋅
→
kg =∞
j1
A
→
A'
B −1
×
A2
0.5 0 kg =0
×
θA1
kg =∞
复平面上满足相角条件的点应在根轨迹上。上例中，A − j1 点在根轨迹上吗？向量s和s+1的相角分别为θ A1和θ A 2 根据 相角条件(试探法)： → → kg ∠ = −∠s − ∠( s + 1) = −∠ OA− ∠ BA = θ A1 + θ A 2 = ±(2k + 1)π s ( s + 1) θ 显然，只有三角形OAB是等腰三角形时， A1 + θ A 2 = π ，A点在 ' 根轨迹上。 A点显然不在根轨迹上。
我们先以根轨迹增益 k g （当然也可以用其它变量）作为变化量 “ ” 表示根轨迹上的点。 来讨论根轨迹。
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⋅
根轨迹解析法绘制
[例4-1]如图二阶系统，当Kg从0→∞时绘制系统的根轨迹。 kg [解]闭环传递函数： Φ ( s ) = kg R (s ) 2 s + s + kg s ( s + 1) 特征方程和特征根：