哈工大研究生课程-高等结构动力学-第三章4

0.591 0.328 0.591 0.737 2 1 0 0.328 0.737 k 0.737 0.326 0.591 1 2 1 0.591 0.326 0.737 m 0.591 0.737 0.328 0 1 1 0.737 0.591 0.328
代入到拉格朗日方程中 M p p K p x p 0 x k pi 即有 mpi pi k pi xpi 0 i x m pi 在模态坐标下没有刚度耦合和惯性耦合。 正则坐标：设模态振型为
为物理坐标转换为模态坐标下的坐标变换矩阵，
5.模态坐标和模态参数
引入一组新的坐标
x x
p
p1
x p 2 x pn
T
ห้องสมุดไป่ตู้ x x p x pi
n i 1
(i )
物理意义：它是将物理坐标 xi 看作各阶主模态的 线性叠加。
1 T 1 T {x} [ M ]{x} {x p }T []T [ M ][]{x p } 2 2 1 {x p }T [ M p ]{x p } 2 T 1 1 T T V x K x x p K x p 2 2 T 1 x p K p x p 2
xp M xp
T
xt 0 及xt 0
x xp
M
T
两边左乘以 得 T M x T M x
p
M I
x
解耦分析法的解题步骤： 1.首先由系统选取适当的坐标 x列出系统的振动微分方程。 2.用适当的方法（频率方程）求出系统的固有频率及主振 型。由此得到系统的解耦模态矩阵。
1 T M p M ; 3.求主质量和正则模态坐标： M Pi
(3)
得正则模态矩阵：
0.328 0.737 0.591 1 0.591 0.328 0.737 m 0.737 0.591 0.329
正则主刚度矩阵：
T
2k K k 0
k 2k k
0 2 1 0 k k 1 2 1 0 1 1 k
1 (i ) mpi

p
例 上题
1.000 1.000 1.000 1.802 0.445 1.247 2.247 0.802 0.555
T
M p M
2.247 m 0 0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.802 1.000 0.445 0.802 0 m 0 1.802 0.445 1.247 1.000 1.247 0.555 0 0 m 2.247 0.802 0.555
T
M x(0) 得到正则坐标下的初始条件，再代入到式（1）中， 可得到正则坐标下自由振动的解 x ，再代入到（2） 式中去就可得到物理坐标下的自由振动x(t )。
T
p
同理可得
M x0
T
xp (0)
作业：p177:3-26;3-31
4.建立正则模态坐标： x x
p
x 或者 x x
1
p
p
5.将刚度矩阵和比例阻尼矩阵对角化。
K p K ; C p C
T T
将原坐标表示的广义激励变成正则坐标形式： 经过上述变换得到正则坐标下的运动微分方程
作业：3-6，3-8
自由振动的解
x
(i )
i sin(i t i )
(i )
全解为：
x i sin(it i )
(i ) i 1
n
x xp 正则模态坐标－－－－(2)
代入到振动方程中去
第三章 多自由度系统的振动
4.主质量和主刚度
假设 i j
mpi
( i )T
[ M ]
(i )
——主质量
k pi
( i )T
[ K ]
(i )
——主刚度
i
k pi m pi
(1)
(i 1, 2 n)
[] [{}
{}
T
(2)
{}
(3)
{} ]
( n)
[M p ] [] [M ][] m p1 0 0 [M p ] 0 mp 2 0 0 0 mp3
[K p ] []T [ K ][] k p1 0 0 [K p ] 0 k p2 0 0 0 k p3
M p C p x K p x Fp (t ) xp p p
1 1 1 (1) (2) M pi mp 2 mp1


x x ; M
x x ＝0
2 p p
或写成
i 2 x 0 xpi pi
pi x (0)
x x (0) cos(i t ) pi pi
i
sin(it ) (1)
为得到正则坐标下的初始条件，可作变换
xp (0) I {xp (0)} M xp (0)
k1
m1
x1
k2
m2
x2
F (t )
k3
m3
x3
c1
c2
c3
设m1 =m2 =m3 =m，在t0 0,x(0) 0和x(0) 0作用于 m3
上的一个阶跃激励力 F (t ) F (0) 1 2 3 0.05 设各个振型的解耦比例阻尼比 试求系统的瞬态响应。
3-22；3-25
§3.8 多自由度系统的受迫振动
考虑阻尼的作用，阻尼对受迫振动的振幅值的影响是很 大的，假设为粘性阻尼，振动微分方程表示为： x M Cx K x F (t ) 常用的分析方法为解耦分析法（振型分析法） 解耦分析法的核心就是将互为耦合的运动微分方程变成 互不耦合的单自由度的运动微分方程： c11 c12 c1n c c22 c2 n C 21 阻尼矩阵是不存在对角化的。 cn1 cn 2 c
K p K
0 0 0.198 k 0 1.555 0 m 0 0 3.247 k p1 0.198 xp1 0 x m k p 2 1.555 xp 2 0 x m k p 3 3.247 xp 3 0 x m
设为比例阻尼
C M K T T c p C M K T T M K I K p
1 p
p
I ;Fp (t )
T
F (t )
1 ( n) mpn
可以得到n个独立的解耦方程 cpi x 2i x Fpi (t ) pi xpi pi
i 1,2,n
根据事先给定的物理坐标 x的初始条件， 的值。可由 可推导
12 0 0 2 2 0 0 0 0 2 0 n 0 0
2i 设 i 2 2ii 则 i 称为解耦的比例阻尼比 2i
211 0 C p 0 0 2 22 0 0 0 2 nn
解：1.建立系统的运动微分方程。
x 1 0 0 1 c1 c2 m 0 1 0 2 c2 x 0 0 0 1 x3 c2 c2 c3 c3 0 x1 2 1 0 x1 0 c3 x2 k 1 2 1 x2 0 x c3 3 0 1 1 x3 F (t )
现在采用解耦分析的方法 假设 x x
p
代入振动方程得：
x M p C xp K xp F (t )
两边分别乘以
即得 其中

T
得：T M p T C xp T K xp T F (t ) x
M p C p x K p x Fp (t ) xp p p

(t ) T Fp

F (t )
5.用原坐标表示的初始条件变换到正则坐标表示的 初始条件，并代入解耦正则坐标解，求得定常解。 6.再复原，求得原坐标表示的系统的强迫振动响应。 x xp 例
T
xp M x
T
假设为任意激励，则：
x (t ) Aeiit sin(dit i ) p 1
di
Fpi (t ) ii (t ) sin di (t )d e
0
t
di i 1 i 2 求得模态的正则坐标后即可求得

(i )
则有： 1 ( i )T (i ) ( i )T i mpi M M mpi T (i ) i k pi K i 2 i 称 为正则模态，而正则模态对应的模态坐标为 正则坐标,有 x x
2.247 1 1 1 1 1.802 m 1 0.445 0.802 1.802 0.445 1.247 1 1.247 0.555 2.247 0.802 0.555 0 0 9.296 m 0 1.841 0 0 0 2.863
各阶正则振型

(1)

(2)
1 1 0.328 (1) (1) (1) mp1 m 9.296 m 1 0.737 (2) (2) mp 2 m
1 0.591 (3) (3) mp 3 m