不定积分例题及参考答案
高数不定积分例题
不定积分例题
例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ）
A 、x e 2-
B 、2-x e 2-
C 、4-x e 2-
D 、4x e 2-
分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2-
所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2-
答案：B
例2、已知⎰+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ）
A 、x
x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对⎰+=c x dx x xf sin )(两边求导。
得x x xf cos )(=，所以=
)(x f x x cos 答案：C
例3、计算下列不定积分
1、dx x x 23)1(+
⎰ 2、dx x
e e x x x )sin 3(2-+⎰ 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形
解：1、dx x x 23)1
(+⎰dx x x x )12(3
++=⎰ c x x x dx x dx x xdx +-+=++=⎰
⎰⎰22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+⎰dx x
dx e x ⎰⎰+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x
⎰-21
2、dx e e x x ⎰+2)
1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ϕ=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ϕ=求积分。
高数不定积分62道经典例题
高数不定积分62道经典例题
有时，许多学生发现自己在学习不定积分时遇到了困难。不定积分是高数中重要的内容，但它可能有些难懂。为了让学生们能够更加深入地理解不定积分，本文将介绍62道典型的不定积分例题，以帮助大家了解不定积分的概念和方法。
首先，在进行不定积分复习之前，学生们需要了解关于积分的基本知识。积分是用来计算曲线或其他函数下面积的一种数学技术。它可以用来计算从一个曲线下面某一点到另一个曲线下面某一点之间的面积。不定积分是求解不定积分的一种方法，它可以用来解决函数的极限问题。
其次，下面是向大家展示的62道不定积分的例题：
（1）计算cosx dx
（2）计算sinx dx
（3）计算2x^2+3x+1dx
（4）计算∫ex^2dx
（5）计算∫tanxdx
（6）计算∫secx dx
（7）计算sin(2x)dx
（8）计算∫cos2x dx
（9）计算∫(x+1)^2dx
（10）计算∫e^x dx
（11）计算∫cos(2x+1) dx
（13）计算∫e^(-x^2) dx （14）计算∫sin^3xdx
（15）计算∫sin2x dx
（16）计算∫cotxdx
（17）计算∫tan2x dx
（18）计算∫3x+2 dx
（19）计算∫sin(3x+1)dx （20）计算∫tan^2(x) dx （21）计算∫sec^2x dx
（22）计算∫2x+3 dx
（23）计算∫3x^3+2x^2+5x+1dx （24）计算∫(x+1)^3 dx （25）计算∫cos^2x dx
（26）计算∫cos(3x+1) dx （27）计算∫(x+1)(x+2)dx （28）计算∫e^(2x+3)dx （29）计算∫x^3+3x^2+1dx （30）计算∫sin^2(x)dx （31）计算∫cot^2x dx
不定积分例题及参考答案
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)
思路: 被积函数52
x -
=，由积分表中的公式（2）可解。
解：
53
2
2
23x dx x C --
==-+⎰
★(2)dx
⎰
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1
14111
33322
23
()2
4dx x x dx x dx x dx x x C -
-
=-=-=-+⎰⎰⎰⎰
★(3)2
2x x dx +⎰
（）
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2
2
3
2122ln 23
x x
x
x dx dx x dx x C +=+=++⎰
⎰⎰（）
★(4)
3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
3153
22
222
3)325
x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰
★★(5)422
331
1
x x dx x +++⎰ 思路:观察到422
223311311
x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，
分别积分。
解：4223
2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2
2
1x dx x +⎰
思路:注意到22222
111
1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x
不定积分习题和答案
不定积分
（Ａ）
１、求下列不定积分
１）⎰2
x
dx
２）
⎰
x
x
dx
2
３）
dx
x
⎰-2)2
(
４）
dx
x
x
⎰
+2
2
1
５）⎰⋅-
⋅
dx
x
x
x
3
2
5
3
2
６）
dx
x
x
x
⎰2
2sin
cos
2
cos
７）
dx
x
e x)
3
2(⎰+
８）
dx
x
x
x
)
1
1(
2
⎰-
２、求下列不定积分（第一换元法）
１）
dx
x
⎰-3)2
3(
２）
⎰
-
33
2x
dx
３）
dt
t
t
⎰sin
４）
⎰
)
ln(ln
ln x
x
x
dx
５）⎰
x
x
dx
sin
cos６）
⎰-
+x
x e
e
dx
７）
dx
x
x)
cos(2
⎰
８）
dx
x
x
⎰
-4
3
1
3
９）
dx
x
x
⎰3
cos
sin
10）
dx
x
x
⎰
-
-
2
4
9
1
11）⎰
-1
22x
dx
12）
dx
x
⎰3
cos
13)⎰xdx
x3
cos
2
sin
14)
⎰xdx
x sec
tan3
15)
dx
x
x
⎰
+2
3
916)
dx
x
x
⎰
+2
2sin
4
cos
3
1
17)
dx
x
x
⎰
-2
arccos
2
1
10
18)
dx
x
x
x
⎰
+)
1(
arctan
3、求下列不定积分（第二换元法）
１）
dx
x
x
⎰
+2
1
1
２）
dx
x
⎰sin
３）
dx
x
x
⎰-4
2
４）
⎰>
-
)0
(,
2
2
2
a
dx
x
a
x
５）⎰
+3
2)1
(x
dx
６）
⎰
+x
dx
2
1
７）⎰
-
+2
1x
x
dx
８）
⎰
-
+2
1
1x
dx
４、求下列不定积分（分部积分法）
１）
inxdx
xs
⎰
２）
⎰xdx
arcsin
３）⎰xdx
x ln
2
４）
dx
x
e x
⎰-
2
sin
2
５）⎰xdx
x arctan
2
６）
⎰xdx
x cos
2
７）⎰xdx
2
ln
８）
dx
x
x
2
cos2
2
⎰
５、求下列不定积分（有理函数积分）
１）
dx x
x
⎰
+3
3
２）⎰
-
+
+
dx
x
x
x
10
3
3
不定积分的典型例题50题答案
例1． 解法1
).12)(12(1224+-++
=+x x x x x
而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以
)121
121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .
)]12arctan()12[arctan(2
1
1
)12(
)
1221
1
)12(
)
12(21)
21)22(121)22(1[212
2
22c x x x x d x x d dx x dx x +++-=
++++
+--=++
++-=⎰⎰⎰⎰
解法2
dx
x x x x x
x x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242
.
arctan 21)12arctan(21121224
2c x x dx x x
x x dx +++=++++=⎰⎰ 解法3
⎰⎰⎰+-=++=++≠22222421)1
(11111,0x
x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x
x x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()
1
(22
,2
221arctan 21
lim 20π
-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π
=--
→x x x 由拼接法可有
.0
2
221arctan 2100
,2
221arctan 21112242
⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨
⎧<+--=>++-=++⎰x c
x x x x c x x dx x x ππ 例2.
解 将被积函数化为简单的部分分式
(*)1
)1(1)1()1(22
不定积分例题与答案
求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的荃本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和荃本积分公式，査接求出不定积分!
★(1),旅思路：被积函敌|
:,由积分表中的公式(2)可解。 K 77T 八
★⑶思路:根裾不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：j<2x +.K 2Wt = j2,rfA + f.rdv = -L.+lx i +C ★⑷J 仮(.丫-3皿 思酪:根拐不定积分的线性性质，将被积函薮分为两项，分别积分。
J7xU-3)rfv = |x-dv-3jA"dv = ^.v* -2.V-+C
★★⑸『竺上竺旦厶息」廉:观察到3xJ3.E=w+ 1后，根拐不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 丿 ~-V+ 1 ~~.C+ 1
~"*A x 2+1
1 ,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：JI ' 心=j rfv-j ]:心=A -arctan .v+C.
注.容島看出(5)(6)两題的解SI 思绝是一致的• 一般地，如果被积函数为一个有理的假分丈.谨常先将其分解为一个荃或加上或 减去一个真分丈的形丈.再分项积分.
★(7) |(三二+W 心思路:分项积分。
4-~-r^ = J 'z£v -|-^<tv + 3|x 'rfv-4j.t u rfv
★(8)上3 2 思路:分项积分。
■ J< ] 3 - F k£v = 3j J , dx-2jdr = 3arctan .v-2arcsinx + C.
★★⑺j 后眾小思路:皿着看到皿頁=严—“直接积分。
不定积分典型例题
不定积分典型例题
一、直接积分法
直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式. 例1、求 dx x x x ∫−
)1
1(2
解 原式＝ C x x dx x x ++=−∫−41
47
4
54
3474
)(
例2、求 dx e e x x ∫++11
3
解 原式＝ C x e e dx e e x x
x x ++−=+−∫222
1)1( 例3、求 dx x
x ∫
2
2cos sin 1
解 原式 ∫∫∫+=+=dx x dx x dx x x x x 222222sin 1
cos 1cos sin cos sin C x x +−=cot tan 例4、 ∫dx x
2
cos 2 解 原式＝ C x x dx x ++=+∫
2
sin 2cos 1 例5、 dx x
x ∫+2
2
1 解 原式∫∫+−=+−+=dx x dx x x )11
1(11122
2C x x +−=arctan 注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.
二、第一类换元积分法(凑微分法)
C x G C
u G du
u g dx
x x g dx x f u
x ++==
==∫∫∫=)]([)()()(')]([)()(ϕϕϕϕ还原
求出
令凑成
在上述过程中，关键的一步是从被积函数)(x f 中选取适当的部分作为
)('x ϕ，与dx 一起凑成 )(x ϕ的微分 du x d =)(ϕ且 ∫du u g )(易求.
例1、求 ∫
dx x
x
cos tan 解 原式＝ ∫∫
不定积分典型例题
所以
解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，
y (7 25 ) dx 7x 50 x C 。 x
已知当 x=0 时，y=10因00此，有 C =1000，
于是总成本 y 与日产量 x 的函数为 y 7x 50 x 1000。
作业：
P137：5 (2)（5) (10) (15).
解 tan5 x sec3 xdx
tan4 x sec2 x secx tan xdx
(sec2 x 1)2 sec2 xd secx
(sec6 x 2sec4 x sec2 x)d secx
1 sec7 x 2 sec5 x 1 sec3 x C
7
5
3
例14
求 1
1 cos
x
例例1812．2
xx44 11xx22
ddxx
xx14141x1x2211ddxx
((xx22111)1)((xxx2x22211))11ddxx
(x2
1 1 )dx 1
1 x2
3
x3xarctgxC。
例9．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成 本 y 的变化率是日产量 x 的函数 y 7 25 ，已知固定
例2.求 xex21dx
解：观察 xex21 中间变量u=x2+1
不定积分的典型例题50题
例1．dx x x ⎰++1
1
42
例2..)1()1(2
223dx x x x ⎰+++
例3. .)
()1(2424dx x x x x
⎰
++
例4. 828872882815)
1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+ 例5..sin cos 1cos 1dx x
x x
⎰
-++
例6.dx x x 122+⎰ 例8.dx x x dx x ]1111[21112
24++-=-⎰⎰
例9．dx
x
x dx x x ⎰⎰+-+=+11
11 例10．
⎰⎰
⎰---=-+=+)
2
4(cos )24()2
cos(
1sin 12x
x d x dx x
dx πππ
例 11.c
t t
dt
x x dx t
x +=-=-⎰⎰=arcsin 11
2
12
例12．
⎰⎰+=+=,sin cos sin ,sin cos cos 33dx x
x x
J dx x x x I 例13．.11
3
dx x I ⎰
+= 例14．)
1(12arcsin 12arcsin ++=+⎰⎰x d x x dx x x 例15．.1
2
⎰+++=x x x dx I
例16．.cos 2sin 5cos sin 12dx x x x
x ⎰
-+
例17． .sin 3sin 2
⎰+x
xdx
例18．
⎰
⎰+=+x x dx
x dx
22
2cos )2cos 1
(
cos 21 例19．
.
)1ln(1818962
32
66332
3
66c x x x x x dx x
x x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰
不定积分100道例题及解答
不定积分100道例题及解答
不定积分100道例题及解答
1. 问题：计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx
解答：根据不定积分的基本性质，我们可以逐个对各项进行积分。对于x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) =
x^3/3。对于2x，应用常数倍法则得到的积分结果为 x^2。对于常数项1，则积分结果是x。将这三个结果相加，即得到最终的积分结果为
x^3/3 + x^2 + x + C，其中C为常数项。
2. 问题：计算不定积分∫(2e^x + 3x^2) dx
解答：对于2e^x，应用指数函数的基本积分法则得到 2e^x。对于3x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) = x^3/3。将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 2e^x + x^3/3 + C，其中C为常数项。
3. 问题：计算不定积分∫(sin(x) + cos(x)) dx
解答：对于sin(x)，应用三角函数的基本积分法则得到 -
cos(x)。对于cos(x)，同样应用三角函数的基本积分法则得到 sin(x)。将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 -cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数项。
4. 问题：计算不定积分∫(1/x^2) dx
解答：对于1/x^2，可以应用倒数函数的基本积分法则得到 -1/x。因此，最终的积分结果为 -1/x + C，其中C为常数项。
5. 问题：计算不定积分∫(ln(x) + 1/x) dx
解答：对于ln(x)，应用对数函数的基本积分法则得到 xln(x) - x。对于1/x，同样应用倒数函数的基本积分法则得到 ln(x)。将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 xln(x) - x + ln(x) + C，其中C为常数项。
不定积分例题(含过程及解析)
例题1
dx e x x ⎰
+)12( c
e e x dx
e e x x d e e x de x x x x
x x x x
+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()
12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。
例题2
dx xe x ⎰-
c
e xe dx
e e xe dx e xe xde x x x x x x x
++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)
(
x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e
例题3
⎰xdx arctan
c x x x x
d x
x x dx x x x x x
xd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰
⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222
arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。其它的反三角导数是arcsinx ’=211
x -、
arccosx ’=211
x --、arccotx ’=211x +-
例题4
dx x x ⎰2cos 2sin
|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d x
dx x
x dx x
x x -=-===⎰⎰⎰
这里用到二倍角公式，如下：
Sin2x=2sinxcosx
不定积分典型例题
不定积分典型例题
1. 引言
在高等数学中，不定积分是一个重要的概念。它是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。不定积分的概念在微积分学中占据着重要的地位，也是大学数学中必学的重点之一。
2. 不定积分的定义
不定积分的定义是，对于一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，满足F'(x) = f(x)，那么我们称F(x)是f(x)的一个原函数，同时称f(x)是F(x)的导函数。我们可以将f(x)的不定积分表示为∫f(x)dx，也就是F(x) + C，其中C是任意常数。
3. 不定积分的性质
不定积分具有一些重要的性质：
- 线性性：对于任意常数a、b和函数f(x)、g(x)，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
- 逆运算性：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)也是F(x)的一个导函数。
- 加法性：如果f1(x)和f2(x)都有原函数，那么f1(x) + f2(x)也有原函数。
- 常数函数的积分：对于任意常数C，有∫Cdx = Cx + C。
4. 不定积分的求解方法
不定积分可以通过一些特定的方法来求解，这里介绍两种常见的方法：
- 换元法：换元法是利用导数的链式法则来进行替换的。当被积函数中存在复合函数时，可以选择一个内函数，将其与外函数的导数一起带入积分式中，从而达到化简的目的。
- 分部积分法：分部积分法是针对乘积形式的积分式进行化简的。它可以将一个积分式化成两个积分式相减的形式，从而达到简化的目的。
5. 典型例题
下面是一道典型的不定积分例题：
不定积分经典例题
不定积分经典题型，题目经典，不难
4(1)
22
11x d t dt x dx +=+⎰.
(2) 55ln 2
x t
x d t e dt x e dx --=⎰ 5(1)1/2(2)2 64
33
3
4
222
3
3222(1)
(43)(833)3
33d x x x ⎛⎫
==-=- ⎪⎝⎭⎰
2012
22221101
(2)()()()d d d d x x x x x x x x x x x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰
1
2
32233210111111
11163
22332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(1)
5
15173
2
2222
2228
(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+⎰
⎰⎰⎰．
(2) 11322
222(1)12(2)x x x dx dx x x x dx x x
---+==-+⎰⎰⎰
113222
2x dx x dx x dx -
=-+⎰⎰⎰
35
2
242235
x x x C =-++.
(3) 122(2)(2)ln(2)1ln 2
x x x
x
x
x
e e dx e dx e C C e ==+=++⎰⎰.
(4) 235222[25()]25()333
x x x x
x dx dx dx dx ⋅-⋅=-⋅=-⎰⎰⎰⎰ 125225()223(ln 2ln 3)3ln()3
x
x x x C x C ⋅=-⋅+=-+-. (5)
2222
1111
()arctan (1)1dx dx x C x x x x x
高数不定积分题目及答案
高数不定积分题目及答案
高数不定积分是高等数学中的重要概念，也是数学基础知识的重要组成部分。无论学习过
程如何，有了不定积分的概念，我们就能够理解其他数学技术，更好地应用它们。高数不
定积分题目需要考生理解高等数学中重要知识点，如不定积分的定义、它的概念、等变量
求积公式、有理函数和多项式积分等，同时，将这些知识和技术结合在一起，解决实际问题。
以下是高数不定积分的若干例题及答案：
（1）求解：∫1/（x+2)^2dx
答案：-1/(x+2)+c，其中c为任意常数。
（2）求解：∫1/（x^2-1)dx
答案：1/（2x）+1/2ln|x+1|-1/2ln|x-1|+c，其中c为任意常数。
（3）求解：∫x/(x^2+1)dx
答案：1/2ln|x^2+1|+c，其中c为任意常数。
高数不定积分的概念，对于学习高等数学相关知识，有着重要的意义，除了上述的例题外，不定积分的操作还包括了微积分中的定理，如黎曼和符号定积分、牛顿积分定理以及欧拉积分定理，并且还有许多技巧，这些不仅可以降低学习难度，而且也增强对数学概念的理解能力。也就是说，想要学习高等数学，具备一定的不定积分基础知识是不可缺少的。
在数学学习中，除了学习高数不定积分的基本概念、方法和应用，考生还需要加强自己的
推导能力，从而能够在给出的积分问题上利用有效的方法来解决问题。只有在精研和实践中，才能取得良好的效果，这样才能更好地掌握数学中重要的概念和技巧。
不定积分100道例题及解答
不定积分100道例题及解答
摘要：
一、引言
1.介绍不定积分的概念和意义
2.说明不定积分在数学分析中的应用
二、基本公式和性质
1.基本积分公式
2.三角函数的积分
3.指数函数、对数函数的积分
4.多项式的积分
5.有理函数的积分
三、积分方法
1.牛顿-莱布尼茨公式
2.换元法
3.分部积分法
4.三角换元法
5.反三角函数的积分
四、不定积分的应用
1.求解微分方程
2.求解定积分
3.求解极限
4.求解曲线长度
5.求解曲线弧长
五、常见错误和技巧
1.积分公式的正确运用
2.换元、分部积分法的灵活运用
3.注意三角函数、反三角函数的积分
4.避免常见错误
六、100道不定积分例题及解答
1.每道题目给出题目和答案
2.简要分析题目考查的知识点
七、总结
1.不定积分的意义和应用
2.提高不定积分能力的方法
正文：
不定积分是数学分析中的重要内容，它在理论研究和实际应用中具有广泛的意义。本文将从不定积分的概念、基本公式和性质、积分方法、应用、常见错误和技巧等方面进行讲解，最后给出100道不定积分例题及其解答，以供读者学习和参考。
一、引言
不定积分是指对一个函数进行积分，得到一个含有一定未知量的积分结果。在数学分析中，不定积分有着广泛的应用，如求解微分方程、定积分、极限等问题。
不定积分例题及答案
不定积分例题及答案
求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)
2
x
x
思路: 被积函数
52
2x
x x
-
，由积分表中的公式（2）可解。
解：
5
3
222
23x dx x C
x
x
--
=-+⎰ ★(2)
3
(
x dx
x
⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
1
1
4
11
1
333
2223()()24
dx x x dx x dx x dx x x C x
-
-
=-=-=
-+⎰⎰⎰⎰3
x ★(3)22x x dx +⎰
（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
2232122ln 23
x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰
⎰⎰（）
★(4)(3)x x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
3
1
5
3
22222(3)325
x dx x dx x dx x x C -=-=
-+⎰⎰x ★★(5)422
3311
x x dx
x +++⎰
思路:观察到4222
2
331
131
1
x x x x x ++=+
++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42
23
2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C
x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)
2
2
1x dx x +⎰思路:注意到22222
1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：
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第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)
思路: 被积函数52
x -
=，由积分表中的公式（2）可解。
解：
5
3
2
2
23x dx x C -
-
==-+⎰
★(2)dx
-
⎰
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1
14111
33322
23
()2
4dx x x dx x dx x dx x x C -
-
=-=-=-+⎰⎰⎰⎰
★(3)22x x dx +⎰
（）
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2
2
3
2122ln 23
x x
x
x dx dx x dx x C +=+=++⎰
⎰⎰（）
★(4)
3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
3153
22
222
3)325
x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰
★★(5)422
331
1
x x dx x +++⎰ 思路:观察到422
223311311
x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，
分别积分。
解：4223
2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2
2
1x dx x +⎰
思路:注意到22222
111
1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x
=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，
通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x
⎰
34134
（-
+-）2 思路:分项积分。 解：34
11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-
+-）2 223134
ln ||.423
x x x x C --=--++ ★
(8)23(
1dx x -+⎰
思路:分项积分。 解
：2231(
323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰
⎰ ★★
(9)
思路
=？
111
7248
8
x
x ++==，直接积分。
解
：
715
8
88
.15x dx x C ==+⎰
⎰
★★(10)
221
(1)dx x x +⎰
思路:裂项分项积分。 解：
222222
111111
()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x
x x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)21
1
x x
e dx e --⎰ 解：21(1)(1)
(1).11
x x x x x x
x
e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x x
e dx ⎰
思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x
e e =（）。
解：333.ln(3)
x
x
x
x
e e dx e dx C e ==+⎰⎰
（）
（） ★★(13)2cot xdx ⎰
思路:应用三角恒等式“22
cot csc 1x x =-”。 解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰
★★(14)23523
x x
x
dx ⋅-⋅⎰ 思路:被积函数
235222533
x x x
x ⋅-⋅=-（），积分没困难。 解：2
()2352232525.33ln 2ln 3
x
x
x
x x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★(15)2cos 2
x dx ⎰ 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
解：2
1cos 11cos
sin .2222x x d dx x x C +==++⎰⎰ ★★(16)1
1cos 2dx x
+⎰
思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
解：
2
21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ ★(17)cos 2cos sin x
dx x x
-⎰
思路:不难，关键知道“2
2
cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解：
cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x
dx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰
★(18)22
cos 2cos sin x
dx x x
⋅⎰ 思路:同上题方法，应用“2
2
cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。
解：22222222cos 2cos sin 11
cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x
x x x x -==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰ 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰