第五章(第4,5节)多自由度系统的振动
多自由度系统的振动
A(2) 2
cos(2t
2)
v2
A(2) 1
cos
2t 2
系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位 置，以确定的频率和振型作简谐振动。
5.1 两自由度系统的模态
例1 试求图示两个自由度系 统振动的固有频率和主振型。 已知各弹簧的弹簧常量k1＝ k2＝k3＝k，物体的质量m1＝ m，m2＝2m。 解：（1）建立运动微分方程式
频率方程是ω2的二次代数方程，它的两个特征根为
2 1, 2
ad 2
a d 2 (ad bc) 2
a K1 K2 m1
ad
a
d
2
bc
2
2
b K2 c K2
m1
m2
弹簧刚度和质量恒为正数，a，b，c， d的值都是正数
d K1 K2 m2
12 和 22 都是实根
5.1 两自由度系统的模态
uf
(t)
代入运动方程，两边左乘uT
uT Muf (t) uT Kuf (t) 0
即：
f (t) f (t)
uT Ku uT Mu
f (t)+ 2 f (t)=0
f (t) a cos(t ) x(t) ua cos(t )
对于正定系统，只能出现如上式x(t)的同步运动，称为主振动。 13
5.1 两自由度系统的运动微分方程
第六讲--多自由度系统振动-2
2m k
验算[例3.7]主振型的正交性。
解： 1）三个主振型为
0.163
Y(1) 0.569
1
0.924
Y(2) 1.227
1
2.760
Y(3) 3.342
1
2）验算第一正交性
{Y(1)}T [M ]{Y (2)}
00..156639T
2 0
0 1
00 01..292274 m
k33=k/5
k23=-k/5 k13=0
解： 1）求质量矩阵:
2 0 0 [M ] m 0 1 0
0 0 1
2）求刚度矩阵:
20 5 0
[K
]
k 15
5 0
8 3
3 3
3.3.2 刚度法
3）求频率
由频率方程：K 2 M 0
20 2 5 0
k 5
8 3 0
15
0
3 3
其中: 15m 2
Y(1) 0.569
1
0.924
Y(2) 1.227
1
3）验算第二正交性
0.163T 20
{Y(1)}T [K ]{Y(2)} 0.569
1
k 15
5 0
0.0003k 0
2.760
Y(3) 3.342
1
多自由度振动
若给系统的位形一虚位移δq，那么，根据定义，虚位移必定在约束面上，即 φ k (t , q1 + δq1 , q 2 + δq 2 , L , q λ + δq λ ) = 0 将式（4-2）按泰勒级数展开，得到 φ k (t , q1 + δ q1 , q 2 + δ q 2 , L , q λ + δ q λ ) = φ k (t ; q1 , q 2 , L , q λ ) + ∂φ k ∂φ ∂φ δq1 + k δq 2 + L + k δq λ + 高次项 q1 q2 ∂q λ ( k = 1, 2, L , m) (4-3) ( k = 1, 2, L , m) (4-2)
(i = 1, 2, L, n)
(4-21)
拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。 图 4-2 所示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为 k，摆的质量为 m， 摆长为 l。试用拉格朗日方程求出系统的运动方程。
N
1 & 2 是系统的动能。 mjR j 2
将式（4-15）代入式（4-14）中，得到 δ
∫
t2 t1
(T + A)dt = 0
(4-16)
这就证明了泛函驻值形式的变分原理——哈密顿原理。 若系统的主动力有势，则式（4-16）可写成
热力学与统计物理第五章知识总结
热⼒学与统计物理第五章知识总结
§5.1 热⼒学量的统计表达式
我们根据Bolzman分布推导热⼒学量的统计表达式
⼀、配分函数
粒⼦的总数为
令（1）
名为配分函数，则系统的总粒⼦数为
（2）
⼆、热⼒学量
1、内能（是系统中粒⼦⽆规则运动的总能量的统计平均值）
由（1）（2）得
（3）
此即内能的统计表达式
2、⼴义⼒，⼴义功
由理论⼒学知取⼴义坐标为y时，外界施于处于能级上的⼀个粒⼦的⼒为则外界对整个系统的⼴义作⽤⼒y
为
（4）
此式即⼴义作⽤⼒的统计表达式。⼀个特例是（5）
在⽆穷⼩的准静态过程中，当外参量有dy的改变时，外界对系统所做的功
为（6）
对内能求全微分，可得
（7）
（7）式表明，内能的改变分为两项：第⼀项是粒⼦的分布不变时，由于能级的改变⽽引起的内能变化；地⼆项是粒⼦能级不变时，由于粒⼦分布发⽣变化⽽引起的内能变化。
在热⼒学中我们讲过，在⽆穷⼩过程中，系统在过程前后内能的变化dU等于在过程中
外界对系统所作的功及系统从外界吸收的热量之和：
（8）
与（6）（7）式相⽐可知，第⼀项代表在准静态过程中外界对系统所作的功，第⼆项代表在准静态过程中系统从外界吸收的热量。这就是说，在准静态过程中，系统从外界吸收的热量等于粒⼦在其能级上重新分布所增加的内能。热量是在热现象中所特有的宏观量，它与内能U和⼴义⼒Y不同。
3、熵
1）熵的统计表达式
由熵的定义和热⼒学第⼆定律可知
（9）
由和可得
⽤乘上式，得
由于引进的配分函数是，的函数。是y的函数，所以Z是，y的函数。
LnZ的全微分为：
因此得
（10）
从上式可看出：也是的积分因⼦，既然与都是的积分因⼦，我们可令
机械动力学第三章——多自由度振动-无阻尼振动
13
无阻尼自由振动
每个模态对应一个特解：
r ,[ A ] ( r ) [ x ] ( r ) [ A ] ( r ) s i n (r t r )
那么通解可以表示为：
[ x ] c 1 [ x ] ( 1 ) c 2 [ x ] ( 2 ) c n [ x ] ( n )
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) r 2 [ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s )
对于ωs： s 2 [m ][A ](s) [k ][A ](s) 0
[ A ] ( r ) T [ k ] [ A ] ( s ) s 2 [ A ] ( r ) T [ m ] [ A ] ( s )
0 0 m 0 k 3k
7
4.3 无阻尼自由振动，特征值问题
m 0 0 3k k 0 [m]0 m 0,[k]k 2k k
0 0 m 0 k 3k
特征方程：
(2)[k]2[m]0
3km2 k
0
k 2km2 k 0
0
k 3km2
解得： 1 k /m , 2 1 .7k 3 /m ,23 2 k /m
多自由度系统振动
姓 名: 何江波 学 院: 机械工程学院 邮 箱：445875183@qq.com
结构动力学之多自由度体系的振动问题
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当 计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的 刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。
层间侧移刚度如图。δ=1/k 质量集中在楼层上， 例2： δ31 m δ32=4δ k m 2m
δ33=9δ δ23=4δ
P=1
5 k 3
自振频率和振型的计算
m1 y1(t) m2 y2(t) mi yi(t) mn yn(t)
振动力学［PDF］
第四章多自由度系统的振动
4.1多自由度系统运动方程的建立4.2 耦合与坐标变换
4.3 固有频率和主振型
4.4振型矩阵、主坐标和正则坐标4.5 固有频率相等的情况
4.6 固有频率为零的情况
4.7 无阻尼系统对初始条件的响应4.8 无阻尼系统对任意激励的响应4.9 多自由度系统的阻尼
4.10 有阻尼系统的响应
4.11 一般粘性阻尼系统的响应
一般粘性阻尼系统的响应
i n
j n
j j j i j j i n
j j j i ==•
=••11
1i n j n j j j i j j i n j j j i Q q k q c q m =++∑
∑
∑
==•=••111•••[][]{}
[]{}{}Q q k q c q m =++⎭
⎬⎫⎩⎨⎧•••nn n n n n 21
2222111211212222111211nn n n n n 2122221112
11212222111211nn n n n n 2
122221112
11212222111211••••••n 11•••
n 11n 11n 11
i
n
j n
j j j i j j i n
j j j i ==•
=••
1
1
1
i n j n j j j i j j i n j j j i P x k x c x m =+
+
∑
∑
∑
==•=••111•
••
[][]{}
[]{}{}P x k x c x m =++⎭
⎬⎫⎩⎨⎧•••n 2121•
i ••i
1
m 12
m 23
m 3i
i •i i Q q D
q T =∂∂+∂∂•
1
m 12
m 23
m 32
22
《机械动力学》教学大纲
机械动力学》教学大纲
大纲说明
课程代码： 333048
总学时： 40 学时（讲课 36 学时，实验 4 学时）
总学分： 2.5 学分 课程类别：考试 适用专业：机械设计制造及其自动化专业（本科） 预修要求：《工程力学》 一、课程的性质、目的、任务： 机械动力学是机械设计制造及自动化专业的主干技术基础课之一。本课程主要讨论机械振动的基本理 论，建模方法与分析计算方法。旨在培养学生分析、解决一般机械系统和工程结构振动的能力。通过本课 程的学习，要求学生掌握机械系统振动的基本理论，并能分析和解决工程有关振动的问题。 二、关于教学方法和教学手段的建议：
本课程的教学中，可采用工程应用软件对系统进行仿真，进行多媒体教学，帮助学生理解。
大纲正文
第一章 绪论
第一节 机械动力学的研究内容 第二节 工程中的机械动力学问题 第三节
机械动力学的研究方法 要点 ：机械动力学的研究内容 重点 ：机械动力学的正问题和逆问题 难点 ：结构动态分析
学时： 4 学时（讲课 4 学时）
第一节 振动的分类 第二节 振动的表示方法 第三节
简谐振动的基本性质 第四节 周期振动的谐波分析 第五节
机械振动系统的动力学模型
要点 ： 机械振动的分类及其表示方法和性质 重点： 机械系统的三大要素即三大动力学模型
难点： 机械振动的各种表示方法
学时： 2 学时（讲课 2 学时）
第二章 机械振动基础
第三章 单自由度线性系统的自由振动 第一节 振动系统的简化及其模型
第二节 单自由度线性系统的运动微分方程 第三节 无阻尼自由振动 第四节 阻尼自由振动 要点 ：动力学运动方程
机械振动学总结全
机
械振动学总结 第一章 机械振动学基础
第二节 机械振动的运动学概念
第三节
机械振动是种特殊形式的运动。在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t 变化的规律。用函数关系式
来描述其运动。如果运动的函数值，对于相差常数T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期
函数
来表示，则这一个运动时周期运动。其中T 的最小值叫做振动的周期，T
f 1=定义为振动的频率。简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动
物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为
式中：A 为振幅，T 为周期，ϕ和ψ称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度ω称为简谐振动的角频率
简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t 的一阶和二阶导数，即
可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。因此在物体运动前
加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。这
是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。图P6
旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率ω
若用复数来表示，则有)sin()cos()
(ψωψωψω+++==+t jA t A z Ae z t j
用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。因为复指数t j e ω对时间求导一次相当于在其
前乘以ωj ，而每乘一次j ，相当于有初相角2
振动理论-多自由度
i
例3：用拉格朗日方程建立两集中质量系统的运动方程（例1图）
1 1 T = m1 x12 + m2 x22 , 2 2 1 1 2 1 1 2 U = k1 ( x1 − x2 )2 + k2 x2 = k1x12 − k1x1x2 + (k1 + k2 ) x2 2 2 2 2
x P D][ M ] x + [ D][ K ]{ x} = [ D]{ P}KK,{ x} = 1 ,{ P} = 1 [ x2 P2
[ D][ M
{} ] { } [ ]{ }
x + I x = [ D]{ P}
上式称为系统运动的位移方程。对于梁、轴等类型的系统，其 柔度影响系数 dij 可以直接应用材料力学的公式求得，因此用 位移方程的形式来建立系统的运动方程就甚为方便，举例。
代入动能计算式，并在平衡位置处进行级数展开，忽略高阶项 （过程略）得到动能二次型表达式：
2 2 2 1 T = (m11 q1 + m22 q 2 + LL + mnn q n + 2m12 q1 q2 + 2m13 q1 q3 + LL + 2mn −1,n qn −1 qn ) 2
大学物理 第五章机械振动习题集答案
一、选择题
B C D A B B B B B A 二、填空题
2
2121221. cos() , cos() ;
23
2 2. 100; 3. A -A , (A -A )cos()
2
x A t x A t T T t T ππππ
πππ=-=++ 三、计算题 1、解：
322322
0.09(-)0.0100,, 0.01cos()
33
gl gl b b m gl b x gl gl x A m t x A v k gl x t ρρρρρϕπ
ρωπ'=⇒=''-=-⇒===-=⇒='=⇒==⇒=+设物体在平衡位置时被浸没深度为b ，则物体受合外力F=物体作简谐振动当物体全被浸没时可知时，令简谐振动方程2、解：
2
22
2
22221d sin sin 2d 1sin 3
d 1d 300d 2d 22π
M Mgl kl J t
J Ml l Mg kl Mg kl t J t Ml T θθθθθθθθθθθθ=--=≈=⎡⎤
+=⇒+=⎢⎥⎣⎦
⇒=当杆向右摆动角时,重力矩与弹力矩均与相反，有
很小，，，
（+2）（+）
3、解：
设物体平衡时两弹簧分别伸长X 1， X 2由物体受力平衡得：
11221212222111221112121
2
1212sin (1)
x sin sin (2)(1)(2) (3), mg k x k x x x x x x x F mg k x x mg k x x F k x k x F
F
x x x x x k k k k F x kx k k θθθω==''''
=+''=-+=-+''=-=-''''
第五节振型向量正交性
举例说明什么是耦合与解耦。
A
yA
A
k1
l1
A
k1yA
mg
y
yC
C.
C
如图所示是一刚性杆 AD，用刚度分别为k1 和k2 的弹簧
支承与 A、D 两端。
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
《机械振动》张义民—第5章第9、10、11节ppt
例5.9-1 考虑图5.9-1所示系统，在系统上作用 有激励向量F(t)=[0 F0u(t)]T，u(t)为单位阶跃函数。 求在零初始条件下系统的响应。
解：系统的运动微分方程
1 m 0
0 2
q1 q2
k
2 1
1 q1
2
q2
0
F0u
t
为了用振型分析方法求解，
首先要解特征值问题，得
sin
1t
1
1
2
12
0.044658122
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
2 2
可见，由方程(5.9-14)得到的解，包含由外加激励 作用于系统引起的稳态响应和瞬态响应。当存在 阻尼时，瞬态响应将很快衰减。若只考虑强迫振
动的稳态响应，则只取sint项。
5.10 多自由度系统的阻尼
F0 1
m 2
t 0
sin
sin
1
t
d
0.325057
F0
22
m
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
最后，得
q1t
F0 m
0.455295112
sin
t
1
sin
1t
1
1
第5章--两自由度系统的振动
系统的振型图如图5-4所示。图(a)表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A点是不动的，这样的点称为节点。
例5-2在图示5-3所示系统中，已知 ，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm， ；（2） 。
(5-5)
保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即
展开后为
(5-6)
式(5-6)唯一确定了频率 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是 的二次代数方程，它的两个特征根为
(5-7)
由于式(5-7)确定的 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。
由式(5-18)可得
(5-19)
这说明对于确定的激振力的幅值和频率，振幅比同样是确定值，也就是说系统有确定的振型。
当干扰力的频率 等于第一阶固有频率时，
将方程(5-8)第一式中 的分子分母同乘以 的分子分母同乘以f1，根据比例式相加法则得到
同理，当＝p2时，则有 。这表明，系统在任何一个共振频率下的振型就是相应的主振型。振动测量中常利用这一规律来测量系统的固有频率，并根据共振时系统的振动形态来判断该固有频率的阶次。
5.2
结构动力学-5节
令
mω2 X1 m2ω2 X2 1
m 1
X1
m2
m2 f12 =0 2 f22m2 −1/ ω
l /3
EI X2 l /3 l /3
1 λ= f11m1ω 2
1− λ f21 / f11
2
f12 / f11 =0 1− λ
2
EI ω1 = 5.692 ml3 EI ω2 = 22.045 ml3
mnω Xn
2
mn
Xn
k11X1 + k12 X2 +⋯k1n Xn = mω2 X1 1 k21X1 + k22 X2 +⋯k2n Xn = m2ω X2
2
m2ω X2
2
m2 m1
X2
X1
⋯ ⋯ ⋯ kn1X1 + kn2 X2 +⋯knn Xn = mnω2 Xn
([k] −ω2[m]){X} = {0}
解频率方程得两个正根
1 k11 k22 1 k11 k22 2 k11k22 − k12k21 ω = ( + )∓ ( + ) − 2 m1 m2 4 m1 m2 m1m2
2 1, 2
ω1 称作第一频率，也称作基本频率; 称作第一频率，也称作基本频率;
ω2称为第二频率或高阶频率. 称为第二频率或高阶频率.
机械振动学 第五章_两自由度系统振动(讲)
第五章两自由度系统振动
§5-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。①汽车动力学模型：
图3.1两自由度汽车动力学模型
§5-2 两自由度系统的自由振动
一、系统的运动微分方程
②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为k 1和
k 2，质量为m 1、m 2。质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位
置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：
()()⎭
⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k x
m （3.1）
令
2
2
12121,,m k c m k b m k k a =
=+=
则（3.1）式可改写成如下形式：
()()⎭
⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k x
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5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解初始条件响应的方法
●一般来说，式 (5.4-1) 是耦合 ( 弹性耦合或惯性耦 合 ) 方程，这样在给定 2n 个初始条件下，要求解联立方 程组。 ●显然理想的情况是把方程解耦，使每一个方程中 只有一个待求的坐标，方程之间无耦合，如同单自由度 系统一样，每个方程可以独立求解。
q t uη t
代入系统的运动微分方程，并用正则振型矩阵的转置 uT 左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为 t Λη t 0 η
r t r2r t 0
r 1, 2, , n
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
特征值问题为
特征方程为 2 2 k m k 2 2 4 2 2 2 m 6 km 3 k 0 2 k 2k 2 m 求得固有频率为
3 1 k k 1 1 0.796226 2 m 3m 3 1 k k 2 1 1.538188 2 m 3m
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
由此得正则化振型为 1 0.459701 1 0.888074 1 2 u , u m 0.627963 m 0.325057 组成系统的振型矩阵u，有 取u为坐标变换矩阵，即
1 2 u22 u u 22
Kq 0 Mq
k 2 2k k k2 k3 k 2k
式中
k1 k2 m1 0 m 0 M , K 0 m2 0 2m k2
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
mv0 1 0.459701 k q t 0.577350 sin 0.796226 t m m 0.627693 k mv0 1 0.888074 k 0.577350 sin1.538188 t m m 0.325057 k 0.265408 m k v0 sin 0.796226 t m 0.362555 k 0.512730 m k v0 sin1.53818 8 t m 0.187672 k
n
r
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
1
其中
1
u
1 T
0 Mq
T
2
1 1 0.459701 m 0 v0 0 0.627963 0 2 m 0.796226 k m m mv0 0.577350 k 1 2 T 0 u Mq
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
其解为
正则坐标向量和原坐标向量的初始条件变换关系为
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r
r T
(r 1, 2, , n)
r0 u
Mq0 ,
r T 0 (r 1,2,, n) r0 u Mq
●前面已经阐述了方程的耦合不是系统本身固有的 属性，而是由坐标系的选择所决定的。
●借助于固有振型或正则振型进行坐标变换，就可 以找到使方程解耦的一组广义坐标，避免求解联立方程， 这就是振型叠加法的长处。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
解方程 (5.4-1)的特征值问题，求得系统的振型矩阵 u，取u为坐标变换矩阵，可以将方程(5.4-1)解耦。令 q t uξ t (5.4-2) 称(t)为固有坐标向量。 将式(5.4-2)代入方程(5.5-1)后，得 用uT左乘方程两边，得
Ku Mu
2
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
为了求出固有振型，把固有频率代入特征值问题，有 2k r2mu1r ku2r 0
r ku1 r 2k 2 r2 m u2 0 解得固有振型为 1 1.000000 2 1.000000 u , u 1.366025 0.366025 为了确定系统对初始条件的响应，还需把振型向量进行 正则化。为此，假定正则化振型向量具有如下形式
0 q 0 来 度，它由给定的原坐标的初始条件q(0)=q0和 q 确定。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
由式(5.4-4)得
(5.4-8) 为了避免求逆矩阵的繁琐运算，可以在方程 (5.4-4)两边 同时左乘uTM，有
η t u1q t
uT Mq t uT Muη t
(5.4-9) 这里必须注意的是 u 为正则振型矩阵。这样正则坐标向 量的初始条件为
q t uη t
T
η t u Mq t
η0 uT Mq0 ,
0 uT Mq 0 η
(5.4-10)
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
r0初始速度可以表示为 所以正则坐标的初始位移r0和
2 r r
(5.4-6)
由此可见，由固有坐标和正则坐标表达的运动微分方程 (5.4-3) 和 (5.4-5) 在形式上与单自由度系统是一样的，所 以应有与无阻尼单自由度系统自由振动方程相类似的解， 即
r 0 r t r 0 cos r t sin r t (r 1,2,,n) (5.4-7) r r 0(r=1,2,…,n)为正则坐标的初始位移和初始速 式中r0和
u
r 1
r
(5.4-12) 上 式 表 达 了 系 统 对 初 始 位 移 向 量 q0 和 初 始 速 度 向 量 q 0 的响应，是由 n个简谐运动叠加而成。
r T 1 r T u Mq0 sin r t u Mq0 cos r t r
t kuξ t 0 Muξ
由正交性得解耦的方程为
t uT kuξ t 0 uT Muξ
t K ξ t 0 Mr ξ r
(5.4-3)
式Mr为模态质量矩阵，Kr为模态刚度矩阵，它们都是对 角矩阵。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
振型叠加法总结
振型叠加法： ●采用振型矩阵作为坐标变换矩阵； ●将原广义坐标下耦合的运动微分方程变换 为固有坐标或正则坐标表示的相互独立的运动微 分方程； ●广义坐标的响应是固有坐标或正则坐标表 示的各阶固有振型的线形组合； ●振型叠加法的理论基础为展开定理。
求解公式的推导
若取正则振型矩阵u为坐标变换矩阵，有
q t uη t
(5.4-4)
称(t)为正则坐标向量。
同样将式 (5.4-4) 代入方程 (5.4-1) 后，并用正则振型 矩阵的转置uT左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程 为 t Λη t 0 η (5.4-5)
Mu
2
1.000000 0.366025 2 1.267949m 2 1
2 2
T
m 0 1.000000 0 2m 0.366025
0.888074 2 m
得到常数
0.459701 1 , m
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
式中 uTMu=I为单位矩阵，uTKu=为对角元素是各阶固 有频率平方的对角矩阵。 ●正则坐标下的运动方程具有单位模态质量矩阵和 由n阶固有频率平方组成的模态刚度矩阵。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
把方程(5.4-5)写成分量的形式为
r t t 0 (r 1,2,,n)
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
自由振动初始条件的响应
系统自由振动的微分方程是 n 个二阶的常微 分方程组，其矩阵形式为 t kq t 0 (5.4-1) Mq
式中q(t)为广义坐标qi(t)(i=1,2,…,n)的向量。 如 果 给 定 2n 个 初 始 条 件 ( 即 初 始 位 移 向 量 0 q 0 ) ，就完全确 q(0)=q0和初始速度向量 q 定了方程的一组特解，这组特解就是系统对初始 条件的响应。 数学上称这类问题为微分方程组的初值问题。
由此多自由度系统对于初始条件的一般响应为 q t uη t
r T 1 r T 0 sin r t u u Mq0 cos r t u Mq r r 1 根据初始条件q1(0)=q2(0)=0， q q 2 0 0 ，所以响 1 0 v0， 应为 2 r 1 r T 0 sin r t q t u u Mq r 1 r
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
事实上，根据正则化方法，有
u
1 T
1.000000 m 0 1.000000 Mu 1.366025 0 2m 1.366025 2 4.732049m1 1
1
2 1
T
u
2 T
1.000000 u 1 , 1.366025 式中1和2为待定常数。
1
Fra Baidu bibliotek
u
2
1.000000 2 0.366025
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
第一阶主振型
第二阶主振型
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.5-1)
例5.4-1 考虑图5.4-1所示的两自由度系统。 q q 1 0 v0 ， 2 0 0， 若给定初始条件q1(0)=q2(0)=0， 求系统的响应。 解：系统的运动 微分方程为 m1q 1 k1 k2 q1 k2 q2 0 m2 q 2 k2 q1 k2 k3 q2 0 图 5.4-1 写成矩阵形式为
1 1 0.888074 m 0 v0 1.538188 k m m 0.325057 0 2m 0 mv0 0.577350 k
T
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
于是，得其响应为
r0 u
r T r T 0 Mq0 ,r0 u Mq
(r 1,2,, n) (5.4-11)
由式(5.5-4)求出原坐标q(t)的普遍表达式为
q t uη t
n
u r t u
r
r 1 n r 1
n
r
r0 sin r t r0 cos r t r
5.5 瑞利(Rayleigh)商
瑞利商法的提出意义
●在有些情况下，并不需要知道特征值问题的全部 解，而只要估算系统的固有频率，特别是求出基频就足 够了，这种估算可以用瑞利商法来实现。 设r和u(r)(r=1,2,…,n)为特征值问题的全部解，即满 足 r r 2 r Mu Ku , λr r (r 1,2,, n) (5.5-1)