【中考备战策略】2014中考数学总复习 第4讲 分 式课件 新人教版
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2024年中考数学总复习课件第一部分第一章：4 分式
2.解答分式的化简求值题时应注意： （1）一定要先化简，再求值，否则不得分； （2）分式的分子要作为一个整体，在去括号的时候，若括号前为负号，则括号内每一项都要变号； （3）除法运算一定要转化为乘法运算后再运算，如果分子、分母是多项式，可先将分子、分母因式分解，再进行运算； （4）开放性的字母取值时，不能使原分式及化简过程中出现的分式的分母为0.体验4 已知，则代数式的值为__．
类型三 分式的化简求值
例3 [2023·张家界] 先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数作为值代入求值．
解：原式.. 原式．
解法归纳 分式化简求值的类型：①条件求值——先化简，再直接将字母的值代入求值；②换元法求值——将原条件通过转换，用其中一个字母表示另外一个字母，然后代入式子中，从而消去其中一个字母，最后进行化简求值；③整体代换求值.注意字母的取值应当使分式有意义.
②
③
（2） 请选择一种解法，写出完整的解答过程．
解：选择乙同学的解法．．
解法归纳 进行分式的混合运算时，要注意以下各要点：①分清运算级别，按照 “从高到低，从左到右，括号从小到大”的运算顺序进行；②将各分式的分子、分母分解因式后再进行运算；③除法运算一般先化成乘法运算；④最后的结果要化简．在运算过程中要严格遵循算理、算法．
类型一 分式的加减运算
例1 计算：．
解：原式．
解法归纳 进行分式的加减运算时，要先观察各分式的分母，看看它们是否相同，若不相同，先要通分，将其转化为同分母分式相加减.分式与整式相加减，一般要将整式转化为分式，再进行加减运算.
类型二 分式的混合运算
例2 [2023·江西] 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
第一部分 基础梳理
第一章 数与式
类型三 分式的化简求值
例3 [2023·张家界] 先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数作为值代入求值．
解：原式.. 原式．
解法归纳 分式化简求值的类型：①条件求值——先化简，再直接将字母的值代入求值；②换元法求值——将原条件通过转换，用其中一个字母表示另外一个字母，然后代入式子中，从而消去其中一个字母，最后进行化简求值；③整体代换求值.注意字母的取值应当使分式有意义.
②
③
（2） 请选择一种解法，写出完整的解答过程．
解：选择乙同学的解法．．
解法归纳 进行分式的混合运算时，要注意以下各要点：①分清运算级别，按照 “从高到低，从左到右，括号从小到大”的运算顺序进行；②将各分式的分子、分母分解因式后再进行运算；③除法运算一般先化成乘法运算；④最后的结果要化简．在运算过程中要严格遵循算理、算法．
类型一 分式的加减运算
例1 计算：．
解：原式．
解法归纳 进行分式的加减运算时，要先观察各分式的分母，看看它们是否相同，若不相同，先要通分，将其转化为同分母分式相加减.分式与整式相加减，一般要将整式转化为分式，再进行加减运算.
类型二 分式的混合运算
例2 [2023·江西] 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
第一部分 基础梳理
第一章 数与式
【中考备战策略】2014中考数学(人教版)总复习课件：专题六 综合型问题
理解：如图①，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的中 线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且 S△ACD＝S△BCD.
应用： 如图②， 在矩形 ABCD 中， AB＝4， BC＝6，
点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上，AE＝BF，AF 与 BE 交于点 O.
(1)求证：△ AOB 和△ AOE 是“友好三角形”； (2)连接 OD， 若△AOE 和△DOE 是“友好三角 形”，求四边形 CDOF 的面积．
考点三 运动型问题 例 3 (2013· 襄阳 )如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋ c 与 x 轴的一个交点 A 的坐标为(－1,0)，对称轴为直线 x＝－ 2. (1)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； (2)点 D 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是抛物线上 的另一点．已知以 AB 为一底边的梯形 ABCD 的面积 为 9，求此抛物线的解析式，并指出顶点 E 的坐标；
温馨提示 解答阅读理解型题的关键在于阅读，核心在于理 解，目的在于应用 .解题的策略是：理清阅读材料的脉 络，归纳总结重要条件、数学思想方法以及解题的方 法技巧，构建相应的数学模型来完成解答 .
2．解图表信息题关键是“识图”和“用图”．解 题时，要求通过认真阅读、观察和分析图象、图形、 表格来获取信息，根据信息中数据或图形的特征，找 出数量关系或弄清函数的对应关系，研究图形的性质， 进行推理、论证、计算，从而解决实际问题．图表信 息问题往往出现在“方程 (组 )、不等式 (组 )、函数、统 计与概率”等知识应用题中，审题时注意把握图表中 的信息．
∴S△AOE＝S△FOB，∴S△AOD＝S△ABF. ∴S
四边形
CDOF ＝ S
矩形
1 ABCD － 2S△ABF ＝ 4×6 － 2× 2
【中考备战策略】2014中考数学(人教版)总复习课件：26解直角三角形及应用
4．方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标 方向线所成的角叫做方位角．
考点一
解直角三角形
例 1(2013· 上海)如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC 3 ＝8, tan C＝ ，如果将△ABC 沿直线 l 翻折后，点 B 落 2 在边 AC 的中点处， 直线 l 与边 BC 交于点 D， 那么 BD 的长为________．
2 2
3．解直角三角形的类型 已知条件 两直角边 (如 a，b) 解 法
a 由 tan A＝b， 求∠A； ∠B ＝90° －∠A； c＝ a2＋b2 a 由 sin A＝c ， 求∠A； ∠B ＝90° －∠A； b＝ c2－a2
斜边、一直 角边(如，b) 一锐角与对 边(如∠A，a)
考点二
解直角三角形的应用
1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平 线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫做仰角， 在水 平线下方的角叫做俯角．
2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度 h 和 水平距离 l 的比叫做坡度(或坡比)，即 i＝tan α＝ h ，坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角． l
考点三 锐角三角函数的应用 例 3 (2013· 天 津 ) 天塔是天 津市的标 志性建筑 之 一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，
如图，他们在点 A 处测得天塔的最高点 C 的仰角 为 45° ，再往天塔方向前进至点 B 处测得天塔的最高点 C 的仰角为 54° ，AB＝112 m．根据这个兴趣小组测得 的数据，计算天塔的高度 CD.(tan 36° ≈0.73，结果保留 整数) 【点拨】本题考查锐角三角函数的应用，仰角、俯 角问题，是常见的类型．
解
法
∠B＝90° －∠A； b a＝b· tan A；c＝ cos A ∠B＝90° －∠A； a a b＝ ；c＝ tan A sin A
【中考小复习】2014届新人教版七年级下全册复习配套课件
阶段综合测试二(期末一) 针对训练卷 针对第4题训练
2 1 利用乘法公式计算 199 ³200 的结果为( A ) 3 3 1 A．40000－ 9 1 C．40000－ 3 1 B．40000＋ 9 1 D．40000＋ 3
针对第7题训练
若 a＋b＝8，ab＝9，则代数式 a2－3ab＋b2 的值是( C ) A．55 B．37 C．19 D．11
数学·浙江版（ZJ）
第三章 | 过关测试针对训练卷
理由：左边＝(10a＋b)³[100b＋10(a＋b)＋a]
＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)
＝(10a＋b)(110b＋11a) ＝11(10a＋b)(10b＋a)， 右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]³(10b＋a) ＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)
第三章 | 过关测试针对训练卷
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对
称等式”： ①52³________＝________³25；
②________³396＝693³________．
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b， 且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a， b)，并说明理由．
二次三项式 x2 － kx ＋ 9 是一个完全平方式，则 k 的值是
±6 ． ________
针对第19题训练
计算下列各题： (1)39³19－39³33；
解： 39³19－39³33＝39³19－39³9＝39³(19 －9)＝390.
数学·浙江版（ZJ）
第三章 | 过关3 (2) ； 20053＋20052－2006
数学·浙江版（ZJ）
阶段综合测试一（月考）针对训练卷
中考数学课件：第4课时 分式
加减 法
异分母:先通分，再按 同分母分式加减法法 则进行运算
f u fv g v __g_v_
ug fv ug gv gv
乘法 除法
两分式相乘：分子与 分子相乘，分母与分 母相乘 分式A÷B等于A·1 , 然后用分式乘法法B则
进行运算
f ?u gv
f ×u g ×v
f ? u f ?v g v gu
化简：
a2 +a - 6 缸a2 +6a +9 2a2 - 8a +8 2a - 4
(a - 2).
原式
=
(a +3)(a - 2) 2(a - 2)2
缸(a +3)2 2(a - 2)
(a - 2)
··········第一步
a +3 (a +3)2
=
?
······················第二步
2(a - 2) 2
a +3
2
=
2(a -
? 2)
(a +3)2
······················第三步
=
1
(a - 2)(a +3)
····························第四步
上述解法是第__二___步开始出现错误的，请写 出正确的解题过程：
解：原式
=
(a +3)(a - 2) 2(a - 2)2
5. 通分：把几个异分母的分式化成同分母 的分式的过程，叫作分式的通分.
6. 最简公分母：一般取各分母的所有因式 的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称 为最简公分母.
考点2 分式的运算(高频考点)
(新课标)2014届中考数学复习方案_第4单元_三角形课件_新人教版
n （ n － 1） 从一点出发的n条射线可组成__________ 个角 2 n （ n － 1） 2 n条直线最多有______________ 个交点
3
4
个数
数直线交 点的个数 数直线分 平面的份数
考点聚焦
5
平面内有 n条直线，最多可以把平面分成 2
n ＋n ＋2 ______________ 部分 2
20.5°＝20°________ 30′ ； (3)一个角的补角是36°5′，则这个角是_________ ． 143°55′
考点聚焦 归类探究
第16课时┃几何初步及平行线、 相交线
解 析 (1)根据度、分、秒之间的换算关系，
进行运算． (2) 注意角的度数之间的进率是 60 而不是 10，这 是容易出错的地方． (1)∵30′＝0.5°，
线______ 平行 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条 平行 直线也互相________
考点聚焦
归类探究
第16课时┃几何初步及平行线、 相交线
同位角相等，两直线平行
平行线的 判定
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
平行线的 性质
两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
2．三角形的中位线．
例2
[2013· 昆明 ]如图17－1，在△ABC中，点D，E分
归 类 探 究
探究一 三角形三边的关系 命题角度：
1. 利用三角形的三边关系判断三条线段能否组成三角形； 2. 利用三角形的三边关系求字母的取值范围；
3. 三角形的稳定性．
例1 [2012· 长沙 ]现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，
3
4
个数
数直线交 点的个数 数直线分 平面的份数
考点聚焦
5
平面内有 n条直线，最多可以把平面分成 2
n ＋n ＋2 ______________ 部分 2
20.5°＝20°________ 30′ ； (3)一个角的补角是36°5′，则这个角是_________ ． 143°55′
考点聚焦 归类探究
第16课时┃几何初步及平行线、 相交线
解 析 (1)根据度、分、秒之间的换算关系，
进行运算． (2) 注意角的度数之间的进率是 60 而不是 10，这 是容易出错的地方． (1)∵30′＝0.5°，
线______ 平行 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条 平行 直线也互相________
考点聚焦
归类探究
第16课时┃几何初步及平行线、 相交线
同位角相等，两直线平行
平行线的 判定
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
平行线的 性质
两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
2．三角形的中位线．
例2
[2013· 昆明 ]如图17－1，在△ABC中，点D，E分
归 类 探 究
探究一 三角形三边的关系 命题角度：
1. 利用三角形的三边关系判断三条线段能否组成三角形； 2. 利用三角形的三边关系求字母的取值范围；
3. 三角形的稳定性．
例1 [2012· 长沙 ]现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，
2024年九年级中考数学一轮复习课件 第4课时 分式(25张PPT)
2
,x , ,
1. 代数式 x, , 2
中，属于分式的是
5 π x 4
3 x x2
（ B ）
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
2.下列分式变形中，正确的是（ C ）
a a 3
a a3
a 3a
A.
B.
C.
b 3b
b b3
b b3
2
a a
D. 2
b b
mn
3.若把分式
a 3, b 1 .
六、分式化简求值
a 2b
a
2
b
a
b
解：原式
a b a 2b a b a b
2
a 2b a 2b
ab
ab
4b
,
ab
4
把 a 3, b 1 代入原式
=1.
3 1
基础提升
2 1
2
2 1 x 1
1
x2
x4
1 x
2
2
10.化简:
.
x 4 x 4x 4 x 2x
x4
六、分式化简求值
第一步:将括号内的异分母分式通分为同分母分式,分子合并同
类项,把括号去掉,简称去括号;
第二步:将分式中除号(÷)后面的除式分子分母颠倒,并把这个
式子前的“÷”变为“×”或“·”,简称除式变乘式;
第三步:计算分式乘法,将分式中的多项式因式分解再约去相同
因式;
六、分式化简求值
第四步:最后按照式子顺序,从左到右计算分式加减法,直到化
,x , ,
1. 代数式 x, , 2
中，属于分式的是
5 π x 4
3 x x2
（ B ）
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
2.下列分式变形中，正确的是（ C ）
a a 3
a a3
a 3a
A.
B.
C.
b 3b
b b3
b b3
2
a a
D. 2
b b
mn
3.若把分式
a 3, b 1 .
六、分式化简求值
a 2b
a
2
b
a
b
解：原式
a b a 2b a b a b
2
a 2b a 2b
ab
ab
4b
,
ab
4
把 a 3, b 1 代入原式
=1.
3 1
基础提升
2 1
2
2 1 x 1
1
x2
x4
1 x
2
2
10.化简:
.
x 4 x 4x 4 x 2x
x4
六、分式化简求值
第一步:将括号内的异分母分式通分为同分母分式,分子合并同
类项,把括号去掉,简称去括号;
第二步:将分式中除号(÷)后面的除式分子分母颠倒,并把这个
式子前的“÷”变为“×”或“·”,简称除式变乘式;
第三步:计算分式乘法,将分式中的多项式因式分解再约去相同
因式;
六、分式化简求值
第四步:最后按照式子顺序,从左到右计算分式加减法,直到化
【中考必备+精品专题】2014版全程方略九年级数学复习专题课件：第4课时
8.(2012•株洲中考)先化简，再求值：(2a-b)2-b2，其中a=-2, b=3. 【解析】原式=4a2-4ab+b2-b2=4a2-4ab, 若a=-2,b=3代入上式得原式=4×(-2)2-4×(2)×3=16+24=40.
9.(2011•南平中考)先化简，再求值：x(x+1)-(x-1)(x+1)，其 中x=-1. 【解析】x(x+1)-(x-1)(x+1)＝x2+x-(x2-1)＝x2+x-x2+1＝ x+1. 当x=-1时，原式＝-1+1＝0. 【一题多解】x(x+1)-(x-1)(x+1)＝(x+1)［x-(x-1)］ ＝(x+1)(x-x+1)＝x+1. 当x=-1时，原式＝-1+1＝0.
【自主归纳】 整式的化简求值的方法步骤
整式的化简求值通常是先将所给的整式_化__简__，然后再将所给 字母的取值_代__入__，计算得出结果.但是有时也会利用分解因式 或配方法将已知条件或所求代数式变形再进行整体代入，使运 算更为简便.
【对点训练】 7.(2012•江西中考)已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=_______. 【解析】两式相加得：m2-2mn+n2+m2+2mn+n2=10， ∴2(m2+n2)=10，∴m2+n2=5. 答案：5
(A)-2x5
(B)-8x6
(C)-2x6
(D)-8x5
【思路点拨】
【自主解答】选B.(-2x2)3=(-2)3(x2)3=-8x6.
【规律总结】 幂的运算实质的三种转化
2014中考复习备战策略_数学PPT_第4讲_分_式
∴ |x|＝ 1 且 x≠ 1. 即 x＝－ 1.故选 B.
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
2．下列运算中，错误的是( D b bc A. a＝ac(c≠0) 0.5a＋b 5a＋10b C. ＝ 0.2a－0.3b 2a－3b
)
－a－b B. ＝－1 a＋b x－y y－x D. ＝ x＋y y＋x
解析：根据分式的值为 0 的条件，可得
2 x 3， －9＝0， x＝± 解得 即 x＝3.故选 D. 3x＋9≠0， x≠－3，
) D．2(x＋1)
2 2 解析：原式＝ · (x－1)＝ .故选 C. x＋1x－1 x＋ 1
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
2 2 m － n 2 2 5 ．设 m ＞ n ＞ 0 ， m ＋ n ＝ 4mn ，则 mn 的值
等于( A
) B． 3 D．3
A．2 3 C． 6
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
4．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方、开方，再算 乘除，最后进行加减运算，如遇到有括号的，先算括 号里面的．运算结果必须是最简 分式或整式． 注意： 在分式的运算中，分式只能通分，不能去 分母．
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点四
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点三 分式的加减 x2＋4x＋ 4 x 例 3 (2013· 衢州)化简： － ＝ 2 x －4 x －2 ________. x＋ 2 2 x＋ 2 x x 【点拨】 原式＝ － ＝ － x＋ 2x－ 2 x－ 2 x－ 2 x－ 2 2 ＝ . x－ 2 2 【答案】 x－2
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
2．下列运算中，错误的是( D b bc A. a＝ac(c≠0) 0.5a＋b 5a＋10b C. ＝ 0.2a－0.3b 2a－3b
)
－a－b B. ＝－1 a＋b x－y y－x D. ＝ x＋y y＋x
解析：根据分式的值为 0 的条件，可得
2 x 3， －9＝0， x＝± 解得 即 x＝3.故选 D. 3x＋9≠0， x≠－3，
) D．2(x＋1)
2 2 解析：原式＝ · (x－1)＝ .故选 C. x＋1x－1 x＋ 1
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
2 2 m － n 2 2 5 ．设 m ＞ n ＞ 0 ， m ＋ n ＝ 4mn ，则 mn 的值
等于( A
) B． 3 D．3
A．2 3 C． 6
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
4．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方、开方，再算 乘除，最后进行加减运算，如遇到有括号的，先算括 号里面的．运算结果必须是最简 分式或整式． 注意： 在分式的运算中，分式只能通分，不能去 分母．
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点四
考点知识梳理
中考典例精析
基础巩固训练
考点训练
考点三 分式的加减 x2＋4x＋ 4 x 例 3 (2013· 衢州)化简： － ＝ 2 x －4 x －2 ________. x＋ 2 2 x＋ 2 x x 【点拨】 原式＝ － ＝ － x＋ 2x－ 2 x－ 2 x－ 2 x－ 2 2 ＝ . x－ 2 2 【答案】 x－2
2014中考数学复习方案(考点聚焦+归类探究+回归教材+中考预测)数据的整理与分析PPT优秀课件
数据的整理与分析
1
第36讲┃数据的整理与分析
考点聚焦
考点1 数据的代表
定义
一组数据的平均值称为这组数据的平均数
算术平 平 均数
一_x般＝__地n1_(_x，1_＋_如_x2_＋果__…有_＋_n_x个_n)_数叫x做1，这xn2，个…数，的x平n，均那数么
均
数
一般地，如果在n个数x1，x2，…，xn中，x1出现
11
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第36讲┃数据的整理与分析
(1)体会权在计算平均数中的作用．实际生活中根 据重要程度的不同设置不同的权重是计算平均数的另 一种方法，使人感到重要性的差异对结果的影响．
(2)要准确理解中位数的“中位”以及计算中位数 需注意两点：第一，先排序，可从大到小排，也可从 小到大排；第二，定奇偶，下结论．
Байду номын сангаас
12
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第36讲┃数据的整理与分析
探究二 极差、方差 命题角度： 1．极差和方差的计算； 2．方差的意义．
例 2 [2013·衢州] 一次数学测试，某小组五名同学的成绩如 下表所示(有两个数据被遮盖)．
组员 日期
甲
乙
丙
丁
戊
方 差
平均 成绩
得分
8 1
7 9
■
8 0
8 2
■
80)2
＋
(82
－
80)2]＝2.
故选 C.
14
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第36讲┃数据的整理与分析
探究三 平均数、众数、中位数、极差与方差在实 际生活中的应用 命题角度： 1．利用样本估计总体； 2．利用数据进行决策．
1
第36讲┃数据的整理与分析
考点聚焦
考点1 数据的代表
定义
一组数据的平均值称为这组数据的平均数
算术平 平 均数
一_x般＝__地n1_(_x，1_＋_如_x2_＋果__…有_＋_n_x个_n)_数叫x做1，这xn2，个…数，的x平n，均那数么
均
数
一般地，如果在n个数x1，x2，…，xn中，x1出现
11
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第36讲┃数据的整理与分析
(1)体会权在计算平均数中的作用．实际生活中根 据重要程度的不同设置不同的权重是计算平均数的另 一种方法，使人感到重要性的差异对结果的影响．
(2)要准确理解中位数的“中位”以及计算中位数 需注意两点：第一，先排序，可从大到小排，也可从 小到大排；第二，定奇偶，下结论．
Байду номын сангаас
12
考点聚焦
归类探究
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中考预测
第36讲┃数据的整理与分析
探究二 极差、方差 命题角度： 1．极差和方差的计算； 2．方差的意义．
例 2 [2013·衢州] 一次数学测试，某小组五名同学的成绩如 下表所示(有两个数据被遮盖)．
组员 日期
甲
乙
丙
丁
戊
方 差
平均 成绩
得分
8 1
7 9
■
8 0
8 2
■
80)2
＋
(82
－
80)2]＝2.
故选 C.
14
考点聚焦
归类探究
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中考预测
第36讲┃数据的整理与分析
探究三 平均数、众数、中位数、极差与方差在实 际生活中的应用 命题角度： 1．利用样本估计总体； 2．利用数据进行决策．
2024年中考数学复习课件 第4讲 分式
不为0．
要点梳理
典题精析
备考练习
19
第4讲
分式
解：原式 =
=
=
−1+3
−1
⋅
−1
−2 +2
+2
−1
⋅
−1 −2 +2
1
.
−2
在 −1 ，0，1，2中，当 = 1 或2时，分式无意义，所以选 = −1 或0.
当 = −1 时，原式 =
1
− . ( 或当
3
要点梳理
备考练习
31
第4讲
分式
备考练习
12.（2021·玉林）先化简，再求值： − 2 +
例函数 =
1
÷
−1 2
，其中 使反比
的图象位于第二、四象限.
解：因为反比例函数 =
的图象位于第二、四象限，所以
< 0.
所以 = − .
因此 − 2
1
+
÷
−1 2
=
−1 2
要点梳理
+ 1 ≠ 0 .解得 ≠ −1 .
典题精析
备考练习
8
第4讲
分式
1
（2）若该分式的值为0，则 的值为___.
思路点拨
分式 的值为 0
⇔ = 0且 ≠ 0.
2 −1
【解析】要使分式
的值为0，则 2
+1
− 1 = 0 ，且 + 1 ≠ 0 .解得
= 1.
要点梳理
第4讲
分式
例2 计算： + 1 +
要点梳理
典题精析
备考练习
19
第4讲
分式
解：原式 =
=
=
−1+3
−1
⋅
−1
−2 +2
+2
−1
⋅
−1 −2 +2
1
.
−2
在 −1 ，0，1，2中，当 = 1 或2时，分式无意义，所以选 = −1 或0.
当 = −1 时，原式 =
1
− . ( 或当
3
要点梳理
备考练习
31
第4讲
分式
备考练习
12.（2021·玉林）先化简，再求值： − 2 +
例函数 =
1
÷
−1 2
，其中 使反比
的图象位于第二、四象限.
解：因为反比例函数 =
的图象位于第二、四象限，所以
< 0.
所以 = − .
因此 − 2
1
+
÷
−1 2
=
−1 2
要点梳理
+ 1 ≠ 0 .解得 ≠ −1 .
典题精析
备考练习
8
第4讲
分式
1
（2）若该分式的值为0，则 的值为___.
思路点拨
分式 的值为 0
⇔ = 0且 ≠ 0.
2 −1
【解析】要使分式
的值为0，则 2
+1
− 1 = 0 ，且 + 1 ≠ 0 .解得
= 1.
要点梳理
第4讲
分式
例2 计算： + 1 +
【中考备战策略】2014中考数学(人教版)总复习课件：专题三 开放型问题
2
1 又∵ BE＝x＝3＝ BC， 2 ∴点 E 为 BC 的中点． ∴ AE⊥ BC，∴ AE＝ AB2－ BE2＝ 4. 12 此时， EF⊥ AC，∴ EM＝ 16 12 96 ∴ S△ AEM＝ AM · EM＝ × × ＝ . 2 2 5 5 25
考点二 例2
结论开放型
(2013· 吉林)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB
于点 C，连接 OA，OB.点 P 是半径 OB 上任意一点，连 接 AP.若 OA＝5 cm，OC＝3 cm，则 AP 的长度可能是 _______cm(写出一个符合条件的数值即可)．
【点拨】因为 OC⊥AB，所以由垂径定理，可得 AC＝BC.在 Rt△AOC 中，OA＝5 cm，OC＝3 cm，由 勾股定理，可得 AC ＝ 4 cm ，所以 AB ＝ 8 cm. 因为 AO≤AP≤AB，所以 5 cm≤AP≤8 cm，当点 P 与点 O 重合时，AP＝AO＝5 cm；当点 P 与点 B 重合时，AP ＝AB＝8 cm；当点 P 在 O 与 B 之间时，AO＜AP＜AB. 所以 AP 可以是 5 cm 与 8 cm 之间的任意数值． 【答案】 6(答案不唯一，5 cm≤AP≤8 cm 即可)
专题三
开放型问题
开放型问题是中考题多样化和时代发展要求的产 物，是中考的热点题型，是考查学生探索能力、创新 能力的重要方式．开放型问题是相对于封闭型问题而 言，是指那些条件不完整、结论不确定、解法不限制 的数学问题，它的显著特点是正确答案不唯一，从所 呈现问题的方式看，有下列几种基本形式：
1．条件开放型：称条件不充分或没有确定已知条 件的开放型问题为条件开放题．由于满足结论的条件 不唯一，解题时需执果寻因，根据结论和已有的已知 条件，寻找使得结论成立的其他条件．
1 又∵ BE＝x＝3＝ BC， 2 ∴点 E 为 BC 的中点． ∴ AE⊥ BC，∴ AE＝ AB2－ BE2＝ 4. 12 此时， EF⊥ AC，∴ EM＝ 16 12 96 ∴ S△ AEM＝ AM · EM＝ × × ＝ . 2 2 5 5 25
考点二 例2
结论开放型
(2013· 吉林)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB
于点 C，连接 OA，OB.点 P 是半径 OB 上任意一点，连 接 AP.若 OA＝5 cm，OC＝3 cm，则 AP 的长度可能是 _______cm(写出一个符合条件的数值即可)．
【点拨】因为 OC⊥AB，所以由垂径定理，可得 AC＝BC.在 Rt△AOC 中，OA＝5 cm，OC＝3 cm，由 勾股定理，可得 AC ＝ 4 cm ，所以 AB ＝ 8 cm. 因为 AO≤AP≤AB，所以 5 cm≤AP≤8 cm，当点 P 与点 O 重合时，AP＝AO＝5 cm；当点 P 与点 B 重合时，AP ＝AB＝8 cm；当点 P 在 O 与 B 之间时，AO＜AP＜AB. 所以 AP 可以是 5 cm 与 8 cm 之间的任意数值． 【答案】 6(答案不唯一，5 cm≤AP≤8 cm 即可)
专题三
开放型问题
开放型问题是中考题多样化和时代发展要求的产 物，是中考的热点题型，是考查学生探索能力、创新 能力的重要方式．开放型问题是相对于封闭型问题而 言，是指那些条件不完整、结论不确定、解法不限制 的数学问题，它的显著特点是正确答案不唯一，从所 呈现问题的方式看，有下列几种基本形式：
1．条件开放型：称条件不充分或没有确定已知条 件的开放型问题为条件开放题．由于满足结论的条件 不唯一，解题时需执果寻因，根据结论和已有的已知 条件，寻找使得结论成立的其他条件．
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x＋8y 2x 解析：原式＝ － ＝ x＋8yx－8y x＋8yx－8y x－8y 1 ＝ ，当 x＝－ 1， y＝ 2 时，原式＝ x＋8yx－8y x＋8y 1 1 ＝ .故选 D. －1＋8×2 15
2 1 9．化简(1－ )÷ 2 的结果是( D x＋1 x －1 1 A. 2 x＋1 C．(x＋1)2 1 B. 2 x－1 D．(x－1)2
第4讲
分
式
考点一
分
式
A 1．形如 (A，B 是整式，且 B 中含有字母 )的式子 B 叫做分式． 2．分式有无意义：当 B＝ 0 时，分式无意义；当 B≠ 0 时，分式有意义． 3．分式的值为 0：当 A＝ 0 且 B≠ 0 时，分式的值 为 0.
温馨提示 B 中含有字母是分式与分数概念的根本区别；判 断一个式子是不是分式，若分子和分母含有公因式， 不要约去公因式，直接根据概念判断即可 .
方法总结 分式的值为 0 受到分母不等于 0 的限制.“分式的 值为 0”包含两层含义：一是分式有意义；二是分子的 值为 0.不要误解为“只要分子的值为 0，分式的值就 是 0”.
考点三 分式的加减 x2＋4x＋ 4 x 例 3 (2013· 衢州)化简： － ＝ 2 x －4 x －2 ________. x＋ 2 2 x＋ 2 x x 【点拨】 原式＝ － ＝ － x＋ 2x－ 2 x－ 2 x－ 2 x－ 2 2 ＝ . x－ 2 2 【答案】 x－2
)
x＋1－2 x－1 1 解析：原式＝ ÷ ＝ · (x ＋ x＋1 x＋1x－1 x＋1 1)· (x－1)＝(x－1) .故选 D.
考点二
分式的基本性质
a· m a a÷ m a 1. ＝ b ， ＝ b (m≠0)； b· m b÷ m －b b b ＝ ＝ － . a a －a
2．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．确 定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先 因式分解 ，再取系数的最小公倍数 与所有不同字母 (因 式 )的最高次幂 的积为最简公分母．
3． 约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大 公因式．确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分 母是多项式时，先因式分解 ，再取系数的最大公约数 与相同字母 (因式)的最低次幂 的积为最大公因式．
温馨提示 1.若原分式的分子 或分母 是多项式，运用分式的 基本性质时，要先把分式的分子 或分母 用括号括上， 再乘或除以 整式 . 2.应用分式的基本性质时，要深刻理解 “都 ”与 “同 ”这两个字的含义，避免犯只乘分子或只乘分母 的某一项的错误 .
2 2 m＋ n2· m－ n2 6mn· 2mn 12m n ＝ ＝ ＝ 2 3. mn mn mn 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
故选 A.
m －16 m＋4 6．化简 得 ；当 m＝－1 时，原式 3 3m－12 的值为 1 . m2－16 m＋4m－4 m＋4 解析： ＝ ＝ ， 3 3m－12 3m－4 m＋4 －1＋4 当 m＝－1 时， ＝ ＝1. 3 3
x 2 5．(2013· 湛江)计算 － 的结果是( C x－2 x－2 A．0 C．－1 B．1 D．x
)
b2－1 6．若分式 2 的值为 0，则 b 的值为 ( b －2b－ 3 A． 1 C． ± 1 B．－ 1 D． 2
A )
解析：由 b2－ 1＝ 0，得 b＝ ± 1.当 b＝－ 1 时， b2－ 2b－ 3＝ 0，故 b＝ 1.故选 A.
x－ 2 x － 4 解：原式＝ ÷ x x－ 2 x x－ 2 2 x 1 ＝ · ＝ . x x－ 2 x＋ 2x－ 2 x＋ 2 ∵－ 5＜ x＜ 5，且 x 为整数，∴若分式有意义， x 只能取－ 1 或 1. 1 当 x＝ 1 时，原式＝ . 3
2
2
考点训练
一、选择题 (每小题 3 分，共 36 分 ) 2 1． (2013· 漳州)要使分式 有意义，则 x 的取值 x－3 范围是 ( C ) B．x≥ 3 D． x ＝ 3 A． x≤3 C． x≠3
4．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方、开方，再算 乘除，最后进行加减运算，如遇到有括号的，先算括 号里面的．运算结果必须是最简 分式或整式． 注意： 在分式的运算中，分式只能通分，不能去 分母．
考点四
分式求值
分式的求值方法很多，主要有三种： (1)先化简， 再求值； (2)由值的形式直接转化成所求的代数式的值； (3)式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等 题设条件中．解这类题，一方面从方程中求出未知数 或未知代数式的值；另一方面把所求代数式适当地化 简变形．两种方法同时用有时能获得简易的解法．
考点一
确定分式有意义的条件
5 例 1 (2013· 成都)要使分式 有意义，则 x 的取 x－1 值范围是 ( A． x≠ 1 C． x＜ 1 ) B ． x＞ 1 D． x≠－ 1
【点拨】 若使分式有意义，则分式的分母不为 0. 由题意，得 x－ 1≠0，解得 x≠ 1.故选 A. 【答案】 A
考点五 分式的化简与求值 1 例 5 (2013· 威海)先化简，再求值：( － x－1 x2＋2x＋1 1)÷ 2 ，其中 x＝ 2－1. x －1 【点拨】 先根据分式的混合运算顺序将分式化为 最简形式，再将 x＝ 2－1 代入求值．
1－x＋1 x＋1 解 ： 原 式 ＝ ÷ ＝ x－1 x＋1x－ 1 － x＋ 2 x＋1x－ 1 － x＋ 2 · ＝ . 2 x－1 x＋1 x＋1 － x＋ 2 － 2＋ 1＋ 2 把 x＝ 2－ 1 代入上式， ＝ ＝ x＋1 2－ 1＋ 1 3－ 2 3 2 ＝ － 1. 2 2
方法总结 1.同分母分式相加减 “ 把分子相加减 ” 就是把各 个分式的 “分子整体 ”相加减，各分子都应加括号，特 别是相减去括号时，要避免出现符号错误. 2.异分母分式相加减应先通分再加减.
考点四
分式的乘除
2
16－a a－4 a＋2 例 4 (2013· 包头)化简 2 ÷ · ，其结 a ＋4a＋4 2a＋4 a＋4 果是( ) B．2 2 D. a＋22
|x|－ 1 解析：∵分式 的值为 0， x－ 1
|x|－ 1＝0， ∴ x－ 1≠0.
∴ |x|＝ 1 且 x≠ 1. 即 x＝－ 1.故选 B.
2．下列运算中，错误的是( D b bc A. a＝ac(c≠0) 0.5a＋b 5a＋10b C. ＝ 0.2a－0.3b 2a－3b
)
－a－b B. ＝－1 a＋b x－Байду номын сангаас y－x D. ＝ x＋y y＋x
考点二
确定分式的值为 0 的条件
x －3 例 2 (2013· 温州 )若分式 的值为 0，则 x 的值是 x ＋4 ( ) A． x＝ 3 C． x＝－ 3 B． x＝0 D． x＝－4
【点拨】根据分式的值为 0 的条件，可得
x－3＝0， 解得 x＝ 3.故选 A. x＋4≠0，
【答案】 A
A．－2 2 C．－ a＋22
【点拨】 本题考查分式的乘除， 先把除法化为乘法， 然后再根据分式的乘法法则计算．原式＝ a－4a＋4 2a＋2 a＋2 － · · ＝－2.故选 A. 2 a＋2 a－4 a＋4 【答案】 A 方法总结 分式的乘除运算归根到底是乘法运算， 其实质是分 式的约分.
2a－ ba－ b－ ba＋ b ＝ a－ ba－ 2b 2a2－ 2ab－ ab＋ b2－ ab－ b2 ＝ a－ ba－ 2b 2a － 4ab ＝ a－ ba－ 2b 2aa－ 2b 2a ＝ ＝ . a－ ba－ 2b a－ b
2
x2－4x＋ 4 4 9． 先化简 2 ÷ (x－ )， 然后从－ 5＜ x＜ 5 x x －2x 的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入求值．
2
x 1 1 7．化简 2－ 2的结果是 x－ 1 x－1 x－1 x－ 1 x 1 1 解析： . 2－ 2＝ 2＝ x－ 1 x－ 1 x－ 1 x－ 1
.
2a－ b a－2b b 8．化简：( － )÷ . a＋b a－b a＋b 2a－ b a－ 2b b a－ 2b 解：原式＝ ÷ － ÷ a＋ b a＋ b a－ b a＋ b 2a－ b a＋ b b a＋ b ＝ · － · a＋ b a－ 2b a－ b a－ 2b 2a－ b b a＋ b ＝ － a－ 2b a－ ba－ 2b
考点三
分式的运算
1．分式的加减法 a b a± b 同分母的分式相加减： ± ＝ ； c c c a c ad± bc 异分母的分式相加减： ± ＝ b d bd .
2．分式的乘除法 ac ac a c ad ·＝ ， ÷＝ · bd bd b d bc 3．分式的乘方 n k nk ( )＝ k m m (m≠ 0， k 是正整数 )． ad ＝ bc .
2 x 3， －9＝0， x＝± 解得 即 x＝3.故选 D. 3x＋9≠0， x≠－3，
4．下列计算错误的是( A 0.2a＋b 2a＋b A. ＝ 0.7a－b 7a－b a－b C. ＝－1 b－a
) x3y2 x B. 2 3＝ xy y 1 2 3 D. ＋ ＝ c c c
2．下列各式是最简分式的是( B x2－4y2 A. 2 x＋2y －2ab C. 3 9a x2＋y2 B. x＋y x2＋x D. 2 x －1
)
x2－9 3．(2013· 云南)若分式 的值为 0，你认为 x 可 3x＋9 取的数是( D A．9 C．－3 ) B． ± 3 D． 3
解析：根据分式的值为 0 的条件，可得
2xy 3．如果把分式 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么 x＋ y 分式的值 ( A ) B．缩小 3 倍 D．不变
A．扩大 3 倍 C．扩大 9 倍
2 1 4．化简 2 ÷ 的结果是( C x －1 x－1 2 A. x－1 2 B. 3 x －1 2 C. x＋1