二次函数分类试题之图形问题
人教版初中数学九上 微专题10 二次函数的应用(一)——图形面积问题
1．如图，在平面直角坐标系中，OA＝12 cm，OB＝6 cm，点 P 从点 O 开始 沿 OA 边向点 A 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 2 cm/s 的速度移动．点 P，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随 之停止运动．设运动时间为 t s，△ POQ 的面积为 y cm2．当△ POQ 的面积最
解：有最大值和最小值． ∵18－3x≥3，解得x≤5， ∴4≤x≤5． ∵S＝－3x2＋18x＝－3（x－3）2＋27， ∴当x＝4时，S有最大值，最大值是24； 当x＝5时，S有最小值，最小值是15．
3．如图，张大爷用 32 m 长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙（墙长 为 15 m），平行于墙的一面开一扇宽度为 2 m 的门，张大爷还在菜园内开辟 出一个小区域存放化肥，两个区域用篱笆隔开，并有一扇宽 2 m 的门相 连．（注：所有门都用其他材料） （1）设平行于墙的一边长度为 y m，垂直于墙的一边长度为 x m，直接写出 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）设此时整个菜园的面积为 S m2（包括化肥存放处），则 S 的最大值为多 少？
大时，t 的值为 1.5 ．
2．如图，某农场准备围建一个中间隔有一道篱笆的矩形花圃，一边靠墙，已 知墙长 a＝6 m．现有长为 18 m 的篱笆，设花圃的一边 AB 的长为 x m，面积 为 S m2． （1）S 关于 x 的函数解析式为 S＝－3x2＋18x ，x 的取值范围为 4≤x＜6 ； （2）若边 BC 的长不小于 3 m，这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果 有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
解：（1）由题意，得y＝36－3x（7≤x＜12）． （2）由题意，得－3x2＋36x（7≤x＜12），
二次函数--图像专题及答案解析
二次函数经典题一、选择题61．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,则正确的结论是（ ）A ．abc>0B ．3a +c ＜0C ．4a+2b+c ＜0D ．b 2 -4ac ＜062．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④63．如图，半圆D 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是 （ ）A ．21y x x 4=-+B ．2y x x =-+C ．21y x x 4=--D ．21y x x 4=- 64．如右图，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象过A （－3，0），对称轴为直线x=－1，下列结论：①b 2>4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5a<b ；⑤a －b>m(am ＋b)(m ≠－1)其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个65．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．2b a->1 D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a 66．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴的交点在(0,2)的下方，与x 轴的交点为（x 1，0）和（2，0），且-2＜x 1＜-1，则下列结论正确的是（ ）A 、0abc >B 、0a b c -+<C 、210a b ++>D 、0a b +>67．给出下列命题及函数y x =，2y x =和1y x =的图象 ①如果21a a a>>，那么0a 1<<； ②如果21a a a>>，那么a 1>； ③如果21a a a>>，那么1a 0-<<； ④如果21a a a>>时，那么a 1<-. 则（ ）A. 正确的命题是①④B. 错误．．的命题是②③④ C. 正确的命题是①② D. 错误．．的命题只有③ 68．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列结论：①a<0，②b<0，③c<0，④4a-2b+c<0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个69．二次函数)0(2≠++=a c bx x a y 图像如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +=，③930a b c ++>，④方程20ax bx c ++=的解是-2和4，⑤不等式20ax bx c ++>的解集是24x -<<，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个70．小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32a b =． 你认为其中正确信息的个数有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个71．已知二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．图象关于直线1x =对称B ．函数2y ax bx c =++(0)a ≠的最小值是-4C ．当1x <时，y 随x 的增大而增大D ．-1和3是方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根72．给出下列四个命题：（1）将一个n （n≥4）边形的纸片剪去一个角，则剩下的纸片是n+1或n-1边形；（2）若31x x --=，则x=1或x=3；（3）若函数32(23)k y k x x-=-+是关于x 的反比例函数，则32k =；（4）已知二次函数2y ax bx c =++，且a ＞0，a-b+c ＜0,则240b ac -≤。
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题8(附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题8（附答案）1．如图，分别过点P i （i ，0）（i ＝1、2、…、n ）作x 轴的垂线，交212y x =的图象于点A i，交直线12y x =-于点B i ．则111A B +121A B +1n nA B +的值为（ ）A ．21n n +B ．2C ．2(1)n n +D ．2n 1+ 2．小明以二次函数y=2x 2－4x+8的图象为灵感为“某国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE 为( )A ．14B ．11C ．6D ．33．现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm 的小正方形，做成一个底面积为ycm 2的无盖的长方体盒子，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．y=x 2-70x+1200B ．y=x 2-140x+4800C ．y=4x 2-280x+4800D ．y=4800-4x 2 4．矩形的周长为12cm ，设其一边长为xcm ，面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式及其自变量x 的取值范围均正确的是（ ）A ．y=﹣x 2+6x （3＜x ＜6）B ．y=﹣x 2+6x （0＜x ＜6）C ．y=﹣x 2+12x （6＜x ＜12）D ．y=﹣x 2+12x （0＜x ＜12）5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x 2经过平移得到抛物线y=ax 2+bx ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为83，则a 、b 的值分别为（ ）A ．13，43B ．13，﹣83C ．13，﹣43D ．﹣13，436．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A ．6425m 2B ．43m 2C ．83m 2D ．4m 27．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m ，此时水面到桥拱的距离是4m ，则抛物线的函数关系式为（ ）A ．225y x 4=B ．225y x 4=-C ．24y x 25=-D ．24y x 25= 8．把一个物体以初速度v 0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h ＝v 0t －12gt 2(其中g 是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O 点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是( )A ．1.05米B ．－1.05米C ．0.95米D ．－0.95米9．如图，正方形ABCD 的边长为2m ，点P ，点Q 同时从点A 出发，速度均2cm/s ，点P 沿A D C --向点C 运动，点Q 沿A B C --向点C 运动，则△APQ 的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间函数关系的大致图象是（ ） A ．B ．C ． D ．10．用长度为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为（ ）m 2．A ．256B ．83C ．2D ．411．一个边长是5的正方形，当边长增加x 时，面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式为________.12．从半径是4cm 的圆中挖去一个半径是xcm 的圆，剩下的圆环的面积是ycm 2，则y 与x 之间的函数关系式是____________________.13． 用长为8 m 的铝合金材料做成如图所示的矩形窗框，要使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是____m 2.14．将一条长为20 cm 的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____________ .15．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6厘米，BC ＝8厘米，点P 、Q 同时由A 、C 两点出发，分别沿AC 、CB 方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，P 点运动_______秒时，△PCQ 面积为4平方厘米。
二次函数与几何图形综合题
【例1】如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋a－4与x轴交于A，B两点(A在B的 左侧)，交y轴于点C(0，－3)，顶点为M，连接CB. (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)若点P是抛物线上不同于点C的一点，S△ABC＝S△ABP，求点P的坐标；
图14-4
练习 如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴. (3)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小 时,求点P的坐标.
(3)如图,连接 BC,交直线 l 于点 P,
则点 P 为使△PAC 的周长最小的点, 设直线 BC 的解析式为 y=kx+n,
解：作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P， 如图①，∴PO＝PC，此时 P 点即为满足条件的点，∵C(0，－4)， ∴D(0，－2)，∴P 点纵坐标为－2，代入抛物线解析式 可得 x2－3x－4＝－2，解得 x＝3＋2 17(小于 0，舍去)或 x＝3＋2 17，
图14-4
将
B(3,0),C(0,3)代入得
3������ + ������ ������ = 3,
=
0,解得
������ ������
= =
-31, ,∴直线
BC
的解析式为
y=-x+3,
∵对称轴为直线 x=1,∴当 x=1 时,y=2,即点 P 的坐标为(1,2).
练习 如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴. (4)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形? 若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在, 请说明理由.
专题：二次函数与几何图形综合——图形面积问题(后附答案)【精品】
专题二次函数与几何图形综合——图形面积问题类型1 已知三角形的面积，求点的坐标
1．如图所示，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A(－4，0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在点P，满足S△AO P＝8，请求出点P的坐标．
2．如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于点A，B，交y轴于点C，P为抛物线上在第二象限内的一点．若△PAC的面积为3，求点P的坐标．
类型2 已知三角形面积之间的数量关系，求点的坐标
3．如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB＝5
4
S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型3 求三角形面积的最值
4．如图，直线l：y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4(a＜0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM，BM.设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值．。
初中数学一元二次方程的应用题型分类——图形相关问题3(附答案)
19．如图，在一块长 12m，宽 8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两 条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积 77m²，设道路的 宽为 x m，则根据题意，可列方程为_______.
设原菜地的长为 xm ，则原矩形菜地的宽 (x 2)m
由题意得： x(x 2) 120
解得： x1 12 ， x2 10 (不合题意，舍去)
故选：B 【点睛】 本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键． 4．D 【解析】 【分析】
观察图形可知阴影部分小长方形的长为 (x 40 2x )cm ，再根据去除阴影部分的面积为 2
6．某校准备修建一个面积为 200 平方米的矩形活动场地，它的长比宽多 12 米，设场地
的宽为 x 米，根据题意可列方程为（ ） A．x（x﹣12）=200 C．x（x+12）=200
B．2x+2（x﹣12）=200 D．2x+2（x+12）=200
7．一个菱形的边长是方程 x2 8x 15 0 的一个根，其中一条对角线长为 8，则该菱
说明理由．
23．某农场要建一个饲养场（长方形 ABCD) ，饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为
27 米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处
各留 1 米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长 60 米，设饲养场（长方形 ABCD) 的宽 为 x 米． （1）求饲养场的长 BC （用含 x 的代数式表示）． （2）若饲养场的面积为 270m2 ，求 x 的值． （3）当 x 为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少 m2 ？
二次函数之图形的变换问题.doc
二次函数之图形的变换题型一：平移问题1．如图，平行于y 轴的直线l 被抛物线y ＝2112x +、y ＝2112x -所截．当直线l 向右平移3个单位时，直线l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位．2．已知：如图在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=的两根。
⑴ 求a 和b 的值；⑵ C B A '''∆与ABC ∆开始时完全重合，然后让ABC ∆固定不动，将C B A '''∆以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动。
① 设x 秒后C B A '''∆与ABC ∆的重叠部分的面积为y 平方厘米，求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围； ② 几秒后重叠部分的面积等于83平方厘米？ABCMA'B'C'y xB'A'D'C'NG(M)DBCO(A)Iy xB'A'D'C'NM DBCG O(A)I yxNMDBCO(A)3． 如图1，把一个边长为22的正方形ABCD 放在平面直角坐标系中，点A 在坐标原点，点C 在y 轴的正半轴上，经过B 、C 、D 三点的抛物线c 1交x 轴于点M 、N(M 在N 的左边). (1)求抛物线c 1的解析式及点M 、N 的坐标；(2)如图2，另一个边长为22的正方形////D C B A 的中心G 在点M 上，/B 、/D 在x 轴的负半轴上(/D 在/B 的左边)，点/A 在第三象限，当点G 沿着抛物线c 1从点M 移到点N ，正方形随之移动，移动中//D B 始终与x 轴平行.①直接写出点/A 、/B 移动路线形成的抛物线/)(c A 、/)(c B 的函数关系式；②如图3，当正方形////D C B A 第一次移动到与正方形ABCD 有一边在同一直线上时，求点G 的坐标．24．如图，已知经过原点的抛物线y=-2x 2+4x 与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m (m >0)个单位，所得抛物线与x 轴交与C 、D 两点，与原抛物线交与点P. （1）求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状（不要求说理）（2）在x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）△CDP 的面积为S ，求S 关于m 的关系式。
专题16 二次函数与实际问题：图形问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题16 二次函数与实际问题：图形问题一、解答题1．如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）作直线BC ，若点(,0)D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S ∆∆=时，求d 的值．【答案】（1）223y x x =--+；（2）存在，P (-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）32d =- 【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）分CP PM =，CM PM =，CM CP =三种情况，根据等腰三角形的性质分别进行求解； （3）根据三角形面积公式可得1·2BDE S BD DE ∆=⨯，1·2CEF S EF OD ∆=，由BDE CEF S S ∆∆=代入数据即可求解【详解】解：（1）抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩． ∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）抛物线解析式为：223y x x =--+，∴其对称轴为212x -==-， ∴设P 点坐标为(1,)a -，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴，(1,0)M -，∴当CP PM =时，222(1)(3)a a -+-=，解得53a =， P ∴点坐标为：15(1,)3P -；∴当CM PM =时，222(1)3a -+=，解得a =P ∴点坐标为：2(P -或3(1,P -； ∴当CM CP =时，由勾股定理得：2222(1)3(1)(3)a -+=-+-，解得6a =，P ∴点坐标为：4(1,6)P -．综上所述，存在符合条件的点P ，其坐标为(-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）由点B 、C 的坐标知，直线BC 的表达式为3y x ，则点E 、F 的坐标分别为(,3)d d +、2(,23)d d d --+，11·(3)?(3)22BDE S BD DE d d ∆=⨯=⨯++， 211·(233)?()22CEF S EF OD d d d d ∆==⨯--+---，BDE CEF S S ∆∆=，∴211(3)?(3)(233)?()22d d d d d d ⨯++=⨯--+---， 解得0d =（舍去）或3-（舍去）或32-， 故32d =-． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析式、等腰三角形的性质、三角形面积计算，解题的关键是综合运用所学知识，注意题（2）要分情况考虑进行求解．2．如图用长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD ，已知墙长14m ，设边AB 的长为xm ，矩形ABCD 的面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求出函数y 的最大值．（2）当y ＝108时，求x 的值．【答案】（1）y ＝﹣12（x ﹣15）2+112.5，y 的最大值为112m 2；（2）x 的值为12 【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽及墙体长度为14米，即可求出y 与x 的函数关系式，结合二次函数增减性得出二次函数最值；（2）把y=108代入（1）中的解析式，解方程得出答案．【详解】（1）根据题意可得：AD＝12（30﹣x）m，y＝12x（30﹣x）＝﹣12x2+15x＝﹣12（x﹣15）2+112.5，∵墙长为14m，∴0＜x≤14，则x≤15时，y随x 的增大而增大，∴当x＝14m，即AB＝14m，BC＝8m时，长方形的面积最大，最大面积为：14×8＝112（m2）；∴y的最大值为112m2；（2）当y＝108时，108＝12x（30﹣x），整理得：x2﹣30x+216＝0，解得：x1＝12，x2＝18（不合题意舍去），答：x的值为12．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．3．如图，抛物线y=x2﹣2x+k+1与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P 为抛物线上一点且在y轴的右侧，横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 在第四象限时，求△BAP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ．求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围．【答案】（1）y =x 2﹣2x ﹣3；（2）8；（3）222(01)1(12)21(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩．【分析】（1）将点C 坐标代入表达式即可求出k 的值并得出解析式；（2）根据题目分析可知，当点P 位于抛物线顶点时，△BAP 的面积最大，根据解析式求出A 、B 的坐标，从而得到AB 的长，再利用三角形的面积公式计算面积即可；（3）分三种情况，0＜m ≤1，1＜m ≤2，m ＞2，分别进行计算即可．【详解】（1）∵点C （0，﹣3）在抛物线y =x 2﹣2x +k +1上，∴k +1=﹣3，解得：k =﹣4，∴此抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3；（2）令y =0，则0=x 2﹣2x ﹣3，解得：x 1=﹣1，x 2=3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴AB =4．∵y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点为（1，﹣4），∴当P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值，此时S 12=⨯4×4=8， 即△BAP 面积的最大值是8；（3）∵P 为抛物线上一点且在y 轴的右侧，横坐标为m ，∴m ＞0，∴当0＜m ≤1时，h =﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）=﹣m 2+2m ；当1＜m ≤2时，h =（22﹣2×2﹣3）﹣（﹣4）=1；当m ＞2时，h =m 2﹣2m ﹣3﹣（﹣4）=m 2﹣2m+1． 综上所述，222(01)1(12)21(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩．【点睛】本题为二次函数的综合题，熟练掌握二次函数表达式求法及二次函数的性质，对于动点问题正确分析出所存在的所有情况是解题的关键．4．如图，已知二次函数y =﹣x 2+（a +1）x ﹣a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），点A 的坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C ．（1）求a 的值与△ABC 的面积；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP =S △ABC ．若存在，请求出P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）a=﹣3，S△ABC=6；（2）存在，P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣13）或（﹣1，﹣3）．【分析】（1）令y=0代入函数解析式得到点A、B的坐标，进而可得a的值，然后可得点B、C的坐标，进而可求解△ABC的面积；（2）由（1）可得点C的坐标，然后由等积法可得△ABP与△ABC同底，进而可得点P的纵坐标为±3，然后分别代入二次函数解析式可求解．【详解】解：（1）∵y=﹣x2+（a+1）x﹣a，令x=0，则y=﹣a，∴C（0，﹣a），令y=0，即﹣x2+（a+1）x﹣a=0解得：x1=a，x2=1，由图象知：a＜0，∴A（a，0），B（1，0）．∵点A的坐标为（﹣3，0），∴a=﹣3，AB=4，∴OC=3，∴S△ABC12=AB•OC1432=⨯⨯=6；（2）∵a =﹣3，∴C （0，3），∵S △ABP =S △ABC ，∴P 点的纵坐标为±3，把y =3代入y =﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3=3，解得：x =﹣2或x =0（与点C 重合，舍去）；把y =﹣3代入y =﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3=﹣3，解得：x =﹣1x =﹣1，∴P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．如图，抛物线26y ax bx =++经过()2,0A -、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一动点，设点D 的横坐标为()14m m <<，连结AC 、BC 、DB 、DC ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当BCD △的面积等于AOC △的面积的34时，求m 的值． （3）当2m =时，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）233642y x x =-++；（2）3m =；（3）点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0或()6,0．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）22133332662324224BDC S HD OB m m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3319624422AOC S =⨯⨯⨯=，即可求解； （3）分BD 是边、BD 是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点坐标公式即可求解．【详解】解：（1）抛物线26y ax bx =++经过()2,0A -、()4,0B 两点， ∴042601646a b a b =-+⎧⎨=++⎩， 解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：233642y x x =-++； （2）由抛物线的表达式可知，点()0,6C ，()2,0A -， ∴1126622AOC S OA OC =⨯⨯=⨯⨯=， 设直线BC 的函数表达式为：()0y kx e k =+≠，由点B 、C 两点的坐标得：406k e n +=⎧⎨=⎩， 解得：326k e ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的表达式为：362y x =-+， 如图所示，过点D 作y 轴的平行线交直线BC 于点H ，交x 轴于点F ，作CE BD ⊥交BD 于点E ．点D 的横坐标为()14m m <<， ∴236,342m m D m ，点3,62H m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴2233336634224DH m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，()4,0B ， ∴4OB =，()11112222BCD CDH BDH S S S DH CE DH BF DH CE BF DH OB =+=⋅+⋅=⋅+=⋅， ∴221133=3462242BCD SDH OB m m m m ⎛⎫=⋅-+⨯=-+ ⎪⎝⎭， BCD △的面积等于AOC △的面积的34，∴2336=624m m -+⨯， ∴11m =（舍去），23m =，∴3m =；（3）当2m =时，点()2,6D ，设点(),0M p ，点(),N t n ， 则233642n t t =-++①， Ⅰ：当BD 是边时，点B 向左平移2个单位，向上平移6个单位得到点D ，同样点()M N 向左平移2个单位，向上平移6个单位得到点()N M ，∴206p t n -=⎧⎨+=⎩或206p t n +=⎧⎨-=⎩②， 联立①②并解得：426p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩（不符合题意，舍去）或206p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或116p t n ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎩或116p t n ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩；∴点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0-； Ⅱ：当BD 是对角线时， 由中点坐标公式得：()()()()1124221160022p t n ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩③，联立①③并解得：606p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或426p t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩（不符合题意，舍去），∴点M 的坐标为()6,0；综上，点M 的坐标为()2,0或)1,0或()1,0或()6,0． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．6．如图，已知抛物线23y ax bx =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点 C ． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）作直线BC ，若点(),0D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S =△△时，求d 的值．【答案】（1）223y x x =--+；（2）存在；P 坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或(-或(1,-或()1,6-；（3）d =．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由抛物线解析式求出()0,3C ，对称轴是直线1x =-，进而得出()1,0M -，设P 点坐标为()1,c -，则用勾股定理可知CP =CM ==PM =CP PM =、CM PM =、CM CP =三种情况，根据等腰三角形腰相等，分别求解即可；（3）由点B 、C 的坐标可知直线BC 的表达式为：3y x ，因为点(),0D d ，所以可知点E 、F 的坐标分别为(),3d d +、()2,23d d d --+，则23EF d d =--，根据三角形面积公式可知 12BDE S BD DE =⋅，12CEF S EF OD =⋅，由BDE CEF S S =△△，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线23y ax bx =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -， ∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩， ∴所求抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）抛物线解析式为：223y x x =--+，∴其对称轴为()21221b x a -=-=-=-⨯-， ∴点()1,0M -，点P 在对称轴上，∴设P 点坐标为()1,c -，当0x =时，3y =，∴()0,3C ，∴CP =CM ==PM①当CP PM =时，=即()2213c c +-=，解得：53c =，∴P 点坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当CM PM =时，=即210c =，解得：c =，∴P 点坐标为(-或(1,-，③当CM CP =时，=即()21310c +-=，解得：16c =，20c =（不符合题意，舍去），∴P 点坐标为()1,6-，综上所述，存在符合条件的点P ，其坐标为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或(-或(1,-或()1,6-； （3）设直线BC 的表达式为：y kx e =+，由点B 、C 的坐标可知，033k e e =-+⎧⎨=⎩， 解得：13k e =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的表达式为：3y x ，点(),0D d ，∴点E 、F 的坐标分别为(),3d d +、()2,23d d d --+，∴()2222332333EF d d d d d d d d =--+-+=--+--=--， 12BDE SBD DE =⋅，12CEF S EF OD =⋅， ∴()()1332BDE S d d =++，()()21302CEF S d d d =--⨯-，BDE CEF S S =△△， ∴()()()()21133322d d d d d ++=---，∴112d +=，212d =，33d =-（不符合题意，舍去），∴d =． 【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的基本知识、等腰三角形的性质、三角形面积的计算，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类讨论，不要漏解．7．在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，并与x 轴交于另一点C （点C 在点A 的右侧），点P 是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式及点C ；（2）若点P 在第二象限内，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交AB 于点E ，当点P 运动到什么位置时，PE 最长是多少？【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣3x ＋4，点C （1，0）；（2）点P 运动到（﹣2，6）时，PE 最长为4【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b 、c 的值，以及点C 的坐标；（2）如图，设P 点横坐标为m ，求出P 点纵坐标以及点E 的纵坐标，求出PE 的长度，利用二次函数求极值的方法求出PE 长度的最大值．【详解】解：（1）∵直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣4，0），B （0，4），将点A 、B 坐标代入抛物线解析式2y x bx c =-++得：16404b c c --+⎧⎨⎩＝＝， 解得：34b c -⎧⎨⎩＝＝， 则二次函数的解析式为：y ＝﹣x 2﹣3x ＋4，令﹣x 2﹣3x ＋4＝0，解得：x 1＝-4，x 2＝1，则点C 坐标为（1，0）；（2）如图，设P 点横坐标为m ，则纵坐标为﹣m 2﹣3m ＋4，E 点纵坐标为m ＋4，则PE ＝﹣m 2﹣3m ＋4﹣（m ＋4）＝﹣m 2﹣3m ＋4﹣m ﹣4＝﹣m 2﹣4m ＝﹣（m ＋2）2＋4，当m ＝﹣2时，PE 有最大值4，此时点P 纵坐标为6，故当点P 运动到（﹣2，6）时，PE 最长为4．【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数与二次函数结合的问题，涉及考点较多，难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．如图，抛物线y =x 2﹣mx ﹣3（m ＞0）交y 轴于点C ，CA ⊥y 轴，交抛物线于点A ，点B 在抛物线上，且在第一象限内，BE ⊥y 轴，交y 轴于点E ，交AO 的延长线于点D ，BE =2AC ．（1）用含m 的代数式表示BE 的长．（2）当m =D 是否落在抛物线上，并说明理由．【答案】（1）BE =2m ；（2）点D 在抛物线上，理由见解析．【分析】（1）先确定(0,3)C -，再解方程233x mx --=-得 (,3)-A m ，所以AC m =，从而得到22BE AC m ==；（2）先利用待定系数法求出直线OA 的方程为y =，再计算出x =233y x =-=，从而得到B ，3)，则确定D 点坐标(，3)，然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点D 在抛物线上．【详解】解：（1）当0x =时，233y x mx =--=-，则 (0,3)C -，当3y =-时，233x mx --=-，解得 10x =，2x m =，则(,3)-A m ，AC m ∴=， 22BE AC m ∴==；（2）点D 在抛物线上．理由如下：当m =时，点A 的坐标为3)-．设OA 的直线方程为y kx =，将A 3)-代入，得k =∴直线OA 的方程为y =，抛物线的解析式为23y x =-，而BE =B 点的横坐标为当x =2312633y x =-=--=，则 B ，3)，//BD x 轴，D ∴点的纵坐标为3，当3y =时，3=，解得x = D 点坐标为(3)，当x =233333y x =--=+-=，∴点D 在抛物线上．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉相关性质是解题的关键．9．如图，已知90,30Rt OAB OAB ABO ∠=︒∠=︒，，斜边4OB =，将Rt OAB 绕点O 顺时针旋转60︒，得到ODC △，连接BC ．（1）填空：OBC ∠=_________︒；（2）如图1，连接AC ，作OP AC ⊥，垂足为P ，求OP 的长度；（3）如图2，点M ，N 同时从点O 出发，在OCB 边上运动，M 沿O C B →→路径匀速运动，N 沿O B C →→路匀速运动，当两点相遇时运动停止，己知点M 的运动速度为1.5单位/秒，点N 的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x 秒，OMN 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】（1）60；（2；（3）()222808384834 4.82x x x x x x ⎧⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫-+<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪<≤⎪⎩【分析】（1）由旋转性质可知：OB=OC ，∠BOC=60°，则△OBC 是等边三角形，即可求解；（2）证明△BOC 是等边三角形，BC=OB=4，而∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，故AC ==S △AOC 11222OA AB =⋅⋅=⨯⨯= （3）分880, 4.4 4.833x x x <≤<≤<≤三种情况，利用面积公式求解即可． 【详解】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC ，∠BOC=60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=60°．故答案为：60；（2）如图1，904,30BAP OB ABO ∠=︒=∠=︒，，122OA OB AB ∴====，由旋转得：BOC 是等边三角形，4BC OB ==∴6090OBC ABC ABO OBC ∠=︒∠=∠+∠=︒，，∴AC ==∴11222AOCS OA AB =⋅⋅=⨯⨯=∴27AOC S OP AC ===． （3）①当803x <≤时，M 在OC 上运动，N 在OB 上运动，如图2，过点N 作NE OC ⊥且交OC 于点E ．则12OE x NE x ===，，11 1.5222OMN S OM NE x x ∴=⋅⋅=⨯⨯．∴2y x =； ②当843x <≤时，M 在BC 上运动，N 在OB 上运动，如图2，作MH OB ⊥于H ，则)8 1.5,8 1.5BM x MH x =-=-∴212y ON MH x =⨯⨯=+ ③当4 4.8x <≤时，M 、N 都在BC 上运动，作OG BC ⊥于G ．12 2.5MN x =-，OG AB ==∴12y MN OG x =⋅⋅=综上所述，()222808384834 4.8x x x x x x ⎧⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫-+<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪<≤⎪⎩【点睛】本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．如图，已知△ABC 中，BC ＝10，BC 边上的高AH ＝8，四边形DEFG 为内接矩形．（1）当矩形DEFG 是正方形时，求正方形的边长．（2）设EF ＝x ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，当x 为何值时S 有最大值，并求出最大值．【答案】（1）409；（2）()254204S x=--+，当x＝4时，S有最大值20【分析】（1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解；（2）根据相似三角形的性质求出GF＝10−54x，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题．【详解】（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，∵四边形DEFG为矩形，∴GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴AK：AH＝GF：BC，∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，∴(8﹣y)：8＝y：10，解得：y＝409；（2）设EF＝x，则KH＝x．∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，由（1）可知：8108GF x-=，解得：GF＝10﹣54 x，∴s＝GF•EF＝（10﹣54x）x＝﹣54（x﹣4）2+20，∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．11．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =．动点M ，N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA 、CB 向终点A ，B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接PM ，PN ，设移动时间为t （单位：秒，0 2.5t <<）．（1）当t 为何值时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t=32；（2）存在，t=32时，最小值为215． 【分析】（1）分两种情况讨论：①当△AMP ∽△ABC 时，②当△APM ∽△ABC 时，对应边成比例求解，即可求出结论；（2）过P 作PH 垂直BC ，通过△BPH ∽△BAC ，求出PH 长，再用△ABC 的面积减去△BPN 面积即可表示四边形APNC 的面积解析式，化成顶点式找到最小值，即可求出结果；【详解】解：（1）以A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时，AP AM AC AB =，即52445t t --=，解：t=32，②当△APM∽△ABC时，AM APAC AB=，即45245t t--=，解得t=0（不符合题意，舍去）综上所述，当t=32秒时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值，理由如下：设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值，如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴，过P作PH⊥BC于H，则∠PHB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BPH∽△BAC，∴PH BP AC AB=∴2 45 PH t=解得PH=85tcm∴S=S△ABC-S△BPN=12×3×4-12×（3-t）85t=45（t-32）2+215（0<t<2.5）∵45>0，∴S有最小值，当t=32时，S最小值=215，∴存在t值使四边形APNC的面积S最小，t=32时，最小值为215．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，二次函数最值以及三角形面积问题等知识点，注意要分类讨论，以防漏解．12．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A （-1，0）和点D （5，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C 的坐标；（3）点B 是该抛物线与y 轴的交点，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）245y x x =--；（2）对称轴为直线x=2，顶点C 的坐标为（2，-9）；（3）30【分析】（1）利用待定系数法解答；（2）将函数解析式化为顶点式即可得到答案；（3）连接AB 、BC 、CD 、OC ，根据解析式求出点B 的坐标，再利用面积和的关系求出答案.【详解】（1）∵二次函数24y ax x c =-+的图像经过点A （-1，0）和点D （5，0），∴4025200a c a c ++=⎧⎨-+=⎩，解得15a c =⎧⎨=-⎩， ∴该二次函数的解析式为245y x x =--；（2）∵2245(2)9y x x x =--=--，∴该抛物线的对称轴为直线x=2，,顶点C 的坐标为（2，-9）；（3）如图，连接AB 、BC 、CD 、OC ，令245y x x =--中x=0，解得y=-5，∴B （0，-5）∵A （-1，0）、B （0，-5）、C （2，-9）、D （5，0），∴OA=1，OB=5，OD=5，∴四边形ABCD 的面积=AOB BOC COD S S S ++=11151525930222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，将二次函数的一般式化为顶点式，利用割补法求几何图形的面积，这是一道二次函数的基础题.13．如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y =49-x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ．点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ =CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求S 关于m 的函数表达式．（3）当S 最大时，△求点Q 的坐标．△若点F 在抛物线y =49-x 2+bx +c 的对称轴上，且△DFQ 的外心在DQ 上，求点F 的坐标．【答案】（1）244893y x x =-++；（2）23310S m m =-+；（3）△点Q 的坐标为（3，4）；△点F 的坐标为32⎛ ⎝⎭，或362⎛- ⎝⎭，． 【分析】 （1）将A 、C 两点坐标代入抛物线y =49-x 2+bx +c ，即可求得抛物线的解析式； （2）先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数；（3）△根据二次函数的最值，求出S 最大时的m 值，得出AQ 的长，即可求得点Q 的坐标；△根据三角形的外心性质，可得△DFQ 为直角三角形，且DQ 为斜边，由勾股定理列出关于三边的方程，求解后即可得到点F 的坐标．【详解】解：（1）将A （0，8）、C （6，0）两点坐标代入抛物线y =49-x 2+bx +c ，得 8436609c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩， 解得438b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：244893y x x =-++； （2）过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，∵A （0，8）、C （6，0），则OA ＝8，OC ＝6，∴AC 10=．则sin ∠ACB ＝35QE AB QC AC ==． ∴3105QE m =-， ∴3(10)5QE m =-， ∴21133(10)322510S CP QE m m m m =⋅=⨯-=-+； （3）△∵()221133315(10)3522510102S CP QE m m m m m =⋅=⨯-=-+=--+， ∴当m ＝5时，S 取最大值，即AQ ＝5，∵A （0，8）、C （6，0），∴点Q 的坐标为（3，4）；△∵抛物线244893y x x =-++的对称轴为x ＝32， ∵△DFQ 的外心在DQ 上，∴△DFQ 为直角三角形，且∠DFQ ＝90°当∠DFQ ＝90°时，设F （32，n ）， ∵点D 是AB 与244893y x x =-++的交点， 令y ＝8，则x ＝0或x ＝3，∴点D 的坐标为（3，8），则FD2＋FQ2＝DQ2，即()()22991644n n+++=8--4解得62n=±．∴满足条件的点F共有两个，坐标分别为36+22⎛⎫⎪⎪⎝⎭，或3622⎛-⎝⎭，．【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，解题时注意数形结合数学思想的运用．14．如图，已知正三角形ABC的边长为4，矩形DEFG的DE两个点在正三角形BC边上，F、G点在AB、AC边上，求矩形DEFG的面积的最大值是多少？【答案】【分析】设EF=x，先求出三角形ABC的高AH的长，由矩形性质FG∥BC，推出△AFG∽△ABC利用性质得比例式FG AM=BC AH求出4x⋅，利用矩形面积公式S矩形DEFG=243x x-+利用函数的性质求出最值即可．【详解】过A 作AH ⊥BC 于H ，交FG 于M ，∵正三角形ABC 的边长为4，∴BH=CH=2，在Rt △ABH 中由勾股定理设EF=x ，则AM=x ，∵矩形DEFG 的DE 两个点在正三角形BC 边上，△FG ∥BC ，∴△AFG ∽△ABC ， ⊥FG AM =BC AH， ⊥234AMBC FG==AH 2x⋅，△S 矩形DEFG 244x xx x ⋅=+，⊥a =0<， 则抛物线开口向下，有最大值，x ==⎝⎭S 最大=【点睛】本题考查等边三角形内接矩形问题，涉及等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质是解题关键．15．某农场拟建三间矩形饲养室，饲养室一面靠墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设饲养室宽为x（m），总占地面积为y（m2）（如图所示）．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）三间饲养室占地总面积有可能达到210m2吗？请说明理由．【答案】（1）y=﹣4x2+60x，10≤x＜15；（2）不能，理由见解析．【分析】（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，由矩形面积公式可以得到y关于x的函数表达式，再由y 的值大于0且小于或等于20可以得到自变量的取值范围；（2）令y=210，得到关于x的一元二次方程，解方程得到x的值后根据（1）中自变量的取值范围可以得到问题解答．【详解】（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，∴y=x （60﹣4x ）=﹣4x 2+60x ，∵0＜60﹣4x≤20，∴10≤x ＜15；（2）不能，理由如下：当y=210时，﹣4x 2+60x=210，解得：或＜10，且10， ∴三间饲养室占地总面积不可能达到210平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用，由题意列出二次函数解析式后再结合二次函数图象或一元二次方程的解作答是解题关键．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，其中()4,0A -，()2,0B ，()0,4C -．（1）求该抛物线的函数表达式：（2）若点D 是y 轴上的点，且以A ，C ，D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点D 的坐标． （3）点P 是抛物线2y ax bx c =++的对称轴上的一点，点S 是坐标平面内一点，若以A ，C ，P ，S 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．【答案】（1）2142y x x =+-；（2）1D (0，43)，2D (0，2)；（3）1P (-1，-1)，2P (-1，3P (-1，，4P (-1，，5P (-1，-4【分析】（1）设出二次函数的交点式，将点C 带入求值即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①当ABC CAD ∽时，②当ABC CDA ∽时，求点D 的坐标即可；（3）根据菱形是四边都相等的平行四边形，分情况讨论即可；【详解】（1）∵A(-4，0)，B(2，0)，设抛物线解析式为()()42y a x x =+-，抛物线过C(0，-4)84a ∴-=-，12a ∴=，∴此抛物线解析式为2142y x x =+-； （2）∵A(-4，0)，B(2，0)，C(0，-4)4OA OC ∴==，2BO =，6AB ∴=ACO ∴为等腰直角三角形①当ABC CAD ∽时 则CD AC AC AB=6=，163CD ∴= 164433OD CD OC ∴=-=-= 1D ∴(0，43) ②当ABC CDA ∽时则CD AC AB AC=6CD ∴=6CD ∴= 642OD CD OC ∴=-=-=2D ∴(0，2)（3）∵抛物线对称轴为直线x=-1，设点P(-1，y)，∵A(-4，0)， C(0，-4)，()2222149AP y y =-++=+ ，()()()222201441CP y y =+++=++()()222040432AC =+++=①若AP=CP ，则()22y 9=y+41++ ，解得y=-1， △ 1P (-1，-1)，②若AP=AC ，则2y 9=32+，解得：1y ，2y =，∴ 2P (-1，3P (-1，③若CP=AC ，则()2y+41=32+，解得：1y ，2y =4-∴ 4P (-1，，5P (-1，-41P (-1，-1)，2P (-1，，3P (-1，，4P (-1，，5P (-1，-4【点睛】本题考查了二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与直角三角形、二次函数与菱形的结合，解题的关键是注意分类讨论的情况；17．如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B 、C 重合），以D 为顶点作ADE B ∠=∠，射线DE 交AC 边于点E ．（1）若CE=3，求BD 的长；（2）如图2，当//ED AB 时，求AE 的长；（3）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．【答案】（1）3或5；（2）12564；（3）218555y x x =-+，08x <<． 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得BAD CDE ∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可得；（2）先根据平行线的性质、等量代换可得B C BAD CDE ∠=∠=∠=∠，再利用相似三角形的判定与性质可得AB BD BC AB=，从而可得2539,88BD CD ==，然后利用相似三角形的判定与性质可得CD CE BC AC =，由此即可得；（3）先根据线段的和差可得8,5CD x CE y =-=-，再利用（1）中相似三角形的性质可得y 关于x 的函数解析式，然后根据BC 的长即可得x 的取值范围．【详解】（1）设BD a =，则8CD BC BD a =-=-，5AB AC ==，B C ∴∠=∠，由三角形的外角性质得：B BAD ADC ADE CDE ∠+∠=∠=∠+∠，ADE B ∠=∠，BAD CDE ∴∠=∠，在ABD △和DCE 中，B C BAD CDE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABD DCE ∴~，AB BD CD CE∴=，即583a a =-， 解得3a =或5a =，经检验，3a =或5a =都是所列分式方程的解，则BD 的长为3或5；（2）设AE b =，则5CE AC AE b =-=-，由（1）可知，B C ∠=∠，BAD CDE ∠=∠，//ED AB ，B CDE ∴∠=∠，B C BAD CDE ∴∠=∠=∠=∠，在ABD △和CBA △中，BAD C B B∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴ABDCBA ， AB BD BC AB ∴=，即585BD =， 解得258BD ， 2539888CD BC BD ∴=-=-=， 又//ED AB ，CDE CBA ∴~，CD CE BC AC ∴=，即395885b -=， 解得12564b =， 即AE 的长为12564； （3）,,8,5BD x AE y BC AC ====，8,5CD BC BD x CE AC AE y ∴=-=-=-=-， 由（1）已证：AB BD CD CE =， 585x x y∴=--， 化简整理得：218555y x x =-+， 点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B 、C 重合），且8BC =， 08x ∴<<，故y 关于x 的函数关系式为218555y x x =-+，x 的取值范围为08x <<． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、可化为一元二次方程的分式方程的应用、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．18．为了美化校园，某校综合实践小组准备利用校园内一面长15m 的墙和40m 的不锈钢管，把校园内的一片空地围成如图所示的由四个小矩形组成的矩形花圃，若设矩形花圃的宽为x m ，矩形花圃的面积为S 2m ，请解答下列问题：（1）求出S 2m 与()x m 函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2）当矩形花圃的宽为多少米时，矩形花圃的面积最大，并求出此时矩形花圃的面积．【答案】（1）2540S x x =-+，()58x ≤<；（2）当矩形花圃的宽为5m 时，矩形花圃的面积最大，此时矩形花圃的面积为275m △【分析】（1）利用矩形面积公式结合图形求出S 2m 与()xm 函数关系式，进而利用040515x <-≤求出自变量x 的取值范围；（2）利用二次函数的增减性结合x 的取值范围得出答案．【详解】（1）由题意可知：矩形花圃的长为()405x m -， ()2405540S x x x x =-=-+，040515x <-≤，∴58x ≤<，∴自变量x 的取值范围为：58x ≤<；（2）2540S x x =-+()258x x =--()2225844x x =--+-()25480x =--+∴二次函数的对称轴为：直线4x =， 50a =-<，∴当4x >△，S 随x 的增大而减小，58x ≤<，∴当5x =△，S 有最大值，∴()()225548075S m =-⨯-+=．答：当矩形花圃的宽为5m 时，矩形花圃的面积最大，此时矩形花圃的面积为275m △【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的增减性以及不等式的应用，利用二次函数的增减性求出最值是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，直线210y x =-+与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点．点C 的坐标是()8,4，连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；（2）抛物线上是否存在着一点P ，使PAB △的面积为25？若存在，求出P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上，是否存在着一点M ，使ABM 为以AB 为斜边的直角三角形？若存在，请直接写出M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21566y x x =-，ABC 为以C 为直角顶点的直角三角形；（2）存在，P 的坐标为()15,50P -或()8,4P 或()0,0P 或()7,14P -；（3）()18,4M ，()20,0M ，()33,4M -．【分析】（1）先确定出点A ，B 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC 是直角三角形；（2）作PQ x ⊥轴交直线AB 于点Q ，由PAB △的面积为25求出PQ 的长，则可得217101066t t +-=，解得115t =-，28t =，30t =，47t =-，则可求得点P 的坐标； （3）根据二次函数的图象与性质可得抛物线的对称轴为直线522O A x x x +==，由圆周角性质的推论，直径所对的圆周角为直角，则M 必须在以AB 为直径的圆上，而M 又在抛物线上，M 在以AB 为直径的圆和抛物线的交点处均符合题意， 圆与抛物线共有四个交点为O ，A ，C ，3M ，由图象可得()184M ，，()200M ，，由3M 与()84C ，关于直线52x =对称可求解3M 的坐标． 【详解】解：（1）∵210y x =-+与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，当0y =时，即2100x -+=，解得5x =，△()50A ，， 当0x =时，10y =，△()010B ，． ∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为2y ax bx =+．△2y ax bx c =++过()50A ，，()84C ，， 则25506484a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得1656a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， △该抛物线的解析式为21566y x x =-． △()5,0A ，()0,10B ，()8,4C ，△()()22250010125AB =-+-=； ()()222580425AC =-+-=；()()22208104100BC =-+-=；△222AC BC AB +=．△ABC 为以C 为直角顶点的直角三角形（2）存在．理由如下：作PQ x ⊥轴交直线AB 于点Q ，设21566P t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则()210Q t t -+，， △2171066P Q PQ y y t t =-=+-， △1·252PAB S OA PQ ==△，△15252PQ ⨯⋅= 即10PQ = 即217101066t t +-= 即217101066t t +-=或217101066t t +-=- 解得：115t =-，28t =，30t =，47t =-；当15t =-时，2155066P y t t =-=，此时()1550P -，； 当8t =时，215466P y t t =-=，此时()84P ，；当0t =时，215066P y t t =-=，此时()00P ，； 当7t =-时，2155066P y t t =-=，此时()714P -，； △综上所述：当P 的坐标为()1550P -，或()84P ，或()00P ，或()714P -，时，PAB △的面积为25． （3）由抛物线的轴对称性可知：抛物线的对称轴为直线522O A x x x +==， 若在抛物线找一点M 使ABM 为以AB 为斜边的直角三角形，即M 为直角顶点；由圆周角性质的推论，直径所对的圆周角为直角，则M 必须在以AB 为直径的圆上，而M 又在抛物线上，△M 在以AB 为直径的圆和抛物线的交点处均符合题意，如图所示：圆与抛物线共有四个交点，分别为O ，A ，C ，3M由（1）可知，当M 与O 或C 重合的时候均符合题意，与A 重合A ，B ，M 三点不能组成三角形，△()184M ，，()200M ， 而AB 的中点即圆心在抛物线的对称轴上，所以抛物线与圆具备了公共的对称轴，直线52x =， △圆与抛物线的四个交点是关于直线52x =对称， △3M 与()84C ，关于直线52x =对称，△3522M Cx x += 解得33M x =-，△()334M -，综上可知：()184M ，，()200M ，，()334M -，． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法、勾股定理逆定理、圆周角定理等知识，解题的关键是能够熟练掌握待定系数法并准确灵活应用所学知识解决问题．20．如图，梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，45A ∠=︒．30AB =，BC x =，其中530x ≤<．作DE AB ⊥于点E ，将ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在F 处，DF 交BC 于点G ．（1）用含有x 的代数式表示BF 的长；（2）设四边形DEBG 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式；（3）当x 为何值时，S 有最大值，并求出这个最大值．【答案】（1）230BF x =-；（2）23604502S x x =-+-；（3）当20x 时，S 有最大值，最大值为150【分析】（1）由等腰直角三角形的性质解题； （2）由等腰直角三角形的性质及三角形面积公式解题；（3）将函数关系配方成顶点式，结合二次函数图象与性质解题．。
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题8( 附答案)
高，正方形 DEFG 的边 DE 在高 CH 上，F ，G 两点分别在 AC ， AH 上．将正方形
DEFG 以每秒1cm 的速度沿射线 DB 方向匀速运动，当点 G 与点 B 重合时停止运
动．设运动时间为 ts ，正方形 DEFG 与 BHC 重叠部分的面积为 Scm2 ，则能反映 S 与
t 的函数关系的图象（ ）
2．二次函数 y= 2 3x2 的图象如图所示，点 O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，
点 B． C 在函数图象上，四边形 OBAC 为菱形，且∠AOB=30 0 ，则点 C 的坐标为（ ）
A．
1 2
,
3
B．
1 2
,
3 2
C．
1,
3 2
D． 1, 3
3．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB 90 ， AB 8cm ，CH 是 AB 边上的
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题 8（附答案）
1．汽车刹车后行驶的距离 s（单位：米）关于行驶的时间 t（单位：秒）的函数解析式
为 s=-6t2+bt（b 为常数）．已知 t= 1 时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ） 2
A． 15 米 2
B．8 米
C． 75 米 8
D．10 米
的大小变化情况是（ ）.
A．一直减小
B．一直不变
C．先减小后增大
D．先增大后减小
9．在▭ABCD 中，对角线 AC=4，BD=6，P 是线段 BD 上一动点，过 P 作 EF∥AC，与
▱ ABCD 的两边分别交于 E、F．设 BP=x，EF=y，则反映 y 与 x 之间关系的图象是（ ）
A．
B．
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题14( 附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——动态几何图形问题14（附答案）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、C（2，﹣3），抛物线与x轴的另一交点为点E，点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，点M为抛物线对称轴上一点，当四边形MBEP恰好是平行四边形时，求点P的坐标；（3）若点P在第四象限，连结P A、PE及AE，当t为何值时，△P AE的面积最大？最大面积是多少？（4）是否存在点P，使△P AE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝1120S△ABC，求m的值；（3）K 是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H ，使B 、C 、K 、H 为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H 的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6cm ，动点P 从点C 出发以1cm /s 的速度沿CA 匀速运动，同时动点Q 从点A 出发以2cm /s 的速度沿AB 匀速运动，当点P 到达点A 时，点P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t （s ）（1）当t ＝3时，线段PQ 的长为 cm ；（2）是否存在某一时刻t ，使点B 在线段PQ 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，以PC 为边，往CB 方向作正方形CPMN ，设四边形CPMN 与Rt △ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC .（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 是直线BC 上方抛物线上的点，若PCB BCO ∠=∠，求出P 点的到y 轴的距离.5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣6（a ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，且OB ＝3OA ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ． （1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点D 的坐标；（2）如图2，直线y ＝12x -+n 与抛物线交于G ，H 两点，直线AH ，AG 分别交y 轴负半轴于M ，N 两点，求OM+ON 的值；（3）如图1，点P 在线段DE 上，作等腰△BPQ ，使得PB ＝PQ ，且点Q 落在直线CD 上，若满足条件的点Q 有且只有一个，求点P 的坐标．6．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线4y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和点C ，抛物线23y ax x c =-+经过,A C 两点，并且与x 轴交于另一点B .点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点,A C 重合)，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE .设点D 的横坐标为m .(1)求抛物线的解析式;(2)当ECD EDC ∠=∠时，求出此时m 的值;(3)点D 在运动的过程中，EBF △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由.7．若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．（1）①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有 ；②若矩形ABCD 是“完美四边形”，且AB ＝4，则BC ＝ ；（2）如图1，“完美四边形”ABCD 内接于⊙O ，AC 与BD 相交于点P ，且对角线AC 为直径，AP ＝1，PC ＝5，求另一条对角线BD 的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”ABCD 的四个顶点A （﹣3，0）、C （2，0），B 在第三象限，D 在第一象限，AC 与BD 交于点O ，直线BD 的斜率为3，且四边形ABCD 的面积为153，若二次函数y ＝ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a 的值．8．如图，抛物线与x 轴相交于点 (3, 0)A -、点 (1, 0)B ，与 y 轴交于点(0, 3)C ，点 D 是抛物线上一动点， 联结 O D 交线段 AC 于点 E ．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求 ACB ∠的正切值；（3）当AOE ∆与ABC ∆相似时，求点 D 的坐标．9．如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．10．如图，批物线2y ax bx c =++经过点()2,0A -，B 两点，对称轴为1x =，与y 轴交于点()0,6C ，点P 是抛物线上一个动点，设点P 的横坐标为()14m m <<.连接BC .（1）求抛物线的函数解析式；（2）当BCP ∆的面积等于92时，求点P 的坐标； 11．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0）和B 点，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，点P在该抛物线上滑动且满足S△P AB＝8，请求出此时P点的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣45x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图a，已知抛物线y=－12x2+bx+c经过点A(4，0) 、C(0，2)，与x轴的另一个交点为B．（1）求出抛物线的解析式.（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC 的形状.并证明你的结论.（3）如图a,在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由.14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣32（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，这条抛物线的顶点为D．（1）求点D的坐标．（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E．当CE＝2AB时，求点D的坐标．（3）这条抛物线与直线y＝﹣x相交，其中一个交点的横坐标为﹣1．过点P（m，0）作x轴的垂线，交这条抛物线于点M，交直线y＝﹣x于点N，且点M在点N的下方．当线段MN的长度随m的增大而增大时，求m的取值范围．（4）点Q在这条抛物线上运动，若在这条抛物线上只存在两个点Q，满足S△ABQ＝3S△ABC，直接写出a的取值范围．15．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm.点P、Q是BC边上两个动点(点Q在点P右边)，PQ＝2cm，点P从点C出发，沿CB向右运动，运动时间为t秒.5s后点Q到达点B，点P、Q停止运动，过点Q作QD⊥BC交AB于点D，连接AP，设△ACP 与△BQD的面积和为S(cm²)，S与t的函数图像如图2所示.(1)图1中BC＝cm，点P运动的速度为cm/s；(2)t为何值时，面积和S最小，并求出最小值；(3)连接PD，以点P为圆心线段PD的长为半径作⊙P，当⊙P与ABC的边相切时，求t的值.16．已知抛物线C1：y＝ax2﹣4ax﹣5的开口向上．（1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标；（2）试说明抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；（3）将抛物线C1沿（2）所求的两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，①写出抛物线C2的表达式；②当抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．17．如图1，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，作等腰直角三角形ABC，使∠BAC ＝90°，将△ABC沿着射线AB平移得到△A′B′C′，当点A′与点B重合时停止运动．设平移距离为m，△A′B′C′与△ABO重合部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示．（其中0≤m≤255m2555时，函数的解析式不同）（1）填空：a＝；（2）求直线AB的解析式；（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t 的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x 轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N 的坐标．（3）过点A 的直线与抛物线交于点F ，当tan ∠FAC ＝12时，求点F 的坐标． （4）过点D 作直线AC 的垂线，交AC 于点H ，交y 轴于点K ，连接CN ，△AHK 沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK 与四边形DGNC 产生重叠，设重叠面积为S ，移动时间为t （0≤t≤5），请直接写出S 与t 的函数关系式． 20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，15AC =，20BC =.动点P 以每秒5个单位长度的速度从点A 出发，沿A C B →→的方向向终点C 运动.点P 关于点C 的对称点为D ，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，以PD 、PQ 为边作PDEQ ，设点P 的运动时间为()t s .（1）当点P 在AC 上运动时，用含t 的代数式表示PQ 的长.（2）当PDEQ 为菱形时，求t 的值.（3）设PDEQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式.（4）作点E 关于直线PQ 的对称点E '，当点E '落在ABC ∆内部时，直接写出t 的取值范围.21．如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q是对称轴上一动点，当OQ+BQ最小时，求点Q的坐标．（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．22．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h)2-4(a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．24．如图，矩形ABCD的两边长AB＝16cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x（秒），设△BPQ的面积为ycm2．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当△BPQ面积有最大值时，求x的值．25．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D 在AB 边上，EF 在BC 边上，点G 在AC 边上，设EF ＝x ，矩形DEFG 的面积为y ．（1）求出y 与x 之间的函数关系式；（2）直接写出自变量x 的取值范围_______；（3）若DG ＝2DE ，则矩形DEFG 的面积为_______．27．如图，已知抛物线23y x mx =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标． （3）点M 是抛物线在第一象限内图像上的任意一点，求当∆BCM 的面积最大时点M 的坐标.28．已知：如图.在△ABC 中.AB =AC =5cm ，BC =6cm .点P 由B 出发，沿BC 方向匀速运动.速度为1cm /s .同时，点Q 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动.速度为1cm /s ，过点P 作PM ⊥BC 交AB 于点M ，过点Q 作QN ⊥BC ，垂足为点N ，连接MQ ，若设运动时间为t (s )(0<t <3)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，点M 是边AB 中点?（2）设四边形PNQM 的面积为y (cm 2)，求出y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形PNQM :S △ABC =4:9?若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t ，使四边形PNQM 为正方形?若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.29．如图1，已知抛物线y ＝﹣x 2+2x +c 与x 轴交于A 、B 两点，其中点A （﹣1，0），抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）如图2，直线l 是抛物线的对称轴，点P 是直线l 上一动点，是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（2）如图3，连接BC ，点M 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，当△MBC 的面积最大时，求△MBC 的面积的最大值；点N 是线段BC 上的一点，求MN +22BN 的最小值．30．如图在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y ax bx =+与x 轴交于点()10,0A ，点()1,2B 是抛物线上点，点M 为射线OB 上点(不含,O B 两点)，且MH x ⊥轴于点H .(1)求直线OB 及抛物线解析式;(2)如图,过点M 作//MC x 轴,且与抛物线交于,C D 两点(D 位于C 左边),若MC MH =,点Q 为直线BC 上方的抛物线上点,求OBQC 面积的最大值，并求出此时点Q 的坐标;参考答案1．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（4，5）；（3）当t＝32时，S有最大值278；（4）存在，理由，点P的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）【解析】【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，故点E（3，0），即可求解；（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝3，故t＝4，则点P（4，5）；（3）△P AE的面积S＝12PH×OE＝32（t﹣3﹣t2+2t+3）＝32（﹣t2+3t），即可求解；（4）分∠PEA＝90°、∠P AE＝90°两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，故点E（3，0），抛物线表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝4，故t＝4，则点P（4，5）；（3）过点C作y轴的平行线交AE于点H，由点A、E的坐标得直线AE的表达式为：y＝x﹣3，设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），△P AE 的面积S ＝12PH ×OE ＝32（t ﹣3﹣t 2+2t +3）＝32（﹣t 2+3t ）， 当t ＝32时，S 有最大值278； （4）直线AE 表达式中的k 值为1，则与之垂直的直线表达式中的k 为﹣1．①当∠PEA ＝90°时，直线PE 的表达式为：y ＝﹣x +b ，经点E 的坐标代入并解得：直线PE 的表达式为：y ＝﹣x +3…②，联立①②并解得：x ＝﹣2或3（舍去3），故点P （﹣2，5）；②当∠P AE ＝90°时，同理可得：点P （1，﹣4）；综上，点P 的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．2．（1）y ＝﹣14x 2+32x +4；（2）m 1＝4或m 2＝223；（3）点H 坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．【解析】【分析】（1）结合A （﹣2，0），B （8，0）由两点式可得抛物线解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣8），求出点C 坐标，代入即可求出抛物线解析式；（2）点P 在抛物线上，可设P （m ，﹣14m 2+32m +4），结合C 点坐标可得直线PC 的解析式，已知直线与对称轴交点E 的坐标，DE 长可知，根据S △ABC ＝12×AB ×OC 求出其面积，由题中条件可知△CDP 的面积，由三角形面积公式可得m 的值；（3）分类讨论，①若BC 为边，∠CBK ＝90°时，将BC 绕点B 逆时针旋转90°得到BC '，根据AAS 证明△BCO ≌△BC 'E ，依据全等的性质可得点B 点C 的坐标，求出直线BC 的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点K 横坐标，由矩形的性质可知x C ﹣x B ＝x H ﹣x K ，C B K H y y y y -=-，结合点B 、C 、D 点坐标可得H 点坐标.②若BC 为边，∠BCK ＝90°时，同理可求：直线CK的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，同理可得H 点坐标；③若BC为对角线，由B点C点坐标可得BC的中点坐标及BC的长，点K在抛物线上，设设点K（x，﹣14x2+32x+4），利用勾股定理可求出x的值，选择符合题意的，求出点K坐标后结合KH的中点坐标可知H点坐标，综上所述，点H的坐标有3种情况. 【详解】（1）∵A（﹣2，0），B（8，0）∴OA＝2，OB＝8，∵OC＝2OA，∴OC＝4，∴点C（0，4）∵设y＝a（x+2）（x﹣8）经过点C，∴4＝﹣16a，∴a＝﹣14，∴抛物线解析式为：y＝﹣14（x+2）（x﹣8）＝﹣14x2+32x+4；（2）如图1，由题意：点D（3，0），∴OD＝3，设P（m，﹣14m2+32m+4），（m＞0，﹣14m2+32m+4＞0）∵C（0，4），∴直线PC的解析式可表示为：y＝（﹣14m+32）x+4，设直线PC与对称轴的交点为E，则点E（3，﹣34m+172），∴DE＝﹣34m+172，∵S△ABC＝12×AB×OC，∴S△ABC＝12×10×4＝20，∵S△CDP＝1120S△ABC，∴12×（﹣34m+172）×m＝1120×20，∴m1＝4或m2＝223；（3）若BC为边，∠CBK＝90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'，∴BC＝BC'，∠CBC'＝90°，∴∠CBO+∠C'＝90°，∠CBO+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBC'，且BC＝BC'，∠BEC'＝∠BOC＝90°，∴△BCO≌△BC'E（AAS）∴BE＝OC＝4，OB＝EC'＝8，∴点C'（4，﹣8），且B（8，0）∴直线BC'解析式为：y＝2x﹣16，∴2x﹣16＝﹣14x2+32x+4，∴x1＝﹣10，x2＝8，∴点K（﹣10，﹣36），∵x C﹣x B＝x H﹣x K，∴0﹣8＝x H﹣（﹣10），∴x H ＝﹣18，∵C B K H y y y y -=-，∴y H ＝﹣32，∴点H （﹣18，﹣32），若BC 为边，∠BCK ＝90°时，同理可求：直线CK 的解析式为：y ＝2x +4，∴2x +4＝﹣14x 2+32x +4， ∴x 1＝﹣2，x 2＝0，∴点K 坐标（﹣2，0）∵C B K H x x x x -=-，∴0﹣8＝﹣2﹣x H ，∴x H ＝﹣6，∵C B K H y y y y -=-，∴y H ＝﹣4，∴点H （6，﹣4），若BC 为对角线，∵B 、C 、K 、H 为顶点的四边形成为矩形，∴BC ＝KH ，BC 与KH 互相平分，∵B （8，0），C （0，4）∴BC 中点坐标（4，2），BC设点K （x ，﹣14x 2+32x +4）∴（x ﹣4）2+（﹣14x 2+32x +4﹣2）2＝（2， ∴x （x ﹣2）2（x ﹣8）＝0，∴x 1＝0，x 2＝2，x 3＝8，∴K （2，6），且KH 的中点坐标（4，2），∴点H （6，﹣2）综上所述：点H 坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）．【点睛】本题考查了抛物线的综合，熟练掌握抛物线解析式的求法及利用矩形的性质求满足条件的抛物线上的点坐标是解题的关键.3．（1）3；（2）存在，理由见解析, t ＝（12﹣s ；（3）S ＝t 2（0＜t ≤3）或S ＝﹣t 2+12t ﹣18（3＜t ≤6）【解析】【分析】（1）由题意得：当t ＝3时，PC ＝3＝12AC ，AQ ＝＝12AB ，即P 、Q 分别为AC 、AB 的中点，得出PQ 为△ABC 的中位线，得出PQ ＝12BC ＝3即可； （2）由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）分两种情况，由正方形面积公式和三角形面积公式，即可得出答案．【详解】（1）∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，∴AB ＝，当t ＝3时，PC ＝3＝12AC ，AQ ＝＝12AB ， 即P 、Q 分别为AC 、AB 的中点，∴PQ 为△ABC 的中位线，∴PQ ＝12BC ＝3（cm ）； 故答案为：3；（2）存在．理由如下：连接BP ．如图1，在Rt △ACB 中，∵AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，∴AB ＝，若点B 在线段PQ 的垂直平分线上，则BP ＝BQ ，∵AQ t ，CP ＝t ，∴BQ ＝t ，∵PB 2＝62+t 2，∴（62﹣2t ）2＝62+t 2，整理得：t 2﹣24t +36＝0，解得：t ＝12﹣63或t ＝12+63（舍去），∴t ＝（12﹣63）s 时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上．（3）分两种情况：①当0＜t ≤3时，如图2：S ＝正方形CPMN 的面积＝t 2；②当3＜t ≤6时，如图3：∵PC ＝t ，AC ＝6，∴AP ＝6﹣t∵∠C ＝∠APM ＝∠M ＝90°，∠A ＝∠EFM ＝45°，∴△APE ∽△FME ∽△ACB ，并且都是等腰直角三角形∴PE ＝AP ＝6﹣t ，∴EM ＝FM ＝t ﹣（6﹣t ）＝2t ﹣6，∴S ＝S 正方形CPMN ﹣S Rt △EFM ＝t 2﹣12（2t ﹣6）2＝﹣t 2+12t ﹣18； 综上所述，S 关于t 的函数关系式为：S ＝t 2（0＜t ≤3）或S ＝﹣t 2+12t ﹣18（3＜t ≤6）．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形中的动点问题，根据题意，分类讨论，求出二次函数解析式，是解题的关键.4．（1）224233y x x =-++（2）存在，()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）118【解析】【分析】（1）将点A （-1，0），B （3，0）代入y=ax 2+bx+2即可；（2）由题得，()3,0B ，()0,2C ，设()1,N n ，(),M x y ，按照分类讨论的方法得到符合条件的值；（3）过点B 作BH 平行于y 轴交PC 的延长线与H 点，过点H 作HN 垂直y 轴于N ，先利用平行线的性质、等量代换等求证HC HB =、HB OB ⊥，Rt HCN ∆利用勾股定理求出H 坐标，写出直线CP 的函数表达式，求出一次函数与二次函数的交点P 的坐标，即可得到答案.【详解】（1）解：（1）将点()1,0A -，()3,0B 代入22y ax bx =++， 可得23a =-，43b =， ∴224233y x x =-++； （2）存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，由题得，()3,0B ，()0,2C ，设()1,N n ，(),M x y ，①四边形CMNB 是平行四边形时，1322x +=，∴2x =-， ∴102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ②四边形CNBM 时平行四边形时，3122x +=，∴2x =， ∴()2,2M ；③四边形CNNB 时平行四边形时，1322x +=，∴4x =， ∴104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上所述：()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）过点B 作BH 平行于y 轴交PC 的延长线与H 点.∵BH OC∴OCB HBC ∠=∠又OCB BCP ∠=∠∴PCB HBC ∠=∠∴HC HB =又OC OB∴HB OB ⊥故可设()3,H m ，即HB HC m ==过点H 作HN 垂直y 轴于N在Rt HCN ∆中，则()22232m m =+-解得134m = ∴133,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线CP 的解析式为y kx b =+得21334b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩得512k =，2b = ∴5212y x =+故2245223312x x x -++=+ 解得10x =（舍去），2118x = 即点P 到y 轴的距离是118 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的性质，灵活运用勾股定理求边长，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．5．（1）y ＝12（x ﹣2）2﹣8，D （2，﹣8）（2）9;（3）P （2，8﹣） 【解析】【分析】（1）由OB=3OA 可设A （-t ，0），B （3t ，0），代入抛物线解析式即得到关于a 、t 的二元方程，解方程求出a 即求得抛物线解析式，配方即得到顶点D 的坐标．（2）由（1）求得t=2可知点A （-2，0），设G （x 1，12x 12-2x 1-6），H （x 2，12x 22-2x 2-6），把直线y=−12x+n 与抛物线解析式联立方程组，消去y 后整理得关于x 的一元二次方程，x 1、x 2即为方程的解，根据韦达定理求得x 1+x 2=3．设直线AG 解析式为y=kx+b ，把点A 、G 坐标代入求出b 的值即为点N 纵坐标，进而得到用x 1表示的ON 的值，同理可求得用x 2表示的OM 的值，相加再把x 1+x 2代入即求得OM+ON 的值．（3）以点P 为圆心，PB 长为半径的⊙P ，由于满足PB=PQ （即点Q 在⊙P 上）且点Q 在直线CD 上的点Q 有且只有一个，即⊙P 与直线CD 只有一个公共点，所以直线CD 与⊙P 相切于点Q ．由（1）得点C 、D 坐标可知直线CD 与DE 夹角为45°，△PDQ 为等腰直角三角形，PD=⎷ 2PQ=⎷ 2PB ．设点P 纵坐标为p ，用p 表示PB 和PD 的长并列得方程即可求p 的值．由于点P 在线段DE 上，故p 的值为负数，舍去正数解．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣6与x 轴交于A ，B 两点，OB ＝3OA∴设A （﹣t ，0），B （3t ，0）（t ＞0）∴2246091260at at at at ⎧+-=⎨--=⎩ 解得：122a t ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝12x 2﹣2x ﹣6＝12（x ﹣2）2﹣8 ∴顶点D 的坐标为（2，﹣8）（2）∵t ＝2∴A （﹣2，0）设抛物线上的点G （x 1，12x 12﹣2x 1﹣6），H （x 2，12x 22﹣2x 2﹣6） ∵直线y ＝12x -+n 与抛物线交于G ，H 两点 ∴2121262y x n y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ 整理得：x 2﹣3x ﹣12﹣2n ＝0 ∴x 1+x 2＝3设直线AG 解析式为y ＝kx+b ，即N （0，b ）（b ＜0） ∴21112k b 0 1kx b x 2x 6 2-+=⎧⎪⎨+=--⎪⎩①② ①×x 1得：﹣2kx 1+bx 1＝0 ③②×2得：2kx 1+2b ＝x 12﹣4x 1﹣12 ④③+④得：（x 1+2）b ＝（x 1+2）（x 1﹣6）∵点G 与A 不重合，即x 1+2≠0∴b ＝x 1﹣6即ON ＝﹣b ＝6﹣x 1同理可得：OM ＝6﹣x 2∴OM+ON ＝6﹣x 2+6﹣x 1＝12﹣（x 1+x 2）＝12﹣3＝9（3）如图，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，以点P 为圆心、PB 为半径作圆∵PB＝PQ∴点Q在⊙P上∵有且只有一个点Q在⊙P上又在直线CD上∴⊙P与直线CD相切于点Q∴PQ⊥CD由（1）得：B（6，0），C（0，﹣6），D（2，﹣8）∴CF＝2，DF＝﹣6﹣（﹣8）＝2，即CF＝DF∴∠CDF＝45°∴△DPQ为等腰直角三角形∴PD2PQ∴PD2＝2PQ2＝2PB2设P（2，p）（﹣8≤p≤0）∴PD＝p+8，PB2＝（6﹣2）2+p2＝16+p2∴（p+8）2＝16+p2解得：p1＝8﹣6，p2＝6（舍去）∴点P坐标为（2，8﹣6）【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，圆的定义，切线的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理．第（2）题的解题关键是设点G、H的坐标，求直线AG、AH解析式，即得到OM、ON的表示，联立直线GH与抛物线解析式得到点G、H横坐标的关系并代入求OM+ON，计算量较大．第（3）题的解题关键是由PB=PQ联想到圆，再由有且只有一个满足条件的Q 联想到相切，体现数形结合的过程．6．(1) 234y x x =--；(2)当ECD EDC ∠=∠时，4m =-(3)存在. 1.5m =时，BEF 的周长最小.【解析】【分析】(1)易求(),)40 04(A C -，，，根据待定系数法，即可得到答案； (2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H ，易得：点()()2,34, ,4D m m m E m m ---，进而可知：,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =，根据ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，列出方程，即可求解；(3)易证：BFE △的周长=BF FE BE BF AF BE AB BE ++=++=+，可知：当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小，进而可求出BEF 的周长最小时，m 的值.【详解】(1)在4y x =-中，当0x =时，4y =-；当0y =时，4x =，40())0,( 4A C ∴-，，.把()()4,0,0,4A C -代入23y ax x c =-+中， 得： 161204a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式是234y x x =--；(2)过点E 作EH y ⊥轴，垂足为H .4OA OC ==，45OAC OCA ∴∠=∠=︒，45HEC HCE ∴∠=∠=︒.点()()2,34, ,4D m m m E m m ---， ,EH HC m ∴==()()224 344ED m m m m m =----=-+，EC =，∴当ECD EDC ∠=∠时，EC ED =，2 4m m =-+，解得：10m =(舍去)，242m =-.∴当ECD EDC ∠=∠时，42m =-；(3)存在.在抛物线234y x x =--中，当0y =时，2340x x --=，解得121,4x x =-=， ∴点B 坐标为()1,0-.45FAE FEA ∠=∠=︒，EF AF ∴=.设BFE △的周长为l ，则l BF FE BE BF AF BE AB BE =++=++=+，AB 的值不变，∴当BE 最小，即BE AC ⊥时，BFE △的周长最小.当BE AC ⊥时，45EBA BAE ∠=∠=︒，BE AE ∴=，2.5BF AF ∴==，1.5m ∴=时，BEF 的周长最小.【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合问题，把动点E 的坐标用未知数m 表示出来，是解题的关键，体现了数形结合的思想方法.7．（1）①菱形、正方形；②43或43；（2）BD＝26；（3）a的值为-6-3或6-3．【解析】【分析】（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断．②矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线夹角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan60°．由于AB边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算．（2）过O点作OH垂直BD，连接OD，由∠DPC=60°可求得OH，在Rt△ODH中勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD=2DH．（3）由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为y=3x，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y=a（x+3）（x-2），把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，所以用韦达定理得到x B+x D和x B•x D进而得到用a表示的（x B-x D）2．又由四边形面积可求得x B-x D=6，即得到关于a的方程并解方程求得a．【详解】（1）①∵菱形、正方形的对角线互相垂直，∴菱形、正方形不是“美丽四边形”．故答案为：菱形、正方形．②设矩形ABCD对角线相交于点O∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵矩形ABCD是“美丽四边形”，∴AC、BD夹角为60°，i）如图1，若AB＝4为较短的边，则∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形∴∠OAB＝60°∴Rt △ABC 中，tan ∠OAB ＝3BC AB=， ∴BC ＝3AB ＝43， ii ）如图2，若AB ＝4为较长的边，则∠BOC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴OCB ＝60°，∴Rt △ABC 中，tan ∠OCB ＝AB BC ＝3， ∴BC ＝3＝433． （2）过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接OD∴∠OHP ＝∠OHD ＝90°，BH ＝DH ＝12BD ， ∵AP ＝1，PC ＝5∴⊙O 直径AC ＝AP+PC ＝6∴OA ＝OC ＝OD ＝3∴OP ＝OA ﹣AP ＝3﹣1＝2∵四边形ABCD 是“美丽四边形”∴∠OPH ＝60°，∴Rt △OPH 中，sin ∠OPH ＝OH 3OP =，∴OH＝3op ＝3， ∴Rt △ODH 中，DH ＝22OD OH -＝223(3)-＝6，∴BD ＝2DH ＝26．（3）过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于点N∴∠BMO ＝∠DNO ＝90°∵直线BD 3∴直线BD 解析式为y 3，∵二次函数的图象过点A （﹣3，0）、C （2，0），即与x 轴交点为A 、C∴用交点式设二次函数解析式为y ＝a （x+3）（x ﹣2） ∵(3)(2)3y a x x y x =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， 整理得：ax 2+（a 3x ﹣6a ＝0， ∴x B +x D 3a -x B •x D ＝﹣6 ∴（x B ﹣x D ）2＝（x B +x D ）2﹣4x B •x D 3a -）2+24 ∵S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝12AC•BM+12AC•DN ＝12AC （BM+DN ）＝12AC （y D ﹣y B ）＝12AC 3D 3B ）＝53（x B ﹣x D ）． 53（x B ﹣x D ）＝3∴x B ﹣x D ＝6，∴）2+24＝36，解得：a 1＝611--，a 2＝611-∴a 611 【点睛】本题考查了新定义的理解和性质应用，菱形、正方形的性质，矩形的性质，特殊三角函数的应用，垂径定理，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．8．（1）223y x x =--+,(1,4)-；（2）2；（3）点D 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或(【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；（2）如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，构造等腰直角△ABH 和直角△BCH ，利用勾股定理和两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而利用锐角三角函数的定义求得答案； （3）如图2，过点D 作DK ⊥x 轴于点K ，构造直角△DOK ，设D （x ，−x 2−2x ＋3），则K （x ，0）．并由题意知点D 位于第二象限．由于∠BAC 是公共角，所以当△AOE 与△ABC 相似时，有2种情况：①∠AOD ＝∠ABC ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ABC ＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 的坐标．②∠AOD ＝∠ACB ．则tan ∠AOD ＝tan ∠ACB ＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D 的坐标．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠抛物线2y ax bx c =++过点(3,0),(1,0),(0,3)A B C -9303a b ca b cc-+=⎧⎪∴++=⎨⎪=⎩解得123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴这条抛物线的解析式为223y x x=--+顶点坐标为(1,4)-（2）解：过点B作BH AC⊥，垂足为H90,3AOC OA OC︒∠===45,32OAC OCA AC︒∴∠=∠==90BHA︒∠=90HAB HBA︒∴∠+∠=45HAB HBA︒∴∠=∠=在Rt AHB∆中，222,4AH BH AB AB+==22AH BH∴==32222CH∴==90BHC︒∠=22tan22BHACBCH∴∠===（3）解：过点D作DK x⊥轴，垂足为K设()2,23D x x x --+，则(,0)K x ，并由题意可得点D 在第二象限 223,DK x x OK x ∴=--+=- BAC ∠是公共角∴当AOE ∆与ABC ∆相似时存在以下两种可能①AOD ABC ∠=∠tan tan 3AOD ABC ∴∠=∠=2233x x x--+∴=- 解得1113x -=，2113x += 1133133,22D ⎛⎫-∴ ⎪ ⎪⎝⎭②AOD ACB ∠=∠tan tan 2AOD ACB ∴∠=∠=2232x x x--+∴=- 解得13x =-23x =（舍去）(3,23)D ∴综上所述：当AOE ∆与ABC ∆相似时，点D 的坐标为1133133,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,23-【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1）或P（-1，）或P（-1，6）或P（-1，5 3）；（3）当a=-32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638，此时，点E坐标为（-32，154）．【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y 轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【详解】。
二次函数--图像专题及答案解析
二次函数经典题一、选择题61．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,则正确的结论是（ ）A ．abc>0B ．3a +c ＜0C ．4a+2b+c ＜0D ．b 2 -4ac ＜062．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）~A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④63．如图，半圆D 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是 （ ）A ．21y x x 4B ．2y x xC ．21y x x 4D ．21y x x 4 64．如右图，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象过A （－3，0），对称轴为直线x=－1，下列结论：①b 2>4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5a<b ；⑤a －b>m(am ＋b)(m ≠－1)其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个?65．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．2b a>1 D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a 66．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴的交点在(0,2)的下方，与x 轴的交点为（x 1，0）和（2，0），且-2＜x 1＜-1，则下列结论正确的是（ ）A 、0abc >B 、0a b c -+<C 、210a b ++>D 、0a b +>67．给出下列命题及函数y x =，2y x =和1y x =的图象 ：①如果21a a a>>，那么0a 1<<； ②如果21a a a>>，那么a 1>； ③如果21a a a>>，那么1a 0-<<； ④如果21a a a>>时，那么a 1<-. 则（ ）A. 正确的命题是①④B. 错误．．的命题是②③④ C. 正确的命题是①② D. 错误．．的命题只有③ -68．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列结论：①a<0，②b<0，③c<0，④4a-2b+c<0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个69．二次函数)0(2≠++=a c bx x a y 图像如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +=，③930a b c ++>，④方程20ax bx c ++=的解是-2和4，⑤不等式20ax bx c ++>的解集是24x -<<，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个<70．小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32ab ． 你认为其中正确信息的个数有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个71．已知二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．图象关于直线1x =对称B ．函数2y ax bx c =++(0)a ≠的最小值是-4C ．当1x <时，y 随x 的增大而增大…D ．-1和3是方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根72．给出下列四个命题：（1）将一个n （n≥4）边形的纸片剪去一个角，则剩下的纸片是n+1或n-1边形；（2）若31x x --=，则x=1或x=3；（3）若函数32(23)k y k x x-=-+是关于x 的反比例函数，则32k =；（4）已知二次函数2y ax bx c =++，且a ＞0，a-b+c ＜0,则240b ac -≤。
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题6(附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题6（附答案）1．某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ） A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．36cm2．用长8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）.A ．28425m B ．243m C ．283mD ．24m3．某校的围墙上端由- -段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，栅栏的跨径AB 间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC 为0.6米，以O 为原点，OC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据以上的数据，则这段栅栏所需立柱的总长度（精确到0.1米）为（ ）A ．1.5米B ．1.9米C ．2.3米D ．2.5米4．某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为( ) A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．36cm5．长方形的周长为24cm ，其中一边长为xcm （0x >），面积为ycm 2，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A ．2yx B ．212y x =-C ．y=（12-x ）xD ．212y x =-（）6．矩形一边长为x ，周长为8，则当矩形面积最大时，x 的值为（ ） A ．4B ．2C ．6D ．57．在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上.若AB 所在的直角边为8m ，AD 所在的直角边为6m ，则矩形的面积y （m 2）与AB 边的长x （m ）的函数关系及y 的最大值为（ ）A ．2364y x x =-+，12 B ．2364y x x =--，12 C ．2364y x x =-+，16D ．2364y x x =--，168．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y =﹣14x 2，当水位线在 AB 位置时，水面宽 12m ，这时水面离桥顶的高度为（ ）A ．3mB ．26mC ．43mD ．9m9．一块边缘呈抛物线形的铁片如图放置，测得20AB cm =，抛物线的顶点到AB 边的距离为25cm .现要沿AB 边向上依次截取宽度均为4cm 的矩形铁皮，如图所示.已知截得的铁皮中有一块是正方形，则这块正方形铁皮是（ ）.A ．第七块B ．第六块C ．第五块D ．第四块10．如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝4，D 为AB 的中点，点E ，F 分别在线段AD ，BC 上，且BF ＝2AE ，连结EF 交中线AD 于点G ，连结BG ，设AE ＝x （0＜x ＜2），△BEG 的面积为y ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．38y =x 2+32x B ．234y x =3x C ．23y x =+23x D ．23y x =+3x11．已知抛物线()2210y ax ax a a =+++≠过点(),3Am ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于2，则代数式22a a --的最小值是_______.12．如图，某水渠的横截面呈抛物线形，当水面宽8m 时，水深4m ，当水面下降1m 时，水面宽为_____m ．13．如图，已知正方形OBCD 的三个顶点坐标分别为B(1,0),C(1,1), D(0,1). 若抛物线2()y x h =-与正方形OBCD 的边共有3个公共点，则h 的取值范围是___________.14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为__________15．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x= -2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间（C 不与A 、B 重合）.若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为_________ .（ 用含a 的式子表示）.16．某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为103m ，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图），在离中心水平距离4m 处达到最高，高度为6m ，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径AB 为____m ．17．如图，平行于y 轴的直线l 被抛物线y ＝12x 2+1、y ＝12x 2﹣1所截．当直线l 向右平移3个单位时，直线l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为_____平方单位．18．如图，抛物线与轴正半轴交于点A （3，0）．以OA 为边在轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF ，则= ，点E 的坐标是 ．19．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称．AB ∥x 轴，AB=4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH=1cm ，BD=2cm ．则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式为__________________________________．20．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.21．关于x 的二次函数y=-x 2+bx+c 经过点A （-3，0），点C （0，3），点D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上.（1）求抛物线的解析式；（2）DE 上是否存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．如图，利用一面墙（墙的长度为15 m ），用篱笆围成一个矩形花园ABCD ，中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，共用去篱笆42 m.设平行于墙的一边BC 长为x m ，花园的面积为S m 2．（1）求S 与x 之间的函数解析式；（2）问花园面积可以达到120平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由.23． 已知：直线y=-x-4分别交x 、y 轴于A 、C 两点，点B 为线段AC 的中点，抛物线y=ax 2+bx 经过A 、B 两点， （1）求该抛物线的函数关系式；（2）以点B 关于x 轴的对称点D 为圆心，以OD 为半径作⊙D ，连结AD 、CD ，问在抛物线上是否存在点P ，使S △ACP =2S △ACD ？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E为⊙D上一动点(不与A、O重合)，连结AE、OE，问在x轴上是否存在点Q，使∠ACQ：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；25．如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF＝2，BF＝1，为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．26．已知:ABC中，边AB及AB边上的高CD的和为40cm．()1请直接写出ABC的面积()2x cm之间的函数关系式(不要求S cm与边AB的长()写出自变量x的取值范围)；()2当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？27．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(-3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求出△BCD的面积.ABCD，饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为28．某农场要建一个饲养场（长方形)27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处ABCD的宽各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长60米，设饲养场（长方形)为x米．（1）求饲养场的长BC（用含x的代数式表示）．270m，求x的值．（2）若饲养场的面积为2（3）当x为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少2m？29．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m，就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．参考答案1．A 【解析】 【分析】设y 与x 之间的函数关系式为y=kx 2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论． 【详解】解：设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx 2，由题意，得 18＝9k ， 解得：k ＝2， ∴y ＝2x 2，当y ＝72时，72＝2x 2， ∴x ＝6． 故选：A ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 2．C 【解析】 【分析】设窗的高度为xm ，宽为823x-m ，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可． 【详解】解：设窗的高度为xm ，宽为（823x-）m ， 故S=()823x x -． ∴S=22833x x -+ =()228233x --+ ． ∴当x=2m 时，S 最大值为83m 2．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，根据矩形面积公式列出函数表达式是解题的关键．3．C【解析】【分析】由题意可知，A点坐标为（0.6，0.6），代入y=ax2，可求出解析式．由于OC左右两边四根栅栏的底端横坐标已知，根据所求解析式，可计算出纵坐标，高度也就可以表示出来，计算即可．【详解】解：抛物线顶点在原点，设抛物线解析式为y=ax2，把点A（0.6，0.6）代入解析式得a=53，∴y=53x2，∴（0.2，115），（0.4，415）是该抛物线的两点，∴这段栅栏所需立柱的总长度=（0.6-115+0.6-415）×2+0.6≈2.3（米）．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的应用，得出抛物线上点的坐标是解题关键．4．A【解析】设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由题意，得18=9k，解得：k=2，∴y=2x2，当y=72时,72=2x2，∴x=6.故选A.5．C【解析】【分析】先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积=长×宽列出函数关系式．【详解】∵长方形的周长为24cm,其中一边为x(其中x>0)，∴长方形的另一边长为12−x ，∴y=(12−x)⋅x.故选C.【点睛】本题考查二次函数的关系式，解题的关键是掌握长方形的面积公式.6．B【解析】【分析】根据矩形面积公式列出函数关系式，用配方法化成顶点式求解即可.【详解】 解：由题意得：矩形面积221=(82)=4(2)42S x x x x x ，所以当x=2时，矩形面积S 有最大值4，故选：B.【点睛】本题考查的是二次函数的应用，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．7．A【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质先用含x 的式子表示出AD ，然后根据矩形面积公式列出函数关系式，用配方法化成顶点式求解即可.【详解】解：∵AB ∥CD ，∴△NDC ∽△NAM ，∴ND CD NA AM ，即68ND x ， ∴ND=34x ， ∴AD=(6-34x )， ∴y=(6-34x )x=22336(4)1244x x x -+=--+， 所以当x=4时，y 有最大值12，故选：A.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．8．D【解析】试题解析：由已知12m AB =知：点B 的横坐标为6.把6x =代入214y x =-， 得9.y =-即水面离桥顶的高度为9m.故选D.9．B【解析】试题分析：依题意设抛物线函数关系式为2y=ax bx c ++，则设顶点为（0,25）；A 为（-10,0）B 为（10,0）把顶点坐标代入解析式得：c=25.则2y=ax bx 25++，分别把A ，B 两点坐标代入求得a=14-，b=0. 所以21y=-x 254+ 则所求矩形底边2x =4．则x=±2.把x=2代入解析式，求出y=24．则24÷4=6（块） 选B考点：抛物线点评：本题难度中等，主要考查学生结合抛物线图像解决实际问题．分析铁皮边长关系是解题关键．10．B【解析】【分析】过点F 作FH ⊥AB ，在Rt △FBH 中，∠FBH ＝60°，HB ＝x ，FH ，利用中位线求出GD x ，则y ＝1(4)2x x ⨯-； 【详解】过点F 作FH ⊥AB ，∵AE ＝x ，BF ＝2AE ，∴BF ＝2x ，在Rt △FBH 中，∠FBH ＝60°，∴HB ＝x ，FH ，∵AB ＝4，D 为AB 的中点，∴DE ＝2﹣x ，DH ＝2﹣x ，∴GD x ，∴y ＝21(4)2x x x ⨯-=+ 故选B ．【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质；掌握三角形中位线的性质，30°角的直角三角形边角关系是解题的关键．11．0【解析】【分析】根据二次函数的性质求出对称轴，然后结合线段AB 的长不大于2，求出a 的取值范围，再根据22a a --的增减性，求出最小值.【详解】 解：如图：∵抛物线()2210y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点， ∴对称轴为：2122+=-=-m n a a， ∴顶点为()1,1-，∴由题意可知a>0，∵线段AB 的长不大于2，∴a+1≥3，∴a≥2，∵当a≥2时22a a--随着a的增大而增大．∴当a=2时，22a a--有最小值，最小值为0；故答案为0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出a+1≥3，求出a 的取值范围是解题的关键．12．43【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系求出函数解析式，进而得出答案．【详解】如图所示：建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：y＝ax2，∵A（4，4），故4＝16a，解得：a＝14，则y＝14x2，当水面下降1m时，y＝3，则3＝14x2，解得：x＝±3故当水面下降1m时，水面宽为3．故答案为：3【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出函数函数解析式是解题关键．13．0<h<1【解析】【分析】分别画出h 不同取值时函数图象,由图直观得出与正方形有3个交点时h 的取值范围.【详解】图(1) 图(2) 图(3)图(1)当h=0时,抛物线与正方形有2个公共点,图(2)当 0<h<1时, 抛物线与正方形有3个公共点,图(3) 当h=1时,抛物线与正方形有2个公共点,所以当 0<h<1时符合要求.【点睛】本题考查函数图象的特点,数形结合是解答此题的关键.14．15【解析】试题解析：∵D 是抛物线26y x x =-+上一点，∴设2(,6)D x x x ，-+∵顶点C 的坐标为(4,3)，22435OC ，∴+= ∵四边形OABC 是菱形，5,BC OC BC x ∴==轴，22155(63)(3)1522S BCD x x x ，∴=⨯⨯-+-=--+ 502，-< BCD S ∴有最大值，最大值为15，故答案为15.15．a+4【解析】∵抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，∴OB ＝4.由抛物线的对称性知AB ＝AO ，∴四边形AOBC 的周长为AO ＋AC ＋BC ＋OB ＝△ABC 的周长＋OB ＝a ＋4.故答案为a ＋4.点睛: 本题考查了二次函数的性质．此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性在于把求四边形AOBC 的周长转化为求（△ABC 的周长＋OB ）是值．16．20【解析】【分析】根据题意在离中心水平距离4m 处达到最高，高度为6m ，设顶点式解析式，求出解析式，再求出与x 轴的交点坐标即可求出这个喷水池的直径AB ．【详解】∵喷出的水柱中心4m 处达到最高，高度为6m ，∴抛物线的顶点坐标为(4,6)或(−4,6)，设抛物线解析式为21(4)6y a x =-+或22(4)6y a x =++，即这个喷水头应设计的高度为103m . 把100,3⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线解析式，解得：1216a a ==-， 所以,函数解析式为21(4)66y x =--+或21(4)66y x =-++， 当0y =时, 抛物线与x 轴的交点坐标为(10,0)或(−10,0)，∴圆形喷水池的直径为20m，故答案为20.【点睛】考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 17．6【解析】【分析】由于抛物线y＝12x2+1是y＝12x2-1向上平移2个单位长度得到的，平行于y轴的直线l与2个函数图象的交点纵坐标是个定值2，通过截补法可知阴影部分的面积是6平方单位．【详解】解：抛物线y＝12x2+1是y＝12x2﹣1向上平移2个单位长度得到的，即|y1﹣y2|＝2．当直线l向右平移3个单位时，阴影部分的面积是，2×3＝6．故答案为：6.【点睛】本题主要考查了函数图象动态变化中的不变的量，本题的关键点是在能否看出阴影部分的面积通过截补法是个平行四边形，直接2×3=6即可求出．18．12；（1+10，1+10）【解析】【分析】把点A（3，0）代入抛物线,即可求得a的值，正方形OABC可得点C坐标，代入函数解析式求得点D坐标，可知点E横坐标，再利用正方形BDEF的性质得出点E纵坐标问题得解．【详解】把点A（3，0）代入抛物线，解得a=12；∵四边形OABC为正方形，∴点C的坐标为（0，3），点D的纵坐标为3，代入y=12x2-x-32，解得x110，x210，因此正方形BDEF的边长B为1010-2，所以1010由此可以得出点E的坐标为（10，10）．故答案为12；（10，10）．19．y= 14（x﹣3）2【解析】【分析】由B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），于是得到右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．【详解】解：∵高CH=1cm，BD=2cm，AB∥x轴，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x-3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1-3）2，解得a=14，故右边抛物线的解析式为y=14（x-3）2．故答案为：y=14（x-3）2．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题时利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．20．5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，22(30)(32)-+-=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.21．（1）y=-x2-2x+3，（2）存在；（-1，5-1）或（-1，-5-1）.【解析】试题分析：（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标.试题解析：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），∴3{930 cb c=--+=，解得2 {3bc=-=，∴抛物线的解析式y=-x2-2x+3，（2）存在，当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，设P（-1，m），则PM=PD•sin∠5（4-m），PE=m，∵PM=PE，5（4-m）=m，5，∴P点坐标为（-15）；当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，设P （-1，n ），则PN=PD•sin ∠5（4-n ），PE=-n ， ∵PN=PE ， 5（4-n ）=-n ，5-1， ∴P 点坐标为（-1，5）；综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为（-15）或（-1，5）.考点：二次函数综合题．22．（1）S 21143x x =+；（2）花园面积可以达到120平方米，此时花园的长为12 m ，宽10 m ． 【解析】【分析】(1) 根据矩形的面积公式，即可得出关于S 与x 之间的函数解析式;(2)假设能，当S=120时，可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；【详解】解：（1）S ＝423x x - ＝21143x x -+； （2）由21141203x x -+=得 242360x x -+＝0，解得x 1＝12，x 2＝30．∵墙的长度为15 m ，∴x ＝30不合题意，舍去．当x＝12时，423x-＝10．答：花园面积可以达到120平方米，此时花园的长为12 m，宽10 m．【点睛】考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出函数关系式是解题的关键．23．（1）y=12x2+2x；（2）P坐标为，或；（3）Q坐标为，0)、，0)、(4，0)．【解析】【分析】（1）求直线y=-x-4与坐标轴交点A、C坐标，求AC中点B坐标，即能用待定系数法求抛物线的函数关系式；（2）根据点B坐标(-2，-2)，可得D坐标为(-2，2)，所以△ADO、△ACO均为等腰直角三角形，连接AD并延长交y轴于点F，可知使S△ACP=2S△ACD的点P在过点F且平行于直线y=-x-4的直线上，求出直线与抛物线交点即使所求点P；（3）由（2）可知，∠AEO度数有两种情况，当点E在优弧AO上时，∠ACQ=23∠AEO=30°．构造直角三角形列方程即可求出Q坐标，当点E在劣弧AO上时，∠AEO=135°，∠ACQ=90°．由等腰直角三角形性质和对称即可求出点Q．【详解】解：（1）∵直线y=-x-4中，y=0时，x=-4；x=0时，y=-4，∴A(-4，0)，C(0，-4)，∵点B为AC中点，∴B(-2，-2)，∵抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，∴1640 422a ba b-=⎧⎨-=-⎩，解得：122ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的函数关系式为y=12x 2+2x ． （2）在抛物线上存在点P 使S △ACP =2S △ACD ．如图1，连接AD 并延长交y 轴于点F ，∵y=12x 2+2x=12(x-2)2-2， ∴点B 为抛物线的顶点，∵点D 为点B 关于x 轴的对称点，∴D(-2，2)在抛物线的对称轴上，∴DA=DO ，∠DAO=∠DOA=45°，∵OA=OC=4，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°，∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=90°，∴S △ACD =12AC•AD ， ∵∠AOF=90°，∴AF 为⊙D 直径，即点F 在⊙D 上，∴AF=2AD ，OF=OA=4即F(0，4)，∵S △ACP =2S △ACD =2•12AC•AD=12AC•2AD=12AC•AF ， ∴点P 在过点F 且平行于直线y=-x-4的直线上，∴直线PF 解析式为y=-x+4， ∵24122y x y x x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1137x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩；2237x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩∴点P 坐标为)或；（3）在x轴上存在点Q使∠ACQ：∠AEO=2：3．∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ADO=90°，∵点E在⊙D上且不与A、O重合，∠ACQ：∠AEO=2：3．①如图2，当点E在优弧AO上时，∠AEO=12∠ADO=45°，∴∠ACQ=23∠AEO=30°，过点Q作QG垂直直线AC于点G，设QG=t，∴Rt△CQG中，CQ=2QG=2t，33．∴∠GAQ=∠OAC=45°，∴Rt△AGQ中，AG=QG=t，22t．i)若点Q在线段AO上时，如图2：则32，解得：6-22，∴(22622434=，∴x Q33；ii)若点Q 在线段OA 延长上时，如图3：则AC=CG-AG=3t-t=42， 解得：2622t =+，∴AQ=()22622434⨯+=+，∴x Q =-4-(43+4)=-43-8，②当点E 在劣弧AO 上时，∠AEO=12(360°-∠ADO)=135°， ∴∠ACQ=23∠AEO=90°． ∵∠CAO=45°，△ACO 是等腰直角三角形，∴Q 点与A 点对称，A (-4，0)∴x Q =4．综上所述：满足条件的点Q 有三个，坐标分别为3，0)、3-8，0)、(4，0)【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．24．（1）12（2）当x=11时，y 最小=88平方米【解析】（1）根据题意得方程解即可；（2）设苗圃园的面积为y ，根据题意得到二次函数的解析式y=x （30-2x ）=-2x 2+30x ，根据二次函数的性质求解即可.解： (1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x )米．依题意可列方程x (30－2x )＝72，即x 2－15x ＋36＝0．解得x 1＝3（舍去），x 2＝12．(2)依题意，得8≤30－2x ≤18．解得6≤x ≤11．面积S ＝x (30－2x )＝－2(x －152)2＋2252(6≤x ≤11)． ①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252； ②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.25．80%【解析】【分析】根据题意画图分析．用含表示某一边的字母的代数式表示面积，关键是表示另一边的长．借助三角形相似建立关系．【详解】解：如图所示，为了表达矩形MDNP 的面积，设DN ＝x ，PN ＝y ，则面积S ＝xy ①，∵点P 在AB 上，由△APQ ∽△ABF 得，()41242y x -=--， 即x ＝10﹣2y ，∴代入①，得S ＝（10﹣2y ）y ＝﹣2y 2+10y ，即2525222y y⎛⎫=--+⎪⎝⎭，因为3≤y≤4，而52y=不在自变量的取值范围内，所以52y=不是最值点，当y＝3时，S＝12；当y＝4时，S＝8，故面积的最大值是S＝12，此时，钢板的最大利用率是80%．【点睛】本题结合三角形相似考查了二次函数的实际应用中的图形面积与最值问题，分析题意作出取得最值时的图形，转化为二次函数求最值问题是解答关键.26．（1）21202S x x=-+；（2）当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是2200cm 【解析】【分析】（1）S=12x×这边上的高，把相关数值代入化简即可；（2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．【详解】解：（1）由题意可得：()21114020222S AB CD x x x x=⨯=⨯⨯-=-+；（2）12a=-<，S∴有最大值，当2bxa=-=20122-⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=20时，S有最大值为212020202002S=-⨯+⨯=，∴当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是2200cm．本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的最值求法是解决本题的关键．27．（1）223y x x =--+ ；（2）3【解析】【分析】（1）利用待定系数法把两已知点代入即可求；（2）求出顶点D 坐标后连接BD ，CD ，BC 用中垂高与水平宽乘积一半的面积公式计算即可.【详解】解:(1)把点A(1,0),B(-3,0)代入y=-x 2+bx+c 中,得10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩ , 解得23b c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为223y x x =--+(2)如图，连接BD,CD,BC,过点D 作DE ⊥x 轴,交BC 于点E.∵2223(1)4y x x x ,∴D(- 1,4),C(0,3).∵B(-3,0),∴直线BC 的解析式为y=x +3,OB=3.当x=-1时,y=-1+3=2.∴DE =2.∴S △BCD =S △BED 十S △DEC =12⋅DE OB =1232⨯⨯ =3【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，正确选用面积公式是解答此题的关键.28．（1）(633)x -米；（2）15；（3）当x 为12时，饲养场的面积最大，最大面积为2324m ．【解析】【分析】（1）根据题意和图形，可以用含x 的代数式表示出BC 的长；（2）根据长方形的面积计算公式可以得到相应的方程，从而可以得到x 的值，注意墙最大可用长度为27米；（3）根据题意可以得到S 与x 的函数关系式，然后根据二次函数的性质和x 的取值范围，解答即可．【详解】解：（1）由图可得，BC 的长是60312(633)x x -++=-（米)，即BC 的长是(633)x -米；（2）令(633)270x x -=，解得，16x =，215x =，63327x -，得12x ，15x ∴=，即x 的值是15；（3）设饲养场的面积是2Sm ，则2211323(633)3()24S x x x =-=--+， 63327x -，得12x ，∴当12x =时，S 取得最大值，此时324S =，答：当x 为12时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为2324m ．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，灵活利用二次函数的性质和方程的知识解答．29．（1）y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）P 的坐标(1，2)．（3）存在．点M 的坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)．【解析】【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．（2）由图知：A 、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC ，那么BC 与直线l 的交点即为符合条件的P 点．（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA ＝AC 、②MA ＝MC 、②AC ＝MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解【详解】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）．又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a=－1．∴抛物线的解析式为y ＝－（x ＋1）（x －3），即y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ． 则此时的点P ，使△PAC 的周长最小．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3．当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)．（3）存在．点M 的坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)．∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)．∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10．①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得：m 2＋4＝m 2－6m ＋10，得：m ＝1．②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得：m 2＋4＝10，得：m ＝±6．③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得：m 2－6m ＋10＝10，得：m ＝0，m ＝6，当m ＝6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点，且坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)． 30．5小时．【解析】试题分析；首先在图中建立合适的坐标系（这里选择AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，也可另外建立），然后根据题目中的已知条件可得A 、B 、C 、D 四点的坐标，设出解析式，代入相应点的坐标建立方程（组），解方程（组）求得待定系数的值得到解析式，由解析式可得顶点E 的坐标，再结合题中条件可解得答案；试题解析：如上图，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则由已知得A （4，0），D （2，3），设抛物线解析式为：2y ax c =+，把A 、D 坐标代入解析式可得：16043a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：144a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，∴抛物线解析式为：2144y x =-+，∴顶点E的坐标为（0，4），设CD与y轴的交点为点F，∴EF=4-3=1（m），∵1 0.2=5（小时），∴水过警戒水位后5小时淹到桥拱顶.。
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题5(附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题5（附答案）1．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC +BD =16，则四边形ABCD 的面积最大值是( )A ．64B ．16C ．24D ．322．将抛物线y ＝x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y ＝﹣3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称．AB ∥x 轴，AB=4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH=1cm ，BD=2cm ．则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式为（ ）A ．y=（x+3）2B ．y=（x+3）2 C ．y=（x ﹣3）2 D ．y=（x ﹣3）25．在半径为4cm 的圆面上，从中挖去一个半径为x 的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y ，则y 关于x 的函数关系为（ ）A ．y=πx 2－4B ．y=π(2－x)2C ．y=－π(x 2+4)D ．y=－πx 2+16π 6．小强用一根长为16cm 的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）A ．216cmB ．232cmC ．264cmD ．28cm7．中国贵州省内的射电望远镜(FAST )是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜，根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈现抛物线状，口径AB 为500米，最低点O 到口径面AB 的距离是100米，若按如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )A ．21100625y x =- B ．21100625y x =-- C ．21625y x = D ．21625y x =- 8．周长是4m 的矩形，它的面积S(m 2)与一边长x(m)的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．已知两个正方形的面积和y 与其中一个正方形边长x 之间的函数解析式21236y ax x =-+的图象如图所示，（3，18）是该图象的顶点，当4x =时，这两个正方形的面积和为（ ）A ．19 B ．20 C ．22 D ．2410．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD 最大面积是（ ）A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 211．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y 1＝12（x +3）2﹣92，将抛物线C 1 向右平移3个单位、再向上平移4.5个单位得抛物线C 2，则图中阴影部分的面积为________．12．如图，已知抛物线 ()221y x =-- 与 x 轴交于A 、C 两点，与 y 轴交于点B ，在抛物线的对称轴上找一点Q ，使△ABQ 成为等腰三角形，则Q 点的坐标是____.13．一养鸡专业户计划用116m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN 宽2m ，门PQ 和RS 的宽都是1m ，围成的鸡舍面积最大是_平方米．14．如图，抛物线2y ax c =+的顶点为B ，O 为坐标原点，四边形ABCO 为正方形，则ac =______.15．如图，两条抛物线21112y x =-+，22112y x =--与分别经过点()2,0-，()2,0且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为______ ．16．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x ＝1，y ＝3，y ＝x +2，y ＝﹣x +4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A ，C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线y ＝18（x ﹣a ）2+b 经过B ，C 两点，顶点D 在正方形内部．若点D 有一条特征线是y ＝x +2，则此抛物线的表达式是_____．17．用12m 长的木材做窗框（如图所示），要使透过窗户的光线最多，窗框的长为_____m ，此时最大面积为_____m 2．18．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG = 2BE. 如果设BE 的长为x （单位：m ），绿地AEFG 的面积为y （单位：m 2），那么y 与x 的函数的表达式为__________________；当BE =______m 时，绿地AEFG 的面积最大.19．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地.如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地为矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG ＝2BE.那么当BE ＝_____m 时，绿地AEFG 的面积最大．20．长方体底面周长为50cm ，高为10cm .则长方体体积()3y cm 关于底面的一条边长()x cm 的函数解析式是____________.（不要求写自变量的取值范围）21．如图所示，为了改造小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙的最大可使用长度12m ）的空地上建造一个矩形绿化带．除靠墙一边（AD ）外，用长为32m 的栅栏围成矩形ABCD ．设绿化带宽AB 为x m ，面积为S m 2，（1）求S 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）绿化带的面积能达到128m 2吗？若能，请求出AB 的长度；若不能，请说明理由；（3）当x 为何值时，满足条件的绿化带面积最大．22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5与x 轴交于A (﹣1，0)．B (5，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求此物线的解析式；(2)在此物线的对称轴上找一点M ．使得MA +MC 最小，请求出点M 的坐标；(3)在直线BC 下方抛物线上是否存在点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在．请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于点,C OB OC =.点D 在函数图象上，//CD x 轴，且2CD =，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点.(1)求b c 、的值;(2)如图①，连接BE ， 线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F'恰好在线段BE 上，求点F 的坐标;(3)如图②,动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N .试问:直线PN 右侧的抛物线上是否存在点Q ,使得PQN V 与APM ∆的面积相等，且线段NQ 的长度最小?如果存在，求出点Q 的坐标;如果不存在，说明理由. 24．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长14米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x 的值；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积S 有最大值吗？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点()30A -，、()20B ，、()04，C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若AC 与抛物线的对称轴交于点E ，以A 为圆心，AE 长为半径作圆，A e 与y 轴的位置关系如何？请说明理由．（3）过点E 作A e 的切线EG ，交x 轴于点G ，请求出直线EG 的解析式及G 点坐标．26．如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm ，窗户的透光面积为ym 2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．27．已知，抛物线22y ax ax c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧.点B 的坐标为(1,0)，3OC OB =.（1）求抛物线的解析式；（2）当0a >时，如图所示，若点D 是第三象限抛物线上方的动点，设点D 的横坐标为m ，三角形ADC 的面积为S ，求出S 与m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；请问当m 为何值时，S 有最大值？最大值是多少.28．已知抛物线y=-x 2-mx+2m 2（m ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧． （1）求证：OB=2OA ；（2）若直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，求m 的值．（3）若点C 与点O 关于点A 对称，且以点C 为圆心，CO 为半径的圆交抛物线于点D ，求证：DO 平分∠ADB ．29．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大长a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为xm ，面积为2Sm ．（1）求S 与x 的函数解析式并求出x 的取值范围．（2）当x 为多少时，矩形花圃面积S 最大，并求出最大值．30．如图1，抛物线213222y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为线段AC 的中点，直线BD 与抛物线交于另一点E ，与y 轴交于点F ．(1)如图1，点P 是直线BE 上方抛物线上一动点，连接PD ，PF ，当△PDF 的面积最大时，在线段BE 上找一点G ，使得PG ﹣10EG 的值最小，求出PG ﹣10EG 的最小值；(2)如图2，点M 为抛物线上一点，点N 在抛物线的对称轴上，点K 为平面内一点，当以点A 、M 、N 、K 为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N 的坐标．参考答案1．D【解析】设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16-x，则：S=12AC•BD=12x（16-x）=-12（x-8）2+32，当x=8时，S最大=32；所以AC=BD=8时，四边形ABCD的面积最大，故选D．【点睛】二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．2．B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．3．D【解析】根据题意和图形可知：y=x2，0＜x≤10，所以y与x之间函数关系的大致图象是，故选D．【点睛】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．4．C【解析】试题分析：利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．解：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a=，故右边抛物线的解析式为y=（x﹣3）2．故选C．考点：二次函数的应用．5．D【解析】【分析】剩下面积=半径为4的圆的面积-半径为x的圆的面积，据此列式即可求得答案.【详解】半径为4的圆的面积16π，半径为x 的圆的面积πx 2，因而函数解析式是：y=-πx 2+16π，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 6．A【解析】【分析】设矩形长为x cm （0＜x ＜8），则宽为（8-x ）cm ，面积S =x （8-x ），利用二次函数求最值即可求得矩形的最大面积．【详解】解：设矩形长为x cm （0＜x ＜8），则宽为（8-x ）cm ， 面积S =x （8-x ）．S =-x 2+8x ,=-(x -4)2+16,由于-1<0,S 有最大值，当x =4时，S 最大是16.所以矩形的最大面积是16cm 2． 故答案为：16．【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题,解决本题的关键是要根据题意列出函数关系式,再求二次函数最值.7．A【解析】【分析】观察图像可知，抛物线的顶点坐标为（0，-100），开口向上，a>0，只有选项A 满足条件【详解】观察图象可知，抛物线的顶点坐标为(0,100)-，开口向上，0a >，只有选项A 满足条件. 故选：A【点睛】本题考查了抛物线的解析式，掌握a 与开口方向的关系是解题的关键.8．D【解析】【分析】首先根据矩形的周长，求出两个边长，然后列出面积的关系式，即可判定.【详解】根据题意，矩形的周长为4m ，一边长为x ，则另一边长为2-x ，∵S ＝x(2﹣x)＝﹣(x ﹣1)2+1(0＜x ＜2)．∴函数图像是顶点坐标(1，1)开口向下的抛物线．故选：D ．【点睛】此题主要考查二次函数图像的判定，熟练掌握，即可解题.9．B【解析】【分析】由题知解析式为21236y ax x =-+，将点（3,18）代入可求出a ，然后当x=4时，求出y 即可【详解】由题知解析式为21236y ax x =-+，将点（3,18）代入得：a=2∴解析式为221236y x x =-+当x=4时，y=20；故选B【点睛】本题主要考察二次函数解析式的求解，难度不大，仔细运算即可10．C【解析】试题分析：设BC=xm ，表示出AB ，矩形面积为ym 2，表示出y 与x 的关系式为y=（16﹣x ）x=﹣x 2+16x=﹣（x ﹣8）2+64，，利用二次函数性质即可求出求当x=8m 时，y max =64m 2，即所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2．故答案选C ．考点：二次函数的应用．11．27 2【解析】【分析】根据上→加，下→减，左→加，右→减的原则表示抛物线C2的解析式，由对称性可知：S阴影部分=S△OPQ，先计算Q的坐标，表示PQ的长，可得面积．【详解】由平移可得：抛物线C2的解析式：y2=12（x+3-3）2-92+92，即抛物线C2的解析式：y2=12x2，由抛物线C2的解析式：y2=12x2，可知，抛物线C2过原点O，当x=-3时，y2=12×（-3）2=92，∴Q（-3，92），∵抛物线C1：y1＝12（x+3）2﹣92，∴P（-3，-92），∴PQ=92+92=9，P与Q关于x轴对称，∴OQ=OP，∴S阴影部分=S△OPQ =12×3×PQ=12×3×9=272．故答案为：272．【点睛】本题考查二次函数的平移规律、抛物线与x轴的交点、对称性、三角形面积以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的平移原则是关键．12．Q 1()236+，，Q 2()236-，，Q 3（2，2），Q 4（2，3）【解析】【分析】先求得点A 和点B 的坐标，由顶点式知抛物线的对称轴为直线x=2，设抛物线的对称轴上的点Q 的坐标为()2m ，，分别求得AB ，并用含m 的代数式表示BQ AQ 、的长，分AB BQ BQ AQ AB AQ ===，，三种情况构造方程求得m 的值.【详解】如图，抛物线的对称轴为直线x=2当y=0时，（x-2）2-1=0解之：x 1=3，x 2=1∴点A 的坐标为（1，0）当x=0时，y=3∴点B （0，3）设点Q 的坐标为（2，m ）.∴AB 2=32+1=10，BQ 2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，AQ 2=m 2+1，要使△ABQ 为等腰三角形，当AB 2=BQ 2时，则（m-3）2+4=10,解之：m 1=36 ， m 2=36 ，∴点Q 1(236， ， Q 2(236，.当BQ 2=AQ 2时，则（m-3）2+4=m 2+1,解之：m=2所以点Q 2（2，2）；当AB 2=AQ 2时，则10=m 2+1,解之：m=±3若m=-3，则点B 、A ，Q 在同一直线上，∴m=-3舍去，∴点Q 4（2，3）故答案为：(23+，，Q 2(23，，（2，2），（2，3）【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论．13．450【解析】【分析】设鸡舍面积为y 平方米，AB xm =，用含x 的式子表示出AD ，根据矩形面积公式得出关于x 的二次函数，由二次函数的性质，可求得围成的鸡舍面积的最大值．【详解】解：设鸡舍面积为y 平方米，AB xm =，则116421(602)2x AD x m -+=+=- 由题意得：2(602)260y x x x x =-=-+ ∴当152b x a=-=时，围成的鸡舍面积最大，最大值为：22156015450-⨯+⨯=（平方米） 故答案为450．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确分析图中的数量关系列出函数关系式，是解题的关键．14．-2【解析】【分析】 抛物线y=ax 2+c 的顶点B 点坐标为（0，c ），由四边形ABCO 是正方形，则C 点坐标为标为（2c -，2c ），代入抛物线即可解答． 【详解】解：∵抛物线y=ax 2+c 的顶点B 点坐标为（0，c ），四边形ABCO 是正方形，∴∠COB=90°，CO=BC ，∴△COB 是等腰直角三角形，∴C 点横纵坐标绝对值相等，且等于BO 长度一半，∴C 点坐标为（2c -，2c ）， 将点C 代入抛物线方程中得：2·()22cc a c -+= 解得：ac=-2．故答案为：-2．【点睛】 本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．15．8【解析】【分析】两函数差的绝对值乘以两条直线的距离即可得到所求的阴影部分的面积．【详解】如图，∵两解析式的二次项系数相同，∴两抛物线的形状完全相同，∴两条抛物线是上下平移得到，∴y1-y2=-12x2+1-（-12x2-1）=2；∴S阴影=（y1-y2）×|2-（-2）|=2×4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查能否正确的判断出阴影部分面积，而解答此题．16．y＝18（x-4）2+6【解析】【分析】由特征线确定a与b的关系为b＝a+2，再有D点横坐标，确定正方形边长为2a，进而得到C（0，2a），将C点坐标代入函数解析式即可求得a．【详解】由题意可知D（a，b）在y＝x+2上，∴b＝a+2，∴正方形的边长为2a，∴C（0，2a），将点C代入y＝18（x﹣a）2+b得到，18（﹣a）2+a+2＝2a，∴a1=a2＝4∴y＝18（x-4）2+6；故答案为y＝18（x-4）2+6．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，新定义问题，弄清新定义的实质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．3 6【解析】【分析】设窗框的长为xm，根据木材的总长度是12m表示出宽，然后根据窗框的面积列式整理，再根据二次函数的最值解答．【详解】解：设窗框的长为xm ，则窗框的宽为()13122x -， 所以，窗框的面积()()2122361233x x x =-=--+， ∵230a =-<， ∴当x ＝3时，窗框的面积最大，透过窗户的光线最多，此时最大面积为6m 2．故答案为：3，6．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，用长表示出宽并根据矩形的面积公式列式整理成顶点式形式是解题的关键，难点在于要注意窗框有三条宽．18．22864(08)y x x x =-++<< 2【解析】由题意可知：AE=AB-BE=8-x ，DG=2BE=2x ，所以AG=AD+DG=8+2x ，∴y=AE·AG=（8-x ）(8+2x)=-2x 2+8x+64(0<x<8)；y= -2x 2+8x+64=-2（x-2）2+72，∴当x=2时，y 有最大值，故答案为：y =-2x 2+8x+64(0<x<8)， 2.19．2【解析】【分析】设BE 的长为x ，绿地AEFG 的面积为y ，根据题意得出函数解析式进行解答即可．【详解】设BE 的长为x ，绿地AEFG 的面积为y ，S 矩形AEFG ＝AE•AG ＝（8−x ）（8＋2x ）＝−2x 2＋8x ＋64（0＜x ＜8）；解析式变形为：y ＝−2（x−2）2＋72，所以当x ＝2时，y 有最大值72，故填：2.【点睛】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式．20．210250=-+y x x【解析】【分析】由长方体底面周长50cm 和底面一条边长x 可表示出另一条边长，然后可得到底面积，最后用底面积乘高得到体积y 的解析式.【详解】∵长方体底面周长为50cm ，底面的一条边长x cm∴底面的另一条边长为()150252⨯-=-x x cm ∴()22510=10250=-⋅⋅-+y x x x x故答案为：210250=-+y x x .【点睛】本题考查根据实际问题写函数关系式，解题的关键是正确表示出长方体体积.21．（1）S ＝﹣2x 2+32x （10≤x ＜16）；（2）绿化带的面积不能达到128m 2，理由详见解析；（3）当x ＝10时，绿化带面积最大．【解析】【分析】（1）依题意易可得BC =32-2x ，根据矩形的面积公式可得出S 与x 的函数关系式，再由0＜32-2x≤12可求出x 的取值范围；（2）先将S =128代入（1）中的解析式，求出x ，再根据x 的取值范围判断即可；（3）将（1）中的函数关系式化为顶点式，再结合x 的取值范围利用二次函数的性质可求得结果．【详解】解：（1）由题意得，BC =32-2x ，∴S ＝x （32﹣2x ）＝﹣2x 2+32x ，又0＜32-2x ≤12，解得10≤x ＜16，故S 与x 的函数关系式为S =﹣2x 2+32x (10≤x ＜16)；（2）根据题意得，当S =128时，有﹣2x 2+32x ＝128，解得：x ＝8，又由（1）知10≤x ＜16，∴x =8不符合题意，故绿化带的面积不能达到128m 2；（3）∵S ＝﹣2x 2+32x ＝﹣2（x ﹣8）2+128，当10≤x ＜16，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝10时，绿化带面积最大．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数表达式和一元二次方程．22．（1）y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）M (2，﹣3)；（3）存在，点P 的坐标为(52，354-) 【解析】【分析】(1)把A (﹣1，0)、B (5，0)代入抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5求出a 、b 的值即可确定抛物线的关系式；(2)由对称可得，直线BC 与对称轴的交点就是所求的点M ，求出直线BC 的关系式和对称轴方程，求出交点坐标即可；(3)向下平移直线BC 与抛物线有唯一公共点时，这个公共点就是要求的点M ，于是利用平移后的直线关系式与抛物线关系式联立，使其只有一个解时即可．【详解】解：(1)把A (﹣1，0)、B (5，0)代入抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5得， 5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得，a ＝1，b ＝﹣4，∴抛物线的关系式为y ＝x 2﹣4x ﹣5，故答案为：y ＝x 2﹣4x ﹣5；(2)当x ＝0时，y ＝﹣5，∴点C (0，﹣5)设直线BC 的关系式为y ＝kx +b ，把点B 、C 坐标代入得，505k b b +=⎧⎨=-⎩ ， 解得，15k b ==-⎧⎨⎩， ∴直线BC 的关系式为y ＝x ﹣5，∵抛物线的关系式为y ＝x 2﹣4x ﹣5＝(x ﹣2)2﹣9， ∴对称轴为直线x ＝2，由对称可得，直线BC 与对称轴x ＝2交点就是所求的点M ，当x ＝2时，y ＝2﹣5＝﹣3，∴点M (2，﹣3)时，MA +MC 最小，故答案为：M (2，﹣3)；(3)向下平移直线BC ，使平移后的直线与抛物线有唯一公共点P 时，此时点P 到BC 的距离最大，因此△PBC 的面积最大，设将直线BC 向下平移后的直线的关系式为y ＝x ﹣5﹣m ，则方程x 2﹣4x ﹣5＝x ﹣5﹣m ，有两个相等的实数根，即x 2﹣5x +m ＝0有两个相等的实数根，∴m ＝254， 当m ＝254时，方程x 2﹣5x +m ＝0的解为x ＝52，把x ＝52代入抛物线的关系式得，y ＝254﹣4×52﹣5＝﹣354， ∴P (52，﹣354) 答：在直线BC 下方抛物线上存在点P ，使得△PBC 的面积最大，此时点P 的坐标为(52，﹣354)， 故答案为：P (52，﹣354)．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、轴对称和最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，三角形的面积以及二次函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次函数和二次函数解析式，以及交点问题是解题的关键．23．（1）2b =-，3c =-；（2）02（，）F -；（3）315,24Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB OC =，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；（2）可设(0,)F t ，则可表示出2F t '（，）的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F '坐标代入直线BE 解析式可得到关于t 的方程，可求得F 点的坐标；（3）设点P 坐标为(,0)n ，可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR PN ⊥，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt QRN ∆中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，【详解】解：（1）2CD =Q 且//CD x 轴，∴抛物线的对称轴为直线1x = 即2b a -=-12b =， 2b ∴=-，() ,0,OB OC C c =Q ，,0B c ∴-（）代入：220c c c ++=，解得123,0c c =-= (舍去），3c ∴=-.（2）由（1）可知222314y x x x =--=--（） 则143,0EB -（，）（） 由待定系数法可得直线BE 的解析式为：26y x =-设由0F t （，），点F 关于直线1x =的对称点F 的坐标为2Ft '（，） 则有：2262t =⨯-=-02F ∴-（，）（3）存在点Q 满足题意．设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++．作QR PN ⊥，垂足为R ，S Q △PQN APM S ∆=， ∴211(1)(3)(23)?22n n n n QR +-=-++， 1QR ∴=．点Q 在直线PN 的右侧时，Q 点的坐标为2(1,4)n n +-，R 点的坐标为2(,4)n n n -，N 点的坐标为2(,23)n n n --．∴在Rt QRN ∆中， 221(21)NQ n =+-，∴12n =时，NQ 取最小值1．此时Q 点的坐标为315(,)24-． 综上可知存在满足题意的点Q ，其坐标为315(,)24-． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F 点的坐标表示出F '的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR 的长，用勾股定理得到关于n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．24．（1）12x =；（2）有，S 的最大值为112平方米．【解析】【分析】（1）根据题意可以得到关于x 的一元二次方程，从而可以解答本题，注意平行于墙的一般长不能超过14米；（2）根据题意可以得到S 关于x 的二次函数，然后利用配方法及函数性质求得其最值，从而可以解答本题．【详解】解：（1）由题意得：(302)72x x -=，整理得：215360x x -+=，解得13x =，212x =．当3x =时，3022414x -=>，不符合题意，故舍去，当12x =时，302614x -=<，则当苗圃园的面积为72平方米时，12x =．（2）∵平行于墙的一边长不小于8米∴830214x ≤-≤，即811x ≤≤．215225(302)222S x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭Q ， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线152x =， ∴当152x >时，S 随x 的增大而减小， ∴当8x =时，S 取得最大值，S 的最大值为112平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25．（1）y ＝﹣23x 2﹣23x +4；（2）⊙A 与y 轴的位置关系是相交，理由见解析；（3）直线GE 的表达式为：y ＝﹣34x +7124，G （7118，0）． 【解析】【分析】 （1）根据待定系数法，即可求解；（2）根据待定系数法，求出直线AC 的表达式为：y ＝43x +4，进而求出点E 的坐标，可得AE 的长，比较AE 与AO 的大小关系，即可得到结论；（3）由直线AC 的表达式为：y ＝43x +4，结合AC ⊥EG ，可得直线EG 的表达式为：y ＝﹣34x +m ，结合点E 的坐标，可得直线GE 的表达式，进而即可求解． 【详解】（1）∵抛物线经过点()30A -，、()20B ，， ∴设二次函数的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣2）＝a （x 2+x ﹣6），把C(0，4)代入得：﹣6a ＝4，解得：a ＝﹣23， ∴抛物线的表达式为：y ＝﹣23x 2﹣23x +4； （2）⊙A 与y 轴的位置关系是相交，理由如下：设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：034k b b =-+⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的表达式为：y ＝43x +4， ∵抛物线的对称轴为：直线x ＝﹣12， ∴当x ＝﹣12时，y ＝103∴点E(﹣12，103)，∴AE＝221103023⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝256＞AO，∴⊙A与y轴的位置关系是相交；（3）直线AC的表达式为：y＝43x+4，∵EG是Ae的切线，切点是点E，∴AC⊥EG，∴设直线EG的表达式为：y＝﹣34x+m，将点E的坐标代入上式，得103＝﹣34×(﹣12)+m，解得：m＝7124，∴直线GE的表达式为：y＝﹣34x+7124，∵当y＝0时，x＝71 18，∴点G(7118，0)．【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与圆的综合，掌握待定系数法，切线的性质定理，直线与圆的位置关系的判定方法，是解题的关键．26．（1）y=-32x2+3x（0＜x＜2），(2) 窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．【解析】试题分析：（1）由窗框的宽为x m ，则长为(63)2x -m ，从而根据矩形面积公式得出函数关系式即可； （2）根据二次函数解析式，用配方法求其最大值即可．试题解析：（1）根据题意,得2(63)3322x y x x x -=⋅=-+（0＜x ＜2）. （2）∵()2233331222y x x x =-+=--+,∴当x=1时，32y =最大. ∴当窗框的长为32m 和宽为1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为32m 2. 考点：二次函数的应用．27．（1）223y x x =--+或223y x x =+-;（2）当12m =-时，S 取最大值，最大值为38 【解析】【分析】（1）根据点B 的坐标及OC=3OB 可得出点C 的坐标，再根据点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点D 作DE ⊥x 轴，交AC 于点E ，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、C 的坐标，进而即可得出线段AC 所在直线的解析式，由点D 的横坐标可找出点D 、E 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出S 与m 的函数关系式，利用配方法可找出S 的最大值．【详解】解：（1）∵点B 的坐标为(1,0)，3OC OB =，∴点C 的坐标为(0,3)或(0,3)-，将点(1,0)B ，(0,3)C 或(0,3)-代入22y ax ax c =++， 203a a c c ++=⎧⎨=⎩或203a a c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得：13a c =-⎧⎨=⎩或13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：223y x x =--+或223y x x =+-；（2）过点D 作DE x ⊥轴，交AC 于点E ，如图所示，，∵0a >，∴抛物线的解析式为223y x x =+-，∴点C 的坐标为(0,3)-.当0y =时，有2230x x +-=，解得：13x =-，21x =，∴点A 的坐标为(3,0)-，利用待定系数法可求出线段AC 所在直线的解析式为：3y x =--.∵点D 的横坐标为m ，∴点D 的坐标为2(,23)m m m +-，点E 的坐标为(,3)m m --，∴223(23)3DE m m m m m =---+-=--， ∴21330()22S DE m m =⨯--=-+（30m -<<）， ∵302-<，且223313()()2228S m m m =-+=-++， ∴当12m =-时，S 取最大值，最大值为38. 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形的面积公式找出S 与m 的函数关系式．28．（1）见解析；（2）当79m =-时，直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）令y=0，代入y=-x2-mx+2m2，求出A(m，0)，B(-2m，0)，进而得OB=2OA；（2）联立2222y x mx my x⎧=--+⎨=-+⎩，得x2+（m-1）x+（2-2m2）=0，结合直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，得△=0，进而即可求解；（3）以点C为圆心，CO为半径的圆交抛物线于点D，交点有两个，分两种情况：①当D 在x轴上方时，②当D在x轴下方时，分别求证，即可．【详解】（1）∵抛物线y=-x2-mx+2m2（m＜0）与x轴交于A、B两点，∴关于x的方程-x2-mx+2m2=0有两个不相等的实数根x1和x2，解得：x1=m，x2=-2m，∵点A在点B的左边，且m＜0，∴A(m，0)，B(-2m，0)，∴OA=-m，OB=-2m，∴OB=2OA；（2）∵直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，∴2222y x mx my x⎧=--+⎨=-+⎩只有一组实数解，消y得：x2+（m-1）x+（2-2m2）=0，∴△=0，即（m-1）2-4×1×（2-2m2）=0，整理得：9m2-2m-7=0，解得：m1=1（不合题意舍去），27 9m=-．∴当79m=-时，直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点；（3）以点C为圆心，CO为半径的圆交抛物线于点D，交点有两个，∴CO=CD，①当D在x轴上方时，如图1，连接CD，∵点C与点O关于点A对称，∴OC=2OA=2AC，又由（1）得OB=2OA，∴BC=2OC，∴CA CD CD BC ==12， ∵∠DCA=∠BCD ，∴△DCA ∽△BCD ，∴BD=2AD ， ∵OB=2OA ，∴S △BOD =2S △AOD ，过O 点分别作△BOD 、△AOD 的高ON ，OM ，∴S △BOD=12BD ON ⋅，S △AOD=12AD OM ⋅ ∴BD •ON=2AD•OM ，∴ON=OM ，∴OD 是∠ADB 的平分线，即DO 平分∠ADB ；②当D 在x 轴下方时，如图2，同理①，可得DO 平分∠ADB ．【点睛】本题主要考查二次函数，相似三角形以及圆的综合，掌握二次函数的图象和性质，三角形相似的判定定理和性质定理，是解题的关键．29．（1）2330S x x =-+(20103x <…)；（2）当203x =时，矩形花圃面积S 最大，S 最大值=22003m 【解析】。
二次函数中的图形的变换问题
二次函数中的图形的变换问题当题目中出现旋转或平移时，根据题意，找出其中的不动点及定线段，再依据题意，画出图形，分析是否需要分类讨论，进而，再依据题意寻找等量关系，列出关系式，得到最后答案。
当遇到运动问题时，要善于发现题目中的“变”与“不变”的量，简化图形，化繁为简。
【技巧点拨】一、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a 不变。
抛物线k ax y +=2的对称轴是________,顶点坐标是_______.一般地,二次函数()2h x a y -=的图象是由二次函数__________的图象沿________轴向_______（0<h ）或向_____（0>h ）平移h 个单位长度得到的.抛物线()2h x a y -=的对称轴是直线__________,顶点坐标是__________. 一般地,二次函数()k h x a y +-=2的图象是由二次函数___________的图象先沿x 轴向_____（0<h ）或向______-（0>h ）平移h 个单位长度,再向_____（0>k ）或向_______（0<k ）平移k 个单位长度得到的.抛物线()k h x a y +-=2的对称轴为直线_______,顶点坐标是______如图所示.二、二次函数图象的对称变换1、当两个二次函数的图象关于x 轴对称，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？如果两个二次函数的图象关于x 轴对称,那么它们的开口方向_____,开口大小_____,对称轴_____,顶点坐标关于______对称,与y 轴的交点关于_____对称.故两个二次函数的解析式a 的值_________.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ---=2; ②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y ---=2.2、当两个二次函数的图象关于y 轴对称，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？如果两个二次函数的图象关于y 轴对称,那么它们的开口方向_____,开口大小______,与y 轴的交点_____,对称轴关于______对称,顶点坐标关于______对称.故两个二次函数的解析式a 的值_______.①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为()k h x a y ++=2②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于y 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y +-=2.x 2 )2 1 x 2 )2 + 1图 （3）图 （4）)2 + 13.当两个二次函数图像关于特殊点对称，如何求解析式呢？如二次函数y＝x２－２x－３关于点(２,１)对称，求它的对称二次函数解析式。
第22章 微专题4 二次函数中的最短路径、图形存在问题
∴△AOD的周长的最小值为10＋2＝12.
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如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2 ＋bx＋c与x轴交于
A，B两点，与y轴交于点C．已知B(3，0)，C(0，－3)，连接BC．
(1)求该抛物线的解析式.
2
解：将点B(3，0)，C(0，－3)代入y＝x ＋bx＋c，得ቊ
+ ＋ = ，
∴P(3， ).
②当PB为平行四边形的对角线时，0＋n＝4＋1，解得n＝5.
∴P(5，－ ).
③当PC为平行四边形的对角线时，4＋n＝0＋1，解得n＝－3.
∴P(－3，－ ).
综上所述，P点坐标为(3， )或(5，－ )或(－3，－ ).
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平行四边形对角线的交点平分对角线，可通过中点坐标
件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形.理
由如下：
2
2
∵y＝－ x ＋x＋4＝－ (x－1) ＋ ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
2
设Q(1，m)，P(n，－ n ＋n＋4).
∵B(0，4)，C(4，0)，
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①当PQ为平行四边形的对角线时，1＋n＝0＋4，解得n＝3.
∵B(6，0)，C(0，6)，∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝6.
∵O，E关于直线BC对称，
∴四边形OBEC为正方形.∴E(6，6).
如图，连接AE，交BC于点D．
由对称性，可得DE＝DO，此时DO＋DA取最小值，最小值为AE的长.
初中数学精品试题：二次函数之图形及图形运动压轴题
二次函数之图形及图形运动压轴题一、单选题1．如图，二次函数2122y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 从A 点出发向点D 运动，点Q 在DB 上，且∠PCQ =45°，则封闭图形DPCQ （阴影部分）面积的变化情况是（ ）A ．一直变大B ．始终不变C ．先增大后减少D ．先减少后增大 2．已知正ABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE=BF=CG ，设EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 3．若二次函数的图象与x 轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T 1，T 2，T 3……是标准抛物线，且顶点都在直线y =33x 上，T 1与x 轴交于点A 1(2，0)，A 2(A 2在A 1右侧)，T 2与x 轴交于点A 2，A 3，T 3与x 轴交于点A 3，A 4，……，则抛物线T n 的函数表达式为_____．4．如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线23384y x x c =-++经过A B 、两点，与x 轴的另一个交点为C ，点P 是第一象限抛物线上的点，连结OP 交直线AB 于点Q ，设点P 的横坐为m ，PQ 与OQ 的比值为y ．（1）c =__________；（2）当y 取最大值时，BPQOAQ S S ∆∆=__________．5．如图，将长度为1的线段分为,x y 两段，再将长度为x 的线段弯成半圆周ACB ，将长度为y 的线段折成矩形ABDE 三条边(,,)BD DE EA ，构成闭“曲边形”ACBDEA ，则该曲边形面积的最大值为_________________．6．图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD 呈抛物线状（杯体厚度不计），点B 是抛物线的顶点，923AB EF ==,，点A 是EF 的中点，当高脚杯中装满液体时，液面43CD =，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F 缓缓倾斜倒出部分液体，当30EFH ∠=时停止，此时液面为GD ，则液面GD 到平面l 的距离是________________；此时杯体内液体的最大深度为_____________________．7．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系中，点О是坐标原点，点A 的坐标是()0,6，点C 在x 轴上，点()10,1D 在边BC 上，将ABD △沿AD 折叠，得到AED ，若抛物线212341y ax ax a =-++（0a ≠且a 为常数）的顶点落在ADE 的内部（不含边界），则a 的取值范围是__________．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边长为2，∠AOC ＝60°，点D 为AB 边上的一点，经过O ，A ，D 三点的抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连结AE 交BC 于点F ，当DF ∠AB 时，CE 的长为__．三、解答题9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B 和点C （3，0），且图象过点D （2，3），连结AD ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作y 轴平行线分别交抛物线和x 轴于点E ，F ．连结AE ，过点F 作FG//AE 交AD 的延长线于点G ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若tan∠G ＝34，求点E 的坐标； （3）当∠AFG 是直角三角形时，求DG 的长．10．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过A ，B ，C 三点，顶点为D ，已知点B 的坐标是()1,0，3OA OC OB ==．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若E 是线段AD 上的一个动点（E 与A 、D 不重合），过点E 作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，求线段EF 长度的最大值；（3）将1中的函数图象平移后，表达式变为221y ax mx =++，若这个函数在31x -≤≤时的最大值为3，求m 的值．11．在平面直角坐标系xOy 中，设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是图形W 上的任意两点． 定义图形W 的测度面积：若|x 1﹣x 2|的最大值为m ，|y 1﹣y 2|的最大值为n ，则S=mn 为图形W 的测度面积．例如，若图形W 是半径为1的∠O ，当P ，Q 分别是∠O 与x 轴的交点时，如图1，|x 1﹣x 2|取得最大值，且最大值m=2；当P ，Q 分别是∠O 与y 轴的交点时，如图2，|y 1﹣y 2|取得最大值，且最大值n=2．则图形W 的测度面积S=mn=4（1）若图形W 是等腰直角三角形ABO ，OA=OB=1．∠如图3，当点A ，B 在坐标轴上时，它的测度面积S= ；∠如图4，当AB∠x 轴时，它的测度面积S= ；（2）若图形W 是一个边长1的正方形ABCD ，则此图形的测度面积S 的最大值为 ；（3）若图形W 是一个边长分别为3和4的矩形ABCD ，求它的测度面积S 的取值范围．12．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点（1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.13．如图1，已知直线y=kx 与抛物线2422273y x =-+交于点A （3，6）． （1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD ．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？14．如图，抛物线()20y ax bx a =+<与x 轴交于点()0,0O 和点()8,0A ，对称轴分别交抛物线和x 轴于点B 和点C ，以OA 为底边向上作等腰Rt OAD ．（1）CD =______；b =______（用含a 的代数式表示）；（2）如图1，当310a =-时，连接AB ，求BDA CDAS S △△的值； （3）点P 是抛物线OB段上任意一点，连接DP和OP ，延长OP 交对称轴于点E ，如图2，若A ，D ，P 三点在一条直线上，当3ODP PDE S S =△△时，求a 的值．15．如图1，抛物线213y x bx c =++过点()4,1-A ，110,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 为直线AB 下方抛物线上一动点，M 为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB 交于点N ．（1）求抛物线的表达式与顶点M 的坐标；（2）在直线AB 上是否存在点D ，使得C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D 点坐标；（3）在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ∠=︒？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点(2,0)A -，点(0,2)B ，点C 为OA 中点，点C 与点D 关于y 轴对称．（1）点D 的坐标为___________；（2）连结BC ，求CBD ∠的正切值；（3）抛物线225794623y x bx =-++的对称轴为直线5350x =，在抛物线上是否存在点E （E 、A 不重合），使EBD △与ABD △全等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()8,0-，()5,0-，()0,8-．点P 和点E 分别从点A 和点B 同时出发沿x 轴正方向运动，同时点D 从点C 出发沿y 轴正方向运动，以PD ，PE 为邻边构造EPDF ，已知点P ，D 的运动速度均为2cm /s ，点E 的运动速度为1cm/s ，运动时间为()t s ．过点P 的抛物线2y ax bx c =++交x 轴于另一点H （点H 在点P 的右侧），6PH =，且该二次函数的最大值不变，均为94．（1）∠当03t <<时，求PE 的长；（用含t 的代数式表示）；∠当6t =时，求点F 的坐标；（2）当2t =时，试判断点F 是否恰好落在抛物线2y ax bx c =++上，并说明理由；（3）若点P 关于直线EF 的对称点Q 恰好落在抛物线2y ax bx c =++上，请求出所有满足条件的t 的值．18．如图，已知抛物线()2102y x mx n n =++≠与直线y x =交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA OB =，//BC x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）设D 、E 是线段AB 上异于A 、B 的两个动点（点E 在点D 的上方），2DE =，过D 、E 两点分别作y 轴的平行线，交抛物线于F 、G ，若设D 点的横坐标为x ，四边形DEGF 的面积为y ，求x 与y 之间的关系式，写出自变量x 的取值范围，并回答x 为何值时，y 有最大值．19．如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过A ，B 两点，BC ∠x 轴于点C ，且点A （﹣1，0），C （4，0），AC ＝BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AB 上一动点（不与A ，B 重合），过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标及S ∠ABF ；（3）点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P 点，使∠ABP 成为直角三角形？若存在，直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23(0)y ax bx a =+-≠交y 轴于点A ，交x轴于点(3,0)B -和点(1,0)C ．（1）求此抛物线的表达式．（2）若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当ABP △的面积最大时，求出此时点P 的坐标和ABP △的最大面积．（3）设抛物线顶点为D ，在（2）的条件下直线AB 上确定一点H ，使DHP 为等腰三角形，请直接写出此时点H 的坐标______．21．已知抛物线与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （3，0），与y 轴交于点C （0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC 的面积最大时，求出四边形ABPC 的面积最大值及此时点P 的坐标．（3）如图2，将抛物线向右平移12个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y '，若抛物线y '与原抛物线对称轴交于点Q ．点E 是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当∠PQE 是等腰三角形时，求点E 的坐标．压轴1：已知，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ．（1）若1a =-，如图1，已知A ，C 两点的坐标为(1,0),(0,3)A C -．∠求抛物线的解析式，并求出B 的坐标．∠点P 是抛物线上第一象限内一个动点．y 轴上有一点(0,1)D ，连接DP 交BC 于点H ，若H 恰好平分DP ，求点P 的坐标．（2）若1a =，1=-b k ，=-c k ，0k >，如图2，抛物线与一次函数1y kx =+的图象交于E ，F 两点，点E 在点F 的左侧．在直线EF 上是否存在唯一一点Q ，使得90∠=︒AQO 若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线与x 轴交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，过点C 作//CE x轴交抛物线于点E ，且顶点为D ，连,,,AC AE AD DE ．已知P 是抛物线上一动点，且点P 的横坐标大于0小于4．（1）求该抛物线的解析式．∠=∠．求点P的横坐标．（2）直线AP交直线ED于点Q．AQD CAE⊥，垂足为G，交M于点F．在（3）过C，E，P三点作M，过点P作PF CE点P的运动过程中，线段GF的长是否变化，若有变化，求出GF的取值范围：若不变，求GF的长．24．如图∠O中直径AB＝2，点E是AB的中点，点C是AE上的一个动点，将CB沿线段BC折叠交AB于点D．（1）如图1，当∠ABC＝20°时，求此时AC的长．（2）如图2，连结AC，当点D与点О重合时，求此时AC的长．（3）设AC＝x，DO＝y，请直接写出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．25．抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A．B两点（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m：∠用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形；∠设∠BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式．26．如图，已知直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以 2 个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，∠APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE∠y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF∠y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF∠PQ 时，求点F 的坐标．27．如图，已知抛物线243y x x =++交x 轴于A ．B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为(−1，0)．（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）连结CA 与抛物线的对称轴交于点D ．∠在对称轴上找一点P ，使ΔAPC 为直角三角形，求点P 的坐标． ∠在抛物线上是否存在点M ，使得直线CM 把四边形DEOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM 的解析式；若不存在，请说明理由．28．如图1，二次函数2123y x bx =-++的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(﹣4，0) （1）b= ，点B 的坐标是 ；（2）连接AC 、BC ，判断∠CAB 和∠CBA 的数量关系，并说明理由（3）如图2，点D 是抛物线上第二象限内的一动点，过点D 作DM∠AC 于点M ，是否存在点D ，使得∠CDM 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由29．如图1，平面直角坐标系中，∠OAB 的边OA 在x 轴的正半轴上，点B 在第二象限，且∠AOB =135°，OA =2，OB =22，抛物线y =﹣14x 2+bx +c 经过点B ，并与y 轴交于点C （0，5），点P 在抛物线的对称轴上．（1）求b 、c 的值，及抛物线的对称轴．（2）求证：以点M （2，5）为圆心，半径为25的圆与边AB 相切．（3）若满足条件∠AOB +∠POD =180°与OB ：OD =OA ：OP 的点D 恰好在抛物线上，请求出此时点P 的坐标．30．如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，2OA =，4OB =，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92时，求ABD △的面积； （3）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．31．如图，O 为等边ABC ∆的外接圆，半径为2，点D 在劣弧AB 上运动（不与点,A B 重合），连接DA ，DB ，DC ．（1）求证：DC 是ADB ∠的平分线；（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点,M N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值．32．平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(),a b ，点P 的变换点P '的坐标定义如下： 当a b >时，点P '的坐标为(),a b -；当a b ≤时，点P '的坐标为(),b a -．（1）点()3,1A 的变换点A '的坐标是_______；点()4,2B -的变换点为B '，连接OB ，OB '，则BOB '∠=_______．（2）已知抛物线()22y x m =-++与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ．点P 在抛物线()22y x m =-++上，点P 的变换点为P '．若点P '恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D '是菱形，求m 的值；（3）若点F 是函数()2642y x x =---≤≤-图象上的一点，点F 的变换点为F '，连接FF '，求FF '的最大值和最小值．33．如图，直线4y x =-+与抛物线212y x bx c =-++交于点A ，B ，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上的一动点，若S ∠AOB ∠S ∠PAB ＝8∠3，求此时点P 的坐标．（3）点E 是抛物线对称轴上的动点，点F 是抛物线上的点，判断有几个位置能够使得点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出相应的点F 的坐标．34．已知∠ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是射线BC 上的动点，将AD 绕点A 逆时针方向旋转60°得到AE ，连接DE ，CE ．（1）求证：∠ABD∠∠ACE（2）当点D在线段BC上运动时，求∠DCE面积的最大值；（3）如图2，当点D在BC延长线上运动时，记AD与CE交点为点F，若∠ACF的面积等于∠DCF的面积的两倍，求∠DCF的面积．35．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2相交，点P为抛物线上任意一点．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）在（1）条件下，当点P到直线x=﹣2距离不超过2时，求点P纵坐标y的范围．（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．36．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=49x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，∠CPQ 的面积为S．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求S 关于m 的函数表达式． （3）当S 最大时，∠求点Q 的坐标．∠若点F 在抛物线y =49-x 2+bx +c 的对称轴上，且∠DFQ 的外心在DQ 上，求点F 的坐标．37．如图，点P 是直线l ：22y x =-上的一点，过点P 作直线m ，使直线m 与抛物线2y x 有两个交点，设这两个交点为A 、B ，（1）如果直线m 的解析式为2y x =+，直接写出A 、B 的坐标；（2）如果已知P 点的坐标为()2,2，点A 、B 满足PA AB =，试求直线m 的解析式；（3）设直线l 与y 轴的交点为C ，如果已知90AOB ∠=︒且BPC OCP =∠∠，求点P 的坐标．38．定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如，在ABC ∆中，100A ∠=︒，60B ∠=︒，20C ∠=︒，满足2A B C ∠-∠=∠，所以ABC ∆是关于C ∠的“差倍角三角形”． （1）若等腰ABC ∆是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角A ∠的度数；（2）如图1，ABC ∆中，3AB =，8AC =，9BC =，小明发现这个ABC ∆是关于C ∠的“差倍角三角形”． 他的证明方法如下：证明：在BC 上取点D ，使得1BD =，连结AD ，（请你完成接下去的证明） （3）如图2，五边形ABCDE 内接于圆，连结AC ，AD 与BE 相交于点F ，G ，AB BC DE ==，ABE ∆是关于AEB ∠的“差倍角三角形”．∠求证：四边形CDEF 是平行四边形；∠若1BF =，设AB x =，CDEF AEG S y S ∆=四边形，求y 关于x 的函数关系式．39．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0,0)y ax bx c a c =++<>的顶点为D ，与y 轴的交点为C ，点A 是抛物线对称轴左侧上一点，连结,AC AD ，以AC ，AD 为边构造平行四边形ACBD ．（1）如图1，当//AC x 轴时，∠已知1a =-，点A 的坐标是()2,1-，求抛物线的解析式；∠若AD AC =，求b 的值；（2）如图2，若1a =-，连结AB 交y 轴于点E ，且35BE AE =，是否存在这样的b 值，使四边形ACBD 是菱形?若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．40．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(2,4)，直线2x =与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2:C y x =沿射线OA 方向平移得到抛物线'C ，抛物线'C 与直线2x =交于点P ，设抛物线'C 的顶点M 的横坐标为m ．（1）求抛物线'C 的解析式（用含m 的式子表示）；（2）连结OP ，当8tan()21OAB AOP ∠-∠=时，求点P 的坐标； （3）点Q 为y 轴上的动点，以P 为直角顶点的MQP ∆与OAB ∆相似，求m 的值．41．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线2=-++经过A，B．y x bx c（1）求抛物线解析式；⊥轴于点E，交直线AB于点D，交（2）E（m，0）是x轴上一动点，过点E作ED x抛物线于点P，连接PB．∠点E在线段OA上运动，若∠PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；∠点E在x轴的正半轴上运动，若45∠+∠=︒，请直接写出m的值．PBD CBO42．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt∠ABC的直角顶点C（0，12），斜边AB 在x轴上，且点A的坐标为（﹣9，0），点D是AC的中点，点E是BC边上的一个动点，抛物线y＝ax2+bx+12过D，C，E三点．（1）当DE∠AB时，∠求抛物线的解析式；∠平行于对称轴的直线x＝m与x轴，DE，BC分别交于点F，H，G，若以点D，H，F 为顶点的三角形与∠GHE相似，求点m的值．（2）以E为等腰三角形顶角顶点，ED为腰构造等腰∠EDI，且I点落在x轴上．若在x 轴上满足条件的I点有且只有一个时，请直接写出点E的坐标．OB=．抛物43．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt OAB的斜边OB在x轴上，8线过点O，A，B．（1）求该抛物线的解析式；（2）点(,0)P m 是线段OB 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交直线12y x =于点E ，交抛物线于点F ，以EF 为一边，在EF 的右侧作矩形EFGH ．∠若2FG =，求矩形EFGH 面积的最大值；∠若32FG =，矩形EFGH 与等腰Rt OAB 重叠部分为轴对称图形，求m 的取值范围． 44．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数()2142y a x m m =--+图象的顶点为C ，其中0m >，与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点D ．点M 坐标为()0,4．（1）当2m =时，抛物线()()21402y a x m m m =--+>经过原点，求a 的值． （2）当1a =-时， ∠若点M 、点D 、点C 三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D 坐标． ∠设反比例函数()40y x x =->与抛物线()()21402y a x m m m =--+>相交于点(),E p q ，当24p <<时，求m 的取值范围．45．已知二次函数图象的顶点坐标为()10C -，，直线y x m =-+与该二次函数2y ax bx c =++的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为()34-，，B 点在y 轴上，P 为直线AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E ，D 为直线AB 与这个二次函数图象的对称轴的交点．（1）求m 的值及这个二次函数的解析式；（2）在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点E ，使3EAB S ∆=，若存在，请直接写出此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由46．如图，二次函数223(0)y ax x a =++<的图象与x 轴交于点A ，B （点A 位于对称轴的左侧），与y 轴交于点C .点(0,)P n 为线段OC 上一点，过点P 作直线//l x 轴交图象于点D ，E （点E 在点D 的左侧），且2PD PE -=.（1）求该二次函数的对称轴及a 的值.（2）将顶点M 向右平移(0)m m >个单位至点1M ，再过点1M 作直线l 的对称点2M ，若点2M 在x 轴上方的图象上一点且到x 轴距离为1，求m ，n 的值.47．如图，点A 、D 是平面直角坐标系中y 轴正半轴上的点，B 、C 分别在x 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，且OA=OB=6，BD=AC ，OC=m ，E 、F 、G 分别是AB 、CD 、BC 的中点．（1）求证：BD∠AC ；（2）用含m 的式子表示∠EFG 的面积，并直接写出当∠BDO=4∠ACD 时．∠EFG 的面积： （3）抛物线l∠：y=ax²+bx+c 经过 A 、B 、C 三点，顶点为P ．∠求a 的值（用m 的式子表示），并判断是否存在m 的值，使得四边形APDC 为平行四边形，若存在，求出此时m 的值，若不存在，请说明理由．∠连结AF ，当经过G 、O 、F 三点的抛物线h 与抛物线l 关于某点成中心对称，点Q 是∠AEF 的外接圆上的动点，求GQ 的最小值与最大值的和．48．已知：如图，ABC 是等腰直角三角形，90,3cm A AB AC ∠===，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速移动，P 的速度是1cm/s ，Q 的2cm/s ，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为(s)t ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PBQ △是直角三角形？（2）问：是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积与PBQ △面积差最小？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；（3）设PQ 的长为(cm)y ，试确定y 与t 之间的关系式；写出当t 分别为何值时，PQ 达到最短和最长，并写出PQ 的最小值和最大值．49．如图1，抛物线2(3)3(0)y ax a x a =+++≠与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴于点B ，在x 轴上有动点(,0)(04)E m m <<，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM AB ⊥于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设PMN 的周长为1C AEN ，的周长为2C ，若1245C C =，求m 的值；（3）如图2，当3OE =，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为()090a α︒︒<≤，连接E A E B ''、，求34E A E B ''+的最小值．50．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是斜边AB 上一点，以AD 为半径作A ，分别交边CA 及其延长线于点E ，G ，DE 交BC 的延长线于点H ．（1）如图1．当30BAC ∠=︒时，连结CD ，∠求BHD ∠的度数∠若CD 恰好是A 的切线，求证：CD CH =．（2）如图2，3BC =，4AC =，CD 交A 于另一点F ，连结FG ， ∠若//FG AB ，求A 的半径长．∠在点D 的运动过程中，当·DE EH 达到最大时，直接写出此时·CD DF 的值．。
2021年中考压轴题：二次函数与图形的运动及分类讨论型问题
中考压轴题：二次函数与图形的运动及分类讨论型问1、如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且B（0,6），∠OAB=30°，C为线段AB上一点，BC:CA=1:2，若M为y轴上一点，且OM:OB=1:2，设直线AM与直线OC相交于点N，则ON的长为______________2.如图，在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD,A（-3,0），B（2,0），D在y轴上，直线ｌ从BC出发，以每秒1个单位长度的速度沿CD向左平移，分别与CD、BD交于E、F.设∠DEF的面积为S，直线ｌ平移时间为t（s）（0<ｔ<5）（1）求点C的坐标（2）求S与t的函数表达式（3）过点B作BG∠ｌ，垂足为G，连接AF、AG，设∠AFG的面积为S1，∠BFG的面积为S时，若点P（1-a,a+3）在∠DEF内部（不包括边），求a的取值范围S2，当S1+S2=45类型一、选择填空压轴题例1.如图，等边三角形ABC 中，AB=3，点D 是CB 延长线上一点，且BD=1，点E 在直线AC 上，当∠BAD=∠CDE 时， AE 的长为_______练习：如图，已知Rt∠ABC ，∠ACB=90°，AC=8，BC=6， D 为射线AB 上一动点，以CD 为边画 R ｔ∠CDE ，使∠DCE=90°，CE:CD=3:4，连接BE.当tan∠DCB=21时，BE 的长为________例2、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 在坐标轴上，B 在第一象限，反比例函y=xk （k>0）的图像经过OB 中点E ，与AB 交于点F ，将矩形沿直线EF 翻折，点10，则点B坐标是______________B恰好与点O重合，若矩形面积为2练习：1、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，连接AC,O是AC的中点，M是AD上一点，且MD=1，P是BC上一动点，则PM-PO的最大值为_______2、如图，己知直线AB:y=2x+4分别交x轴、y轴与点A、点B，将∠ABO沿直线AB翻折至∠ABP，直线CD:y＝kx+4k（k>0）分别交x轴y轴与点C、点D，若原点O关于直线CD的对称点Q恰好落在PB上，则ｔan∠BQD的值为__________类型二、实际问题与二次函数----图形运动问题例1、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2-3x-18=0的根，连接BD，∠DBC=30°，并过点C作CN∠BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒3个单位长度的速度由点D向点A 匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为ｔ秒（t>0）（1）线段CN＝__________（2）连接PM和MN，求∠PMN的面积ｓ与运动时间ｔ的函数关系式（3）在整个运动过程中，当∠PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标练习：如图，在直角坐标系中，Rt∠OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；同时点N 从点O 出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB 向终点B 移动。
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图形问题
1.如图，抛物线经过原点O、点A（6，8）和点（3，－5）．
（1）求直线OA的表达式；
（2）求抛物线的表达式；
（3）如果点B在线段OA上，与y轴平行的直线BC与抛物线相交于点C，△OBC是等腰三角形，求点C的坐标？
）、B（3，0）、C（0，-
8.如图，已知二次函数y=x 2－2x －1的图象的顶点为A ．二次函数y=ax 2+bx 的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数y=x 2－2x －1的图象的对称轴上．
（1）求点A 与点C 的坐标；
（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数y=ax 2+bx 的关系式．
（1）(1,2),(2,0)A C -；（2）22+4y x x =-
9.如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，
3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等
腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标．。