2015年高考理科数学押题密卷(全国新课标II卷)

5
（Ⅱ）每次抽取 1 名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率 0.375．将 频率视为概率，即每次抽取 1 名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率 3 3 为 ．由题意可知 XB(3， )，从而 X 的分布列为 8 8 X 0 1 2 3 125 225 135 27 p 512 512 512 512 9 E (X)＝np＝ ． „„„„„„„„„12 分 8 （19）解： （Ⅰ）因为 BC＝ 2 ，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝ ， 4 „„„„„„„„2 分
（7）执行右边的程序框图，则输出的 S 是 （A）5040 （B）4850 （C）2450
1
（D）2550
i≥100？ 是 输出 S 结束
否
x ＋4x＋3，x≤0， （8）已知函数 f (x)＝ 则方程 f (x)＋1＝0 的实根个数为 x＞0， 3－x，
2
（A）3
（B）2
（C）1
（D）0 1 ，则 4
1 1 1 1 1
„„„„„„„5 分
B1 z C1 A1
E λ → CC1 ＝(－ 2 λ ，0， 2 λ － 2 )， 设平面 AC1E 的一个法向量为 m＝(x，y，z)，则有 B m·→ 2y－ 2 z＝0， C1A ＝0， 即 → 2 λ x＋( 2 － 2 λ )z＝0， m· C1E ＝0， C x 2 (λ －1) 令 z＝ 2 ，取 m＝( ，1， 2 )，„„„9 λ 分 又平面 C1EC 的一个法向量为 n＝(0，1，0)， 1 m·n 5 1 ___________ 所以 cos m，n＝ ＝ __________ ＝ ，解得 λ ＝ ． 2 |m||n| 2(λ －1) 5 2 ＋3 2 λ
（11）某方便面厂为了促销，制作了 3 种不同的精美卡片，每袋方便面随机装入一张卡片， 集齐 3 种卡片可获奖，现购买该方便面 5 袋，能获奖的概率为 （A）
31 81
（B）
33 81
（C）
48 81
（D）
50 81
（12）给出下列命题: 1 log 0.5 3 2 3 ( ) 0.2 ; ○ 3 函数 f ( x) = ln ○
4
b )． a
理科数学参考答案
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一、选择题： CABDA ACBBD DC 二、填空题： 3 （13） e－ ； （14）1007； 2 三、解答题： （17）解： （Ⅰ）化简得：f（x）=cos（2x＋ 对称中心为：(
A
y
所以当 λ ＝ 分 （20）解：
1 5 时，二面角 A-C1E-C 的余弦值为 . 2 5
„„„„„„„„„12
（Ⅰ）由题设，得：
4 24 1 2 9a 9b 2
6
①
a2－b2 1 ＝ a 2
由①、②解得 a ＝4，b ＝3， 椭圆的方程为
2 2
②
x2
4

y2
3
2
1
„„„„„„„„„„4 分
2015 年高考理科数学押题密卷(全国新课标 II 卷)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项符合题目要求． （1）已知集合 A＝{x|x －5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞3}，则集合 A∩B＝ （A）{x|2≤x≤3} （C）{x|2＜x≤3} 1－i 1＋i （ 2） 2＋ 2＝ (1＋i) (1－i) （A）－1 （B）1 （C）－i （D）i （B）{x|2≤x＜3} （D）{x|－1＜x＜3}
（9）若双曲线 2－ 2＝1（a＞0，b＞0）一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 双曲线的离心率为 （A） 5 2 2 3 （B） 3 （C） 5 （D） 3 2
x2 y2 a b
（10）偶函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x＋2)为奇函数，且 f(1)＝1，则 f(89)＋f(90) 为 （A）－2 （B）－1 （C）0 （D）1
3
) 1
0 A ,
2A

3
2A

3
3

7 . 3
„„„„„„„„„9 分

3

2
于是： A

根据余弦定理： a
b 2 c 2 2bc cos

3
( = 4 3bc 4 3
b c
2
)2 1
当且仅当 b c 1 时，a 取最小值 1． （18） （Ⅰ）由题意可得列联表： 物理优秀 数学优秀 60 数学不优秀 100 总计 200
B1
（19） （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 ABC -A1B1C1 中，已知 AB⊥侧面 BB1C1C，BC ＝ 2 ，AB＝BB1＝2，∠BCC1＝ （Ⅰ）求证：C1B⊥平面 ABC；
3 C C1 E
A1
，点 E 在棱 BB1 上. 4
B
A
（Ⅱ）若 BE＝λ BB1，试确定 λ 的值，使得二面角 A-C1E -C 的余弦值为

F1Q ．

（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程； （Ⅱ）若 [ ,1) ，求|PQ|的取值范围．
1ห้องสมุดไป่ตู้2
（21） （本小题满分 12 分） 已知 f (x)＝e (x－a－1)－
x
x2
2
＋ax．
（Ⅰ）讨论 f (x)的单调性； （Ⅱ）若 x≥0 时，f (x)＋4a≥0，求正整数 a 的值． 2 3 参考值：e ≈7.389，e ≈20.086
其中正确命题的个数是 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上． （13）由直线 x＝1，y＝1－x 及曲线 y＝e 围成的封闭图形的面积为_________．
x
2
（14）数列{an}的通项公式 an＝nsin
1
1 3
2 函数 f ( x) log4 x 2sin x 有 5 个零点; ○
x4 x 5 的图像以 (5, ) 为对称中心; x 6 12 12
4 已知 a、b、m、n、x、y 均为正数，且 a≠b，若 a、m、b、x 成等差数列，a、n、b、 ○
y 成等比数列，则有 m> n，x<y．
nπ
2
＋1，前 n 项和为 Sn，则 S2 015＝__________.
x－y＋5≥0， （15）已知 x、y 满足x＋y≥0， 若使得 z＝ax＋y 取最大值的点(x，y)有无数个，则 a x≤3，
的值等于___________． （16）已知圆 O: x ＋y =8，点 A(2，0) ，动点 M 在圆上，则∠OMA 的最大值为__________． 三、解答题：本大题共 70 分，其中（17）—（21）题为必考题， （22） ， （23） ， （24）题为 选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17） （本小题满分 12 分） 已知 f(x)=sin(2x－
2
5 . 5
（20） （本小题满分 12 分）设抛物线 y =4mx（m >0）的准线与 x 轴交于 F1，焦点为 F2；以
F1 、F2 为焦点，离心率 e=
1 2 2 6 的椭圆与抛物线的一个交点为 E( , )；自 F1 引直线交 2 3 3
抛物线于 P、Q 两个不同的点，点 P 关于 x 轴的对称点记为 M，设 F1P
（15）－1；
（16）
． 4
）＋1 3
„„„„„„„„3 分
,1) 12 (k z ) 2 , k ] (k z ) 单增区间为：[k 3 6 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
k


„„„„„„„„„6 分
f(A ) cos(2A

3
) 1 0
cos(2A

1 正视图 侧视图
（D）15
（5）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的表面积为 （A）8＋2 5 （C）8＋2 3 （B）6＋2 5 （D）6＋2 3
2
2 俯视图
开始 i＝0，S＝0 S＝S＋i i＝i＋2
（6）(x －
2
1
6
x
) 的展开式中的常数项为 （B）－15 （C）20 （D）－20
（A）15
请考生在第（22） ， （23） ， （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 A 如图，在△ABC 中，∠C＝90º，BC＝8，AB＝10，O 为 BC 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径作半圆与 BC 边、AB 边分别交于点 D、E，连结 DE． （Ⅰ）若 BD＝6，求线段 DE 的长； F （Ⅱ）过点 E 作半圆 O 的切线，切线与 AC 相交于点 F， 证明：AF＝EF．
2 2
5 2 )＋2cos x． 6
（Ⅰ）写出 f(x)的对称中心的坐标和单增区间； （Ⅱ）△ABC 三个内角 A、B、C 所对的边为 a、b、c，若 f（A）=0，b＋c=2．求 a 的 最小值． （18） （本小题满分 12 分） 某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年 级 800 名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都 优秀的有 60 人，数学成绩优秀但物理不优秀的有 140 人，物理成绩优秀但数学不优秀的 有 100 人． （Ⅰ）能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关 系？ （Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机 抽取 3 名学生的成绩，记抽取的 3 个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数 为 X，求 X 的分布列和期望 E (X)． 附： n(ad－bc)2 P(K2≥k0) 0.010 0.005 0.001 K2＝ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) k0 6.635 7.879 10.828
易得抛物线的方程是：y ＝4x． （Ⅱ）记 P (x1，y1)、Q (x2，y2) 、M (x1，－y1) ， 由 F1P

F1Q 得：y1=λ y2

3 ○ * ○ 4 ○ 5 ○ „„„„„„„„„„7 分 „„„„„„„„„„8 分
2
（3）若向量 a、b 满足|a|＝|b|＝2，a 与 b 的夹角为 60，a·(a＋b)等于 （A）4 （B）6 （C）2＋ 3 （D）4＋2 3
（4）等比数列 {an } 的前 n项和为S n , 且4a1 ,2a2 , a3 成等差数 列，若 a1=1，则 S4 为 （A）7 （B）8 （C）16
在△BCC1 中，由余弦定理，可求得 C1B＝ 2 ， 2 2 2 所以 C1B ＋BC ＝CC1，C1B⊥BC． 又 AB⊥侧面 BCC1B1，故 AB⊥BC1， 又 CB∩AB＝B，所以 C1B⊥平面 ABC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC，BA，BC1 两两垂直， 以 B 为空间坐标系的原点， 建立如图所示的坐标系， 则 B (0，0，0)，A (0，2，0)，C ( 2 ，0，0)， → C A ＝ (0 ， 2 ，－ 2 ) ， → C E ＝→ C B ＋λ → BB ＝ → C B＋
C D
E
O
B
（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 x＝－3＋ 3t x2 y2 已知椭圆 C： ＋ ＝1，直线 l： （t 为参数） ． 4 3 y＝2 3＋t （Ⅰ）写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程； （Ⅱ）设 A(1，0)，若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等，求点 P 的坐标． （24） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f (x)＝|x－1|． （Ⅰ）解不等式 f (x)＋f (x＋4)≥8； （Ⅱ） 若|a|＜1， |b|＜1， 且 a≠0， 求证： f (ab)＞|a|f (
2
„„„„„„„„„12 分
物理不优秀 140 500 600
总计 160 640 800
800(60×500－140×100) 因为 k＝ ＝16.667＞10.828． 160×640×200×600
„„„„„„„„6 分
所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．