2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版选修1_2

2.2.2 反证法1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．2．了解反证法的思考过程、特点，理解反证法的推理过程，证明步骤．(重点)3．体会直接证明与间接证明的区别与联系，会用反证法证明数学问题．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材P42～P43的内容，完成下列问题．1．反证法的定义假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾．( )【解析】(1)正确．反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法．(2)错误．反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理．(3)错误．反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾．【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型](1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 【精彩点拨】 第(1)问应用a n ＝a 1＋(n －1)d 和S n ＝na 1＋12n (n －1)d 两式求解．第(2)问先假设存在三项b p ，b q ，b r 成等比数列，再用反证法证明．【自主解答】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．3．常见否定词语的否定形式如下表所示：[再练一题]1．已知方程f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根． 【解】 假设x 0是方程f (x )＝0的负数根，则x 0<0，x 0≠－1且ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0，所以ax 0＝－x 0－2x 0＋1.又当x 0<0时，0<ax 0<1，故0<－x 0－2x 0＋1<1， 即0<－1＋3x 0＋1<1,1<3x 0＋1<2，解得12<x 0<2. 这与x 0<0矛盾， 所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．已知x ，y ，z 均大于零，求证：x ＋y ，y ＋z ，z ＋x这三个数中至少有一个不小于4.【精彩点拨】 本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明． 【自主解答】 假设x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x都小于4，即x ＋4y <4，y ＋4z<4，z ＋4x<4，于是得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12，而⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4z ≥2 x ·4x＋2y ·4y＋2 z ·4z＝12， 这与⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12矛盾，因此假设错误，即x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x中至少有一个不小于4.1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．2．用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：[再练一题]2．若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋y x 与1＋xy至少有一个小于2.【导学号：81092026】【证明】 假设1＋y x 与1＋x y都不小于2，即1＋y x ≥2，1＋xy≥2.∵x >0，y >0，∴1＋y ≥2x,1＋x ≥2y ， 两式相加得2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )． ∴x ＋y ≤2，这与已知中x ＋y >2矛盾．∴假设不成立，原命题成立．故1＋y x 与1＋x y至少有一个小于2.[探究共研型]探究1 与已知直线a 平行”的过程归纳为以下三个步骤：①因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误．原命题成立；②由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行； ③假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .请指出正确顺序的排列序号．【提示】由反证法证明的步骤知，先反设，再推出矛盾，最后作出判断，肯定结论，即正确顺序应为：③②①.探究2 如何证明两条相交直线有且只有一个交点？【提示】假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以两条相交直线有且只有一个交点．已知一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．【精彩点拨】①【自主解答】根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图①，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A 有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图②，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B，C 为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.②在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了.[再练一题]3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.【导学号：81092027】【证明】由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．1．应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是( )①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④【解析】根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义”等作为条件使用．【答案】 C2．实数a，b，c不全为0等价于( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0【解析】不全为0即至少有一个不为0，故选D.【答案】 D3．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．【答案】 B4．用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为________．【解析】a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”．【答案】a，b，c中至少有一个偶数5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax ＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根. 【导学号：81092028】【证明】假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( ) A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】 C2．下列命题错误的是( )A．三角形中至少有一个内角不小于60°B ．四面体的三组对棱都是异面直线C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点D ．设a ，b ∈Z ，若a ，b 中至少有一个为奇数，则a ＋b 是奇数【解析】 a ＋b 为奇数⇔a ，b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故D 错误． 【答案】 D3．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( )【导学号：81092029】A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数【解析】 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．【答案】 D4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2【解析】 若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6， ① 而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6， ②显然①②矛盾，所以C 正确． 【答案】 C5．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A ＋B ＋C ＝90°＋90°＋C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A ＝B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A ，B ，C 中有两个直角，不妨设A ＝B ＝90°，正确顺序的序号为( )A ．①②③B ．①③②C ．②③①D ．③①②【解析】 根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而【答案】 D 二、填空题6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”．【答案】 任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是________． 【解析】3a 与3b 的关系有三种情况：3a >3b ，3a ＝3b 和3a <3b ，所以“3a >3b ”的反设应为“3a ＝3b 或3a <3b ”．【答案】3a ＝3b 或3a <3b8．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】 若a ＝13，b ＝23，则a ＋b ＝1，但a <1，b <1，故①不能推出．若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能推出．若a ＝－2，b ＝1，则a 2＋b 2>2，故④不能推出． 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.【答案】 ③ 三、解答题9．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明：a ，b ，c 至少有一个不小于1. 【导学号：81092030】【证明】 假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3.而与a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a ，b ，c 至少有一个不小于1.10．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： a ， b ， c 不成等差数列．【证明】 假设a ， b ， c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，两边同时平方得a ＋c把b2＝ac代入a＋c＋2ac＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．所以a，b，c不成等差数列．[能力提升]1．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确【解析】用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．【答案】 D2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin A≠sin B”．若用反证法证明，得出的矛盾是( )A．与已知条件矛盾B．与三角形内角和定理矛盾C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D．与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下：假设sin A＝sin B，因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B或A ＋B＝π.其中A＝B与A≠B矛盾；A＋B＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立．所以sin A≠sin B.【答案】 C3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手．【答案】丙11 4．用反证法证明：对于直线l ：y ＝x ＋k ，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝－x 对称．【证明】 假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝－x 上，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋k ，y 2＝3x 2－1得2x 2－2kx －1－k 2＝0.∴x 1＋x 2＝k ，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，3k 2.这与M 在直线y ＝－x 上矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称．。