2018-2019年上海市七宝中学高二上期中数学试卷(有答案)

2018学年七宝中学高二上期中考试
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 若线性方程组的增广矩阵是122301c c ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，其解为1
1x y =⎧⎨=⎩
，则12c c +=____________．
2. 已知行列式451
3732
x
x 中元素4的代数余子式是1，则实数x 的值是
____________．
3. 求()2
*
6100lim 31100
45n
n n n n n n →∞⎧≤⎪⎪∈⎨+⎪
>⎪+⎩
N =____________．
4. 在ABC 中，()()()0,0,3,5,4,4A B C ，则ABC 的面积为____________．
5. 已知()()()()
1,2,2,3,2//a b a b a kb ==-++
，则实数k 的值是
____________．
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。

若输入,n x 的值分别为3，2，则输出v 的值为____________．
7. 设()*111,122f n n n n n
=
+++∈++N ，若*k ∈N ，则()()1_________f k f k +=+． 8. 已知1,1,,a b a b == 的夹角是60°，若向量c 满足()
1c a b -+= ，则c
的最小值为
____________．
9. 设函数2y nx n =-+和()*11
,222
y x n n n =-
+∈≥N 的图像与坐标轴围成的封闭图形的面积为n S ，则lim n n S →∞
=____________．
10. 已知圆O 中，弦3,5AB AC ==，则AO BC ⋅
的值是____________．
11. 定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的()(),,,a m n b p q == ，令*m n
a b p q
= ．给
出以下四个命题：
（1）若a 与b 共线，则*0a b = ；（2）**a b b a = ；（3）对任意的λ∈R ，有()()
**a b a b λλ=
；
（4）()()
22
22
*a b a b
a b ++=⋅ ．（注：这里a b ⋅ 指a 与b 的数量积）
则其中所有真命题的序号是____________．
12. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前
n 项和为n S ，且lim n n S S →∞
=，若对于任意
*,2n n S S ∈<N 恒成立，则公比q 的取值范围是____________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13. 用数学归纳法证明()*1111,22321
n n n n ++++<∈≥-N ，第一步验证（ ）
A. 1
122
+
<
B. 111223++<
C. 111323++<
D. 11113234
+++<
14. 已知,,A B C 是平面不同三点，则“0AB BC CA ++=”是“,,A B C 三点能构成三角形”的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分也非必要
15. 若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于x 的二元一次方程组1324
23a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况，下列说
法正确的是（ ）
A. 对任意,0q q ∈≠R ，方程组都有唯一解
B. 对任意,0q q ∈≠R ，方程组都无解
C. 当且仅当3
2q =
，方程组无解 D. 当且仅当3
2
q =，方程组无穷多解
16. 在正六边形ABCDEF 中，令,AB a AF b ==
，P 是CDE 内含边界的动点（如图），
A P x a y b =+ ，则x y +的最大值是（ ）
A. 1
B. 4
C. 4
D. 5
三、解答题（本题共有5题，满分76分） 17. （14分）
求证：对任意的*22,389n n n +∈--N 能被64整除．
18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 上海市旅游节刚落下帷幕，在旅游节期间。

甲、乙、丙三位市民顾客分别获得一些景区门票的
2（单位：元）。

表1 表2
（1）按照上述表格的行列次序分别写出这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵A 和三个景区的门票折扣后价格矩阵B ；
（2）利用你所学的矩阵知识，计算三位市民各获得多少元折扣？
19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知平面直角坐标系内三点A 、B 、C 在一条直线上，满足
()()()3,1,,3,7,4O A m O B n O C =-+==
，且OA
OB ⊥ ，其中O 为坐标原点． （1）求实数m 、n 的值；
（2）设A O C 的重心G ，且23
OG OB =
，且12,P P 为线段
AB 的三等分点，求12OA AB OP AB OP AB OB AB ⋅+⋅+⋅+⋅
的值．
20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知一非零向量列n a 满足：)
()()111111
,,,2
n n n n n n n a a x y x y x y ----=
==-+
（1）写出数列{}
n a
的通项公式；
（2）求向量1n a - 与n a 的夹角θ，并将12,,,n a a a 中所有与1a
平行的向量取出来，按原来的顺序
排成一列，组成新的数列{}
12,n n n b OB b b b =+++
，O 为坐标原点，求点列{}n B 的坐标；
（3）令()*
8128n n S a a a n =+++∈N ，求{}
8n S 的极限点位置．
21. （本题满分18分，第1小题满分4份，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
几位大学生响应国家的创业号召，开发,,A B C 三款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他
们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动。

这款软件的激活码分别为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是0
2，接下来的两项是012,2，再接下来的三项是0122,2,2，依此类推，试根据下列条件分别求三款软件的激活码。

（1）A 款应用软件的激活码是该数列中第四个三位数的项数的平方； （2）B 款应用软件的激活码是该数列中第一个四位数及其前所有项的和；
（3）C 款应用软件的激活码是满足如下条件的最小整数0N ；①0100N >，②该数列的前0N 项和为2的整数幂．。